Koordinaadid-AB=(X2-X1;Y2-Y1) a*b=0 Pikkus-AB=X2+Y2 2 vektori summa-a+b=(X1+X2;Y1+Y2) Koordinaadid-AB=(X2-X1;Y2-Y1) Skalaarkorrutis-a*b=X1X2; a*b=a*b*cos Pikkus-AB=X2+Y2 Vektorite vaheline nurk-cos=X1X2+Y1Y2/a*b 2 vektori summa-a+b=(X1+X2;Y1+Y2) Kollineaarsus-X1/X2=Y1/Y2 Skalaarkorrutis-a*b=X1X2; a*b=a*b*cos Ristseisund-X1X2+Y1Y2=0; Vektorite vaheline nurk-cos=X1X2+Y1Y2/a*b a*b=0 Kollineaarsus-X1/X2=Y1/Y2
1.Kontrollida neeldumisseaduse x1 x1x2 = x1 x2 kehtimist võrduse mõlema poole avaldiste tõeväärtustabelite võrdlemise teel. x1 x2 x1x2 x1 x1x2 x1 x2 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 2.Lihtsustada avaldist loogikaalgebra põhiseoste abil: x1 x2 x1 x3 x2 = x1 x2 x2 x1 x3 = x2 x1 x3 (x2 x1 ) x2 x2 = (x2 x1 ) x2 x2 = x2 x2 x1 x2 x2 = x1 x2 x2 = x1 x2
0100 - 0101 - 0110 0 0111 1 1000 1 1001 1 1010 0 1011 0 1100 0 1101 1 1110 - 1111 - 3. Leida MDNK (McClusky meetodil) ja MKNK (Karnaugh’ kaardiga); tuvastada, kas leitud MDNK ja MKNK on teineteisega loogiliselt võrdsed või mitte. MKNK leidmine: 2 MKNK: f(x1x2 x3x4) = (x1 V x3) ( xx2 V x4) (xx1 V x2 V xx3) MDNK leidmine: Leian laiendatud 1-de piirkonna: ∑ (1*, 2, 3, 4*, 5*, 7, 8, 9, 13, 14*, 15*)1 Inde Laiendat M 2-sed M 4-sed M ks ud 1-de interval intervalli piirk. lid d 1 0001* X 00 – 1 X 0––1 A5 0010 X 0 – 01 X – – 01 A6 0100* X – 011 X
1 ÜLESANNE 2 Leida MDNK ja MKNK, mis sobiksid martiklinumbrist leitud osaliselt määratud 4-muutuja funktsiooni esitamiseks Kuna minu martiklinumber on paarisarvuline leian: MKNK Karnaugh' kaardiga ja MDNK McCluskey' meetodiga. 1) Leian MKNK Karnaugh' kaardiga MKNK leidmiseks joonestan Karnaugh' kaardi, kuhu kannan peale funktsiooni 1d, 0d ja määramatused. x3x400 01 11 10 x1x2 00 0 0 0 1 01 1 0 0 - 11 0 - 1 1 10 1 1 - 0 Tegu on osaliselt määratud funktsiooniga. Osaliselt määratud funktsiooni korral võime määramatuse asemele vabalt valida kas 0 või 1. Kuna minimaalne konjuktiivkuju leitakse 0-de piirkonna kaudu, siis valin vastavad kontuurid. (1) (2) 00 01 11 10 00 01 (3) 11 (4) 10
Tallinna Tehnikaülikool Diskreetne Matemaatika KODUTÖÖ TALLINN 2008 1. f( x1, x2, x3, x4 ) = (0, 2, 3, 4, 9, 12, 14)1(8, 11, 13)- 2. MKNK (Karnaugh) x1x2x3x 00 01 11 10 4 00 1 0 1 1 01 1 0 0 0 11 1 - 0 1 10 - 1 -0 0 MKNK: ()()() MDNK (McCluskey) Ind Nr. M Ind Nr-d. Vahe M Ind. Nr-d. V M . . 0 0 (0000) X 0-1 0-2 (00-0) 2 A 0-1-1- 0-4-8-12 (-- 4,8 A 1 2 00) 2
123835 IASB12 1. Leida oma matriklinumbrile vastav 4-muutuja loogikafunktsioon. Matrikli number on 123835. Saadud 8-kohaline 16-süsteemi arv on 10247E89. Määramispiirkonna leidmisel tuleb arv F31680. f(, , , ) = 2. Leida MDNK ja MKNK, mis sobiksid matriklinumbrist leitud osaliselt määratud 4-muutuja funktsiooni esitamiseks. Leian MDNK Karnaugh' kaardiga. f(, , , ) = x3x4 00 01 11 10 x1x2 00 1 1 - 1 01 1 0 1 - 11 0 0 - 1 10 1 1 0 0 MDNK: f(, , , ) = v v v MKNK McCluskey meetodiga f(, , , ) = Indek Nr Indeks Intervall Märge Intervall Märge s 3 *0011 x -011 A1
0 0 0 1 0 määratud 4-muutuja funktsiooni 0 0 1 0 1 esitamiseks 0 0 1 1 - MDNK: 0 1 0 0 0 Karnaugh’ kaart 0 1 0 1 0 x1x2x3x4 00 01 11 10 0 1 1 0 - 00 - 0 - 1 0 1 1 1 1 01 0 0 1 - 1 0 0 0 0
Tallinna Tehnikaülikool Diskreetne Matemaatika KODUTÖÖ 1. Leida oma matriklinumbrile vastav 4- muutuja loogikafunktsioon. Loogikafunktsioon: f (x1, x2, x3, x4) = 1 (8, 9, 10)_ 2. Leida MDNK ja MKNK, mis sobiksid matriklinumbrist leitud osaliselt määratud 4- muutuja funktsiooni esitamiseks. MDNK Karnaugh' kaardiga f (x1, x2, x3, x4) = 1 (8, 9, 10)_ x3x4 00 01 11 10 x1x2 00 1 0 0 1 01 0 1 1 0 11 1 0 1 0 10 - - 0 - f (x1, x2, x3, x4) = MKNK McCluskey meetodiga Lihtimplikantide hulga leidmine Ind- Ind- Nr Märge Nr Vahe Märge Indeks Nr Vahe Märge
& L & 17.3.14 T. Evartson 35 Lihtsustada ja koostada loogikaskeem 17.3.14 T. Evartson 36 Lihtsustada ja koostada loogikaskeem 17.3.14 T. Evartson 37 Lihtsustada ja koostada loogikaskeem 17.3.14 T. Evartson 38 Lihtsustada ja koostada loogikaskeem Y x3x4 00 01 11 10 x1x2 00 1 1 0 0 01 1 1 0 0 11 1 1 0 1 10 1 1 1 1 17.3.14 T. Evartson 39 Lihtsustada ja koostada loogikaskeem Y x3x4 00 01 11 10 x1x2 00 1 1 0 0 01 1 1 0 0 11 1 1 0 1 10 1 1 1 1 17.3.14 T. Evartson 40
1. Loogika funktsiooni leidmine f(x1 ,x2 ,x3, x4 ) = (1,7,8,9,10,12,15)1 (5,11,13,14)- (0,2,3,4,6)0 2. MDNK ja MKNK leidmine MDNK Karnaugh' kaardiga x3x4 x1x2 00 01 11 10 00 0 1 0 0 01 0 - 1 0 11 1 - 1 - 10 1 1 - - MDNK: x1 x2 x4 x3 x4 2. MKNK McCluskey' meetodiga f(x1 ,x2 ,x3, x4 ) = (0,2,3,4,6)0 (5,11,13,14)- Ind. Nr. Märge Ind. Nr.-d Vahe Märge Ind
Loogika kombinatsiooni X1 selgitus Matemaatiline elemendi tähis 0011 esitus X2 0101 f1 Konjunktsioon e. 0001 Väljundis on 1, f1=X1*X2 X1 -> & ->y loogikaline kui kõikkides f1=x1x2 korrutamine e. sidendites on 1 f1=x1^x2 X2-> NING f7 Düjunktsioon e. 0111 Väljundis on f7=x1+x2 X1 ->1 ->y loogiline liitmine e. signaal 1 kui VÕI kas või ühes f7=x1v x2 X2-> sisendis on 1
Viimaks jagan 11-ga: F30266 <- siit saab määramatuspiirkonna (mis pole juba ühtede piirkonnas) Määramatuspiirkond: 6,15 Seega oleks matriklinumbrile 123795 vastav 4-muutuja loogikafunktsioon oma numbrilises 10ndesituses: f(x1,x2,x3,x4) = (0,1,2,3,8,13)1 (6,15)_ f(x1,x2,x3,x4) = (4,5,7,9,10,11,12,14)0 (6,15)_ 2. Ülesanne 2.1 Leian Karnaugh' kaardi abil MDNK x3x4 x1x2 00 01 11 10 00 1 1 1 1 01 0 0 0 -0- 11 0 1 -1- 0 10 1 0 0 0 x1 x2 x2 x3 x4 x1 x2 x4 MDNK: f(x1,x2,x3,x4) =
1. Teisendatud kuju ühtede piirkond: 24AB1665>2,4,10,11,1,6,5 Teisendatud kuju määramatuse piirkond: 2282E7E> 8, 14, 7 f(X1X2X3X4)=(1,2,4,5,6,10.11)1(7,8,14)_ 2. MDNK Karnaugh' kaardiga! x3x4 x1x2 00 01 11 10 00 1 1 _ 01 1 1 1 _ 11 _ 10 1 1 MDNK f ( x1 x2 x3 x4 ) = x1 x2 x1 x3 x4 x1 x2 x3 x3 x4 McCluskey f(x1 ,x2 ,x3, x4 ) = (0,3,9,12,13,15)0(7,8,14)- In 0-de pk
=x1 xx 3 xx 4 ∨ x1xx 1 xx 4∨ x1x4xx 3 xx 4 ∨ x1x4 xx 1 xx 4 ∨ xx 1x1x3 ∨ xx 1x1x4∨ xx 1x4x3 ∨ xx 1x4∨ xx 1 xx 4x1x3 ∨ xx 1 xx 4x1x4∨ xx 1 xx 4x4x3 ∨ xx 1 xx 4x4= = x1 xx 3 xx 4 ∨ xx 1x4x3 ∨ xx 1x4 = x1 xx 3 xx 4 ∨ xx 1x4 Leida ja esitada punktis 3 saadud MDNK jaoks tema tuletis muutuja x3 järgi. f(x1,x2,x3,x4) = x2 xx 3 xx 4 ∨ xx 1 xx 2 ∨ xx 1 xx 4 δf (x 1 x 2 x3 x 4 ) δ x3 =f(x1x2*0*x4)f(x1x2*1*x4) = (x2 xx 4 ∨ xx 1 xx 2 ∨ xx 1 xx 4)(xx 1 xx 2 ∨ xx 1 xx 4) = = (x2 xx 4 ∨ xx 1 xx 2 ∨ xx 1 xx 4)(xx 1 xx 2 ∨ xx 1 xx 4) ∨(x2 xx 4 ∨ xx 1 xx 2 ∨ xx 1 xx 4)(xx 1 xx 2 ∨ xx 1 xx 4) = = (x2 xx 4 )( xx 1 xx 2 )( xx 1 xx 4)(xx 1 xx 2 ∨ xx 1 xx 4) ∨(x2 xx 4 ∨ xx 1 xx 2 ∨ xx 1 xx 4)(xx 1 xx 2 )( xx 1 xx 4)= =( xx 2 ∨ x4 )( x1 ∨ x2 )( x1 ∨ x4)(xx 1 xx 2 ∨ xx 1 xx 4) ∨(x2 xx 4 ∨ xx 1 xx 2 ∨ xx 1 xx 4)(x1 ∨ x2 ) ( x1 ∨ x4) =
1. Teisendatud kuju ühtede piirkond: 183BCC10>1,8,3,11,12,0 Teisendatud kuju määramatuse piirkond: 16CEDE2> 6,14,13,2 f(X1X2X3X4)=(0,1,3,8,11,12)1(2,6,13,14)_ 2. x3x4 x1x2 00 01 11 10 00 - 01 0 0 0 - 11 - 0 - 10 0 0 MKNK f ( x1 x 2 x3 x 4 ) = ( x3 x 4 ) & ( x1 x 2 ) & ( x 2 x3 ) & ( x1 x 3 x 4 ) McCluskey
X1 11 --(0) 1 1 0 X3 01 0 1 --(1) 1 X4 X2 1: . · -- X1X2 v X3X4 · --(X2 v X3)(X2 v X4)(X1 v X3)(X1 v X4) 2: . 1. . ( «--»). · I . X1 X2 X3 X4 Y X1 X2 X3 X4 X1 X2 X3 X4 (0) 0 0 0 0 --(0) (0/1) 0 0 0 -- (0/1) 0 0 0 -- (1) 0 0 0 1 0 (0/8) -- 0 0 0 (0/8) -- 0 0 0
Tallinna Tehnikaülikool Diskreetne Matemaatika KODUTÖÖ Tallinn 2009 f ( x1 x2 x3 x4 ) (1,2,4,8,9,12)1 (3,6,11) 01 1. 11 10 x3x4 x1x2 00 01 11 10 00 0 1 - 1 01 1 0 0 - 11 1 0 0 0 10 1 1 - 0
TALLINNA TEHNIKAÜLIKOOL Infotehnoloogia teaduskond Arvutitehnika instituut Aleksander Beljavski 134810 MAHB62 Labor nr. 1 Aines «Arvutid I» Õppejõud: Teet Evartson Margit Aarna Tallinn 2017 Ülesanne Segmentindikaatori ühe segmendi juhtimineks tarviliku skeemi koostamine etteantud elementbaasil Segment: G Elementbaas: NOR Variandikood: 575-12423/46183 Meie element on «G» Segm X1 X2 X3 X4 Y ent 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 Karnaught map: 2 0 0 1 0 1 3 0 0 1 1 1 4 0 1 0 0 1 5 0 1 0 1 1 0 0 1 6 0 1 1 0 ...
1-de piirkond on mul seega: 2 4 7 9 11 13 Jagades kaheksakohaline kuueteistkümmendarv 11'ga saan tulemuseks 22AED07 Määramatuspiirkond on mul seega: 0 10 14 Seega oleks matriklinumbrile 094231 vastav 4-muutuja loogikafunktsioon oma numbrilises 10ndesituses: f(x1,x2,x3,x4) = (2, 4, 7, 9, 11, 13)1 (0, 10, 14)_ f(x1,x2,x3,x4) = (1, 3, 5, 6, 8, 12, 15)0 (0, 10, 14)_ 2. Ülesanne 2.1 MDNK Karnaugh' kaardiga: x3x4 x1x2 00 01 11 10 0 00 0 1 -1- 01 0 0 1 1 11 0 - 0 1
7 0111 - 8 1000 0 9 1001 1 10 1010 0 11 1011 1 12 1100 0 13 1101 1 14 1110 0 15 1111 - 3. MDNK ja MKNK leidmine Matriklinumber on paaritu, seega MDNK leian Mcluskey meetodiga ja MKNK Karnaugh kaardiga MKNK leidmine: 6, 8,10, 12,14 ¿ ¿ ¿ 0( 2,4,7,15) ¿ f ( x 1 ... x 4 )= ¿ x3x4 x1x2 00 01 11 10 00 1 1 1 - 01 - 1 - 0 11 0 1 - 0 10 0 1 1 0 MKNK: f ( x 1 ... x 4 )=( x´3 v x 4 )( x´ 1 v x 4 ) MDNK leidmine: 0,1,3,5,9,11,13
siinusteoreem: (ümberringjoone raadius) koosinusteoreem: a2=b2+c2-bccos erikülgne kolmnurk: S= n Põhivõrrandid: sinx= a x=(-1) +180n, n Z cox= a x=+360n, n Z tanx= a x= +180n, n Z Kaare pikkus: l= Sektori pindala: S= n Liitintress: c= a(1) a-algväärtus Vektorid: pikkus paralleelsus || ristseis X1X2+Y1Y2= 0 nurk vektorite vahel cos = Sirge võrrand: kahe punktiga tõusu ja algkoordinaadiga y= kx+b (lp y-teljega) tõusu ja punktiga y-y1=k(x-x1) Kahe sirge vastastikused asendid: paralleelsed A||B k1=k2 risti AB k1k2 = -1 s1+s2 = 0 nurk kahe sirge vahel tan Tõus: k=f'(x0)= tan k= Ringjoonevõrrand: (x-x0)+(y-y0)2= r2 A(x0y0)- keskpunkt Bernoull`i valem: Pn(x=k)=Cnk pk qn-k
liitmine e. või ühes sisendis 1 VÕI on 1. f8 Pierce´i tehe e. 1OOO väljundis on f 8= X 1+ X 2 disjunktsiooni signaal 0 kui 1 inversioon e. kas või ühes VÕI-EI süsteemis on 1 f9 ekvivalentsuse 1OO1 väljundis on f9=X1X2+ e. Sama- signaal 1 ainult 1 väärsus siis kui sisenditel X 1 = on ühesugused X2 väärtused f10 X2 inversioon 1O1O väljundis on f10= X2 e. X2 eitus signaal 1, kui X2 1 e
1. Leida oma matriklinumbrile vastav 4-muutuja loogikafunktsioon. Matrikli number on 082784 Ühtede piirkonna määramiseks saadud 16-nd arv on 205FBF60 Ühtede piirkond on seega f(x1,x2,x3,x4) = (0,2,5,6,11,15) 1 Määramatuspiirkonna määramiseks saadud 16-nd arv on 1E783BA Määramatuspiirkond on seega f(x1,x2,x3,x4) =(1,3,7,8,10,14) 2. Leida selle funktsiooni MKNK Karnaugh' kaardiga ja MDNK McCluskey' meetodiga. MKNK: x3x4 x1x2 00 01 11 10 00 1 - - 1 01 0 1 - 1 11 0 0 1 - 10 - 0 1 - Kaardilt saan välja kirjutada antud funktsiooni minimaalse konjunktiivse
vastuvõtmise küsimuses. Otsus võetakse vastu lihthäälteenamusega. x1 x2 x3 f(x1, x2, x3 ) 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 f(x1 , x2 , x3 )= x1 x2x3 x1 x2 x3 x1x2 x3 x1x2x3 Erinevate loogikafunktsioonide f(x1 ,x2 ,...xn) arv K on 2 2 n . n=1 K=4 n=2 K=16 n=3 K=256 n=4 K=65536 n=5 K=4,3 · 109 Järgnevalt tutvume kõikvõimalike kahe muutuja funktsioonidega f(x1 , x2 ). x1 x2 f0 f1 f2 f3 f4 f5 f6 f7 f8 f9 f10 f11 f12 f13 f14 f15 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1
1111 1 3. Leida MDNK ja MKNK Kuna matriklinumber on paarituarvuline (155539), siis leian MKNK Karnaugh' kaardiga ja MDNK McCluskey' meetodiga. MKNK: Funktsiooni f(x1,x2,x3,x4) = Π(1, 6, 7, 8, 9, 10, 12) 0 (4, 11)_ Karnaugh’ kaart: x3x4 00 01 11 10 x1x2 1 1 1 00 0 - 1 01 0 0 0 1 11 1 1 10 0 0 - 0
´x 3 v ´x 2x4 v ´x 1 ´x 3 v x2 ´x 3 v ´x v ´x 3x4 v ´x 1x4 v x2x4 v ´x 3x4 v x4)(x3 v ´x 4) = x1x2 x3 v x1x3x4 v ´x ´x 3 1 x v ´x 2x3x4 v ´x 1x3x4 v x2x3x4 v x3x4 v v x1x2 ´x
0 1 1 1 - 1 0 0 0 - 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 - 1 1 0 0 0 1 1 0 1 - 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 3) Leida MDNK ja MKNK, mis sobiksid selle esitamiseks MKNK Karnaugh' kaardiga f(x1 ... x4) = (2, 3, 4, 5, 9, 10)1 (7, 8, 11, 13)_ (0, 1, 6, 12, 14, 15)0 X1X2 X3X4 0 0 => x1=0 x2=0 x3=0 0 0 1 1 1 1 - 0 - 0 => x1=0 x2=1 x3=1 0 - 0 0 0 0 0 => x1=1 x2=1 - 1 - 1
. 4 x1 - x2 + 5 x3 = 10 . 4 - 1 5 x 3 10 Vektorid: Erilist tüüpi maatriksid (m*n maatriks e. ristkülik m-ks.; m=n ruutm-ks). Veerg veerumaatriks e. veeruvektor. xj reana kirjutades 1*n maatriks e. reamaatriks e. reavektor, mille tähis X'=[x1x2...xn]. Tehted maatriksitega: Liitmine [aij]+-[bij]=[aij+-bij], Skalaariga korrutamine k[aij]=[kaij], Korrutamine Am·n·Bn·p=Cm·p, Tehted vektoritega: Vektorite u'=(u1u2....un), v'=(v1v2...vn) sisekorrutiseks on avaldis: u*v=u1v1+u2v2+...+unvn. Veeruvektori ja reavektori korrutiseks tuleb ristkülikmaatriks: 3 3 1 3 4 3 5 3 12 15 u = , v = [1 4 5] , uv = = .
14 1 1 1 0 1 15 1 1 1 1 1 Graaf 2.1 2 LAHENDATAVAD ÜLESANDED 3. Matrikli number on paarisarvuline. Leidmine MDNK Karnaugh kaardiga ja MKNK McCluskey meetodiga. MDNK leidmine Karnaugh kaardiga. Funktsiooni (x1,x2,x3,x4)= (3, 7, 8, 12, 14, 15) (1, 2, 4, 5)_ x3x4 x1x2 00 01 11 10 00 0 - 1 - 01 - - 1 0 11 1 0 1 1 10 1 0 0 0 Graaf 3.1 Minimaalne disjuktiivne normaalkuju on x 1 ´x 4 x 1 x2 x3 x 1 ´x3 x´ 4
Näide Hääletusseade. Komisjon, mis koosneb 3 inimesest, hääletab teatava otsuse vastuvõtmise küsimuses. Otsus võetakse vastu lihthäälteenamusega. x1 x2 x3 f(x1, x2, x3 ) 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 f(x1 , x2 , x3 )= x1 x2x3 x1 x2 x3 x1x2 x3 x1x2x3 n Erinevate loogikafunktsioonide f(x1 ,x2 ,...xn) arv K on 2 2 . n=1 K=4 n=2 K=16 n=3 K=256 8 n=4 K=65536 n=5 K=4,3 109 Järgnevalt tutvume kõikvõimalike kahe muutuja funktsioonidega f(x1 , x2 ). x1 x2 f0 f1 f2 f3 f4 f5 f6 f7 f8 f9 f10 f11 f12 f13 f14 f15
0001 x1 x2 x3 x4 0011 x1 x2 x3 x4 0010 x1 x2 x3 x4 0100 x1 x2 x3 x4 0101 x1 x2 x3 x4 0110 x1 x2 x3 x4 1100 x1x2 x3 x4 1101 x1 x2 x3 x4 1110 x1 x2 x3 x4 1000 x1 x2 x3 x4 TDNK = x1 x2 x3 x4 v x1 x2 x3 x4 v x1 x2 x3 x4 v x1 x2 x3 x4 v x1 x2 x3 x4 v x1 x2 x3 x4 v x1x2 x3 x4 v x1 x2 x3 x4 v x1 x2 x3 x4 v x1 x2 x3 x4 6. Leida vabaltvalitud viisil punktis 3 saadud MKNK-ga (loogiliselt) võrdne Täielik KNK
Tallinn University of Technology Xxxx Xxxxxxx 000000 IAXX00 00 01 11 10 x4 x3x4 x1x2 00 0 - - 1 x1 10 1 0 - - 11 1 1 1 0 x2 01 0 0 1 0 x3 100 000 0 0 000
2 2 -a b = a (-b) = - ab a c b + = 180° Viete`i teoreem -a (-b) = ab = , - lähisnurgad x2+px+q=0; x1+x2= - p; x1x2=q -a : b = a : (-b) = - a : b b d y=ax2 + c a>0 -a : (-b) = a : b ad=bc Trigonomeetria Romb P = 4a S = ah
2 ⎝2⎠ -a ⋅ b = a ⋅ (-b) = - a⋅b a c b α + β = 180° Viete`i teoreem -a ⋅ (-b) = a⋅b = α,β - lähisnurgad x2+px+q=0; x1+x2= - p; x1x2=q -a : b = a : (-b) = - a : b b d y=ax2 + c a>0 -a : (-b) = a : b ad=bc Trigonomeetria Romb P = 4a S = ah
F14, on konjuktsiooni inversioon ja esitatakse ka märgiga shefferi kriips, vt lk 177 Mitu erinevat 3muutuja loogikafunktsiooni 0 on olemas? 256 Miks nimetatakse loogikatehet + summa mooduliga 2 ja välistav või? Summa mooduliga 2, kuna funktsiooni väärtus osutub muutujaväärtuste kõigi nelja kombinatsiooni korral võrdseks muutujate aritmeetilise summaga, millele on rakendatud moodulit 2. välistav või, kuna erinevus või ja välistava või vahel on ainult see, et x1x2=11 puhul osutub välistava või puhul see 0-ks, kui või puhul on see 1. Operandiväärtused 1 nagu välistaksid vastastikku teineteise, sealt tulenebki välistav või nimetus. Millise loogikatehte inversiooniks on loogikatehe summa mooduliga 2? Ekvivalentsi. millise 2 tähelise lühendiga tähistatakse loogikatehet summa mooduliga 2? XOR (eXclusice OR) Kuidas avaldatakse tehet summa mooduliga 2 elementaarsete loogikatehete kaudu? Vt lk 180 ülevalt.
a b X 1 X 2 + Y1Y2 + Z 1 Z 2 14. kahe vektori vaheline nurk cos = cos = a b X + Y12 + Z 12 X 22 + Y22 + Z 22 1 2 15. vektorite ristseisu ( a b) tingimus: a b = 0, sest =/2, X1X2 + Y1Y2 + Z1Z2 = 0 16. ühikvektorite skalaarkorrutised ii = 1 ji = 0 ki = 0 ij = 0 jj = 1 kj = 0 ik = 0 jk = 0 kk = 1 17. Skalaarkorrutis koordinaatides a b = X1X2 + Y1Y2 + Z1Z2. X 1 X 2 + Y1Y2 + Z 1 Z 2 18. Ühe vektori projektsioon teisel vektoril prb a = X 22 + Y22 + Z 22 19. Vektoria vektorkorrutis
a b X 1 X 2 + Y1Y2 + Z 1 Z 2 14. kahe vektori vaheline nurk cos = cos = a b X + Y12 + Z 12 X 22 + Y22 + Z 22 1 2 15. vektorite ristseisu ( a b) tingimus: a b = 0, sest =/2, X1X2 + Y1Y2 + Z1Z2 = 0 16. ühikvektorite skalaarkorrutised ii = 1 ji = 0 ki = 0 ij = 0 jj = 1 kj = 0 ik = 0 jk = 0 kk = 1 17. Skalaarkorrutis koordinaatides a b = X1X2 + Y1Y2 + Z1Z2. X 1 X 2 + Y1Y2 + Z 1 Z 2 18. Ühe vektori projektsioon teisel vektoril prb a = X 22 + Y22 + Z 22 19. Vektoria vektorkorrutis
A2 x x x x A3 x x x x A4 x x x x MDNK f(x1,x2,x3,x4) = x1 x 2 x 4 x 2 x 3 x 3 x 4 2.2 MKNK leidmine Karnaugh' kaardiga F.-ni f(x1,x2,x3,x4) = (0,2,3,6,7,11,14,15) 0 (1,13) Karnaugh' kaart x3x4 x1x2 00 01 11 10 00 0 - 0 0 01 1 1 0 0 11 1 - 0 0 10 1 1 0 1 MKNK f(x1,x2,x3,x4) = ( x1 x2 )( x3 x4 )( x2 x3 ) 2
Siis kui tegu on samamõõtmeliste maatriksitega 34. Millal saab arvutada maatriksite A ja B korrutist AB? Siis kui esimese maatriksi veergude arv võrdub teise ridade arvuga. 35. Millistel maatriksitel on olemas pöördmaatriks? Siis kui antud maatriksi determinant ei võrdu 0-ga 36. Mis on lineaarplaneerimise ülesande lubatav hulk? Lubatavaks hulgaks nimetatakse kõigi selliste punktide (x1 , x2 ) hulka x1x2-tasandil, mis rahuldavad mudeli kõiki kitsendusi. 37. Kirjeldada, mis on lineaarplaneerimise ülesande baaslahend, lubatav baaslahend. Lubatav baaslahend on ülesande lubatava hulga iga tipp Baaslahend suvaline lubatavate lahendite hulga tipp 38. Milline seos on lineaarplaneerimise ülesande optimaalsete lahendite ja lubatavate baaslahendite vahel? lubatavate baaslahendite hulgast valitakse välja tipp, milles sihifunktsiooni
puutepinnal valguse hajutaja. Jõutundlik puuteekraan keskkonnakindluse(automaadid). Puutepind kinnitatakse piesoanduritele, mis muudavad füüsilise jõu elektrisignaaliks. Mida suurem surve, seda suurem laeng. Survete erinevuse järgi koordinaadid. X. Enamkasutatavad kombinatsioonskeemid Kombinatsioonskeemid on sellised loogikaskeemid, millel ei ole mälu omadusi. Välistav VÕI - y = x1x2 +x1x2 Funktsioni väärtus on 1, kui seisendite väärtused on erinevad ja 0, kui sisendite väärtused on võrdsed. Summaator - Ettenähtud kahendarvude aritmeetiliseks summeerimiseks. S = A + B. Täissummaator arvestab summeeritavate väärtusi ja sellesse i-ndasse järku tulevat ülekannet ning arvutab summa ja ülekande, mis läheb i+1-sse järku. Poolsummaator arvutab samuti summa ja i+i-sse järku mineva ülekande, kuid ei arvesta nooremast
Mittekorreleeritus: E(X1,X2)=E(X1)E(X2)=m1m2 , - 2- -: Ortogonaalsus: E(X1X2)=0 ; . td, .
Definitsioonis olevat hulka A nimetatakse funktsiooni määramispiirkonnaks. Hulga A kõigi elementide kujutiste hulka nimetatakse funktsiooni väärtuste piirkonnaks. Funktsiooni väärtuste piirkond kuulub hulka B. Olgu antud funktsioon f : AB Hulga UA kujutiseks nimetatakse hulka f(U)={yB: leidub x U, et y=f(x)}. Hulga VB originaaliks nimetatakse hulka f-1(V)={xA : f(x) V}. Funktsiooni f: AB nimetatakse · Injektiivseks ehk üksüheseks, kui iga elemendipaari x1, x2 A, x1x2 korral f(x1)f(x2). · Sürjektiivseks ehk pealekujutuseks, kui igal elemendil hulgast B leidub originaal hulgas A. · Bijektiivseks ehk üksüheseks vastavuseks, kui funktsioon on korraga injektiivne ja sürjektiivne. Injektiivne funktsioon on selline, kus ühelgi elemendil hulgast B ei ole üle ühe originaali. Bijektiivne funktsioon on selline, kus igale elemendile hulgast B leidub täpselt üks originaal. Funktsiooni graafik:
F 1 1 1 1 0 3. Leida MDNK (minimaalne DNK) ja MKNK (minimaalne KNK), mis sobiksid matriklinumbrist leitud osaliselt määratud 4-muutuja funktsiooni esitamiseks. Kuna matriklinumber 10103502 on paariaarvuline, siis pean leidma MKNK Karnaugh' kaardiga ja MDNK McCluskey' meetodiga. MKNK Karnaugh' kaardiga x3x4 x1x2 0 0 11 1 8 0 1 0 0 - 0 1 1 0
ÜLESANNE 3 MINIMAALSED NORMAALKUJUD Leian MDNK ja MKNK, mis sobiksid matriklinumbrist leitud osaliselt määratud 4-muutuja funktsiooni esitamiseks. MDNK Karnaugh’ kaardiga ja MKNK McCluskey' meetodiga. 3 3.1 MDNK KARNAUGH’ KAARDIGA Leian MDNK Karnaugh kaardiga, sest matriklinumber on paarisarv. Funktsioon 𝒇(x(x1,x2,x3,x4) = ∑ ( 3, 5, 8, 12, 15 )1 ( 4, 9, 13 )_ x1x2/x3x4 00 01 11 10 00 0 0 1 0 01 x 1 0 0 11 1/1 x/x/x 1 0 10 1 x 0 0 𝒇(xMDNK = x2 x 3 v x1 x 3 v x1 x2 x4 v x 1 x 2 x3 x4
saadava informatsiooni põhjal.Seda kasutatakse juhul kui: ülesannete korral, mis sisaldavad kahte tundmatut või taanduvad kahte tundmatut sisaldavaks ülesandeks. Graafilise lahendamise korral pole lineaarse planeerimisülesande viimine maksimum-põhikujule vajalik. Kahte tundmatut x1 ja x2 sisaldava planeerimisülesande graafilisel lahendamisel interpreteerime tundmatute väärtusi kui x1x2 – tasandi punkti koordinaate. Lineaarse planeerimisülesande korral peavad tundmatud rahuldama mitte ainult üht, vaid mitmeid erinevaid kitsendusi. Kõiki kitsendusi korraga rahuldavatele tundmatute väärtustele vastavad tasandil punktid, mis on ühised kõigile lubatavatele pooltasanditele. Nende punktide hulka nimetatakse lubatavaks piirkonnaks ja selleks on alati kumer hulknurk. Ülesanne seisneb lubatava piirkonna sellise punkti (selliste punktide)
Kummal juhul lendab pall suurema kiirendusega? Vektorid Vektorite liitmine ja lahutamine (rööpkülikureegel) Vektorid Vektorid Vektorid Vektorid Vektori skalaarkorrutis Vektorid • Skalaarkorrutise omadused: • ab=ba • (λa)b=λ(ab), kus λ on reaalarv. • a2=aa=a2 • Skalaarkorrutise saab, teades koordinaate, leida nii: • ab=x1x2+y1y2 Vektorid Vektori projektsioon x ja yteljel. Vektorid Vektorid Vektorkorrutis Vektorid a × b = |a| |b| sin(θ) n cx = aybz − azby cy = azbx − axbz cz = axby − aybx Vektorid Vektorid Vektorid • a=(2, -1, 3) • b=(5, 7, -4) • Leia axb • a=(2,3,4) b=(5,6,7) Leia c=axb Vektorid Ülesanne
Seega jõudsime võrduse ⊕ ⊕ mõlemat poolt teisendades sama avaldiseni ∨ 3 ∨ /1,$ ⊕ ⊕ Loogikaavaldiste TEISENDAMINE (lihtsustamine) x1x2 x3 [ ( x 1 → x 2 ) Z x̄ 1 x 3 ] ⊕ x 2 x̄ 1 x̄ 2 Loogikaavaldiste (loogikafunktsioonide) teisendamine on nende viimine __ __ __ 0 0 0 [(0 → 0) Z 0 0 ] ⊕ 0 = 1 0 0 = 1 muule samaväärsele (lihtsamale) kujule.
kaudse arvutamise võtteid, on tuletatud alljärgnev tõenäosuse jaotus. Tõenäosus, et n võimalikust
sündmusest toimub m sündmust.
F2(x1; x2; t1; t2) = P((X(t1)
Puudub aja parameeter. Loeb ainult hetkeline sisendite väärtus, saab arvutada sama hetke väljundite väärtuse. Nt: summaator, lahutaja, summaator-lahutaja, välistav või jne. Järjestikskeemide puhul on aga eelmine väärtus oluline (on mälu omadus), samuti on olemas aja parameeter. Jaguneb sünkroonseteks (taktsagedusega) ja asünkroonseteks (muutub siis, kui sisend muutub). Nt: triger, register, loendur Enamkasutatavad kombinatsioonskeemid Välistav või summa mooduliga 2, y = !x1x2 v x1!x2. Kui mõlemad väärtused on samasugused siis vastus 0, kui erinevad siis vastus 1. Summaator 2 kahendarvu aritmeetiline summeerimine. Poolsummaator (ei arvesta ülekannet) ja täissummaator (arvestab ülekannet). S = A + B Lahutaja 2 kahendarvu vahe. V = A-B Summaator-lahutaja kaks varianti, kas liitja ja lahutaja funkt. võrdlus või lahutamine on täiendkoodi liitmine. Võrdlusskeem võrreldakse suvalise järgu arve. Kui A < B, siis L = 1, kui A
tundmatuks. · Võrrandi lahenditeks nimetatakse tundmatute selliseid väärtusi, mille asendamisel võrrandisse saame tõese arvvõrduse. · Võrrandi f(x)=g(x) määramispiirkonnaks nimetatakse tundmatu x nende väärtuste hulka, mille korral nii avaldise f(x) kui ka avaldise g(x) väärtus on määratud (ehk arvutatav). Viete'i teoreem. Kui x1 ja x2 on ruutvõrrandi x2+px+q=0 lahendid, siis x1+x2=-p ja x1x2=q 3.2 Võrrandite samaväärsus Ühtseid ja samu tundmatuid sisaldavaid võrrandeid, mille lahendihulgad on võrdsed, nimetatakse samaväärseteks võrranditeks. · Võrrandi pooli võib vahetada · Võrrandi pooltele võib liita (lahutada) ühe ja sama arvu või tundmatuid sisaldava avaldise, millel on mõte võrrandi kogu määramispiirkonnas. Järeldus: Võrrandi liikmeid võib viia võrrandi ühelt poolelt teisele poolele, muutes
annaabi.ee 
