Lineaarkujutiseks nimetatakse kahe vektorruumi V ja W vahel olevat kujutist, kui on rahuldatud tingimus: f(*a+*b)=*f(a)+*f(b). Järeldused: 1) ==1, f(a+b)=f(a)+f(b) aditiivsus 2) =0 f(*a)= *f(a) homogeensus 3) =0, =0; f=0vektor (0V, 0W) Vektorruumi V korral määratud lineaarkujutust f nimetatakse selle vektorruumi V lineaarteisenduseks. Lineaarteisenduse liigid: vektori lüke, pööre, peegeldamine sirgest, korrutamine arvuga. Lineaarkujutuse vektorruumiks L nimetatakse vektorruumi, kui on rahuldatud järgnevad tingimused: Lineaarkujutust võib korrutada arvuga a*f Def: lineaarkujutise distributiivsus (f+g)*(a)=f(a)+f(g) Def: (*f)*(a)=*f(a) Öeldakse, et kujutused f ja g on võrdsed, kui on rahuldatud võrdus f(a)=g(a) f=g f+g=g+f kommutatiivsus (f+g)+h=f+(g+h) assotsiatiivsus f+=f nullkujutis f+(-f)= vastandkujutis Geomeetrilises mõttes pakuvad huvi need vektorid, mis säilitavad oma sihi teatava lineaarteisenduse korral. f(x)=*x vek...
3. Kui võrdsetest võtame ära võrdsed, siis saame võrdsed. 4. Kui mittevõrdsetele lisame võrdsed, saame mittevõrdsed. 5. Kui kahekordistame võrdsed, saame võrdsed. 6. Pooled võrdsetest on võrdsed. 7. Ühtimisse viidavad on omavahel võrdsed. 8. Terve on suurem kui osa. 9. Kaks sirget ei saa määrata ruumi. Eukleidese postulaatidest mitmed, näiteks 1. ja 5. läksid mõnevõrra modifitseeritult geomeetria hilisemate rangelt loogiliste ülesehituste aksioomidesse. Kolmemõõtmeline eukleidiline ruum ehk tasane kolmruum on vektorruum, mida enamasti seostatakse ruumiga füüsikas. Selle ruumi elemente nimetatakse vektoriteks või täpsemalt geomeetrilisteks vektoriteks, kui neid on vaja eristada abstraktsemast vektori (ehk mis tahes vektorruumi elemendi) mõistest. Eukleidilises ruumis on antud kahe vektori skalaarkorrutis ning kaugus, vektori pikkus ja vektorite vaheline nurk. Vektorid on esitatavad kolme reaalarvulise koordinaadi abil.
ridade(veergude) elementaar teisendusi A,E ..... E, A -1 12) Lineaarne võrrandisüsteem ja selle lahendamine Crameri valemitega.! 13) Maatriksi astak. Maatriksi rea- ja veeruvektorite lineaarne sõltuvus. 14) Kronecker-Capelli teoreem. 15) Vektorite skalaarkorrutamine ja selle arvutamine. Eukleidiline vekorruum. Skalaarkorrutis on arv =a1 b 1+a 2 b 2 ...+anbn On vektorruum V,defineeritud skalaarkorrutisega.siin skalaarkorrutis on reegel,mis on 2 vektori vastavuse reaalarv,kasutatakse kindlaid tingimusi neid on 5.eukleidiline vektorruum defineerib pikkust ehk ja nurka vektorite vahel. 16) Cauchy-Bunjakovski võrratus. Põhilised meetrilised suurused: vektori pikkus, ühikvektor, kahe vektori vaheline nurk. b 2 2 b 2
EinsteiniFriedmanni kosmoloogia Click to edit Master subtitle style 04.04.10 Küsimused Mille poolest erineb kõver ruum tasasest (eukleidilisest) ruumist? Milline võib olla mittestatsionaarse mudeli areng? Kuidas sõltub mittestatsionaarse mudeli areng Hubble'i konstandist? Mis on kosmoloogiline horisont? Milline on Universumi praegune temperatuur? Milline oli ta minevikus? Kõver ja Eukleidiline ruum Einsteini järgi on ruum kõver ja positiivne ehk meenutab kera Eukleidese 5. aksioom ei kehti Kaht täpselt ühesugust sirget ei ole kõvera ruumi käsitluses Kõver ja Eukleidilineruum Milline võib olla mittestatsionaarse mudeli areng? Mittestatsionaarne mudel on praegu tunnnustatud universumi mudel Sai alguse ülikuumast ja tihedast massist Universum hakkas tekkima (Suur Pauk) Paisus, tänaseks on selgunud, et see
Kui on XA=B siis korrutatakse parema poolega maatriksi ,et leida lahendust on vaja transponeerida võrrandit. 21. Afiinse ruumi mõiste,kordinaadid afiinses ruumis. Afiinne ruum-A=(V,P) paar (V-vektorruum,P-hulk).elemente nim puktideks. a)igale kahele punktile A, BP vastab parajasti üks vektor V b)iga punkti AP ja vektori V korral leidub parajasti üks punkt B P nii, et = ; c)iga kolme punkti A, B, CP korral kehtib võrdus kordinaadid- 22. Eukleidiline vektorruum ja selle defineeritavad mõisted ( skalaarkorrutis,vektori pikkus,nurk vektoritevahel) On vektorruum V,defineeritud skalaarkorrutisega.siin skalaarkorrutis on reegel,mis on 2 vektori vastavuse reaalarv,kasutatakse kindlaid tingimusi neid on 5.eukleidiline vektorruum defineerib pikkust ehk ja nurka vektorite vahel. 23. Ortogonaalsed vektorite süsteemid. On eukleidilises vektoriruumis V.ortogonaalsed vektorin on lineaarselt sõltumatud.ühik
Skalaar on suuna ja sihita füüsikaline suurus. Mõlemal on olemas arvuline väärtus. Skalaari puhul muutub miinusmärgiga korrutades suuruse väärtus positiivsega võrreldes vastupidises, vektori puhul miinus ühega korrutades pikkus jääb samaks, aga aeg muutub vastupidiseks. Vektoriaalsed suurused on nt kiirus ja jõud. Skalaarsed suurused on nt aeg, pikkus, mass, temperatuur. 2. Kirjelda eukleidilist ruumi, labotsevski ruumi ja reimani ruumi. Eukleidiline ruum ehk kolmemõõtmeline ruum- Kõige keerulisem ruum, mida inimesed enda ümber tajuvad. Üles-alla, paremale-vasakule, ette-taha. Labotsevski ruum- Labotsevski tegi geomeetria, milles väidab ruumi kõverana ja et paralleelsed sirged lõikuvad lõpmatuses. Reiman arendas edasi Labotsevski teooriat, tänapäeva füüsikas on maailmaruumi kirjeldamises kasutusele võetud tema n-mõõtmelise kõvera ruumi teooria. 3. Kuidas sõltub aeg liikumiskiirusest ja gravitatsioonist?
. ; n - 1: Tehted kompleksarvudega algebralisel ja trigonomeetrilisel kujul. Kompleksarvude juurimine ja juurte graafiline kujutamine. Piirkondade kujutamine komplekstasandil. Vektorruum Vektorruumi mõiste. Aritmeetiliste ja geomeetriliste vektorite vektorruum. Vektorite lineaarne sõltuvus ja sõltumatus Vektorite lineaarse sõltuvuse ja sõltumatuse definitsioonid. Vektorite hulga lineaarse sõltuvuse tarvilik ja piisav tingimus. Vektorruumi baas ja mõõde. Vektori koordinaadid. Eukleidiline vektorruum Vektorite skalaarkorrutis. Cauchy-Bunjakovski võrratus. Ühikvektor, kahe vektori vaheline nurk. Meetriline maatriks, vektorite skalaarkorrutise leidmine analüütilisel kujul. Ortogonaalsete vektorite süsteemid Ortogonaalsete vektorite süsteemide lineaarne sõltumatus. Ristbaas. Suunakoosinused. Vektorite vektorkorrutis ja segakorrutis Vektorite vektorkorrutise mõiste, arvutamine, omadused ja geomeetriline tähendus. Vektorite segakorrutise mõiste, arvutamine, omadused ja
konspektis toodud näiteid ja väikeses kirjas olevaid osi. 1. Mitmemõõtmeline ruum. Punktid ja nende koordinaadid. Kaugus ja selle omadused. Polaarkoordinaadid ja nende seosed ristkoordinaatidega. 2. Parameetrilised jooned mitmemõõtmelises ruumis. Vektori parameetrilised võrrandid. Vektori pikkus ja koordinaadid. Mitmemõõtmeline ruum kui afiinne ruum. Samasuunalised ja vastassuunalised vektorid. Vektorite skalaarkorrutis. Mitmemõõtmeline ruum kui eukleidiline ruum. Cauchy- Schwartzi võrratus. 3. Lahtised ja kinnised kerad. Punkti ümbrus. Sise- ja rajapunktid. Lahtised ja kinnised hulgad. Sidus hulk. Tõkestatud hulk. 4. Mitmemõõtmelise muutuva suuruse mõiste. Suuruse muutumispiirkond. Mitmemuutuja funktsiooni mõiste. Funktsiooni argument, sõltuv muutuja ja määramispiirkond. Mitmemuutuja funktsiooni graafik. Kahemuutuja funktsiooni graafiku geomeetriline sisu ja omadused. 5
.. + anbn 3. V = Rn; c1, ..., cn >= 0; * = ciaibi = c1a1b1 + ... + cnanbn 4. V - suvaline n-mõõtmeline vektorruum (üle R); B - fkseeritav baas; = (a1; ...; an)B; = (b1; ...; bn)B; * = aibi 5. V = C[a;b]; f,gV; f(x), g(x); f*g = ab f(x)g(x)dx 25. Eukleidilise vektorruumi ja eukleidilise ruumi defnitsioon. Eukleidilises ruumis defneeritavad mõisted. Vektorruumi V koos temas fkseeritud skalaarkorrutisega nimetatakse eukleidiliseks vektorruumiks. Afinset ruumi A = (V,P), milles V on eukleidiline vektorruum, nimetatakse eukleidiliseks ruumiks. Eukleidilise ruumi A = (V,P) mõõtmeks nimetatakse vektorruumi V mõõdet. Eukleidilises ruumis defneeritavad mõisted: 1. vektori pikkus |||| = sqrt(*) 2. punktide A ja B vaheline kaugus (A, B) = ||vektor(AB)|| 3. vektorite ja vaheline nurk ; cos() = (*) / (||||*||||) 4. ristseis ehk ortogonaalsus 5. ortonormaalne baas 26. Vektori pikkus ja selle omadused (tõestustega). vektori pikkus |||| = sqrt(*) Eksisterib skalaarkorrutise 1
gravitatsiooniväljas või kiirendusega liikuvas taustsüsteemis. Teooria matemaatiliseks väljenduseks võttis Einstein abiks kõvera aegruumi mõiste. Kõveras aegruumis ei ole lühimaks teeks kahe punkti vahel mitte sirge nagu tasases (eukleidilises) ruumis, vaid kõver geodeetiline joon. Mass kõverdab ruumi ja valguskiir järgib seda kõverust. Vabalt langevad objektid liiguvad mööda kõvera ruumi geodeetilisi jooni. Et eukleidiline geomeetria ei sobi kõvera aegruumi kirjeldamiseks, võttis Einstein abiks erilise kõverate ruumide geomeetria, mille lõi Bernhard Riemann. Üldrelatiivsusteooriast tulenevad ennustused on vaatlustega kinnitust leidnud. Seni lahendamata vastuolud esinevad aga üldrelatiivsusteooria ja kvantmehaanika vahel. Relatiivsusteooria revideerib klassikalise füüsika arusaamu ajast ja ruumist.
“Kolmnurga sisenurkade summa on suurem kui kaks täisnurka”. Seega pole eukleidilise geomeetria otsustuste subjekti ja predikaadi seosed loogiliselt paratamatud, vaid neid loogilisi subjekte saab ilma vasturääkivusse sattumata siduda ka teiste predikaatidega. Kant oli matemaatika uusimate arengutega väga hästi kursis. Üks esimesi mitte-eukleidilise geomeetria esindajaid oli tema sõber Johann Friedrich Lambert. Sellele vaatamata ei loobunud Kant veendumusest, et üksnes eukleidiline geomeetria on tõene. Seda sellepärast, et Eukleidese geomeetria ruumi-käsitlusele toetus Newtoni füüsika. Kanti jaoks oli matemaatika seos loodusteadusega olemuslik. Matemaatika ilma loodusteadusliku rakenduseta, niiöelda puhta matemaatikana, oli tema silmis mõttetu. Nii jäävad ka mitte-eukleidilised geomeetriad, vaatamata nende mitte-vastuolulisusele, Kanti silmis mõttetuteks, kuna tema hinnangul ei ole sellised geomeetriad empiiriliste kaemustega ühendatavad.
kuju, näiteks valgusosakesed. (Liivo, Taivo, 2009. Albert Einsteinist. Akadeemia, 21. Aastakäik, nr 12, lk 2220-2225) Veel enam väidab Einstein oma relatiivsusteooriaga, et raskus ja inerts on tegelikult üks ja sama nähtus, mis ei olene mitte keha enda omadustest, vaid teda ümbritseva ruumi iseärasustest, ja et gravitatsioon on seotud ruumi kõverdumisega. Seega ei saa gravitatsiooniväljas geomeetria olla eukleidiline ja gravitatsiooni ennast võib vaadelda kui kõrvalekaldumist Eukleidese geomeetriast. Ruum pole homogeenne, vaid selle geomeetriline struktuur sõltub massi jaotusest. Seda arvesse võttes on aga gravitatsiooni mõju geomeetriale Maal nii väike, et geomeetria ebatäpsust on peaaegu võimatu kindlaks teha. (Liivo, Taivo, 2009. Albert Einsteinist. Akadeemia, 21. Aastakäik, nr 12, lk 2225-2228) Üldjuhul aga valitseb ruumis mitteeukleidiline geomeetria, milles ruumi kõverus on see, mis
terveid põldusid või eraldisi (vektorkaart), valdav enamus klassifitseerimislgoritme töötab siiski pikslitega. Klassifitseerimine õpetava valimiga: valitakse informatsioonilised klassid, leitakse igale klassile tugi- või õpetuspiirkonnad (digitize). Õpetuspiirkonda kuuluvate pikslite koguarv peaks reeglina olema suurem kui kümnekordne kasutatavate spektraalkanalite arv. Klassifitseerimise aluseks on tavaliselt kauguse mõiste vastavas spektraaltunnuste ruumis. Eukleidiline kaugus, normeeritud eukleidiline kaugus, vektorite vaheline nurk e spektraalne nurk (koosinus), Jeffreys-Matsusita kaugus.. klassifitseerimise meetodid, idrisis MINDIST lähima keskväärtuse meetod, PIPED risttahuka meetod; MAXLIKE .. Ilma õpetava valimita cluster, isoclust Õpetava valimiga Maxlike, neural net Pehme e ähmane fuzzy Idrisi paketi klassifitseerimisalgoritmid cluster, isodata, isoclust, kmeans (õpetava valimita) Maxlike õpetava valimiga.
ruumi punktid. Kui muutuja t jookseb l¨abi kogu l~oigu [T1 , T2 ], siis t-le vastav punkt kujundab ruumis Rm punktihulga, mida nimetatakse jooneks. V~orrandeid (6.2) nimetatakse selle joone parameetrilisteks v~ orranditeks ja muutujat t selle joone parameetriks. 2) Vektorid mitmemõõtmelises ruumis. Punkti kohavektor. Vektori suunaline sirge ja selle parameetrilised võrrandid. Vektorite skalaarkorrutis. Mitmemõõtmeline ruum kui eukleidiline ruum. Cauchy-Schwartzi võrratus. Teljed mitmemõõtmelises ruumis. Olgu antud 2 punkti A = (a1 , a2 , . . . , am ) ja B = (b1 , b2 , . . . , bm ) ruumis Rm . Vaatleme punktist A punkti B suunatud sirgl~oiku. See on punktide P = (x1 , x2 , . . . , xm ) hulk, mille koordinaadid xi rahuldavad parameetrilisi v~orrandeid x1 = a1 + (b1 - a1 )t x2 = a2 + (b2 - a2 )t
2.3 N¨aiteid 19
40 x + y ≤ x + y iga x, y ∈ X korral (nn. kolmnurga
aksioom).
Kui defineerida d(x, y) = x − y , saame meetrika d hul-
gal X. Saadud meetrika m¨a¨arab n¨aite 2.2 p˜ohjal topoloogia
normeeritud ruumil X. Punkti x u ¨mbruste baasi moodus-
tavad lahtised kerad
B(x, r) = { y ∈ X | x−y
. . , xm). Üldiselt vastavad muutuja t erinevatele väärtustele erinevad ruumi punktid. Kui muutuja t jookseb läbi kogu lõigu [T1, T2], siis t-le vastav punkt kujundab ruumis Rm punktihulga, mida nimetatakse parameetriliseks jooneks. 2) Vektorid mitmemõõtmelises ruumis. Punkti kohavektor. Vektori suunaline sirge ja selle parameetrilised võrrandid. Vektorite skalaarkorrutis. Mitmemõõtmeline ruum kui eukleidiline ruum. Cauchy-Schwartzi võrratus. Teljed mitmemõõtmelises ruumis. · 2 punkti A = (a1, a2, . . . , a m) ja B = (b1, b2, . . . , bm) ruumis Rm.Vaatleme punktist A punkti B suunatud sirglõiku. See on punktide P = (x1, x2, . . . , xm) hulk, mille koordinaadid x-id rahuldavad parameetrilisi võrrandeid x1 = a1 + (b1 - a1)t x2 = a2 + (b2 - a2)t ...
2. Al tootmine- Alumiiniumi saadakse boksiidist. 1) Naatriumaluminaadi NaAlO2 saamine (AlO3 · nHO + 2NaOH->NaAlO + (n+1)HO); 2) Alumiiniumhüdroksiidi Al(OH)3 saamine, hüdrolüüs (NaAlO3 + 2HO-> Al(OH)3 + NaOH); 3) Kaltsineerimine-> kuumutamine vee eraldamiseks (2Al(OH)3-> Al2O3 + 3H2O); 4) Al2O3 elektrolüüs 3. Mis on tõmbamine? On traadi saamise protsess, töödeldakse külmalt, mõõtmed on täpsed, pinna kvaliteet on hea. 4. Eukleidiline sulam- 5. Soe- ja kuumsurvetöötlus- Kuumsurvetöötlus: metalli deformeerimine toimub rekristalliseerumistemperatuuri ületavatel temperatuuridel tingimustes, kus metalli plastsust taastavad deformatsiooniprotsessid jõuavad lõpuni minna. Kuumsurvetöötluse ülemine piir on määratud solidus- või intensiivse oksüdeerumistemperatuuriga. Kuumsurevtöötlemise eeliseks on võimalus deformeerida väiksemat jõudu ja deformatsioonienergiat kasutades,
. . , xm). Üldiselt vastavad muutuja t erinevatele väärtustele erinevad ruumi punktid. Kui muutuja t jookseb läbi kogu lõigu [T1, T2], siis t-le vastav punkt kujundab ruumis Rm punktihulga, mida nimetatakse parameetriliseks jooneks. 2) Vektorid mitmemõõtmelises ruumis. Punkti kohavektor. Vektori suunaline sirge ja selle parameetrilised võrrandid. Vektorite skalaarkorrutis. Mitmemõõtmeline ruum kui eukleidiline ruum. Cauchy-Schwartzi võrratus. Teljed mitmemõõtmelises ruumis. · 2 punkti A = (a1, a2, . . . , a m) ja B = (b1, b2, . . . , bm) ruumis Rm.Vaatleme punktist A punkti B suunatud sirglõiku. See on punktide P = (x1, x2, . . . , xm) hulk, mille koordinaadid x-id rahuldavad parameetrilisi võrrandeid x1 = a1 + (b1 - a1)t x2 = a2 + (b2 - a2)t ...
Kui V ei ole nullruum, siis on vektorruumis V lõpmata palju baase ja seega ka erinevaid skalaarkorrutisi. Def. 2. Vektorruumi V koos temas fikseeritud skalaarkorrutisega nimetatakse eukleidiliseks vektorruumiks. Eukleidilises vektorruumis võrdub nulliga iga vektori skalaarkorrutis nullvektoriga : = = 0 . (2) Järgnevalt olgu V mis tahes eukleidiline vektorruum. Defineerime skalaarkorrutise abil vektori pikkuse ja vektoritevahelise nurga. Def. 1. Vektori V pikkuseks nimetatakse arvu . Vektori pikkust tähistatakse . Seega 2 = ehk = .
on see, et kümme ei ole alati kahe ja viie korrutis. Veel üks näide: kui mõõtmiste käigus selgub, et millelgi, mis näib eukleidilise kolmnurgana, ei ole nurki, mille summa on 180 kraadi, siis ei ütle me, et oleme kohanud juhtumit, mis muudab kehtetuks matemaatilise propositsiooni, et eukleidilise kolmnurga kolme nurga summa on 180 kraadi. Ütleme, et ole- me valesti mõõtnud, või veelgi tõenäolisemalt, et see kolmnurk, mida mõõtsime, ei ole eukleidiline. Ja sellise protseduuri tee- me läbi kõigil neil juhtudel, kui matemaatiline tõde võib näida ümberlükatuna. Me säilitame alati ta kehtivuse, võttes kasutusele mõne teise seletuse juhtunule. Sama kehtib ka formaalloogika põhimõtete kohta. Võime tuua näiteks nn välistatud kolmanda seaduse, mis ütleb, et proposit- sioon peab olema kas tõene või väär või, teisisõnu, et on võimatu, et mingi propositsioon ja sellele vasturääkiv ei ole kumbki tõene.
Siis on vektor |a| u ¨hikvektor. T~ oestus. T~oepoolest, arvutame a 1 1 = a = |a| = 1 |a| |a| |a| 34 V. Vektorruumid 15 Schwarzi v~orratus ja vektoritevaheline nurk Karl Hermann Schwarz (1843-1921), saksa matemaatik. 15.1 Schwarzi v~ orratus Teoreem 32. Olgu V eukleidiline ruum. Siis |(a|b)| |a||b| a, b V T~ oestus. Iga R korral peab kehtima (a - b|a - b) 0. Kasutades skalaarkorrutise omadusi 1 - 3, saame (a - b|a - b) = 2 (a|a) - 2(a|b) + (b|b) 0 Kui a = o, siis v~orratus ilmselt kehtib. Olgu a = o ning v~ otame (a|b) = (a|a) Saame
. . . . . . . . . . . . . . . . . 116 13.3 Projektsioonivektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 13.4 Kohavektorid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 v SISUKORD 13.5 Eukleidiline vektorruum Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 13.6 Skalaarkorrutamine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 13.7 Vektorkorrutamine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 13.8 Segakorrutamine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
Vali üks: c. on Eukleidese paralleelide aksioom sõltumatu teistest aksioomidest ning selle saab asendada uue aksioomiga, ilma et tekiks vasturääkivusi Õige vastus! Carl Gustav Hempel'i arvates ("Geomeetria ja empiiriline teadus") Vali üks: a. on matemaatiline teoreem paratamatult tõene vaid teatud hulga postulaatide/aksioomide suhtes, millest ta deduktiivselt järeldub Õige vastus! Henri Poincare arvates ("Teadus ja hüpotees") on eukleidiline geomeetria Vali üks: b. lihtsam mitteeukleidilistest Õige vastus Juku arvutas, palju on 345 korda 20 ning sai vastuseks 6989. Pinginaaber vaatab vastust ning mõtleb: "See nüüd küll tõsi pole!" Millisest tõeteooriast lähtub pinginaaber? Õige vastus on: Tõe kooskõlateooriast. Rudolf Carnap eristas sarnaselt Immanuel Kant ile analüütilisi ja sünteetilisi väiteid. Carnapi arvates ("Füüsika filosoofilised alused") Vali üks: b
muundada binaarseteks tunnusteks (teatud seisund puudub või esineb) või arvestada ainult ühise tunnuseseisundi puudumist või esinemist. 7.1.3. Kvantitatiivsete tunnuste puhul on otstarbekas OTUde erinevust väljendada kaugusena üksteisest hüpoteetilises hulgamõõtmelises ehk hüper- ruumis (tunnusruumis), mille üksteisega mudelis risti olevateks vektoriteks on eri tunnused. Nagu juba märkisime, moodustavad OTUd selles punktide parvi. 7.1.3.1. Eukleidiline kaugus arvutatakse Pythagorase teoreemi alusel: liidetakse iga tunnuse kohta käiva kahe OTU erinevuse ruudud: Σ (xki - xkj)2 (kus k tähistab mistahes tunnust, x selle mõõtmistulemust, i ja j aga võr- reldavaid taksoneid), ja võetakse saadud summast ruutjuur. See algoritm on sama nii kahe tunnuse kui ka kuitahes paljude tunnuste puhul. Kasutatakse ka eukleidilise kauguse asemel selle ruutu. 7.1.3.2. Kui enne juurimist jagame summa kasutatud tunnuste arvuga n,
Distantsi mõõtmiseks võib kasutada erinevaid meetodeid Toomas Ruuben. TTÜ Raadio ja sidetehnika 158 instituut. 79 FPGA-de loogiline implementatsioon (Tehnoloogiast sõltuv loogiline optimiseerimine ning FPGA-de füüsiline disain, paigutus) Distantside mõõtmise meetodid Eukleidiline Manhattan Nn. Manhattan-i distants iseloomustab paremini lõplikult kujunevat distantsi ning ta on ka lihtsmini arvutatav. Puudub vajadus ruutjuure leidmiseks. Paigutamisel on kasutusel on kaks meetodit: Clustering- rühmitab sõlmed, moodustab nendest grupid Partitioning- Sõlmed jaotatkse gruppideks, tõstes vajadusel sõlmi ühest grupist teise, et vähendada gruppidevaheliste ühenduste arvu. Toomas Ruuben
13. Vektorruumi ja vektori definitsioon. Vektorruumi 5 näidet. Vektorite lineaarne kombinatsioon (näide geomeetriliste vektorite kohta). Triviaalne ja mittetriviaalne Vektorite lineaarne kombinatsioon. Lineaarselt sõltumatud ja sõltuvad vektorid. 14. Vektorruumi baasi definitsioon. Geomeetriliste vektorite baas, aritmeetiliste vektorite baas, maatriksite vektorruumi baas. Vektorruumi mõõde ehk dimensioon. Vektori koordinaadid 15. Skalaarkorrutise definitsioon vektorruumis. Eukleidiline vektorruum. Vektori pikkuse definitsioon. Vektori pikkuse 3 omadust. Vektorite vahelise nurga definitsioon. Ortogonaalsed vektorid, ortogonaalne baas, ühikvektor. Ortonormaalne baas. Skalaarkorrutise ja vektori pikkus ortonormaalse baasi järgi. 16. Vektorkorrutise definitsioon. Vektorkorrutise vektori koordinaadid. Segakorrutise definitsioon ja omadused. 17. Sirge parameetrilised ja kanoonilised võrrandid. Sirge üldvõrrand ja normaalvektor, normaalvektori
76 ÖKOLOOGIA (LTOM .01.105) KORDAMISKÜSIMUSED, kevad 2019. a. 1. Ökoloogia – aine, alajaotused; 2. Ökoloogia põhimõisted – isend (genet, kloon, ramet), populatsioon, kooslus, ökosüsteem, bioom; 3. Ökoloogilised tegurid (nende erinevad liigitused), ökoloogiline amplituud, tolerantsuskõver, ökoloogiline nišš; 4. Ökoloogiline nišš, selle graafiline kujutamine, n-mõõtmeline eukleidiline niširuum, selle teljed ehk niši dimensioonid; 5. Liebigi seadus; 6. Ressursid: radiatsioon (PAR, selle omadused ja lainepikkused), CO2, mineraalsed toitained, vesi, hapnik, C3 ja C4 taimed, CAM fotosüntees sukulentidel; 7. Tingimusfaktorid: temperatuur, kliima, pH, soolsus, bioomide asend sademete hulga ja aasta keskmise temperatuuri poolt määratud kahemõõtmelises ruumis; 8. Fenotüübilise varieeruvuse komponendid, fenotüübiline plastilisus, näited; 9
olulisemast asukoha omadusest: asukoha struktuur, ümbritsev keskkond, konkurents, liiklus, rajatise nähtavus ning ruum. (Perens, 1998, lk. 121) Teenindushoone asukoht Geograafiline Hoonete Optimeerimis- kujutis arv kriteeriumid Võrgustik Tasapind Avalik sektor Erasektor Suurlinna- Eukleidiline mõõdustik mõõdustik Üks Mitu Teenindus- Teenindus- Teenindus- maht tase ala Joonis 2. Teenindushoone asukoha määratlus. (Fitzsimmons, 1998, lk 163) 14
ja kvadriivium(quadrivium). Triiviumi alla kuulusid grammatika, dialektika (sisuliselt Aristotelese loogika,süllogistika) ja retoorika (kõnekunst) õpingud, mis tuli hilise keskaja ülikoolides bakalaureusekraadi(baccalaureus artium 'kunstide õpipoiss') saamiseks läbida. Triivium oli üldine arutlemise vahendite omandamise tase, mis eelnes igasugusele spetsialiseerunud õppele. Kvadriiviumi alla kuulusidaritmeetika (arvutamine), muusika (harmoonia, muusikateooria), geomeetria (eukleidiline geomeetria, maamõõtmine ja ka geograafia) ja astronoomia (õpetus taevastest sfääridest, tänapäevases mõttes midagi astroloogia ja kosmoloogia vahepealset), mida võib pidada juba teadusteks, mis käsitlevad maailma asju ja nende olemusi, st nende raames tegeldi teadusega toonases mõttes: füüsika, metafüüsika, teoloogia jms valdkondadega. Kvadriiviumi läbinule omistati keskaja ülikoolides magistrikraad (magister artium 'kunstide meister'), mis andis täie
6 1 Ajas rändamise teooria 1.1 Ajas rändamise füüsikalised alused 1.1.1 Sissejuhatus Järgnevalt ( ajas rändamise teooria põhiideedes ) käsitleme lihtsat kolmemõõtmelist (tava)ruumi ehk eukleidilist ( või pseudoeukleidilist ) ruumi Cartesiuse ristkoordinaadistikus ( või sfäärilistes koordinaatides ). Siin on kolmemõõtmeline (tava)ruum eranditult kõikjal eukleidiline ja aeg eranditult kõikjal alati „ühevoolavusega“. Kuid hiljem edaspidi hakkame me vaatama seda, et see tegelikult ei ole nii. Aeg ( ehk kestvus ) ei ole kõikjal ühetaoline, vaid aeg „liigub“ erinevates taust- süsteemides erinevalt. Ka ruum ei ole kõikjal eukleidiline, vaid ruum ( tegelikult ka aeg ) on näiteks massiivsete kehade ümbruses kõver. Seda näitavad meile eri- ja üldrelatiivsusteooria. Kuid miks
6 1 Ajas rändamise teooria 1.1 Ajas rändamise füüsikalised alused 1.1.1 Sissejuhatus Järgnevalt ( ajas rändamise teooria põhiideedes ) käsitleme lihtsat kolmemõõtmelist (tava)ruumi ehk eukleidilist ( või pseudoeukleidilist ) ruumi Cartesiuse ristkoordinaadistikus ( või sfäärilistes koordinaatides ). Siin on kolmemõõtmeline (tava)ruum eranditult kõikjal eukleidiline ja aeg eranditult kõikjal alati ,,ühevoolavusega". Kuid hiljem edaspidi hakkame me vaatama seda, et see tegelikult ei ole nii. Aeg ( ehk kestvus ) ei ole kõikjal ühetaoline, vaid aeg ,,liigub" erinevates taust- süsteemides erinevalt. Ka ruum ei ole kõikjal eukleidiline, vaid ruum ( tegelikult ka aeg ) on näiteks massiivsete kehade ümbruses kõver. Seda näitavad meile eri- ja üldrelatiivsusteooria. Kuid miks
kõverusest ja selle muutumisest. 7 1 Ajas rändamise teooria 1.1 Ajas rändamise füüsikalised alused 1.1.1 Sissejuhatus Järgnevalt ( ajas rändamise teooria põhiideedes ) käsitleme lihtsat kolmemõõtmelist (tava)ruumi ehk eukleidilist ( või pseudoeukleidilist ) ruumi Cartesiuse ristkoordinaadistikus ( või sfäärilistes koordinaatides ). Siin on kolmemõõtmeline (tava)ruum eranditult kõikjal eukleidiline ja aeg eranditult kõikjal alati ,,ühevoolavusega". Kuid hiljem edaspidi hakkame me vaatama seda, et see tegelikult ei ole nii. Aeg ( ehk kestvus ) ei ole kõikjal ühetaoline, vaid aeg ,,liigub" erinevates taust- süsteemides erinevalt. Ka ruum ei ole kõikjal eukleidiline, vaid ruum ( tegelikult ka aeg ) on näiteks massiivsete kehade ümbruses kõver. Seda näitavad meile eri- ja üldrelatiivsusteooria. Kuid miks
Küsimus 3 Milles ei olnud Henri Poincare ja Albert Einstein ühel meelel? Vali üks: a. Poincare arvas, et puhta geomeetria süsteemi valik on kokkuleppeline, Einsteini arvates tuleks aga puhta geomeetria süsteemi valikul arvestada vaatluste ja eksperimentide tulemustega Ei, puhtal geomeetrial pole ka Einsteini arvates mingit seost vaatluste ja eksperimentide tulemustega b. Poincare arvates kirjeldab puhas eukleidiline geomeetria füüsikalist reaalsust piisavalt täpselt, Einstein aga ei olnud sellega nõus c. Poincare arvates on füüsikalise geomeetria valik konventsionaalne, Einsteini arvates võib aga üks füüsikalise geomeetria süsteem olla teisest faktiliselt täpsem Tagasiside Õige vastus on: Poincare arvates on füüsikalise geomeetria valik konventsionaalne, Einsteini arvates võib aga üks füüsikalise geomeetria süsteem olla teisest faktiliselt täpsem. Küsimus 4
Küsimus 3 Milles ei olnud Henri Poincare ja Albert Einstein ühel meelel? Vali üks: a. Poincare arvas, et puhta geomeetria süsteemi valik on kokkuleppeline, Einsteini arvates tuleks aga puhta geomeetria süsteemi valikul arvestada vaatluste ja eksperimentide tulemustega Ei, puhtal geomeetrial pole ka Einsteini arvates mingit seost vaatluste ja eksperimentide tulemustega b. Poincare arvates kirjeldab puhas eukleidiline geomeetria füüsikalist reaalsust piisavalt täpselt, Einstein aga ei olnud sellega nõus c. Poincare arvates on füüsikalise geomeetria valik konventsionaalne, Einsteini arvates võib aga üks füüsikalise geomeetria süsteem olla teisest faktiliselt täpsem Tagasiside Õige vastus on: Poincare arvates on füüsikalise geomeetria valik konventsionaalne, Einsteini arvates võib aga üks füüsikalise geomeetria süsteem olla teisest faktiliselt täpsem. Küsimus 4
annaabi.ee 
