Leidsid 33 sarnast õppematerjali, mis on seotud failiga "Vektorite lineaarne sõltuvus ja sõltumatus. Lineaarse sõltuvuse tarvilik ja piisav tingimus". Need materjalid aitavad sul teemat sügavamalt mõista.
vektor, vektorit, kombinatsioon, triviaalne, nullvektor, reaalarv, vektorruum, reaalarvu, vektorruumi, mittetriviaalne, reaalarvud, sõltuvus, vektorist, kordajad, sõltumatus, piisavus, aksioome, vektorid, reaalarvude, valides, kordajate, avaldise, kollineaarsedseatud vastavusse element ⃗c ∈ . V × V →V ( ⃗a , ⃗b ) ↦ c⃗ =⃗a + ⃗b DEF2: hulgal V on defineeritud elemendi korrutamine reaalarvuga λ , kui igale paarile ( λ , ⃗a ) ∈ R ×V on seatud vastavusse element λ ⃗a ∈V . R ×V →V ( λ , ⃗a ) ↦ b⃗ =λ a⃗ Hulk V on vektorruum üle reaalarvude hulga R, kui sel hulgal on DEF1 &DEF2 nii, et on täidetud tingimused (vektorruumi aksioomid): 1) ∀ ⃗a ∈V , ∀ ⃗b ∈V korral ⃗a + b⃗ =b⃗ + ⃗a (liitmise kommutatiivsus) 2) ∀ ⃗a ∈V , ∀ ⃗b ∈V , ∀ ⃗c ∈V korral ( ⃗a + b⃗ )+ ⃗c =⃗a +(b⃗ + ⃗c ) (liitmise assotsiatiivsus)
1 VEKTORALGEBRA PÕHIMÕISTEID DEFINITSIOON. Suurusi, mis on iseloomustatud oma 1) arvväärtuse (pikkuse), 2) sihi ja 3) suunaga, nimetatakse vektoriteks. Tähistame neid a, b,... . MÄRKUS. Geomeetriliselt on vektor a määratud kahe punktiga oma alguspunktiga A ja lõpp-punktiga B. Tähistame a = AB, kusjuures: 1) arvväärtuse määrab punktide vaheline kaugus, 2) sihi määrab punktidega antud sirge s(A,B), 3) suund on määratud punktide järjestusega. OLULISED VEKTORID: Vektoreid, mille arvväärtus (pikkus) on üks, nimetatakse ühikvektori- = 1. teks. Kasutatakse tähistust e, st e
1 VEKTORALGEBRA PÕHIMÕISTEID DEFINITSIOON. Suurusi, mis on iseloomustatud oma 1) arvväärtuse (pikkuse), 2) sihi ja 3) suunaga, nimetatakse vektoriteks. Tähistame neid a, b,... . MÄRKUS. Geomeetriliselt on vektor a määratud kahe punktiga oma alguspunktiga A ja lõpp-punktiga B. Tähistame a = AB, kusjuures: 1) arvväärtuse määrab punktide vaheline kaugus, 2) sihi määrab punktidega antud sirge s(A,B), 3) suund on määratud punktide järjestusega. OLULISED VEKTORID: Vektoreid, mille arvväärtus (pikkus) on üks, nimetatakse ühikvektori- = 1. teks. Kasutatakse tähistust e, st e
korral 3. liitmise suhtes leidub nullelement (reaalarv 0, 0 + z = z + 0 = z z C korral), st leidub C, nii et z + = + z = z z korral; = (0; 0) = 0 4. igal kompleksarvul z = (x; y) = x + yi leidub (liitmise suhtes) vastandarv, st selline arv w C, et z + w = w + z = 0; w = -z 5. korrutamine on kommutatiivne, st z1z2 = z2z1 z1, z2 C korral 6. korrutamine on assotsiatiivne, st (z1z2)z3 = z1(z2z3) z1, z2, z3 C korral 7. korrutamise suhtes leidub ühikelement, selleks on reaalarv 1: 1z = z1 = z z C korral 8. igal nullist erineval kompleksarvul z = (x;y) = x + yi leidub pöördarv w C, nii et wz=zw=1 9. liitmine ja korrutamine on seotud distributiivsusega, st z 1(z2 + z3) = z1z2 + z1z2; (z1 + z2)z3 = z1z3 + z2z3 z1, z2, z3 C korral Kompleksarvu algebraline kuju: z = (x; y) = (x; 0) + (0; y) = (x;0) + (y; 0)(0; 1) = x + yi; C = {x + yi | x, y R} Tuletatavad tehted: 1. vahe: z1 - z2 = z1 + (-1)*z2 2. jagatis: z1/z2 = z1 * z2-1, kui z2 0
(-1)n An+1 ln(I +A) := n+1 n=0 1 (I -A)-1 = := An I -A n=0 Definitsioon 19. Kui leidub arv ja vektor v = 0 nii, et Av = v, siis ¨oeldakse, et on maatriksi A omav¨ a¨artus ja vektor v on maatriksi A (omav¨a¨artusele vastav) omavektor. Teoreem 20. Maatriksrida f (A) koondub parajasti siis, kui vas- tav astmetrida f () koondub maatriksi A iga omav¨ a¨artuse kor- ral. Teoreem 21. Kui f (A) koondub ning on A omav¨ a¨artus, siis
10. Kompleksarvu mõiste, imaginaarühik, kompleksarvu reaalosa ja imaginaarosa, kompleksarvude võrdsus, kaaskompleksarv. Kompleksarvude liitmise, korrutamise ja jagamise valemid. Kompleksarvu moodul, argument ja trigonomeetriline kuju. Kompleksarvu geomeetriline tõlgendus, Kaaskompleksarvude ja kompleksarvude summa geomeetriline tõlgendus. Trigonomeetrilisel kujul antud kompleksarvude korrutamise, jagamise, astendamise ja juurimise valemid. Juurte arv. 11. Geomeetriline vektor. Vektorite kollineaarsus, vektorite võrdsus. Nullvektor. Kolmnurka ja rööpküliku reegel. Lineaarsed tehted geomeetriliste vektoritega (liitmine ja skalaariga korrutamine). Lineaarsete tehete 8 omadust 12. Aritmeetiline vektor. Lineaarsed tehted aritmeetiliste vektoritega (liitmine ja skalaariga korrutamine). Aritmeetiline ruum. 13. Vektorruumi ja vektori definitsioon. Vektorruumi 5 näidet. Vektorite lineaarne kombinatsioon (näide geomeetriliste vektorite kohta)
n = cos n + i sin n . Seda valemit nimetatakse Moivre´i valemiks. 2. Juurimine. + 2k + 2k n r ( cos + i sin ) = n r cos + i sin . n n kompleksarvu n-ndal juurel on n erinevat väärtust. 3. Geomeetriline vektor. Lineaarsed tehted geomeetriliste vektoritega (liitmine ja skalaariga korrutamine). Lineaarsete tehete 8 omadust. Def. 1. Geomeetriliseks vektoriks nimetatakse suunatud lõiku. Geomeetriline vektor on kujutatud järgmisel joonisel. uuur uuur uuur uuur uuur uuur Def. 4. Vektorite AB ja BC summaks nimetatakse vektorit AC ja tähistatakse AC = AB + BC . Def. 5
Jagamine: 1 1 = 1 22 12 2 + 2 21 12 2 i Trig: 1 = 1 [cos(1 - 2 ) + i sin(1 - 2 )] a 2 + b2 i a 2 + b2 a 2 + b2 z 2 r2 Astendamine: [r (cos + i sin )] = r (cos n + i sin n ) + 2k + 2k Juurimine: n r (cos + i sin ) = n r + i sin n n 3. Geomeetriline vektor. Lineaarsed tehted geomeetriliste vektoritega (liitmine ja skalaariga korrutamine). Lineaarsete tehete 8 omadust. Geomeetriliseks vektoriks nimetatakse suunatud lõiku. Liitmine: AB + BC = AC . Arvu (skalaari) ja geomeetrilise vektori korrutiseks nimetatakse vektorit c, mis rahuldab tingimusi: 1. vektor c on paralleelne vektoriga ; 2. kui c 0 , siis vektori c suund ühtib vektori suunaga, c < 0 korral aga on vektorid c ja vastassuunalised; 3) vektori c pikkus
Vektori pikkuse definitsioon. Vektorite vahelise nurga definitsioon. Vektorite ristseisu tunnus. Afiinses ruumis pole võimalik arvutada nn. meetrilisi suurusi: vektori pikkust, punktide vahelist kaugust, vektorite vahelist nurka jne. Meetriliste suuruste sissetoomiseks kasutatakse skalaarkorrutise mõistet, mille üldine definitsioon on järgmine. Def. 1. Skalaarkorrutiseks vektorruumis V nimetatakse reeglit, mis igale kahele vektorile paneb vastavusse parajasti ühe reaalarvu, mida tähistatakse ja nimetatakse vektorite ja skalaarkorrutiseks, kusjuures on täidetud järgmised tingimused: 1° 0 iga V korral; 2° = 0 parajasti siis, kui = (nullvektor) 3° = iga , V korral (kommutatiivsus); 4° c ( ) = ( c ) = ( c ) iga c ja , V korral (homogeensus); 5° ( + ) = ( ) + ( ) , ( + ) = ( ) + ( ) iga , , V korral (distributiivsus). Näide 1
t. mistahes X,Y , Z Mat(m, n) korral kehtib (X + Y ) + Z = X + (Y + Z). Iga X Mat(m, n) ning nullmaatriksi Mat(m, n) korral kehtivad X + = X, + X = X. Iga X Mat(m, n) ning tema vastandmaatriksi -X Mat(m, n) korral kehtivad X + (-X) = , (-X) + X = . Maatriksite liitmine on kommutatiivne, s.t. mistahes X,Y Mat(m, n) korral kehtib X + Y = Y + X. Lahutamine - Maatriksite X,Y Mat(m, n) vaheks nimetatakse (m, n)-maatriksit X - Y := X + (-Y ). Korrutamine reaalarvuga - Reaalarvu ja mistahes mõõtmetega maatriksi A korrutiseks nimetatakse maatriksit, mille elemendid saadakse maatriksi A vastavate elementide läbikorrutamisel arvuga . Arvu ja maatriksi A korrutise tähiseks on A. Vastavalt defnitsioonile on seega reaalarvu R ja maatriksi A = (aij ) Mat (m, n) korrutiseks maatriks: A= ehk A = ( aij ) Mat (m,n). Maatriksi reaalarvuga korrutamise omadused. Mistahes R ja mistahes X,Y Mat(m,n) korral kehtivad: 1). 1X = X. 2) (-1)X = -X. 3) 0X = . 4) =
inversiooni mõisteid. |a11 a12 a13 | |a21 a22 a23 | = (-1) a11 a22 a33 = - a11 a22 a33 - a11 a23 a32 - a12 a21 a33 + |a31 a32 a33 | + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 - a13 a22 a31 1 2 3 123 132 213 231 312 321 0 1 1 2 2 3 Def3 Kujundust f, mis seob igale ruutmaatriksile A vastavusse ühe kindla reaalarvu d nimetatakse determinant kujutuseks ja mainitud arvu nimetatakse antud ruutmaatriksi determinandiks. Determinandi omadused Omadused, mis kehtivad determinandi ridade korral, kehtivad ka veergude korral. Om1 Determinandi väärtus ei muutu, kui tema read ja veerud vastavalt ümber paigutada. |A T| = |A| Om2 Kui determinandis 2 rida/veergu omavahel ümber paigutada, ülejäänud read/veerud jäävad
Kui vektori algus on punktis A ja lõpp punktis B, siis tähistatakse AB , a . Vektor on kindla sihi, suuna ja pikkusega lõik. Siht on teda kandva sirge siht. Suund on alguspunktist lõpp-punkti poole. Definitsioon. Vektori mooduliks nimetatakse tema pikkust, see on lõigu AB pikkust ja tähistatakse AB AB , a a . Vektori moodul on skalaarne mittenegatiivne suurus. Definitsioon. Nullvektoriks nimetatakse vektorit, mille algus- ja lõpp-punkt langevad kokku. Nullvektori moodul on alati võrdne nulliga, tema suund ei ole määratud. Definitsioon. Ühikvektoriks nimetatakse vektorit, mille moodul (pikkus) on 1. Definitsioon. Kollineaarseteks vektoriteks nimetatakse vektoreid, mis asuvad ühel sirgel või paralleelsetel sirgetel. Kollineaarseid vektoreid tähistatakse a b .
(1,2,3....n-1) 4. Geomeetrilised vektorid,lineaartehted ja nende omadused. Geomeetrilised vektorid on suunatud lõigud,a-algus punk,b-lõpp punkt( või ) on võrdsed kui need on,samasuunalised ja ühepikused.ruumis võib olla mis tahes punkt iga vektori ja p.A-le leidub p.B .kui vektori alg ja lõpp punk langevad kokku siis see on null-vektor.vektorite + = . lineaartehted on vektorite liitmine ja skalaar korrutmine omadused , , (null vektor olemas olu), (vastand vektori olemas olu), , 5. Aritmeetilised vektorid lineaartehted ja skalaarkorrutis ja nende omadused. Aritmeetilised vektorid n-mõõtmeline aritm.vektor on n arvu(a1,a2,a3....an)kindlas jäjekorras.tähistatakse (.kõigi n-mõõtmelise vektorite this on . Lineaartehted kui p =(b1,b2,b3,...bn) ja CR. korrutis ) Omadused iga , , leidub ,et null vektor, iga leidub vastand vektor ka , , (ab)=a() , 1* Skalaarkorrutis on arv
DV II teooriatöö kordamisküsimused 1. Kõrgemat järku harilik DV. Lahendi olemasolu, ühesuse tingimused, üldlahend, erilahend. V: Kõrgemat järku harilikud diferentsiaalvõrrandid: Üldkuju: F(x, y, y', y'', ..., y(n)) = 0, kus x on sõltumatu muutuja, y = y(x) on otsitav funktsioon ja y', ..., y (n) on otsitava funktsiooni tuletised. Normaalkuju: y(n) = f(x, y, y', ..., y(n-1)) (1) Eksaktne lahend: x0, y0, y01, ..., y0n-1, Algtingimused: nii mitu konstanti kui suur on DV järku konstant. {y(x0) = y0 {y'(x0) = y0(1) {... (2) (n-1) (n-1)
5)kontrollida tulemust kas AA-1=I . Reateisenduste abil: Koostades mtx (AlI) ja teisendades seda reateisendusetega kujule, kus mtx A kohal on I, tekib esialgse ühikmtxi kohale A-1. 1)kirjuta välja mtx (AlI) 2)reateisendusi kasutades teisendada mtx kujule, kus mtxi A kohal on I, saame kuju (IlA -1) 3)kirjutada välja pöördmtx 4)kontrollida võrdsust AA-1=I Determinant Ruutmtxi korral saab def ruutmtx det, st igale ruutmtxle A seab vastavusse üks reaalarv. Seega on det funktsioon, mis igale ruutmtxle A seab vastavusse kindla arvu detA. Teisiti öeldes, funktsiooni det argumentideks on ruutmtxid ja väärtusteks reaalarvud. Det(A)=l a 11 a12..a1n ; an1 an2 .. ann l .Maatriksi A=(a b ; c d) korral nim arvu ad-bc mtx A determindandiks ja tähistatakse det(A) või lAl. Permutatsioon n-järku permutatsionniks nim n esimese naturaalarvu mistahes ümberjärjestust(kus iga arv esineb üks kord). Det omadusi
Vektori a pikkus on a ja tähistatakse |a| = a. Vektoreid a ja b nimetakse kollineaarseteks (a ||b), kui nad on paralleelsed sama sirgega. Kollineaarsed vektorid on kas samasuunalised a b või vastassuunalised a b. Vektoreid a ja b nimetatakse komplanaarseteks, kui nad on paralleelsed ühe ja sama tasandiga. Vektorid a ja b on võrdsed (on sama suured), a=b, kui nende pikkus on sama ja nad on samasuunalised Vektorite a ja b summa a+b on vektor, mille alguspunkt on a alguspunkt ja lõpp-punkt saadakse b paralleellükkega a lõpp-punkti, siis a+b lõpp-punkt on b lõpp-punkt. Tihti kasutatakse ka rööpküliku reeglit, kus vektorid a ja b pannakse paralleellükkega algama samast punktist. Summa on siis rööpküliku pikem diagonaal. a-b=a+(-b). Seega ahelreelgi järgi tuleks vektorite a ja b vaheks vektor a-b, mis saadakse a lõppu b vastasvektori b lisamisega. Rööpküliku reeglite järgi oleks vektorite a ja b vahe neile
d= ( x 2−x 1 ) + ( y 2− y 1 ) + ( z 2 + z 1) 2 3. Vektori mõiste-Vektor on suunatud lõik millel on kindel algus- ja lõpp-punkt. 4. Nullvektor-Vektorit, mille pikkus on null, nimetatakse nullvektoriks ja tähistatakse sümboliga . Nullvektori suund on määramata. 5. Ühikvektor- Kui vektori pikkus on 1 6. vektorite liitmine-rööpkülikureegel: Vektorite a ja b summaks nimetatakse niisugust vektorit c, mis väljub nende ühisest alguspunktist ja on niisuguse rööpküliku diagonaal, mille külgedeks on liidetavad vektorid. Kolmnurga reegel-vektorite liitmisel viiakse teise liidetava alguspunkt esimese liidetava lõpp-punkti. Vektorite a ja b summaks on vektor mis kulgeb esimese liidetava alguspunktist teise liidetava lõpp-punkti. 7. vektorite lahutamine- Vektorite a ja b vaheks nimetatakse vektorit d, millel on omadus b+d=a. Kahe vektori vahe leidmiseks viikse nad ühisesse
Maatriksi astak, selle korrutamine skalaariga (arvuga) nimetajates on süsteemi maatriks leidmine. Näide Koordinaatidega antud vektorid, determinant , lugejas maatriks kus Kui maatriksis leidub vähemalt tehted nendega Olgu antud tundmatute veerg on asendatud üks nullist erinev r –järku miinor, vektorid a1, a2, ..., ak. Siis iga vabaliikmetega, determinant. kuid mitte ühtegi nullist Erinevat vektorit b kujul b _ a1a1 _ a2a2 Determinantide omadused, kõrgemat järku miinorit, siis _. . ._akak, kus a1, a2, . . . , ak on determinandi arendus rea (veeru) öeldakse, maatriksi astak on r. reaalarvud, nimetatakse vektorite järgi Maatriksi astaku hõlpsamaks a1, a2, . . . , ak lineaarseks l. omadus. leidmiseks teisendataks maatriksit kombinatsiooniks. Kui vektor on
e1 , ⃗ e2 , … , ⃗ en } moodustab baasi, kui ruumi V mistahes vektor on avaldatav süsteemi kuuluvate vektorite lin.kombona, s.t ∀ ⃗x ∈V korral ⃗x =x 1 ⃗ e 1 +x1 ⃗ e 1+ …+ x n ⃗ en , kus x 1 ∈ R (i=1,2, … , n) .
Joonte parameetrilised võrrandid Joone parameetrilisteks võrranditeks ruumis nim võrandeid kujul x=x(t) y=y(t) z=z(t) kui esimene võrrand esitab x-i t-funktsioonina, teine võrrand esitab y-i ja kolmas z-i muutuja funktsioonina. Muutujat t nim parametriks. Tasandil nim joone parameetrilisteks võrranditeks võrrandeid x=x(t) y=y(t) Sirge parameetrilised võrrandid Sirge on täielikult määratud kui on teada nullist erinev sirgega paralleelne vektor, nn sirge sihivektor s ja üks punkt M1 sirgel. M on meelevaldne punkt sirgel, siis OM1=r1 ja OM=r. Punktid M1 ja M määravad vektori M1M=r-r1. See vektor on paralleelne sihivektoriga. Võrrand r-r1=st on sirge parameetriline võrrand vektorkujul. Võrrandit y= kx+b nim sirge võrrandiks tõusu ja algordinaadi järgi. Siin arv k on sirge tõus ehk x-telje positiivse suuna ja sirge vahelise nurga tangens. Arvu b nim sirge algordinaadiks.See on sirge ja y-telje lõikepunkti ordinaat.
19 1.4 Täieliku järjestatud korpuse ühesus. Reaalarvude definitsioon . . . . . . . . 20 1.5 Reaalarvude korpuse omadused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.5.1 n-astme juur positiivsest reaalarvust. Irratsionaalarvud . . . . . . . . 21 1.5.2 Archimedese printsiip. Ratsionaalarvude hulga tihedus . . . . . . . . 22 1.5.3 Reaalarvu absoluutväärtus. Intervallid . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.5.4 Hulga R mitteloenduvus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.5.5 Dedekindi lõiked . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.6 Võrratused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.6
.. x f n n Kui m < n , siis on alamääratud süsteem, osa tundmatuid jääb määramata, kui m > n , siis on ülemääratud süsteem, lahend võib üldse puududa, kui m = n , siis on üks lahend kui det A 0 . Homogeense võrrandsüsteemi vabaliige on null ehk AX = 0 . Homogeensel võrrandsüsteemil esineb alati triviaalne lahend X = 0 . Homogeensel võrrandsüsteemil on m = n korral mittetriviaalsed lahendid ainult juhul, kui det A = 0 . Kui homogeensel võrrandsüsteemil on üheks mittetriviaalseks lahendiks x1 bx1 x2 bx2 X = , siis on lahendiks ka bX = , kus b on suvaline konstant . ... ...
nüüd, kas y1 y2 on selle võrrandi lahendiks? Selleks asendame avaldise võrrandisse y1 y2 Homogeensuse aste 𝛼 võib olla suvaline reaalarv. Vaatleme lineaarset homogeenset n-järku võrrandit (𝑛) (𝑛−1) ((𝜑, 𝜓, 𝜌)𝜖∆) (11
2016 aasta sügis) Ristkoordinaadid. Kui ruumis on antud ristkoordinaadisüsteem, siis ruumi iga punkt P on üheselt määrastud ristkoordinaatidega x, y, z, kus x on punkti P ristprojektsioon abstsissteljele, y on punkti P ristprojektsioon ordinaatteljele ja z on punkti P ristprojektsioon aplikaateljele. Kirjutame P(x, y, z). Kahe punkti vaheline kaugus. Kui P1(x1, y1, z1), P2(x2, y2, z2) on ruumi punktid, siis kaugus d punktide P1 ja P2 vahel on määratud valemiga Vektori mõiste Vektor on suunatud lõik alguspunktiga punktis A ja lõpp-punktiga punktis B. Nullvektor Eukleidilises ruumis (näiteks tasandil) on nullvektoriks määramata suunaga vektor, mille pikkus on null. Ühikvektor Kui vektori pikkus on 1, siis teda nimetatakse ühikvektoriks. Vektorite liitmine ja lahutamine Lahutamine toimub sama põhimõtte järgi. Reaalarvu ja vektori korrutis. Vektori pikkus Vektori pikkuseks loetakse sellele vektorile vastava sirglõigu AB pikkust
. . . . . . . . . . . 116 13.3 Projektsioonivektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 13.4 Kohavektorid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 v SISUKORD 13.5 Eukleidiline vektorruum Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 13.6 Skalaarkorrutamine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 13.7 Vektorkorrutamine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 13.8 Segakorrutamine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
korrutised liita. Maatriksi transponeerimine: maatriksi transponeerimiseks vahetatakse selle read ja veerud. (m × n)-maatriksi A = (aij ) transponeeritud maatriksiks nimetatakse (n × m)-maatriksit AT = (bji ), mille veergudeks on parajasti maatriksi A vastavad read 3. Determinandi mõiste, järk, tähistused. Miinor, alamdeterminant. determinant ruutmaatriksile algoritmiga vastavusse seatud arv. Igale ruutmaatriksile saab vastavusse seada ühe reaalarvu, mis leitakse ühe ja sama algoritmi järgi ruutmaatriksi elementide abil. determinandi järk ruutmaatriksi A järk Tähistus detA või |A| determinandi elemendi miinor tekib siis, kui antud determinandist eemaldada rida ja veerg, kus antud element paikneb. n-järku determinandi mingi elemendi aij miinoriks Mij nimetatakse sellist (n-1)-järku determinanti, mis tekib, kui antud determinandist eemaldada rida ja veerg, kus paikneb vaadeldav element.
reamaatriksi ja maatriksi B k-nda veerumaatriksi vastavad elemendid ja saadud korrutised liita. Nt 1: Nt 2: · Maatriksi transponeerimine: transponeeritud maatriks on maatriks AT, mille veergudeks on maatriksi A vastavad read. 3. Determinandi mõiste, järk, tähistused. Miinor, alamdeterminant. Igale ruutmaatriksile saab vastavusse seada ühe reaalarvu, mis leaitakse ühe ja sama algoritmi järgi ruutmaatriksi elementide abil. Saadud arvu nim selle ruutmaatriksi determinandiks. Täh | A|. Ruutmaatriksi A järku nim ka determinandi järguks. n-järku determinandi mingi elemendi aij miinoriks Mij nim sellist (n-1)-järku determinanti, mis tekib, kui antud determinandist eemaldada rida ja veerg, kus paikneb vaadeldav element. n-järku determinandi mingi elemendi aij alamdeterminandiks nim arvu Aij=(-1)i+j Mij kus Mij on
18. Kahe vektori skalaarkorrutis (mõiste, omadused, avaldis koordinaatides). Kahe vektori skalaarkorrutis nim. nende vektorite pikkuste ja nendevahelise nurga koosiinuse korrutist. ab = |a||b|cos Omadused: 1) On arvuline suurus 2) ab = 0, kui a = 0 vôi b = 0 vôi a risti b 3) ab = 1, kui a || b Avaldis koordinaatides: a*b = (a1b1 + a2b2 + a3b3). 17. Kahe vektori vektorkorrutis (mõiste, omadused, avaldis koordinaatides). Kahe vektori vektorkorrutis nim. vektorit, mille: 1) Pikkus on vôrdne nende vektorite pikkuste ja nendevahelise nurga siinuse korrutisega; 2) Siht on rist môlema vektoriga määratud tasandiga; 3) Suund on määratud Parema Käe ReegliTM järgi. Omadused: 1) Ei ole arvuline suurus; 2) ax b = 0, kui a = 0 vôi b = 0 vôi a || b; 3) ax b = |a||b|, kui a risti b . Avaldis koordinaatides: i j k x1 y1 z1
Antud hulgas vastab parameetri väärtusele t = 0 punkt A ja parameetri väärtusele t = 1 punkt B. Nimetame sellist sirglõiku vektoriks ruumis Rm ja tähistame AB.Vektori AB pikkust tähistame sümboliga |AB|. · Olgu tegemist on vektoriga OM, mille lõpp-punkt on M = (b1-a1, b2-a2, . . . , bm- am), kuna antud süsteemist saame t = 1 korral xi = bi - ai. Koordinaatide alguspunktist lähtuv vektor OM on üheselt määratud oma lõpp-punkti M koordinaatidega ning seda nimetatakse punkti M kohavektoriks. x1 = (b1 - a1)t x2 = (b2 - a2)t ... xm = (bm - am)t , t [0, 1] · Vektorite skalaarkorrutis. Olgu kaks vektorit u = (u1, u2, ... , um) ja v = (v1, v2, ... , vm) siis on skalaarkorrutis järgmine u * v = (u1v1 + u2v2 +
Antud hulgas vastab parameetri väärtusele t = 0 punkt A ja parameetri väärtusele t = 1 punkt B. Nimetame sellist sirglõiku vektoriks ruumis Rm ja tähistame AB.Vektori AB pikkust tähistame sümboliga |AB|. · Olgu tegemist on vektoriga OM, mille lõpp-punkt on M = (b1-a1, b2-a2, . . . , bm- am), kuna antud süsteemist saame t = 1 korral xi = bi - ai. Koordinaatide alguspunktist lähtuv vektor OM on üheselt määratud oma lõpp-punkti M koordinaatidega ning seda nimetatakse punkti M kohavektoriks. x1 = (b1 - a1)t x2 = (b2 - a2)t ... xm = (bm - am)t , t [0, 1] · Vektorite skalaarkorrutis. Olgu kaks vektorit u = (u1, u2, ... , um) ja v = (v1, v2, ... , vm) siis on skalaarkorrutis järgmine u * v = (u1v1 + u2v2 +
............................................................................ 5 Irratsionaalarvud...................................................................................................................6 Reaalarvud R........................................................................................................................ 6 * Rooma numbrid..................................................................................................................... 6 Reaalarvu absoluutväärtus........................................................................................................6 Reaalarvude piirkonnad............................................................................................................7 Protsentarvutus......................................................................................................................... 7 Ratsionaalavaldise lihtsustamine.................................................................
ja b 0.
· Iga ratsionaalarv avaldub lõpmatu perioodilise kümnendmurruna.
1.2 Irratsionaal- ja reaalarvud
· Arv, mis avaldub lõpmatu mitteperioodilise kümnendmurruna, on irratsionaalarv.
· Arvutamisel piirdutakse ligikaudsete väärtustega e lähenditega, nt pii=3,14
· Kuna iga ratsionaalarv avaldub lõpmatu perioodilise ja irratsionaal lõpmatu mitteperioodilise kümnendmurruna,
siis iga reaalarv avaldub lõpmatu kümnendmurruna.
1.3 Arvuhulkade omadusi
· Arvuhulka nimetatakse järjestatuks, kui iga tema kahe arvu a ja b korral kehtib üks kolmest võimalusest, kas a>b,
a=b või a
MATEMAATIKA TÄIENDÕPE VALEMID JA MÕISTED KOOSTANUD LEA PALLAS 1 2 SAATEKS Käesolev trükis sisaldab koolimatemaatika valemeid, lauseid, reegleid ja muid seoseid, mille tundmine on vajalik kõrgema matemaatika ülesannete lahendamisel. Kogumikus on ka mõned kõrgema matemaatika õppimisel vajalikud mõisted, mida koolimatemaatika kursuses ei käsitletud.. 3 KREEKA TÄHESTIK Α α alfa Ν ν nüü Β β beeta Ξ ξ ksii Γ γ gamma Ο ο omikron Δ δ delta Π π pii Ε ε epsilon Ρ ρ roo Ζ ζ dzeeta Σ σ sigma Η η eeta Τ τ tau Θ θ teeta Υ υ üpsilon Ι ι ioota Φ φ fii Κ κ kap
annaabi.ee 
