(a) b) y 2x - 5 y 2x - 3 2. Lahenda järgmised lineaarvõrrandisüsteemid liitmisvõttega. y x 1 x - y 10 (a) (b) 2x y 5 0 2x - y 16 3 y 4 x - 2 2x 3y - 6 0 (c) (d) 2 y - 1 x 2 y - 3 x 2 4 3. Lahenda järgmised lineaarvõrrandisüsteemid asendusvõttega. x 3y 6 3x - 5y 32 (a) (b)
Matemaatika konspekt I LIITMISVÕTE {2x + 3y = 12 {x -3y = -3 3x = 9 | : 3 x=3 3 3y = -3 -3y = -6 | :(-3) y=2 K: ... V: x = 3 y=2 ASENDUSVÕTE {y -2x = 1 => y = 1 + 2x {3x + y = 9 => 3x + 1 + 2x = 9 3x + 2x = 8 5x = 8 | : 5 x = 1,6 y = 1 + 2 x 1,6 y = 4,2 K: ... V: x = 1,6 y = 4,2 * ax2 + bx + c = 0 x1,2 = -b ± b2 -4 a c ---------------- 2xa * (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 * (a b)(a + b) = a2 b2 * (a + b)3 = a3 3a2b + 3ab2 + b3
Lineaarvõrrandisüsteemide lahendamine · Lineaarvõrrandisüsteemi üldkuju a1 x + b1 y = c1 a1 x + b1 y = c1 a2 x + b2 y = c2 a2 x + b2 y = c2 · Lineaarvõrrandisüsteemide lahendamisvõtted 1. Asendusvõte 13 + 2 y = 9 x 7x = 3y 3y 7x = 3y x = 7 3 y 13 + 2 y = 9 7 27 y 13 + 2 y = 7 13 - y = -13 y = 7 7 3 7 x= =3 7 Kontroll : v1 = 13 + 2 7 = 13 + 14 = 27 p1 = 9 3 = 27 v1 = p1 v2 = 7 3 = 21
1. avaldad x 2. paned selle alumisse võrdusesse 3. leiad y. 4. leiad x x-y=1 (1.) => x=1+y 4x-y=7 (4.) x=1+1 x=2 (2.) 4(1+y)-y=7 (3.) 4+4y-y=7 4+3y=7 3y=7-4 3y=3 |:3 y=1
Lineaarvõrrandisüsteemide lahendamine a1 x + b1 y = c1 a2 x + b2 y = c2 Asendusvõte 13 + 2 y = 9 x 3y 7x = 3y x = 7 3y 13 + 2 y = 9 7 27 y 13 + 2 y = 7 7 91 = 27 y - 14 y 13 y = 91 :13 y=7 3 7 x= 7 x=3 K: v1 = 13 + 2 7 = 27 p1 = 9 3 = 27 v1 = p1 v2 = 7 3 = 21 p2 = 3 7 = 21 v2 = p2 x=3 V: y=7 Liitmisvõte 3x = 2 y + 1 3 2x = 3y + 4 (-2) 9x = 6 y + 3 -4 x = -6 y - 8 5 x = -5 : 5 x = -1 3 (-1) = 2 y + 1 2 y = -4 : 2 y = -2 K: v1 = 3 ( -1) = -3 p1 = 2 ( -2) + 1 = -3 v1 = p1 v2 = 2 ( -1) = -2 p2 = 3 ( -2) + 4 = -2 v2 = p2 x = -1 V:
5y 5 = 6x 18 5y + 6x 5 + 18 = 0 6x + 5y + 13 = 0 2. Leia punktiga A(5 ; -2) ja sihivektoriga s = (3 ; -2) määratud sirge võrrand. X - X A Y - YA Sirge kanooniline võrrand: = . s1 s2 X - 5 Y - (-2) Asetame arvud võrrandisse: = . 3 -2 3y + 6 = 2x + 10 2x + 3y 4 = 0 3. Leia kahe punktiga C(-1 ; 3) ja D(7 ; 4) määratud sirge tõus. Kas sirge on tõusev või langev? X - XC Y - YC Sirge võrrand kahe punkti järgi: = . X D - X C YD - YC X - ( -1) Y - 3 X +1 Y - 3 Asetame arvud võrrandisse: = = . 7 - ( -1) 4 -3 8 1 s2 1
5 x + 6 y = -7 5 x + 6 y = -7 5 x + 6 y = -7 2. Liidame võrrandid. Edasi toimime nagu kirjalikus liitmises, kuna võrrandsüsteemis esines vastandarve, võime -6y ning 6y näiliselt maha tõmmata. - 4 x - 6 y = 8 5 x + 6 y = -7 x + 0 =1 Alles jääb x=1 3. Kuna meil on üks tundmatu nüüd teada, saame selle teada ka teise tundmatu. Selleks valime kummagi võrrandi võrrandsüsteemist. 2x+3y=-4 3y=-4-2x Asendame nüüd x-i tema väärtusega 3y=-4-2 3y=-6 y=-6 |:3 y=-2 x = 1 y = -2 Vastuseks on Kontroll: Vp=2-6= -4 Pp= -4 Vp=Pp Vp2=5-12= -7 Pp2= -7 Vp2=Pp2 Lineaarvõrrandisüsteemi lahendamine asendusvõttega: Võtame näiteks võrrandisüsteemi: x + 2 y = 15 2 x - 4 y = -14 1. Et asendusvõtet kasutada, tuleb leida kas x või y avaldis ühest võrrandist. x + 2 y = 15 x = 15 - 2 y 2 x - 4 y = -14 2 x - 4 y = -14
elementaaralgebras võrrand, mis saadakse kahe lineaarfunktisooni võrrutamisel Maakeeli: Lineaarvõrrandid on põhimõtteliselt kõik võrrandid, kus pole, ruute, juuri, siinuseid ega muud sellist kraami, mis asja keeruliseks teevad. Lineaarvõrrandid, milles on üks tundmatu (üldjuhul x), on lahendatavad koheselt arvutades. Lineaarvõrrandid millel on kaks tundmatut (üldjuhul x ja y) on lahendatavad graafikuga. Lineaarvõrrandite näited: 3x + y - 5 = -7x +4y + 3 2x - 3y + 1 = 3 x + 2y + 1 = 2x -4x - 3 = x + 1 6x + y - z + 1 = 3x + z Ühesõnaga mõlemal pool võrdusmärki on mingisugune lineaarne värk millele saab sirget graafikut joonistada, ka sellised murdudega võrrandid võib lineaarseteks lugeda millel on tundmatu murru lugejas, sest ka neil on sirged graafikud. Ühe tundmatuga lineaarvõrrandite lahendamine: https://www.youtube.com/watch?v=07F9hKTKKQ0 Lineaarvõrrandite lahendamine etapiliselt: Level 1) Level 2)
Lugude aluseks on sageli lihtne ja lühike motiiv, mida lõpmatuseni korratakse. Ajaloost Arenes välja 1960-ndatel, tõuke andis soul muusika Kujunes välja teistest stiilidest: gospel, bluus, jazz James Brown Suur osa ajaloost (sündinud 1933, surnud 2006), alustas souliesitajana Elas noorena halbades eluoludes Alustas noorena talendi showdel http://goo.gl/B1W8 3Y George Clinton Geroge Clintonit (sündinud juuli, 1941) võib ka lisada funk- muusika rajajate hulka. Teismeeas lõi Clinton oma doo-wop grupi. Oma soolokarjääriga alustas ta 1980 aastate alguses. Laulmisega tegeleb ta tänaseni. goo.gl/dTNGz Kool & The Gang Loodud 1964 aastal, põhineb fungil, jazzil, soulil, R&B ja diskol Müüdud üle 70 miljoni albumi Hetkel on ansamblis 11 liiget
15( x + y ) = 4 xy, x 0, y 0. (1) Ülesanne 2 (2) Teise tingimuse kohaselt x- y 1 = . x+ y 2 Kasutame taas võrde põhiomadust ja saame võrrandi 2( x - y ) = 1( x + y ) Avame sulud ja toome kõik liikmed võrduse vasakule poolele: 2x - 2 y = x + y 2x - 2 y - x - y = 0 x - 3y = 0 (2) Ülesanne 2 (3) Saadud võrrandid (1) ja (2) moodustavad jällegi mittelineaarse võrrandisüsteemi tundmatute x ja y määramiseks: 15( x + y ) = 4 xy, x - 3 y = 0. Teisest võrrandist avaldame tundmatu x: x - 3y = 0 x = 3y ja asendame esimesse võrrandisse: 15(3 y + y ) = 4 3 y y. Ülesanne 2 (4)
1) Koonda sarnased liikmed a) 2a - 5a + 8a - 7a = ................... f) 7x - 9x -2 + 3 = ................................... b) 5x + 3x + 6x - 2x = ................... g) 15x + y - 3x - 7y - 3 = ........................... c) 11y - 5y + 6y - 7y = ..................______ h) 2x - 5xy - 3y - 3x + 2xy = ...................... d) 22c - 13c + 8c - 7c = ................ i) 11 - 3a + 7b - 2a + 4b = ........................ e) 3a - 5b + 9a - 7b = ...................._____ j) 13u + 7v + 8u - 8u - 11v + 21 = ............. 1. Lahenda järgmised võrrandid: a) 5 - 4x + 9 = 2x - 10 ....................... e) 24x = 17 + 9x + 42 + 1 .................. ................................................... ...................................................
8.klass Õpitulemused Näited 1.Kahe tundmatuga lineaarvõrrand - Ül.908 normaalkuju ax+by=c, esimese tundmatuga lineaarliige ax, teise teise | 12 tundmatuga lineaarliige by ja vabaliige c; tähed a,b ja c tähistavad arve, need on laiendajad on 12;4;2;3 võrrandi kordajad; kahe tundmatuga võrrandil on samad põhiomadused, mis 48x-4(2x-5)=2(y+2)-3(2x-3y) ühe tundmatuga võrrandil 48x-8x+20=2y+4-6x+9y 48x-8x-2y+6x-9y=4-20 NB kaks kahe tundmatuga lineaarvõrrandit 46x-11y=-16 normaalkuju moodustavad lineaarvõrrandisüsteemi 2.Kahe tundmatuga lineaarvõrrandi Ül.901 normaaalkuju - võrrand üldkujul ax+by=c 3x-5(3y-4)=-3(x-2)+6 kirjutatakse nii, et lineaarliikmed on 3x-15y+20=-3x+6+6 tähestikulises järjekorras; murde, sulge või 3x-15y+3x=6+6-20
graafilise lahendusmeetodi tähelepanu alt välja). Eespool nimetatud kahest võttest tuleks võimaluse korral eelistada liitmisvõtet. Näide 1. Lahendame võrrandisüsteemi liitmisvõttega. Kui korrutame võrrandisüsteemi teist võrrandit (-2)-ga, siis saame võrrandisüsteemi . Kui nüüd süsteemis olevate võrrandite vastavad pooled liita, siis saame võrrandi, kus enam tundmatut x ei ole, -3y = -3, millest y = 1. Asendame saadud y väärtuse süsteemi esimese võrrandisse, siis saame, et 2x + 1 = 3, millest x = 1. Vastus. Lahend on (1; 1). Liitmisvõtte puhul ei pea võrrandeid ilmtingimata liitma, neid võib teineteisest ka lahutada. Näide 2. Lahendame võrrandisüsteemi liitmisvõttega. Et mõlemas võrrandis on x kordajad võrdsed, siis võime kohe lahutada esimese võrrandi vastavatest pooltest teise võrrandi vastavad pooled
AC = CB Tasandi n = ( 3; 2; 3) 6 + 9s 14 + 4s + 33 + 9s 47 = 0 s = 1 ( sirge lõike parameeter) C(5; -5; 14) ( asendan S: igasse võrrandisse s = 1) AC = (3; 2; 3) B( k; l; m) CB = ( k 5; l + 5; m 14) B( 8; -3; 17) 5. Leida punktile A(1; 2; 3) sümmeetriline punkt sirge suhtes. AC = CB s = (1; 3; -1 ) Toome sisse muutuva punkti P( x; y; z) AP s = 0 AP = ( x -1, y 2; z 3) x -1 +3y 6 z +3 = 0 : x + 3y z -4 = 0 S + 8 + 9s + 33 + s 4 4 = 0 S = -3 Kahe sirge lõikumine Kattuvad: s t BA Sirged on paralleelsed: s t BA Sirged lõikuvad: s t D= 0 Sirged on lõikuvad ja risti: t s = 0 Kiivsirged: s t D 0 Sirged on kiivsed ja risti: t s = 0 6. On antud sirged s = ( 3; 2; 4) B(5; 1; 4) t = ( -9; 4; 0) A( -7; 3; 8) BA = ( -12; 2; 4) = 0 Sirged lõikuvad. Leian lõikepunkti koordinaadid:
9. Võrdhaarse trapetsi lühem alus on 4 dm ja haar 5 dm ning teravnurk 45o. Trapets pöörleb ümber
oma pikema aluse. Leidke pöördkeha ruumala ja täispindala.
2x
10. Uurige f-ni y = (X, Xo, X+; X-; X , X , Xe) ja skitseerige graafik.
1- x2
11. Rombi diagonaalid suhtuvad nagu 3:4 ja ta ümbermõõt on 6 m. Arvutage diagonaalide pikkused ja
nurk lühema diagonaali kõrguse vahel.
Vastused. 1. AB: x 3y + 5 = 0; (-5;0) ja (0;5/3); AC: 3x y 1=0; (1/3;0) ja (0;-1); x 3y + 13 = 0; k =
-3; 2. x2 + (y-4,5)2=6,25 ja y = 2; (2,5;2). 3. x + 3y 1 = 0. 4. y = 2x2 8x 10; (2;-18); y = -8x-10. 5.
(1;-1), a1 = 3; a2 = -3; arccos 0,8. 6. y = -x2+6x-5; x1=1, x2=5; H(3;4); A(0;1); x1
a 2 ab b 2 a b u v u v u 3 v 3 a1 x + b1 y = c1 477. Lahenda võrrandisüsteemid determinantide abil. Seega võrrandisüsteemi lahend esitub kujul a 2 x + b 2 y = c 2 ¦ x 3y 4 ¦5 x 6 y 11 ¦3x 4 y 0 a) § b) § c) § x Dx ja y Dy , kus D 0. ¨4 x y 3 ¨ xy 2 ¨5 x 7 y 0
a) 6; b) 11; c) 9; d) 3; e) 8. Kui korrapärase kümmenurga külje pikkus on 16mm, siis kümmenurga ümbermõõt on a) 8mm; b) 32cm; c) 160mm; d) 32mm; e) 1,6mm Kui korrapärase kolmnurga ümberringjoone raadius on 10dm, siis selle kolmnurga pindala on a) 100dm2; b) 130dm2; c) 20dm2; d) 5m2; e) 100cm2. VALE! VALE! VALE! VALE! VALE! VALE! VALE! VALE! VALE! VALE! VALE! VALE! VALE! VALE! VALE! VALE! VALE! VALE! VALE! VALE! VALE! VALE! Avaldise (2x-3y)+(4x-6y) väärtus on a) 6x-3y; b) 6x-9y; c) 2x-3y; d) 4x-9y; e) 6x+9y Avaldise (-5t+6u)-(2t+3u) väärtus on a) -3t+9u; b) -7t+3u; c) -3t-3u; d) -7t+3u: e) -3t+9u Avaldise (-2a4x5)3 väärtus on a) 2ax2; b) 8ax2; c) 8a12x15; d) 2a7x8; e) 8a12x15. Hulkliige 8a+4b-4a-8b+11 on pärast sarnaste liikmete koondamist ja korrastamist a) 4b-4a+11; b) 4a+12b+11; c) 4a-4b+11; d) 27ab; e) 16ab+11 Tegurdades kaksliiget 4x2-16 saame tulemuseks
KODUTÖÖ 1. Hille Kesa Leida osatuletised fx ja fy kui 1. f(x,y) = 2x² 3y 4 fx' = 2x 0 0 = 2x fy' = 0- 3- 0 = 3 2. f (x,y) = (xy1) ² = (u)² fx' = 2u * y = 2(xy 1 )* y = 2xy² - y fy' = 2u* x = 2x²y x 3. f (x, y) = x / x² + y² = x / u fx' = (x ² + y ²) 2x ² / (x ² + y ² ) ² fy' = (x ² + y ²) 2x y / (x ² + y ² ) ² 4. f(x, y ) = e x y ln y
Sirge võrrand ühe punkti ja sihivektoriga: x-x1 / s1 = y-y1 / s2 Sirge võrrand punkti ja tõusuga: y-y1 = k(x-x1) Sirge võrrand tõusu ja algordinaadiga: y = kx + b Ühel sirgel on lõpmata palju sihivektoreid. Teame järgnevaid sirge määramise viise: kahe punkti abil, punkti ja sihivekotriga, punkti ja tõusuga, tõusu ja algordinaadiga. Sirge on omavahel risti kui nende tõusude korrutis on -1, s.t. k1 * k2 = -1. N: 12x 3y = 0; 2x + 8y 9 = 0 s1(3;12) s2(-8;2) s1*s2=3*(-8)+12*2=0 Sirge üldvõrrand: ax + by + c = 0 => s(prim) = (-b; a) Kahe sirge vastastikused asendid: s: a1x + b1y + c1 = 0 t: a2x + b2y + c2 = 0 I ühtivad: a1/a2=b1/b2=c1/c2 II paralleelsed: a1/a2=b1/b2 III lõikuvad a1/a2 cos(fii)=s*t/|s|*|t| = s1*t1+s2*t2/(ruutjuur s12 + s22) + (ruutjuur t12 + t22)
Kahe tundmatuga lineaarvõrrand TSG Võrrand · Kahe tundmatuga lineaarvõrrand sisaldab kahte esimeses astmes olevat tundmatut · Üldkuju: ax + by = c · x ja y on tundmatud · a, b ja c on arvud ehk võrrandi kordajad · Näiteks 2x 3y = 5 -7x + 5y = -12 Võrrandi lahend · Võrrandi lahendiks on järjestatud arvupaar, mille korral võrdus on tõene · Selliseid arvupaare on lõpmata palju Näiteks: võrrandi 2x y = 5 lahendiks on arvupaarid (2; -1), (5; 5), (4; 3), (1; -3) jne. Sirge võrrand · Kahe tundmatuga lineaarvõrrandi graafiliseks kujutiseks on sirge · Seepärast nimetatakse kahe tundmatuga lineaarvõrrandit sirge võrrandiks · Selle sirge iga punkti koordinaadid on
3.) Lahendan saadud ühe tundmatuga võrrandi. 5x9+6x=8 5x+6x=8+9 x=1 4.) Arvutan muutuja y väärtuse eelnevalt leitud avaldisest. Y=32*1=1 5.) Teen kontrolli. 2*1+1=2+1=3 5*1+3*1=53=8 6.) Kirjutan vastuse. x=1 y=1 Lahendame asendusvõttega lineaarvõrrandisüsteemi 2x+3y=13 5xy=7 Teisest võrrandist on lihtne avaldada tundmatu y tundmatu x kaudu. y=5x7 Asendame esimeses võrrandis tundmatu y saadud avaldisega ja 2x+15x21=13 lahendame saadud võrrandi. 17x=13+21 17x=34 :17
2. Ühe lõigu pikkus on 3a 5, teine on sellest a + 4 võrra pikem. Avalda teise lõigu pikkus ja lõikude pikkuste summa. Lahendus: Teise lõigu pikkus on 3a 5 + a + 4 = 4a 1. Kahe lõigu pikkuste summa on 3a 5 + 4a 1 = 7a 6. Vastus: Teise lõigu pikkus on 4a - 5 ja lõikude pikkuste summa on 7a 6. 3. Kolmnurga küljed avalduvad muutuja y kaudu järgmiselt: 2y 1, y + 2 ja 3y 4. Avalda kolmnurga ümbermõõt ja arvuta see, kui y = 12 cm. Lahendus: Kolmnurga ümbermõõt on 2y 1 + y + 2 + 3y 4 = 6y 3. Kui y = 12 cm, siis ümbermõõt on 6 * 12 3 = 72 3 = 69 cm. Vastus: Kolmnurga ümbermõõt on 6y 3 ehk 69 cm. 4. Rööpküliku lähisküljed on 4y + 6 ja 2y 4. Esimese ja teise külje vahe on 26 cm. Leia arv y ja rööpküliku ümbermõõt. Lahendus:
tegurina juuremärgi ette; positiivset arvu, mis seisaab tegurina juuremärgi ees, võib viia ruutu tõstetult tegurina juuremärgi alla. nt: 2. Korrutamise ja tegurdamise abivalemid. ( a+b)2= a2+2ab+b2 ( a-b)2= a2-2ab+b2 ( a+b)(a-b)= a2-b2 3. Lineaarvõrrandite süsteemi lahendamine: Liitmisvõte Asendusvõte + 2y+3y=15 5y=15 -y = -3 Y=3 Y = 3 X=23 2x+3×3=5 X=6 2x= -4 X= -2 Vastus = Vastus = 4. Kolmnurga kesklõik, ümbermõõt ja pindala. · Lõiku, mis ühendab kolmnurga kahe külje keskpunkte, nimetatakse kolmnurga kesklõiguks. · Kolmnurga kesklõik on paralleelne kolmnurga ühe küljega ja võrdub poolega sellest küljest. · Igal kolmnurgal on 3 kesklõiku
Leia punktid, milles sirge - 3x + 2 y = 8 lõikab koordinaattelgi. 1) x=-2.67 2) y= 4 5. Leia võrrandile 4x + y = 5 neli lahendit. 1) (2;-3) 2) (3;-7) 3) (4;-11) 4) (5;-15) 6. Leia võrrandisüsteemi lahend Süsteem Lahend 2x + 3 y = - 1 (1;-1) 3x + 2 y = 1 3x + y = 4 (1;1) 2x - y = 1 2x + 3 y = 12 (3;2) x - 3y = - 3 42 x - 25 y = 47 (1;-0,2) 28x + 45 y = 19 17 x - 9 y = - 435 (-2,14;44,29) 3x - 2 y = - 95 7. Selgita ja põhjenda, kas võrrandisüsteemil on üks lahend, lõpmata palju lahendeid või lahendid puuduvad? 2x + y = 3 Puuduvad kuna on paralleelsed 4x + 2 y = 3 - 2x + y = 3
Abivalemid RUUTUDE VAHE: (a+b) (a-b) = a +ab-ab+b =a2-b2 2 2 (a+b) (a-b) = a2-b2 NÄIDE: 16-a 2 = 4 2 -a 2 = (4+a) (4-a) SUMMA RUUT: (a+b) = (a+b) (a+b) = a +ab+ba+b2 = a2+2ab+b2 2 2 (a+b)2 = a2+2ab+b2 NÄIDE: (7x+4y) 2 = (7x) 2 +2(7x)(4y)+(4y) 2 = 49x 2 +56xy+16y 2 VAHE RUUT: (a-b) = (a-b) (a-b) = a -ab-ba+b2 = a2-2ab+b2 2 2 (a-b)2 = a2-2ab+b2 NÄIDE: (3a-b) 2 = (3a) 2 -2(3a)b+b 2 = 9a 2 -6ab+b 2 KUUPIDE SUMMA: (a+b) (a - ab+b ) = a - a b+ab2+ba2- ab2+b3 = a3+ b3 2 2 3 2 (a+b) (a2- ab+b2) = a3+ b NÄIDE: (a+3)(a 2 -3a+9) = a 3 +3 3 = a 3 +27 ...
Hulkliikme korrutamisel üksliikmega korrutatakse üksliikmega selle hulkliikme iga liige ja tulemused liidetakse. Näited: 5(4x-2y)=20x-10y ; -3u(5u-v)= -15u +3uv Hulkliikme jagamine üksliikmega Hulkliikme jagamisel üksliikmega jagatakse hulkliikme iga liige selle üksliikmega ja tulemused liidetakse. Näide: Teguri toomine sulgudest välja Näited: 12x -4x + 8x=4x(3x -x+2) ; 4a y+12ay = 4ay(a+3y) ; 15a b c -25a b c +40a b c = 5a b c (3a b c (3c -5a +8a bc ) Kaksliikmete korrutamine Kaksliikmete korrutamisel kaksliikmega tuleb ühe kaksliikme kumbki liige korrutada teise kaksliikme kummagi liikmega ja tulemused liita. Näited: (a+b)(c+d)= ac+ad+bc+bd ; (3x-1)(2x+4)=6x +12x-2x-4 Rühmitamisvõte Näited: (am+an)+(bm+bn)=a(m+n)+b(m+n)=(a+b)(m+n) ; 2am+2bm-an-bn=(2am+2bm)-(an+bn)=2m(a+b)-n(a+b)=(a+b)(2m-n).
2 x -1 2. Leia funktsiooni y= kasvamis ja kahanemispiirkonnad ja 1 - 3x ekstreemumpunktid. Määra ka nende liik. 3. Leia parabooli haripunkti koordinaadid y= 7x2+4x. 4. Leia joone y=(x+1) (x-1) (x-2) puutuja punktis , mille abstsiss on -3. x 5. Leia joone y= puutuja, mis on x -1 2 1) paralleelne sirgega x+y =5 2) risti sirgega 8x-3y=1 6. Punkti liikumisel on läbitud tee ja aja vaheline seos s=4t3-3t2+5t+8.Leia 1)algkiirus 2)hetkiirus ja kiirendus 1 sekundi lõpus. 7. Esita parabooli y= 2x2-8x +3 puutuja võrrand 1) kohal x=-2 2) juhul, kui puutuja tõus on 4 3) punktides , milles sirge y= 2x-3 lõikab parabooli. 8. Uuri funktsioon y= -x3+3x ja joonesta tema graafik. 9. Leia funktsiooni y= x4-2x2-3 ekstreemumkohad, ekstreemumid, kasvamis-ja kahanemispiirkonnad, käänukohad ning kumerus- ja nõgususpiirkonnad. 10
ustas¨ · p¨ ustas¨umptoodid puuduvad · on olemas p¨ustas¨ umptoot x = 0 · on olemas p¨ustas¨ umptoot y = 0 · on olemas p¨ umptoot y = x2 - 1 ustas¨ 10. Antud v~orrand. Millised laused on ~iged? · on eralduvate muutujate difv~orrand · on lineaarne difv~ orrand · on ruutv~orrand · tema u¨ldlahend on y 2 + 3y + x2 - x = C · tema u¨ldlahend on y + 3 + x - 1 = C · tema u¨ldlahend on |y + 3| = |C(x - 1)|
a +b + a + a + b = 3a + 2b xy + xy = 2xy xy * xy = x2 * y2 3a + 4b + 2a + 5b = 5a + 9b Sellist liikmete liitmist või lahutamist nimetatakse koondamiseks. Kui avaldises on vastandarvud, siis need lihtsalt taanduvad. ( Tõmban maha / ) NB: Pane tähele märke! Sulgude avamine: Kui avaldises esinevad sulud, tuleb nendest vabaneda, seda teguviisi nimetatakse sulgude avamiseks. Näiteks: 2*(5a + 6b) = 2*5a + 2*6b = 10a + 12b (2x 3y + 4z)3 = 3*2x 3*3y + 3*4z = 6x 9y + 12z -(2b + 4c 3a -1) = -2b 4c + 3a + 1 NB: Miinus märk sulu ees muudab märgid sulu sees! Võrrandid: Võrrand on võrdus, mis sisaldab tundmatut suurust. Tundmatu väärtus on võrrandi lahend. Võrrandil võib olla: 1) üks lahend Nt: 2x = 10 | :2 x=5 2) kaks lahendit Nt: x2 = 9
5 x 45 x 2 + ( x + 3) 2 5) (6 x)(2x 5) + 30 = 0 6) =1 7) x2 = 9 8) 2x2 50 = 0 9 9) x2 + 4 = 0 10) x2 + 2x 35 = 0 11) y2 + 3y 18 = 0 12) 5z2 + 8z + 3 = 0 13) (3x 1)(x + 2) = 20 Ruutavaldise lahutamine tegureiks ax2 + bx + c = a( x x1)(x x2), - b ± b 2 - 4ac x1;2 = kus 2a Näide : · Lahutada tegureiks: 1) x2 8x + 7 Lahendame ruutvõrrandi x2 8x + 7 = 0 8 ± 64 - 28 8 ± 36 8 ± 6 8+6 8-6
2 2 4 2 6. Lihtsusta avaldis - + 2 : x - 3 x + 3 x - 9 3x - 9 2 2 1 7. Lihtsusta avaldis 2 2 : + x x + 2x x + 2 2 1 3 m 8. Lihtsusta avaldis - 2 m - 3 m - 3m 3 x2 - y2 x+2 x - 4 y 3y - 2x 9. Lihtsusta 2 + : x + 2 x - 2 xy + y 2 x - y x 2 - y 2 a 2 + a - 6 2a + 8 a 2 - 2a - 3 a 2 + 4 a + 4 10. Lihtsusta 2 : + 2 a - 4a + 4 a - 2 a2 - 4 a - a - 6 x-y 2 x 2 - 2 xy x 2 + 2 xy x + 2 y 11
Olenevalt polünoomi astmest ja elemendi kujust klassifitseeritakse elemente järgmiselt: 1) simplekselement, 2) komplekselement, 3) multiplekselement. 27. Simplekselementide põhilised väliskujud. Simplekselemendi puhul võib polünoom sisaldada ainult konstanti ja lineaarliikmeid. See nõue määrab üheselt polünoomi väliskuju, olenevalt mõõtmete arvust on polünoomiks 1a) l -mõõtmelisel juhul = 1 + 2x (3.1) 1 b) 2-mõõtmelisel juhul = 1 + 2x + 3y (3.2) 1c) 3-mõõtmelisel juhu] = 1 + 2x + 3y +4z (3.3) kus 1, 2, 3, 4 on mingid konstandid, mille määramisest teeme juttu edaspidi. Simplekselement väliskujult on: 1a) 1-mõõtmelisel juhul lõik sõlmedega otspunktides, 1b) 2-mõõmelisel juhul kolmnurk sõlmedega kolmnurga tippudes, 1c) 3-mõõtmelisel juhul tetraeeder sõlmedega tippudes. 28. Kujufunktsioonide neli põhiomadust. 1) Kujufunktsiooni väärtused muutuvad lineaarselt 0 ja l vahel.
2) 18 : 3= 6 6 + 6= 12 12cm ja 6cm on mediaan jagatud lõikepunktist 30 : 3= 10 10 + 10= 20 20cm ja 10cm on mediaan jagatud lõikepunktist 22. Kesklõikude poolt moodustatud kolmnurga küljed on pool kolmnurga külgedest, seega kesklõigu poolt moodustatud kolmnurga küljed on 3,5dm, 4dm ja 6dm. Ümbermõõt on P= 3,5 + 4 + 6= 13,5 dm 23. 1) 0,325 0,465= -0,14 2) 0,35 : (-0,14)= -35 : 14= -2,5 3) 2,71 2,87= 0,16 4) -0,16 : (-0,8)= 0,2 5) -2,5 + 0,2= -2,3 24. 2x + 3y = 1 | ·(-5) 5x 4y = 14 | · 2 -10x 15y = -5 10x 8y = 28 -23y = 23 y = -1 2x + 3 · (-1) = 1 2x 3 = 1 2x = 4 x = 2 Ladendiks on arvupaar (2; -1) 25. 26. Lõike on 10 ja kiiri on 10 27. 18 kolnurka 28. 1) 1 + 2 + 34 + 56 + 7 = 100 2) 888 + 88 + 8 + 8 + 8 = 1000 29. 19+9+0=19+9·1 1 + 9 9 + 2 = 1 · (9 9) + 3 19+ 89=98+ 9+1 1+997=1· 998 3+5-7+9=2· 4+8-6 30.
net Põhivariant 2. rida 1998 aasta matemaatika riigieksami ülesannete lahendused 7 y -1 - 4 x -1 1. (5p) Leidke avaldise väärtus, kui x : y = 3 : 4. 3y -1 - x -1 Lahendus: 7 ( 4( x y 7x - 4y - -1 7 y - 4x -1 y = (x x = xy = ( 7 x - 4 y ) xy = 7 x - 4 y
T.R.Malthus Tagasiside Õige vastus on: G.Haberler. Küsimus 14 Õige 1,00 punkti 1,00-st Küsimuse tekst Olgu riikide A ja B kaupade X ja Y tootmiseks järgmised alternatiivsed võimalused: Riik A X 0 12 24 36 Y 54 36 18 0 Riik B X 0 10 20 30 Y 60 40 20 0 1X riigis A maksab: Vali üks: a. 2Y b. 3Y c. 2/3 Y d. 1,5Y Tagasiside Õige vastus on: 1,5Y . Küsimus 15 Õige 1,00 punkti 1,00-st Küsimuse tekst Absoluutse eelise printsiibi kohaselt Vali üks: a. võib riigil olla omandatud eelis b. võib riigil olla loomulik ehk looduslik eelis c. kauplevad tänapdeval vähesed riigid d. on kõik eelpoolnimetatud väited õiged e. võivad eri riigid toota kaupu erineva efektiivsusega Tagasiside
11. ( 3x - 4 )( 3x + 4) = x 2 + 16 36. x + 2 1 y - 1 1 12. 6 x 2 + 9 = ( 2 x - 3) 2 - = + 3 3 2 6 13. ( 2 x +1) 2 = x( 2 x -1) + 4 14. ( 2 x +1)( x - 5) + 5 = x( 3 - x ) - 3 x x - 1 y - 2 2x - 3y - = 37. 2 3 6 15. - 4 x 2 + 100 = 0 16. 3 x 2 - 9 x = 0 ( x + 1) 2 - 2 y = ( x - 2)( x + 2) - y 17. - 5 x 2 + 15 x = 0
10 + 5 10 - 2 10 3 7. 7 y -1 - 4 x -1 x 3 3. -1 -1 , kui = 3y - x y 4 -1 -12 - y- x ( )
HLI0070 Akadeemiline suhtlus inglise keeles 3H IDU1603 Sissejuhatus infosüsteemidesse 6I NSO0160 Füüsika mittefüüsikutele 3N TMT0240 Risk ja ohutus logistikas 3T TSK0014 Kriitiline mõtlemine ja argumenteerimine 3T TSS0004 Majandus. Linn. Ühiskond 6T YTD0017 Teaduspõhise tervisekäitumise alused 3Y TEM0320 Majandusmatemaatika 6T TER0550 Raha, finantsinstitutsioonid ja turud 6T TES0020 Statistika 6T TET0010 Mikroökonoomika I 6T TET0020 Makroökonoomika I 6T TME0070 Keskkonna ja säästva arengu ökonoomika 6T HOE6060 Lepingu- ja ühinguõigus 6H
Rahuldagu funktsioonid M ja N ühelisidusas piirkonnas järgmisi tingimusi: M, N, My, Nx c C(D) fxy(x + 1x,y + 3y) xy = fyx(x + 4x,y + 2y) yx, My = Nx fxy(x + 1x,y + 3y) = fyx(x + 4x,y + 2y), N(x,y) <> 0 lim(x, y0) fxy(x + 1x,y + 3y) = lim(x, y0) fyx(x + 4x,y + 2y). 1
nende vahelise nurga. y=x y = -x Sirge üldvõrrand Lineaarset võrrandit ax + by c = 0, kus vähemalt a0 või b0, nimetatakse sirge üldvalemiks. Näiteks: 3x + 5y 2 = 0 Sirge joonestamine Sirge joonestamiseks piisab kahest punktist (kolmas punkt võib olla kontrollimiseks). Näiteks: 2x + 3y = 6 Kahe sirge vastastikulised asendid tasandil Kahel sirgel tasandil võivad olla järgmised vastastikused asendid: Paralleelsed s || t Lõikuvad st={A} 36 Ristuvad Ühtivad s=t (lõikumise s t
Sissejuhatav kordamine 1. Teosta tehted. Vastustes vabane negatiivsetest astendajatest. 3 1 2 3 1 a) 2 a b c 3 Lahendus: ; 1 4 2 s 3 t b) 4 5 3 4 s t Lahendus: . 2. Lihtsusta avaldis. a) xy(x + 3y) + (x + y)(x2 2xy y2) Lahendus: xy(x + 3y) + (x + y)(x2 2xy y2) = = x2y + 3xy2 + x3 2x2y xy2 + x2y 2xy2 y3 = = x 3 y3 = = (x y)(x2 + xy + y2) b) (3a 2)2 + (2 + 3a)(2 3a) Lahendus: (3a 2)2 + (2 + 3a)(2 3a) = 9a2 12a + 4 + 4 9a2 = = 8 12a 3. Lahenda võrrand. a) 24x2 + 5x 1 (24x2 6x 12x + 3) = 111 Lahendus: 24x2 + 5x 1 (24x2 6x 12x + 3) = 111; 24x2 + 5x 1 24x2 + 6x + 12x 3 = 111;
Lahendi olemasolu ja ühesus: Cauchy teoreem: Olgu f(x;y) pidev piirkonnas D ning olgu tal selles piirkonnas olemas pidev osatuletis f(x,y)/y. Siis läbi iga punkti (Xo;Yo)D kulgeb parajasti üks DV integraalkõver (Cauchy ülesandel on parajasti üks lahend. Cauchy ülesande puhul võib esineda kolm võimalust: 1)ül polegi lahendit 2)ül on mitu lahendit 3)ül on parajasti üks lahend. Näiteks Cauchy ülesandel y'=-x/y, y(0)=0 lahend puudub. Cauchy ülesandel y'=3y 2/3 , y(Xo)=0 on mistahes algväärtuse Xo korral mitu lahendit, näiteks lahendid y=0 ja y=(x-Xo)3. Cauchy ülesandel y'=y; y(Xo)=Yo on suvaliste algväärtuste Xo ja Yo korral parajasti üks lahend y=Yoe(x-Xo). Peono teoreem (lahendi olemasolu teoreem): Olgu f(x,y) pidev kahemuutuja funktsioon piirkonnas D. Siis läbi iga punkti (Xo,Yo)D kulgeb vähemalt üks DV integraalkõver (Cauchy ülesandel on vähemalt üks lahend).3. Isokliin. DV geomeetriline lahendamine. Geomeetriliselt
koordinaattasandi veerandi nurgapoolitajaga. Vastus: y = - 0,5x + 1,5 x 3 5x 2 7x 4 e) Millistes punktides joone f(x) = 3 2 graafiku puutuja moodustab x 0 teljega nurga 45 ? Vastus: ( 2 ; 8/3 ) ja ( 3 ; 3,5 ) 3 f) Millises punktis M0 on kõvera y = 2x 2 puutuja risti sirgega 4x + 3y + 2 = 0? 1 1 ; ) Vastus: ( 8 16 g) Millisesse kõvera y = x2 -5x +6 pnktis on vaja tõmmata puutuja, et see läbiks punkti M ( 1 ; 1 ) ? Vastus: ( 2 ; 0 ) ja ( 0 ; 6 ) h) Antud on joon y = sinx + 1 Leidke koordinaattasandi esimese veerandis punktid, kus joone puutuja on 1) paralleelne sirgega y = x 3 ; 1
3 1 1 ; ) 2x 2 8 16 f) Millises punktis M0 on kõvera y = puutuja risti sirgega 4x + 3y + 2 = 0? Vastus: ( g) Millisesse kõvera y = x2 -5x +6 punktis on vaja tõmmata puutuja, et see läbiks punkti M ( 1 ; 1 ) ? Vastus: ( 2 ; 0 ) ja ( 0 ; 6 ) h) Antud on joon y = sinx + 1 Leidke koordinaattasandi esimese veerandis punktid, kus joone puutuja on 1) paralleelne sirgega y = x
selle elemendiga või vahetedes mõne allpool asuva reaga. Seejärel teisendatakse saadud rea abil kõik ülejäänud III veeru elemendid nullideks. Selle tulemusena saadakse eelmise maatriksiga sarnane maatriks: 1 0 0 - 1,5 0 1 0 0,5 0 0 1 2 , millest võimalik välja kirjutada lahendid x1 = -1,5;x2 =0,5;x3 = 2. Ülesanded: Lahendada võrrandisüsteemid: 4x - 3y + 2z = 9 x1 + 5 x 2 + x3 = -7 2 x + 5 y - 3z = 4 2 x1 - x 2 - x3 = 0 5 x + 6 y - 2 z = 18 x - 2x - x = 2 1. . 2. 1 2 3 . 2 x1 - 6 x 2 + 2 x3 + 2 x 4 = 12 x1 + x 2 - x3 - x 4 = 0
selle elemendiga või vahetedes mõne allpool asuva reaga. Seejärel teisendatakse saadud rea abil kõik ülejäänud III veeru elemendid nullideks. Selle tulemusena saadakse eelmise maatriksiga sarnane maatriks: 1 0 0 -1,5 0 1 0 0,5 , 0 0 1 2 millest võimalik välja kirjutada lahendid x1 = -1,5;x2 =0,5;x3 = 2. Ülesanded: Lahendada võrrandisüsteemid: 4x -3y + 2z = 9 x1 + 5 x 2 + x3 = -7 1. 2 x + 5 y - 3z = 4 . 2. 2 x1 - x 2 - x3 = 0 . 5 x + 6 y - 2 z = 18 x - 2x - x = 2 1 2 3 2 x1 - 6 x 2 + 2 x3 + 2 x 4 = 12 x1 + x 2 - x3 - x 4 = 0 x + 3x + 5 x + 7 x = 12 x + 2x - x = 2 1 2 3 4 2 3 4 3
mille lahendamine annab ühe punkti koordinaadid: 9 2x 5 y 4 0 x 2 y 2 0 2 9y 0 0 y 0 x 2 0 2 0 x 2 A 2, 0, 0 Võtame x 0 , saame teise süsteemi: 5y z 4 0 2y z 2 0 3y 6 0 y 2 22 z 2 0 z 2 4 6 B 0, 2, 6 Kokku saame võrrandi: AB 2, 2, 6 x2 y z 2 2 2 6 x2 y z 1 1 3 Näide 1: Koostada tasandi võrrand, kui tasand läbib punkte A 0, 0, 3 , B 4, 2, 1 , C 1, 3, 1 .
h3WJ3L >2@ i,<73L 62,0JOO ^,- (V-@`>* jF F g-KT3=32 0T/LJQ0' S3S-J=<730 Od2,/T' M3>>2,3L<7-O .=3Y ;,24JOO ^,- (k/SS2,* V2K/K/L<7-O h3WJOO ^,- (l2L-<* (<,24JOO W3KJ`* R,3-3,-J32 .-@2/K/L<7/L (M2L.2,<73L* X@/,Q g-KT3=32 ,2.=3@3L 1/OT@2J32
T¨ahistades = x + y , on ilmne, et x 0 ja y 0 kui 0 ning sin(x2 + y 2 ) sin 2 lim 2 2 = lim 2 = 1. x0 x +y 2 0 y0 2x - 3y N¨ aide 2. N¨aitame, et funktisoonil f (x, y) = puudub piirv¨a¨artus x+y piirprotsessis (x, y) (0; 0). 9 Vaatleme kahte erinevat l¨ahenemisviisi punktile (0; 0), l¨ahtudes suvalisest punktist (x, y). Esimese l¨ahenemisviisi korral j¨atame k~oigepealt muutuja y konstantseks ja leiame funktsioonist piirv¨a¨artuse, kui x 0
1) rombi diagonaalide pikkused; 2) rombi nurk tipu A juures; 3) tippe B ja C läbiva sirge s võrrand; 4) sirge s ja sirge x y 10,3 0 lõikepunkt. Vastused 4 53 I 1) 27,52; 2) = arctan 53708 ; 3) 3x 4y 26,5 = 0; L ;0 . 3 6 4 53 II 1) 27,52; 2) = arctan 53708 ; 3) 4x 3y + 26,5 = 0; L 0; . 3 6 4 32 7 34 III 1) AC 9,6 , BD 7,2 ; 2) arccos 0,2802 73744´ ; 3) y x ; 4) L ; . 3 15 2 5 Näpunäited I, II 1) Teeme joonise, selleks kanname koordinaatteljestikku punkti A ja vektori AD . Leiame punkti
annaabi.ee 
