1.12.Põhiliste elementaarfunktsioonide tuletised: 1. C'=0 2. 3. 4. 5. 6. 7. 1.13 Kõrgemat järku tuletised DEF 1. Kui funktsioonil f´(x) eksisteerib tuletis, siis seda tuletist nim. funktsiooni y=f(x) teiseks tuletiseks ehk teist järku tuletiseks ja tähistatakse y´´ ehk f´´(x) ehk d 2y/dx2 ehk d2f(x)/dx2 või (d2/dx2)f(x). Seega f´´(x)=[f´(x)]´. Analoogselt ka kolmandat järku tuletis jne. DEF 2. Funktsiooni y=f(x) n-järku tuletiseks nim. tuletist (n-1) järku tuletisest. Näited: leian nt (3) tuletise . Leian leides algul (3) ja siis tõesta mat. Induktsiooniga. Parameetriline leida 2. Tuletis. Tulemus: Kõrgemat järku tuletised: Lause 1.(Leibnizi valem). Funktsioonide korrutise f(x)g(x) n-järku tuletis on leitav selle valemi abil: Tõestus. Leian n-nda tuletise korrutise tuletisest. Algul leian 2 tuletist: Tõestada ka mat. Induktsiooniga: 1)n=n 2)n=n+1 N. 1.14 Funktsiooni diferentsiaalid DEF 1. Avaldist f´(x)x nim
( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ] ( )] ( ) 14.Defineerige funktsiooni y=f(x) teist ja kolmandat järku ning nulljärku tuletis arguendi x suhtes. Funktsiooni y=f(x) teist järku ehk teiseks tuletiseks nim. tema tuletist tema tuletisest ja tähistatakse sümboliga: ( ) Funktsiooni y=f(x) kolmandat järku tuletist ehk kolmandaks tuletiseks nim. tuletist tema teisest tuletisest ja tähistatakse sümbolitega ( ) Funktsiooni y=f(x) null-järku tuletise all mõeldakse funktsiooni endast so f(0)=f(x) 15.Kirjeldage näite varal kuidas on defineeritud liitfunktsiooni tuletis. Olgu antud liitfunktsioon y=f[g(x)] ehk ahela kujul y=f(x), u=g(x) Siis ( )] ( ) ( ) ( )
Vaata näiteid vihikust! 1.12 Põhiliste elementaarfunktsioonide tuletised. 1.13 Kõrgemat järku tuletised DEF 1. Kui funktsioonil f´(x) eksisteerib tuletis, siis seda tuletist nim. funktsiooni y=f(x) teiseks tuletiseks ehk teist järku tuletiseks ja tähistatakse y´´ ehk f´´(x) ehk d2y/dx2 ehk d2f(x)/dx2 või (d2/dx2)f(x). Seega f´´(x)=[f´(x)]´. Analoogselt ka kolmandat järku tuletis jne. DEF 2. Funktsiooni y=f(x) n-järku tuletiseks nim. tuletist (n-1) järku tuletisest. F(n)(x)=[f(n-1)(x)]´. +LEIBNIZI VALEMI TÕESTUS ! 1.14 Funktsiooni diferentsiaalid DEF 1. Avaldist f´(x)x nim. funktsiooni y=f(x) diferentsiaaliks ehk esimest järku diferentsiaaliks kohal x ja tähistatakse dy või df. dy=f´(x)x DEF 2. Funktsiooni y=f(x) diferentsiaaliks ehk n-järku diferentsiaaliks nim. diferentsiaali selle funktsiooni (n-1)-järku diferentsiaalist. dny=d(dn-1 y) 1.15 Funktsiooni kasvamine, kahanemine. Lokaalne ekstreemum. DEF 1. Funktsiooni y=f(x) nim
On antud funktsioon y =f(x) , selle funktsiooni tuletis funktsiooni määramispiirkonna mingis punktis x avaldub võrdusega: y lim x = x 0 f'(x) Tuletis on ju funktsiooni muudu ja argumendi muudu suhte piirväärtus argumendi muudu lähenemisel nullile... Funktsiooni tuletis on kindel arv, see on funktsiooni väärtus, millele ta läheneb pidevalt, ent millega ta iialgi reaalselt võrduda ei saa. Seega võib öelda, et y ja x suhe erineb x lähenemisel nullile funktsiooni tuletisest f'(x) lõpmata väikese suuruse võrra (ärme unusta, et lõpmata väike suurus on muutuv suurus): y x = f'(x) + a , kus a 0 ja x 0 Teeme väikese lubatud nipi ja vaatame, mis selle tagajärjel avaldub; korrutame x-ga mõlemad pooled läbi: y x = f'(x) + a x y = f'(x)x + ax AVALDUS FUNKTSIOONI MUUT! Funktsiooni muut koosneb kahest liidetavast: f'(x)x ja ax kusjuures mõlemad on lõpmata väikesed suurused, kuna x 0
funktsioon on diferentseeruv punktis x0. Kui funktsioon on aga diferentseeruv mingi piirkonna igas punktis, öeldakse, et funktsioon on diferentseeruv selles piirkonnas. 21. Funktsiooni diferentsiaal- on antud piirkonnas X diferentseeruv funktsioon y = f(x). Selle funktsiooni tuletis piirkonna X mingis punktis x määratakse võrdusega: f ` (x) = lim y / x ; x 0 Suhe y / x läheneb x 0 puhul kindlale arvule ja erineb seega tuletisest lõpmatult väikese suuruse võrra: y / x = f `(x) + a , kus a 0 kui x 0 y = f `(x)* x + a*x Funktsiooni y = f(x) diferentsiaaliks dy nimetatakse avaldist dy = f `(x)* x 22. Funktsiooni n-järku diferentsiaal- funktsiooni n-järku diferentsiaaliks nimetatakse selle funktsiooni (n 1 )-järku diferentsiaali diferentsiaali. 23. Funktsiooni statsionaarne punkt- punkte x X, kus f `(x) = 0 , nimetatakse funktsiooni y = f(x) statsionaarseteks punktideks. 24
väiksemaid ajavahemikke vaatame. Suhe ds/dt on keskmine kiirus ajavahemikul dt. Mida suurem see on, seda enam ta keskmistab tegeliku liikumiskiiruse. Mida väiksem see on, seda paremini isel ta liikumist antud hetkel. Mitteühtlase liikumise kiirus defin keskmise kiiruse piirväärtusena ajavahemikul dt. 2. Kiirusvektor. Kiirusvektori projektsioonid. Kiirusvektor v on vektor, mille moodul võrdub absoluutv trajektoori kaarepikkuse tuletisest aja järgi ja mis on suunatud mööda trajektoori puutujat liikumise suunas ja tema rakenduspunktiks on trajektoori see punkt, milles liikuv keha parajasti asetseb. v=ds/dt on ühtlase sirgjoonelise liikumise suhe. Kiirusvektori projektsioonid võrduvad liikuva punkti ristkoordinaatide tuletisega aja järgi: Vx=x; Vy=y; Vz=z. 3. Normaal ja tangentsiaalkiirendus Trajektoori puutujasihilist kiirendusvektori komponenti at nim tangensiaal, ehk puutekiirenduseks
1. Tuletise lineaarsuse tõestus, st näidata, et saame konstandi tuletise märgi alt välja tuua ning summa tuletis on tuletiste summa. Lause: Kui funktsioonid f(x) ja g(x) on diferentseeruvad punktis x ja cR on konstant, siis selles punktis on diferentseeruv ka funktsioon cf(x) Tõestus:Korrutise tuletisest y'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x) lähtuvalt, kui cR on konstant, siis y=c*f(x) tuletis on y'=f(x)*c'+f '(x)*c=0*f(x)+c*f '(x)=c*f '(x) Lause: Kui funktsioonid f(x) ja g(x) on diferentseeruvad punktis x ja cR on konstant, siis selles punktis on diferentseeruv ka funktsioon y=f(x)+g(x) Tõestus: y=f(x)+g(x) esmalt, toimides sammhaaval, tehes eraldi tehetena komponendid, saame kolmandana saame aga, et 2)
· Defineerida punkti liikumise kiirus. Kirjutada ka valem. Punkti kiirus näitab punkti kohavektori muutust mingis ajaühikus. v=ds/dt · Milline on punkti kiirusvektori moodul, siht ja suund? Kirjutada ka kiirusvektori vektorvalem. Kiirusvektoriks nimetatakse sellist vektorit, mis on rakendatud trajektoori vaadeldavasse punkti, mis on suunatud mööda trajektoori puutujat liikumise suunas ja mille moodul on võrdne absoluutväärtusega kaarepikkuse s tuletisest aja t järgi. v=ds/dt · Defineerida täpselt punkti liikumise kiirendus. Kirjutada ka valem. Punkti kiirendus on võrdeline kiiruse muutumise kiirusega ajaühikus. a=dv/dt · Mida nimetatakse punkti liikumise kiirenduseks? Millised on kiirenduse projektsioonid nii Descartes'i koordinaattelgedele kui loomuliku teljestiku telgedele? Projektsioonideks Descartes'i ristkoordinaadistiku projektsioonideks on vastavate telgede projektsioonide teised tuletised aja järgi.
1. Tuletise lineaarsuse tõestus, st näidata, et saame konstandi tuletise märgi alt välja tuua ning summa tuletis on tuletiste summa. Lause: Kui funktsioonid f(x) ja g(x) on diferentseeruvad punktis x ja cR on konstant, siis selles punktis on diferentseeruv ka funktsioon cf(x) Tõestus:Korrutise tuletisest y’=f’(x)g(x)+f(x)g’(x) lähtuvalt, kui cR on konstant, siis y=c*f(x) tuletis on Tõepoolest, valem kehtib juhul n=1. y’=f(x)*c’+f ’(x)*c=0*f(x)+c*f ’(x)=c*f ’(x) Nüüd tuleb näidata induktsioonisamm: eeldame, et valem kehtib juhul n-1 ja näitame, et sel juhul kehtib ta
tähenduse Leibnizi tähistusele ja võimaldab seda vaadata kui harilikku murdu. 14. Kõrgemat järku tuletised ja diferentsiaalid. Olgu funktsioon y = f ( x ) , x X diferentseeruv punktis x . Seega on tal olemas selles punktis x lõplik tuletis y = f ( x ) . Definitsioon: Funktsiooni teist järku ehk teiseks tuletiseks punktis x nimetatakse tuletist tema tuletisest punktis x ja märgitakse sümboliga: d 2 y d 2 f ( x) y = f ( x ) = = = y xx = f xx = y = f ( x) dx 2 dx 2 Lagrange' i Leibnizi Tähistus Newtoni
Integraali märgi all olevat funktsiooni f(x) nimetatakse integreeritavaks funktsiooniks. Integraalialuseks avaldiseks nimetatakse avaldist f(x)dx. Näide: 2 xdx = x +C 2 1. MÄÄRAMATA INTEGRAALI OMADUSED 1. Tuletis määramata integraalist võrdub integreeritava funktsiooniga [ f ( x) dx ] = f ( x ) 2. Diferentsiaal määramata integraalist võrdub integraalialuse avaldisega: d f ( x ) dx = f ( x ) dx 3. Määramata integraal mingi funktsiooni tuletisest võrdub selle funktsiooniga pluss suvaline integreerimiskonstant: F ( x ) dx = F ( x ) +C 4. Konstantse teguri võib tuua integraalimärgi ette: kf ( x ) dx = k f ( x ) dx , kus k = const 5. Summat ja vahet võib integreerida liikmeti: [ f ( x ) ± g ( x )] dx = f ( x ) dx ± g ( x ) dx INTEGREERIMISE PÕHIVALEMID Integreerimise põhivalemid saadakse tuletiste põhivalemite "tagurpidi" rakendamisel (vt tuletiste tabel paremalt vasakule)
Funktsiooni y = f(x) määramata integraaliks nimetatakse avaldist y = f ( x) dx = F(x) + C, kus F(x) on funktsiooni f(x) algfunktsioon ja C konstant, mida nimetatakse integreerimiskonstandiks. Integraali seos tuletisega- Integreerimine on tuletise vastandtehe, seega kui tuletis 2x2-2x on 4x-2 , siis integraal 4x-2 on 2x2-2x+c. Tuletis määramata integraalist võrdub integreeritava. [ f ( x) dx ] = f ( x ) Määramata integraal mingi funktsiooni tuletisest võrdub selle funktsiooniga pluss suvaline integreerimiskonstant. F ( x ) dx = F ( x ) +C Mõnede (xa, sin x, 1/x) integreerimisvalemite tuletamine- Tuletamine: 6 dx = ln x + C , Tõestus : Avaldame x absoluutväärtuse Kui x > 0 ( ln x ) = ( ln x ) = 1 ja kui x x
Integraali märgi all olevat funktsiooni f(x) nimetatakse integreeritavaks funktsiooniks. Integraalialuseks avaldiseks nimetatakse avaldist f(x)dx. Näide: 2 xdx = x +C 2 1. MÄÄRAMATA INTEGRAALI OMADUSED 1. Tuletis määramata integraalist võrdub integreeritava funktsiooniga [ f ( x) dx ] = f ( x ) 2. Diferentsiaal määramata integraalist võrdub integraalialuse avaldisega: d f ( x ) dx = f ( x ) dx 3. Määramata integraal mingi funktsiooni tuletisest võrdub selle funktsiooniga pluss suvaline integreerimiskonstant: F ( x ) dx = F ( x ) +C 4. Konstantse teguri võib tuua integraalimärgi ette: kf ( x ) dx = k f ( x ) dx , kus k = const 5. Summat ja vahet võib integreerida liikmeti: [ f ( x ) ± g ( x )] dx = f ( x ) dx ± g ( x ) dx TÕESTUSED 1. [ f ( x) dx ] = f ( x ) . Definitsiooni järgi f ( x ) dx = F ( x ) +C , kus F ( x ) = f ( x ) [ f ( x )dx] = [ F ( x ) +C ] = F ( x ) = f ( x ) m.o.t.t. 2
y = f ( x ) = = = y x = f x = y& = f (x ) dx dx Lagrange' i Leibnizi Tähistus Newtoni tähistus tähistus liitfunktsiooni tähistus jne. korral y Kui piirväärtus lim on lõplik, siis kõneldakse lõplikust tuletisest, kui aga lõpmatu, siis öeldakse, et x 0 x funktsioonil f on punktis x lõpmatu tuletis. Funktsiooni tuletise leidmist nimetatakse funktsiooni diferentseerimiseks. Ühepoolsed tuletised Ühepoolseid piirväärtusi (lõplikke ja lõpmatuid) y y f ( x - ) = lim , f ( x + ) = lim x 0 - x x 0 + x
funktsioon on diferentseeruv punktis x0. Kui funktsioon on aga diferentseeruv mingi piirkonna igas punktis, öeldakse, et funktsioon on diferentseeruv selles piirkonnas. 21. Funktsiooni diferentsiaal - on antud piirkonnas X diferentseeruv funktsioon y = f(x). Selle funktsiooni tuletis piirkonna X mingis punktis x määratakse võrdusega: f ` (x) = lim y / x ; x 0 Suhe y / x läheneb x 0 puhul kindlale arvule ja erineb seega tuletisest lõpmatult väikese suuruse võrra: y / x = f `(x) + a , kus a 0 kui x 0 y = f `(x)* x + a*x Funktsiooni y = f(x) diferentsiaaliks dy nimetatakse avaldist dy = f `(x)* x 22. Funktsiooni n-järku diferentsiaal - funktsiooni n-järku diferentsiaaliks nimetatakse selle funktsiooni (n 1 )-järku diferentsiaali diferentsiaali. 23. Funktsiooni statsionaarne punkt - punkte x X, kus f `(x) = 0 , nimetatakse funktsiooni y = f(x) statsionaarseteks punktideks. 24
Peenestatud(disperseks) kontsentratsiooni mõju ainete pindaktiivsuse iseloomustamisel, vee ja teiste vedelike või tahkiste pindpinevust, suurendades ühtlasi kokku ja alaneb. 0-olekut nimetatakse iseoeletriliseks olekuks, faasiks on vedelik. TOLM (aerosuspensioon) - t/g 10-5 - 10-4 m. võetakse piirväärtus pindpinevuse tuletisest kontsentratsiooni järele. nende märgumist: nt seebid, detergendid, dispergendid. kus elektrilise kaksikkihi paksus alaneb kuni A-kihi paksuseni Peenestatud(disperseks) faasiks on tahke aine, tolm on tekkinud Seda tähistatakse tähega G. G=. Kui d/dc < 0, siis >0 ja Pindpinevuse vähendamine pindpinevust vähendavate madala difusioonikihi kokkusurumise tõttu
Tekkinud tasakaalus Sd= - Vd (1), kuna =cRT ja d=RTdc (2). Kuna eeldame, et ka pindaktiivse aine lahuse ruumis on vaid 1 mool pindaktiivset ainet, siis c=1/V ehk V=1/c (3). Asendame võrrandis (1) d ja V väärtustega võrranditest (2) (3), saame Sd= - RT/C*dc ja =1/S=- c/RT * d/dc. Võttes kasutusele abiparameetri Z: =Z/RT, kus Z= -c* d/dc (d/dc on pindaktiivsus). Selleks, et elimineerida kontsentratsiooni mõju ainete pindaktiivsuse iseloomustamisel, võetakse piirväärtus pindpinevuse tuletisest kontsentratsiooni järele. Seda tähistatakse tähega G. G=limc0c. Kui d/dc < 0, siis >0 ja lahustunud aine vähendab pindpinevust, aine koguneb pinnakihti. Kui vastupidi, siis aine kontsentratsioon pinnakihis on väiksem kui ruumis. Kui võrdsed, siis c pinnal ja ruumis on sama ja adsorptsiooni ei toimu. DUPRE VÕRRANDI TULETAMINE Eeldus: faasid on teineteises lahustumatud. Faaside kokkuviimisel tekib faasidevahelisel
punktis x ja cR on konstant, siis selles punktis on diferentseeruv ka funktsioon cf(x) Lause: Kui funktsioon y = f (x) on rangelt kasvav punktis x, siis leidub selline δ > 0, Tõestus:Korrutise tuletisest y’=f’(x)g(x)+f(x)g’(x) lähtuvalt, kui cR on konstant, siis y=c*f(x) tuletis on y’=f(x)*c’+f ’(x)*c=0*f(x)+c*f ’(x)=c*f ’(x) Lause: Kui funktsioonid f(x) ja g(x) on diferentseeruvad punktis x ja cR on konstant, siis Definitsioon: Funktsiooni y = f (x) nimetatakse rangelt kahanevaks punktis x, kui leidub
Väga vana indoeuroopa sõna. Poeg on soome-ugri sõna, vana päritolu. Inglise boy on hoopis normannidelt saadud. Läänemeresoome keeltest on laenatud skandinaavia keeltesse. Laps päritolu on uurali algkeeles, kuid sugulussõnaks sai alles läänemeresoome keeltes. Uurali algkeeles tähendas ta hälli või kandekorvi. Sõsar on laenatud balti keeltest. On olemas kõigis läänemeresoome keeltes, balti lähtekuju *sesor. Lõunaeesti sõtse pärineb deminutiivses tuletisest *ses-ei. Vend puudub lähisugulaskeeltes. Päritolu ei teata. Veli on olemas läänemeresoome keeltes ja lapi keeles. Kõige tõenäolisem päritolu on germaani laen. Langud on samuti germaani päritolu. Tähendus ”abielu kaudu sugulane” on ka teistes läänemeresoome keeltes. Nõbu on vaid soome ja lapi keeles, on balti laen. Onu on deminutiivne liide, sugulussõna pärineb enam tüvist. Äi on vana omasõna. Lell, ämm ja tädi on pärit lastekeelest.
Lause. Kui f(x)D(X) ja f(x)>0 (xX),
siis f `(x)=f(x)(d/dx)(lnf(x)) (xX). Tõestus. Lase eeldustel saan (d/dx)(lnf(x))= f `(x)/f(x) (xX),
millest järeldub eeldatud lause.
26. Kõrgemat järku tuletis: Iga tuletist võib vaadelda kui iseseisvat funktsiooni. Kui see f. on
diferentseeruv ehk siis f `(x)=D(x0), siis same leida temast omakorda tuletise. Seda nim. Kõrgemat
järku tuletiseks algfunktsioonist f(x'). n-järku tuletiseks nim. Tuletist tuletisest, mille mille jaoti on
n-1 ehk siis f astm n (x)= [f astm (n-1) (x)]'
27. Rolle'i teoreem: Keskväärtusteoreem. (Rolle'i). Olgu y=f(x) 1)pidev lõigul (a;b)
2)diferentseeruv vahemikus (a;b) 3)f(a)=f(b)=0. Siis leidub väh. 1 punkt c, a
Nurkkiirus 1/rad Nurkkiirendus 1/rad² 140. Kuidas teisendada nurkkiiruse mõõtühikut pööret minutis SI-süsteemis vajalikuks mõõtühikuks radiaani sekundis? 141. Nurkkiirus ja nurkkiirendus jäiga keha pöörlemisel ümber kinnistelje. Siht? Suund? Moodul? Nurkkiirus näitab pöörlemissuunda. Nurkkiirusvektor on selline vektor, mille moodul on võrdne absoluutväärtusega pöördenurga tuletisest aja järgi, mis on suunatud alati mööda pöörlemistelge sinnapoole, kust poolt vaadates pöörlemine toimub vastupäeva (kruvireegel). Keha nurkkiirendust võib samuti kujutada vektorina, mille suund on piki pöörlemistelge. Seejuures ühtib nurkkiirenduse vektor nurkkiiruse vektori suunaga, kui keha pöörleb kiirenevalt, ja on vastupidine aeglustuva pöörlemise puhul. 142. Jäik keha pöörleb ümber kinnistelje. Kuidas arvutada keha punktide kiirusi, normaal-,
Nurkkiirus 1/rad Nurkkiirendus 1/rad² 140. Kuidas teisendada nurkkiiruse mõõtühikut pööret minutis SI-süsteemis vajalikuks mõõtühikuks radiaani sekundis? 141. Nurkkiirus ja nurkkiirendus jäiga keha pöörlemisel ümber kinnistelje. Siht? Suund? Moodul? Nurkkiirus näitab pöörlemissuunda. Nurkkiirusvektor on selline vektor, mille moodul on võrdne absoluutväärtusega pöördenurga tuletisest aja järgi, mis on suunatud alati mööda pöörlemistelge sinnapoole, kust poolt vaadates pöörlemine toimub vastupäeva (kruvireegel). Keha nurkkiirendust võib samuti kujutada vektorina, mille suund on piki pöörlemistelge. Seejuures ühtib nurkkiirenduse vektor nurkkiiruse vektori suunaga, kui keha pöörleb kiirenevalt, ja on vastupidine aeglustuva pöörlemise puhul. 142. Jäik keha pöörleb ümber kinnistelje. Kuidas arvutada keha punktide kiirusi, normaal-,
z = f ( x, y ) ( x, y ) = 0 Lisatingimuse tõttu võime lugeda, et üks muutuja on teise funktsioon. Näiteks y on x-i funktsioon. Diferentseerime z-i täistuletise valemi põhjal dz f f = + y dx x y Diferentseerides lisatingimust saame + y = 0 x y dz Kriitilise punkti leidmiseks võtame =0 dx dz f f = + y = 0 dx x y Lisame siia tuletisest saadud võrduse, mis on korrutatud kordajaga f f + + + y = 0 (16.4) x x y y Olgu 0 , siis saame valida nii, et y f + =0 y y Siis (16.4)-st järeldub, et ka f + =0 x x Kui = 0 , siis peab olema 0 y x
kirjeldamisel, siis osutub oluliseks ka nende funktsioonide muutumise kiirus ehk tuletis. Näiteks on meil endalgi tarvis see tuletis välja arvutada, kui asume leidma, kuidas ikka veepommi kõige kaugemale visata [lk 333]. Nagu juba mainisime, on trigonomeetriliste funktsioonide tuletiste leidmisel kasulikum kasutada radiaane [lk 234], niisiis seda teemegi. Eelteadmised Siinusfunktsiooni tuletise võtmiseks on (lisaks tuletisest arusaamisele [lk 320]) vaja kasutada kahte juba tuletatud trigonomeetrilist valemit: Lisaks peame kasutama teadmist, et kui on mõõdetud radiaanides, siis väga väi- keste argumendi väärtuste korral on umbes võrdne -iga. Täpsemalt, keh- tib järgmine piirväärtuste [lk 313] abil kirjapandud seos: Miks see nii on, selgitasime intuitiivselt juba ühes eelnevas peatükis [lk 99]. Tuletuskäik
Formaalselt: (Tõestuse loogiline struktuur:) · Tees ehk väide, mille tõesust demonstreeritakse. · Põhjendid ehk argumendid on väited, mille abil teesi tõesust demonstreeritakse; · Demonstratsioon on mõttekäik, mille käigus selgub, et teesi tõesus on põhjenditest tuletatav. Tõestuse loogiline struktuur on analoogiline arutlusega ning koosneb samuti eeldustest, milledeks on põhjendid ehk argumendid, ja järeldusest (tuletisest), millena esineb tõestuse tees. Teesi tõestaja on proponent ning see teesile vastu vaidleb on oponent. Oponent võib kritiseerida ja ümber lükata ka põhjendeid või demonstratsiooni. Tõestusteoorias: tõestus on valemite jada, mille iga liige on kas aksioom või tuletatud eelmistest tuletusreeglite abil ja mis lõpeb tõestatud väitega. Gödeli mittetäielikkuse teoreem: ükski aksioomide loetelu ei saa hõlmata kõiki tõdesid (st
df (x) d dy = f (x) = =y. dx dx dx Geomeetriliselt v~ oib funktsiooni f (x) tuletist punktis x interpreteerida kui selle funkt- siooni graafikule punktis (x, f (x)) konstrueeritud puutuja (l~oikaja piirseisu) t~ousunurga tangensit. Kui funktsiooni muudu ja argumendi muudu suhte piirv¨a¨artus on l~opmatu, siis k~oneldakse l~ opmatust tuletisest. Kui funktsioonil f (x) on l~opmatu tuletis punktis x, siis funktsiooni graafikule punktis (x, f (x)) t~ommatav puutuja on paralleelne y-teljega. Definitsioon 2. Kui funktsioonil f (x) on tuletis punktis x, siis ¨oeldakse, et funkt- sioon on diferentseeruv punktis x. Fakti, et funktsioonil f (x) eksisteerib tuletis punktis x0 , t¨ahistame l¨ uhidalt f (x) D(x0 ), st f (x0 ) f (x) D(x0 ).
sõnaühendeid (st muuta sõnajärge). ➧ Konkreetsete liitumismallide diferentseerimine ja üldistatud mallide (piiratud hulga) kujunemine. Eelduseks on sõna muutevormide tähenduse mõistmine ning väljendatavate suhete üldistamine (nt kohasuhte väljendamise võimalused). Abiõppes on selline õpetus võimalik teise kooliastme I etapil. ➧ Liitmise ja tuletamise kombineerimine. Jätkub üldistatud mallide kujunemine, võivad kujuneda mitmest liitsõnast ja tuletisest koosnevad sõnapesad. Selline tegevus on osaliselt potentsiaalses arenguvallas abiõppe lõpuklassides. Eesti keeles on käändsõnad (= sõnad, mida käänatakse), pöördsõnad (= sõnad, mida pööratakse) ja muutumatud sõnad. Käändsõnad on nimisõnad (kass, maja), omadussõnad (noor, tugev), arvsõnad (kolm, kolmas) ja asesõnad (mina, ise, see). Omadussõnadel on sageli lisaks võrdluse vormid (ilus, ilusam, kõige ilusam). Pöördsõnad on tegusõnad (armastama, tegema)
дифференцируемая) punktis a ∈ D. Kui eksisteerib ühepoolne piirväärtus f (x) − f (a) f (x) − f (a) f−′ (a) := lim või f+′ (a) := lim , x→a− x−a x→a+ x−a siis kõneldakse vastavalt vasak- ja parempoolsest tuletisest kohal a. Definitsioon. Öeldakse, et funktsioon f : D → R on diferentseeruv, kui ta on diferent- seeruv igas punktis x ∈ D. Funktsiooni f ′ : D → R nimetatakse sel juhul funktsiooni f tuletiseks ehk tuletisfunktsiooniks. Olgu D1 ⊆ D. Öeldakse, et funktsioon f : D → R on diferentseeruv hulgas D1 , kui ahend f |D1 : D1 → R on diferentseeruv. Me kasutame allpool funktsiooni f (või avaldise f (x)) tuletise tähistamiseks tihti ka kirjutusviisi (f (x))′ , näiteks (vt
Üldjaatav muutub üldeitavaks ning seda võib piiranguteta ümber pöörata; osaeitav muutub osajaatavaks ning sedagi võib piiranguteta ümber pöörata. Neil juhtudel on vastandamise teel saadud tuletis on eeldusega samaväärne ning seda saab probleemideta uuesti tagasi teisendada. Üldeitav väide muutub üldjaatavaks ning see teiseneb ümberpööramisel kadudega osajaatavaks. Kui eeldus on tõene, on tõene ka järeldus, ent tuletisest lähtudes pole enam võimalik originaalväidet järeldada. Osajaatava väite muutmisel saadakse osaeitav ning selle ümberpööramine ei taga tõesest eeldusest tõese tulemi saamist. Seega pole osajaatava väite vastandamisel tagatud tõesest eeldusest tõese tuletise saamine, ehk teisiti öeldes, osajaatava väite vastandamine pole loogilise järeldamise reeglite kohaselt võimalik. #A Joonis 5.3 Väite vastandamise Venni diagrammid. Iga kujundi all on kõigepealt esitatud
Üldjaatav muutub üldeitavaks ning seda võib piiranguteta ümber pöörata; osaeitav muutub osajaatavaks ning sedagi võib piiranguteta ümber pöörata. Neil juhtudel on vastandamise teel saadud tuletis on eeldusega samaväärne ning seda saab probleemideta uuesti tagasi teisendada. Üldeitav väide muutub üldjaatavaks ning see teiseneb ümberpööramisel kadudega osajaatavaks. Kui eeldus on tõene, on tõene ka järeldus, ent tuletisest lähtudes pole enam võimalik originaalväidet järeldada. Osajaatava väite muutmisel saadakse osaeitav ning selle ümberpööramine ei taga tõesest eeldusest tõese tulemi saamist. Seega pole osajaatava väite vastandamisel tagatud tõesest eeldusest tõese tuletise saamine, ehk teisiti öeldes, osajaatava väite vastandamine pole loogilise järeldamise reeglite kohaselt võimalik. #A Joonis 5.3 Väite vastandamise Venni diagrammid. Iga kujundi all on kõigepealt esitatud
annaabi.ee 
