Leidsid 33 sarnast õppematerjali, mis on seotud failiga "Arutluse tõestamine". Need materjalid aitavad sul teemat sügavamalt mõista.
kujule, ootav, ülaltoodud, tõeväärtustabel, samaselt, taunojäreldus. Seoseks, mis viib eeldusest järeldumiseni saab kasutada lausearvutust. Nimelt võib ülaltoodud arutluse esitada ühe lausearvutuse valemina kujul: E1&E2&…&EnJ Kui nüüdselliselause tõeväärtustabel on samaselt tõene, siis võime öelda, et järeldus J järeldub eeldustest E1 … En Näide1. Kui Marile meeldib Jüri, siis Mari naeratab Jürile. Marile meeldib Jüri.__________________________ Mari naeratab Jürile. Teisendame arutluse lausearvutuse kujule MN M____ N Ja esitame selle ühe avaldisega: (MN)&MN. 1. 2. 3. M N (M N) & M N 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 Järelikult nemetatud arutlus kehtib. Näide2. Kui Marile meeldib Jüri, siis Mari naeratab Jürile Mari naeratab Jürile._______________________ Marile meeldib Jüri. Teisendame arutluse lausearvutuse kujule MN
Loogika 2011/12 Loogika ...on teadus mõtlemise reeglitest, struktuuridest ja vormidest. Loogikat võib pidada ka mõtlemise mudeliks, nimelt arutlemise mudeliks keeles. Antiikaeg Parmenides (5 saj ema) Zenon - reductio ad absurdum Induktsioon Õppimine ehk üldistuste tegemine Reeglid Erandid Statistika Kiire reageerimine on oluline ellujäämise seisukohast Deduktsioon Reeglite rakendamine ehk järelduste tegemine Tuletamine Õigete reeglite rakendamine õigetele faktidele garanteerib alati edu Mõtlemise aspektid Kui väide A on õige, siis A on õige Kui A ja B, siis A Ei ole tõsi, et A ja mitte A Modus ponens: Kui Ast järeldub B ja A on tõsi, siis on ka B tõsi. Näide: Iga anarhist on vabaabielu pooldaja Mõned valitseva partei liikmed on anarhistid --------------------------------------------- Mõned valitseva partei liikmed on vabaabielu pooldajad Näite jätk Iga x on y Mõni z on x ------------------- Mõni z on y Loogika - keel formaliseeritudkuj
1 1. LOOGIKA PÕHIREEGLID. SEMANTILINE KOLMNURK Loogika määratlemisest Sõna loogika näib olevat kujunenud kreeka väljendist logik¾ tscnh, mis tähendab mõtlemise või arutlemise kunsti. Kui püüda mõista, mis on loogika, siis üks võimalus on lähtuda selle sõna kasutamisviisidest tavakeeles. Eesti keelt kõneldes saab sõna loogika Kasutada erinevates tähendustes: · sündmuste, asjade või süsteemide loogika, s.o sisemine korrapära, mis võimaldab sündmustest, asjadest või süsteemidest aru saada, selleks võib olla ka millegi tööpõhimõte; · mõtlemise loogika, s.o mõtlemises esinev korrapära, mis võimaldab teha järeldusi, sh selliseid, mida varem ei teata; · teksti või jutu loogika (loogilisus), see iseloomustab lisaks mõtlemise loogikale (mida kõne väljendab) ka seda, kui süsteemselt kõnelejal õnnestub oma m�
SEMANTILINE KOLMNURK: TEEMA 1!! 1 1. LOOGIKA PÕHIREEGLID. SEMANTILINE KOLMNURK Loogika määratlemisest Sõna loogika näib olevat kujunenud kreeka väljendist logik¾ tšcnh, mis tähendab mõtlemise või arutlemise kunsti. Kui püüda mõista, mis on loogika, siis üks võimalus on lähtuda selle sõna kasutamisviisidest tavakeeles. Eesti keelt kõneldes saab sõna loogika Kasutada erinevates tähendustes: • sündmuste, asjade või süsteemide loogika, s.o sisemine korrapära, mis võimaldab sündmustest, asjadest või süsteemidest aru saada, selleks võib olla ka millegi tööpõhimõte; • mõtlemise loogika, s.o mõtlemises esinev korrapära, mis võimaldab teha järeldusi, sh selliseid, mida varem ei teata; • teksti või jutu loogika (loogilisus), see iseloomustab lisaks mõtlemise loogikale (mida kõne väljendab) ka seda, kui süsteemselt kõnelejal õnnestub oma mõtteid väljendada; • loogika kui teadus (õpetus, filosoofia vms), mis uurib keeles väljenduva mõtlem
Kursuse "Filosoofia ja loogika" (HS-310) loogika osa loengukonspekt Argumentatsiooni (arutluse) komponendid Üldiselt: argumentatsioon on omavahel (loogiliselt) seotud väidete kogum, mille eesmärk on meid milleski veenda (nt mingi seisukoha õigsuses, mingi tegevuse soovitavuses. Just veenmine on komponent, mis eristab argumentatsioone ka teistest loogiliselt seotud väidetekogumitest: näiteks "Ma kihutan autoga sellepärast nii kiiresti, et mul on gaas põhjas" pole mitte argumentatsioon, vaid seletus. Väited Oma vormi poolest on väited subjekt-predikaat konstruktsioonid1: Subjekt see väite komponent mille kohta midagi väidetakse. Predikaat - see väite komponent, mida väidetakse. Oma sisu poolest jaotuvad subjekt-predikaat konstruktsioonid laias laastus hinnanguteks ja propositsioonideks. Propositsioon on väitelause mõte või sisu, mis saab olla tõene või väär. Nt ei saa olla tõene või väär väite "Lennart Meri on paha" si
sulgudest loobuda o Valemi välimised sulud võib ära jätta Lausearvutuse valem DEF: Lausearvutuse valemid on parajasti need, mida saab koostada alltoodud reeglite abil: ○ iga lausemuutuja on lausearvutuse valem ○ kui F on lausearvutuse valem, siis ka ¬F on lausearvutuse valem ○ kui F ja G on lausearvutuse valemid, siis ka (F & G), (F ∨ G), (F → G) ja (F ↔ G) on lausearvutuse valemid 2 3. Väärtustus. Tõeväärtustabel. Samaselt tõene valem. Samaselt väär valem. Kehtestatav valem. Nende omaduste kontrollimine. Seosed valemiklasside vahel. [1] Väärtustus: o Juhul, kui vaatluse all on korraga hulk lausemuutujaid ja me omistame tõeväärtuse igale muutujale, siis nimetatakse sellist tõeväärtuste komplekti väärtustuseks. N: Olgu muutujatekomplekt A, B, C, siis nende üks võimalik väärtustus on A=1, B=0, C=1 ehk (1,0,1) Tõeväärtustabel:
konstrueeritud kolmanda väite modifitseerimine võiks asja parandada. · Täiendavaks kontrolliks sobivad figuuride reeglid. 15_fl_vi-x ÜLESANDEID: 7. Analüüsige kategoorilisi süllogisme (figuur, terminite maht, korrektsus) 7.1. Helepunastel lilledel lõhna ei ole. Sel lillel ei ole lõhna. See lill on helepunane. Viime väited kategooriliste otsustuste kujule (A, E, I, O) Helepunastel lilledel lõhna ei ole. Ehk: Mitte ühelgi helepunasel lillel ei ole lõhna. Sel lillel ei ole lõhna. See lill on helepunane [lill]. S See lill; P helepunane lill; M lõhn (omadus olla lõhnav). Saame süllogismi panna kirja kujul: P+ e M+ S+ e M+ (üksikotsustus on käsitletav üldotsustusena)
DETERMINANTIDE ARVUTAMINE 1) Iga determinandi arvutamisel saab kasutada determinantide eelpool sõnastatud OMADUSI. Selleks võib vastata järgmistele küsimustele või teha vajalikud arvutused. a) Kas determinant sisaldab NULLIDEST KOOSNEVAT RIDA (VEERGU)? Vt järeldust 2. b) Kas determinant sisaldab VÕRDSEID RIDU (VEERGE)? Vt lauset 4. c) Elementaarteisenduste abil saab teisendada determinandi KOLMNURKSELE KUJULE, st kujule, mil peadiagonaali all või kohal on kõik elemendid nullid (lause 6). Siis võrdub determinant PEADIAGONAALI ELEMENTIDE KORRUTISEGA: | A | = a11 a22 . . . ann , kui akl = 0, k > l (või k < l). 2) DETERMINANDI ARENDAMINE REA (VEERU) JÄRGI. Sel viisil saab alandada arvutatavate determinantide järku ühe võrra. DEFINITSIOON 1. Determinandi |A| = | ai j |, i, j = 1, 2, . . . , n elemendile akl vastavaks MIINORIKS Mkl nimetatakse (n 1)-järku
DETERMINANTIDE ARVUTAMINE 1) Iga determinandi arvutamisel saab kasutada determinantide eelpool sõnastatud OMADUSI. Selleks võib vastata järgmistele küsimustele või teha vajalikud arvutused. a) Kas determinant sisaldab NULLIDEST KOOSNEVAT RIDA (VEERGU)? Vt järeldust 2. b) Kas determinant sisaldab VÕRDSEID RIDU (VEERGE)? Vt lauset 4. c) Elementaarteisenduste abil saab teisendada determinandi KOLMNURKSELE KUJULE, st kujule, mil peadiagonaali all või kohal on kõik elemendid nullid (lause 6). Siis võrdub determinant PEADIAGONAALI ELEMENTIDE KORRUTISEGA: | A | = a11 a22 . . . ann , kui akl = 0, k > l (või k < l). 2) DETERMINANDI ARENDAMINE REA (VEERU) JÄRGI. Sel viisil saab alandada arvutatavate determinantide järku ühe võrra. DEFINITSIOON 1. Determinandi |A| = | ai j |, i, j = 1, 2, . . . , n elemendile akl vastavaks MIINORIKS Mkl nimetatakse (n 1)-järku
omadusi omistatakse või mida kuhugi liigitatakse. Tekivad probleemid, mille vältimiseks tundub mõistlik nõuda, et subjekt ei tohi olla tühi hulk. Tänapäeval on sellest nõudest siiski loobutud, lähemalt räägime sellest arutluse ja süllogistika loenguis. ) 15_fl_i-v ÜLESANDEID: 3.2. Määrake näitelause tüüp ning viige näitelause klassikalisele kujule. Formuleerige kõik neli ühemateeria väidet. Joonistage loogiline ruut lähtudes näitelausest. Kasutades loogilise ruudu omadusi, püüdke leida kõikide väidete tõeväärtused. Selgitage, milliseid omadusi Te kasutasite. Näitelause tõeväärtus on ette antud. 3.2.1. Kõik ei ole enda teha. (tõene). Lahendus: Lause on osaeitav (O): O Mõned [asjad] ei ole enda teha. A Kõik [asjad] on enda teha. E Miski [Ükski asi] pole enda teha.
mis on alati tõene, välja arvatud siis, kui alus on tõene ja tagajärg on väär. 5. Ekvivalents p(--)q, on tõene parajasti siis, kui tema operantidel on ühesugune tõeväärtus. 6. Antiekvivalents ehk välistav disjunktsioon p+q, on alati tõene parajasti siis, kui tema operantidel on erinevad tõeväärtused. Lausearvutuse SÜNTAKS- lausearvutuse valemid on parajasti need, mida saab koostada alltoodud reeglite abil. Lause on SAMASELT TÕENE ehk loogiliselt tõene ehk TAUTOLOOGIA parajasti siis, kui lause on tõene oma komponentlausete mis tahes tõeväärtusjaotuse korral. Lause on SAMASELT VÄÄR ehk loogiliselt väär ehk VASTUOLU ehk KONTRADIKTSIOON parajasti siis, kui lause on väär oma komponentlausete mis tahes tõeväärtusjaotuse korral. Lause on KONTINGENTNE ehk SATTUMUSLIK parajasti siis, kui lause omandab erinevaid tõeväärtusi vastavalt oma komponentlausete tõeväärtusjaotustele.
Ülesanne: Leida valemi X ¬Y (Z ¬X) Y X tõeväärtus muutujate X, Y , Z väärtustusel (t, v,t). Kõigepealt teame, et X = t, Y = v ja Z = t. Seejärel saame, et ¬X = v ja ¬Y = t ning Y X = t. Edasi leiame analoogilisel viisil, et X ¬Y = t ning Z ¬X = v, mistõttu X ¬Y (Z ¬X) = v. Lõpuks näeme, et X ¬Y (Z ¬X) Y X = v. Vaadeldaval väärtustusel on valem järelikult väär. Definitsioon Lausearvutuse valemit nimetatakse · samaselt tõeseks, kui ta on igal väärtustusel tõene. · samaselt vääraks, kui ta on igal väärtustusel väär. Definitsioon Lausearvutuse valemit nimetatakse · kehtestatavaks, kui ta on vähemalt ühel väärtustusel tõene. · kummutatavaks, kui ta on vähemalt ühel väärtustusel väär · Iga samaselt tõene valem on ka kehtestatav. · Iga samaselt väär valem on ka kummutatav. · Valem on samaselt väär parajasti siis, kui ta pole kehtestatav. Seosed valemiklasside vahel: Lause:
SISSEJUHATUS MATEMAATILISSE LOOGIKASSE Kordamisküsimused (orienteeruv) Mõnede sümbolite tähendused sõna Materjal puudub & Konjuktsioon Ekvivalents üldisuskvantor Järeldumine Disjunktisoon ¬ Eitus olemasolukvantor Signatuur Implikatsioon Samaväärsus Loogiline järeldumine I. Lausearvutus Laused. Lausearvutuse tehted. Valem. Valemi tõeväärtus. Tõeväärtustabel. Laused Põhilised uuritavad objektid lausearvutuses on laused, mis võimaldavad pärineda ükskõik millisest valdkonnast. Oluline on, et igale lausearvutusele saaks vastavusse seada tõeväärtuse, mis kirjeldab lause tegelikkusele vastava määra. Eeldame, et käsitlevad laused rahuldavad järgmisi tingimusi: · Välistatud kolmanda seadus. Iga lause on kas tõene või väär · Mittevasturääkivuse seadus
Loogika – sissejuhatus ja põhimõisted Järeldus on 1 lause Klassikalise loogika põhiseadused: samasuse ehk identsuse seadus, vasturääkivusseadus, välistatud kolmanda seadus, Aristoteles (384-322) vb aluse seadus. Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 – 1716) Loogika roll Loogika ei suuda üldjuhul öelda meile, millised väited või uskumused vastavad tõele. Tõde tähendab, et me teame, kuidas asjad on. Loogika ei ütle meile seda. Loogika valdamine aitab meil otsustada, kas meie väljakujunenud uskumused ja seisukohad on omavahel kooskõlas. Kooskõlalisus Hulk väiteid või uskumusi on omavahel kooskõlas parajasti siis, kui kõik selle hulga liikmed saavad olla korraga tõesed. Vastasel juhul on see hulk mittekooskõlaline. Sellisel juhul ütleme, et vaatlusaluseid väiteid ei saa korraga jaatada. Näide: Oletame, et keegi usub kõike järgnevat: Igaüks, kes võtab astroloogiat tõsiselt, on hullumeelne. Mari on minu õde ja ükski minu õdedest ei ole abiel
LOOGIKA KONSPEKT EKSAMIKS (autor – mis iganes, kas tead teda või mitte, ei vastuta selles materjalis sisalduva informatsiooni (eba)õigsuse eest; palun ärge solvuge ega süüdistage) 1. LOOGIKA PÕHIREEGLID. ! D1.2. Samasusseadus Ühes ja samas arutluses, ühes ja samas suhtes peab iga termin või väide, kui ta esineb arutluses korduvalt, olema kasutatud iseendaga identselt. ! ! See tähendab, et kui me kasutame ühes arutluses mingisugust terminit või väidet korduvalt, ! ! siis ei tohi arutluse sees terminite ja väidete tähendused muutuda. ! D1.3. Vasturääkivusseadus Kui mingis arutluses peetakse tõeseks kaht väidet, millest üks jaatab seda, mida teine eitab, siis öeldakse, et arutlus on vasturääkiv. ! ! Arutlus pole loogiliselt korrektne, kui omavahel vastuolus olevaid väiteid mõlemat jaatatakse ! ! või eitatakse. ! D1.
LOOGIKA KONSPEKT EKSAMIKS (autor mis iganes, kas tead teda või mitte, ei vastuta selles materjalis sisalduva informatsiooni (eba)õigsuse eest; palun ärge solvuge ega süüdistage) 1. LOOGIKA PÕHIREEGLID. ! D1.2. Samasusseadus Ühes ja samas arutluses, ühes ja samas suhtes peab iga termin või väide, kui ta esineb arutluses korduvalt, olema kasutatud iseendaga identselt. ! ! See tähendab, et kui me kasutame ühes arutluses mingisugust terminit või väidet korduvalt, ! ! siis ei tohi arutluse sees terminite ja väidete tähendused muutuda. ! D1.3. Vasturääkivusseadus Kui mingis arutluses peetakse tõeseks kaht väidet, millest üks jaatab seda, mida teine eitab, siis öeldakse, et arutlus on vasturääkiv. ! ! Arutlus pole loogiliselt korrektne, kui omavahel vastuolus olevaid väiteid mõlemat jaatatakse ! ! või eitatakse. ! D1.4
3) a. Kui vaatluse all on korraga hulk lausemuutujaid ja me omistame tõeväärtuse igale muutujale, siis nimetatakse sellist tõeväärtuse komplekti muutujate väärtustuseks. b. Tehete toimet võib ülevaatlikumalt kirjeldada tõeväärtustabeliga, mille vasakus osas on valemi argumentide kõikvõimalikud väärtused, paremas osas aga tehete tulemused. c. Lausearvutuse valemit nimetatakse c.i. Samaselt tõeseks, kui ta on igal väärtustusel tõene, valemi tõeväärtuste veerus peab esinema ainult väärtus 1. c.ii. Samaselt vääraks, kui ta on igal väärtustel väär, valemi tõeväärtuste veerus peab esinema ainult väärtus 0. d. Lausearvutuse valemit nimetatakse kehtestatavaks, kui ta on vähemalt ühel väärtustusel tõene. Sellise valemi tõeväärtuste veerus esineb väärtus 1. e. Seosed valemiklasside vahel
Kui F = G & H, siis F = 1 parajasti siis, kui G = 1 ja H = 1. 3. Kui F = G V H, siis F = 1 parajasti siis, kui G = 1 või H = 1. 4. Kui F = G -> H, siis F = 1 parajasti siis, kui G = 0 või H = 1. 5. Kui F = G <->H, siis F = 1 parajasti siis, kui G = 1 ja H = 1 6. või G = 0 ja H = 0. Tõeväärtustabeli vasakus pooled on muutujate kõik väärtused. Paremas pooles on tehte tulemus kirjutatud vastava tehte veergu. Samaselt tõene valem lausearvutuse valemit F nimetatakse samaselt tõeseks, kui ta on igal väärtusel tõene. Samaselt väär valem lausearvutuse valemit F nimetatakse samaselt vääraks, kui ta on igal väärtusel väär. Kehtestatav valem lausearvutuse valemit F nimetatakse kehtestatavaks, kui ta on vähemalt ühel väärtusel tõene. · Iga samaselt tõene valem on kehtestatav · Kui valem ei ole kehtestatav, siis on ta samaselt väär Samaväärsed valemid - Valemeid F ja G nimetatakse samaväärseteks, kui nende
( y) üldlahend on määratud avaldisega ( x ) dx = ( y ) dy +C . 4 MLF 1121 Geofüüsikaline hüdrodünaamika (Matemaatika ülevaade I) Jüri Elken dy y Diferentsiaalvõrrand on homogeenne, kui ta on viidav kujule = F . dx x Esimest järku lineaarne diferentsiaalvõrrand avaldub kujul dy + p( x ) y = q( x ) , dx dy mille lahend avaldub homogeense võrrandi + p ( x ) y = 0 üldlahendi ja vastava dx mittehomogeense võrrandi mingi erilahendi summana. Homogeenset võrrandit saab teisendada kujule
Loogikatehete prioriteet: ¯¯ ∧ ∨ → ↔ (M∧H)∨(V∧H) = (1 ∧ 0 ) ∨ (0 ∧ 0 ) = 0 [vale] ülesanded: Olgu lihtlaused järgnevate tõeväärtustega: ———————————————————————————————————————————— S = 0 O = 1 V = 0 Lause on samaselt tõene, kui ta omandab tõeväärtuse 1 koostislausete mistahes väärtuskombinatsioonide korral. P = 1 L = 1 M = 1 Samaselt tõest lauset nimetatakse ka tautoloogiaks. H = 0
vasturääkivaks, kui süsteemil (1) ei ole lahendeid. Elementaarteisendused: nim. 1) tema mistahes võrrandi korrutamist nullist erineva reaalarvuga 2) tema mingile võrrandile teise mistahes arvuga läbikorrutatud võrrandi liitmist Gaussi meetodi kirjeldus - Gaussi meetodi puhul kirjutatakse välja süsteemi laiendatud maatriks, mis koosneb süsteemi kordajatest ja vabaliikmetest.(A/B) Kasutades maatriksi elementaarteisendusi, teisendatakse antud maatriks kujule:(E/ ). Maatriksi elementaarteisendused on järgmised: Maatriksi ridade vahetamine. · Maatriksi rea elementide korrutamine 0-ist erineva arvuga. · Maatriksi rea elementidele mistahes arvkordsete teise rea vastavate elementide liitmine. Elementaarteisenduste tulemusena saadakse üksteisega sarnased maatriksid, mis vastavad omavahel ekvivalentsetele võrrandisüsteemidele. Ekvivalentsetel võrrandisüsteemidel on ühesugused lahendid.
Determinant Def1 Eeskirja f, mis seab hulga V igale elemendile x vastavusse hulga W teatava elemendi y nimetatakse kujutiseks hulgast V hulka W. Def2 Kui mistahes x korral hulgast V on eeskirja f alusel vastavusse seatud üks kindel y hulgast W, siis öeldakse, et on määratud ühine kujutis hulgast V hulka W. L V = M(n × n) LW= f: M(n × n) f: Ad A M(n × n) d 1 2 n |a1 a1 ... a1 | |a21 a22 ... a2n| d = |.....................| = (-1) a11 a22 a33 ... ann permutatsioonid |an1 an2 ... ann| Selgitus: determinandi väärtust arvutav summa on võetud üle kõigi permutatsioonide, millised saab moodustada numbritest 1, 2, 3 ... n ( seega on liidetavaid n! tükki), sümbol summa avaldises tähistab inversioonide koguarvu permutatsioonis 1; 2;....; n. Permutatsioon on teatava hulga kõikidest elementidest moodustatud ning konk
Tõestada lausearvutuse tuletusreegleid kasutades. Tegelikult piisaks lihtsalt kontranäitest. Kui näiteks eeldada, et tööd A ja B oleks identsed ja töö C nö. uue teema peale, siis ei saa kindlasti väita, et A ja B sooritamine annab küllaldaselt teadmisi. Proovime siiski ka formaalse tõestuse ära: A - esimene töö B - teine töö C - kolmas töö T - piisaval hulgal teadmisi (1) A&CT (2) B & C T (3) A & B T - hüpotees Peaks samaselt kehtima (A&CT) & (B&CT) (A&BT) = = (¬(A&C) T) & (¬(B&C) T) (¬(A&B)T) = = (¬A ¬C T) & (¬B ¬C T) (¬A ¬B T) = = ¬((¬A ¬C T) & (¬B ¬C T)) ¬A ¬B T = = ¬(¬A ¬C T) ¬(¬B ¬C T) ¬A ¬B T = = A & C & ¬T B & C & ¬T ¬A ¬B T 1 3 2 7 4 6 5 9 8 11 10 12
argumendile/operandile(inversioon). Ekvivalents on kahepoolne implikatsioon. Elementaarsed loogikatehted on inversioon, konjunktsioon, disjunktsioon, kuna nende abil saab esitada kõik teised tehted. Lausearvutus valem on lausearvutuslause tähis ja üksik tõeväärtus. Prioriteedijärjestus loogikatehetele on inversioon, konjunktsioon, disjunktsioon, implikatsioon, ekvivalents. Lause on samaselt tõene, kui lause omab tõeväärtust 1 ükskõik milliste väärtuskombinatsioonide korral. Tautoloogia. Lause on samasselt väär, kui lause omab tõeväärtust 0 ükskõik milliste väärtuskombinatisoonide korral. Vastuolu. Predikaat on lause, mis sisaldab ühte või enamat muutujat. Predikaat omab tõeväärtuse, kui muutujale omistada tõeväärtus. Predikaati tähistatakse suure tähega ja muutujat väiksega.
MTMM.00.340 Kõrgem matemaatika 1 2016 KÄRBITUD loengukonspekt Marek Kolk ii Sisukord 0 Tähistused. Reaalarvud 1 0.1 Tähistused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 0.2 Kreeka tähestik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 0.3 Reaalarvud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 0.4 Summa sümbol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1 Maatriksid ja determinandid 7 1.1 Maatriksi mõiste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2 Tehted maatriksitega . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Masinamehaanika kordamisküsimused 2010 1. Tuua näiteid kinemaatilistest paaridest ja nende sidemetest. Mehhanismi lülid seotakse omavahel nii, et neil säilub võimalus teineteise suhtes liikuda. Lülide suhtelist liikumist võimaldavaid ühendeid nim kinemaatilisteks paarideks. 1) Kerapaar on kolm sõltumatut rotatsioni ümber kolme telje. Vabadusastmeid on 3, sidemeid 3. 2) Silinderpaar translatsioon piki ühte telge ja sellest sõltumatu rotatsioon ümber sama telje. Vabadusastmeid 2, sidemeid 4. 3) Sõrmega kerapaar kaks sõltumatut rotatsiooni ümber kahe ristuva telje. Vabadusastmeid 2, sidemeid 4. 4) Transaltsioonipaar Translatsioon piki telge. Vabadusasmeid 1, sidemeid 5. 5) Rotatsioonipaar rotatsioon ümber ühe telje. Vabadusastmeid 1, sidemeid 5. 6) Kruvipaar rotatsioon ümber
Siis saame kirjutada võnkumiste võrrandi nii: x=a cost, y=b cos(t+)}, kus on võnkumiste faasivahe. See võrrandisüs. kujutab endast mõlemas võnkumises osaleva keha trajektoori võrrandit parameetrilisel kujul. Et anda sellele võrrandile kuju, peab võrranditest elimineerima aja t. Esimesest võrr. järeldub: cost=x/a. Järelikult sint=1-x2/a2. Asendame cost ja sint nende väärtuste-ga, saame: y/b=x/acos -sin 1-x2/a2. Võrrand teiseneb järgmisele kujule: x2/a2+y2/b2-2xy/ab *cos=sin2. §47. Laine kirjeldamine. Kui elastse kk.-na (tahke, vedela, gaasilise) ühes kohas panna kk.-na osakesed võnkuma, hakkab see võnkumine osakeste interaktsiooni tõttu levima osakeselt osakesele teatud kiirusega v. Võnkumiste ruumis levimise protsessi nim. laineks. Laine levimisel kk.-nas ei kandu kk.-na osakesed lainega kaasa, nad ainult võnguvad oma tasakaaluasendi läheduses
YFR0012 Eksami küsimused Mis on elektrilaeng ja millised tema 5 põhiomadust. Elektrilaeng on mikroosakese fundamentaalne omadus. Elektrilaengu põhiomadused: Elektrilaenguid on kahte tüüpi: positiivne ja negatiivne. Eksisteerib vähim positiivne ja negatiivne laeng, mis on absoluutväärtuselt täpselt võrdsed. Elementaarlaeng. Elektrilaeng ei eksisteeri ilma laengukandjata. Kehtib elektrilaengu jäävuse seadus: Isoleeritud süsteemis on elektrilaengute algebraline summa jääv. Elektrilaeng on relativistlikult invariantne. Ei sõltu taustsüsteemist. Coulomb’ seadus, joonis, valem, seletus. Samanimelised laengud tõukuvad. Erinimelised laengud tõmbuvad. Valem: k∗1 ∗q 1∗q 2 ε r 12 ∗⃗ r 212 ⃗ F12= r 12 Joonis: ε ≥ 1 on suhteline dielektriline läbitavus, vaakumis ε =1 Elektrivälja tugevus. Valem, ühik, suund. Jõujo
loogikatehete kaudu, kuna nad ise ongi „lihtsaimad“ tehted. Nii liht- kui ka liitlausete formaalseid esitusi nim lausearvutusvalemiteks -> Def – Lihtlause formaalne tähis (nt: A) ja üksik tõeväärtuskonstant 0 1 on valem. Kui A on valem, siis valemid on ka 𝐴̅ ja (A). Kui A ja B on valemid, siis on valemid ka 𝐴∧𝐵,𝐴∨𝐵,𝐴→𝐵,𝐴↔𝐵. Loogikatehete prioriteet: inversioon, konjunktsioon, disjunktsioon, implikatsioon, ekvivalents. Samaselt tõene ehk tautoloogia on lause, mis omandab tõeväärtuse 1 koostislausete mistahes väärtuskombinatsiooni korral (nt: 𝐴∨𝐴̅). Samaselt väär ehk vastuolu on lause, mis omandab tõeväärtuse 0 koostislausete mistahes väärtuskombinatsiooni korral (nt: 𝐴∧𝐴̅). Samaselt tõesed laused võib kõikjal asendada konstandiga 1, samaselt väärad konstandiga 0. Predikaat on lause (valem), mis sisaldab ühte või enamat muutujat
Mida väiksem on ∆ x k , seda vähem muutub funktsioon f osalõigul [x k−1 ; x k ] , sellest tulenevalt seda täpsem on eeltoodud valem. Samuti mida peenem on [ a ; b ] tükeldus, seda täpsem on pindala valem. Piirporotsessis ϱn → 0 saame eelnevast ligikaudsest valemist järgmise täpse valemi pindala jaoks: b S=∫ f ( x ) dx a Kuna mõlemad valemid arvutavad trapetsi pindala samaselt, siis 12 b ∫ f ( x ) dx=F ( b )−F ( a ) a kus F' ( x ) =f ( x ) . Seda valemit nimetatakse Newton-Leibniz’i valemiks. Määratu integraali ligikaune arutamine. Kvadratuurvalemid Newton-Leibniz’i valem arvutab küll määratud integraali täpselt, aga alati ei osutu selle valemi kasutamine võimalikuks, kuna kõikidel funktsioonidel ei pruugi leiduda piisavalt lihtne algfunktsioon.
6. ELEKTRIAJAMITE ÜLESANDED Tootmises kasutatakse töömasinate käitamiseks rõhuvas enamuses elektriajameid. Ka pneumo- ja hüdroajamid saavad oma energia ikka elektrimootoritega käitatavatelt kompressoritelt ja hüdropumpadelt. Elektriajam koosneb elektrimootorist ja juhtimissüsteemist, mõnikord on vajalik veel muundur ja ülekanne. Elektriajamite kursuse põhieesmärk on valida võimsuse poolest otstarbekas elektrimootor, arvestades ka kiiruse reguleerimise vajadust ja võimalikult head kasutegurit. Järgnevad ülesanded käsitlevad selle valikuprotsessi erinevaid külgi. 6.1. Rööpergutusmootori mehaaniliste tunnusjoonte arvutus Ülesanne 6.1 Arvutada ja joonestada rööpergutusmootorile loomulik ja reostaattunnusjoon. Mootori nimivõimsus Pn = 20 kW, nimipinge Un = 220 V, ankruvool Ia = 105 A, nimi- pöörlemissagedus nn = 1000 min-1, ankruahela takistus (ankru- ja lisapooluste mähised) Ra = 0,2 ja ankruahelasse on lülitatud lisatakisti takistu
2. FINANTSMATEMAATIKA ELEMENDID Sissejuhatus Tänapäeval pole vist vaja pikalt selgitada, kui suurt tähtsust omab raha ja kõik sellega seonduv. Paljud teie seast on juba käinud ka tööl ja saanud töö eest ka tasu. Seoses sellega on tekkinud kindlasti küsimus, kuidas teenitud raha kõige otstarbekamalt kasutada. Ülikooli õppima asumise korral tuleb paljudel teist võtta õppelaenu ning siis on oluline, kuidas erinevate pakkumiste seast valida välja enda jaoks parim variant. Kaugemas tulevikus tuleb aga nii mõnelgi teie seast kokku puutuda veel mitmesuguste laenude ning liisingutega. Kindlasti seisavad paljud tulevikus otsustuste ees, kuidas valida erinevate eluasemelaenu või autoliisingu pakkumiste seast parim. Kui saate tulevikus piisavalt hästi tasustatud töökoha, siis võivad tekkida raha ülejäägid, mida pole just otstarbekas igapäevaseks tarbimiseks ära kulutada. Tekib probleem, kuidas ülejäävat rah
Kuidas kirjutada arutlust? Käsileht. Ajalugu ja ühiskonnaõpetus Arutluse kirjutamine ei nõua mitte ainult sügavaid teadmisi, vaid ka teema avamise, kavastamise ja materjali organiseerimise oskust, võimet analüüsida ja seostada teemat puudutavaid küsimusi, oskust sõnastada põhjendatud hinnanguid ja järeldusi ning valida sobivaid näiteid, oskust oma mõtteid selgelt väljendada ja kõige tähtsam head kõige olulisema tajumise võimet. Arutlust kirjutades ära kiirusta! Kui kasutad arutluse kirjutamisel materjale, siis ära kirjuta sõna-sõnalt maha. Nii jätab arutlus palju loomulikuma ja loogilisema mulje. Teema valimine Teemat valides mõtle sellele, mis valdkonnas on Sul olemas isiklikke kogemusi ja rohkelt häid näiteid. Iga sõna pealkirjas on tähtis! Ära vali teemat, mille sisus Sa kindel ei ole, sest teemast mööda kirjutatud arutlus saab 0 punkti. o Kui arutluse teema on esitatud küsimuse kujul, kujunda kõigepealt oma s
annaabi.ee 
