Leidsid 33 sarnast õppematerjali, mis on seotud failiga "Tõenäosusteooria". Need materjalid aitavad sul teemat sügavamalt mõista.
keskväärtus, kuulike, diskreetse, tihedusfunktsioon, jaotusfunktsioon, elementaarsündmus, tõrge, komponent, urni, urnis, relee, tervisega, a1a2, rikki, jaotusfunktsiooni, vastandsündmus, normaaljaotus, viskel, lasul, poissoni, viska, tabatakse, juhuslikud, releed, tinglik, binoomjaotus, tõenäosused, intervall, ruutu, katsel, urnist, omandabKui kõik piletid müüdi ära, siis keegi ostjatest võitis. Seega praktiliselt võimatu sündmus toimus! Miks? Seda katset (pileti ostmist) korrati miljon korda ja seega suurendasime tõenäosust, et sündmus toimuks kas või üks kord katseseerias. MISSUGUNE ON SÕLTUV SÜNDMUS? Kui sündmuse tõenäosus sõltub mingist teisest sündmusest, nimetatakse seda sõltuvaks sündmuseks. Näide 6. Oletame näiteks, et meil on urnis viis kuuli kolm valget ja kaks musta. Mis on tõenäosuseks, et pimesi valides saame esimesel korral valge kuuli? Üsna lihtne, P(A) = P(valge) = 3/5 = 0,6 ehk 60%. Mis on tõenäosus, et ka teisel korral saame valge kuuli? Kui esimest kuuli tagasi ei pane, siis järgi on neli kuuli (kaks valget, kaks musta) ning valge kuuli valimise tõenäosus on P(B) = P(BA) = P(valge) = 2/4 = 0,5 e. 50%.
11. Grupis on 30 õpilast. Kui suur on tõenäosus, et 2 õpilasel on samal päeval sünnipäevad? P= 2/30 12. Diskreetne ja pidev juhuslik suurus, nende jaotusfunktsioonid. Juhuslikku suurust, millel on lõplik või loenduvalt lõplik võimalike väärtuste hulk, nimetatakse diskreetseks. Tõenäosusjaotus. Juhuslikku suurust, mille võimalike väärtuste hulk on mitteloenduvalt lõpmatu (st väärtuste hulgaks on teatav(ad) arvude intervall(id)), nimetatakse pidevaks. Tihedusfunktsioon. 13. Diskreetse juhusliku suuruse tõenäosusjaotus. Diskreetse juhusliku suuruse X tõenäosusjaotuseks nimetatakse funktsiooni p(x), kus p(x) = P(X = x). See funktsioon omandab positiivseid väärtusi ainult nende argumentide korral, mis on juhusliku suuruse võimalikeks väärtusteks. Tõenäosusjaotust esitatakse kas valemina või tabeli abil, milles loetletakse juhusliku suuruse kõikvõimalikud väärtused ja nende omandamise tõenäosused. 14. Juhusliku suuruse keskväärtuse ja dispersiooni omadused.
Juhuslikud suurused liigitatakse diskreetseteks ja pidevateks. Diskreetne juhuslik suurus võib katse või vaatluse tulemusena omandada lõpliku või loenduva hulga väärtusi. Näiteks: üliõpilaste arv auditooriumis, täringu viskel saadud silmade arv jne. Pidev juhuslik suurus omandab mistahes väärtusi mingist lõplikust või loenduvast vahemikust. Näiteks: mistahes seadme tööiga, auto kütusekulu 100 km. 2.2 Diskreetse juhusliku suuruse jaotusseadus Diskreetse juhusliku suuruse jaotusseaduseks nimetatakse vastavust tema kõigi võimalike väärtuste x1, x2, …,xn ja nende tõenäosuste p1,p2, …,pn vahel. Jaotusseadust on võimalik esitada kas tabeli kujul jaotusreana X x1 x2 …. xn p p1 p2 …. pn Või graafiliselt jaotuspolügoonina n
i=1 20. Bayesi valem ja tema tähendus. Bayesi valem näitab tinglikku tõenäosust P(H k|A), et sündmus A toimus just nimelt P(H k )∙ P (A∨H k ) P ( H k| A )= n sündmusega Hk. ∑ (P ( H i) ∙ P ( A|H i ) ) i=1 DISKREETNE JUHUSLIK SUURUS 21. Mis on juhuslik suurus? Juhuslik suurus on suurus, mis sõltuvalt juhusest võib omandada erinevaid väärtusi. 22. Mis on erinevus diskreetse ja pideva juhusliku suuruse vahel? Diskreetseks juhuslikuks suuruseks nimetatakse juhuslikku suurust, mis võib omandada lõpliku arvu või loenduva hulga väärtusi. Pidevaks juhuslikuks suuruseks nimetatakse juhuslikku suurust, mis võib omandada lõpmatu hulga väärtusi(reaalarvud mingite reaalarvude vahemikust). 23. Mis on diskreetse juhusliku suuruse jaotus, kuidas seda anda? Diskreetse juhusliku suuruse jaotuseks nimetatakse eeskirja P(X), mis seab igale juhusliku
· Võrdvõimalike sündmuste täielikku süsteemi nimetame elementaarsündmuste
süsteemiks ja sündmusi elementaarsündmusteks.
· Sündmuse (klassikaliseks) tõenäosuseks nimetame sündmuse soodsate
elementaarsündmuste arvu k ja kõigi võrdvõimalike elementaarsündmuste arvu suhet.
P(A)=k/n. 0P(A)1
· Kindel sündmus P(A) = 1
· Võimatu sündmus P(A)=0 Ø
· Juhuslik sündmus 0
võimalikust näitav arv lõigul [0,1], mida tavaliselt Suhtelise sageduse omadused: 1. Sündmuse suhteline tähistatakse P. Võimatu sündmuse V tõenäosus P(V)=0, sagedus on mittenegatiivne. 2. Kindla sündmuse suhteline 17. Binoomjaotusega juhuslik suurus, selle kindla sündmuse K tõenäosus P(K)=1. Ülejäänud sagedus on 1 3. Võimatu sündmuse suhteline sagedus on jaotustabel, keskväärtus (tõestusega) ja dispersioon sündmused on juhuslikud sündmused. (tõestusega) Sündmuse A toimumise arv X kirjeldatud 0 4. Sündmuse A vastandsündmuse suhteline sagedus on 2. Tehted sündmustega
3) P(x1 X < x2) = F(x2) - F(x1)
Omadusest 1: F(x2) = P(X
Enne katse toimumist on tundmata. Üldjuhul tähistatakse X. Diskreetne juhuslik suurus on juhuslik suurus, mille väärtuste hulk on lõplik või loenduv. Praktiliselt vaatleme ainult selliseid DJS, mille võimalikud väärtused on 0, 1, 2, ... või alamhulk eelnevast. DJS jaotusseadus on eeskiri, mis seob juhusliku suuruse väärtused ja nende tõenäosused: pi=P(X=xi).( esitatud valemina, tabelina, arvupaaridena või graafikuna). keskväärtus - EX = E(X). kus xi tähistab diskreetse juhusliku suuruse x väärtust ja p i selle tõenäosust. Keskväärtus on juhusest sõltumatu suurus, mis paikneb väikseima ja suurima väärtuse vahel dispersioon, - Dispersioon on hälbe ruudu keskväärtus. DX = D(X) = E(X-EX) 2= standardhälve - Standardhälve on ruutjuur dispersioonist 7. Jaotusfunktsioon. - Juhusliku suuruse jaotusfunktsioon on funktsioon, mis seob väärtusega
Tunnused: 1)0 <= F(x) <=1 2)F(x)kasvab;3)F(+lõpmatus)=1 Juhuslik suurus võib alluda binoomjaotusele, Poissoni jaotusele. Pidev juhuslik suurus omandab iga väärtuse tõenäosusega 0. Jaotust (diskreetsel juhul) kirjeldab tõenäosusfunktsioon = ( | ( ) = ) = ( = ); pi ≥ 0; ∑pi=1 Omavahelised seosed: Ω X P R [0;1] D 9. Keskväärtus ja dispersioon. Definitsioonid. Tõestada vähemalt 3 nende omadust DEF:kindlat suurust EX = ∫ ( ) nim juhusliku suuruse X keskväärtuseks. Seega juhusliku suuruse X keskväärtus EX kui kindel suurus on arv. Diskreetse juhusliku suuruse X keskväärtus: E(X) = ∑xipi Omadused: a. min(xi) ≤ E(X) ≤ max(xi) E(X) = ∑xipi ≤ ∑maxxipi = maxxi∑pi = maxxi b. Homogeensus: E(cX) = cE(X), c = const E(cX) = ∑xiP(cX=cxi) = c∑xiP(X=xi) = cE(X) c. E(c) = c
Diskreetne juhuslik suurus on määratud, kui on teada tema võimalikud väärtused ja
nende väärtuste ilmumise tõenäosused, st. kui on antud jaotustabel. f(xi)=1 Jaotustabel
F(x)=P(X
MATEMAATIKA ARVESTUS 1. Kombinatoorika põhiprintsiibid-liitmis ja korrutamisprintsiip. Liitmisprintsiip- ,,kas üks või teine" . kui mingit objekti A on võimalik valida n erineval viisil ja objekti B m erineval viisil ning valida tuleb kas objekt A või objekt B, siis kõigi erinevate võimalike valikute arv on n + m. Korrutamisprintsiip- ,, nii üks kui ka teine" kui mingit objekti A on võimalik valida n erineval viisil ja objekti B m erineval viisil ning valida tuleb nii objekt A kui ka objekt B, siis kõigi võimalike erinevate valikute arv on n · m. 2. Permutatsiooni permutatsioonideks n erinevast elemendist nimetatakse nende elementide kõikvõimalikke erinevaid järjestusi. Pn = n! 3. Variatsioonid Variatsioonideks n elemendist k-kaupa (k n) nimetatakse nelemendilise hulga kõigi k-elemendiliste osahulkade elementide erinevaid järjestusi. Vnk = n!/(n-k)! k 0! = 1 Variatsioonides on oluline liikmete järjestus erinevalt kombinatsioonidest. Variatsioone on 2x ro
1 ÜLEVAADE TÕENÄOSUSTEOORIA PÕHIMÕISTETEST Juhuslik sündmus - midagi mis mingi katse tulemusel võib toimuda. Katse - mingi tingimuste kompleksi realiseerumist (mingit toimingut). Lähtepunktiks katsega seotud sündmustel on elementaarsündmuste ruum , mis koosneb elementaarsündmustest (mis on üksteist välistavad sündmused, iga katse korral toimub tingimata üks). Tingimused elementaarsündmuste ruumile on: 1) vastastikune välistatus: korraga toimub vaid üks elementaarsündmus: ij = Ø (ij), 2) täielikkus: alati mingi elementaarsündmus toimub: i = . nt. Kaardi valik 52'sest kaardipakist Juhuslike sündmustega seonduvad põhimõisted: Vastastikku välistuvad sündmused: mis ei sisalda samu elementaarsündmusi (nt A: ruutu kaart, B: ärtu kaart) Vastastikku mittevälistuvad sündmused: mis sisaldavad samu elementaarsündmusi (nt A : ruutu kaart, B: piltkaart)
Sooritame katse ja selle käigus toimub sündmus A. See sunnib ümber hindama sündmuste B tõenäosusi. Tuleb leida sündmuse Bi tõenäosus pärast seda kui sündmus A on juba toimunud. Seda tõenäosust võimaldabki arvutada bayesi valem. P(Bi/A) = P(Bi)*P(A/Bi)/∑P(Bi)*P(A/Bi) 20. Juhusliku suuruse mõiste - suurust nim juhuslikuks kui see omab antud tingimustes ühe oma võimalikest väärtustest, mis sõltub juhuslikest põhjustest. 21. Juhusliku suuruse jaotusfunktsioon – tõenäosust selleks, et juhuslik suurus X omandab mingist konkreetsest väärtusest x väiksemaid või võrdseid väärtusi nimetatakse juhusliku suuruse jaotusfunktsiooniks. F(x)=P(X≤x). Jaotusf.on üks juhusliku suuruse jaotuse esitusviise. Iseloomustab täielikult juhusliku suuruse väärtuste jaotumist nende esinemise tõenäosuse järgi. Kui jaotusf.F(x) on teada siis iga x korral on võimalik leida, kui tõenäone on, et juhusliku suuruse väärtused on
objekti kohta mingi tõenäosuslik mudel, sh hinnates mudeli arvparameetreid ja kontrollides erinevaid hüpoteese objekti mudeli kohta. Mediaani hinnang: - kasvavalt järjestatud valimi keskelement (kui valimi maht on paaritu arv) - kasvavalt järjestatud valimi keskelementide poolsumma (kui valimi maht on paarisarv) Haare: valimi suurima ja vähima elemendi vahe Statistika põhiteoreem: Empiiriline jaotusfunktsioon FN(x) on teoreetilise (üldkogumi) jaotusfunktsiooni F(x) nihutamata ja mõjus hinnang. Histogramm: Histogramm on enimkasutatav (üldkogumi) jaotustiheduse hinnang. Histogrammi kasutatakse ettekujutuse saamiseks üldkogumi jaotusseadusest ning ta kujutab endast tulpdiagrammi, mille tulpade kõrgused näitavad vastavasse vahemikku sattumise sagedust. 2-jaotus on kasutusel normaaljaotusega juhusliku suuruse dispersiooni hinnangu jaoks usaldusvahemike arvutamisel.
statistiline), mtteklassikalised(subjektiivne,intersubjektiivne) Juhuslikuks suuruseks nim suurust, mis järjekordse katse tulemusel omandab mingi mittennustatava väärtuse mingist võimalikust väärtuste hulgast. Diskreetne juhuslik suurus: võimalike väärtuste hulk on lõplik Pidev juhuslik suurus: võimelike väärtuste hulk on kontiinum Jaotusfunktsioon on tõenäosus, et juhusliku suuruse väärtus ei ületa funktsiooni argumenti. Jaotusfunktsioon peab rahuldama järgmisi tingimusi: monotoonsus (kui b>a, siis F(b)>F(a), normeeritus (x-lõpmatus korrral lim F(x)=0, xlõpmatus lim F(x)=1) Jaotustihedus on jaotusfunktsiooni tuletis. Arvkarakteristikud kujutavad endast mingeid jaotusseaduse järgi leitavad funktsionaale, millega opereerimine/arvutused on enamasti lihtsamad kui kogu jaotusseadusega opereerimine. Juhusliku suuruse arvkarakteristikuid võib jagada: moment ja mittemomentkarakteristikud, asendi-,hajuvus- ja kujukarakteristikud,
Xi; A∈ F. Juhusliku suuruse X jaotuseks nimetatakse funktsiooni D: R → [0;1] selliselt, et D(X(A)) = P(A) Jaotust (diskreetsel juhul) kirjeldab tõenäosusfunktsioon pi=P ( ω| X ( ω ) =xi ) =P( X =x i) ; pi ≥ 0; ∑pi = 1 Omavahelised seosed: Ω X P [0; R 1] D 8. Keskväärtus ja dispersioon. Definitsioonid. Tõestada vähemalt 3 nende omadust Diskreetse juhusliku suuruse X keskväärtus: E(X) = ∑xipi Omadused: a. min(xi) ≤ E(X) ≤ max(xi) E(X) = ∑xipi ≤ ∑maxxipi = maxxi∑pi = maxxi b. Homogeensus: E(cX) = cE(X), c = const E(cX) = ∑xiP(cX=cxi) = c∑xiP(X=xi) = cE(X) c. E(c) = c E(c) = cP(X=c) = c d. Keskväärtus on adiktiivne. Olgu juhuslikud suurused X ja Y, siis
summa on sündmus, mille toimumine seisneb neist vähemalt ühe (A v B) toimumises. Sündmuse A x B korrutis on sündmus, mille toimumine seisneb mõlema (A ja B) toimumises. Sündmuse sagedus on sooritatud (n) katsete ja katseseeriate (m) arvu vahejagatis Sündmuse tõenäosus on juhuslik sündmuse konstant, mille ümber grupeerub selle sündmuse sageduse katsete arvu suurenedes (m- soodsate sündmuste arv, n- võrdvõimalike sündmuste arv) 3. Juhusliku suuruse keskväärtus ( EX ). Keskväärtuse punkthinnang (aritmeetiline keskmine x ). Diskreetse ja pideva juhusliku suuruse mood ja mediaan. Juhusliku suuruse keskväärtus grupeeritud juhuslike suuruse võimalikud väärtused. Juhuslike võrdvõimalike sündmuste arvu (N) soodsate sündmuste protsendilise tõenäosuse korrutis E(X) = n * p p=1q Võrdvõimalike sündmuste sageduse tiheduse ( ) korrutise summa ..
Binoomjaotus; X ~ B(n; p) n- katsed, p-tõenäosus Tunnikontrollis: Kui juhuslik suurus X on binoomjaotusega X~B(n; p), siis tema tõenäosusfunktsioon avaldub kujul P(X=x)= Cxn px (1-p)n-x astmes x (X=x)= Poissoni jaotus: P e- x! a ma seda kasutada küll ei oska xd - keskmine õnnetuste arv muidu 3. Jaotus- ja tihedusfunktsioon Siin olid Märdil ainult erinevad funktsioonid ja 0 teksti. Jaotusfunktsioon on juhusliku suuruse universaalne iseloomustaja, mis kirjeldab võimalike väärtuste tõenäosuste jaotust. Jaotustabel x 0 1 3 P(X=x) 0,8 0,1 0,1 Leia E(X2): 02x0,8+12x0,1+32x0,1= 1 1
valimine nende elementide hulgast Tõenäosuse geomeetriline tähendus-Tõenäosuse geomeetriline tähendus ühemõõtmelises ruumis väljendub lõigu pikkusena, kahemõõtmelises ruumis pindalana ja kolmemõõtmelises ruumis ruumalana.Kui juhusliku katse võimalike tulemuste arv on mitteloenduv, kuid tulemused võrdvõimalikud saab sündmuse tõenäosuse arvutamiseks kasutadageomeetrilise tõenäosuse valemit Binoomjaotus-Binoomjaotus on diskreetse juhusliku suuruse soodsatest sündmustest moodustuv tõenäosusjaotus Diskreetne juhuslik suurus-Juhuslikku suurust, millel on lõplik või loenduvalt lõplik võimalike väärtuste hulk, nimetatakse diskreetseks Juhuslik suurus-Juhuslikuks suuruseks nimetatakse suurust X, kui iga x R korral eksisteerib tõenäosus P(X < x) Pidev juhuslik suurus-Juhuslikku suurust, mille võimalike väärtuste hulk on mitteloenduvalt lõpmatu (st
Sündmus A ei ilmne kui esineb sündmus A. Sündmus A on sõltumatu sündmusest B kui tema tingimuslik on võrdne mittetingimusliku tõenäosusega. 3. Sündmuste algebralised operatsioonid. Sündmuste summa ja korrutis Summa: Sündmus C, mis ilmneb igal juhul kui ilmneb vähemalt üks sündmustest A või B. C = A B, Korrutis: On sündmus C, mis ilmneb juhul kui ilmnevad mõlemad sündmused A ja B. C = A B , A 4. Juhusliku suuruse mõiste X = X(e) 5. Jaotusseadus ja selle esitamine. Jaotusfunktsioon F(x) ja tema põhiomadused 6. Tõenäosuse tihedusfunktsioon f(x) ja tema põhiomadused jaotuse tõenäosuste tihedus: f(x) = lim P(x X < x+x)/ x omadused: 1. f(x) 0 on positiivne arv. 2. 3. Eksisteerib kasvõi üks väärtus (x, x+x), millele kehtib P(x X < x+x) = F(x) = f()dx - ksii). 7. Binomiaalne jaotus 1. JS nimetatakse binomiaalselt jaotuvaks (ka Bernoulli jaotus) parameetritega n ja m, kui ta võtab võimalikud väärtused 0, 1, ...., n tõenäosusega P(n, m) valemiga
Lihtsustamise põhilised printsiibid. Kui kahe objekti (süsteemi) vahel on võimalik tuvastada pisemgi sarnasus, siis on nendel objektidel originaali mudeli vahekord: ühte objektidest võime käsitleda originaalina, teist aga mudelina. Objektide A ja B sarnasust tähistatakse A~B. Mudel peegeldab objekti alati lihtsustatult. Mudelid on kas materiaalsed või abstraktsed. Mudelites nagu süsteemideski, võib üheks muutujas olla aeg. Sellest tulenevalt on mudelid pideva ajaga või diskreetse ajaga. Ulatuslikult kasutatakse matemaatilisi mudeleid. Põhilised lihtsustamise printsiibid: muutujate agregeerimine, ekvivalenteerimine, sõltuvuste lihtsustamine, süsteemi dekomponeerimine 7. Protsessid. Determineeritud protsesside klassifitseerimine ja kirjeldamisviisid. Protsessid on üldjuhul olekud ja operaatorid ehk ajas muutuvad suurused, vektorid ja sündmused. Determineeritud protsess on protsess , mille tulevikku on võimalik täpselt prognoosida, vaja on vaid teada
ga“ Lahendus: A=“saadi 2 ässa ja 1 poti“ A1=“Jagub arvuga 2“ 4 A2=“Jagub arvuga 3“ │Ω│=n= C 52 =270725 P(A)=P(AA͞1AA͞2)=P(AA͞1)P(AA͞2)=1/2*2/3=1/3 2 1 1 P(AA͞1A2)=P(AA͞1)P(AA͞2│AA͞1)=1/2*2/3=1/3 │A│=k= C 4 C 13 C 35 =2730 Ühes urnis on 2 valger, 3 punast ja 4 sinist kuuli, teises 4 valget ja 2 rohelist kuuli. Kummastki urnist P(A)=6/595 võetakse juhuslikult üks kuul. Kui tõenäone on, et 4) Riiulile pannakse 10 raamatut, millest 3 on vähemalt üks võetud kuulidest on värviline? inglisekeelsed, juhuslikus järjekorras. Kui suur on Lahendus: I urn 2 v+3p+4s=9, II urn 4v+2s=6
Tabel. 4.1). Seda nimetatakse jaotusreaks või jaotustabeliks. Jaotusrida esitatakse sageli graafikuna. Saadud kujundit nimetatakse jaotuspolügooniks Jaotusfunktsioon Juhusliku suuruse X jaotusfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni, mis näitab, millise tõenäosusega juhuslik suurus võtab väiksema väärtuse kui x: F ( x) P( X x) , (4.12) kus X on juhusliku suuruse sümbol ja x on juhusliku suuruse konkreetne võimalik väärtus. Jaotustihedus Pideva juhusliku suuruse jaotusfunktsioon on pidev. Jaotusfunktsioon annab ammendava info juhusliku suuruse kohta, kuid ta ei näita otseselt juhusliku suuruse jaotumise tihedust ühes või teises piirkonnas. Seepärast kasutatakse pidevate juhuslike suuruste puhul ka jaotusfunktsiooni tuletisfunktsiooni, mida nimetatakse jaotustiheduseks: dF ( x ) f ( x) . dx Jaotustihedus näitab jaotuse tihedust punkti x ümbruses. Jaotustiheduse graafikut nimetatakse jaotuskõveraks
Nt: hinna indeks või koguse indeks Mahuindeks – Hinnaindeks – Koondindeks – 5. Jaotusseadused Juhuslik suurus - suurus, mis katse tulemusel omandab juhuslikult ühe ja ainult ühe oma võimalikest väärtustest. Nt: Täringuviskel saadud silmade arv, loengut külastavate üliõpilaste arv Diskreetne suurus – väärtused on isoleeritud, erinevad üksteisest mingi lõpliku arvu võrra Pidev suurus - väärtused täidavad mingi vahemiku täielikult ära Jaotusseadus - Diskreetse juhusliku suuruse X jaotusseaduseks nimetatakse vastavust suuruse kõikvõimalike väärtuste xi ja nende tõenäosuste pi vahel. Jaotusfunktsioon - tõenäosus, et juhusliku suuruse X väärtus on väiksem-võrdne mingist reaalarvust x. Valem: F(x)=P(X<=x) Keskväärtus ehk oodatav väärtus - Kui juhusliku suuruse X väärtuse xi esinemise tõenäosus on pi , siis selle juhusliku suuruse keskväärtus ehk oodatav väärtus. Oodatav väärtus on otsustamisel kriteeriumiks
sõltuvad sündmused ühe sündmuse toimumisest sõltub teise sündmuse toimumine Näit. 1) täringut visatakse järjest kolm korda A esimesel viskel saadakse 5 silma B teisel viskel saadakse 5 silma C kolmandal viskel saadakse 3 silma Sündmused A, B, C on sõltumatud sündmused, sest katsetingimused on igal katsel samasugused. 2) korvis on 3 valget ja 4 musta kuulikest; korvist võetakse järjest 2 kuuli, neid tagasi panemata A esimesena saadakse valge kuulike B teisena saadakse must kuulike Sündmuse B toimumine sõltub sündmuse A toimumisest või mittetoimumisest. Kui esimesena saadud kuulike on valge, siis enne teise katse toimumist on korvis alles 2 valget ja 4 musta kuulikest. Kui esimesena valget kuulikest ei saada (saadakse must), siis on enne teist katset korvis 3 valget ja 3 musta kuulikest. Seega sündmuse B toimumine teisel katsel toimub erinevates tingimustes. Sündmus B sõltub sündmusest A.
on pada või äss? Olgu A = "saadakse pada"; B = "saadakse äss". Sündmus AB tähendab "saadakse padaäss". Sündmus A + B = "saadakse pada või äss". 13 4 1 16 4 p(A + B) = p(A) + p(B) p(AB) = + = = . 52 52 52 52 13 Välistavate sündmuste summa tõenäosus võrdub liidetavate sündmuste tõenäosuste summaga. p(A + B) = p(A) + p(B), kui AB = V. Näide 2. Urnis on 3 punast, 5 sinist ja 2 valget kuuli. Kui suur on tõenäosus, et juhuslikult võetud kuul on kas punane või sinine? 3 Tõenäosus, et võetud kuul on punane (sündmus A) on p(A) = . 10 5 1 Tõenäosus, et võetud kuul on sinine (sündmus B) on p(B) = = .
Diskreetne arvuliste tunnuste võimalike väärtuste hulk on lõplik või loenduv 5. Mittearvuline tunnus järjestustunnus, nominaaltunnus. Järjestustunnus mittearvuline tunnus, mille väärtused on järjestatavad (Krafti klass, puistu Orlovi boniteet). Nominaaltunnus mittearvuline tunnus, mille väärtused pole järjestatavad. 6. Juhuslik suurus ehk juhuslik muutuja suurus või muutuja, mille väärtus enne mõõtmist või katset ei ole teada. 7. Kuidas on defineeritud jaotusfunktsioon? Jaotusfunktsiooni skitseerimine, graafikult lugemine (kvantiil, kvartiil, mediaan, täiendkvantiil). · Juhusliku suuruse X jaotusfunktsiooni väärtus argumendi x kohal on sellest väiksemate väärtuste esinemise suhteline sagedus (tõenäosus) F(x) = P(X < x). · 0 F(x) 1 ehk jaotusfunktsiooni piirväärtused on 0 ja 1. · F(x) on mittekahanev ja pidev. · P(a < X b) = F(b) F(a) 8. Mis on juhusliku suuruse p-kvantiil? Mis on juhusliku suuruse q-täiendkvantiil?
.
JS (tõenäosuste) jaotus ehk jaotusseadus on eeskiri, mis määrab vastavuse JS iga väärtuste hulga ja sellest hulgast
mingi väärtuse omandamise tõenäosuse vahel.
n
Diskreetse JS X jaotus on vastavus iga xi ja tema esinemise tõenäosuse pi vahel. Seejuures pi =1
i=1
42. Juhusliku suuruse jaotus- ja tihedusfunktsioon.
Juhusliku suuruse X jaotusfunktsiooniks F(x) nimetatakse funktsiooni, mis määrab tõenäosuse, et JS on väiksem
argumendi teatud väärtusest x,
F(x)=P(X
20. Juhusliku suuruse jaotusseadus, Selle esitusviisid; tõenäosusfunktsioon, jaotusfunktsioon(integraalne jaotusseadus) tihedusfunktsioon(diferentsiaalne jaotusseadus) PILT! Juhusliku suuruse jaotusseadus iseloomustab täielikult juhuslikku suurust tõenäosuslikult vaatekohalt. Jaotusseadus võimaldab leida juhusliku suurusega seotud iga sündmuse tõenäosust. Jaotusseaduse põhikujudeks on teatavasti jaotustabel diskreetse juhusliku suuruse puhul ja jaotusfunktsioon (jaotustihedus) pideva juhusliku suuruse korral. Jaotusseadus-eeskiri, mis seab igale juhuslikule suuruse väärtusele vastavusse tema tõenäosuse. Juhusliku suuruse (tõenäosusfunktsioon) jaotusseadus on eeskiri, mis seob juhusliku suuruse võimalikud väärtused ja nende tõenäosused pi=P(X=xi). Näiteks: Diskreetne ühtlane jaotus on defineeritud oma tõenäosusfunktsiooni kaudu: P(X=i)=1/k, i=1,...,k. Täringuviske jaotusseadus tabelina
märki tabab vähemalt üks lask ? (0,91) 11. Aparaadi monteerimisel käsutatakse neljas tsehhis valmistatud detaile. Praagi tõenäosus tsehhide kaupa on 0,04; 0,03; 0,06; 0,02. Tsehhidest saabus detaile järgmistes kogustes: 30, 20, 30 ja 25 tükki. Kui tõenäone on, et juhuslikult võttes saadakse praakdetail? (0,066) 12. Viiest urnist 2 sisaldavad kumbki 4 valget ja 3 musta kuuli, üks - 3 valget ja 4 musta ning kaks urni kumbki 5 valget ja 2 musta kuuli, ühest urnist võetakse üks kuul. Kui tõenäone on, et kuul osutub valgeks? (0,6) 13. Lähteandmed on 12 näites. Võetud kuul osutus valgeks. Kui tõenäone on, et ta pärineb esimesest urnide gru- pist? (0,381) 14. Aparaate monteeritakse kõrgema või I sordi detailidest. Keskmiselt 40 % aparaatidest monteeritakse kõrgema sordi detailidest. Kõrgema sordi detailidest aparaadil on tõenäosus tõrgeteta töötamiseks aasta jooksul 0,95
Tingimuslik tõenäosus. Bayes'i valem 0 P(A) 1; P(AB) = P(A) + P(B), AB= või U. Tingimuslik tõenäosus tõenäosus sündmusele A kui toimus sündmus B - P(A/B) = P(AB) / P(B) 2. Sündmus ja vastandsündmus. Sõltuvad ja mittesõltuvad sündmused. Sündmuste väli P(A/B) = P(A), P(AB) = P(A)P(B) 3. Sündmuste algebralised operatsioonid. Sündmuste summa ja korrutis. C = F D> C =F D> F> 4. Juhuslik suurus X = X(e) 5. Jaotusseadus ja selle esitamine. Jaotusfunktsioon F(x) ja tema põhiomadused. Väärtus x ja tema tõenäosus p. F(x) juhuslikule suurusele X on tõenäosus, et X võtab väärtuse vähem kui antud arvul x. F(x) = P(Xx). P(x´ X x´´) = F(x´´) - F(x´); 0 F(x) 1; F(x1) F(x2) 6. Tõenäosuse tihedusfunktsioon f(x) ja tema põhiomadused. f(x) = lim P(xXx+x) / x; F(x) = f(x) dx x0 f(x) 0; f ( x ) dx 1 7. Binomiaalne jaotus.
29,999 0 30 0,02857 39,999 0,02857 40 0,37143 49,999 0,37143 50 0,88571 59,99 0,88571 60 1 70 1 milline o n tõenäosus et saame vähemalt 70 senti 6. Urnis on 6 kuuli : 4 MUSTA JA 2 VALGET. Kuule võetakse kuni esimese valge kuuli saamiseni. Võtmiste arv o Kõik võimalikud väärtused väärtuste tõenäosused keskväärtus dispersioon jaotusfunktsiooni graafik Xi Pi Xi*Pi Xi^2*Pi V 1 0,333333 0,333333 0,333333333 Juhusliku suuruse 5 x jao
sündmuste A ja B summa 2. Sündmus C, mille korral toimub nii sündmus A kui ka sündmus B C on sündmuste A ja B korrutis 3. Kindel on see, et toimub kas sündmus A või sündmus B või sündmus C A, B ja C moodustavad täeliku süsteemi 2. Juhusliku suuruse X väärtuste hulk on {2; 4; 5}. Vastavate väärtuste esinemise tõenäosused on p(2)=0,5; p(4)=0,2 ja p(5)=0,3. Suuruse X keskväärtus on järelikult 3,3 3. Kui sündmuse A tõenäosus p(A)= 0,7, siis selle vastandsündmuse tõenäosus on 0,3 4. Visatakse korraga kahte täringut. Kui suur on tõenäosus, et mõlemal täringul tuleb silmade arv "6"? 1/36 5. Kui p(A)=p(A|B), siis sündmused A ja B on sõltumatud 6. Kahe sündmuse korrutise tõenäosus võrdub nende sündmuste korrutiste tõenäosusega, kui sündmused A ja B on sõltumatud. 7
annaabi.ee 
