Ülesannete lahendused pärinevad õpikust "Matemaatika IX klassile"(koost. Tõnu Tõnso ,Tln., 1998), lk-74-78 (ül.269-391) ja kogumikust "Matemaatika kirjaliku eksami ülesanded IX klassile"* (koost. Enn Nurk ja Valvo Paat, Tln., 1996). * ülesanded tähistatud E-tähega. Paljude tekstülesannete lahendamisel jõuame ruutvõrrandini, millel on tavaliselt 2 lahendit. Olenevalt ülesande sisust võib aga ülesande vastuseks sobida ainult üks lahend. Tekstülesannete puhul tuleb võrrandi lahendeid kontrollida ülesande teksti, mitte koostatud võrrandi järgi. Tekstülesande lahendamine võrrandi abil koosneb kolmest etapist: 1. võrrandi koostamine teksti järgi; 2. koostatud võrrandi lahendamine; 3. võrrandi lahendite kontroll teksti järgi, lõplik lahendite leidmine ja vastuse kirjutamine. Mõningaid näpunäiteid võrrandi koostamiseks. Põhinõue - loe teksti ülima tähelepanuga, sest tekstis on kogu ülesande sisu
Ülesannete lahendused pärinevad õpikust "Matemaatika IX klassile"(koost. Tõnu Tõnso ,Tln., 1998), lk-74-78 (ül.269-391) ja kogumikust "Matemaatika kirjaliku eksami ülesanded IX klassile"* (koost. Enn Nurk ja Valvo Paat, Tln., 1996). * ülesanded tähistatud E-tähega. Paljude tekstülesannete lahendamisel jõuame ruutvõrrandini, millel on tavaliselt 2 lahendit. Olenevalt ülesande sisust võib aga ülesande vastuseks sobida ainult üks lahend. Tekstülesannete puhul tuleb võrrandi lahendeid kontrollida ülesande teksti, mitte koostatud võrrandi järgi. Tekstülesande lahendamine võrrandi abil koosneb kolmest etapist: 1. võrrandi koostamine teksti järgi; 2. koostatud võrrandi lahendamine; 3. võrrandi lahendite kontroll teksti järgi, lõplik lahendite leidmine ja vastuse kirjutamine. Mõningaid näpunäiteid võrrandi koostamiseks. Põhinõue - loe teksti ülima tähelepanuga, sest tekstis on kogu ülesande sisu
Ülesannete lahendused pärinevad õpikust "Matemaatika IX klassile"(koost. Tõnu Tõnso ,Tln., 1998), lk-74-78 (ül.269-391) ja kogumikust "Matemaatika kirjaliku eksami ülesanded IX klassile"* (koost. Enn Nurk ja Valvo Paat, Tln., 1996). * ülesanded tähistatud E-tähega. Paljude tekstülesannete lahendamisel jõuame ruutvõrrandini, millel on tavaliselt 2 lahendit. Olenevalt ülesande sisust võib aga ülesande vastuseks sobida ainult üks lahend. Tekstülesannete puhul tuleb võrrandi lahendeid kontrollida ülesande teksti, mitte koostatud võrrandi järgi. Tekstülesande lahendamine võrrandi abil koosneb kolmest etapist: 1. võrrandi koostamine teksti järgi; 2. koostatud võrrandi lahendamine; 3. võrrandi lahendite kontroll teksti järgi, lõplik lahendite leidmine ja vastuse kirjutamine. Mõningaid näpunäiteid võrrandi koostamiseks. Põhinõue - loe teksti ülima tähelepanuga, sest tekstis on kogu ülesande sisu
= 2x2 + 3x. Lahendus: Teeme joonise ja vaatame, kas punktid kattuvad graafikuga või mitte. Teie ülesanne on vaadata, milline punkt kuskil on. Aga, kes ei saa arvutiprogrammi graafiku joonestamisel kasutada, pole ka hullu. Väga lihtne on kontrollida arvutamise teel. Võtame punkti A(2; -3). Esimene arv on muutuja x väärtus, teine muutuja y väärtus. Nüüd võtame funktsiooni y = -2x2 + 3x ning asendame muutuja x tema väärtusega, milleks antud juhul on 2. Lahendame. y = 2 * 22 + 3 * 2 = 2 * 4 + 6 = 8 + 6 = 2. Meie pidime tulemuseks saama aga väärtuse 3. Järelikult see punkt ei asu antud paraboolil. Proovime teise punktiga B(1; 1). y = 2x2 + 3x = 2 * 12 + 3 * 1 = 2 + 3 = 1. Muutuja y väärtus peabki 1 olema, järelikult see punkt asub paraboolil. 4. Ruutfunktsioon y = 3x2 + bx läbib punkti A(1; 9). Leia kordaja b väärtus. Lahendus:
· Kui D > 0, siis ruutvõrrandil on 2 erinevat lahendit. · Kui D = 0, siis on ruutvõrrandil 2 võrdset lahendit. · Kui D < 0, siis ruutvõrrandil reaalarvulised lahendid puuduvad. Kui ruutliikme kordaja on negatiivne arv, siis enne võrrandi lahendamist korrutame mõlemaid pooli arvuga (1) ja saame ruutliikme kordajaks positiivse arvu. Ruutvõrrandi lahendite õigsust tuleb kontrollida, asendades lahendid algvõrrandis. Tekstülesande korral peab lahend sobima ka ülesande sisuga. Näiteks ei saa pikkus olla negatiivne, inimeste arv saab olla ainult naturaalarv jne. Näide 14. Lahendame ruutvõrrandi 3x2 + 5x 2 = 0. Lahendus. Siin a = 3; b = 5 ja c = 2. - 5 ± 5 2 - 4 3 ( -2) - 5 ± 49 - 5 ± 7 x= = = 23 6 6 -5 -7 -5 +7 2 1
Hulkliikme korrutamine üksliikmega 1. Korruta. a) 3m(4 2m + m2) Lahendus: 3m(4 2m + m2) = 12m 6m2 + 3m3 = 3m3 6m2 + 12m b) 6a2b(1,5ab2 0,5b) Lahendus: 6a2b(1,5ab2 0,5b) = 9a3b3 + 3a2b2 c) ( m2 + 4n3) * 0,5nm2 Lahendus: ( m2 + 4n3) * 0,5nm2 = 0,5m4n + 2m2n4 2. Lihtsusta avaldis. a) 5(2a + 3b) 2(5a 2b) Lahendus: 5(2a + 3b) 2(5a 2b) = 10a + 15b 10a + 4b =19b b) ab2(a 2b) a2b(2a + b) Lahendus: ab2(a 2b) a2b(2a + b) = a2b2 2ab3 2a3b a2b2 = 2ab3 2a3b 3. Kahe arvu summa on 70, kusjuures ühe arvu kahekordne on võrdne teise arvu kolmekordsega. Leia need arvud. Lahendus: Olgu üks arv x. Kui kahe arvu summa on 70, siis teine arv on 70 x. Ühe arvu kahekordne st 2x on võrdne teise arvu kolmekordsega st 3(70 x). Saame võrrandi: 2x = 3(70 x). 2x = 210 3x; 2x + 3x = 210; 5x = 210; x = 42. Kontroll:
2) Jagame summa liidetavate arvuga 18 : 4 = 4,5. Seega nende arvude aritmeetiline keskmine on 4,5. Lahendamiseks sobib ka avaldis (3 + 4 + 5 + 6) : 4. Arvkiir on kiir, mille alguspunktis on märgitud arv 0. Edasi on vabalt valitud ühiklõikude kaugusel järgmised naturaalarvud kasvavas järjekorras. Arvkiirt võime vajaduse korral pikendada kuitahes kaugele. Absoluutväärtus on positiivse arvu ja nulli korral arv ise ning negatiivse arvu absoluutväärtuseks on selle arvu vastandarv. Arvu absoluutväärtus on seda arvu arvteljel kujutava punkti kaugus nullpunktist Arvu kordsed on kõik need arvud, mis antud arvuga jaguvad. Näide. 16 ja 36 on arvu 2 kordsed, sest nad jaguvad 2-ga 16 : 2 = 8 36 : 2 = 18 Kõik mingi arvu kordsed jaguvad selle arvuga. Arvu standarskuju on korrutis, mis koosneb ühe ja kümne vahel olevast tegurist ja kümne mingist astmest. Arvu tegurid - kõik arvud, millega antud arv jagub, on selle arvu tegurid. Arvu tegurid on
NB ruutvõrrand võib olla normaalkujuline, täielik, mittetäielik, taandamata, taandatud lahendeid.2 võrrand x -x-12=0 asendada antud arv võrrandi vasakusse poolde ja kontrollida, kas V=0, sest P=0 2 V=0 -0-12=-12 arv 0 ei ole lahend 2 V=0,2 -0,2-12=-12,16 arv 0,2 ei ole lahend 2 V=(-3) -(-3)-12=0 arv -3 on lahend 2 V=0,5 -0,5-12=-12,25 arv 0,5 ei ole
a1 = a a0 = 1 a n a n am an © Allar Veelmaa 2014 5 10. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium LINEAAR- JA RUUTVÕRRANDI LAHENDAMINE 1) Lineaarvõrrandi ax + b = 0 lahendamine b Kui a ≠ 0, siis lahend on x a Kui a = 0, siis on kaks võimalust: a) kui b = 0, siis võrrandi 0 · x = 0 lahendiks sobib iga arv. b) kui b ≠ 0, siis võrrandil 0 · x = b lahendeid ei ole. 2) Ruutvõrrandi ax2 + bx + c = 0 lahendamine: Kui a = 1, siis sellist võrrandit nimetatakse taandatud ruutvõrrandiks ja esitatakse kujul x2 + px + q = 0 ning see lahendatakse valemiga p p2
Lahendus. Teeme vajalikud teisendused: 2 x 3 7 3x 1 12 6 4 12 2 2 x 3 3 7 3x 12 4 x 6 21 9 x 4 x 9 x 21 12 6 5 x 15 :5 x 3. Kontroll. x 3 , 23 3 1 1 1,5 0,5 v 6 7 33 7 9 p 0,5 4 4 v p. Vastus. Võrrandi lahend x 3. Näide 9 Lahendada võrrand 3 x 2 5 3 x 1. Lahendus. Avame sulud: 3 x 2 5 3x 1 3x 6 5 3x 1 3 x 3 x 1 6 5 0 x 0. Vastus. Võrrandi lahenditeks on kõik reaalarvud. Näide 10 4x 1 1 2 x 4 5 . Lahendada võrrand 2 Lahendus. Teeme vajalikud teisendused: 4x 1 1 2 x 4 5 2 2
2 x2 - 2 = 0 :2 x 2 - 1 = 0; x 2 = 1 x = 1 x1 = 1 ja x2 = -1 ei sobi määramispiirkonda Ekstreemumkoht on x = 1. Määrame ekstreemumkoha liigi 2. tuletise järgi. Saame ( f ( x) = f ( x) ) = 2x - 2x = 2 + x22 2 f ( 1) = 2 + = 4 > 0 , seega x = 1 on miinimumkoht. 12 Leiame nüüd funktsiooni miinimumi ymin = f(1) = 1 2 ln 1 + 3 = 1 0 + 3 = 4. 4. Lahendame võrrandi f(x) = g(x), kus g(x) = x2 + ln2 x. x2 + ln2 x = x2 2 ln x + 3; ln2 x + 2 ln x 3 = 0. Lahendame ruutvõrrandi ln x-i järgi: ln x = -1 1 + 3 = -1 2 ln x1 = -1 + 2 = 1 x1 = e1 = e; 1 ln x2 = -1 - 2 = -3 x2 = e -3 = e3 1 Saime, et x1 = e ja x2 = e3 12
Võrrandite lahendamine on sundinud matemaatikuid võtma kasutusele uusi arvuhulki. Näiteks võrrandil 8 + x = 3 ei ole naturaalarvulisi lahendeid. Sellel võrrandil on aga Näide 1. Kontrollime, kas arvude 4 - 5i, -3i + 2, -6i + 4 ja 2 - 3i seas on võrdseid. Esimese ja kolmanda arvu reaalosa 4 (seega võrdsed), kuid nende arvude olemas lahend täisarvude hulgas Ä. Täisarvude hulgas ei ole lahendeid näiteks imaginaarosad (-5i ja -6i) pole võrdsed. Seega pole ka arvud omavahel võrdsed. võrrandil 2x = 3. Ratsionaalarvude hulgas  on sellel võrrandil lahend olemas. Teisel ja neljandal kompleksarvul on võrdsed nii reaalosa kui ka imaginaarosa
Eelmise tabeli alusel ei saa öelda, kas liikumine on ühtlane või mitte. Kui selle tabeli puhul jätta kõrvale füüsikaline sisu (tabeli esimeses veerus on sel juhul muutujad x ja y), siis saab öelda, et tegemist on võrdeliste suurustega. Kui tegemist ei ole fikseeritud suurustega (näiteks tee pikkus, aeg; ostetud bensiini kogus, makstud rahasumma vms), siis tähistame üldjuhul sõltumatu muutuja tähega x ja sõltuva muutuja tähega y. Sel juhul võime öelda järgmiselt: kahe suuruse x ja y vaheline sõltuvus on võrdeline sõltuvus, kui nende suuruste vastavate y väärtuste jagatis on jääv (konstantne), st = a. Arvu a (kus a 0) nimetatakse x võrdeteguriks. 1.3. Pöördvõrdelised suurused Kahe suuruse x ja y vaheline sõltuvus on pöördvõrdeline sõltuvus siis, kui nende suuruste
Hulkliikmete liitmine ja lahutamine 1. Lihtsusta ja arvuta avaldise väärtus. a) (t 3s) (2t + s), kui s = 2 ja t = 3 (t 3s) (2t + s) = t 3s 2t s = 4s t; Lahendus: 4s t = 4 * 2 3 = 11 b) (4c 5d) + (4d c), kui c = 5 ja d = 1 (4c 5d) + (4d c) = 4c 5d + 4d c = 3c d; Lahendus: 3c d = 3 * 5 (1) = 16 c) (a y2) + (a + y2), kui a = 4 ja y = 3 (a y2) + (a + y2) = a y2 + a + y2 = 2a; Lahendus: 2a = 2 * 4 = 8 d) (2s2 s) (s2 2s), kui s = 2 (2s2 s) (s2 2s) = 2s2 s s2 + 2s = s2 + s; Lahendus: s2 + s = (2)2 + (2) = 4 2 = 2
a Ratsionaalarvuks nimetatakse arvu, mis avaldub jagatisena , kus aZ, bZ ja b0. b 0 7 0 =0 ; =- ; = iga arv. 7 0 0 Ratsionaalarvude hulk on kinnine liitmise, lahutamise korrutamise ja jagamise (v.a. 0) suhtes. Ratsionaalarvude hulk on tihe, st iga kahe ratsionaalarvu vahel on ratsionaalarv. 1 * Arvu a vastandarv on a ja pöördarv . Arvul 0 ei ole pöördarvu. a Iga ratsionaalarvu saab avaldada lõpmatu perioodilise kümnendmurruna. Irratsionaalarvud Irratsionaalarv on arv, mis avaldub lõpmatu mitteperioodilise kümnendmurruna. 2 = 1,414213562... ; = 3,141592654... Reaalarvud R Reaalarvude hulk on ratsionaalarvude hulga ja irratsionaalarvude hulga ühend. Reaalarvude hulk on lõpmatu hulk, milles pole vähimat ega suurimat arvu
Leia risttahuka mõõtmed. 2. Urnis on 5 musta, 7 kollast ja 4 punast palli. Leia tõenäosus, et juhuslikult võetud kolme palli hulgas on. 1) vähemalt 2 kollast palli; 2) Kõik erinevat värvi pallid; 3) kõik ühtevärvi pallid. 3. Leia kõik reaalarvude paarid (x;y), mis rahuldavad võrrandit 2 x +1 = 4 y 2 +1 ja võrratust 2 x 2 y . 4. Kahe positiivse arvu vahe moodustab 1/19 nende kuupide vahest, nend4e korrutis on aga ½ võrra väiksem nende ruutude poolsummast. Leia need arvud. 5. Lahenda võrrand 3sin 9 + 3 = 3 vahemikus (-2; 2). 6. Võrdkülgsesse kolmnurka küljega a on kujundatud teine võrdkülgne kolmnurk, mille tipud asuvad esimese kolmnurga külgedel jaotades need suhtes 1:2. Leia väiksema kolmnurga pindala. 7. Koonusekujulise veiniklaasi kõrgus on h. Mitu protsenti klaasi ruumalast on täidetud, kui klaasi fvalatakse veini poole kõrguseni? 8
tekkis jääk 2. Leia äratõmmatud kroonlehtedel olnud arvude summa. Vastus: 46 29. 240 cm pikkune palk saeti viie lõikega võrdse pikkusega tükkideks. Kui pikk oli iga tükk? Vastus: 40 cm ( 240 cm : 6 = 40 cm) 30. Leia kuuse pindala, kui ühe ruudukese pindala on 1cm? Vastus: 36 cm2 31. Leia värvitud osa pindala, kui värvimata osade pindalade summa on 5 cm2. Vastus: 20 cm2 (Kogu ruudustik koosneb 25- st ruudust, neist värvimata on 5. Et värvimata osa pindala on 5 cm2, siis ühe ruudu pindala on 1 cm2. Järelikult värvitud osa pindala on 20 cm2) 32. Missugune arv sobib küsimärgi asemele? Vastus: 21 ( Ringist väljas olevad arvud on ringis oleva arvu 2-, 3- ja 5- kordsed) 33. Vanaema aiamaa on ristkülikukujuline ja selle pindala on 30m2. Aed on jaotatud kolmeks ristkülikukujuliseks osaks ( vt joonist)
Lahendus. (s-teepikkus; t- aeg) S(t)=-t²+24t-120 V´=-2t+24 Ülesande ülesehitus jäi veidi keeruliseks 6. (10p) Ruudukujulisest plekitahvlist, mille serva pikkus on 60 cm, x x soovitakse valmistada võimalikult suure ruumalaga kaaneta kast. Selleks lõigatakse nurkadest ära võrdsed ruudud ja painutatakse ääred üles nii, et moodustuks kasti külgpind. Leidke äralõigatavate ruutude külje pikkus. Lahendus. V=Sp*h= (60-2x)²*x= 3600x-240x²+4x³ x x V´=3600-480x+12x² |=0 MAX KOHT! x²-40x+300=0 x=(40±20):2 x1=30 ja x2=10 V: Ruudu külje pikkus on 10cm. 7. (10p) Puhkekompleksis on 20 puhkemaja, iga maja nädalaüür on 400 eurot. Kui puhkemaju juurde ehitada, siis kasutajate mugavus langeks. Seetõttu tuleb koha pidajal iga uue maja ehitamise korral üürihinda 10 euro võrra langetada
pooli kõigi murdude ühise nimetajaga 2. lihtsustame võrrandi mõlemaid pooli ( sulgude avamine, sarnaste liidetavate koondamine) 3. viime tundmatuga liikmed võrrandi ühele poolele ja vabaliikmed teisele poolele, muutes kõigi üleviidavate liikmete märgid vastupidiseks 4. koondame sarnased liidetavad 5. leiame lahendi, jagades võrrandi mõlemat poolt tundmatu. Leitud lahendit tuleb osata vajadusel kontrollida. Näide 1. Lahendame võrrandi 2(2x - 5) = 20 - x Avame sulud 4x - 10 = 20 - x 4x + x = 20 + 10 5x = 30|: 5 x = 6. Selle võrrandi lahend on x = 6. 11. Kahe tundmatuga lineaarvõrrandi lahendamine (Graafiline, liitmisvõte, asendusvõte) 12. Tekstülesannete lahendamine lineaarvõrrandsüsteemi abil. 13. Defineerimine ja algmõisted. Definitsioon on mõiste lühike ja täpne seletus.
Vastused x2 3x 1 4 I 1) ; 2) 0,61. II 1) 2 ; 2) 0,936. III 1) ; 2) 1,887 . 5x 1 x 3x 2 Näpunäited Lihtsustamisel vabastame kõigepealt avaldise negatiivsest astendajast ja astendajast 0: 1 I ja II x 2 2 , x 0 1 , III (3 x) 0 1 . x Lahutame avaldises esineva ruutude vahe tegureiks: 25 x 2 1 (5 x 1)(5 x 1) , 9 x 2 1 (3 x 1)(3 x 1) , 9 x 2 4 (3 x 2)(3 x 2) . 2 3 Lahendused I 1 5x 1 5x x 2 (1 5 x) x2 1) = = = . x 2
e) 8sin2x -2cosx = 5 Vastus:
x
2 6 3
f) tan =0 Vastus : x = (6k - 1), k
*g) Lahendage võrrand 2cos2x + 4sin2 x = a , kui võrrandi üks lahend on 450 ja -3600
Mitu päeva kestis matk? 81. Veepaak täitub ühe kraani kaudu 10 minutit kauem kui teise kraani kaudu. Kui avada mõlemad kraanidkorraga, siis täitub paak 12 minutiga. Kui palju aega kulub paagi täitmiseks ainult teise kraani kaudu? 82. Tööline pidi valmistama 60 detalili. Kui ta oleks tunnis valmistanud 2 detaili rohkem, siis oleks ta tööga valmis saanud 1 tund varem. Kui palju aega kulus töölisel detailide valmistamiseks? 83. Kahe järjestikuse naturaalarvu ruutude summa on 85. Leia need arvud. 84. 4,5m² köögi seintest kaetakse ruudukujuliste glasuurplaatidega, mille serva pikkus on 15 cm. Mitu krooni maksab seinte katmine plaatidega, kui üks plaat maksab 1.80 krooni? 85. Leia kaks arvu, mille summa on 22 ja vahe on 10. 86. Kahe arvu summa on 79. Kui üht arvu vähendada 14 võrra ja teist suurendada 8 võrra, siis esimese ja teise arvu vahe on 7. Leia need arvud. 87
Ruutvõrrandi lahendamine - b ± b 2 - 4ac Ruutvõrrandi ax2 + bx + c = 0 lahendivalem on x = . 2a Võrrandi lahendamiseks asendame lahendivalemisse a, b ja c väärtused. Näide 1. Lahendame ruutvõrrandi 5x2 + 6x + 1 = 0. Selles võrrandis a = 5, b = 6 ja c = 1. Asendame need arvud lahendivalemisse, saame - 6 ± 6 2 - 4 5 1 - 6 ± 36 - 20 - 6 ± 16 - 6 ± 4 x= = = = . 2 5 10 10 10 -6+4 -2 - 6 - 4 - 10 Siit x1 = = = -0,2 ja x2 = = = -1.
e) 8sin2x -2cosx = 5
3
x1 2n ; x2 arccos 2n n z
3 4
x
f) tan 2 6 = 0 Vastus : x = 3 (6k - 1), k
g) Lahendage võrrand 2cos2x + 4sin2 x = a , kui võrrandi üks lahend on 450 ja
-3600
Murdvõrrandi lahendamine Näide x2 x 2x Lahendada võrrand 20 x 3 x 3 Lahendus Viime vasakul pool võrdusmärki olevad avaldised ühisele murrujoonele: x 2 x 2 x 2( x 3) x2 x 6 0 0 x2 x 6 0 x 3 x 3 Saadud ruutvõrrandi lahendid on: x1 2, x2 3. Neist x1 2 on esialgse võrrandi lahend, x2 3 on aga võõrlahend (nimetaja on x = 3 korral null). Vastus. Võrrandi lahendiks on x = 2. algusesse eelmine slaid järgmine slaid esitluse lõpp Juurvõrrandi definitsioon ja lahendamine Juurvõrrandiks nimetatakse võrrandit, milles muutuja esineb juuritavas. Näited Võrrandid 4 x 1 4 x 8 ja x 2 1 on juurvõrrandid, kuid võrrand x 7 2 3 ei ole juurvõrrand.
- b ± b 2 - 4ac 2 x1;2 = p p 2a x1;2 = - ± - - q 2 2 Kui ruutvõrrandis ax2 + bx + c = 0 kas b = 0 või c = 0, siis on tegemist mittetäieliku ruutvõrrandiga. Selliseid võrrandeid viisakas inimene ei lahenda eespool toodud lahendivalemiga, sest neid saab lihtsamalt lahendada. Näide 1. Lahendame võrrandid 1) 3x2 + 6x = 0, 2) 0,5x2 23 = 0, 3) 3x2 = 0. 1) Võrrandi 3x2 + 6x = 0 lahendamisel toome x sulgude ette, siis saame x(3x + 6) = 0. Kahe arvu korrutis on null parajasti siis, kui vähemalt üks arvudest on null, seega kas x = 0 või 3x + 6 = 0, millest x = 2. Vastus: x1 = 0, x2 = 2. 2) Kui 0,5x2 23 = 0, siis 0,5x2 = 23, millest x2 = 46. Järelikult x1 = - 46 ja x 2 = 46 . 3) Seda tüüpi võrrandi lahenditeks on alati 0 ja 0.
2.4 RUUTVÕRRATUS Ühe muutujaga ruutvõrratuse üldkuju on ax2 + bx + c > 0, kus a 0. Märgi > asemel võib võrratuses olla ka üks märkidest <, , . Ruutvõrratuse lahendamiseks 1) lahendame ruutvõrrandi ax2 + bx + c = 0; 2) skitseerime parabooli y = ax2 + bx + c; 3) leiame jooniselt, kus funktsiooni väärtused positiivsed, kus negatiivsed. Ruutfunktsiooni y = ax2 + bx + c graafik on parabool. Kui a > 0, siis avaneb parabool ülespoole. Kui a < 0, siis avaneb parabool allapoole. Kui lahendame ruutvõrrandi ax2 + bx + c = 0, siis on kolm erinevat võimalust: A) Diskriminant D = b2 4ac > 0. Parabool lõikab sel juhul x telge kahes erinevas punktis. ax2 + bx + c > 0 L = ( ;x1) (x2; ) ax2 + bx + c >0 L = (x1; x2) 1 B) Kui diskriminant D = 0, siis on ruutvõrrandil kaks võrdset reaalarvulist lahendid
2) Lahendage võrrand f (x) = 1. 3) Lahendage võrratus f (x) > 0 lõigus [0; ] . 4) Leidke funktsiooni f (x) miinimumkoht vahemikus ( 0; 2) ja arvutage funktsiooni väärtus sellel kohal. Lahendus: 1) Lihtsustame avaldist f ( x ) f ( - x ) . f ( x ) f ( - x ) = ( sin x - cos x ) ( sin ( - x ) - cos ( - x ) ) = ( sin x - cos x ) ( - sin x - cos x ) = = - ( sin x - cos x ) ( sin x + cos x ) = - ( sin 2 x - cos 2 x ) = - sin 2 x + cos 2 x = cos 2 x 2) Lahendame võrrandi f(x) = 1. sin x - cos x = 1 Kasutame täiendusnurga valemit cos = sin ( 90 - ) . 0 Saame võrrandi sin x - sin ( 90 - x ) = 1 . 0 - + Kasutame vasaku poole teisendamiseks valemit sin - cos = 2sin cos . Saame
3 3R 2 100% 75 3 41,4% . 4 R 2 Vastus. Kolmnurga pindala moodustab ringist ligikaudu 41,4%. 4) Rööpküliku ümbermõõt on 90 cm ja teravnurk on 60o. Rööpküliku diagonaal jaotab nürinurga suhtes 1:3. Leidke rööpküliku küljed. Lahendus. Ülesande andmete kohaselt rööpküliku ABCD ümbermõõt on 2a b 90cm a b 45cm . Kuna diagonaal jaotab nürinurga suhtes 1: 3, siis tähistades ühes osa tähega , on teine pool 3 ning terve nürinurk 4 . Teame, et rööpküliku iga külje lähisnurkade summa on 180º. 4 D C 60 0 4 180 0 60º b 4 180 0 60 0 3
10. Punkt liigub mööda sirgjoont, keha poolt läbitud teepikkuse võib arvutada valemi 2 s( t ) = 2 sin 4t + , leia vähim ajahetk, millal on keha kiirus on 4 . 3 1) 0,125 2) 0,25 3) 0,333 4) 0,375 5 -4 B-1 Arvuta +6 5 . 5 +2 B-2 Leia võrrandi 13 3 2 -2 x + 3 5 -2 x = 1080 lahend või lahendite summa. ( ) B-3 Leia võrrandi log 4 x 2 - 7 x + 49 = log 2 ( 2 x - 7 ) lahend või lahendite summa. log 0, 5 tan 3 3 3 - 2 7 9 arcus cos( - 0,5) - 3 2 B-4 Arvuta + + .
) 3 3.7 Lineaarvõrrand Lineaarvõrrandi üldkuju on ax = b. b Kui a ≠ 0 , siis saame võrrandi lahendiks x = . a Kui a = 0 , siis võrrand omandab kuju 0 ⋅ x = b . Kui seejuures b = 0 , siis on võrrandil lõpmatu hulk lahendeid (lahendiks on iga reaalarv). Kui aga b ≠ 0 , siis lahend puudub. Lineaarvõrrandi lahendamiseks on vaja 1) viia võrrand üldkujule, jättes tundmatut sisaldavad liikmed vasakule poole ja vabaliikmed paremale poole võrdusmärki; 2) jagada mõlemad pooled tundmatu kordajaga. 22 3.8 Ruutvõrrand Ruutvõrrandi üldkuju on ax 2 + bx + c = 0 , kus a ≠ 0 . Lahendite leidmiseks kasutatakse valemit −b ± b 2 − 4ac
( Tõmban maha / ) NB: Pane tähele märke! Sulgude avamine: Kui avaldises esinevad sulud, tuleb nendest vabaneda, seda teguviisi nimetatakse sulgude avamiseks. Näiteks: 2*(5a + 6b) = 2*5a + 2*6b = 10a + 12b (2x 3y + 4z)3 = 3*2x 3*3y + 3*4z = 6x 9y + 12z -(2b + 4c 3a -1) = -2b 4c + 3a + 1 NB: Miinus märk sulu ees muudab märgid sulu sees! Võrrandid: Võrrand on võrdus, mis sisaldab tundmatut suurust. Tundmatu väärtus on võrrandi lahend. Võrrandil võib olla: 1) üks lahend Nt: 2x = 10 | :2 x=5 2) kaks lahendit Nt: x2 = 9 x = 9 x1 = 3 x2 = -3
võrrandi: x + y = 11. Saadud kaks võrrandit moodustavad võrrandisüsteemi tundmatute x ja y määramiseks: x y = 30, x + y = 11. NB! Võrrandisüsteem ei ole lineaarne (kuna esimeses võrrandis esineb tundmatute korrutis!). Seetõttu ei saa seda lahendada determinantide abil. Ülesanne 1 (3) Lahendus jätkub ... Võrrandisüsteemi lahendame asendusvõttega: avaldame ühe tundmatu (ükskõik kumma) lineaarsest võrrandist (teisest võrrandist), asendame saadud avaldise esimesse, mittelineaarsesse võrrandisse ja lahendame saadud ruutvõrrandi. Teise tundmatu väärtuse saame siis juba avaldada teisest (lineaarsest) võrrandist. Avaldame süsteemi teisest võrrandist tundmatu y: x + y = 11 y = 11 - x. Asendame esimeses võrrandis tundmatu y äsjasaadud avaldisega: x y = 30 x (11 - x) = 30.
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
