Leidsid 33 sarnast õppematerjali, mis on seotud failiga "Diskreetsed struktuurid". Need materjalid aitavad sul teemat sügavamalt mõista.
ülesan, graaf, graafi, mise, teoreem, põh, relatsioon, anded, tük, järg, ekvivalents, valikuks, päe, lahendid, järjekord, liitmis, servade, peatüki, teoreemid, isomorfism, graafid, sildarvu, peatükist, algoritm, tööaeg, ratud, õhutemperatuur, aluspuu, diskreetsed, struktuurid, samasse, sammul, kombinatsioonid, täiend, tipud, graafil„Kas A või B, 1 aga mitte mõlemad“, näiteks „Ma külvan põllule rukist või panen põllule kartulid“. Disjunktsiooni all mõistame mittevälistavat „võid“. o Implikatsioon (märk →) väljendab tingimuslikku konstruktsiooni „kui . . . , siis . . . “. Näiteks „Kui Sven terve aasta korralikult õpib, siis suudab ta kevadel eksamid hõlpsasti ära teha“ või „Kui kehtib teoreem P, siis kehtib teoreem Q“. Mõlemad laused võib kirja panna valemiga A → B. o Ekvivalents (märk ↔) tähendab matemaatikas sagedasti kasutatavat seost „parajasti siis, kui“ ehk „siis ja ainult siis, kui“. Näiteks lause „hulk X on kinnine parajasti siis, kui X ühtib oma sulundiga“ on valemkujul A ↔ B. Tehete järjekord o ¬, &, ∨, →, ↔ o vasakassotsiatiivsus: kui mitme liikme konjuktsioonis või
Lucas` arvud. [18]. Catalani arvud. [19]. Sündmused ja tõenäosus. Statistiline tõenäosus. Bernoulli suurte arvude seadus. [20]. Sõltuvad ja sõltumatud sündmused. Sündmuste summa ja korrutis. [21]. Täistõenäosuse valem. Bayesi reegel. [22]. Bernoulli valem (k katse õnnestumine katsete üldarvu n korral). [23]. Kord- ja algarvud. Algarvude jaotus, algarvulisuse kontroll, Eratosthenese sõel. [24]. Naturaalarvude kanooniline kuju. Suurim ühistegur ja vähim ühiskordne. [25]. Fermat teoreem. Pseudoalgarvud ja Carmichaeli arvud. [26]. Eukleidese algoritm. [27]. Lineaarsed diofantilised võrrandid. [28]. Täisarvude kongruentsid. Kongruentsi omadusi. [29]. Moodularitmeetika. [30]. Algarvulisuse Fermat` test. Miller-Rabini test. [31]. Graafid ja graafide omadused. Ahelad ja tsüklid graafis. [32]. Euleri graafid. Hamiltoni tsüklid. [33]. Puud. Puude omadused. [34]. Graafi vähima kaaluga aluspuud. [35]. Märgendatud puud. Puude esitamine arvuti mälus. [36]. Prüferi kood
php?id=78717 lk 14. 4) a. Valemeid ja nimetatakse samaväärseteks, kui nende tõeväärtused on võrdsed igal neis valemeis esinevate muutujate väärtustusel. b. Põhisamaväärsused. https://moodle.ut.ee/mod/url/view.php?id=78717 lk 22. c. Samaväärsuste kasutamine teisendustes seisneb valemi mingi osavalemi asendamises temaga samaväärsega. Nagu algebras, säilitab selline osavalemi asendamine ka siin samaväärsuse ka terve valemi jaoks. d. Teoreem. Iga lausearvutuse valemi jaoks leidub temaga samaväärne valem, mis ei sisalda muid tehtemärke, kui d.i. ¬, &; d.ii. ¬, ; d.iii. ¬, . e. Tõestus. Kolm ülejäänud tehet saab avaldada antud komplekti kaudu. 5) a. Ütleme, et valemitest 1, 2,..., n järeldub valem , kui igal neis valemeis esinevate muutujate väärtustusel, millel 1, 2,..., n on tõesed, on ka tõene. b. Teoreem. Valemitest 1, 2,..
Ü les anne: A ntud on hulgad A= { 1,2,3,4} j a B= A .D efineerida relats ioon aRb nii et a< = b,leida s elle relats iooni mä äramis p iirkond j a muutu mi s piirkond. R = { (a,b): a< = b} R = { (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,2),(2,3),(2,4),(3,3),(3,4),(4,4)} D om (R )= A R ange (R )= A 2. Relatsiooni esitamine (R.Palm järgi) R elats iooni võib es itada paaride loendina nagu ees pool, eriti j uhul kui paare on vähe. Teine võima lus relats ioonide es itamis eks on suunatud graaf. K as utame hulga A j a hulga B ele ment e gaafi tippudena (punktid joonis el) ja tõmb ame kaare punktis t a A punktini b B juhul kui paar (a,b) kuulub vas tavas s e relats iooni. Tule mus ena s aame graafi kus kaared viivad hulgas t A hulka B j a hulkade s ee s kaari pole N äiteks olgu hulk tähes tik A= { a,b} j a hulk B kõigi kahetähelis t e s õnade hulk, mida s aab hulga A tähtedes t koos tada B= { aa,ab,ba,bb} . Loe me, et hulga A täht j a hulga
Ü les anne: A ntud on hulgad A= { 1,2,3,4} j a B= A .D efineerida relats ioon aRb nii et a< = b,leida s elle relats iooni mä äramis p iirkond j a muutu mi s piirkond. R = { (a,b): a< = b} R = { (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,2),(2,3),(2,4),(3,3),(3,4),(4,4)} D om (R )= A R ange (R )= A 2. Relatsiooni esitamine (R.Palm järgi) R elats iooni võib es itada paaride loendina nagu ees pool, eriti j uhul kui paare on vähe. Teine võima lus relats ioonide es itamis eks on suunatud graaf. K as utame hulga A j a hulga B ele ment e gaafi tippudena (punktid joonis el) ja tõmb ame kaare punktis t a A punktini b B juhul kui paar (a,b) kuulub vas tavas s e relats iooni. Tule mus ena s aame graafi kus kaared viivad hulgas t A hulka B j a hulkade s ee s kaari pole N äiteks olgu hulk tähes tik A= { a,b} j a hulk B kõigi kahetähelis t e s õnade hulk, mida s aab hulga A tähtedes t koos tada B= { aa,ab,ba,bb} . Loe me, et hulga A täht j a hulga
= 0,1,2,... korral. T: Olgu L = L (M ), kus M = (Q , Σ, δ , Q0 , F ) ja Q = {q0 ,1 , . . . , qn }. Valime p = n. Siis sõne z = a1a2...an+1 aktsepteerimiseks peab automaat M tegema n+1 sammu. Järelikult vähemalt 1 olek peab korduma. Järelikult uw ∈ L(M), uvw ∈ L(M), uv2w ∈ L(M) jne. Keel L = {0n1n|n > 0} pole regulaarne. Sellise keele jaoks on vaja mälu. 6 Myhill-Nerode teoreem. DEF: Olgu keele L ⊆ Σ* (keel on kõigi sõnede hulga alamhulk) jaoks antud ekvivalentsiseos HL ⊆ Σ* × Σ* selline, et xHLy kehtib parajasti siis, kui iga z ∈ Σ* korral kehtib xz ∈ L yz ∈ L (iga suvalise z lisamisel x ja y sappa, kuuluvad saadud xz ja yz mõlemad keelde L või ei kuulu mõlemad). Teoreem: Keel L on regulaarne parajasti siis, kui seose HL ekvivalentsiklasside hulk on lõplik.
vaid 1 kindel element). Lõpmatut hulka nimetatakse loenduvaks, kui see on võrdvõimas naturaalarvude hulgaga. |H| on hulga võimsus ehk lõpliku hulga korral elementide arv hulgas. Lõpmatu hulga võimsus leitakse, seades tema elemendid bijektiivsesse vastavusse (üks- ühesesse) mõne tuntud võimsusega hulga (näiteks naturaalarvude hulga) elementidega. 4. Graafid. Puude esitused. Programmide esitamine puuna Mittejärjestatud ja mitteorienteeritud graaf on paar G = (A,R), kus A on tippude hulk ja kaarte hulk R on seos hulgal A. Graafi saab esitada paaride hulgana (A + R analüütiliselt, või predikaadina) või joonisena. Graafide võrdsus: Graafid G1 = (A1, R1) ja G1 = (A2, R2) on võrdsed ehk isomorfsed, kui leidub selline bijektiivne kujutus f: A1 A2 nii, et aR1b = f(a)R2f(b) Kui igale tipule a G1-st leidub tipp b G2-st, millele saab vastavusse seada samade tippude kaared ja kõik G2 tipud saavad ka kaetud.
Lineaarsed võrrandisüsteemid Lineaarne võrrand Definitsioon Lineaarse võrrandi all mõistetakse võrrandit kujul a1 x1 + a2 x2 + ... + an xn = b, (1) kus a1 , ... , an ja b on fikseeritud (antud) arvud ning x1 , ... , xn on tundmatud. http://www.hot.ee/habib/MindReader.htm Arvu b nimetatakse vaadeldava võrrandi vabaliikmeks, arve a1 , ... , an aga tema kordajateks. Näide Võrrandis 5 x + 3 y - 2 z = -4 on vabaliikmeks arv 4, kordajateks arvud 5, 3 ja 2 ning tundmatud on tähistatud tähtedega x, y ja z. Lineaarse võrrandi lahend Definitsioon Lineaarse võrrandi (1) lahendiks nimetatakse sellist tundmatute x1 , ... , xn väärtuste komplekti c1 , ... , cn , R, mis asendamisel võrrandi (1) vasakusse poolde muudavad selle samasuseks: a1 c1 + a2 c2 + ... + an cn b. Näide Võrrandi 5 x + 3 y - 2 z = -4 üheks lahendiks on x = 1, y = -1 ja z = 3, kuna antud tun
1 10. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium KORDAMINE: FUNKTSIOONI GRAAFIK I Joonistel on kuue funktsiooni graafikud. Tee kindlaks, missuguste funktsioonidega on tegemist. 1 2 3 © Allar Veelmaa 2014 2 10. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium KORDAMINE: FUNKTSIOONI GRAAFIK II © Allar Veelmaa 2014 3 10. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium REAALARVUDE PIIRKONNAD Kuna erinevates õpikutes kasutatakse reaalarvude piirkondade märkimiseks erinevaid tähistusi, siis oleks kasulik teada mõlemat varianti. Nimetus Tingimus Esimene
Seega on leitud lahendid õiged. Vastus: 11 (J 17) ja 16 (J 17) ÜLESANNE 4. Eeldan graafide joonistamisel, et tegemist on märgendamata graafiga ja samuti et tegemist ei ole multigraafiga, st kaks tippu ei saa olla omavahel seotud rohkem kui ühe kaarega. Samuti eeldan, et tipp ei saa olla iseendaga ühendatud. Iga tipu juurde märgin ka selle tipu astme, et eri graafe oleks lihtsam üksteisest eristada. 1) Alustan võimalusest, kui mul pole ühtegi serva ehk ükski graafi tipp pole teisega ühendatud. 2) 1 servaga graafi moodustamiseks on mul samuti 1 võimalus, sest 1 servaga on võimalik ühendada ainult 2 tippu ja kuna tegemist on märgendamata graafiga, siis ühendades erinevaid tippe omavahel ei saa ma uut graafi. 3) 2 serva puhul on juba 2 võimalust: saan moodustada kas 2 tipupaari või 1 tipukolmiku. (Kui arvestaksin ka multigraafe, saaksin ühendada kaks tippu omavahel kahe servaga, et mõlema tipu aste oleks 2, aga multigraafe ma ei vaata.)
süsteemi leidmiseks tuleb süsteemi igas reas vasakul pool korrutada vastava järjekorranumbriga tundmatu veerumaatriks esimese tundmatu veerumaatriksiga, seejärel teisega jne. Paremale poole jääb vastava järjekorranumbriga tundmatu veerumaatriksi korrutis vabaliikmete veerumaatriksiga. Märkused. 1) Saame võrrandisüsteemi lahendid, kui projekteerime parema poole b veergude ruumi. 2) Kui parem pool b kuulub veergude ruumi, on Ax = b täpne lahend leitav Gaussi meetodiga. 3) TEOREEM: Normaalvõrrandisüsteemil ATA = ATb on ühene lahend, kui maatriksi A veerud on lineaarselt sõltumatud. 4) Gaussi teisenduste korral vähimruutude lahend muutub, see pole vähimruutude ülesandes lubatud. 4. Kumerad hulgad Def: Hulk QcR2 on kumer, kui kõikide punktipaaride x1,x2 jaoks kogu neid punkte ühendav sirglõik kuulub sellesse hulka. Teoreem: Kumerate hulkade Q1...Qk ühisosa on kumerhulk. Tõestus: =!!!! ! Võtame 2 mistahes punkti x1,x2 Q ja moodustame: x= x1+x2Q
Mis on Diskreetne Matemaatika ? Termineid: — verbaalne esitus on mistahes info esitamine lingvistilise keele abil. " diskreetne " ≡ " mitte pidev " ehk " astmeline " — formaalne esitus on mistahes info esitamine ilma lingvistilise keele abita ehk kokkulepitud sümbolite abil. vs. " Diskreetne Matemaatika " ↔ " Pidev Matemaatika " NB! MÕTLEMINE on alati verbaalne ehk toimub mingi lingvistilise keele Diskreetne Matemaatika ei tegele reaalarvudega ega pidevate funktsioonidega. abil.
J. Kirs Loenguid ja harjutusi dünaamikast 19 4. Näiteülesanded. Näide 4.1 Masspunkt massiga 2 kg liigub sirgjooneliselt jõu F mõjul, mille algväärtus on 8 N ja mis kasvab igas sekundis 2 N võrra. Leida punkti liikumise seadus kui v0 = 0 . Lahendus Suuname x-telje piki punkti liikumissirget. Kuna siin on tegemist ühedimen- N sionaalse juhtumiga, siis kasutame diferentsiaalvõrrandi üldkuju (4.7), kus Fkx k =1 on kõigi mõjuvate jõudude projektsioonide summa x-teljele, s.t N m x = Fkx (4.15) k =1 Millised jõ
MATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE MÕISTED, VALEMID, NÄITED, ÜLESANDED LEA PALLAS I OSA SISUKORD 1. ARVUHULGAD …………………………………………………… 2 2. ARITMEETIKA ……………………………………………….…… 3 2.1 Mõningate arvude kõrgemad astmed ………………………….……. 3 2.2 Hariliku murru põhiomadus ………………………………….…….. 3 2.3 Tehetevahelised seosed ……………………………………….…….. 3 2.4 Tehted harilike murdudega ………………………………….……… 4 2.5 Tehete põhiomadused ……………………………………….……… 5 2.6 Näited tehete kohta positiivsete ja negatiivsete arvudega …….…….. 5 2.7 Näited tehete kohta ratsionaalarvudega ……………………….……. 6 2.8 Protsent ja promill ……………�
EKSAMIKÜSIMUSED 2009 1. Infoedastussüsteemi struktuurskeemid. Üksikute osade: infoallikas, kooder, edastuskanal jne ühtsed kirjeldused. Infoedastuse põhiseadused. (Slaididelt: paragrahv 1) Struktuurskeem: info allikas -> kodeerimine -> edastuskanal -> dekodeerimine -> info tarbija Info allikas edastamisele kuuluvad teatud sõnumid ajalise järjestikuse jadana, siia lisandub ideaalne vaatleja, kes saab sõnumis aru; info allikad on pidevad (elektrilised signaalid) ja diskreetsed (lõplik arv teateid, diskreetsed allikad võivad olla lihtallikad ja kahendallikad); diskreetsed lihtallikad võivad olla mäluta (üksteiele järgnevad sümbolid on teineteisest statistiliselt sõltumatud) või mäluga (sümbolid on stat. sõltuvad); diskreetsel kahendallikal on kaks võimalikku väljundsümbolit null ja üks; Kodeerimine kooder on sobituste kogu; Edastuskanal edastuskanalil on välismõjud; edastuskanal on tehniliste vahendite kogum, toimib teatud reaalses füüsikalises
𝑥1 → 𝑥2 𝑥1 𝑥2 = ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝑥1 → ̅̅̅ 𝑥2 {⊕ →} 𝑥̅ = 𝑥 → (𝑥 ⊕ 𝑥) 𝑥1 ∨ 𝑥2 = 𝑥1 → (𝑥1 ⊕ 𝑥1 ) → 𝑥2 𝑥1 𝑥2 = (𝑥1 → (𝑥2 → (𝑥1 ⊕ 𝑥1 ))) → (𝑥1 ⊕ 𝑥1 ) LISALUGEMINE GRA. AFID Graaf on objektidevaheliste seoste joonismudel. Graaf koosneb tippudest ja neid ühendavatest kaartest. Kui tippute hulk on T ja kaarte hulk K, saab graafi G esitada 𝐺 = (𝑇, 𝐾). Graafid jagunevad orienteeritud ja orienteerimata graafideks. Orienteeritud graafi kõik kaared on suunatud ja neid esitatakse nooltega. Orienteerimata graafi kõik kaared on suunamata ja neid esitatakse kahte tippu ühendava lihtsa joonega. Kaarte läbimise käigus liigutakse graafi tuppude vahel kaarte „kaudu“. Suunamata kaart saab läbida mõlemas suunas
2007. aasta matemaatika riigieksami ülesanded koos lahenduste ja kommentaaridega 2 1. ÜLESANNE (5 punkti) Ülesannete tekstid 1 5x 1 I Antud on avaldis 2 , kus x 0 ja x . x 25 x 2 x 0 5 1) Lihtsustage see avaldis. 3 2) Arvutage avaldise väärtus, kui x 2 . Vastus andke täpsusega 10 2. 2 x 2 (9 x 2 x 0 ) 1 II Antud on avaldis , kus x 0 ja x . 1 3x 3 1)
Maatriksi A astakut tähistatakse rank(A) või r(A). Def. Kui maatriksitel A ja B on ühesugused järgud ja astakud, siis nim neid maatrikseid ekvivalentseteks ja kirjutatakse A~B (omadused: 1)refleksiivuss iga A~A 2)sümmeetria A~B B~A 3)transitiivsus A~B ja B~C A~C). Astaku leidmine: tuleb maatriks elementaarteisenduste abil teisendada tereppmaatriksiks, seejärel kasutada teoreemi treppmaatriksi astakust. Kronecker-Capelli teoreem.Öeldakse, et maatriksi astak on r, kui selle maatriksi rea ja veeru elementidest saab moodustada vähemalt ühe 0-st erineva r-järku miinori ja mitte ühtegi 0-st erinevat r+1 järku miinorit. Pöördmaatriks.Kuna maatriksite korrutamine ei olnud kommutatiivne ja lisaks leidusid nullitegurid, siis ei saa rääkida maatriksite jagamisest, kuid teatud juhtudel leidub maatriksil pöördmaatriks. Def. Ruutmaatriksi A pöördmaatriksiks nim sellist matrx B, mis rahuldab tingimust AB=I=BA. Teoreem
3a 2 3a 6 a 2 3a 9a 6 a 2 3a 1 2 2 ; 3a 3a a 1 a 1 1 a 2) a 1 . a a a Kui a = 0,5, siis 1 a 1 0,5 0,5 1. a 0,5 0,5 Täisnurkse kolmnurga lahendamine Pythagorase teoreem 1. Leia täisnurkse kolmnurga 1) hüpotenuus c, kui kaatetid a = 5 cm ja b = 12 cm; Lahendus: Hüpotenuusi c arvutamiseks kasutame valemit c2 a 2 b2 ; c a 2 b2 . c 5 2 12 2 169 13. Vastus: hüpotenuus c = 13 cm. 2) kaatet a, kui hüpotenuus c = 10 cm ja teine kaatet b = 6 cm; Lahendus: Kaateti a arvutamiseks kasutame valemit c2 a 2 b2 ; a c2 b2 . a 10 2 6 2 64 8. Vastus: kaatet a = 8 cm.
Asendades z tuse Sveitsi matemaatik Gabriel Cramer (1704 -- 1752). Siinkohal sõnastame teise võrrandisse saame y = 1. Asendades leitud y ja Crameri teoreemi kolmest kolme tundmatuga lineaarvõrrandist koosneva 30 y - 18 z = -84 z väärtused esimesse võrrandisse. Saame, et x = 2. võrrandisüsteemi korral. - 8 z = -24 TEOREEM: Kolme tundmatuga lineaarvõrrandisüsteemil Kontrolli, kas arvukolmik (2; 1; 3) on ¦ a x b1 y c1 z d1 võrrandisüsteemi lahendiks. © 1 Tähelepanelik lugeja kindlasti märkas, et eelmises näites lahendati võrrandisüs- §a2 x b2 y c2 z d2 on ühene lahend (x0; y0; z0), kus
{y'(x0) = y0(1) {... (2) (n-1) (n-1) {y (x0) = y0 Lahendi olemasolu: kõrgemat järku DV lahend – funktsioon, mille asendamisel võrrandisse saame samasuse F(x, y(x), y'(x), y''(x), ..., y(n)) ≡ 0 Ɐx. Peano teoreem e. olemasolu teoreem: olgu funktsioon f pidev muutujate x, y, y', y'', ..., y(n-1) piirkonnas D, siis iga punkt x0, y0, y0(n-1) ϵ D korral on Cauchy ülesanne {(1);(2)} vähemalt 1 lahend. Cauchy teoreem e. ühesuse tingimused: olgu funktsioon f pidev piirkonnas D ning olgu tal olemas esimest järku osatuletised argumentide y, y', ..., y (n-1) järgi, mis on ka pidevad piirkonnas D. Siis iga punkti (x0, y0, ..., y0(n-1)) є D korral on Cauchy ülesandel {(1);(2)} parajasti üks lahend.
Lineaaralgebra elemendid. M.Latõnina 1. MAATRIKSID 1.1. Üldmõisted Definitsioon 1. Maatriksiks nimetatakse riskülikujulist arvuliste elementidega tabelit, mis sisaldab n rida ja m veergu : Lühidalt maatriksit võib tähistada erinevate sulgudega (või kahekordsete püstjoontega): A = (aij ) = [aij ] = aij , (1.1) kus i = 1,...,n on rea number, j = 1,...,m on veeru number. Arve aij nimetatakse maatriksi elementideks. Nii et esimene alumine indeks näitab, mitmendas reas asub element , ja teine alumine indeks - mitmendas veerus asub element. Maatriksi suurust saab väljendada valemiga: ridade arv x veergude arv. Antud maatriks (1.1) on suurusega n x m ja seda saab kirjutada järgmiselt : An x m või dim A = n x m (dimensioon suurus).
1. MAATRIKSID 1.1. Üldmõisted Definitsioon 1. Maatriksiks nimetatakse riskülikujulist arvuliste elementidega tabelit, mis sisaldab n rida ja m veergu : Lühidalt maatriksit võib tähistada erinevate sulgudega (või kahekordsete püstjoontega): [ ] a = aij A = (aij ) = ij , (1.1) kus i = 1,...,n on rea number, j = 1,...,m on veeru number. Arve aij nimetatakse maatriksi elementideks. Nii et esimene alumine indeks näitab, mitmendas reas asub element , ja teine alumine indeks - mitmendas veerus asub element. Maatriksi suurust saab väljendada valemiga: ridade arv x veergude arv. Antud maatriks (1.1) on suurusega n x m ja seda saab kirjutada järgmiselt : An x m või dim A = n x m (dimensioon suurus). 3 -
MAJANDUSMATEMAATIKA I Ako Sauga Tallinn 2003 SISUKORD 1. MUDELID MAJANDUSES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Mudeli mõiste. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Matemaatiliste mudelite liigitus ja elemendid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Matemaatilise mudeli struktuur ja sisu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2. FUNKTSIOONID JA NENDE ALGEBRA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Arvud ja nende hulgad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Funktsionaalne sõltuvus . . . . . . . . . .
ordinaadi muutu, mis vastab argumendi muudule x 18. Dif arvutuse põhiteoreeme 1)Lagrange teoree,(18 saj) Olgu meil f-n y=f(x) dif-v lõigul[a;b], siis leidub sellele lõigule punkt c, nii et f(b)-f(a)/b-a=f'(c); JOONIS! PQR:tan =QR/PR => lõikaja e(P,Q) *Teoreem väidab et leidub selline punkt, kus selle joone puutuja tõus on paralleelne selle lõikajaga(võrdne lõikaja tõusuga). Neid punkte on vähemalt üks, aga võib olla ka rohkem 2)Rolle'i teoreem: Olgu antud f-n y=f(x) dif-b lõigul[a;b], et leidub f(a)=f(b)=>siis leidub sellel lõigul vähemalt üks punkt nt c f'(c)=0; Joonis! Antud juhul lõikaja tõus on võrdne 0'ga ehk || x teljega. Leidub vähemalt üks punkt, kus joone puutuja on || x teljega 19. L'Hospitali reegel Teoreem: olgu antud f-nid y=f(x) ja y=g(x)=>dif-vad piirkonnas D nii, et lim x->a f(x)=0, limx->a g(x)=0 või limx->a f(x)= , limx->a g(x)= ja eksisteerib limx->a
17. Mis on sürjektsioon? Sürjektsioon on kõikjale määratud funktsioon. 18. Mis on injektsioon? Injektsioon on üks-ühene funktsioon. 19. Mis on bijektsioon? Bijektsioon on kõikjale määratud üks-ühene funktsioon. Bijektsioon on samaaegselt nii sürjektsioon kui ka injektsioon. 20. Mis järeldub bijektsiooni korral lähtehulga ja sihthulga võimsuste kohta? Bijektsiooni korral on lähtehulga ja sihthulga võimsused võrdsed. 21. Mis on binaarne relatsioon? Binaarne relatsioon on vastavuse erijuht, kus nii lähtehulk kui ka sihthulk on üks ja sama hulk. 22. Mis on binaarsuhte alushulk? Binaarsuhte alushulk on hulk, millel on määratud relatsioon. 23. Mis on relatsioonikriteerium? Relatsioonikriteerium on reegel, mille abil on alushulga elemendid seotud vastavuspaarideks. 24. Kas igal relatsioonil on relatsioonikriteerium alati olemas? Relatsioonil ei pea alati relatsioonikriteerium olemas olema. 25. Millised on relatsiooni esitusviisid
Võrrandisüsteemide koostamine tekstülesannete põhjal I osa © T. Lepikult, 2003 Leida kaks arvu, ülesanne 1 Ülesanne 1 Kahe arvu korrutis on 30, nende arvude summa 11. Leida need arvud. Lahendus Seda tüüpi ülesannetes vaadeldakse otsitavaid arve tundmatutena ja ülesande tingimuste põhjal tuletatakse võrrandisüsteem tundmatute leidmiseks. Tähistame esimese arvu sümboliga x ja teise sümboliga y. Tingimusest, et arvude korrutis on 30, saame esimese võrrandi: x y = 30 Ülesanne 1 (2) Lahendus jätkub ... Tingimusest, et arvude summa on 11, saame teise võrrandi: x + y = 11. Saadud kaks võrrandit moodustavad võrrandisüsteemi tundmatute x ja y määramiseks: x y = 30, x + y = 11. NB! Võrrandisüsteem ei ole lineaarne (kuna esimeses võrrandis esineb tundmatute korrutis!). See
.................................................................12 Võrrandi samaväärsus.............................................................................................................13 Lineaarvõrrand........................................................................................................................13 Ruutvõrrand............................................................................................................................13 Viete teoreem......................................................................................................................14 Biruutvõrrand..........................................................................................................................14 Murdvõrrand...........................................................................................................................14 Parameetreid sisaldav võrrand................................................................
. xim +1 jn
xim +2 jm +1 xim +2 jm +2 ... xim +2 jn
M m -n := nimetame miinori Mm täiendusmiinoriks
... ... ... ...
xinjm +1 xinjm +2 ... xinjn
Märgiga varustatud täiendusmiinorit
An-m := (-1)rMn-m, kus r := im+1 + im+2 + · · · + in + jm+1 + jm+2 + . . . jn,
nimetatakse miinori Mm algebraliseks täiendiks
Laplace teoreem Olgu X n-järku ruutmaatriks ja selliselt, et i1
mingile reale skalaarikordse mingi teise rea juurde liitmine 2. mingi rea korrutamine nullist erineva skalaariga (3. kahe rea omavaheline vahetamine) Kui maatriks B on saadud maatriksist A ridade ja veergude elementaarteisendustega, siis r(A) = r(B) Maatriksi A astaku r(A) leidmiseks teisendatakse see maariks ridade ja veergude elementaarteisendustega selliseks maatriksiks B, mille astak r(B) on maatriksi B kujust hõlpsasti leitav. (r(B) suurune ühikmaatriks, ülejäänud nullid) 21. Teoreem maatriksi astakust (tõestusega). Järeldusi sellest. Kui maatriksi A astak on k, siis maatriksil A leidub k lineaarselt sõltumatut reavektorit, millede lineaarse kombinatsioonina avalduvad kõik reavektorid. A = ||aij|| Kmxn. Olgu r(A) = k ja reavektorid 1 = (a11; a12; ...; a1n) Kn ; ...; m = (am1; am2; ...; amn) Kn => leidub k-ndat järku nullist erinev miinor M i1, ...;ikj1;...jk 0 ja kõrgemat järku miinorid on nullid. Üldsust kitsendamata võib eeldada M1,..,k1,..,k 0
ehk sümbolites: Kui A, siis B Kui ¬B, siis ¬A. Öeldakse ka, et need laused on loogiliselt samaväärsed. Näide1: Lause: ,,Kui nelinurk on rööpkülik, siis tema diagonaalid poolitavad teineteist." Pöördvastandlause: ,,Kui nelinurga diagonaalid ei poolita teineteist, siis nelinurk ei ole rööpkülik." Kehtigu teoreem: Kui A, siis B. Sel juhul öeldakse, et A on piisav tingimus selleks, et kehtiks B. Samuti öeldakse, et B on tarvilik tingimus selleks, et kehtiks A. Näide: Lause: Kui tuleb riiklik toetus, siis saame ürituse läbi viia. Riiklik toetus on piisav selleks, et üritust läbi viia. Ürituse läbiviimiseks on tarvilik, et oleks riiklik toetus. Kui koos teoreemiga (Kui A, siis B) kehtib ka pöördteoreem (Kui B, siis A), siis võetakse
Vaadeldes x-i ja p-d y funktsioonina, seejuures: Saame y-ki suhtes lineaarne Saame üldlahendi parameetrilisel kujul: (10.2) (10.1)' teisendub eralduvate muutujatega võrrandiks. Siit Teine variant võrramdist, mida saame lahendada on: (10.3) (10.3)' Sel juhul asendame . Diferentseerime mõlemad pooled x-suhtes, leiame Kus üldlahend parameetrilisel kujul (10.4) (10.3)' saame eralduvate muutujatega võrrandi: Esimest järku võrrandi lahendi olemasolu teoreem ja ühesuse teoreem. Teoreem 10.1 Vaatleme võrrandit, kus (10.5) Olgu f: f(x,y) pidev ristkülikus ja olgu täidetud Lipscitzi tingimus y-muutuja suhtes. Siis eksisteerib üksainus võrrandi (10.5) lahend: , mis rahuldab algtingimust . Lipschitsi tingimusest järeldub: . Järelikult, kui eksisteerib osatuletis , siis saame, et (tõkestatud K-ga absoluutväärtus). 11. Claeraut' ja Lagrange'i võrrandid Need võrrandid on võrrandi (10.3) erijuhud. Claeraut' võrran omab kuju: (11.1) .
., y (n) on otsitava funktsiooni tuletised. Normaalkuju: y(n) = f(x, y, y', ..., y (n-1))(2) (( F(x,y, y')=0 (1) ja y' =f(x;y) (2))) Eksaktne lahend: x0, y0, y01, ..., y0n-1, Algtingimused: nii mitu konstanti kui suur on DV järku konstant. ***{y(x0) = y0 {y'(x0) = y0(1) {... {y(n-1)(x0) = y0(n-1) ***Lahendi olemasolu : kõrgemat järku DV lahend funktsioon, mille asendamisel võrrandisse saame samasuse F(x, y(x), y'(x), y''(x), ..., y(n)) 0 x. Peano teoreem e. olemasolu teoreem: olgu funktsioon f pidev muutujate x, y, y', y'', ..., y(n-1) piirkonnas D, siis iga punkt (x0, y0, y0(n-1) ) D korral on Cauchy ülesanne {(1);(2)} vähemalt 1 lahend. Cauchy teoreem e. ühesuse tingimused: olgu funktsioon f pidev piirkonnas D ning olgu tal olemas esimest järku osatuletised argumentide y, y', ..., y(n-1) järgi, mis on ka pidevad piirkonnas D. Siis iga punkti (x0, y0, ..
annaabi.ee 
