Leidsid 33 sarnast õppematerjali, mis on seotud failiga "Funktsioon loeng 2". Need materjalid aitavad sul teemat sügavamalt mõista.
pöördfunktsioon, määramispiirkond, muutuja, liitfunktsioon, muutumis, reaalarv, arcsin, astmefunktsioon, loga, trig, nimetaja, esitusviis, esialgse, põhifunktsioonid, arctan, täisarv, siinus, paarisfunktsioon, graafik, sümmeetriline, muutumispiirkond, eksponentfunktsioon, logaritmfunktsioon, arkusfunktsioonid, arccos, arccot, murd, koosinusFunktsioonid ja nende graafikud © T. Lepikult, 2010 Funktsioon Kui muutuva suuruse x igale väärtusele, mis kuulub tema muutumispiirkonda, vastab teise suuruse y üks kindel väärtus, siis öeldakse, et y on x funktsioon. Asjaolu, et üks muutuja on teise funktsioon, tähistatakse y = f(x). Näited: Kuubi ruumala on tema serva pikkuse funktsioon, suusataja poolt läbitud teepikkus on aja funktsioon, vedru deformatsioon on tõmbejõu funktsioon jne. Funktsiooni argument Muutujat x nimetatakse seejuures sõltumatuks muutujaks e. argumendiks. Argumendi x väärtuste hulka, mille puhul saab määrata funktsiooni y väärtusi vastavalt eeskirjale f(x), nimetatakse funktsiooni määramispiirkonnaks
...................6 4. Funktsiooni mõiste, funktsiooni esitusviisid. .............................................................................. 6 5. Funktsioonide liigitus (paaris- ja paaritud funktsioonid, perioodilised funktsioonid, monotoonsed funktsioonid, tõkestatud funktsioonid). Tuua näiteid. .............................................. 7 6. Elementaarsed põhifunktsioonid, nende määramispiirkonnad, põhiomadused ja graafikud. .....7 7. Liitfunktsiooni mõiste, liitfunktsiooni määramispiirkond. Tuua näiteid. ....................................7 8. Pöördfunktsiooni mõiste; pöördfunktsiooni määramis- ja muutumispiirkond. Tuua näiteid. .....7 9. Muutuva suuruse piirväärtus, tõkestamatult kasvav ja tõkestamatult kahanev suurus. ...............8 10. Funktsiooni piirväärtus. Funktsiooni vasak- ja parempoolne piirväärtus. .................................9 11. Tõkestamatult kasvav funktsioon, tõkestamatult vähenev funktsioon. ................................... 10 12
Tõkestatud hulga definitsioon: reaalarvudest koosnevat hulka A nimetatakse tõkestatuks, kui leidub lõplik vahemik ( a, b ) nii, et A ( a, b ). Tõkestatud hulgad on näiteks kõik lõplikud vahemikud ( a, b ), lõigud [a, b] ja poollõigud [a, b), (a, b]. Tõkestamata hulgad on aga näiteks lõpmatud vahemikud (-, a), (a, ) ja lõpmatud poollõigud (-, a], [a, ). 2. Jääv ja muutuv suurus. Suuruse muutumispiirkond. Funktsiooni definitsioon. Funktsiooni argument, sõltuv muutuja, määramispiirkond ja väärtuste hulk. Funktsiooni esitamine tabelina ja analüütiliselt. Funktsiooni graafiku mõiste. Graafiku omadused. V: Jääv ja muutuv suurus: Suurust, mis võib omandada erinevaid arvulisi väärtusi, nimetatakse muutuvaks suuruseks ehk muutujaks. Suurust, mille arvuline väärtus ei muutu, nimetatakse jäävaks suuruseks. Näiteks ühtlase liikumise korral on kiirus jääv suurus ja läbitud teepikkus muutuv suurus. Samas mitte ühtlase liikumise korral on ka kiirus muutuv suurus
1. · Arvtelje mõiste Arvteljeks nimetatakse sirget, millel on valitud nullpunkt, pikkusühik ja positiivne suund. Võib väita, et igale arvtelje punktile vastab üks ja ainult üks reaalarv ja vastupidi: igale reaalarvule vastab üks ja ainult üks arvtelje punkt. · Absoluutväärtuse mõiste. Reaalarvu a absoluutväärtuseks nimetatakse järgmist mittenegatiivset reaalarvu: |a| = a kui a 0 -a kui a < 0 . Reaalarvu a absoluutväärtus |a| on punkti a ja nullpunkti vaheline kaugus arvteljel. · Absoluutväärtuse omadused: 1. | - a| = |a| 2. |ab| = |a| |b| 3. |a + b| |a| + |b| 4. |a - b| | |a| - |b| |
1. · Arvtelje mõiste Arvteljeks nimetatakse sirget, millel on valitud nullpunkt, pikkusühik ja positiivne suund. Võib väita, et igale arvtelje punktile vastab üks ja ainult üks reaalarv ja vastupidi: igale reaalarvule vastab üks ja ainult üks arvtelje punkt. · Absoluutväärtuse mõiste. Reaalarvu a absoluutväärtuseks nimetatakse järgmist mittenegatiivset reaalarvu: |a| = a kui a 0 -a kui a < 0 . Reaalarvu a absoluutväärtus |a| on punkti a ja nullpunkti vaheline kaugus arvteljel. · Absoluutväärtuse omadused: 1. | - a| = |a| 2. |ab| = |a| |b| 3. |a + b| |a| + |b| 4. |a - b| | |a| - |b| |
(lk 3) Suurust, mis võib omandada erinevaid arvulisi väärtusi, nimetatakse muutuvaks suuruseks ehk muutujaks. Suurust, mille arvuline väärtus ei muutu, nimetatakse jäävaks suuruseks. Näiteks ühtlase liikumise korral on kiirus jääv suurus ja läbitud teepikkus muutuv suurus. Muutuva suuruse kõigi võimalike väärtuste hulka nimetatakse selle suuruse muutumispiirkonnaks 5. Defineerida ühene funktsioon, ühese funktsiooni argument, sõltuv muutuja, määramispiirkond ja väärtuste hulk. (lk 3 - 4) Ühene funktsioon on funktsioon vaid ühe muutujaga ehk y=f(x), puuduvad liitfunktsiooni omadused. Argument ehk muutuja on x ja sõltuv muutuja on y (sellel on oma kindel väärtus, mis sõltub x-st). Muutuva suuruse ehk x-i kõigi võimalike väärtuste hulka nimetatakse selle suuruse muutumispiirkonnaks 6. Millist funktsiooni nimetatakse mitmeseks? (lk 4)
valikul 1/4-1/2 lk teksti antud programmi ulatuses. 1. Arvtelje mõiste. Reaalarvu absoluutväärtus. Loetleda absoluutväärtuse omadused. Reaalarvude ja lõpmatuste ümbrused. Tõkestatud hulga definitsioon. Arvteljeks nimetatakse sirget, millel on valitud nullpunkt, pikkusühik ja positiivne suund. Kasutades neid kolme parameetrit, saab arvtelje punktidele seada vastavusse reaalarvud. Võib väita, et igale arvtelje punktile vastab üks ja ainult üks reaalarv ja vastupidi: igale reaalarvule vastab üks ja ainult üks arvtelje punkt. Öeldu põhjal saab reaalarvud samastada sirge (arvelje) punktidega. Reaalarvu a absoluutväärtuseks nimetatakse järgmist mittenegatiivset reaalarvu: |a| = {−aa , kui a≥ 0 , kui a< 0 Reaalarvu a absoluutväärtust |a| võib tõlgendada kui punkti a ja nullpunkti vahelist kaugust arvteljel
vahemik (a, b) nii, et A (a, b). Jääv suurus suurus, mille arvuline väärtus ei muutu. Muutuv suurus suurus, mis võib omandada erinevaid arvulisi väärtusi. Suuruse muutumispiirkond muutuva suuruse kõigi võimalike väärtuste hulk. Funktsioon Olgu antud 2 muutuvat suurust x ja y. Funktsiooniks nimetatakse kujutist, mis seab suuruse x igale väärtusele tema muutumispiirkonnast vastavusse suuruse y ühe kindla väärtuse. Funktsiooni argument Muutuja x Sõltuv muutuja Muutuja y Määramispiirkond argumendi x muutumispiirkond Väärtuste hulk - Y={ f(x) || x X } Funktsiooni esitamine tabelina Funktsiooni argumendi võimalikud väärtused esitatakse tabeli ühes reas ja neile vastavad funktsiooni väärtused tabeli teises reas. Võimalik vaid siis, kui funktsiooni argumendil on lõplik arv väärtusi. Funktsiooni analüütiline esitusviis valemi kujul. Funktsiooni graafiline esitusviis esitatakse graafikuna tasandi ristkoordinaadistikus.
nimetatakse muutuvaks suuruseks ehk muutujaks. Suurust, mille arvuline väärtus ei muutu, nimetatakse jäävaks suuruseks. Suuruse muutumispiirkond- Muutuva suuruse kõigi võimalike väärtuste hulka nimetatakse selle suuruse muutumispiirkonnaks. Funktsiooni definitsioon- Olgu antud 2 muutuvat suurust x ja y. Funktsiooniks nimetatakse kujutist, mis seab suuruse x igale väärtusele tema muutumispiirkonnast vastavusse suuruse y ühe kindla väärtuse. Funktsiooni argument- muutuja x, sõltumatu. Sõltuv muutuja- muutuja y. Määramispiirkond- argumendi x muutumispiirkonda. Tähis X. y= f(x). Väärtuste hulk- Hulka Y = {f(x) || x kuulub X} Funktsiooni esitamine tabelina- Funktsiooni argumendi võimalikud väärtused esitatakse tabeli ühes reas (veerus) ja neil vastavad funktsiooni väärtused tabeli teises reas (veerus). On võimalik vaid siis, kui funktsiooni argumendil on lõplik arv väärtusi. Funktsiooni esitamine analüütiliselt- Funktsioon esitatakse valemi kujul
1.Arvtelje mõiste. Reaalarvu absoluutväärtus. Loetleda 4.Üksühese funktsiooni ja pöördfunktsiooni definitsioonid. Vaatleme funktsiooni y=f(x). Toome lisaks muutujale x ± absoluutväärtuse Seosed funktsiooni ja tema pöördfunktsiooni ja y sisse ka kolmanda muutuja t. x= (t). Siis saab ka Funktsioonil f on piirväärtus kohal a, kui suvalises piirprotsessis xa, mis omadused. Reaalarvude ja lõpmatuste ümbrused. määramispiirkondade ja väärtuste hulkade vahel, vastastikune muutuja y avaldada parameetri t kaudu. y = (t). rahuldab tingimust xa, funktsiooni väärtus f(x) läheneb lõpmatusele
Matematiline analüüs l. Jaan Jaano 1. Arvtelje mõiste. Reaalarvu absoluutväärtus. Loetleda absoluutväärtuse omadused. Reaalarvude ja lõpmatuste ümbrused. Tõkestatud hulga definitsioon. Arvtelje mõiste. Arvteljeks nimetatakse sirget, millel on valitud nullpunkt, pikkusühik ja positiivne suund. Võib väita, et igale arvtelje punktile vastab üks ja ainult üks reaalarv ja vastupidi: igale reaalarvule vastab üks ja ainult üks arvtelje punkt. Absoluutväärtuse mõiste. Reaalarvu a absoluutväärtuseks nimetatakse järgmist mittenegatiivset reaalarvu: |a| = a kui a 0 -a kui a < 0 . Reaalarvu a absoluutväärtus |a| on punkti a ja nullpunkti vahelist kaugust arvteljel. Absoluutväärtuse omadused: 1. | - a| = |a| 2. |ab| = |a| |b| 3. |a + b| |a| + |b| 4. |a - b| | |a| - |b| | Reaalarvude ja lõpmatuste ümbrused
muutumispiirkonnast X vastavusse teise muutuva suuruse y kindla väärtuse selle muutumispiirkonnast Y. Arvu x nimetatakse funktsiooni f argumendiks ehk sõltumatuks muutujaks ja hulka X funktsiooni f määramispiirkonnaks, arvu y nimetatakse funktsiooni väärtuseks ehk sõltuvaks muutujaks ja hulka Y funktsiooni väärtuste hulgaks. Loetleme siinkohal üles põhilised elementaarfunktsioonid: 1) konstantne funktsioon y = c ; 2) astmefunktsioon y = x , kus on reaalarv; 3) eksponentfunktsioon y = a x , kus a on ühest erinev positiivne arv ( a > 0, a 1) ; 4) logaritmfunktsioon y = log a x , kus a on ühest erinev positiivne arv ( a > 0, a 1) ; 5) trigonomeetrilised funktsioonid y = sin x, y = cos x, y = tan x, y = cot x ; 6) arkusfunktsioonid y = arcsin x, y = arccos x, y = arctan x, y = arc cot x . Toome sisse liitfunktsiooni mõiste. Kui y on muutuja u funktsioon, s.t
arvulisi väärtusi, nimetatakse muutuvaks suuruseks ehk muutujaks. Suurust, mille arvuline väärtus ei muutu, nimetatakse jäävaks suuruseks. Suuruse muutumispiirkond- Muutuva suuruse kõigi võimalike väärtuste hulka nimetatakse selle suuruse muutumispiirkonnaks. Funktsiooni definitsioon- Olgu antud 2 muutuvat suurust x ja y. Funktsiooniks nimetatakse kujutist, mis seab suuruse x igale väärtusele tema muutumispiirkonnast vastavusse suuruse y ühe kindla väärtuse. Funktsiooni argument- muutuja x, sõltumatu. Sõltuv muutuja- muutuja y. Määramispiirkond- argumendi x muutumispiirkonda. Tähis X. y= f(x). Väärtuste hulk- Hulka Y = {f(x) || x kuulub X} Funktsiooni esitamine tabelina- Funktsiooni argumendi võimalikud väärtused esitatakse tabeli ühes reas (veerus) ja neil vastavad funktsiooni väärtused tabeli teises reas (veerus). On võimalik vaid siis, kui funktsiooni argumendil on lõplik arv väärtusi. Funktsiooni esitamine analüütiliselt- Funktsioon esitatakse valemi kujul
Punktid 1-22 1. Arvtelje mõiste. Reaalarvu absoluutväärtus. Loetleda absoluutväärtuse omadused. Reaalarvude ja lõpmatuste ümbrused. Tõkestatud hulga definitsioon. a. Arvtelje mõiste Arvteljeks nim sirget, millel on valitud nullpunkt, pikkusühik ja positiivne suund. Kasutades neid kolme parameetrit, saab arvtelje punktidele seada vastavusse reaalarvud. Igale arvtelje punktile vastab ainult üks reaalarv ja vastupidi. b. Reaalarvu absoluutväärtus Reaalarvu absoluutväärtuseks nimetatakse järgmist mittenegatiivset arvu |a|= a, kui a 0, -a, kui a<0 c. Loetleda absoluutväärtuse omadused |-a|=|a|; |ab|=|a|*|b|; |a+b||a|+|b|;|a-b||a|-|b| d. Reaalarvude ja lõpmatuste ümbrused d.i. Reaalarvu a ümbruseks nim suvalist vahemikku (a-,a+), kus on ümbruse raadius. d.ii
Matemaatiline analüüs 1. Arvtelg sirge, millel on valitud nullpunkt, pikkusühik ja positiivne suund. Igale arvtelje punktile vastab üks ja ainult üks reaalarv ja vastupidi: igale reaalarvule vastab üks ja ainult üks arvtelje punkt. Öeldu põhjal saab reaalarvud samastada sirge (arvelje) punktidega. Absoluutväärtuse mõiste reaalarvu a absoluutväärtuseks nimetatakse järgmist mittenegatiivset arvu. Reaalarvu a absoluutväärtust |a| võib tõlgendada kui punkti a ja nullpunktivahelist kaugust arvteljel. Absoluutväärtuste omadused:
ratsionaalarvudeks. Lõpmatute mitteperioodiliste kümnendmurdudena esitatavaid arve nimetatakse irratsionaalarvudeks. Kõik ratsionaal- ja irratsionaalarvud koos moodustavad reaalarvude hulga. x Reaalarvu absoluutväärtuseks ehk mooduliks x nimetatakse mittenegatiivset reaalarvu, mis rahuldab tingimusi x = x, kui x 0, x = -1, kui x < 0. x x. Kehtib seos 2. Muutuv suurus ehk muutuja, jääv suurus ehk konstant. Muutuva suuruse muutumispiirkond. Mõisted: vahemik, lõik, poollõik. Kasvav ja kahanev muutuv suurus, monotoonne suurus. Tõkestatud muutuv suurus. Suurust, mis omandab mitmesuguseid väärtusi, nimetatakse muutuvaks suuruseks ehk muutujaks. Tähised x, y, z, u, ... Suurust, mille väärtus ei muutu, nimetatakse jäävaks ehk konstantseks suuruseks. Tähised a, b, c, ...
võrdus f(x+C)=f(x). Väikseimat sellist konstanti nimetatakse funktsiooni f perioodiks. Def. Funktsiooni f nimetatakse kasvavaks ehk rangelt kasvavaks piirkonnas X, kui selles piirkonnas suuremale argumendi väärtusele vastab suurem funktsiooni väärtus. Def. Funktsiooni f nimetatakse kahanevaks ehk rangelt kahanevaks piirkonnas X, kui selles piirkonnas suuremale argumendi väärtusele vastab väiksem funktsiooni väärtus. Def. Astmefunktsioon on funktsioon kujul y= , kus a on nullist erinev konstantse astendaja. Selle funktsiooni määramispiirkond, väärtuste hulk ja graafik sõltuvad oluliselt astmest a. Def. Eksponentfunktsioon on funktsioon kujul y= , kus astme alus a on konstantne ja a>0 ja a1. Määramispiirkond X= ja väärtuste hulk Y=(0,). Def.Trigonomeetrilised funktsioonid on funktsioonid kujul y=sinx,y=cosx,y=tanx ja y=cotx radiaanides antud argumendiga x
võrdus f(x+C)=f(x). Väikseimat sellist konstanti nimetatakse funktsiooni f perioodiks. Def. Funktsiooni f nimetatakse kasvavaks ehk rangelt kasvavaks piirkonnas X, kui selles piirkonnas suuremale argumendi väärtusele vastab suurem funktsiooni väärtus. Def. Funktsiooni f nimetatakse kahanevaks ehk rangelt kahanevaks piirkonnas X, kui selles piirkonnas suuremale argumendi väärtusele vastab väiksem funktsiooni väärtus. Def. Astmefunktsioon on funktsioon kujul y= , kus a on nullist erinev konstantse astendaja. Selle funktsiooni määramispiirkond, väärtuste hulk ja graafik sõltuvad oluliselt astmest a. Def. Eksponentfunktsioon on funktsioon kujul y= , kus astme alus a on konstantne ja a>0 ja a1. Määramispiirkond X= ja väärtuste hulk Y=(0,). Def.Trigonomeetrilised funktsioonid on funktsioonid kujul y=sinx,y=cosx,y=tanx ja y=cotx radiaanides antud argumendiga x
Funktsiooni mõiste. Olgu antud 2 muutuvat suurust x ja y. Funktsiooniks (ehk üheseks funktsiooniks) nimetatakse kujutist mis seab suuruse x igale väärtusele tema muutumispiirkonnast vastavusse suuruse y ühe kindla väärtuse. Muutujat x nimetatakse seejuures sõltumatuks muutujaks ehk argumendiks ja muutujat y sõltuvaks muutujaks. Funktsioone tähistatakse tavaliselt tähtedega f; g; u; v; ; jne. Olgu antud funktsioon f mille argumendiks on x ja s~oltuvaks muutujaks y. Muutuja y väärtust milleks funktsioon f kujutab argumendi x nimetatakse funktsiooni f väärtuseks kohal x ja tähistatakse sümboliga f(x). Seega, me võime kirjutada seose y = f(x) ; (1.1) mis väljendab muutuja y "seotust" argumendiga x funktsiooni f kaudu. Mõnikord kasutatakse funktsiooni ja sõltuva muutuja tähistamiseks ühte ja sama sümbolit. Sellisel juhul seos (1.1) omab kuju y = y(x).
Tõkestakse Or(1) vähemalt üks temast erinev hulga X punkt.*Arv a on hulga X sisepunkt, kui Monotoonsed jadad- leidub arvu a ümbrus, mis kuulub hulka X*Arv a on hulga X rajapunkt, kui arvu a Osajada- iga jada, mis saadakse jadast mingi lõpliku või lõpmatu hulga jada igas ümbruses leidub nii hulga X punkt, kui ka neid punkte, mis ei kuulu hulka X elementide väljajätmisel, nim selle jada osajadaks 4. Funktsiooni mõiste. Määramispiirkond. Muutumispiirkond. Funktsiooni graafik. 14. Tõestada jada piirväärtuse aritmeetiliste tehetega seotud omadused. Funktsiooni mõiste: Kui hulga X igale elemendile x on mingi eeskirja abil 15. Tõestada jada piirväärtuse omadused vastavusse seatud üks kindel element y hulgast Y, siis öeldakse, et hulgal X on V:1)Konstantse jada piirväärtuseks on see constant, sest Xn=c -> Xn->c defineeritud funktsioon f ja kirjutatakse y=f(x)
Funktsiooni f nim perioodiliseks, kui leidub konstant C>0 nii, et iga xX korral kehtib võrdlus f(x+C)=f(x). Väiksemat sellist konstanti C nim funkt f perioodiks. Kasvamis- ja kahanemispiirkond. Olgu funktsiooni maaramispiirkonna alamhulgas D kaks väärtust x1 ja x2, kus kehtib võrratus x1< x2. Kui f(x1) < f(x2), siis on funktsioon f kasvav hulgas D, graafik tõuseb. Kui f(x1) >f(x2), siis on f hulgas D kahanev ja graafik langeb. Astmefunktsioon on kujul y=xa , kus a on nullist erinev konstantne asendaja. Kui a on paaritu arv, siis X=R ja Y=R. Kui a on paarisarv, siis X=R Y=(0; ). Eksponentfunktsioon on kujul ax , kus a>0 ja ei võrdu ühega. X=R ja Y=(0; ). Trigonomeetrilised funktsioonid on y = sin x, y= cos x, y = tan x ja y = cot x. y = sin x : X = R, Y = [-1, 1] , y = cos x : X = R, Y = [-1, 1] , y = tan x : X = R { (2k+1)/2 * ||k Z}Y=R y = cot x : X = R {k || k Z}, Y = R. + graafikud ! 4
ühes reas (veerus) ja neil vastavad funktsiooni väärtused tabeli teises reas (veerus). On võimalik vaid siis, kui funktsiooni argumendil on lõplik arv väärtusi. Analüütiline esitusviis. Funktsioon esitatakse valemi kujul. Kui vaja, lisatakse ka määramispiirkonna kirjeldus. Graafiline esitusviis. Funktsioon esitatakse graafikuna tasandil ristkoordinaadistikus. Olgu antud funktsioon f, mille argument on x, sõltuv muutuja y ja määramispiirkond X. Kanname tasandile ristuvad x- ja y-teljed. Vaatleme selles teljestikus joont G, mis koosneb kõikvõimalikest punk- tidest P = (x,f(x)), kusjuures P esimene koordinaat x jookseb läbi kogu määramispiirkonna X. Seda joont nimetataksegi funtsiooni f graafikuks. Seega, lühidalt kirjutades on funktsiooni f graafiku definitsioon järgmine: G = {P = (x,f(x))||x X}. Graafiku punkti P teist koordinaati f(x) võib tõlgendada P "kõrgusena" x- telje suhtes. Kui
· Algebralised funktsioonid on funktsioonid, mis saadakse lõpliku arvu algebraliste tehte rakendamise teel. a. Täisratsionaalsed funktsioonid ehk astmefunktsioonid b. Murdratsionaalsed funktsioonid ehk kahe täisratsionaalse funktsiooni jagatis c. Irratsionaalsed funktsioonid ( sisaldavad lisaks eelnevale veel juurimist) d. Mittealgebralised funktsioonid Liitfunktsioon- on funktsioon, kus sõltuv muutuja y sõltub argumendist x mitme funktsiooni vaheldusel. Kui y=f(z) ja z=g(x) , seega saame liitfunktsiooni y=f(g(x)) . Liitfunktsioonil võib olla ka enam kui kaks koostisosa ja seega enam kui üks vahepealne muutuja. Pöördfunktsioon- pöördfunktsiooni saame, kui võtame algse funktsiooni , avaldame sealt x ja seejärel vahetame x ja y ära. Näiteks : y=2x ; x=0,5y ; y=0,5x , seega y=2x pöördfunktsioon on y=0,5x. Funktsiooni y = f(x) pöördfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni y =( x )
Kui teisenduse tulemusena kumbki funktsioon siis pole funktsioon ei paaris ega paaritu. Pöördfunktsioon Pöördfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni, mis saadakse antud funktsioonist, kui vahetada x ja y kohad ning seejärel uuesti avaldada y. Pöördfunktsiooni graafikud on summeetrilised sirge y=x suhtes. Eksponentfunktsioon x Funktsioon kujus y=a , kus a>0 ja a ei võrdu 1 ning x on mistahes reaalarv nimetatakse eksponentfunktsiooniks. Negatiivsed arvud puuduvad. Eksponentgraafik ei lõiku x-teljega! Kõik eksponentgraafikud läbivad y-telge punktis 1 a>1 0< a<1 X=R X=R X=R X= Ø Y=(0;) X=Ø Y=(0;) X=R + +
Kordamisküsimused 1. Funktsioon - Olgu X mingi reaalarvude hulk. Kui muutuja x igale väärtusele hulgas X vastab muutuja y üks kindel väärtus, siis öeldakse, et y on muutuja x funktsioon. Funktsiooni esitusviis: tabelina, graafikuna. Funktsiooni analüütiline esitusviis on ilmutatud, ilmutamata, parameerilisel kujul. 2. Funktsioonide liigitus (paaris- ja paaritud funktsioonid, perioodilised funktsioonid, monotoonsed funktsioonid, tõkestatud funktsioonid). Tuua näiteid. paarisfunktsioon - Funktsiooni y = f (x) nimetatakse paarisfunktsiooniks, kui f (-x) = f (x) Paarisfunktsiooni graafik on sümmeetriline y-telje suhtes
a1 Jada summa: S = . 1-q Üldliige: an = a1q n -1 . 2.18 Logaritmid 15 Arvu b logaritmiks antud alusel a nimetatakse niisugust arvu c, millega on vaja astendada arvu a, et saada arv b. log a b = c , kui a c = b ( a > 0 a 1) . Asendades teises võrduses c, saame samasuse a loga b = b . Vastav samasus kümnendlogaritmide korral: 10log b = b . Naturaallogaritmide korral: eln b = b . Logaritmide omadused 1. log a 1 = 0 . 2. log a a = 1 . 3. log a mn = log a m + log a n , kui m > 0 ja n > 0 . m 4. log a = log a m - log a n , kui m > 0 ja n > 0 . n 5. log a b = n log a b , kui b > 0 . n 1 6. log a n b = log a b , kui b > 0 .
(näiteks lihtsustage ). Absoluutväärtuse omadused. Tingimuse esitamine arvteljel. Reaalarvu a vasakpoolne ja parempoolne ümbrused. Reaalarvu a ümbrus nimetatakse suvalist vahemiku (a , a + ), kus > 0 on ümbruse raadius. Arv x kuulub arvu a ümbrusesse (a , a + ) siis ja ainult siis, kui selle arvu kaugus arvteljel on arvust a väiksem kui , st . Arvtelg on sirge, millele on märgitud nullpunkt, ühiklõik ja positiivne suund. Igale arvtelje punktile vastab üks ja ainult üks reaalarv ja vastupidi. Reaalarvu a absoluutväärtuseks nimetatakse järgmist mittenegatiivset reaalarvu: Näiteks Lihtsustamine Tingimuse esitamine arvteljel. Arv x kuulub reaalarvu a ümbrusesse (a , a + ) siis ja ainult siis, kui selle arvu kaugus arvteljel on arvust a väiksem kui , st Reaalarvu a vasakpoolseks ümbruseks nimetatakse suvalist poollõiku (a - ; a], kus > 0. Reaalarvu a parempoolseks ümbruseks nimetatakse suvalist poollõiku [a; a + ), kus > 0. 3. Funktsiooni mõiste
leidub lõplik vahemik (a; b) nii, et A C (a; b).Tõkkestatud hulgad on näiteks: vahemik (a,b), lõik ,poollõik . 2. Jääv ja muutuv suurus. Muutuv suurus on suurus mis võib omandada erinevaid arvulisi väärtusi (aeg).Suuruse milline väärtus ei muutu nimetatakse jäävaks suuruseks (kiirus). Suuruse muutumispiirkond. Muutuva suuruse kõigi võimalike väärtuste hulka nimetatakse selle suuruse muutumispiirkonnaks. Funktsiooni definitsioon. Funktsiooni argument, sõltuv muutuja, määramispiirkond ja väärtuste hulk. Funktsiooni esitamine tabelina ja analüütiliselt. Funktsiooni graafiku mõiste. Graafiku omadused. 3. Paaris- ja paaritud funktsioonid. Funktsioon on paaris kui iga korral kehtib võrdsus kui aga korral kehtib võrdsus siis funktsioon nimetatkse paaritu. Perioodilised funktsioonid. Funktsiooni f nimetatakse perioodiliseks kui leidub konstant C>0
muutumispiirkonnaks. On antud 2 muutuvat suurust x ja y. Funktsiooniks (ehk üheseks funktsiooniks) nimetatakse kujutist, mis seab suuruse x igale väärtusele tema muutumispiirkonnast vastavusse suuruse y ühe kindla väärtuse. Muutujat x nimetatakse seejuures sõltumatuks muutujaks ehk argumendiks ja muutujat y sõltuvaks muutujaks. Olgu antud funktsioon f, mille argumendiks on x ja sõltuvaks muutujaks y. Muutuja y väärtust, milleks funktsioon f kujutab argumendi x, nimetatakse funktsiooni f väärtuseks kohal x ja tähistatakse sümboliga f(x). Seega võimekirjutada seose y = f(x) mis väljendab muutuja y "seotust" argumendiga x funktsiooni f kaudu. Seost nimetatakse funktsiooni võrrandiks. Funktsiooni esitusviisid: 1)tabel 2)analüütiline 3)graafiline G = {P = (x, f(x)) || x X} Vaatleme joont G, mis
Kordamine matemaatilise analüüsi I eksamiks matemaatika-informaatika teaduskonnas 04/05 õ.a I FUNKTSIOONID Tõkestatud hulgad Ülalt ja alt tõkestatud hulgad Olgu X mingi reaalarvude hulk. Definitsioon: Kui leidub niisugune reaalarv M , et hulga X iga elemendi x puhul kehtib võrratus x M , siis öeldakse, et hulk X on ülalt tõkestatud, kusjuures arvu M nimetatakse hulga X ülemiseks tõkkeks. Ülalt tõkestatud hulga X elemendid paiknevad seega lõpmatus poollõigus (- , M ] . Definitsioon: Kui leidub niisugune reaalarv m , et hulga X iga elemendi x puhul kehtib võrratus x m , siis öeldakse, et hulk X on alt tõkestatud, kusjuures arvu m nimetatakse hulga X alumiseks tõkkeks.
"Matemaatiline analüüs I" Funktsioon Funktsioon- Kui muutja x igale väärtusele piirkonnas X vastab muutuja y kindel väärtus, siis öeldakse, et y on muutuja x funktsioon piirkonnas X. Sõltumatu muutuja on x, sõltuv y Funktsiooni määramispiirkond-Funktsiooni y määramispiirkonnaks nimetakse argumendi x muutumispiirkonda. Funktsioonide liigid- 1. Paaris funktsioon-rahuldab tingimust f(x)=f(-x) ja see on sümmeetriline y-telje suhtes. (Nt:y=x2) 2.Paaritu funktsioon-rahuldab tingimust f(-x)=-f(x) ja see on sümmetrialine 0 punkti suhtes. (y=sinx) 3.Perioodilised funktsioonid- rahuldab tingimust f(x+T)=f(x), T on periood. 4
Matemaatika põhimõisted ja - definitsioonid 1. Funktsioon- kui muutuva suuruse x igale väärtusele, mis kuulub tema muutumispiirkonda, vastab teise suuruse y üks kindel väärtus, siis öeldakse, et y on x funktsioon. 2. Elementaarne põhifunktsioon- elementaarseteks põhifunktsioonideks nim. järgmisi analüütiliselt antud funktsioone: konstantne funktsioon y = c; astmefunktsioon y = xa ; eksponentfunktsioon y = ax , kus a on ühest erinev pos. arv; logaritmfunktsioon ; trigonomeetrilised funktsioonid; arkusfunktsioonid; 3. Elementaarfunktsioon- funktsioon, mis saadakse põhielementaarfunktsioonidest lõpliku arvu aritmeetiliste tehete ja liitfunktsioonide moodustamise tulemusena. 4. Tõkestatud funktsioon- funktsiooni f(x) nim. tõkestatuks piirkonnas A, kui leidub selline reaalarv k, nii et | f(x) | <= k iga x A korral. 5. Perioodiline funktsioon- funktsiooni f(x) nim
kehtib võrdus f(−x) = −f(x). Perioodilised funktsioonid. Funktsiooni f nimetatakse perioodiliseks, kui leidub konstant C > 0 nii, et iga x ∈ X korral kehtib võrdus f(x + C) = f(x). Väikseimat sellist konstanti C nimetatakse funktsiooni f perioodiks. Kasvavad ja kahanevad funktsioonid. Astmefunktsioon. Astmefunktsioon on funktsioon kujul y = xa, kus a on nullist erinev konstantne astendaja. Selle funktsiooni määramispiirkond, väärtuste hulk ja graafik sõltuvad oluliselt astmest a. Eksponent- ja trigonomeetrilised funktsioonid, nende määramispiirkonnad, väärtuste hulgad ja graafikud. Trigonomeetrilised funktsioonid y = sin x, y = cos x, y = tan x ja y = cot x radiaanides antud argumendiga x 4. Üksühese funktsiooni ja pöördfunktsiooni definitsioonid. Üksühene funktsioon – kujutis, mis seab igale argumendi x väärtusele oma määramispiirkonnast vastavusse ühe y väärtuse.
annaabi.ee 
