Mittetriviaalne – kui lineaarkombinatsiooni kordajate seas leidub väheb üks nullis erinev kordaja. LINEAARNE SÕLTUVUS JA LINEAARNE SÕLTUMATUS DEF1: Vektorite süsteem a1 , ⃗ ⃗ a2 , … ,⃗ ak on lineaarselt sõltuv, kui leidub vektoritest moodustatud mittetriviaalne lineaarkombinatsioon, mis on võrdne nullvektoriga. DEF2: Vektorite süsteem a1 , ⃗ ⃗ a2 , … ,⃗ ak on lineaarselt sõltumatu, kui vektoritest moodustatud lineaarkombinatsioon on võrdne nullvektoriga ainult siis, kui see kombinatsioon on triviaalne.
lin.kombona, s.t ∀ ⃗x ∈V korral ⃗x =x 1 ⃗ e 1 +x1 ⃗ e 1+ …+ x n ⃗ en , kus x 1 ∈ R (i=1,2, … , n) . Lõplikumõõtmeline – vektorruum, milles leidub lõplikust arvust vektoritest koosnev baas B . Lõpmatumõõtmeline – kui eelnevalt mainitud baasi ei leidu. TEOREEM: Lõplikumõõtmelise vektorruumi baasivektorite arv ei sõltu baasi valikust. DEF2: Vektorruumi V baasivektorite arv on vektorruumi mõõde ehk dimensioon. Lin.kombo ⃗x =x 1 ⃗ e 1 + x1 ⃗ e 1+ …+ x n ⃗
korrutisega ning mis on lähtevektoriga sama- või vastassuunaline vastavalt sellele,kas arv on positiivne või negatiivne. Vektorruumi mõiste kõigi n-dimensionaalsete vektorite hulka nim n-dimensionaalseks vektorruumiks Kahe vektori skalaarkorrutis nim arvu, mis on võrdne nende vektorite pikkuste ja vektoritevahelise nurga koosinuse korrutisega Skalaarkorrutise omadused 1. skalaarkorrutis on null siis ja ainult siis kui vähemalt üks vektoritest on nullvektor või kui vektorid on omavahel risti. 2. skalaarkorrutis on kommutatiivne: a*b=b*a 3.skalaarkorrutis on assotsiatiivne skalaariga korrutamise suhtes: a(ab)=(aa)b 4. skalaarkorrutis on distributiivne: (a+b)y= ay+by. Need omadused saavad põhjendada lähtudes skalaarkorrutise definitsioonist. (nim, skalaarruuduks) Koordinatidega antud kahe vektori skalaarkorrutis Kasutades skalaarkorrutise omadusi saame arvutada vektorite a ja b skalaarkorrutise, kui need veektorid on
12)Kuidas on koodi minimaalne distants seotud veaparanuds võimega. (seletada tingimus kuidas vigu parandada saab) 13)Hammingi koodi iseloomustus. 14)Mis vigasid saab parandada Hammingi koodi järgi (valemid). 15)Hammingi koodi teisendamise ylesanne. Vastused 1)Koodide lineaarsuse tingimus-koode nim lineaarseks kui kahe koodisõna liitmisel mooduliga kaks saame tulemuseks kolmada,sama koodi koodisõna. 2)koodide vastavustabel sisaldab kirjeid vektoritest mida tuntakse koodivektorina või kujunditena. 3) Vektorkvantimisseadmed teisendavad sõnumi plokid vektoriteks ja neid nimetatakse Sõnumivektoriteks. 4) 1-k Sõnumivektor m , 1-(n-k) paarsusvektor b ja 1-n koodivektor C need on reavektorid (- tähenab kuni mitte ainult sulgudes) need on nagu m , b ja C jadad ehk reavektorid 5) Moodustajamaatriksi k rida on lineaarselt sõltumatu, see tähendab ,et ei ole võimalik leida
liitmine (igale kahele elemendile , V on vastavusse pandud parajasti üks element + V ) ja skalaariga korrutamine (igale arvule a ja hulga V elemendile on vastavusse pandud parajasti üks element a V ) nii, et on täidetud lineaarsete tehete 8 omadust. 1. Olgu V kõigi geomeetriliste vektorite hulk tasandil ning ja suvalised mittekollineaarsed vektorid ruumist V. Siis iga vektor V avaldub lineaarse kombinatsioonina vektoritest ja . Öeldakse, et vektorid a1 , a2 ,..., a m V (m > 1) on lineaarselt sõltumatud, kui ükski nendest ei avaldu lineaarse kombinatsioonina ülejäänud m -1 vektorist. Nullist erinevat vektorit (s.t. juht m =1 ülalt) nimetatakse samuti lineaarselt sõltumatuks. Vastandjuhul nimetatakse vektoreid a1 , a2 ,..., am lineaarselt sõltuvateks. Vektorruumi V vektorid ja on paralleelsed ehk kollineaarsed, kui üks nendest kahest vektorist on teise vektori kordne. 6
on täidetud II ptk. §1 teoreemis loetletud aksioomid 1° 8°. Vektorruumi V elemente nimetatakse vektoriteks. Def. 1. Vektorite 1 , 2 , ... , m V lineaarseks kombinatsiooniks nimetatakse iga vektorit kujul c11 + c2 2 + ... + cm m , kus c1 , c2 , ... , cm . Seega on vektorite 1 , 2 , ... , m lineaarne kombinatsioon vektor, mis on saadud nendest vektoritest lineaarsete tehete abil. Näide 1. Olgu V kõigi geomeetriliste vektorite hulk tasandil ning ja suvalised mittekollineaarsed vektorid ruumist V. Siis iga vektor V avaldub lineaarse kombinatsioonina vektoritest ja . Def. 2. Öeldakse, et vektorid1 , 2 , ... , m V ( m > 1) on lineaarselt sõltumatud, kui ükski nendest ei avaldu lineaarse kombinatsioonina ülejäänud m - 1 vektorist. Nullist erinevat vektorit (s.t. juht m = 1 ülalt) nimetatakse samuti lineaarselt sõltumatuks
Vektorite liitmine - kaks võimalust: kolmnurga reegel ja rööpküliku reegel. Kolmnurga reegli järgi liitmisel tuleb teist vektorit iseendaga paralleelselt nihutada nii, et teise vektori algus ühtiks esimese vektori lõpuga. Vektorite summaks on esimese vektori algusest teise lõppu suunatud vektor. Rööpküliku reegli järgi liitmisel tuleb teist vektorit nihutada nii, et mõlema vektori alguspunktid langeksid kokku. Vektorite summaks on liidetavatest vektoritest moodustuva rööpküliku diagonaali suunaline ja pikkune vektor. Kehade mõõtmed kehade mõõtmiseks kasutatakse pikkust, mis on vaatleja kujutlus, mis tekib kehade omavahelisel võrdlemisel piki ühte sihti ehk mõõdet. Ruumi mõõtmed - ruum on füüsika üldmudel, mida saab kirjeldada pikkuste võrdlemise teel. Ühemõõtmeline piisab ühest mõõtmest; kahemõõtmeline - mingil kindlal pinnal paiknevate kehade ja nähtuste kirjeldamiseks;
suund muutub vastupidiseks. Näiteks: Vektorite liitmiseks on kaks võimalust: kormnurga reegel ja rööpküliku reegel Kolmnurga reegli järgi liitmisel tuleb teine vektor nihutada nii, et selle algus ühtiks esimese vektori lõpuga. Vektorite summaks on esimese vektoriri algusest teise lõppu suunatud vektor. Rööpküliku reegli järgi liitmisel tuleb teine vektor nihutada nii, et mõlema alguspunktid langeksid kokku. Vektorite summaks on liidetavatest vektoritest moodustuva rööpküliku diagonaali suunaline vektor. Kui vektorite liitmine on selge, ei tohiks ka lahutamine raskusi valmistada. Vektori lahutamine teisest pole ju midagi muud, kui vastupidise suunalise vektori liitmine:
kaugusena koordinaat telgede alguspunktist. · Suurust fii nim kompleksarvu argumendiks. · 1. algebralinekuju 2.maatrikskuju 3. vektor kuju 4. trigonomeetrilinekuju 5. eksponentkuju · Euleri valem: · Moivre valem: Algebralised süsteemid · algebralise süsteemi mõiste koosneb hulgamõistest ja algebralise tehte ehk arvutusoperatsiooni mõistest. · Olgu hulk M selline, mis koosneb näiteks arvudest, funktsioonidest, vektoritest, maatriksitest, sõnadest, sündmustest jne või ükskõik millistest ühelaadsetest objektidest. Edaspidi nim hulka M elementideks. M= {a,b,c,....} · Edasises loeme kehtivaks järgmised 3 omadust: (1-3) 1. a=a - refleksiivsus 2. a=b, siis ka b=a - sümmeetria 3. a=b ja b=c, siis a=c - transitiivsus · Neid 3 omadust nim ka Ekvivalentsi postulaadid. · Def1: Kui hulga M igale kahele kindlas järjekorras võetud elementide paarile (a;b) on
Miinus ühega korrutamisel jääb pikkus samaks, aga suund muutub. Vektorite liitmisel on kaks võimalust: kolmnurga reegel ja rööpküliku reegel. Kolmnurga reegli järgi liitmisel tuleb teine vektor nihutada nii, et selle algus ühtiks esimese vektori lõpuga. Vektorite summaks on esimese vektori algusest teise lõppu suunatud vektor. Rööpküliku järgi tuleb teine vektor nihutada nii, et mõlema alguspunktid langeksid kokku. Vektorite summaks on liidetavatest vektoritest moodustuva rööpküliku diagonaali suunaline vektor. Liikumine on keha asukoha muutumine teiste kehade suhtes mingi aja vältel. Liikumine on suhteline, sest keha liigub mingi teise keha suhtes. Selleks, et liikumist kirjeldada tuleb valida taustkeha, näiteks auto sõidab puu suhtes või inimene kõnnib maja suhtes. Keha liikumisi on palju ja nad on erinevad. Kehade liikumised võivad erineda näiteks kiiruse poolest
Normaalkiirendus on suunatud mööda raadiust kinnistelje poole. Tangensiaalkiirendus on suunatud mööda trajektoori puutujat kiireneval liikumisel kiirusvektori suunas ja aeglustuval dv at r dt liikumisel kiirusvektorile vastupidises suunas. Kogukiirendus on suunatud mööda tangensiaal- ja normaalkiirenduse vektoritest moodustatud ristküliku diagonaali a r 2 4 tangensiaalkiirenduse ja normaalkiirenduse mõjumise suundi arvestades. Kirjutada valemid nurkkiiruse ja pöördenurga arvutamiseks jäiga keha ühtlaselt kiireneval pöörlemisel ümber kinnistelje. t 2 0t 0 2 t 0 Mis on jäiga keha ühtlane pöörlemine ümber kinnistelje
vektoriga a . a 12 2 2 2 3 2 x 1 y 2 z 2 cos 1 cos 1 cos 1 a 3 a 3 a 3 1 2 2 a0 , , 3 3 3 Näide 2: Kontrollida, millised vektoritest a 1,2,3 , b 1,2,3 , c 2,1,0 on kollineaarsed, millised asetsevad risti. 1 2 3 a b , sest 1 2 3 a c 2 2 0 0 a c b c 2 2 0 0 b c VEKTORITE VEKTORKORRUTIS Olgu antud vektorid a jab
lähtevektori pikkuse korrutisega ning mis on lähtevektoriga sama- või vastassuunaline vastavalt sellele,kas arv on positiivne või negatiivne. Vektorruumi mõiste kõigi n-dimensionaalsete vektorite hulka nim n-dimensionaalseks vektorruumiks Kahe vektori skalaarkorrutis nim arvu, mis on võrdne nende vektorite pikkuste ja vektoritevahelise nurga koosinuse korrutisega Skalaarkorrutise omadused 1. skalaarkorrutis on null siis ja ainult siis kui vähemalt üks vektoritest on nullvektor või kui vektorid on omavahel risti. 2. skalaarkorrutis on kommutatiivne: a*b=b*a 3.skalaarkorrutis on assotsiatiivne skalaariga korrutamise suhtes: a(ab)=(aa)b 4. skalaarkorrutis on distributiivne: (a+b)y= ay+by. Need omadused saavad põhjendada lähtudes skalaarkorrutise definitsioonist. (nim, skalaarruuduks) Koordinatidega antud kahe vektori skalaarkorrutis Kasutades skalaarkorrutise omadusi saame arvutada vektorite a ja b skalaarkorrutise, kui need
Saame uue jõu (R) , resultantjõu. Nüüd on meil jäänud kaks jõudu, mis mõjuvad sellel kehale . Tasakaalu aksioomi järgi on need jõud tasakaalus kui need on võrdvastupidised ja neil on sama mõjusirge. Viimane tingimus on täidetud siis ja ainult siis, kui nende jõudude , ja mõjusirged lõikuvad ühes punktis. Kuna ja peavad olema võrdvastupidised, siis + e. peab ++=0. Kasutades jõudude hulknurga reeglit ja arvestades, et jõudude resultant =0-ga saame vektoritest , ja moodustada kinnise kolmnurga kindla ümberkäigu suunaga Sellest saame järeldada: 1. Kolm mitte paralleelset jõudu on tasakaalus siis ja ainult siis, kui 1. Nende mõjusirged lõikuvad ühes punktis 2. Neist saab moodustada kinnise kolmnurga kindla ümberkäigu suunaga. 1. Jõudude kolmnurga saab moodustada üksnes ühes tasapinnas olevate jõudude puhul, siis ilmselt kolm mitte ühes tasapinnas asuvat jõudu tasakaalus olla ei saa.
nullist erineva kordaja k korral. Vektorid on lineaarselt sõltuvad, kui vähemalt ühte neist on võimalik avaldada ülejäänute kaudu ( ülejäänute lineaarkombinatsiooni kaudu). Def2 Öeldakse, et vektorid E1, E2, ..., En on lineaarselt sõltumatud kui võrdus kehtib ainult sel juhul, kui kõik kordajad on samaaegselt nullid 1 = 2 = .... = n = 0 Vektorite lineaarne sõltumatus tähendab seda, et ükski vektoritest ei ole avaldatav ülejäänute kaudu. Ruutvõrrand b>0 : x, y = sama märgiga b<0 : x, y = erineva märgiga b=0 : x = ± a2 + b2 + a /2 y = ± a2 + b2 - a /2 KONTROLL!
Algebralised süsteemid Algebralise süsteemi mõiste kaasneb hulga mõistest ja algebralise tehte ehk arvutusoperatsiooni mõistest. Olgu hulk M selline, mis koosneb arvudest, funktsioonidest, vektoritest võik ükskõik millistest samalaadsetest elementidest, milliseid edaspidi nimetatakse hulga elementideks. M = {a; b; c;....} a = b korral loeme kehtivaks järgmised 3 omadust: ( ekvivalentsi postulaadid 1. a = a refleksiivsus 2. kui a = b, siis ka b = a sümmeetria 3. kui a = b ja b = c, siis ka a = c transitiivsus Def1 Kui hulga M igale kahele kindlas järjekorras võetud elemendi paarile
Õppejõud Vilipõld Õpperühm Palun täitke tühjad lahtrid MASB-11 Detail Ülesande püstitus Analüüs, skeem, valemid Materjalid Värvid Detail. Exceli valemid Funktsioon INDEX Tabel Korterid Funktsioon MATCH VBA funktsioon Otsi_Nr Funktsioonide INDEX ja MATCH kooskasutus Funktsioon VLOOKUP Detail. Kasutaja funktsioonid Detail. VBA funktsioonid ruumala ja täispindala leidmiseks VBA funktsioonid otsimiseks paralleelsetest vektoritest Detail. Makro Detail. VBA makro. Struktuur ja protseduurid Detailide tootmine Koondandmed materjalide koguste ja maksumuste kohta Koondandmedvärvide koguste ja maksumuste kohta Funktsioon SUMIF Rakendus "Detail" Ülesande püstitus Ettevõte valmistab erinevatest materjalidest, erineva kujuga ja mõõtmetega detaile, mis kaetakse ka mingi värviga. Realiseerida järgmised ülesanded antud kujuga detaili jaoks 1
RTK ei ole viimaste aastate tehnoloogia, see jõudis kasutajateni 1993. aastal kui valmisid selleks vajalikud riist- ja tarkvaralised lahendused. RTK mõõtmistel paikneb üks vastuvõtjatest, nn baasjaam, tuntud koordinaatidega punktil, teine (teised) liiguvad ühelt määratavalt punktilt teisele. Vajalik on baas- ja liikuvjaama vaheline reaalaja andmeside (raadio-, mobiilside või Internet). Mõõdetakse baas- ja liikuvjaama vahelist vektorit. Mõõdetud vektoritest arvutatakse reaalajas kas kogu liikumistrajektoori või valitud punktides tehtud veidi pikemaajaliste seisupunktide koordinaadid. [6] [7,lk 240,243] 3.1 Trimble R4 GPS Peamised omadused: Täpne, töökindel ja vastupidav süsteem Põhineb tõestatud ja usaldusväärsel Trimble tehnoloogial Skaleeritav alates järeltöötlusest kuni VRS süsteemini ja mitmetasemeliste RTK konfiguratsioonideni Mugavalt juhtmevaba [11] (Joonis 4)
elektromagnetiline vastasmõju on footonite vahetamise tulemus. 9 ELEKTRIVÄLI Elektriväli on elektrilaengu poolt tekitatud ruumis leviv pidev väli, mis mõjutab teisi ruumis paiknevaid elektrilaenguid. Selle mõiste pakkus esimest korda välja Michael Faraday 19. sajandil. Elektriväli on tihedalt seotud magnetväljaga ning need koos moodustavad elektromagnetvälja. Elektriväli on vektorväli, mis koosneb laetud keha ümbritseva ruumi iga punkti kohta antud vektoritest.[1] Elektrivälja tekitavad elektriliselt laetud osakesed (elektrilaeng) ja ajas muutuv magnetväli, kusjuures need võivad tekitada välja koos kui ka eraldiseisvalt. Viimast juhtu nimetatakse pööriselektriväljaks. Elektriväli kirjeldab, kuidas igal ajahetkel elektriliselt laetud testlaengut mõjutatakse. Elektrivälja levimiskiirus sarnaneb elektromagnetvälja levimiskiirusega, kus vaakumis on kiirus võrdne valguse kiirgusega, kuid aines on levimise kiirus väiksem.
üksteise suhtes. Vektorite vaheline nurk Vektori projektsioon Vektori a projektsiooniks vektori b sihile nimetame arvu |a| cos θ, kus θ on vektori a ja vektori b vaheline nurk, st θ = ∠(a,b) Ristreeper on ristkoordinaadisüsteemi ristreeper. 1 Skalaarkorrutis Kahe vektori skalaarkorrutiseks nimetatakse arvu Skalaarkorrutamise omadused 1. Skalaarkorrutis on null parajasti siis, kui vähemalt üks vektoritest on nullvektor või kui vektorid on omavahel risti. 2. Skalaarkorrutis on kommutatiivne: a · b = b · a. 3. Skalaarkorrutis on assotsiatiivne arvuga korrutamise suhtes: k(a · b) = (ka) · b. 4. (a +b) · c = a · c +b, c distributiivsus. Arvutamise valem koordinaatides ristreeperis Parema käe kolmik Kolmevektorilist vektorsüsteemi {x, y, z} nimetatakse parema käe kolmikuks, kui vaadelduna vektori z lõppp-punktist toimub vektori x pööre vektorini y lühemat teed
Def Crameri peajuhu määravad tingimused ja m = n (2) Crameri valemid võrrandisüsteemi (1) lahendamiseks 2. Maatriksid: liitmine, arvuga korrutamine, maatriksite korrutamine. Maatriks on ristkülikukujuline tabel, mis koosneb arvudest (tavaliselt reaalarvudest või kompleksarvudest) või mingitest muudest etteantud hulga elementidest, sealhulgas näiteks polünoomidest, funktsioonidest, diferentsiaalidest, vektoritest. Tabeli sissekandeid nimetatakse maatriksi elementideks. Kuigi maatriks on iseenesest lihtsalt tabel, pakuvad maatriksid huvi eelkõige sellepärast, et maatriksi elementidega tehtavate tehete (liitmine ja lahutamine, korrutamine ja jagamine) abil on võimalik defineerida tehted maatriksitega. Maatriks on eristatavate horisontaalsete ridade ja vertikaalsete veergudega ümarsulgudesse asetatud arvudest (või üldiselt ringi elementidest) koosnev tabel. Näiteks
r liitmist: vasakpooolne pildil on kujutatud liidetavad a ja b , keskmisel pildil on toodud liitmine rööpküliku r meetodil ja parempoolsel pildil liitmine kolmnurga meetodil (vektoriga b on tehtud paralleelnihe)parempoolne pilt). 6 Vektorite lahutamine. Juhul kui on antud vektorite summa ja üks vektoritest, siis teise r r r vektori ehk vektorite vahe saame leida analoogiliselt. Kui vaja leida vektorit r r b = c - a , siis rööpkülikumeetodit kasutades moodustame vektoritele c ja a r joonistatud kolmnurgast rööpküliku, mille diagonaaliks on r c . Selle rööpküliku
..; fn(x)); 2= (f1'(x); ...; fn'(x)); ...; n = (f1(n-1)(x); ...; fn(n-1)(x)). Kui f1; ...;fn on lineaarselt sõltuvad, siis W(f1;...;fn)(x) = 0 x [a;b]. Vastasel juhul lineaarselt sõltumatud 18. Vektorruumi baasi defnitsioon. Kanoonilised baasid tuntud vektorruumides. Baaside omadusi. Mittetühja vektorite hulka B V vektorruumis V nimetatakse ruumi V baasiks, kui B on lineaarselt sõltumatute vektorite hulk ning iga vektor V avaldub lineaarse kombinatsioonina hulka B kuuluvatest vektoritest. Kanoonilised baasid: 1. V - geomeetriliste vektorite hulk tasandil. B = {1; 2}; 1; 2 - mõlema telje suunalised ühikvektorid. 2. V = Kn - n-mõõtmeline aritmeetiline ruum; 1 = (1; 0; ...; 0); ...; n = (0; ...; 1); = (a1; a2; ...; an) = a11 + ... + ann 3. V = Kmxn; = A = ||aij||; B = {ij | 1<=i<=m, 1<=j<=n}, kus ij on maatriks, kus aij = 1, mujal 0. A = ||aij|| = aijij 4. V = C[a;b]; K = R - baasi pole teada Baaside omadused: 1. Igal nullruumist erineval vektorruumil leidub baas. 2
Ristprojektsioon Projektsiooni pra x nim. ristprojektsiooniks, kui sirge l (tasand ) on risti vektori a poolt määratud sirgega s. Vektorite vaheline nurk Vektorite x 0 ja y 0 vaheliseks nurgaks nimetame nurka (lõigust [0; ]), mis tekib lõigu AB pööramisel ümber punkti A lühemat teed pidi lõigule AC. Tähistame seda nurka ( x , y ) abil. Kui vektoritest ja y vähemalt üks on nullvektor, siis nurgaks ( x , y ) loeme ükskõik millist reaalarvu lõigust [0; ]. ( ) Risti olevad vektorid Me ütleme, et vektor on risti vektoriga y , kui x , y = . 2
Varasemates õpikutes olid tehted vektoritega geomeetriliselt ja analüütiliselt vaheldumisi. Panin tähele, et õpilastele osutuvad raskemaks geomeetrilised tehted. Soovitan kõigepealt tegelda vektorite liitmise, lahutamise ja arvuga korrutamisega geomeetriliselt. 1 2 4 3 Joonis 1 Rääkides vektoritest (joonis 1), mis on samasuunalised või vastassuunalised, jõuame kollineaarsete vektoriteni ning vektori korrutamiseni arvuga. Vektorite liitmisel on kõige olulisemaks kolmnurga reegel (1), mida mitu korda järjest rakendades jõuame hulknurga reeglini. Kasulik on näidata ka rööpküliku reeglit (2). See töötab hästi, kui vektorid on juba ühisesse punkti rakendatud. Oluline on ka fakt, et rööpküliku teine diagonaal on nende vektorite vaheks (3)
{ O; i ; j ; k } on ristkordinaadisüsteemi ristreeper. Iga vektor a on esitatav kujul a=xi+yi+zi, kus x,y,z on reaalarvud 16.Komplanaarsed vektorid- Vektoreid nimetatakse komplanaarseteks, kui nad asetsevad kas ühel tasandil või paralleelsetel tasanditel 17.Skalaarkorrutis- kahe vektori a, b skalaarkorrutiseks nimetatakse arvu a ∙ b=|a||b| cos ∠(a , b) 18.skalaarkorrutamise omadused- skalaarkorrutis on null parajasti siis, kui vähemalt üks vektoritest on nullvektor või kui vektorid on omavahel risti skalaarkorruti on kommutatiivne: a ∙ b=b∙ a skalaarkorruti on assotsiatiivne arvuga korrutamise suhtes: k ( a ∙ b )=(ka) ∙b ditributiivsus: ( a+b ) ∙ c=a∙ c +b ∙ c 19.arvutamise valem koordinaatides ristreeperis- a ∙ b=x 1 x 2 + y 1 y 2+ z 1 z2 20
. . , n ). (B) Ortonormeeritud baasi puhul nimetatakse koordinaate RISTKOORDI- NAATIDEKS. MÄRKUS. Kui lisaeeldusi pole tehtud, siis loetakse koordinaadid (B) alati ristkoordinaatideks. NÄITEID 1. Ühel sirgel asuvate vektorite hulk on 1-mõõtmeline vektorruum baasiga {e, e 0 }, sest ühel sirgel asuvad vektorid on kollineaarsed ja avalduvad kujul a = e. Siinjuures e 0 ja avaldis a e = 0 on mittetriviaalne lineaarne kombinatsioon vektoritest a ja e. Vektoril a on üks koordinaat, mida võib tähistada kujul a = (). 2. Ühe tasandi vektorid moodustavad 2-mõõtmelise vektorruumi baasiga {e1, e2 | e1 || e2} , sest nullist erinevad mittekollineaarsed vektorid on lineaarselt sõltumatud ja tasandi iga vektor avaldub kujul a = 1e1 + + 2e2, mis on vektorite a, e1 ja e2 mittetriviaalne lineaarne kombinat- sioon. Seega vektoril a on kaks koordinaati ehk a = (1, 2). Ortonor-
. . , n ). (B) Ortonormeeritud baasi puhul nimetatakse koordinaate RISTKOORDI- NAATIDEKS. MÄRKUS. Kui lisaeeldusi pole tehtud, siis loetakse koordinaadid (B) alati ristkoordinaatideks. NÄITEID 1. Ühel sirgel asuvate vektorite hulk on 1-mõõtmeline vektorruum baasiga {e, e 0 }, sest ühel sirgel asuvad vektorid on kollineaarsed ja avalduvad kujul a = e. Siinjuures e 0 ja avaldis a e = 0 on mittetriviaalne lineaarne kombinatsioon vektoritest a ja e. Vektoril a on üks koordinaat, mida võib tähistada kujul a = (). 2. Ühe tasandi vektorid moodustavad 2-mõõtmelise vektorruumi baasiga {e1, e2 | e1 || e2} , sest nullist erinevad mittekollineaarsed vektorid on lineaarselt sõltumatud ja tasandi iga vektor avaldub kujul a = 1e1 + + 2e2, mis on vektorite a, e1 ja e2 mittetriviaalne lineaarne kombinat- sioon. Seega vektoril a on kaks koordinaati ehk a = (1, 2). Ortonor-
kolmnurgareegliks. · Liitmisel kehtib kommutatiivsuse seadus. · Võttes rööpküliku lähiskülgedeks ühise alguspunktiga liidetavad vektorid, on summaks rööpküliku diagonaal kui vektor, mille alguspunktiks on liidetavte vektorite ühine alguspunkti. · Vektori esitamist kahe erisihilise vektori summana nimetatakse vektori lahutamiseks komponentideks. · Mitme vektori korraga liitmiseks moodustame liidetavatest vektoritest murdjooni nii, et eelmise vektori lõpppunkt on järgmise vektori alguspunktiks; vektor, mis on suunatud murdjoone alguspunktist lõpppunkti on antud vektorite summa. See on hulknurgareegel vektorite liitmiseks. · Liitmisel kehtib assotsiatiivsuse seadus 6.5 Vektori lahutamine · Sama sihi, pikkuse, kuid erineva suunaga vektorid on vastandvektorid. · Vektorit, mille pikkus on null, nimetatakse nullvektoriks, tähistatakse sümboliga 0.
Masspunkti liikumishulga momendiks mingi tsentri suhtes nimetatakse sellesse tsentrisse rakendatud vektorit, mis võrdub sellest tsentrist punktmassini tõmmatud kohavektori ja punktmassi liikumishulga vektorkorrutisega. L0=r x mv 67. Kuhu on suunatud antud tsentri O suhtes võetud punktmassi liikumishulga momendi vektor? Milline on selle moodul? Vektor Lo lähtub vaadeldavast tsentrist 0 ja on alati risti r ja mv vektoritest moodustuva tasapinnaga,suunatud kruvireeglijärgi, kui pöörata r vektorit mv suunas. Moodul Lo=r*mv*sin( lambda)=mv*d, kus d on tsentrist liikumise sihile tõmmatud ristlõigu pikkus 68. Kirjutada punktmassi liikumishulga moment tsentri O suhtes kolmerealise determinandi abil. L0=[i j k; x y z; mx' my'mz'], kus r=[i j k] L0=iL0x+jL0y+kL0z 69. Mida nimetatakse punktmassi liikumishulga momendiks telje suhtes? Valem.
Normaalkiirendus on suunatud mööda raadiust kinnistelje poole. an = = 2r r Tangensiaalkiirendus on suunatud mööda trajektoori puutujat kiireneval liikumisel kiirusvektori suunas ja aeglustuval liikumisel kiirusvektorile vastupidises suunas. dv at = = r dt Kogukiirendus on suunatud mööda tangensiaal- ja normaalkiirenduse vektoritest moodustatud ristküliku diagonaali tangensiaalkiirenduse ja normaalkiirenduse mõjumise suundi arvestades. a = r 2 +4 154. Kuidas on suunatud nurkkiirus ja nurkkiirendusvektorid jäiga keha pöörlemisel ümber kinnistelje? Nurkkiirusvektor on alati suunatud sinnapoole, kustpoolt vaadatuna toimub pöörlemine vastupäeva. Nurkkiirendusvektor on kiireneva pöörlemise korra suunatud nurkkiirusega samas suunas ja aeglustuva liikumise korral nurkkiirusvektoriga vastassuunas. 155
2 2 2 2 s2 2 x b− x x b−x n1= n2 ⇒ sin α 1= jasin α 2= s1 s2 s1 s2 α 2∗¿ n2 Murdumise seadus on: sin α 1∗n1=sin ¿ Mis on valgustugevus? Ühiks SI-s. Mis on valgusvoog? Ühik SI-s. Valgusvoog Φ λ see on energia mis läbib pinnaühikut ajaühikus, aga arvestab spektraalsust ehk summa Poyntingi vektoritest erinevatel lainepikkustel. Valgusvoo mõõteühik on [ Φ ] SI =1 lm Φ=I∗Ω Valgustugevus I on ühikulise ruuminurga kohta tulev valgusvoog. Valgustugevuse mõõteühik on [ I ] SI =1cd dΦ I= dΩ Mis on valgustatus? Ühik SI-s. Mis on heledus? Ühiks SI- s. Valgustatus – suurus iseloomustamaks pinnale langevata valgusvoogu. Mõõteühik [ E ] SI =1 lx dΦ E= dS Heledus B – iseloomustab kiirgavat pinda (ka peegeldumisel) antud vaatesuunas.
Dielektrilise ja magnetilise läbitavuse negatiivsete väärtuste korral jääb Maxwelli seos murdumisnäitaja jaoks kehtima, aga uue aine omadused peaksid siiski märgatavalt erinema positiivsete parameetrite väärtustega ainest. Monokromaatilise tasalaine korral on näha, et elektrivälja, magnetvälja ja lainevektor moodustavad Maxwelli võrrandites parema käe kolmiku. Kui aine dielektriline ja magnetiline läbitavus võtta samaaegselt negatiivseks, siis moodustub vastavatest vektoritest vasaku käe kolmik (vt Joonis 1). Selle põhjal defineeris Veselago paremakäelised ja vasakukäelised materjalid. Nende vektorite suunakoosinustest moodustatud maatriksi determinandi p, mille väärtust kasutatakse mitmete valemite defineerimisel, väärtus on 1 või -1. [3] 8.3 Negatiivne murdumisnäitaja Joonis 2. Negatiivne murdumine Tavalise materjali ning metamaterjali piirpinnal toimuva murdumise tulemusena murdub kiir sama
arvu astme mõiste abil ökonoomsemaks teha ning kuidas vahel loeb hoopis arvude vaheline kaugus, mida mõõdab arvu absoluutväärtus. Osa 3 räägib arvude sõpradest ja sugulastest. Ühe arvu asemel uurime nüüd mate- maatilisi objekte, mis koosnevad paljudest kokkupandud arvudest. Alustame jada- dest, kuhu oleme lihtsalt arve ritta ladunud. Edasi räägime vektoritest, mis on ühelt poolt lihtsalt arvupaarid, arvukolmikud ja nii edasi ning teiselt poolt geomeetrilised objektid – ilusad nooled. Viimaks jõuame ühe pika lisapeatükini, kus räägime arvu- tabelitest ehk maatriksitest ning sellest, kuidas nende abil võrrandeid lahendada. Edasi räägimegi võrranditest. Osas 4 selgitame, kuidas võrrandite abil elulisi küsi-
vektorit, mille vektorsumma on võrdne selle sama jõuvektoriga r r r F = F1 + F2 . Sellist lahutamist saab teha lõpmata mitmel viisil ja sõltub sellest, milliseid komponentvektoreid me otsime. Tõepoolest, kuna kahe vektori summa on võrdne vektoriga, mis on ehitatud nendest vektoritest ehitatud rööpküliku diagonaalile, siis on selge, selliseid rööpkülikuid, mis on sama diagonaaliga, on lõpmata palju. Vektori lahutamisel komponentideks tulebki toimida nii, et joonestada rööpkülik, mille diagonaal oleks lahutatava vektori sihiline ja pikkus võrdne selle vektori mooduliga. Rööpküliku külgedele ehitatud vektorid ongi otsitavad komponentvektorid. Füüsikalise probleemi korral ei toimita vektori lahutamisel
Arvutikaarte saab suumida.Neid iseloomustab veel ainulaadsus,kopeeritavus ja operatiivsus. 1.Sisu järgi jagunevad kaardid:üldgeograafilised,teemakaardid ja erikaardid. 2.Vormilt jagunevad kaardid:paberkaartideks ja arvutikaartideks. 3.Arvutikaardid jagunevad:raster-ja vekrotkaartideks. Rasterkaart-koosneb pikslitest,mis on seotud geograafiliste koordinatidega ning koosneb paljudest temaatilistest kihtidest(nt. jõed,järved,bussipeatused). Vektorkaart-koosneb vektoritest,see on arvutikaart,mille nähtusi tähistavad punktid,jooned,pinnad ja nende kogumid.Selle kaardi elemendid rühmitatakse tavaliselt nn.kihtidesse temaatilise sarnasuse või geograafiliste primitiivide omaduste alusel. Seosed sfääridega. Maa kui süsteem. - Süsteem on omavahel seotud objektide terviklik kogum,mis jaguneb avatuks ja suletuks süsteemiks.Lisaks võivad süsteemid olla veel: 1.Staatilised ehk ajas muutumatud 2.Dünaamilised ehk ajas muutuvad
võimalust: kolmnurga reegel ja rööpküliku reegel. • Kolmnurga reegli järgi liitmisel tuleb teist vektorit iseendaga paralleelselt nihutada nii, et teise vektori algus ühtiks esimese vektori lõpuga. Vektorite summaks on esimese vektori algusest teise lõppu suunatud vektor • Rööpküliku reegli järgi liitmisel tuleb teist vektorit nihutada nii, et mõlema vektori alguspunktid langeksid kokku. Vektorite summaks on liidetavatest vektoritest moodustuva rööpküliku diagonaali suunaline ja pikkune vektor • Kui vektorite liitmine on selge, ei tohiks ka lahutamine raskusi valmistada. Vektori lahutamine teisest pole ju midagi muud kui vastupidise suunaga vektori liitmine Kokkuvõte • Füüsikaline objekt- Füüsikaline objekt on kas keha, väli või loodusnähtus, mis eksisteerib looduses sõltumatult vaatlejast ja tema teadmistest objekti kohta.
121 PEATÜKK 13. VEKTORID RUUMIS 13.6 Skalaarkorrutamine Definitsioon 13.27 Nullvektorist erinevate vektorite x, y E vaheliseks nurgaks nimeta- takse nurka, mis tekib lõigu AB pööramisel ümber punkti A lühemat teed pidi lõigule AC. Tähistame seda nurka (x, y) [0, ] abil. Definitsioon 13.28 Kui vektoritest x, y E vähemalt üks on nullvektor, siis nurgaks (x, y) loeme ükskõik millist reaalarvu lõigust [0, ]. Definitsioon 13.29 Vektorite a, b E skalaarkorrutiseks nimetatakse reaalarvu, mis võrdub nende vektorite pikkuste ja nendevahelise nurga koosinuse kor- rutisega, a, b = |a| · |b| · cos (a, b). (13.8) Skalaarkorrutis on inglise keeles Omadus 13.5
annaabi.ee 
