Leidsid 33 sarnast õppematerjali, mis on seotud failiga "Diskreetne matemaatika 1.kodutöö 2012". Need materjalid aitavad sul teemat sügavamalt mõista.
venni, hulgaavaldis, diagrammil, füüsikat, tehted, viiel, millistel, teheteTallinna Tehnikaülikool Diskreetne Matemaatika KAUGÕPE 1.arvestustöö Tallinna Tehnikaülikool Lk.53 ülesanded · A B = {a; b; c; d; e; f; g; h} A B = {a; b; c; d; e} AB=Ø B A = {f; g; h} B A = {f; g; h} · Hulk A {1;3;5;6;7;8;9} Hulk B {2;3;6;9;10} · A B = A Juhul kui A on B sees A B = A Juhul kui B on A sees A B = A Erijuhul kui B on tühihulk A B = B A Kirjeldab kommutatiivsus teooriat A B = B A Kirjeldab mitte lõikuvaid hulki, ehk puudub ühisosa · (A B) C ABC C(AB) Tallinna Tehnikaülikool · A(BC)=(AB)(AC) A(BC)=(AB)(AC) · AB=A AB=A · [ (A B) (A B) (A C) ] = = (A B) (A B) (A C) = = Ø (A B) Ø = (A B) = = ( A) ( B) = Ø ( B) = B · (A C) (B C) (A C ) ( B C) = = (A C) (A C
Tingimused 1. Välistatud kolmanda seadus. Iga lause on kas tõene või väär. 2. Mittevasturääkivuse seadus. Ükski lause pole korraga tõene ja väär. Lausearvutuse valemid on parajasti need, mida saab koostada alltoodud reeglite järgi: 1. Iga lausemuutuja on lausearvutuse valem. 2. Kui F on lausearvutuse valem, siis ka F on lausearvutuse valem. 3. Kui F ja G on lausearvutuse valemid, siis ka (F&G), (FVG),(F->G) ja (F<->G) on lausearvutuse valemid. Osavalem : Kõiki antud valemi konstrueerimise käigus tekkinud valemeid nimetatakse selle valemi osavalemiteks ehk alamvalemiteks, konstrueerimise viimasel sammul kasutatud suhet aga peatehteks. Kokkulepped sulgude kohta: 1. Tehete prioriteet kõrgemast madalamani on , &, V, ->, <->. 2. Vasakassotsiatiivsus: kui mitme liikme konjuktsioonis või disjunktsioonis sooritatakse. tehteid vasakult paremale, siis võib tehete järjekorda täpsustavatest sulgudest l
AIY3310 Diskreetne matemaatika Lühikonspekt Käesolev lühikonspekt katab suure osa aines AIY3310 (endise koodiga LIY3310) loetavast. Samal ajal ei saa seda materjali vaadelda kui antud aine täiskonspekti, mille läbitöötamine garanteeriks hea eksamiresultaadi. Loengutes ja harjutustundides käsitletakse mitmeid probleeme tunduvalt põhjalikumalt. Sellest hoolimata usun, et antud kirjutisest on paljudele tudengitest lugejatele kasu valmistumisel kontrolltööks ja eksamiks. Margus Kruus HULGATEOORIA PÕHIMÕISTEID HULK - algmõiste, intuitiivse definitsiooni järgi objektide kogum. George Cantor (1845-1918) - saksa matemaatik, hulgateooria rajaja. Hulgad jaotuvad lõpmatuteks ja lõplikeks. Meie kursuses käsitletakse lõplikke hulki, mõnikord ka lõpmatuid loenduvaid hulki. Hulgateoreetilised operatsioonid · Hulkade ühend AB={x |(xA)V (xB)} · Hulkade ühisosa (lõige) AB={x |(xA)& (xB) · Hulga täiend A = { x | ( x I ) & ( x A ) }, kus I on nn. universaalhulk. ·
1. ? . 2. . , , , . , . . 3. ? , . 4. ? , . 5. ? 6. ? ., , . 7. ? ,, ., , . 8. ? , . 9. ? - . 10. ? , , . 10. ? , , . 11. . , . , , , . 12. . . , . 13. . . . 14. ? . ,. . 15. . , . 16. ( ). , . 17. ? - 18. ? , . 19. ? . 20. ? , , . 21. . , . 22. . 0, Fx=0 , 0. Fix=0,Fiy=0,Fiz=0 23. . , , 24. ? r- - 25. ?Mo(F)=/r*F/=rFsin=Fd, - .( ) 26. ? , , 27. ? ( , 28. . Mx(F)=yFz-zFx, My(F)=zFx-xFz , Mz(F)=xFy-yFx *29. , ? ½ m, m=1/2pml 30. ? F=F1-F2, - AC/F2=BC/F1=AB/F -(.) - F1. B -`'-F2 .C-
1. ? . 2. . , , , . , . . 3. ? , . 4. ? , . 5. ? 6. ? ., , . 7. ? ,, ., , . 8. ? , . 9. ? - . 10. ? , , . 10. ? , , . 11. . , . , , , . 12. . . , . 13. . . . 14. ? . ,. . 15. . , . 16. ( ). , . 17. ? - 18. ? , . 19. ? . 20. ? , , . 21. . , . 22. . 0, Fx=0 , 0. Fix=0,Fiy=0,Fiz=0 23. . , , 24. ? r- - 25. ?Mo(F)=/r*F/=rFsin=Fd, - .( ) 26. ? , , 27. ? ( , 28. . Mx(F)=yFz-zFx, My(F)=zFx-xFz , Mz(F)=xFy-yFx *29. , ? ½ m, m=1/2pml 30. ? F=F1-F2, - AC/F2=BC/F1=AB/F -(.) - F1. B -`'-F2 .C-
KORDAMINE RIIGIEKSAMIKS VI teema Geomeetria PLANIMEETRIA Tasandilised kujundid ja nendega seotud valemid. Ristkülik d b S ab P 2a b d a2 b2 a a Ruut d S a2 a P 4a d a 2 Rööpkülik d1 S ah ab sin h b P 2a b d2 180 0 d1 d 2 2a 2 b 2 a
1. Kompleksarv kui reaalarvude paar. Tehted kompleksarvudega. Tehete omadused. Kompleksarvu algebraline kuju. Tuletatavad tehted ja nende omadused. Kompleksarvuks nimetatakse reaalarvude paari (x,y). C = {(x;y) | x, y R} Tehted kompleksarvudega: z1 = (x1; y1) C; z2 = (x2; y2) C 1. liitmine: z1 + z2 = (x1 + x2; y1 + y2) 2. korrutamine: z1 * z2 = (x1x2 - y1y2; x1y2 + x2y1) Kompleksarvudega tehete omadused 1. liitmine on kommutatiivne, st z1 + z2 = z2 + z1 z1, z2 C korral 2. liitmine on assotsiatiivne, st (z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3) z1, z2, z3 C korral 3. liitmise suhtes leidub nullelement (reaalarv 0, 0 + z = z + 0 = z z C korral), st leidub C, nii et z + = + z = z z korral; = (0; 0) = 0 4. igal kompleksarvul z = (x; y) = x + yi leidub (liitmise suhtes) vastandarv, st selline arv w C, et z + w = w + z = 0; w = -z 5. korrutamine on kommutatiivne, st z1z2 = z2z1 z1, z2 C korral 6. korrutamine on assotsiatiivne, st (z1z2)z3 = z1(z2z3) z1, z2, z3 C korral
MATEMAATIKA RIIGIEKSAM 2010 Eksami eesmärk Matemaatika riigieksami peamisteks eesmärkideks on: · teada saada, kui struktureeritud ja korrastatud on gümnaasiumilõpetaja matemaatikaalased teadmised; · selgitada välja, kui hästi suudab õpilane õpitut rakendada (näiteks lahendada mitterutiinseid ülesandeid); · teada saada, milline on gümnaasiumilõpetajate matemaatikaalane ettevalmistus õpingute jätkamiseks järgmisel haridusastmel. Eksami vorm Matemaatika riigieksami põhieksam on kahes variandis ja lisaeksam on ühes variandis. Matemaatika riigieksam (ja ka lisaeksam) on kaheosaline kirjalik eksam 1. osa kestus on 120 minutit ja 2. osa kestus on 150 minutit. Kahe eksamiosa vahel on 45 minutiline vaheaeg. Käesoleva õppeaasta matemaatika riigieksam toimub 4. mail 2010.a, algusega kell 10.00. Eksaminandidele, kes mõjuvatel põhjustel põhieksamil osaleda ei saa, korraldatakse lisaeksam 17. mail 2010.a, alg
.............................................................................................7 Tegurdamine e. korrutiseks teisendamine............................................................................ 8 Astendamine............................................................................................................................. 8 Naturaalarvuline astendaja................................................................................................... 8 Tehted astmetega.................................................................................................................. 8 Negatiivse täisarvulise astendajaga aste...............................................................................9 Arvu 10 astmed.....................................................................................................................9 Juurimine...............................................................................................
45 3 7 7 15 3 1 5 5 1 4) Iga naturaalarvu a ja b korral kehtib võrdus : a b = SÜT(a; b) VÜK(a; b) 11. Ratsionaalarvud. 1) Ratsionaalarvuks nimetatakse sellist arvu, mis avaldub jagatisena. 2) Ratsionaalarvude hulk on tihe, sest iga kahe mittevõrdse ratsionaalarvu vahel leidub veel lõpmata palju ratsionaalarve. 3) Ratsionaalarvude hulk on kinnine kõigi aritmeetiliste tehete suhtes v.a. 0-ga jagamine. 4) Iga ratsionaalarv avaldub lõpmatu perioodilise kümnendmurruna. Iga lõpmatu perioodiline kümnendmurd avaldub ratsionaalarvuna. x=0,(36) x=1.2(43) 100x = 36,(36) 1000x = 1243,(43) - x = 0,(36) - 10x = 12,(43) 99x = 36 990x = 1231
Ruutfunktsioon Sissejuhatav kordamine 1. Teosta tehted. Vastustes vabane negatiivsetest astendajatest. 3 1 2 3 1 a) 2 a b c 3 Lahendus: ; 1 4 2 s 3 t b) 4 5 3 4 s t Lahendus: . 2. Lihtsusta avaldis. a) xy(x + 3y) + (x + y)(x2 2xy y2) Lahendus: xy(x + 3y) + (x + y)(x2 2xy y2) =
kb kb : k b 1.3 Tehetevahelised seosed Kui x + a = b , siis x = b - a . Kui x - a = b , siis x = a + b . Kui a - x = b , siis x = a - b . a a Kui a : x = b ehk = b , siis x = ( b 0) . x b x Kui x : a = b ehk = b , siis x = ab ( a 0) . a 1.4 Tehted harilike murdudega d b a c a+c a c ad + bc + = + = b b b b d bd d b a c a-c a c ad - bc - = - = b b b b d bd a c ac a ac
MATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE MÕISTED, VALEMID, NÄITED, ÜLESANDED LEA PALLAS I OSA SISUKORD 1. ARVUHULGAD …………………………………………………… 2 2. ARITMEETIKA ……………………………………………….…… 3 2.1 Mõningate arvude kõrgemad astmed ………………………….……. 3 2.2 Hariliku murru põhiomadus ………………………………….…….. 3 2.3 Tehetevahelised seosed ……………………………………….…….. 3 2.4 Tehted harilike murdudega ………………………………….……… 4 2.5 Tehete põhiomadused ……………………………………….……… 5 2.6 Näited tehete kohta positiivsete ja negatiivsete arvudega …….…….. 5 2.7 Näited tehete kohta ratsionaalarvudega ……………………….……. 6 2.8 Protsent ja promill ……………�
Kui ühes ülesanded esinevad nii kümnendmurrud kui ka harilikud murrud, siis üldiselt teisendatakse harilikud murrud kümnendmurdudeks, kuna kümnendmurde kasutatakse igapäeva elus sagedamini ja nendega on arvutamine lihtsam. Kui aga ülesandes on vaja leida täpne vastus ja harilik murd ei teisendu täpselt lõplikuks kümnendmurruks, tuleb kümnendmurrud teisendada harilikeks murdudeks, arvutada harilike murdudega ja anda ka vastus hariliku murru kujul 14. Tehted harilike murdudega (d (b a c a+c a c a d + cb + = + = b b b b d bd (d (b a c a-c a c ad - cb - = - = b b b b d bd a c ac a ac = c = b d bd b b b ab a c a d ad a = : = =
Kodutöö nr 4 õppeaines TUGEVUSÕPETUS (MES0240) Variant Töö nimetus A B Võlli tugevusarvutus painde ja väände koosmõjule Üliõpilane Üliõpilaskood Esitamise kuupäev Õppejõud Ühtlasele võllile on paigaldatud kaks rihmaratast. Võlliga ülekantav võimsus on P = 5,5 kW. Väiksema rihmaratta efektiivläbimõõt on D1 = 140 mm. Arvutada ühtlase võlli läbimõõt, kui see valmistatakse terasest E335 (voolepiir tõmbel y = 325 MPa) ja varuteguri nõutav väärtus on [S] = 5. Pingekontsentraatorite ja väsimuse mõju on arvesse võetud nõutava varuteguri väärtuse valikul. Iga rihma vedava ja veetava haru tõmbejõudude F ja f seos on F 2,5f. Võlli skeem valida vastavalt üliõpilaskoodi viimasele numbrile A. Rihmarataste efektiivläbimõõtude s
3 5 2 2 1 3 53 53 53 3 2 2 25 25 25 Kommentaarid Juuresolevates lahendustes on esmalt leitud lihtsustamisel saadud avaldiste täpsed väärtused ning seejärel ligikaudsed väärtused etteantud täpsusega. Kuna ülesandes täpseid väärtusi ei küsitud, siis võib kalkulaatoriga teha kõik tehted järjest, vahepealseid tulemusi fikseerimata. 3 4 2. ÜLESANNE (5 punkti) Ülesannete tekstid I Urnis on 10 kollast ja 6 rohelist kuuli. Leidke tõenäosus, et urnist
1.3 Tehetevahelised seosed Kui x a b , siis x b a . Kui x a b , siis x a b . Kui a x b , siis x a b . a a Kui a : x b ehk b , siis x b 0 . x b x Kui x : a b ehk b , siis x ab a 0 . a 1.4 Tehted harilike murdudega d b a c ac a c ad bc b b b b d bd d b a c ac a c ad bc b b b b d bd
STEREOMEETRIA Risttahukas S 2ab bc ac c V S p H abc d d a2 b2 c2 b a Kuup S 6a 2 d a V a3 d a 3 a a Püstprisma S t 2S p S k H= l Kü lg pindala S k P H V Sp H A B C Kaldprisma S t 2S p S k Ris
as tmehulga ja lis a me s ellele paarid mis s aame A k as tmehulga hulkade ja lis atava uue elemend i abil moodus tad a S eega : |P (A k + 1 )|= |P (A k )|+ |P (A k )|= 2 k +2 k = 2*2 k =2 k + 1 tõestatud Booli algebra B ool i algebraks nime tame mit tetühj a hulka S koos kahe operats iooniga ja mis rahuldavad järgmis i tingimus i : Et j ärgnev liiga abs traktne j a keeruline ei tunduks võite es ialgu kuj utada ette H ulga S rollis reaalarvude hulka j a tehete rollis liitmis e ning korrutamis e tehet. V iimas el j uhul on tege mis t küll Booli algebra ühe erij uhuga, kuid kõik omadus ed on s el juhul väga lihts ad ja s elged. kui a,b S , s iis a b S j a a b S Iga a,b S , korral kehtib(ko mmut ati ivs us ): a b= b a ja a b= b a Iga a,b,c S , korral kehtib (as s ots iatiivs us ): a (b c)= (a b) c ja a (b c)= (a b) c Iga a,b,c S , korral kehtib (dis tributiivs us ):
ummeetriline maatriks 3 1 -1 3 1 -1 A= 1 3 2 = AT = 1 3 2 = A -1 2 1 -1 2 1 0 -1 2 0 1 -2 B= 1 0 -4 = B T = -1 0 4 = -B -2 4 0 2 -4 0 Teoreem 10 (transponeerimise omadusi). Maatriksid A ja B olgu sellised, et allpool esinevad tehted on m¨ a¨aratud ning R. Siis 1) (AT )T = A 2) (A)T = AT 3) (A ± B)T = AT ± B T 4) (AB)T = B T AT 5) det AT = det A Paneme t¨ahele tegurite j¨arjekorra muutumist omaduses 4). Lause 11. Iga ruutmaatriksi A korral on maatriks A+AT s¨ ummeetriline ja maatriks A - AT antis¨ ummeetriline. II
Sündmused. Kindel A = {1, 3, 5} ja sündmus B = {1, 2, 3}, perekonnas on sündmus (tähistatakse K) - sündmus, siis A B = AB = {1, 3}.Sündmusi, mis teatud tingimuste korral alati mille korrutiseks on võimatu toimub.Kindlateks sündmusteks on sündmus, nimetatakse üksteist kooliaasta algus 1. septembril, välistavateks.Kui A = igahommikune päikesetõus, vesi on {1, 3, 5} ja B = {2, 4, 6}, siis AB ämbris vedelas olekus kui temperatuur = , siis öeldakse on 10 kraadi. Võimatu sündmused A ja B on sündmus (tähistatakse V) - sündmus, teineteist välistavad. mis antud vaatluse või katse korral Näide7. Olgu täringu kunagi ei toimu. viskel sündmus A = {1, 3, 5} Võimatuteks sündmusteks on näiteks ja sündmus B = {1, 2, 3}, siis AB = tär
Tiia Toobal 2008 II osa Pärnu Koidula Gümnaasium Test nr. 1. a 0,5 - 16b 0, 5 1. Leia avaldise - 4b 0, 25 , kui a = 16. a 0, 25 - 4b 0, 25 1) 6 2) -2 3) 4 4) 2 2. Leia antud arvudest suurim ( 2) ( 2) 3, 2 3 1 4, 7 1) 2) 3) 4) 3 4 5 2 3 1- log 3 6 - log 4 0 ,125 3. Arvuta avaldise 27 -4 väärtus. 1) 0 2) 7,875 3) 7,875 4) 3,875 4. On antud perioodilise funktsiooni y
Kordamisküsimused 1) Kompleksarvu mõiste. Kompleksarvu algebraline kuju ja tehted algebralisel kujul. DEF. k.arvuks nim. Arvufoori (a,b) kus a,bR. esitatakse z=a+bi (a-reaalosa,b-imaginaar osa,i- imaginaar ühik). Põhimõiste olgu z1=a1+b1i,z2=a2+b2i z1=z2 kui a1= a2 ja b1=b2, z=0 kui a=0 ja b=0,k- arvu z1=a1-b1i nim.kaas k-arvuks z1=a1+b1i. Arvutamine z1+z2= (a1+a2)+(b1+b2)i, z1-z2= (a1-a2)+(b1-b2), z1*z2= z 1 ( a1 +b 1 i ) (a 2+b 2 i) (a1+b1i)*(a2+b2), =
hulkade ühisosa t hulkade sümmeetriline vahe u A B u I t i t Hulgatehete tulemuseks olev hulk viirutatuna Venni diagrammidel : s A B I n A A B A hulkade vahe " A ilma B-ta "
as tmehulga ja lis a me s ellele paarid mis s aame A k as tmehulga hulkade ja lis atava uue elemend i abil moodus tad a S eega : |P (A k + 1 )|= |P (A k )|+ |P (A k )|= 2 k +2 k = 2*2 k =2 k + 1 tõestatud B ool i algeb ra B ool i algebraks nime tame mit tetühj a hulka S koos kahe operats iooniga ja mis rahuldavad järgmis i tingimus i : Et j ärgnev liiga abs traktne j a keeruline ei tunduks võite es ialgu kuj utada ette H ulga S rollis reaalarvude hulka j a tehete rollis liitmis e ning korrutamis e tehet. V iimas el j uhul on tege mis t küll Booli algebra ühe erij uhuga, kuid kõik omadus ed on s el juhul väga lihts ad ja s elged. kui a,b S , s iis a b S j a a b S Iga a,b S , korral kehtib(ko mmut ati ivs us ): a b= b a ja a b= b a Iga a,b,c S , korral kehtib (as s ots iatiivs us ): a (b c)= (a b) c ja a (b c)= (a b) c Iga a,b,c S , korral kehtib (dis tributiivs us ):
Kodutöö nr 3 õppeaines TUGEVUSÕPETUS (MES0420) Variant Töö nimetus A B Tala tugevusanalüüs Üliõpilane Üliõpilaskood Esitamise kuupäev Õppejõud Konsooliga talaks tuleb kasutada kuumvaltsitud INP-profiiliga ühtlast varrast, mis on valmistatud terasest S235. Tala on koormatud aktiivse punkt- ja joonkoormusega. Tala joonmõõtmed on antud seostega: b = a/2. Punktkoormuse väärtus on F = 10 kN ja ühtlase joonkoormuse intensiivsus tuleb avaldisest p = F/b. Varuteguri nõutav väärtus on [S] = 4. Koormuste mõjumise skeem valida vastavalt üliõpilaskoodi viimasele numbrile A. Tala tugede vahekaugus a valida vastavalt üliõpilaskoodi eelviimasele numbrile B. INP-profiili andmed võib võtta nt Ruukki tootekata
1. harilik murd Harilik murd näitab, mitmeks võrdseks osaks on tervik jaotatud ja mitu sellist osa on võetud. 2. kümnendmurd Kümnendmurd on komaga arv. N: 23,4 ;14,1 ; 3,8 ; 10,5 3.murru taandamine Hariliku murru taandamiseks nimetatakse murru lugeja ja nimetaja jagamist ühe ja sama nullist erineva arvuga. 4.Astmete korrutamine Ühe ja sama arvu astmete korrutamisel astendajad liidetakse. 32 · 31 = 32 + 1 = 33 = 3 · 3 · 3 = 27 5.Astmete astendamine Astme astendamisel astendajad korrutatakse. 6.Astmete jagamine Ühe ja sama arvu astmete jagamisel astendajad lahutatakse. a m : a n = a m-n 7.Negatiivne astendaja Murd, mille lugejaks on arv 1 nimetajaks sama aste positiivse astendajaga. 1 a -n = n , kus a 0 a 8.Arvu standardkuju Kui arv on esitatud kahe teguri korrutisena, millest üks jääb arvude 1 ja 10 vahele ning teine arvu 10 aste, siis öeldakse, et arv on kirjutatud standardkujul. N: 20000 = 2 *10 4 5000000000 = 5 * 10 9 9.Ligikaudse arvu tü
" Näide: Lausearvutuse laused ei ole: ,,Kuidas läheb?" ,,Ma valetan praegu." ,,Korrutage arvud 5 ja 9." Analoogia saavutamiseks algebraliste operatsioonidega lepitakse veel kokku: 3. Liitlauseid võib moodustada suvalistest komponentidest, eeldamata nendevahelist sisulist seost. 4. Liitlause tõeväärtus sõltub ainult komponentlausete tõeväärtustest, mitte sisust. Nendest neljast kirjeldatud tingimusest järeldub, et lausearvutuse tehete defineerimiseks on piisav kindlaks määrata, missuguste komponentlausete tõeväärtuste korral loetakse tehte tulemus tõeseks. Lausearvutuse eesmärk ei ole uurida lausete sisulist tähendust, vaid antud lausetest uute lausete moodustamist. Lihtlausete sisu ning see, millised lihtlaused on tegelikult tõesed ja millised väärad, loogika uurimisobjektiks ei ole. Eeldame vaid, et lihtlausete tõeväärtused on põhimõtteliselt leitavad ja liitlausete tõeväärtused nende kaudu arvutatavad.
Tallinna Tehnikaülikool Mehhatroonikainstituut Jüri Kirs, Kalju Kenk Kodutöö D-2 D'Alembert'i printsiip Tallinn 2007 Kodutöö D-2 D'Alembert'i printsiip Leida mehaanikalise süsteemi sidemereaktsioonid kasutades d'Alembert'i printsiipi ja kinetostaatika meetodit. Kõik vajalikud arvulised andmed on toodud vastava variandi juures. Seda, millised sidemereaktsioonid süsteemi antud asendis tuleb leida, on samuti täpsustatud iga variandi juures. Variantide järel on lahendatud ka rida näiteülesandeid koos põhjalike seletustega. Näiteülesandeid d'Alembert'i printsiibi kohta võib lugeda ka E. Topnik' u õpikus ,,Insenerimehaanika ülesannetest IV. Analüütiline mehaanika", Tallinn 1999, näited 14-17, leheküljed 39-49. Kõikides variantides xy-tasapind on horisontaalne, xz- ja yz-tasapinnad aga on vertikaalsed. Andmetes toodud suurused 0 ja 0 on vastavalt pöördenurga ja
[,t02 uulllsJ i b tfiV? wtlYlteddg salsJ urt1yta6 t nV7 Z t#1, t l, euepdgrlg G=ONVS]-InsnlnruvH snsunyGln MUr33ruO39 Vnvrnrny ,".'i:9 snISeI elUeeloueuesu; 67/a9d/4 looM n e),1 ! u L,|al eu u ! I lel ^J "// 'r/.7//1 4l 'set4aawosllslr sgn[nt1 ef apeerr1lntl ewxld prye1g npp4 epelapl ,€, ' (stu o o ts I I a fo t d p w q e 41 , seulaewry
MATEMAATLINE ANALÜÜS II 1. KORDSED INTEGRAALID Kordame kõigepealt mõningaid teemasid Matemaatlise analüüsi I osast. 1.1 Kahe muutuja funktsioonid Kui Tasndi R 2 mingi piirkonna D igale punktile x, y D seatakse ühesel viisil vastavusse arv z, siis öeldakse, et piirkonnas D on määratud kahe muutuja funktsioon z f x, y . Piirkoda D nimetataksefunktsiooni f määramispiirkonnaks. See on mingi piirkond xy-tasandil. Näide 1. Poolsfääri z 1 x2 y 2 määramispiirkonnaks on ring x 2 y2 1. Funktsiooni z ln x y määramispiirkonnaks on pooltasand y x (sirgest y x ülespoole jääv tasandi osa: vaata joonist). Kahe muutja funktsioon ise esitab pinda xyz-ruumis (ruumis R 3 ). Näide 2. Funktsiooni z x2 y 2 graafikuks on pöördparaboloid (vaata allpool olevat joonist) Kahe muutuja funktsiooni f nivoojoonteks nimetatakse jooni f x, y c Näide 3. Tüüpiline näide nivoojoo
Lineaarvõrrandsüsteem-nim. Võrrandisüsteemi kujul {a11x1+..+a1nxn=b1 ; am1x1+.. +amnxn=bm. Arve aij nim lvs kordajateks, arvud b1..bm on vabaliikmed ja x1..xn on tundmatud. Süsteemi võrrandite arv m ja tundmatute arv n on sõltumatud. Sellist võrrandisüsteemi nimetatakse lineaarseks võrrandisüsteemiks, sest otsitavad suurused x1.. xn esinevad ainult lineaarsetes tehetes, st neid on vaid liidetud ja skalaariga korrutatud. Def. Arvude järjendit c1.. cn nim lvs lahendiks, kui tundmatute asendamisel nende arvudega (loomulikus järjekorras, st x1 = c1.. xn = cn) on süsteemi kõik võrrandid rahuldatud. Võrrsüsteemi nim kooskõlaliseks, kui tal leidub vähemalt 1 lahend. Kui lahendid puuduvad, nim sõsteemi vasturääkivaks. Võrrsüs kõigi lahendite hulka nim võrrsüs lahendihulgaks e üldlahendiks. Igal lvs-l kas lahend puudub, on ühene lahend või on lõpmata palju lahendeid. Cramer. Def. Öeldakse, et lvs-i korral on tegemist Crameri peajuhuga, kui 1)tundmatute arv võrd
4R 34. Vekor tasandil. Joone võrrand. Punkti koordinaadid tasandil A2x + B2 y + C2 = 0 y-telg ordinaat x-telg abstsiss 35. Kahe punkti vaheline kaugus d = ( x 2 - x1 ) + ( y 2 - y1 ) 48. Ringjoone võrrand 2 2 36. Vektor. Tehted vektoritega a b ( x - a ) 2 + ( y - b) 2 = R2 49. Fn-ide graafikud 37. Vektorite liitmine · Lineaar u + v = ( x1 + x 2 ; y1 + y 2 ) y = ax + b 38
annaabi.ee 
