Leidsid 33 sarnast õppematerjali, mis on seotud failiga "Tõenäosusteooria ja matemaatiline statistika ". Need materjalid aitavad sul teemat sügavamalt mõista.
liitmis, vastandsündmus, keskväärtus, liitmise, jaotustabel, juhuslikud, jaotusfunktsioon, loenduv, diskreetse, venni, tõenäosused, tõenäosusteooria, bayesi, jaotusfunktsiooni, tinglik, diskreetne, ilmumise, sageduseks, põhimõiste, lõpmatusele, tehted, sundmuste, definitsioonid, niisamuti, diagrammid, bernoulli, katsel, tingliku, reaalarvudeSündmus on tõenäosusteooria põhimõiste. Tavaliselt tähistatakse sündmusi suurte tähtedega ladina tähestiku algusest:A, B, C Vajadusel kasutatakse indekseid. Sündmuse tõenäosus on sündmuse toimumise võimalikkust näitav arv lõigult (0,1), mida tavaliselt tähistatakse tähega P. Võimatu sündmuse V tõenäosus P(V)=0 Kindla sündmuse K tõenäosus P(K)=1 3. Tehted sündmustega: vastandsündmus, sündmuste summa, sündmuste korrutis, sündmuste vahe. Vastandsündmus Sündmuse A vastandsündmus ´A on sündmus, mis toimub siis, kui A ei toimu. P(A)+P(´A)=1. Sündmusi A ja B nimetatakse võrdseteks ja tähistatakse A=B, kui A toimumisest järeldub B toimumine ja vastupidi. Sündmuste summa Sündmuste A ja B summa A+B on sündmus, mis toimub siis, kui toimub A või B või toimuvad A ja B korraga.
Standardhälve: = 2 Haare on suurima ja vähima väärtuse vahe. 2. Sündmus ja tõenäosus. Kindel sündmus ja võimatu sündmus. Sündmus on tõenäosusteooria põhimõiste. Tavaliselt tähistatakse suurte tähtedega, vajadusel kasutatakse indekseid. Nt A, A1 , Bi , Cjk jne. Sündmuse tõenäosus on sündmuse võimalikkust näitav arv lõigul [0,1], mida tavaliselt tähistatakse P. Võimatu sündmuse V tõenäosus P(V)=0, kindla sündmuse K tõenäosus P(K)=1. Ülejäänud sündmused on juhuslikud sündmused. 3. Tehted sündmustega: vastandsündmus, sündmuste summa, sündmuste korrutis, sündmuste vahe. Esitada definitsioonid ja osata tuua näiteid. Sündmuse A vastandsündmus A on sündmus, mis toimub siis, kui A ei toimu. P(A)+P( A )=1. Sündmuste A ja B summa A+B on sündmus, mis toimub siis, kui toimub A või toimub B või toimuvad A ja B korraga. P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) Sündmuste A ja B korrutis AB on sündmus, mis toimub siis, kui toimuvad A ja B korraga
elementaarsündmuste m ja kõikvõimalike elementaarsündmuste n suhet. m P(A) = n m Statistiliseks tõenäosuseks nimetatakse suurust p = lim n . 1.4 Tõenäosuse omadused 1. Võimatu sündmuse tõenäosus võrdub nulliga: P() = 0. 2. Kindla sündmuse tõenäosus võrdub ühega: P ( Ω ) = 1. 3. Tõenäosuste liitmise teoreem: Juhuslike sündmuste summa tõenäosus võrdub nende sündmuste tõenäosuste summa ja ühisosa tõenäosuse vahega: P( A B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) Järeldus1. Kui sündmused A ja B on Teineteist välistavad sündmused, siis P(A B) = P(A) + P(B). Järeldus2. Sündmuse A vastandsündmuse Ä tõenäosus avaldub järgnevalt: P(Ä) = 1 – P(A). Järeldus3. Kui sündmus A sisaldub sündmuses B, siis kehtib võrratus P(A) ≤ P(B). 1
· Sündmusi A ja B nimetame teineteist välistavateks, kui nad ei saa toimuda samaaegselt. · Sündmuse A vastandsündmuseks nimetame sündmust, mis toimub parajasti siis, kui sündmus A ei toimu. P()=1-P(A). · Sündmuste A ja B summa on sündmus, mis toimub kui toimub vähemalt üks sündmustest A või B. AB · Sündmuste A ja B korrutis on sündmus, mis toimub parajasti siis, kui toimuvad sündmused A ja B. AB · Tõenäosuste liitmise lause: P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB). Kui sündmused A ja B on teineteist välistavad, siis P(AB)=P(A)+P(B) N3. (J.Gurski). Urnis on 10 punast, 15 sinist ja 5 valget kuuli. Urnist võetakse 1 kuul, leida tõenäosus, et see kuul on punane või valge. Sündmus A võetakse punane kuul Sündmus B võetakse valge kuul P(A)=10/30 P(B)=5/30 P(A B)= 10/30+5/30=0.5 · Sündmuse A tinglikuks tõenäosuseks tingimusel B nimetame sündmuse A tõenäosust
Tõenäosuse definitsioonist tulenevad tõenäosuse omadused: 1. Tõenäosus on arv, mis rahuldab võrratusi 0 P(A) 1. 2. Kindla sündmuse tõenäosus on 1, st. P(U) = 1. 3. Võimatu sündmuse tõenäosus on 0, st. P(V) = 0. 4. Sündmuse A ja tema vastandsündmuse A tõenäosuste summa on 1, st. P(A) + P( A ) = 1. N ä i d e 2. Eelmises näites leidsime paarisarvu silmade tuleku tõenäosuse täringu viskel, P(A) = 0,5. Et paaritu arvu silmade tulek täringu viskel on sündmuse A vastandsündmus A , siis selle tõenäosus P(A) =1- P(A) =1- 0,5 = 0,5. 8. Sündmuste korrutis, vahe ja summa. sündmust, mis seisneb nii sündmuse A kui ka sündmuse B toimumises, nimetatakse sündmuste A ja B korrutiseks. Ühisosa peab olema. N ä i d e 2. Kaardipakist, milles on 36 kaarti, võetakse juhuslikult üks kaart. Olgu sündmuseks A risti saamine ja sündmuseks B pildi saamine. Leiame sündmuste A ja B korrutise tõenäosuse.
Võimatuteks sündmusteks on näiteks ja sündmus B = {1, 2, 3}, siis AB = täringul üheaegselt 6 ja 4 silma heitmine; {5}.Kaht sündmus nim sõltumatuteks, vesi ei saa tahkes olekus olla, kui kui neist ühe toimumune ei muuda teise mõlemad poisid, teades, et vähemalt üks temperatuur on +10 kraadi.Kindla tõenäosust Näide8.Kui suur on nendest on poiss.Lahendus. Eeldame, et sündmuse vastandsündmus on võimatu tõenäosus, et tõmbame 52kraadiga elementaarsündmuste hulk on S={(t, t); sündmus.Juhuslik sündmus - sündmus, kaardipakist ruutu? Ruutusid on selles (t, p); (p, t); (p, p)} ja kõik tulemused on mis antud vaatluse või katse korral võib pakis 13, kokku kaarte 52, seega võrdtõenäolised. Siin (t, p) tähendab, et toimuda, aga võib ka mitte P(ruutu)=13/52=0
Sooritame katse ja selle käigus toimub sündmus A. See sunnib ümber hindama sündmuste B tõenäosusi. Tuleb leida sündmuse Bi tõenäosus pärast seda kui sündmus A on juba toimunud. Seda tõenäosust võimaldabki arvutada bayesi valem. P(Bi/A) = P(Bi)*P(A/Bi)/∑P(Bi)*P(A/Bi) 20. Juhusliku suuruse mõiste - suurust nim juhuslikuks kui see omab antud tingimustes ühe oma võimalikest väärtustest, mis sõltub juhuslikest põhjustest. 21. Juhusliku suuruse jaotusfunktsioon – tõenäosust selleks, et juhuslik suurus X omandab mingist konkreetsest väärtusest x väiksemaid või võrdseid väärtusi nimetatakse juhusliku suuruse jaotusfunktsiooniks. F(x)=P(X≤x). Jaotusf.on üks juhusliku suuruse jaotuse esitusviise. Iseloomustab täielikult juhusliku suuruse väärtuste jaotumist nende esinemise tõenäosuse järgi. Kui jaotusf.F(x) on teada siis iga x korral on võimalik leida, kui tõenäone on, et juhusliku suuruse väärtused on
11. Grupis on 30 õpilast. Kui suur on tõenäosus, et 2 õpilasel on samal päeval sünnipäevad? P= 2/30 12. Diskreetne ja pidev juhuslik suurus, nende jaotusfunktsioonid. Juhuslikku suurust, millel on lõplik või loenduvalt lõplik võimalike väärtuste hulk, nimetatakse diskreetseks. Tõenäosusjaotus. Juhuslikku suurust, mille võimalike väärtuste hulk on mitteloenduvalt lõpmatu (st väärtuste hulgaks on teatav(ad) arvude intervall(id)), nimetatakse pidevaks. Tihedusfunktsioon. 13. Diskreetse juhusliku suuruse tõenäosusjaotus. Diskreetse juhusliku suuruse X tõenäosusjaotuseks nimetatakse funktsiooni p(x), kus p(x) = P(X = x). See funktsioon omandab positiivseid väärtusi ainult nende argumentide korral, mis on juhusliku suuruse võimalikeks väärtusteks. Tõenäosusjaotust esitatakse kas valemina või tabeli abil, milles loetletakse juhusliku suuruse kõikvõimalikud väärtused ja nende omandamise tõenäosused. 14. Juhusliku suuruse keskväärtuse ja dispersiooni omadused.
P(AB) + P(BA) = P(AB) + P(A) – P(AB) + P(B) – P(AB) = P(A) + P(B) – P(AB) 2) AB = ∅ => P(A+B) = P(A) + P(B); P(∑i=1∞Ai) = ∑i=1∞P(Ai) P(A+B)= P(A)+P(B)-P(AB) 4. Tõenäosuse klassiklaline ja geomeetriline interpretatsioon. Nende põhimõtteline erinevus. Klassikaline – kasutatakse juhul, kui | Ω | < ∞; rakendamine põhineb kombinatoorikal. P(A) = , kus |Ω| = n ja k on sündmuse A toimumise suhtes soodsate elementaarsündmuste hulk. Geomeetriline – Ω on loenduv või kontiiniumi võimsusega. Olgu ΩA ⊂ Ω – sündmuse A suhtes soodne elementaarsündmuste ruum. Olgu mõõt μ(l,l2,l3) ( ) P(A) = ( ) Põhimõtteline erinevus: klassikaline: P(A) = 0 => A = ∅; geomeetriline P(A) = 0 ≠> A = ∅. 5. Teoreetiline ja statistiline tõenäosus. Nende vaheline seos tuginedes Suurte Arvude Seadusele ( )
Tinglikuks tõenäosuseks nimetatakse sündmuse A toimumise tõenäosust juhul, et toimus P (A ∩ B) sündmus B. P ( A|B )= P( B) 15. Korrutamislause. Sündmuste A ja B korrutise tõenäosuseks nimetatakse arvu, mis saadakse ühe sündmuse tõenäosuse korrutamisel teise sündmuse tingliku tõenäosusega esimese suhtes. Korrutamislauset kasutatakse tihti sündmuste sõltuvuse ja sõltumatuse kontrollimiseks. P ( A ∩ B ) =P (B) ∙ P( A∨B) 16. Kas sündmus ja tema vastandsündmus on teineteist välistavad? Kas nad on sõltumatud? Sündmus ja tema vastandsündmus on teineteist kindlasti välistavad, sest ühe toimumisel ei saa teine toimuda. Samuti on nad ka sõltuvad, sest ühe toimumine mõjutab teise sündmuse toimumist. 17. Sündmuste summa tõenäosus. Sündmuste summa tõenäosus on võrdne nende sündmuste tõenäosuste summa ja korrutise tõenäosuse vahega. P ( A ∪ B )=P ( B ) + P ( B ) −P ( A ∩ B ) 18
Vkn=n!/(n-k)! Sündmus ja selle liigid · Kindel sündmus sündmus on kindel, kui tema antud tingimustes alati toimub, p(U) või p(). · Võimatu sündmus sündmus on võimatu, kui tema antud tingimustel ei saa toimuda, p(V) või p(Ø). · Juhuslik sündmus sündmus nimetatakse juhuslikuks, mis antud tingimustes toimub ja võib ka mitte toimuda, p(A), p(B)... · Sündmuse A vastandsündmus sündmuse A mittetoimumist nimetatakse sündmuse A vastandsüundmuseks [loe: A kaetud]. · Juhuslikud sündmused on võrdvõimalikud ühel sündmusel ei ole rohkem võimalusi esile tulekuks kui teisel. · Juhuslikud sündmused on üksteist välistavad, kui nad ei saa korraga toimuda. Klassikaline tõenäosuse valem p(A)=m/n, kus m on selle sündmuse jaoks soodsad võimalused ja n on kõik võimalused. · p()=1 · p(V)=0
P(B) – P(AB) = P(A) + P(B) – P(AB) 3. Tõenäosuse klassiklaline ja geomeetriline interpretatsioon. Nende põhimõtteline erinevus Klassikaline – kasutatakse juhul, kui | Ω | < ∞; rakendamine põhineb kombinatoorikal. k P(A) = , kus |Ω| = n ja k on sündmuse A toimumise suhtes n soodsate elementaarsündmuste hulk. Geomeetriline – Ω on loenduv või kontiiniumi võimsusega. Olgu ΩA ⊂ Ω – sündmuse A suhtes soodne elementaarsündmuste ruum. Olgu mõõt μ(l,l2,l3) μ (Ω A ) P(A) = μ( Ω) Põhimõtteline erinevus: klassikaline: P(A) = 0 => A = ∅; geomeetriline P(A) = 0 ≠> A = ∅. 4. Teoreetiline ja statistiline tõenäosus. Nende vaheline seos tuginedes Suurte Arvude Seadusele
1. Reaalarvud ja avaldised a, kui a 0 · Arvu absoluutväärtus a = - a, kui a < 0 · Astme mõiste ja omadused a 0 = 1, kui a 0 a1 = a a n = a a a a, kui n N 2 1 a-k = , kui a 0 ja k Z või ak kui a > 0 ja k Q m n a m , kui a > 0, m Z ja n N a = n 2 0, kui a = 0, m N 1 ja n N1
Vastastikku välistuvad sündmused: mis ei sisalda samu elementaarsündmusi (nt A: ruutu kaart, B: ärtu kaart) Vastastikku mittevälistuvad sündmused: mis sisaldavad samu elementaarsündmusi (nt A : ruutu kaart, B: piltkaart) Sündmuste sisalduvus: kui toimub A, toimub ka B (kõik sündmuses A sisalduvad elementaarsündmused sisalduvad ka sündmuses B (nt A: ärtu sõdur, B: ärtu piltkaart, C: piltkaart korral A B C) Vastandsündmus A : sisaldab kõik elementaarsündmused, mis ei sisaldu sündmuses A (nt A: must kaart, A : punane kaart) sündmusega seondub tema tõenäosus, mis on mingi arv nullist kuni üheni. Tõenäosus- sündmuse esinemissagedust katsetes (ka võimalikkust, osakaalu vms). Tõenäosusteooria seisukohalt on tõenäosus sündmuse mõõduks ning tõenäosuse omadused tulenevad tõenäosusteooria aksiomaatikast : 1.Normeeritusaksioom: 0 P(A) 1
Kindlateks sündmusteks on kooliaasta algus 1. septembril, igahommikune päikesetõus, vesi on ämbris vedelas olekus kui temperatuur on 10 kraadi. . Võimatu sündmus (tähistatakse V) sündmus, mis antud vaatluse või katse korral kunagi ei toimu. Võimatuteks sündmusteks on näiteks täringul üheaegselt 6 ja 4 silma heitmine; vesi ei saa tahkes olekus olla, kui temperatuur on +10 kraadi. Kindla sündmuse vastandsündmus on võimatu sündmus. Juhuslik sündmus sündmus, mis antud vaatluse või katse korral võib toimuda, aga võib ka mitte toimuda. Juhuslikeks sündmusteks on 6 silma tulek täringu viskel, loteriiga võidu saamine, tuttava kohtamine tänaval. Juhuslik katse on tõenäosusteooria jaoks kirjeldatud, kui on loetletud tema võimalike tulemuste hulk. Seda hulka nimetatakse lühidalt elementaarsündmuste hulgaks ja tähistatakse sümboliga S. Näide 1
1. Tõenäosuse mõiste - Sündmuse (klassikaliseks) tõenäosuseks nimetame temas sisalduvate (ehk soodsate) elementaarsündmuste arvu ja kõigi elementaarsündmuste arvu suhet. kindel sündmus, võimatu, juhuslik. Vastandsündmus, selle tõenäosus. - Sündmuse A vastandsündmuseks nimetame sündmust, mis toimub parajasti siis, kui sündmus A ei toimu. 2. Sündmuste summa - Sündmuste A ja B summa on sündmus, mis toimub kui toimub vähemalt üks sündmustest A või B. korrutis - Sündmuste A ja B korrutis on sündmus, mis toimub parajasti siis, kui toimuvad sündmused A ja B. (samaaegselt) vahe - Sündmuste A ja B vahe on sündmus, mis toimub parajasti siis, kui sündmus A
MATEMAATIKA TÄIENDÕPE VALEMID JA MÕISTED KOOSTANUD LEA PALLAS 1 2 SAATEKS Käesolev trükis sisaldab koolimatemaatika valemeid, lauseid, reegleid ja muid seoseid, mille tundmine on vajalik kõrgema matemaatika ülesannete lahendamisel. Kogumikus on ka mõned kõrgema matemaatika õppimisel vajalikud mõisted, mida koolimatemaatika kursuses ei käsitletud.. 3 KREEKA TÄHESTIK - alfa - nüü - beeta - ksii - gamma - omikron - delta - pii - epsilon - roo - dzeeta - sigma - eeta - tau - teeta - üpsilon - ioota - fii - kapa - hii - lambda - psii - müü - oomega
4. Sündmuse A ja tema vastandsündmuse A tõenäosuste summa on 1. p(A) + p( A ) = 1. 3 Näide 2. Paarisarvu silmade tulek (sündmus B) tõenäosus täringu viskamisel on p(B) = = 0,5. 6 Et paaritu arvu silmade tulek täringu viskamisel on sündmuse B vastandsündmus B , siis selle tõenäosus p( B ) = 1 p(B) = 0,5. 2. Sündmuste korrutis ja summa · Sündmust, mis seisneb nii sündmuse A kui ka sündmuse B toimumises, nimetatakse sündmuste A ja B korrutiseks (ühisosaks). A·B=AB A B Välistavate sündmuste korrutis on võimatu sündmus. A · B = V.
MATEMAATIKA TÄIENDÕPE VALEMID JA MÕISTED KOOSTANUD LEA PALLAS 1 2 SAATEKS Käesolev trükis sisaldab koolimatemaatika valemeid, lauseid, reegleid ja muid seoseid, mille tundmine on vajalik kõrgema matemaatika ülesannete lahendamisel. Kogumikus on ka mõned kõrgema matemaatika õppimisel vajalikud mõisted, mida koolimatemaatika kursuses ei käsitletud.. 3 KREEKA TÄHESTIK Α α alfa Ν ν nüü Β β beeta Ξ ξ ksii Γ γ gamma Ο ο omikron Δ δ delta Π π pii Ε ε epsilon Ρ ρ roo Ζ ζ dzeeta Σ σ sigma Η η eeta Τ τ tau Θ θ teeta Υ υ üpsilon Ι ι ioota Φ φ fii Κ κ kap
statistiline), mtteklassikalised(subjektiivne,intersubjektiivne) Juhuslikuks suuruseks nim suurust, mis järjekordse katse tulemusel omandab mingi mittennustatava väärtuse mingist võimalikust väärtuste hulgast. Diskreetne juhuslik suurus: võimalike väärtuste hulk on lõplik Pidev juhuslik suurus: võimelike väärtuste hulk on kontiinum Jaotusfunktsioon on tõenäosus, et juhusliku suuruse väärtus ei ületa funktsiooni argumenti. Jaotusfunktsioon peab rahuldama järgmisi tingimusi: monotoonsus (kui b>a, siis F(b)>F(a), normeeritus (x-lõpmatus korrral lim F(x)=0, xlõpmatus lim F(x)=1) Jaotustihedus on jaotusfunktsiooni tuletis. Arvkarakteristikud kujutavad endast mingeid jaotusseaduse järgi leitavad funktsionaale, millega opereerimine/arvutused on enamasti lihtsamad kui kogu jaotusseadusega opereerimine. Juhusliku suuruse arvkarakteristikuid võib jagada: moment ja mittemomentkarakteristikud, asendi-,hajuvus- ja kujukarakteristikud,
Lihtsustamise põhilised printsiibid. Kui kahe objekti (süsteemi) vahel on võimalik tuvastada pisemgi sarnasus, siis on nendel objektidel originaali mudeli vahekord: ühte objektidest võime käsitleda originaalina, teist aga mudelina. Objektide A ja B sarnasust tähistatakse A~B. Mudel peegeldab objekti alati lihtsustatult. Mudelid on kas materiaalsed või abstraktsed. Mudelites nagu süsteemideski, võib üheks muutujas olla aeg. Sellest tulenevalt on mudelid pideva ajaga või diskreetse ajaga. Ulatuslikult kasutatakse matemaatilisi mudeleid. Põhilised lihtsustamise printsiibid: muutujate agregeerimine, ekvivalenteerimine, sõltuvuste lihtsustamine, süsteemi dekomponeerimine 7. Protsessid. Determineeritud protsesside klassifitseerimine ja kirjeldamisviisid. Protsessid on üldjuhul olekud ja operaatorid ehk ajas muutuvad suurused, vektorid ja sündmused. Determineeritud protsess on protsess , mille tulevikku on võimalik täpselt prognoosida, vaja on vaid teada
objekti kohta mingi tõenäosuslik mudel, sh hinnates mudeli arvparameetreid ja kontrollides erinevaid hüpoteese objekti mudeli kohta. Mediaani hinnang: - kasvavalt järjestatud valimi keskelement (kui valimi maht on paaritu arv) - kasvavalt järjestatud valimi keskelementide poolsumma (kui valimi maht on paarisarv) Haare: valimi suurima ja vähima elemendi vahe Statistika põhiteoreem: Empiiriline jaotusfunktsioon FN(x) on teoreetilise (üldkogumi) jaotusfunktsiooni F(x) nihutamata ja mõjus hinnang. Histogramm: Histogramm on enimkasutatav (üldkogumi) jaotustiheduse hinnang. Histogrammi kasutatakse ettekujutuse saamiseks üldkogumi jaotusseadusest ning ta kujutab endast tulpdiagrammi, mille tulpade kõrgused näitavad vastavasse vahemikku sattumise sagedust. 2-jaotus on kasutusel normaaljaotusega juhusliku suuruse dispersiooni hinnangu jaoks usaldusvahemike arvutamisel.
summa on sündmus, mille toimumine seisneb neist vähemalt ühe (A v B) toimumises. Sündmuse A x B korrutis on sündmus, mille toimumine seisneb mõlema (A ja B) toimumises. Sündmuse sagedus on sooritatud (n) katsete ja katseseeriate (m) arvu vahejagatis Sündmuse tõenäosus on juhuslik sündmuse konstant, mille ümber grupeerub selle sündmuse sageduse katsete arvu suurenedes (m- soodsate sündmuste arv, n- võrdvõimalike sündmuste arv) 3. Juhusliku suuruse keskväärtus ( EX ). Keskväärtuse punkthinnang (aritmeetiline keskmine x ). Diskreetse ja pideva juhusliku suuruse mood ja mediaan. Juhusliku suuruse keskväärtus grupeeritud juhuslike suuruse võimalikud väärtused. Juhuslike võrdvõimalike sündmuste arvu (N) soodsate sündmuste protsendilise tõenäosuse korrutis E(X) = n * p p=1q Võrdvõimalike sündmuste sageduse tiheduse ( ) korrutise summa ..
Matemaatika 11. klassi praktikumi töö 1. Kirjalik arvutamine m Tehted astmetega (a:b)n = an : bn Tehted juurtega a n n am (ab)n = an * bn a b a b an am = an+m n m a n m a a a an : am = an-m b b n m n*m (a ) = a
RAKENDUSSTATISTIKA Kontrollküsimused 12.2005 1. Tõenäosus ja tõenäosuse põhilised omadused. Tingimuslik tõenäosus. Bayes'i valem 0 P(A) 1; P(AB) = P(A) + P(B), AB= või U. Tingimuslik tõenäosus tõenäosus sündmusele A kui toimus sündmus B - P(A/B) = P(AB) / P(B) 2. Sündmus ja vastandsündmus. Sõltuvad ja mittesõltuvad sündmused. Sündmuste väli P(A/B) = P(A), P(AB) = P(A)P(B) 3. Sündmuste algebralised operatsioonid. Sündmuste summa ja korrutis. C = F D> C =F D> F> 4. Juhuslik suurus X = X(e) 5. Jaotusseadus ja selle esitamine. Jaotusfunktsioon F(x) ja tema põhiomadused. Väärtus x ja tema tõenäosus p. F(x) juhuslikule suurusele X on tõenäosus, et X võtab väärtuse vähem kui antud arvul x. F(x) = P(Xx).
Diskreetse ajaga protsesse nimetatakse ka aegridadeks. Determineeritud protsessiks nimetatakse sellist protsessi, mille tulevikku on võimalik täpselt ette prognoosida, kui on teada selle protsessi piisavalt pikk realisatsioon. See on protsess, mille tulevik on ette määratud. D-protsessid on: maakera pöörlemine, täpsed kellad jm. Juhuslikuks ehk stohhastiliseks protsessiks nimetatakse protsessi, mida ei ole võimalik täpselt ette prognoosida. Juhusliku protsessi väärtused on juhuslikud. Juhusliku protsessi näideteks on: õhutemperatuur, energiasüsteemist tarbitav aktiivvõimsus, soojuse tarbimine jpm. Determineeritud protsessi x(t) nimetatakse perioodiliseks protsessiks, kui mingi ajaperioodi T järel selle protsessi väärtused korduvad: x (t ) x (t nT ) , n=1, 2, 3, … Ajaperioodi T nimetatakse protsessi perioodiks ja tsüklite arvu ajaühikus – sageduseks. Sageduse f ja perioodi T puhul kehtib järgmine seos: 1 f . T
Tõenäosusteooria (II) Tihti võib sündmusi vaadelda koosnevaina lihtsamatest sündmustest. Näiteks, olgu ühes urnis 4 valget ja 3 punast kuuli ning teises urnis 6 valget ja 3 punast palli. Kummastki urnist võetakse üks pall. Vaatleme järgmisi sündmusi: C võetud pallide hulgas on vähemalt üks punane pall, D mõlemad võetud pallid on punased. Me võime need sündmused esitada järgmiste osasündmuste (nn elementaarsündmuste) kaudu: A esimesena urnist võetud pall on punane B teisest võetud pall on punane Sündmuse C võime esitada niimoodi: toimub sündmus A või toimub sündmus B või toimuvad mõlemad sündmused A ja B. Sündmuse D võime esitada aga nõnda: toimub sündmus A ja toimub sündmus B. Tõenäosusteoorias antakse selliselt moodustatud sündmustele omaette nimetused. Sündmuste A ja B summaks nimetatakse sündmust C, mille korral toimub vähemalt üks sündmustest A või B (s.t toimub sündmus A või toimub sündmus B või toimuvad
*Lõpliku hulga kardinaalarv on selle hulga elementide arv, lõpmatute hulkade puhul kasutatakse aga eritähiseid: 0 tähistab loenduvat võimsust, 1 aga tähistab kontiinumvõimsust. (loendamatu) *Võrdvõimsad hulgad- Kui kahes hulgas on ühepalju elemente ning nende elementide vahel saab luua üksühese vastavuse, on need kaks hulka võrdvõimsad. (Tähistatakse |A|=|B|) *Loenduv hulk- Kui hulk on sama võimsusega nagu naturaalarvude hulk N, peetakse teda üldiselt loenduvaks. Loenduv hulk võib seega olla ka lõpmatu. *Loendamatu hulk- Kui hulk on sama võimsusega nagu reaalarvude hulk IR, peetakse teda loendamatuks. Tänu komakohtadele pole elemente lihtsalt võimalik ammendavalt loetleda. Kontiinumhüpotees- Kontiinumhüpotees on hüpotees, mille arendajaks oli George Cantor (aastal 1877) ning see puudutab lõpmatute hulkade võimalikke suurusi. *Hüpoteesis eristatakse nö. ,,väiksema võimsusega lõpmatut hulka", milleks on
n n Tõenäosus, et toimuvad nii sündmused A kui ka B, P(A B), on leitav valemiga P(A B) = P(A|B) P(B) Kui A ja B on teineteisest sõltumatud: P(A|B)=P(A) ja P(A B) = P(A) P(B) Tõenäosus, et toimub kas sündmus A või sündmus B, P(A U B), on leitav valemiga P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A B) Kui A ja B on teineteist välistavad: P(A U B) = P(A) + P(B) A + A vastandsündmus = 1 2. Juhusliku suuruse jaotus Juhusliku sündmuse A toimumise tõenäosuseks P(A) nimetatakse sündmuse A toimumise suhtelist sagedust peale lõpmatult paljude katsete sooritamist Kumulatiivne jaotusfunktsioon- annab iga juhusliku tunnuse väärtuse kohta tõenäosuse, et juhuslik suurus omandab mingi väärtuse x või x-st väiksem väärtuse P(Xx) Bernoulli jaotus: juhuslikul suurusel on 2 võimalikku väärtust X ~ B(1; p)
vôrrand: y' + p(x)y = q(x) a) u' + p(x)u = 0 (saab u); b) uv' = q(x) (saab v); y = uv y' = u'v + uv'. 40. Eksponentsiaalse kasvu seadus ja valem. 41. Juhuslik suurus, pidev ja diskreetne juhuslik suurus. Juhusliku suuruse jaotus (jaotusseadus). Juhuslik suurus (JS) suurus, mis antud tingimustes võib omandada ühe oma võimalikest väärtustest või väärtusvahemikest. Näiteks üliõpilaste arv loengul, puu diameeter, kilude protsent räimevõrgus jne. Diskreetne JS lõplik või loenduv hulk väärtusi (täringu silmade arv, mittearvulise tunnuse kodeerimistulemused jne.) Pidev JS iga kahe väärtuse vahel võime näidata veel ühe väärtuse (puu diameeter, väljapüütud kilu kaal jne.). JS tähistatakse suurtähtedega, näiteks X, Y, Z. JS konkreetseid väärtusi tähistatakse vastavate väiketähtedega, näiteks JS X väärtusi x1, x2... JS (tõenäosuste) jaotus ehk jaotusseadus on eeskiri, mis määrab vastavuse JS iga väärtuste hulga ja sellest hulgast
1 10. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium KORDAMINE: FUNKTSIOONI GRAAFIK I Joonistel on kuue funktsiooni graafikud. Tee kindlaks, missuguste funktsioonidega on tegemist. 1 2 3 © Allar Veelmaa 2014 2 10. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium KORDAMINE: FUNKTSIOONI GRAAFIK II © Allar Veelmaa 2014 3 10. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium REAALARVUDE PIIRKONNAD Kuna erinevates õpikutes kasutatakse reaalarvude piirkondade märkimiseks erinevaid tähistusi, siis oleks kasulik teada mõlemat varianti. Nimetus Tingimus Esimene
juhuslik sündmus sündmus, mis antud katse korral võib toimuda, aga võib ka mitte toimuda; juhuslikke sündmusi tähistatakse suurtähtedega A, B, C, ..., sarnaste sündmuste korral kasutatakse tihti ka indekseid: A1, A2, A3, ... Näit. Kui katseks on täringu viskamine, siis sündmus "saadakse 7 silma" on võimatu sündmus, sündmus "saadakse üks tulemustest 1, 2, 3, 4, 5 või 6" on aga kindel sündmus. Sündmus "saadakse 4 silma" on juhuslik sündmus. vastandsündmus sündmuse A vastandsündmus A (loe: A kaetud) on selline sündmus, mis seisneb sündmuse A mittetoimumises Näit. 1) A kahe täringu viskamisel saadakse summaks 12 A - kahe täringu viskamisel on summaks 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 või 11 2) A kolmest vastutulijast on vähemalt üks naine A - kolme vastutulija hulgas naisi pole 3) A kaardipakist tõmmatakse kolm kaarti, saadakse kolm ärtu mastist kaarti
1. Tõenäosus ja tõenäosuse põhilised omadused. Tingimuslik tõenäosus. Bayes'i valem 0 P(A) 1; P(AB) = P(A) + P(B), AB= või U. Tingimuslik tõenäosus tõenäosus sündmusele A kui toimus sündmus B - P(A/B) = P(AB) / P(B)(TINGIMUSLIK) Tõenäosus sündmusele A tingimusel, et sündmus B on juba toimunud, P(B) > 0.BAYES kus P(A) = P(B1)*PB1(A)+P(B2) *PB2(A)+...+P(Bn) * PBn(A), i tähistab osasündmuse B numbrit 2. Sündmus ja vastandsündmus. Sõltuvad ja sõltumatud sündmused. Sündmuste väli P(A/B) = P(A), P(AB) = P(A)P(B) Sündmus fakt, toimumine, ilming jne, mis on seotud, kas toimub või ei teatud tingimustel. Vastandsündmus A sündmusele A Sündmus A ei ilmne kui esineb sündmus A. Sündmus A on sõltumatu sündmusest B kui tema tingimuslik on võrdne mittetingimusliku tõenäosusega. 3. Sündmuste algebralised operatsioonid. Sündmuste summa ja korrutis
annaabi.ee 
