Leidsid 33 sarnast õppematerjali, mis on seotud failiga "Diskreetse matemaatika elemendid". Need materjalid aitavad sul teemat sügavamalt mõista.
graaf, binoomkordaja, relatsioonide, graafi, kompositsioon, ühistegur, naturaalarvud, tippe, tipud, boole, maatriksite, eksam, binoomkordajad, tuletatud, eelmine, graafid, paarisarv, teatava, formuleerida, transitiivne, selliseltHulkade võrdsus o DEF: Kahte hulka A ja B loetakse võrdseteks ja kirjutatakse A = B, kui hulgad A ja B koosnevad samadest elementidest: A = B ⇔ ∀x [x ∈ A ⇔ x ∈ B]. Tühi hulk o DEF: Tühjaks hulgaks e. tühihulgaks nimetatakse hulka, mis ei sisalda ühtegi elementi. Tühja hulka tähistatakse sümboliga ∅. ∅ = { x| x ≠ x }. 13. Põhilised arvuhulgad: N, Z, Q, R, C, reaalarvude intervallid. [3, 4, 5] Põhilised arvuhulgad o N = {1, 2, 3, …} naturaalarvud e positiivsed täisarvud o Z = {..., 2,1, 0, 1, 2, …} täisarvud o Q = {q | q=m/n, m∈Z, n∈N} ratsionaalarvud o R = reaalarvud o C = {z | z=x+iy; x,y∈R, i2=1 Reaalarvude intervallid 11 o lõik [a, b] = {x | x∈R, a ≤ x ≤ b}, o vahemik (a, b) = {x | x∈R, a < x < b} o poollõik (a, b] = {x | x∈R, a < x ≤ b} o poollõik [a, b) = {x | x∈R, a ≤ x < b} 14. Alamhulk. Ülemhulk. Pärisalamhulk
Üldliikme valem ja rakendused. [17]. Lucas` arvud. [18]. Catalani arvud. [19]. Sündmused ja tõenäosus. Statistiline tõenäosus. Bernoulli suurte arvude seadus. [20]. Sõltuvad ja sõltumatud sündmused. Sündmuste summa ja korrutis. [21]. Täistõenäosuse valem. Bayesi reegel. [22]. Bernoulli valem (k katse õnnestumine katsete üldarvu n korral). [23]. Kord- ja algarvud. Algarvude jaotus, algarvulisuse kontroll, Eratosthenese sõel. [24]. Naturaalarvude kanooniline kuju. Suurim ühistegur ja vähim ühiskordne. [25]. Fermat teoreem. Pseudoalgarvud ja Carmichaeli arvud. [26]. Eukleidese algoritm. [27]. Lineaarsed diofantilised võrrandid. [28]. Täisarvude kongruentsid. Kongruentsi omadusi. [29]. Moodularitmeetika. [30]. Algarvulisuse Fermat` test. Miller-Rabini test. [31]. Graafid ja graafide omadused. Ahelad ja tsüklid graafis. [32]. Euleri graafid. Hamiltoni tsüklid. [33]. Puud. Puude omadused. [34]. Graafi vähima kaaluga aluspuud. [35]. Märgendatud puud
f(X) = Y ehk kui igal elemendil hulgast Y leidub originaal. c. Funktsiooni f : X Y nimetatakse bijektiivseks ehk üksüheseks vastavuseks, kui ta on injektiivne ja sürjektiivne ehk kui igal elemendil hulgast Y leidub parajasti üks originaal. d. Bijektiivse funktsiooni f : X Y pöördfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni f -1 : Y X, mis seab igale y Y vastavusse sellise elemendi x X, mille korral f(x) = y. 21) Relatsioonide esitusviisid: a. Loend: definitsiooni järgi on relatsioon paaride hulk. Kui see hulk on lõplik, siis saab teda esitada elementide (so paarida) loendina. Nt, vaatleme neljaelemendilisel hulgal X = {1, 2, 3, 4} määratud relatsiooni R, mis kehtib kahe arvu x ja y vahel parajasti siis, kui nende arvude sõnalises kujus ei leidu ühist tähte (,,sõltumatud arvud"). Lihtne on üle kontrollida kõik arvupaarid ja
2ndsüsteemist 8nd või 16ndsüsteemi teisendamiseks tuleb jagada 2ndarv vastavalt järkude kolmikuks ( ) või nelikuks ( ) ning need teisendada soovitavasse arvusüsteemi. | | | | | | | 8ndarvu 16ndsüsteemi või 16ndarvu 8ndsüsteemi teisendamiseks tuleb arv teisendada kõigepealt 2ndsüsteemi ja seejärel soovitavasse arvusüsteemi. 24. Millised arvud on naturaalarvud? Naturaalarvud on mittenegatiivsed täisarvud ( ). 25. Millised arvud on algarvud? Algarvud on naturaalarvud, mis jaguvad ainult 1 või iseendaga. 26. Millised murdarvud on ratsionaalarvud? Ratsionaalarvud on sellised murdarvud, mis esituvad kahe täisarvu jagatisena. Ratsionaalarvud on lõpliku või lõpmatu perioodilise murdosaga murdarvud. Kahendkoodid 1. Mis on kahendvektor? Mis on kahendvektori pikkus? Kahendvektor on kahendnumbritena 0 ja 1
A B 5) Ühisosa hulk, mille elementideks on kahe(või enama) hulga kõik ühised elemendid. AB 6) Loetelu hulga elementide loetelu. 2. Juurde ja mahaarvutamise valem. 1) Elimineerimismeetod. 2) Nende esemete arvu leidmiseks, millel pole ühtegi nimetatud omadust, tuleb kogu arvust lahutada nende esemete arv, millel on paaritu arv omadus ja seejärel liita nende esemete arv, millel on paarisarv omadusi. 3. Naturaalarvud. 1) Omadused. a) a+b=b+a a, b liitmise kommutatiivsus(vahetuvusseadus) b) ab=ba a, b korrutamise kommutatiivsus c) a + (b + c) = (a + b) + c a, b, c liitmise assotsiatiivsus(ühenduvusseadus) d) a (b c) = (a b) c a, b, c korrutamise assotsiatiivsus
ühisosa, täiend. Minimaalne Cantori normaalkuju on lihtsaim CNK. Täielik CNK on normaalkuju, mille iga avaldise osa sisaldab kõiki hulki. MCNKst saab TCNK kleepimisseaduse abil. Ristkorrutis on kahe hulga elemendite paaride koostamine. Järjestatud paare esitatakse loogsulgude vahel. Otseruut on hulga ristkorrutis iseendaga. Korteežid on järjestatud paarid, kolmikud, nelikud jne. Graafid: Graaf on objektide vaheliste seoste mudel. Graaf koosneb tippudest ja kaartest. Orienteeritud graafis saab ühest tipust teise minna ainult noolega suunatud kaare mööda. Orienteerimata graafil saab liikuda mistahes suunas kaarel. Tühi graaf on graaf, kus ühegi tipu vahel ei ole ühtegi kaart. Täielik graaf on graaf, kus iga tipp on seotud iga teise tipuga. Väljundaste on tipust väljuvad kaared.
kuulub [b]. Siit nähtub, et [b] on alamhulgaks [a]-le. Analoogselt tõestame, et [a] on alamhulgaks [b]-le. Kui not(aRb), eeldame vastuväiteliselt, et eksisteerib y, mis kuulub korraga nii [a] kui [b]. ehk aRy ja bRy. Sümmeetria tõttu yRb, millest transitiivuse alusel aRb, mis on vasutolus esialgse väitega. Voila! Relatsiooni aste: R on seos hulgal A. R aste Rk on (aR1b = aRb; aR2b, kui aRcRb) aRkb (k>1) on selline relatsioonide järjestus, et (kui c kuulub A) aRc = cR k-1b. Suhete ahel. Tee pikkus elementide vahel graafis. Relatsiooni transitiivne sulund: R on seos hulgal A. R transitiivne sulund on seos R + hulgal A nii, et aR+b kehtib parajasti siis, kui eksisteerib i >= 1 nii, et aRib. Transitiivne sulund on R-le lisatud vähima paaride arvuga seos, mis on transitiivne. Relatsiooni refleksiivne transitiivne sulund: R on seos hulgal A. R refleksiivne transitiivne sulund on seos R *, mille korral:
1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 0 G= 0 1 1 0 0 1 H= 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 0 Lahendus. Joonistades välja graafide täiendid, leiame, et graafi G täiend on tsükkel tippudega 1, 4, 5, 3, 2, 6 ning graafi H täiend on tsükkel tippudega 1, 2, 5, 4, 3, 6. Et kaks sama tippude arvuga tsüklit on isomorfsed, siis on ka graafid G ja H isomorfsed. Üks isomorfism on näiteks bijektsioon , mis teisendab graafi G tipud graafi H tippudeks järgmisel viisil: (1) = 1, (2) = 3, (3) = 4, (4) = 2, (5) = 5, (6) = 6. Materjal õpikus. Lk 5759 (graafide isomorfism). Lk 62, ülesanded 3741. Ülesanne 4
Aritmeetiliseks keskmiseks nimetatakse arvu, mis saadakse antud arvude summa jagamisel liidetavate arvuga. Näide 1. On antud arvud 3, 4, 5 ja 6. Leiame nende arvude aritmeetilise keskmise. 1) Leiame summa: 3 + 4 + 5 + 6 = 18. 2) Jagame summa liidetavate arvuga 18 : 4 = 4,5. Seega nende arvude aritmeetiline keskmine on 4,5. Lahendamiseks sobib ka avaldis (3 + 4 + 5 + 6) : 4. Arvkiir on kiir, mille alguspunktis on märgitud arv 0. Edasi on vabalt valitud ühiklõikude kaugusel järgmised naturaalarvud kasvavas järjekorras. Arvkiirt võime vajaduse korral pikendada kuitahes kaugele. Absoluutväärtus on positiivse arvu ja nulli korral arv ise ning negatiivse arvu absoluutväärtuseks on selle arvu vastandarv. Arvu absoluutväärtus on seda arvu arvteljel kujutava punkti kaugus nullpunktist Arvu kordsed on kõik need arvud, mis antud arvuga jaguvad. Näide. 16 ja 36 on arvu 2 kordsed, sest nad jaguvad 2-ga 16 : 2 = 8 36 : 2 = 18 Kõik mingi arvu kordsed jaguvad selle arvuga.
Tingimuseks on enamasti mingi max või min väärtuse leidmine ja vastavalt on ka tehtud valikufunktsioon. 2.2.1 Nõrgad küljed: • Ei anna alati vastuseks optimaalset tulemust ja kui tulemus on ka optimaalne, on seda väga raske tõestada. 2.2.2 Tugevad küljed: • Paljudel juhtudel on teda kergem koostada • Töötab kiiremini kui DP algoritm Optimiseerimise juures on vajalikud teatud tingimused: 1. Kandidaatide hulk (graafi tipud, teede pikkused, rahatähtede suurused...) 2. Valitute hulk, mis või kes on juba kasutatud (sobivaks tunnistatud, tagasi antud rahatähed, läbitud graafi tipud...) 3. Eeldatav lahendus, otsitav summa vms, mille järgi saab otsustada, kas välja valitud kandidaadid moodustavad lahendused (ei pruugi olla optimaalne) 4. Jätkamise näitaja, mille järgi saab otsustada, kas kandidaatide hulka saab suurendada, et lahendust leida. 5
(leia m-s number m-kohalisest koodist), siis leidub iga m-kohalise funktsiooni f jaoks samasse klassi kuuluv ühekohaline esindaja g. T: Kui f, cm,c1m,…,cmm ∈ F, siis kuulub klassi F ka g(n) = f (c1m(n),…,cmm(n)) iga n = cm(x1,...,xm) korral. 21 Rekursiivsete funktsioonide arvutatavus. vt punkt 18 lõpp 22 Ühekohaliste funktsioonide arvutatavus. Gödeli numbrid. Operaatorid ühekohaliste esindajate genereerimiseks: • summa: h = f + g ∀n[ h(n) = f(n)+g(n) ] • kompositsioon: h = f ◦ g ∀n [ h(n) = f(g(n)) ] • pööramine: h = f −1 ∀n[ h(n) = μz [f(z)−n] ] • iteratsioon: h = ιf ∀n[ h(n) = fn(0) ], kus n > 0 DEF: Funktsiooni h teatud formaalses keeles esitatud kirjeldusele vastavusse seatud unikaalset naturaalarvu Gh nimetatakse selle funktsiooni Gödeli numbriks. Teoreem: Kõik ühekohalised lihtrekursiivsed funktsioonid on genereeritavad elementaarfunktsioonidest
eemaldamise puhul vajadus abiviida järele; viidad peaks jooksma tagurpidi, et saaks ka elemente eemaldada algusest). 8. Puu. Üldine puu. Kahendpuu. Järjestatud ja järjestamata puu. Puuga seotud mõisted. Puude ülesmärkimine sulgavaldisena ja Dewey kümnendesitusena. Puu läbimise järjekorrad (pre-, post- ja inorder). Puu realiseerimine arvutis. Puu – Mittelineaarne andmestruktuur; üks või mitu tippu; teistest erinev tipp ehk juur; teised tipud jagunevad alampuudeks. Üldine puu – mittelineaarne andmestruktuur, mis koosneb tippudest & kaartest. Andmed paigutatakse tippudesse. Kahendpuu – igal tipul max. kaks alampuud; range vahe vasak- ja parempoolsel alampuul. Järjestatud puu – ühe tipu järglaste järjestus on oluline; räägitakse esimesest, teisest, kolmandast pojast. Järjestamata puu – tipu järglaste järjestus ei ole oluline.
Ü les anne: A ntud on hulgad A= { 1,2,3,4} j a B= A .D efineerida relats ioon aRb nii et a< = b,leida s elle relats iooni mä äramis p iirkond j a muutu mi s piirkond. R = { (a,b): a< = b} R = { (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,2),(2,3),(2,4),(3,3),(3,4),(4,4)} D om (R )= A R ange (R )= A 2. Relatsiooni esitamine (R.Palm järgi) R elats iooni võib es itada paaride loendina nagu ees pool, eriti j uhul kui paare on vähe. Teine võima lus relats ioonide es itamis eks on suunatud graaf. K as utame hulga A j a hulga B ele ment e gaafi tippudena (punktid joonis el) ja tõmb ame kaare punktis t a A punktini b B juhul kui paar (a,b) kuulub vas tavas s e relats iooni. Tule mus ena s aame graafi kus kaared viivad hulgas t A hulka B j a hulkade s ee s kaari pole N äiteks olgu hulk tähes tik A= { a,b} j a hulk B kõigi kahetähelis t e s õnade hulk, mida s aab hulga A tähtedes t koos tada B= { aa,ab,ba,bb} . Loe me, et hulga A täht j a hulga
Ü les anne: A ntud on hulgad A= { 1,2,3,4} j a B= A .D efineerida relats ioon aRb nii et a< = b,leida s elle relats iooni mä äramis p iirkond j a muutu mi s piirkond. R = { (a,b): a< = b} R = { (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,2),(2,3),(2,4),(3,3),(3,4),(4,4)} D om (R )= A R ange (R )= A 2. Relatsiooni esitamine (R.Palm järgi) R elats iooni võib es itada paaride loendina nagu ees pool, eriti j uhul kui paare on vähe. Teine võima lus relats ioonide es itamis eks on suunatud graaf. K as utame hulga A j a hulga B ele ment e gaafi tippudena (punktid joonis el) ja tõmb ame kaare punktis t a A punktini b B juhul kui paar (a,b) kuulub vas tavas s e relats iooni. Tule mus ena s aame graafi kus kaared viivad hulgas t A hulka B j a hulkade s ee s kaari pole N äiteks olgu hulk tähes tik A= { a,b} j a hulk B kõigi kahetähelis t e s õnade hulk, mida s aab hulga A tähtedes t koos tada B= { aa,ab,ba,bb} . Loe me, et hulga A täht j a hulga
𝑥1 → 𝑥2 𝑥1 𝑥2 = ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝑥1 → ̅̅̅ 𝑥2 {⊕ →} 𝑥̅ = 𝑥 → (𝑥 ⊕ 𝑥) 𝑥1 ∨ 𝑥2 = 𝑥1 → (𝑥1 ⊕ 𝑥1 ) → 𝑥2 𝑥1 𝑥2 = (𝑥1 → (𝑥2 → (𝑥1 ⊕ 𝑥1 ))) → (𝑥1 ⊕ 𝑥1 ) LISALUGEMINE GRA. AFID Graaf on objektidevaheliste seoste joonismudel. Graaf koosneb tippudest ja neid ühendavatest kaartest. Kui tippute hulk on T ja kaarte hulk K, saab graafi G esitada 𝐺 = (𝑇, 𝐾). Graafid jagunevad orienteeritud ja orienteerimata graafideks. Orienteeritud graafi kõik kaared on suunatud ja neid esitatakse nooltega. Orienteerimata graafi kõik kaared on suunamata ja neid esitatakse kahte tippu ühendava lihtsa joonega. Kaarte läbimise käigus liigutakse graafi tuppude vahel kaarte „kaudu“. Suunamata kaart saab läbida mõlemas suunas
1.1.1 Korpuse aksioomid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.2 Järjestatud korpus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1.3 Täielik järjestatud korpus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2 Täieliku järjestatud korpuse eksisteerimine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2.1 Naturaalarvud, täisarvud, ratsionaalarvud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2.2 Täieliku järjestatud korpuse konstruktsioon . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3 Ratsionaalarvud järjestatud korpuses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.3.1 Naturaalarvud. Matemaatilise induktsiooni meetod . . . . . . . . . . 15 1.3.2 Ratsionaalarvude alamkorpus .
suvaliste hulgas D määratud funktsioonide f, g ja h puhul Esitada liitfunktsiooni mõiste definitsioon, tuua näiteid. Olgu f : D → R ja h : E → R sellised funktsioonid, et f (D) ⊂ E. Funktsiooni h ◦ f : D → R, h ◦ f (x) := h (f (x)) nimetatakse funktsioonide f ja h liitfunktsiooniks ehk kompositsiooniks. Funktsioon y = 1 +(4 − 3x)1/2 on funktsioonide f :(−∞,4/3] → R, f (x) := 4 − 3x ja h: [0,∞) → R, h (x) := 1 +√x kompositsioon h ◦ f :(−∞, 4/3]→ R. Kui h (x) := x2 + 1 ja f (x) :=(x – 1)1/2, siis h ◦ f (x) = h (f (x)) = (f (x)) 2 + 1 = (x − 1) + 1 = x iga x ∈ [1,∞) korral. Seega h ◦ f : [1,∞) → [1,∞) on identsusfunktsioon intervallis [1,∞) Kui h (x) := x2 + 1 ja f (x) :=(x – 1)1/2, siis h ◦ f (x) = h (f (x)) = (f (x))2 + 1 = (x − 1) + 1 = x iga x ∈ [1,∞) korral. Seega h ◦ f : [1,∞) → [1,∞) on identsusfunktsioon intervallis [1,∞) . 7. Jada piirväärtus, selle ühesus
Väljendit ,,leidub täpselt üks" tähistatakse tavaliselt sümboliga !. Näiteks, !x , 2x - 4 = 0. Näide: x , x2 + 1 > 0 tähendab, et iga reaalarvu x korral on x2 + 1 suurem nullist. Kui lauses kasutatakse üldisuse kvantorit, siis selle lausega väidetakse midagi kõigi antud liiki objektide kohta ja seetõttu peab neid väiteid tõestama ka üldkujul. Seevastu lause ümberlükkeks piisab ainult ühest kontranäitest. Näide: Eitame lauset: ,,Kõik naturaalarvud on algarvud." 1. Antud juhul P(x) = ,,x on algarv" 2. ¬(x , x on algarv) 3. x , ¬(x on algarv) 4. x , x ei ole algarv Leidub naturaalarv, mis ei ole algarv. Näide: Eitame lauset: ,,Leidub selline reaalarv x, et x2 = 1." 1. Antud juhul P(x) = ,,x2 = 1" 2. ¬(x , x2 = 1) 3. x , ¬(x2 = 1) 4. x , x2 1 Iga reaalarvu x korral x2 1
MATEMAATIKA TÄIENDÕPE VALEMID JA MÕISTED KOOSTANUD LEA PALLAS 1 2 SAATEKS Käesolev trükis sisaldab koolimatemaatika valemeid, lauseid, reegleid ja muid seoseid, mille tundmine on vajalik kõrgema matemaatika ülesannete lahendamisel. Kogumikus on ka mõned kõrgema matemaatika õppimisel vajalikud mõisted, mida koolimatemaatika kursuses ei käsitletud.. 3 KREEKA TÄHESTIK - alfa - nüü - beeta - ksii - gamma - omikron - delta - pii - epsilon - roo - dzeeta - sigma - eeta - tau - teeta - üpsilon - ioota - fii - kapa - hii - lambda - psii - müü - oomega
1. Kollokvium 1. Hulga mõiste. Järjestatud hulk. Tehted hulkadega. Arvuhulgad. Teoreem. Ei leidu ratsionaalarvu, mille ruut on 2 (tõestada). Tõkestatud hulgad (näide). Tõkestamata hulgad (näide). Hulk koosneb elementidest, kusjuures elemendid ei kordu ja nende järjestus ei ole kindlaks määratud. Järjestatud hulk koosneb samuti elementidest, kuid selles hulgas on iga kahe elemendi kohta võimalik öelda, kumb neist on eelnev, kumb järgnev. Tehted hulkadega: * Hulkade A ja B ühendiks ehk summaks nimetatakse hulka, mille moodustavad kõik kas hulka A, hulka B või mõlemasse kuuluvad elemendid. Hulkade A ja B ühendit tähistatakse * Hulkade A ja B ühisosaks ehk korrutiseks nimetatakse hulka, mille moodustavad kõik üheaegselt nii hulka A kui ka hulka B kuuluvad elemendid. Hulkade A ja B ühisosa tähistatakse * Hulkade A ja B vaheks nimetatakse kõigi selliste elementide hulka, mis kuuluvad hulka A, kuid ei kuulu hulka B. Hulkade
Matemaatika eksami teooria Reaalarvud 1.1. Naturaal-, täis- ja ratsionaalarvud · Naturaalarvude hulk N (ainult positiivsed täisarvud) · Naturaalarvu n vastandarv -n defineeritakse selliselt, et n+(-n)=0 · Naturaalarvud koos oma vastandarvudega moodustavad täisarvude hulga Z (jaguneb pos ja neg) · Iga kahe täisarvu vahe on alati täisarv · Kui arv a ei jagu arv b-ga, siis on tegemist murdarvuga. Kõik täisarvud ja positiivsed ning negatiivsed murdarvud moodustavad kokku ratsionaalarvude hulga Q. Ratsionaalarv on arv, mis avaldub jagatisena a/b, kus a Z, b Z ja b 0. · Iga ratsionaalarv avaldub lõpmatu perioodilise kümnendmurruna. 1.2 Irratsionaal- ja reaalarvud
Kõrgema matemaatika kordamisküsimused 1. Maatriksi definitsioon. Maatriksi elemendid. Lineaarsed tehted maatriksitega (liitmine ja skalaariga korrutamine). Nullmaatriks. Transponeeritud maatriks 2. Maatriksite korrutise definitsioon. Korrutamise omadused ja seosed lineaarsete tehete ning korrutamise vahel. Ühikmaatriks. 3. Teist ja kolmandat järku determinandid. 4. Permutatsiooni definitsioon. Inversiooni definitsioon. n-järku determinandi definitsioon. Determinandi põhiomadused 5. Maatriksi elemendi minor. Alamdeterminant. Determinandi arendus rea ja veeru järgi. Determinantide teooria põhivalem. 6. Regulaarse maatriksi mõiste. Pöördmaatriksi definitsioon ja elementide leidmise eeskiri. Pöördmaatriksi omadused. 7. Lineaarse võrrandisüsteemi definitsioon. Võrrandisüsteemi kordajad, vabaliikmed, lahend. Vasturääkiv, kooskõlaline, määratu süsteem. Süsteemi maatriks ja laiendatud maatriks. 8. Süsteemi lahen
MATEMAATIKA TÄIENDÕPE VALEMID JA MÕISTED KOOSTANUD LEA PALLAS 1 2 SAATEKS Käesolev trükis sisaldab koolimatemaatika valemeid, lauseid, reegleid ja muid seoseid, mille tundmine on vajalik kõrgema matemaatika ülesannete lahendamisel. Kogumikus on ka mõned kõrgema matemaatika õppimisel vajalikud mõisted, mida koolimatemaatika kursuses ei käsitletud.. 3 KREEKA TÄHESTIK Α α alfa Ν ν nüü Β β beeta Ξ ξ ksii Γ γ gamma Ο ο omikron Δ δ delta Π π pii Ε ε epsilon Ρ ρ roo Ζ ζ dzeeta Σ σ sigma Η η eeta Τ τ tau Θ θ teeta Υ υ üpsilon Ι ι ioota Φ φ fii Κ κ kap
2 Kreeka tähestik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 0.3 Reaalarvud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 0.4 Summa sümbol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Kontrolltöö teemad 1. Reaalarvu absoluutväärtus ja selle omadused (enamus neist on loogiliselt tuletatavad). 2. Summa sümbol. Eksamiteemad 1. Naturaalarvud. 2. Täisarvud. 3. Ratsionaalarvud. 4. Irratsionaalarvud. 5. Reaalarvud. 6. Summa sümbol. PEATÜKK 0. TÄHISTUSED. REAALARVUD 0.1 Tähistused := definitsioon (võrdub, rõhutatult) aX element a kuulub hulka X a/X a ei kuulu hulka X XY hulk X sisaldub hulgas Y (NB! mitterange kuulumine) mujal võidakse eristada ja , meil = AB hulkade ühend A B hulkade ühisosa
Võrduse vasakul pool olevat tabelit tuleb mõista avaldisena, mis saadakse, kui arvude a ja d korrutisest lahutatakse arvude c ja b korrutis. a1 b1 a1 c1 c1 b1 a1b2 a2 b1 , a1c2 a2 c1 ja c1b2 c2 b1 . Näide 2: Kolmnurga OAB tipud on O(0; 0), A(x1; y1) ja B(x2; y2). Arvutame a2 b2 a2 c2 c2 b2 selle kolmnurga pindala Avaldist kujul a·d b·c nimetatakse kaherealiseks determinandiks ja Kolmnurga OAB pindala leiame nii: y kirjutatakse tabelina, milles on kaks rida ja kaks veergu:
1.Lineaarse võrrandisüsteemi definitsioon. Võrrandisüsteemi kordajad, vabaliikmed, lahend. Süsteemi maatriks ja laiendatud maatriks. Lineaarse võrrandi all mõistetakse võrrandit kujul a1 x1 + a2 x2 + ... + an xn = b , (1) kus a1 , a2 , ... , an ja b on fikseeritud arvud ning x1 , x2 , ... , xn on tundmatud. Arvu b nimetatakse vaadeldava võrrandi vabaliikmeks, arve a1 , a2 , ... , an aga tema kordajateks. Def. 1. Võrrandi (1) lahendiks nimetatakse selliseid tundmatute x1 , x2 , ... , xn väärtusi c1 , c2 , ... , cn R , et pärast nende paigutamist võrrandi (1) vasakusse poolde tundmatute asemele kehtiks võrdus a1c1 + a2c2 + ... + ancn = b . Võrrandi (1) lahend on n arvust c1 , c2 , ... , cn koosnev järjestatud lõplik jada. Seega saab teda vaadelda aritmeetilise vektorina
Kordamine eksamiks aines matemaatiline analüüs II (2004/2005 õa kevad) §1. MITME MUUTUJA FUNKTSIOONID 1. Ruum R m , hulgad selles ruumis Def. Kõigi m reaalarvust koosnevate järjestatud süsteemide P = ( x1 ,..., x m ) hulka nimetatakse m-mõõtmeliseks ruumiks. Def. Kui m-mõõtmelises ruumis defineeritakse süsteemide P = ( x1 ,..., x m ) ja Q = ( y1 ,..., y m ) m vaheline kaugus d (P, Q ) valemiga d (P, Q ) = (x - y i ) , siis nimetatakse seda ruumi 2 i i =1 m-mõõtmeliseks eukleidiliseks ruumiks ja tähistatakse R m . Süsteemi P = ( x1 ,..., x m ) nimetatakse ruumi R m punktiks ning reaalarve xi (1 i m ) punkti P koordinaatideks.
Eksami kordamisküsimused Lineaaralgebra ja analüütiline geomeetria (2015- 2016 aasta sügis) Ristkoordinaadid. Kui ruumis on antud ristkoordinaadisüsteem, siis ruumi iga punkt P on üheselt määrastud ristkoordinaatidega x, y, z, kus x on punkti P ristprojektsioon abstsissteljele, y on punkti P ristprojektsioon ordinaatteljele ja z on punkti P ristprojektsioon aplikaateljele. Kirjutame P(x, y, z). Kahe punkti vaheline kaugus. Kui P1(x1, y1, z1), P2(x2, y2, z2) on ruumi punktid, siis kaugus d punktide P1 ja P2 vahel on määratud valemiga Vektori mõiste Vektor on suunatud lõik alguspunktiga punktis A ja lõpp-punktiga punktis B. Nullvektor Eukleidilises ruumis (näiteks tasandil) on nullvektoriks määramata suunaga vektor, mille pikkus on null. Ühikvektor Kui vektori pikkus on 1, siis teda nimetatakse ühikvektoriks. Vektorite liitmine ja lahutamine Lahutamine toimub sama põhimõtte järgi. Reaalarvu ja vektori korrutis. Vektori pikkus Vektori pikkuseks lo
tähele, et e (0;1). b2 Fokaalparameeter ellipsi kõrgus fookuste kohal p = a Fokaalraadius ellipsi mistahes punkti kaugus fookusteni nimetame selle punkti fokaalraadiuseks. Joone sümmeetriateljed Sirged, mille suhtes joon on sümmeetriline. Joone keskpunkt - Punkti, mille suhtes joon on sümmeetriline, nimetatakse joone keskpunktiks. Joone tipud Joone lõigepunkt sümmeetriatelgedega Ellipsi teljed Ellipsi samal sümmeetriateljel asuva tipupaari poolt välja eraldatud lõigud ja nende pikkused. Poolteljed - Lõike A1O;OA2;B1O ja OB2 ning nende pikkusi a ja b nimetame ellipsi pooltelgedeks. Lõike A1O;OA2 ja nende pikkust a nimetame ellipsi suuremaks poolteljeks ning lõike B1O;OB2 ja nende pikkust b nimetame ellipsi väiksemaks poolteljeks. Ellipsi parameetrilised võrrandid - Võrrandeid
TE.0568 Kõrgema matemaatika põhikursus (4 EAP) 2011/2012 sügis 1. Determinandid: omadused, miinorid, alamdeterminandid. Crameri meetod lineaarvõrrandisüsteemi lahendamiseks. Determinant on lineaaralgebras funktsioon, mis seab igale ruutmaatriksile vastavusse skalaari, ning on üks olulisemaid matemaatilisi konstruktsioone lineaarvõrrandsüsteemi uurimisel. Determinandiks nimetatakse ruutmaatriksiga seotud arvu, mis on arvutatud teatud eeskirja kohaselt. Determinante tähistatakse DA Maatriksi A determinanti tähistatakse tavaliselt , või . Determinant on defineeritud vaid ruutmaatriksile. Determinandi põhiomadused 1. Maatriksi determinandi väärtus ei muutu maatriksi transponeerimisel: det(A) = det(AT). 2. Determinant on null, kui determinandi 1 rida või veerg : 1. koosneb nullidest 2. on võrdne mõne teise vastava rea või veeruga
Matemaatiline analüüs 1. Arvtelg sirge, millel on valitud nullpunkt, pikkusühik ja positiivne suund. Igale arvtelje punktile vastab üks ja ainult üks reaalarv ja vastupidi: igale reaalarvule vastab üks ja ainult üks arvtelje punkt. Öeldu põhjal saab reaalarvud samastada sirge (arvelje) punktidega. Absoluutväärtuse mõiste reaalarvu a absoluutväärtuseks nimetatakse järgmist mittenegatiivset arvu. Reaalarvu a absoluutväärtust |a| võib tõlgendada kui punkti a ja nullpunktivahelist kaugust arvteljel. Absoluutväärtuste omadused: Reaalarvude ja lõpmatuste ümbrused Reaalarvu a ümbruseks nimetatakse suvalist vahemikku (a ; a + ), kus > 0 on ümbruse raadius. Arv x kuulub arvu a ümbrusesse (a-; a+) siis ja ainult siis, kui selle arvu kaugus arvteljel on arvust a väiksem kui , st |x-a| < . Reaalarvu vasakpoolseks ümbruseks nimetatakse suvalist poollõiku (a-], kus >0. Arv x kuulub arvu a vasakpoolsesse
..…… 35 3.20 Näited võrratuste ja võrratussüsteemide lahendamisest …………..… 35 3.21 Logaritmid ………………………………………………………..…. 41 3.22 Summa märk ………………………………………………….……. 44 3.23 Ülesanded aritmeetikast ja algebrast …………...………………..….. 46 1 1. ARVUHULGAD Positiivsed täisarvud ehk naturaalarvud tekkisid vajadusest loendada esemeid. Kõik naturaalarvud moodustavad naturaalarvude hulga ℕ = {0; 1; 2; 3; 4; ...} . Naturaalarvude hulk on kinnine liitmise ja korrutamise suhtes. Naturaalarvude hulk muutub kinniseks lahutamise suhtes, kui teda täiendada arvude 1, 2, 3, ... vastandarvudega -1, -2, -3, ... . Negatiivsed ja positiivsed täisarvud ning arv 0 moodustavad täisarvude hulga ℤ = {±1; ± 2; ± 3; ...} . Täisarvude hulk on kinnine liitmise, lahutamise ja korrutamise suhtes.
1. Kompleksarv kui reaalarvude paar. Tehted kompleksarvudega. Tehete omadused. Kompleksarvu algebraline kuju. Tuletatavad tehted ja nende omadused. Kompleksarvuks nimetatakse reaalarvude paari (x,y). C = {(x;y) | x, y R} Tehted kompleksarvudega: z1 = (x1; y1) C; z2 = (x2; y2) C 1. liitmine: z1 + z2 = (x1 + x2; y1 + y2) 2. korrutamine: z1 * z2 = (x1x2 - y1y2; x1y2 + x2y1) Kompleksarvudega tehete omadused 1. liitmine on kommutatiivne, st z1 + z2 = z2 + z1 z1, z2 C korral 2. liitmine on assotsiatiivne, st (z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3) z1, z2, z3 C korral 3. liitmise suhtes leidub nullelement (reaalarv 0, 0 + z = z + 0 = z z C korral), st leidub C, nii et z + = + z = z z korral; = (0; 0) = 0 4. igal kompleksarvul z = (x; y) = x + yi leidub (liitmise suhtes) vastandarv, st selline arv w C, et z + w = w + z = 0; w = -z 5. korrutamine on kommutatiivne, st z1z2 = z2z1 z1, z2 C korral 6. korrutamine on assotsiatiivne, st (z1z2)z3 = z1(z2z3) z1, z2, z3 C korral
annaabi.ee 
