piirkonnas), see annab sisuliselt teisenduse, mida tuntakse kui võrrandi liikmete teisele poole võrdusmärki viimist muutes samal ajal liikmete märgid vastupidisteks; 3) võrrandi mõlemat poolt võib korrutada või jagada ühe ja sama nullist erineva arvuga või muutujat sisaldava avaldisega, mis ei võrdu nulliga muutuja ühegi väärtuse korral LINEAARVÕRRAND Lineaarvõrrand (ehk esimeseastme algebraline võrrand)- võrrand, milles tundmatu suurim astendaja (peale lihtsustamisi) on 1 ja kus ei esine tundmatuga jagamist. Iga lineaarvõrrandi saab teisendada kujule ax + b = 0 või ax = b (x on tundmatu; a ja b on arvud). Lineaarvõrrandi lahendiks on Kui a = 0 ja b 0, st. võrrand on kujul 0 x b , siis võrrandil lahendid puuduvad. Kui a = 0 ja b = 0, st. võrrand on kujul 0 x 0 , siis sobib võrrandi lahendiks mistahes reaalarv. Näide 1 3x = -9 on lineaarvõrrand
1. Kompleksarvu mõiste imaginaarosad on vastavalt võrdsed: a + ib = c + id a = c ja b = d . Võrrandite lahendamine on sundinud matemaatikuid võtma kasutusele uusi arvuhulki. Näiteks võrrandil 8 + x = 3 ei ole naturaalarvulisi lahendeid. Sellel võrrandil on aga Näide 1. Kontrollime, kas arvude 4 - 5i, -3i + 2, -6i + 4 ja 2 - 3i seas on võrdseid. Esimese ja kolmanda arvu reaalosa 4 (seega võrdsed), kuid nende arvude olemas lahend täisarvude hulgas Ä. Täisarvude hulgas ei ole lahendeid näiteks imaginaarosad (-5i ja -6i) pole võrdsed
.................................................................................6 Reaalarvud R........................................................................................................................ 6 * Rooma numbrid..................................................................................................................... 6 Reaalarvu absoluutväärtus........................................................................................................6 Reaalarvude piirkonnad............................................................................................................7 Protsentarvutus......................................................................................................................... 7 Ratsionaalavaldise lihtsustamine..............................................................................................7 Tegurdamine e. korrutiseks teisendamine..............................................................
MA1 - Reaalarvud. Võrrandid 1. Teemad Arvuhulgad N, Z, Q ja R, nende omadused. Reaalarvude piirkonnad arvteljel. Reaalarvu absoluutväärtus. Protsentülesanded. Astme mõiste üldistamine: täisarvulise ja ratsionaalarvulise astendajaga aste. N- es juur. Tehted astmete ja juurtega. Ratsionaal- ja irratsionaalavaldiste lihtsustamine. Irratsionaalsusest vabanemine. Lineaar-, ruut-, murd- ja juurvõrrandid. Võrrandite koostamine. Lihtsamate tekstülesannete lahendamine. 2. Tarkuseterad 2.1 Arvuhulgad
nullpunktist. Teineteise vastandarvude absoluutväärtused on võrdsed. 1 Ratsionaalarvude liitmine ja lahutamine: +(+a) = +a +(-a) = -a -(-a) = +a -a(+a) = -a Ratsionaalarvude korrutamine ja jagamine: (+)*(+) = + (+) : (+) = + ( - )* ( - ) = + (-):(-)=+ ( - ) * (+) = - (+) : ( - ) = - (+) * ( - ) = - ( - ) : (+) = - Kui negatiivseid tegureid on paarisarv on korrutis positiivne. Kui negatiivseid tegureid on paaritu arv on korrutis negatiivne. Kahe samamärgilise arvu jagatis on positiivne. Kahe erimärgilise arvu jagatis on negatiivne. Arvu aste: 2³=222=8 a0=1, kui a0 , st iga arv astmes 0 on võrdne ühega (kui see arv ei ole 0). 1³=1 2³=8 3³=27 4³=64 5³=125 6³=216 7³=343 8³=512 9³=729 10³=1000 20=1 21=2 22=24 23=8 24=16 25=32 26=64 27=128 28=256 29=512 210=1024 Tehted astmetega:
Kaks, kolm jne võrratust, mis sisaldavad üht ja sama tundmatut, võivad moodustada võrratuste süsteemi. Lahendada võrratuste süsteem tähendab leida nende võrratuste ühise tundmatu kõik sellised väärtused, mis rahuldavad korraga selle süsteemi kõiki võrratusi. Harilikult moodustab võrratuse (või võrratuste süsteemi) lahendite hulk ühe või mitu arvpiirkonda. Arvpiirkond võib olla : 1) vahemik ] a, b [ - kõigi ahelvõrratust a < x < b rahuldavate reaalarvude hulk, kus a ja b on mingid kindlad arvud; näiteks a = -2, b = 5 korral vahemik ] -2,5 [ on reaalarvude hulk -2 ja 5 vahel, arvud -2 ja 5 ei kuulu ise sellesse vahemikku; 2) lõik [ a, b ] - kõigi ahelvõrratust a x b rahuldavate reaalarvude hulk (seega lõik sisaldab oma otspunkte); 3) poollõik [ a, b [ , mille määrab ahelvõrratus a x < b; 4) poollõik ] a, b ] , mille määrab ahelvõrratus a < x b.
Kümnendmurde saame jagada lõplikeks ja lõpmatuteks. Viimaseid saab omakorda jagada mitteperioodilisteks (irratsionaalarvud) ja perioodilisteks (ratsionaalarvud). Perioodilised kümnendmurrud võivad olla puht- või segaperioodilised. Irratsionaalarvude hulks tähistatakse tähega I . Iga lõpmatut kümnendmurdu, mis ei lõpe numbriga 9 perioodis, nimetatakse reaalarvuks. R Q I . Reaalarvude hulk on järjestatud ja pidev. Lisaks eespool loetletud naturaalarvude omadustele (Iga a, b R korral…), mis kehtivad ka kõigile teistele, võime lisada: 6. Lahutamise seadus. Iga a, b R korral on võrrandil b x a olemas lahend x a b . a 7. Iga a, b R ja b0 korral on võrrandil bx a olemas lahend x, kusjuures x .
Kümnendmurde saame jagada lõplikeks ja lõpmatuteks. Viimaseid saab omakorda jagada mitteperioodilisteks (irratsionaalarvud) ja perioodilisteks (ratsionaalarvud). Perioodilised kümnendmurrud võivad olla puht- või segaperioodilised. Irratsionaalarvude hulks tähistatakse tähega I . Iga lõpmatut kümnendmurdu, mis ei lõpe numbriga 9 perioodis, nimetatakse reaalarvuks. R Q I . Reaalarvude hulk on järjestatud ja pidev. Lisaks eespool loetletud naturaalarvude omadustele (Iga a, b R korral…), mis kehtivad ka kõigile teistele, võime lisada: 6. Lahutamise seadus. Iga a, b R korral on võrrandil b x a olemas lahend x a b . a 7. Iga a, b R ja b0 korral on võrrandil b x a olemas lahend x, kusjuures x .
Võrrandid Võrrandi mõiste Võrrand on muutujaid sisaldav võrdus, milles üks või mitu muutujat loetakse tundmatuks (otsitavaks). Näited Ruutvõrrand: x2 2x 1 0 Trigonomeetriline võrrand: sin t cos 2t 1 Eksponentvõrrand x suhtes: e 2 x e 2 x 2a 1 lineaarne võrrand a suhtes: Juurvõrrand x ja y suhtes: x y x 2 2 xy Logaritmvõrrand: log u (2u u 2 ) 3 Võrrandi lahend Tundmatu (muutuja, otsitava) väärtust, mille korral võrrand osutub samasuseks, nimetatakse võrrandi lahendiks ehk juureks. Näide Võrrandi 2x 3 0 3 lahendiks on x , 2 kuna, asendades võrrandis sümboli x arvuga 3/2, saame samasuse : 3 23 2 3 3 3 3 0. 2 2 Võrrandi lahendite arv Võrrandil võib olla üks või mitu lahendit, kuid neid võib olla ka
1 10. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium KORDAMINE: FUNKTSIOONI GRAAFIK I Joonistel on kuue funktsiooni graafikud. Tee kindlaks, missuguste funktsioonidega on tegemist. 1 2 3 © Allar Veelmaa 2014 2 10. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium KORDAMINE: FUNKTSIOONI GRAAFIK II © Allar Veelmaa 2014 3 10
Näide 3. Lahendame võrrandi x x-2 Sellise kujuga võrrandeid tuleb sageli ette tekstülesannete lahendamisel. Ka siin leiame ühise Nimetaja ja lihtsustame avaldist: 4 4 4( x - 2) - 4 4 x - 8 - 4 4 x - 12 - = = = x x-2 x ( x - 2) x ( x - 2) x ( x - 2) . Võrde põhiomaduse järgi saame nüüd 4 x - 12 = 2, x ( x - 2) millest 2x(x2)=4x12 ehk 2x2 8x + 12 = 0, x2 4x + 6 = 0. Sellel võrrandil reaalarvulisi lahendeid ei ole, seega puuduvad lahendid ka murdvõrrandil. 1 Kõrgema astme võrrandid Lahendivalemid on tuletatud ka kolmanda ja neljanda astme võrrandite jaoks, kuid need on küllalt keerulised. Tihti on aga võimalik kõrgema astme võrrandeid lahendada korrutiseks teisendamise abimuutuja kasutamise või mõne muu võttega. Tutvume mõningate selliste võtetega.
esitada nii kahe täisarvu suhtena kui ka lõplike või lõpmatute perioodiliste 3 5 1 kümnendmurdudena. Näiteks , , . 4 1 6 Kokkuvõttes ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ. Arvu, mis avaldub lõpmatu mitteperioodilise kümnendmurruna, nimetatakse irratsionaalarvuks. Näiteks 3 , 4 + 2 . Kõigi irratsionaalarvude hulga tähis on I. Kõik ratsionaal- ja irratsionaalarvud koos moodustavad reaalarvude hulga ℝ . Seega ℚ ∪ I. = ℝ . Reaalarvude hulk on kinnine liitmise, lahutamise, korrutamise ja jagamise (v.a. jagamine nulliga) suhtes. Reaalarve saab kujutada arvtelje punktidena. Arvtelg on lõpmatu sirge, millel on valitud nullpunkt, positiivne suund ja pikkusühik. Kõigi reaalarvude ja arvtelje kõigi punktide vahel on üksühene vastavus. Reaalarvude hulga omadus: iga kahe suvalise reaalarvu vahel leidub nii ratsionaal- kui ka irratsionaalarve.
Esmalt oleks vaja tuletada meelde järgmised valemid ja reeglid: Tähega N tähistatakse naturaalarvude hulka, st. arvud, mida saame loendamise teel (1, 2, 3, …..). Vahel arvatakse ka arv 0 naturaalarvude hulka. Tähega Z tähistatakse kõikide täisarvude hulka (… -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, …) Tähega Q tähistatakse kõikide ratsionaalarvude hulka. Tähega I tähistatakse kõikide irratsionaalarvude hulka (mitteperioodilised lõpmatud kümnendmurrud). Tähega R tähistatakse kõikide reaalarvude hulka. R Q I 1) Arvu aste. a) a n a a ......... a a, kui n N n tegurit b) a a a m n m n Näide: x 8 x 5 x13 c) a m : a n a m n Näide: y 9 : y 3 y 6 d) a n b n a b n Näide: x 5 y 5 xy 5
positiivne, kui paarituarvulise astendajaga, on tulemus negatiivne. Negatiivset arvu astendades tuleb see alati sulgudesse panna: (4) 2 (4) (4) 16; aga: 42 4 4 16. algusesse eelmine slaid järgmine slaid esitluse lõpp Astendajad 0 ja 1 Astme an leidmist nimetatakse astendamiseks, arvu a astendatavaks (e. astme aluseks) ning arvu n astendajaks (ehk astmenäitajaks). Kui astendaja on 1 või 0, siis defineeritakse arvu aste nii: a1 a a 0 1, kui a 0 Näited 11 1 01 0 10 1 0,0030 1 ( ) 0 1 algusesse eelmine slaid järgmine slaid esitluse lõpp Negatiivne astendaja. Negatiivse astendajaga aste on vastava positiivse astendajaga astme
a1 x1 + a2 x2 + ... + an xn = b, (1) kus a1 , ... , an ja b on fikseeritud (antud) arvud ning x1 , ... , xn on tundmatud. http://www.hot.ee/habib/MindReader.htm Arvu b nimetatakse vaadeldava võrrandi vabaliikmeks, arve a1 , ... , an aga tema kordajateks. Näide Võrrandis 5 x + 3 y - 2 z = -4 on vabaliikmeks arv 4, kordajateks arvud 5, 3 ja 2 ning tundmatud on tähistatud tähtedega x, y ja z. Lineaarse võrrandi lahend Definitsioon Lineaarse võrrandi (1) lahendiks nimetatakse sellist tundmatute x1 , ... , xn väärtuste komplekti c1 , ... , cn , R, mis asendamisel võrrandi (1) vasakusse poolde muudavad selle samasuseks: a1 c1 + a2 c2 + ... + an cn b. Näide Võrrandi 5 x + 3 y - 2 z = -4 üheks lahendiks on x = 1, y = -1 ja z = 3, kuna antud tundmatute väärtuste asendamisel võrrandisse saame samasuse: 5·1 + 3 ·(-1) - 2 ·3 -4
Selle alglähendi (nn lähislahendi) x0 võime näiteks saada skitseerides funktsiooni f (x) graafiku. Olgu xn+1 = g (xn) (n N {0}). (1.24.3) Algoritmiga (1.24.3) oleme määranud võrrandi (1.24.1) lahendi x* lähendite jada {xn} . Teatud eeldustel funktsiooni g(x) kohta jada {xn} koondub täpseks lahendiks x , st 4 Kui x on võrrandi (1.24.1) täpne lahend, siis x* = g (x* ) . (1.24.4) Seostest (1.24.3) ja (1.24.4) järeldub, et iga n N {0} korral xn+1 - x* = g(xn) - g (x*) siis seoste (1.24.5) ja (1.24.6) põhjal saame |xn+1 - x | q |xn - x | . 5 Seega |xn - x | q |xn-1 - x | q2 |xn - x | . . . qn |x0 - x | ,
· am·an=am+n · am/an=an-n 1.10 Ruutjuur a=b, kus b0 ja b2=a · a·b=a·b · a/b=a/b · na+ma=(n+m)a · a2=|a| 1.11 Arvu n-es juur 2k-ndaks juureks mittenegatiivsest arvust a nimetatakse sellist mittenegatiivset arvu b, mille 2k-s aste on a (2k+1)ks juureks arvust a nimetatakse sellist arvu b, mille (2k+1)-ne aste on a 1.12 Juurte omadusi · Igal mittenegatiivsel reaalarvul on parajasti üks mittenegatiivne n-es juur · Negatiivsel arvul ei ole reaalarvude hulgas paarisarvulise juurijaga juurt · Igal negatiivsel arvul on reaalarvude hulgas parajasti üks negatiivne paarituarvulise juurijaga juur 4. 5. 6. 7. Juure väärtus ei muutu, kui juurijat ja juuritava astendajat jagada nende ühisteguriga või korrutada ühe ja sama nullist erineva naturaalarvuga 1.13 Juurte koondamine · Juuravaldisi, mis erinevad üksteisest ainult juure kordaja poolest või ei erine üldse, nimetatakse sarnasteks.
V kursus EKSPONENT- JA LOGARITMFUNKTSIOONID NING -VÕRRANDID EKSPONENTFUNKTSIOON Eksponentfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni, mis esitub valemina kujul y=ax kus a on positiivne ühest erinev reaalarv ning muutuja x on reaalarv. Uuri eksponentfunktsioonide omadusi graafiku põhjal avades faili lingil: http://www.allarveelmaa.com/ematerjalid/eksponent.pdf Saime teada, et eksponentfunktsiooni korral 1) positiivsusvahemik ühtib määramispiirkonnaga; 2) puuduvad nullkohad; 3) graafik läbib punkti (0;1); 4) funktsioon on kasvav, kui a ¿ 1 ja kahanev, kui 0
2007. aasta matemaatika riigieksami ülesanded koos lahenduste ja kommentaaridega 2 1. ÜLESANNE (5 punkti) Ülesannete tekstid 1 5x 1 I Antud on avaldis 2 , kus x 0 ja x . x 25 x 2 x 0 5 1) Lihtsustage see avaldis. 3 2) Arvutage avaldise väärtus, kui x 2 . Vastus andke täpsusega 10 2. 2 x 2 (9 x 2 x 0 ) 1 II Antud on avaldis , kus x 0 ja x . 1 3x 3 1)
.. , An ja b. Uue süsteemi leidmiseks tuleb süsteemi igas reas vasakul pool korrutada vastava järjekorranumbriga tundmatu veerumaatriks esimese tundmatu veerumaatriksiga, seejärel teisega jne. Paremale poole jääb vastava järjekorranumbriga tundmatu veerumaatriksi korrutis vabaliikmete veerumaatriksiga. Märkused. 1) Saame võrrandisüsteemi lahendid, kui projekteerime parema poole b veergude ruumi. 2) Kui parem pool b kuulub veergude ruumi, on Ax = b täpne lahend leitav Gaussi meetodiga. 3) TEOREEM: Normaalvõrrandisüsteemil ATA = ATb on ühene lahend, kui maatriksi A veerud on lineaarselt sõltumatud. 4) Gaussi teisenduste korral vähimruutude lahend muutub, see pole vähimruutude ülesandes lubatud. 4. Kumerad hulgad Def: Hulk QcR2 on kumer, kui kõikide punktipaaride x1,x2 jaoks kogu neid punkte ühendav sirglõik kuulub sellesse hulka. Teoreem: Kumerate hulkade Q1...Qk ühisosa on kumerhulk. Tõestus: =!!!! !
2.4 FUNKTSIOONI PIIRVÄÄRTUS. FUNKTSIOONI PIDEVUS Vaatleme funktsioone, mis on määratud valemiga y = f(x). Selliseid funktsioone võib liigitada nende määramispiirkonna järgi. Funktsioonid, mis on määratud kogu reaalarvude hulgas. Need on funktsioonid, mille väärtusi on võimalik arvutada argumendi x iga väärtuse korral. Sellised funktsioonid on lineaarfunktsioon y = ax + b, ruutfunktsioon y = ax 2 + bx + c , aga ka naturaalarvulise astendajaga astmefunktsioon y = x n . Kõigile neile on ühine see, et funktsioonide graafikud on pidevad jooned ja kogu graafiku saab joonestada ilma pliiatsit paberilt tõstmata pideva joonega. Öeldakse, et vaadeldavad funktsioonid on pidevad kogu arvteljel.
teisele poole ning seejärel tõstetakse mõlemad pooled ruutu. Näide: Ruututõstmist võib kasutada mitu korda, kui seda on juurtest lahtisaamiseks vaja. Edasi lahendatakse võrrandit nagu tavalist ruutvõrrandit. Antud näites -> Viime võrrandi ruutvõrrandi tavakujule, kust saame lahenditeks x1 = 3 ja x2 = 6, kuid kontrolli käigus selgub, et 6 ei ole sobiv lahend, seega on juurvõrrand lahendiks 3. JUURVÕRRANDIT TULEB ALATI KONTROLLIDA! Absoluutväärtus Absoluutväärtusega võrrandites on muutuja absoluutväärtuste vahel. Neid võrrandeid saab lahendada mitut moodi vastavalt sellele, kas absoluutväärtuseid on üks või mitu. 1) Kui absoluutväärtusi on võrrandis üks: Kõige lihtsam on sel juhul võrrandit lahendada, kasutades absoluutväärtuse
MAATRIKS: Maatriks nimetatakse ümarsulgudesse paigutatud reaalarvude tabelit, milles on eristatavad read ja veerud. Maatriksi mõõtmed Maatriksit, milles on m rida ja n veergu nimetatakse täpsemalt (m,n)- maatriksiks ning arvupaari (m,n) selle maatriksi mõõtmeteks. Maatriksi järk Omadus, mis esineb ainult ruutmaatriksil: Näiteks Mat(n,n) nim. n-järku maatriksiks. Maatriksi elemendid nimetatakse reaalarve, milledest maatriks koosneb. Maatriksi ja maatriksite hulga tähistused Maatrikseid tähistatakse tavaliselt suurte ladina tähtedega: A, B,..
Kui funktsiooni f rakendamisel argumentidele x1 ja x2 võrratuse märk ei muutu, st f(x1) < f(x2), siis on f kasvav hulgas D. Kui aga funktsiooni f rakendamisel argumentidele x1 ja x2 võrratuse märk muutub vastupidiseks, st f(x1) > f(x2), siis on f kahanev hulgas D. Kasvamispiirkonnas funktsiooni graafik tõuseb, kahanemispiirkonnas aga langeb. Astmefunktsioon- funktsioon järgmisel kujul y = x a ,kus a on nullist erinev konstantne astendaja. Selle funktsiooni määramispiirkond, väärtuste hulk ja graafik sõltuvad oluliselt astmest a. Eksponentfunktsioon- Eksponentfunktsioon on funktsioon järgmisel kujul: y = a astmel x , kus astme alus a on konstantne ja rahuldab võrratust a > 0. Lisaks sellele võrratusele eeldame veel, et a ei = 1, sest a = 1 korral saame konstantse funktsiooniy = 1 astmel x = 1. Eksponentfunktsiooni korral X = R ja Y = (0,). Trigonomeetrilised funktsioonid- y = sin x, y = cos x, y = tan x ja y = cot x
Lineaaralgebra elemendid. M.Latõnina 1. MAATRIKSID 1.1. Üldmõisted Definitsioon 1. Maatriksiks nimetatakse riskülikujulist arvuliste elementidega tabelit, mis sisaldab n rida ja m veergu : Lühidalt maatriksit võib tähistada erinevate sulgudega (või kahekordsete püstjoontega): A = (aij ) = [aij ] = aij , (1.1) kus i = 1,...,n on rea number, j = 1,...,m on veeru number. Arve aij nimetatakse maatriksi elementideks. Nii et esimene alumine indeks näitab, mitmendas reas asub element , ja teine alumine indeks - mitmendas veerus asub element. Maatriksi suurust saab väljendada valemiga: ridade arv x veergude arv. Antud maatriks (1.1) on suurusega n x m ja seda saab kirjutada järgmiselt : An x m või dim A = n x m (dimensioon suurus).
ühele reale (võrrandile) mingi nullist erineva arvuga korrutatud sama maatriksi mõne teise rea (võrrandi) liitmine/lahutamine Süsteemi laiendatud maatriks tuleb teisendada astmelisele kujule (treppkujule), mille abil saab otsustada süsteemi lahendavuse ja lahendite arvu üle ning leida ka kõik esialgse süsteemi lahendid. tegemist on lahenduva võrrandisüsteemiga, kui leidub vähemalt üks lahend. seejuures lahendeid on kas üks või lõpmata palju. (homogeenne kõik vabaliikmed nullid süsteem on alati lahenduv). tegemist on määratud võrrandisüsteemiga, kui lahendeid on üks. tegemist on mittelahenduva e vasturääkiva võrrandisüsteemiga, kui lahendid puuduvad. Lahendite arv: lahendid puuduvad, kui maatriksi reas ainsaks nullist erinevaks arvuks on vabaliige kui lahenduvas süsteemi tundmatud on n ja astmelisele kujule viidud maatriksi juhtelemendid on k, siis kui
1. MAATRIKSID 1.1. Üldmõisted Definitsioon 1. Maatriksiks nimetatakse riskülikujulist arvuliste elementidega tabelit, mis sisaldab n rida ja m veergu : Lühidalt maatriksit võib tähistada erinevate sulgudega (või kahekordsete püstjoontega): [ ] a = aij A = (aij ) = ij , (1.1) kus i = 1,...,n on rea number, j = 1,...,m on veeru number. Arve aij nimetatakse maatriksi elementideks. Nii et esimene alumine indeks näitab, mitmendas reas asub element , ja teine alumine indeks - mitmendas veerus asub element. Maatriksi suurust saab väljendada valemiga: ridade arv x veergude arv. Antud maatriks (1.1) on suurusega n x m ja seda saab kirjutada järgmiselt : An x m või dim A = n x m (dimensioon suurus). 3 -
Funktsioon Funktsiooni definitsioon Olgu X mingi reaalarvude hulk. Kui muutuja x igale väärtusele hulgas X vastab muutuja y üks kindel väärtus, siis öeldakse, et y on muutuja x funktsioon. Asjaolu, et üks muutuja on teise funktsioon, tähistatakse y = f (x), y = y (x), y = (x) jne. Muutujat x nimetatakse seejuures sõltumatuks muutujaks e. argumendiks. Muutujat y, mille väärtused leitakse vastavalt sõltumatu muutuja väärtustele, nimetatakse sõltuvaks muutujaks. Argumendi x väärtuste hulka, mille puhul saab määrata funktsiooni y väärtusi vastavalt eeskirjale f (x), nimetatakse funktsiooni määramispiirkonnaks. Määramispiirkonnale vastavat funktsiooni väärtuste hulka nim. funktsiooni muutumispiirkonnaks. 2 Funktsiooni esitusviise Funktsiooni esitus tabelina x x1 x2 ....... xn y y1 y2 ...... yn Funktsiooni graafiline esitusviis y
nii, et kehtib võrratus x1 < x2. Kui funktsiooni f rakendamisel argumentidele x1 ja x2 võrratuse märk ei muutu, st f(x1) < f(x2), siis on f kasvav hulgas D. Kui aga funktsiooni f rakendamisel argumentidele x1 ja x2 võrratuse märk muutub vastupidiseks, st f(x1) > f(x2), siis on f kahanev hulgas D. Kasvamispiirkonnas funktsiooni graafik tõuseb, kahanemispiirkonnas aga langeb. Astmefunktsioon- funktsioon järgmisel kujul y = x a ,kus a on nullist erinev konstantne astendaja. Selle funktsiooni määramispiirkond, väärtuste hulk ja graafik sõltuvad oluliselt astmest a. Eksponentfunktsioon- Eksponentfunktsioon on funktsioon järgmisel kujul: y = a astmel x , kus astme alus a on konstantne ja rahuldab võrratust a > 0. Lisaks sellele võrratusele eeldame veel, et a ei = 1, sest a = 1 korral saame konstantse funktsiooniy = 1 astmel x = 1. Eksponentfunktsiooni korral X = R ja Y = (0,∞). Trigonomeetrilised funktsioonid- y = sin x, y = cos x, y = tan x ja y =
· Kui D > 0, siis ruutvõrrandil on 2 erinevat lahendit. · Kui D = 0, siis on ruutvõrrandil 2 võrdset lahendit. · Kui D < 0, siis ruutvõrrandil reaalarvulised lahendid puuduvad. Kui ruutliikme kordaja on negatiivne arv, siis enne võrrandi lahendamist korrutame mõlemaid pooli arvuga (1) ja saame ruutliikme kordajaks positiivse arvu. Ruutvõrrandi lahendite õigsust tuleb kontrollida, asendades lahendid algvõrrandis. Tekstülesande korral peab lahend sobima ka ülesande sisuga. Näiteks ei saa pikkus olla negatiivne, inimeste arv saab olla ainult naturaalarv jne. Näide 14. Lahendame ruutvõrrandi 3x2 + 5x 2 = 0. Lahendus. Siin a = 3; b = 5 ja c = 2. - 5 ± 5 2 - 4 3 ( -2) - 5 ± 49 - 5 ± 7 x= = = 23 6 6 -5 -7 -5 +7 2 1
sümmeetriline 0-punkti suhtes. Kasvamis- ja kahanemispiirkond. Olgu funktsiooni maaramispiirkonna alamhulgas D kaks väärtust x1 ja x2, kus kehtib võrratus x1< x2. Kui f(x1) < f(x2), siis on funktsioon f kasvav hulgas D, graafik tõuseb. Kui f(x1) >f(x2), siis on f hulgas D kahanev ja graafik langeb. Astmefunktsioon on kujul y=xa , kus a on nullist erinev konstantne asendaja. Kui a on paaritu arv, siis X=R ja Y=R. Kui a on paarisarv, siis X=R Y=(0; ). Eksponentfunktsioon on kujul ax , kus a>0 ja ei võrdu ühega. X=R ja Y=(0; ). Trigonomeetrilised funktsioonid y = sin x, y= cos x, y = tan x ja y = cot x y = sin x : X = R, Y = [-1, 1] , y = cos x : X = R, Y = [-1, 1] , y = tan x : X = R { (2k+1)/2 * ||k Z}Y=R y = cot x : X = R {k || k Z}, Y = R. 4. Üksühene funktsioon Iga y korral funktsiooni väärtuste hulgast leidub ainult x nii, et valitud y on selle x-i kujutiseks
x1 x2 x3 xyz= y 1 y2 y3 28.arvutamise valem koordinaatides- z1 z2 z3 29.Kolmele vektoritele ehitatud rööptahukas - Vektorite a,b,c segakottutise absoluutväärtus võrdub nende vektoritele ehitatud rööptahuka ruumalaga |abc|=V rt ( a ,b , c ) 30.Maatriks- Maatriksiks nimetatakse ümarsulgudesse paigutatud reaalarvude tabelit, milles on eristatavad read ja veerud. 31.maatriksi mõõtmed-Maatriksit milles on m rida ja n veergu nimetatakse (m,n)-maatriksiks. Arvupaari (m,n) nimetatakse selle maatriksi mõõtmeteks 32.maatriksi järk- naturaalarvude paari m × n, kus m ja n on vastavalt maatriksi ridade ja veergude arvud. n rea ja veeruga ruutmaatriksi järguks loetakse lihtsalt arvu n. 33.maatriksi elemendid- Reaalarvud millest maatriks koosneb 34
võrdeline seos y = ax, pöördvõrdeline seos y ning lineaarseos ehk lineaarfunktsioon y = x ax + b. Kordame neid seoseid. Edasi vaatame ülesandeid. 1. Joonesta võrdelise seose y = 1,5x graafik ja leia selle abil muutuja y väärtused, kui x 2; 1; 0; 1; 2; 3 . Lahendus: Kõigepealt joonestame graafiku. Teame, et sirge joonestamiseks piisab kahest punktist. Võtame x = 0. Sel juhul on y = 1,5 . 0 = 0. Saime punkti (0; 0). Olgu nüüd x = 2, siis y = 1,5 . 2 = 3. Teine punkt on (2; 3). Kanname punktid koordinaatteljestikku ja ühendame. Vaatame ainult kahte punkti, kui x = 2 ja x = 3. Ülejäänud punkid jäävad iseseisvaks tööks. Kui x = 2, siis otsime x-teljelt üles väärtuse 2. Tõmbame vertikaalselt (ülevalt alla) sirge nii kaugele, kuni tuleb vastu funktsiooni graafik. Seejärel tõmbame horisontaalse (ristipidi) sirge, kuni tuleb vastu y-telg
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
