Tõenäosuste korrutamine · Kui ühe sündmuse toimumise tõenäosus ei sõltu sellest, kas teine sündmus toimus või mitte, siis nimetatakse neid sündmusi sõltumatuteks sündmusteks. Kahe sõltumatu sündmuse korrutise tõenäosus võrdub nende sündmuste tõenäosuste korrutisega. p(A · B) = p(A) · p(B). Näide 1. On kaks urni, neist esimeses on 5 musta ja 3 valget kuuli, teises on aga 4 musta ja 6 valget kuuli. Kummastki urnist võetakse juhuslikult üks kuul. Kui suur on tõenäosus, et mõlemad võetud kuulid on mustad? 5 Tõenäosus, et esimsest urnist võtame musta kuuli (sündmus A) on p(A) = . 8 4 2
Kui tõenäone on, et juhtusid kutsutud? 2. Õpilane oskab 25-st eksamiküsimusest vastata kahekümnele. Kui suur on tõenäosus, et pileti 3 küsimust on kõik nende kahekümne seast? 3. Kui suur on tõenäosus, et täringu viskamisel tuleb a. 5 silma, b. paaritu arv silmi, c. kolmega jaguv silmade arv. 4. Urnis on 3 punast ja 9 sinist ühesugust kuuli. Kui suur on tõenäosus, et kuuli juhuslikul võtmisel urnist saadakse d. sinine kuul, e. punane kuul, f. roheline kuul, g. kas punane või sinine kuul. 5. Lapse käes on neli kaarti, millest igaühele on kirjutatud üks number 1, 2, 3, 4. Laps laob need juhuslikus järjrkorras üksteise kõrvale. Kui suur on tõenäosus, et nii tekib a. arv 2134, b. paarisarv, c. arv, mis on suurem kui 1000, d. arv 2813. 6. Kümnele kaardile on kirjutatud numbrid 0 kuni 9. Kui suur on tõenäosus, et nendest kaartidest
│Ω│=n= C 52 =270725 P(A)=P(AA͞1AA͞2)=P(AA͞1)P(AA͞2)=1/2*2/3=1/3 2 1 1 P(AA͞1A2)=P(AA͞1)P(AA͞2│AA͞1)=1/2*2/3=1/3 │A│=k= C 4 C 13 C 35 =2730 Ühes urnis on 2 valger, 3 punast ja 4 sinist kuuli, teises 4 valget ja 2 rohelist kuuli. Kummastki urnist P(A)=6/595 võetakse juhuslikult üks kuul. Kui tõenäone on, et 4) Riiulile pannakse 10 raamatut, millest 3 on vähemalt üks võetud kuulidest on värviline? inglisekeelsed, juhuslikus järjekorras. Kui suur on Lahendus: I urn 2 v+3p+4s=9, II urn 4v+2s=6 tõenäosus, et inglisekeelsed raamatud satuvad A=“Vähemalt üks kuulidest on värviline“ kõrvuti
(0,94) 10. Tulistatakse 3 lasku. Märgi tabamise tõenäosused on I lasuga 0,4, II - 0,5 , III - 0,7- Kui tõenäone on, et märki tabab vähemalt üks lask ? (0,91) 11. Aparaadi monteerimisel käsutatakse neljas tsehhis valmistatud detaile. Praagi tõenäosus tsehhide kaupa on 0,04; 0,03; 0,06; 0,02. Tsehhidest saabus detaile järgmistes kogustes: 30, 20, 30 ja 25 tükki. Kui tõenäone on, et juhuslikult võttes saadakse praakdetail? (0,066) 12. Viiest urnist 2 sisaldavad kumbki 4 valget ja 3 musta kuuli, üks - 3 valget ja 4 musta ning kaks urni kumbki 5 valget ja 2 musta kuuli, ühest urnist võetakse üks kuul. Kui tõenäone on, et kuul osutub valgeks? (0,6) 13. Lähteandmed on 12 näites. Võetud kuul osutus valgeks. Kui tõenäone on, et ta pärineb esimesest urnide gru- pist? (0,381) 14. Aparaate monteeritakse kõrgema või I sordi detailidest. Keskmiselt 40 % aparaatidest monteeritakse kõrgema sordi detailidest
Ande Andekas-Lammutaja Matemaatika Tõenäosus Katse on tegevus (täringu või mündi viskamine, urnist esemete võtmine). Katse kolm tingimust nõuavad, et katse tulemusi peab olema lõplik arv, kõik tulemused on võrdvõimalikud ning katse tulemusena tuleb esile ainult üks võimalikest tulemustest. Elementaarsündmused (E1; E2; E3; ...; En) on katse tulemused, kui kõik kolm tingimust on täidetud. Elementaarsündmuste ruumi (U = { E1; E2; E3; ...; En }) moodustavad kõik elementaarsündmused kokku. Elementaarsüdmuste ruumi kõiki osahulki nimetatakse sündmusteks (A; B; C; ...)
Tõenäosusteooria (II) Tihti võib sündmusi vaadelda koosnevaina lihtsamatest sündmustest. Näiteks, olgu ühes urnis 4 valget ja 3 punast kuuli ning teises urnis 6 valget ja 3 punast palli. Kummastki urnist võetakse üks pall. Vaatleme järgmisi sündmusi: C võetud pallide hulgas on vähemalt üks punane pall, D mõlemad võetud pallid on punased. Me võime need sündmused esitada järgmiste osasündmuste (nn elementaarsündmuste) kaudu: A esimesena urnist võetud pall on punane B teisest võetud pall on punane Sündmuse C võime esitada niimoodi: toimub sündmus A või toimub sündmus B või toimuvad mõlemad sündmused A ja B. Sündmuse D võime esitada aga nõnda: toimub sündmus A ja toimub sündmus B. Tõenäosusteoorias antakse selliselt moodustatud sündmustele omaette nimetused. Sündmuste A ja B summaks nimetatakse sündmust C, mille korral toimub vähemalt üks sündmustest A või B (s
P(EG) = P(E)P(F) = 0,25 P(FG) = P(F)P(G) = 0,25 Aga 0,25 = P(EFG) P(E)P(F)P(G) Siit järeldus paarikaupa sõltumatud sündmused ei ole üldiselt sõltumatud. TINGLIK TÕENÄOSUS Eespool kasutasime tähistust P(BA), see on tingliku tõenäosuse tähistus. Sündmuse B tõenäosust, mis on arvutatud tingimusel, et sündmus A toimus, nimetatakse sündmuse B tinglikuks tõenäosuseks. Näide 1. Urnis on 7 valget ja 3 musta kuulikest. Urnist võetakse üksteise järel kaks kuulikest. Esimesena välja võetud kuulike on must. Milline on tõenäosus, et teisena välja võetud kuulike on valge? Lahendus. Esimesena välja võetud kuulike on must, tähistame selle sündmuse Aga. Peale sündmuse A toimumist, jäi urni 7 valget ja 2 musta kuulikest. Kõikide võimaluste arv tingimusel, et sündmus A toimus on 9. Teisena võetakse urnist valge kuulike see on sündmus B.
3 4 2. ÜLESANNE (5 punkti) Ülesannete tekstid I Urnis on 10 kollast ja 6 rohelist kuuli. Leidke tõenäosus, et urnist 1) juhuslikult võetud kuul on roheline; 2) juhuslikult korraga võetud kaks kuuli on mõlemad rohelised. II Karbis on 9 valget ja 7 musta palli. Leidke tõenäosus, et karbist 1) juhuslikult võetud pall on valge; 2) juhuslikult korraga võetud kaks palli on mõlemad valged. III Esimeses urnis on 5 punast ja 3 sinist kuuli, teises 4 punast ja 3 sinist kuuli. Leidke tõenäosus, et 1) esimesest urnist juhuslikult võetud kuul on sinine;
süsteemiks ja sündmusi elementaarsündmusteks.
· Sündmuse (klassikaliseks) tõenäosuseks nimetame sündmuse soodsate
elementaarsündmuste arvu k ja kõigi võrdvõimalike elementaarsündmuste arvu suhet.
P(A)=k/n. 0P(A)1
· Kindel sündmus P(A) = 1
· Võimatu sündmus P(A)=0 Ø
· Juhuslik sündmus 0
Meid huvitav sündmus s2 esimesel tabatakse, teisel lastakse sündmus B tinglik tõenäosus P(B|A)= vähemalt üks (st kas esimene või teine mööda; P(A)/P(A)= P(AB)/ P(A).Näide13. või mõlemad) releedest töötab s3 - esimesel lastakse mööda, teisel Urnis on 7 valget ja 3 musta kuulikest. garantiiaja jooksul tõrgedeta on tabatakse; Urnist võetakse üksteise järel kaks sündmuste A ja B summa, AB. s4 - esimesel ja teisel lastakse kuulikest. Esimesena välja võetud Tõenäosuste liitmislause kasutamiseks mööda.Sündmuse A soodsad sündmused kuulike on must. Milline on tõenäosus, peame teadma ka nende sündmuste on s2, s3. A ja B summaks kui toimub et teisena välja võetud kuulike on valge? korrutise AB tõenäosust. Kuna eelduse
seega P( A B) . 52 52 52 52 Kui sündmused A ja B on üksteist välistavad, siis P( A B) P( A) P(B) © Allar Veelmaa 2014 12. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium 36 TÄISTÕENÄOSUS On antud 3 urni. Neist ühes on 4 punast ja 3 sinist kuuli, teises 3 punast ja 8 sinist kuuli ja kolmandas 2 punast ja 6 sinist kuuli. Kui suur on tõenäosus, et kuul võeti teisest urnist ja see on punane; suvalisest urnist huupi võetud kuul on sinine ? 1. urn 2. urn 3. urn 1. pool ülesandest. 1 Kui urn valitakse juhuslikult, siis p(U2) =3 . 3 2. urnis on 3 punast ja 8 sinist kuuli. Punase võtmise tõenäosus on p(P) =11 . Et kuul võetakse 2. urnist ja see on punane 1 3 1
Seega, kahe sündmuse summa on p(AB) = p(A)+p(B). Nt: Urnis on 3 punast, 5 sinist ja 2 valget kuuli. Tõenäosus, et võetakse sinine VÕI punane kuul, on p(AB) = p(A)+p(B) = 3/10 + 1/2 = 4/5 2). Kahe sõltumatu sündmuse A ja B korrutiseks AB nimetatakse sündmust, mille toimumine seisneb sõltumatute sündmuse A JA B toimumises. Nt: Ühes urnis on 5 musta ja 3 valget kuuli ning teises urnis 4 musta ja 6 valget kuuli. Kummastki urnist võetakse üks kuul, milline on tõenäosus, et mõlemad kuulid on mustad? p(AB)=5/8 * 4/10. *Sõltuvad sündmused- Sündmust B nimetatakse sõltuvaks sündmusest A, kui sündmuse B toimumise tõenäosus sõltub sellest, kas sündmus A toimus või mitte. 1). Kahe teineteist mittevälistava sündmuse A ja B summa tõenäosus võrdub nende sündmuste tõenäosuste summaga, millest on lahutatud sündmuste koosesinemise e. korrutise tõenäosus. p(AUB) = p(A) + p(B) p(AB). Nt
Lehe ülapoolel paiknevad liistakud ehk assimilaatorid. Tugikoe ja juhtkoe elemente sisaldav leherood on lamenenud. Gametofüüdid on kahekojalised. Arhegoonid asetsevad emasgametofüüdi, anteriidid isasgametofüüdi tipus. Pärast viljastamist areneb sügoodist sporogoon, mis koosneb pikast jalast ja kuprast. Kupar asetseb püstiselt või veidi kaldu ning on 4-5 tahulise prisma kujuline , kaetud arhegooni kestast moodustunud roostekarva kiulise tanuga. Kupar koosneb urnist ja kaanest, kupra alumine osa aheneb kaelaks. Kupra välispinnal on õhulõhed, keskel sammas, mis ülaosas laieneb ja moodustab õhukese vaheseina epifragma. Samba ümber paikneb silindriline eosekott, mis niidikestega kinnitatud samba ja kupra seina külge. Eoste väljumist soodustab urni servas asetsevatest hambakestest suuääris ehk peristoom. Hügroskoopsed liikumisvõimelised hambakesed koosnevad hobuseraudjatest rakkudest, hambakeste ja epifragma vahele jäävad avad,
lehetupest. Lehe ülapoolel paiknevad liistakud ehk assimilaatorid. Tugikoe ja juhtkoe elemente sisaldav leherood on lamenenud. Gametofüüdid on kahekojalised. Arhegoonid asetsevad emasgametofüüdi, anteriidid – isasgametofüüdi tipus. Pärast viljastamist areneb sügoodist sporogoon, mis koosneb pikast jalast ja kuprast. Kupar asetseb püstiselt või veidi kaldu ning on 4-5 tahulise prisma kujuline, kaetud arhegooni kestast moodustunud roostekarva kiulise tanuga. Kupar koosneb urnist ja kaanest, kupra alumine osa aheneb kaelaks. Kupra välispinnal on õhulõhed, keskel sammas, mis ülaosas laieneb ja moodustab õhukese vaheseina – epifragma. Samba ümber paikneb silindriline eosekott, mis niidikestega kinnitatud samba ja kupra seina külge. Eoste väljumist soodustab urni servas asetsevatest hambakestest suuääris ehk peristoom. Hügroskoopsed liikumisvõimelised hambakesed koosnevad hobuseraudjatest rakkudest, hambakeste ja
18 Gametofüüdid on kahekojalised. Arhegoonid asetsevad emasgametofüüdi, anteriidid isasgametofüüdi tipus. Pärast viljastamist areneb sügoodist sporogoon, mis koosneb pikast jalast ja kuprast. Kupar asetseb püstiselt või veidi kaldu ning on 4-5 tahulise prisma kujuline, kaetud arhegooni kestast moodustunud roostekarva kiulise tanuga. Kupar koosneb urnist ja kaanest, kupra alumine osa aheneb kaelaks. Kupra välispinnal on õhulõhed, keskel sammas, mis ülaosas laieneb ja moodustab õhukese vaheseina epifragma. Samba ümber paikneb silindriline eosekott, mis niidikestega kinnitatud samba ja kupra seina külge. Eoste väljumist soodustab urni servas asetsevatest hambakestest suuääris ehk peristoom. Hügroskoopsed liikumisvõimelised hambakesed koosnevad
Lehe ülapoolel paiknevad liistakud ehk assimilaatorid. Tugikoe ja juhtkoe elemente sisaldav leherood on lamenenud. Gametofüüdid on kahekojalised. Arhegoonid asetsevad emasgametofüüdi, anteriidid isasgametofüüdi tipus. Pärast viljastamist areneb sügoodist sporogoon, mis koosneb pikast jalast ja kuprast. Kupar asetseb püstiselt või veidi kaldu ning on 4-5 tahulise prisma kujuline, kaetud arhegooni kestast moodustunud roostekarva kiulise tanuga. Kupar koosneb urnist ja kaanest, kupra alumine osa aheneb kaelaks. Kupra välispinnal on õhulõhed, keskel sammas, mis ülaosas laieneb ja moodustab õhukese vaheseina epifragma. Samba ümber paikneb silindriline eosekott, mis niidikestega kinnitatud samba ja kupra seina külge. Eoste väljumist soodustab urni servas asetsevatest hambakestest suuääris ehk peristoom. Hügroskoopsed liikumisvõimelised hambakesed koosnevad hobuseraudjatest rakkudest, hambakeste ja epifragma vahele
Asjaolu, et meil on kaks kromosoomi, teeb pildi hoobilt keerulisemaks. Kui me oleksime vaid homosügootsed (AA või aa), siis oleks lihtne. Et aga populatsioonis on nii homo- kui heterosügootseid (Aa) indiviide, siis on juhusel hoobilt suurem roll. Gameetide tasemel jagunevad nad enam-vähem võrdselt A ja a vahel, kuid kuna sellest gameetide hulgast kasutatakse järeltulijate jaoks vaid tühist osa, siis tõenäosus selleks, et ei säilu täpne tasakaal, on märkimisväärne. Kui urnist võtta pimesi musti ja valgeid mune ja kui neid on seal väga palju, siis esimese võtte tulemus praktiliselt ei mõjuta järgmise tulemuse tõenäosust. Kui aga vähe, siis mõjutab oluliselt. Võrdse kohasusega (the same fitness) alleelide sagedused muutuvad ajas juhuslikult. Kui AA, Aa ja aa on kõik ühtmoodi kohased, öeldakse nende kohta, et need genotüübid on selektiivselt neutraalsed . Olgu lisatud, et selektiivne neutraalsus näib olevat üsna tavaline,
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
