1) 0 <= P(A) <= 1 2) Kindla sündmuse tõenäosus on üks, P(K) = 1. 3) Võimatu sündmuse tõenäosus on null, P(V) = 0 4) Kui sündmused A ja B on üksteist välistavad, siis P(A U B) = P(A) + P(B). Klassikalise tõenäosuse valem Valem on rakendatav, kui juhuslikul katsel on lõplik arv võrdvõimalikke tulemusi. Tõenäosus väljendab siin ka sündmuse toimumise sagedust. Klassikaline näide on mündivise. Viske (katse) tulemusi on kaks ( S = { kull , kiri } ) ja korrapärase mündi puhul on mõlema sündmuse tõenäosuseks 50%. P(kull) = P(kiri) = ½ = 50%. Sündmused, et mündi viskel tuleb A = kull või tuleb = kiri, on teineteist välistavad. Seega A U = K, millest tõenäosus P(K) = P( A U ) = P(A) U P( )=1 või P( ) = 1 P(A). Tõenäosus, et sündmus ei toimu on võrdne üks miinus sündmuse toimumise tõenäosus.
hulk. Seda hulka nimetatakse p(A)=0.Sõltiv sündmus, kui sündmus seotud sündmused, kus esimese katse lühidalt elementaarsündmuste hulgaks ja tõenäosus sõltuv mingist teisest tulemus ei mõjusta teise katse võimalike tähistatakse sümboliga S.Näide 1. Katse sündmusest.Näide10. Oletame näiteks, tulemuste hulka ega tulemuste võimalikuks tulemuseks täringu viskel et meil on urnis viis kuuli-kolm vaglet ja võimalikkust. Sõltumatuse sündmuste loetakse teatava tahu pealelangemist. kaks musta. Mis ontõenäsust,et pimesi korral kehtib võrdus P(AB)=P(A)P(B). Sellel katsel on 6 võimalikku tulemust ja valides saame esimesel korral valge Liitmistulause P(ABC)=P(A)+ P(B)+ vastav elementaarsündmuste hulk on:S = kuuli?P(A)=P(valge)=3/5=0.6eht60%. P(C)- P(AB)- P(AC)- P(BC)+ P(ABC) {1, 2, 3, 4, 5, 6 }
- saadakse 5 silma - saadakse 3 või 6 silma - saadakse paarisarv silmi jne Kui katseks on kahe täringu korraga viskamine, siis võiks vaadelda selliseid sündmusi: - summaks saadakse 12 - summana saadakse vähemalt 3 silma - ühel täringul on suurem silmade arv kui teisel jne kindel sündmus sündmus, mis antud katse korral kindlasti toimub; tähistatakse sümboliga võimatu sündmus sündmus, mis antud katse korral ei saa toimuda; tähistus - juhuslik sündmus sündmus, mis antud katse korral võib toimuda, aga võib ka mitte toimuda; juhuslikke sündmusi tähistatakse suurtähtedega A, B, C, ..., sarnaste sündmuste korral kasutatakse tihti ka indekseid: A1, A2, A3, ... Näit. Kui katseks on täringu viskamine, siis sündmus "saadakse 7 silma" on võimatu sündmus, sündmus "saadakse üks tulemustest 1, 2, 3, 4, 5 või 6" on aga kindel sündmus. Sündmus "saadakse 4 silma" on juhuslik sündmus.
TÕENÄOSUSTEOORIA 1 Juhuslik sündmus 1.1 Juhusliku sündmuse mõiste. Mingi katse või vaatluse tulemusena toimub teatud sündmus. Sündmusi tähistatakse tähtedega A, B, C, … . Iga sündmust vaadeldakse teatud tingimuste kompleksi olemasolu korral. Näiteks lumi sulab 0 kraadi juures normaalrõhul. Sündmused võib jaotada kolme liiki: 1. Kindel sündmus , mis toimub alati antud tingimuste juures ( päike tõuseb idast ja loojub läände). 2. Võimatu sündmus , mis ei saa kunagi antud tingimuste kompleksi korral toimuda (rong sõidab maanteel, päike loojub itta). 3. Juhuslik sündmus, mis võib toimuda või mitte toimuda (paarisnumbrisaamine täringuviskel, mündi viskamisel saada kull või kiri). 1.2 Sündmuste vahelised seosed. Sündmuste vahelised seosed on nagu vastavate hulkade vahelised seosed. 1. AB, sündmus B järeldub sündmusest A ehk sündmus A sisaldub sündmuses B. Näiteks: A = (2) ja B = (2;4;6), siis
· Võrdvõimalike sündmuste täielikku süsteemi nimetame elementaarsündmuste
süsteemiks ja sündmusi elementaarsündmusteks.
· Sündmuse (klassikaliseks) tõenäosuseks nimetame sündmuse soodsate
elementaarsündmuste arvu k ja kõigi võrdvõimalike elementaarsündmuste arvu suhet.
P(A)=k/n. 0P(A)1
· Kindel sündmus P(A) = 1
· Võimatu sündmus P(A)=0 Ø
· Juhuslik sündmus 0
k V =k! Ck P(A)=1,25/2,25=5/9 Variatsioonid: n n Liitmislause, korrutamislause, tinglik 1) Karbis on 10 pooljuhti, neist 7 hiljuti testitut. Karbist tõenäosus, sõltumatud sündmused, võetakse huupi 5 pooljuhti. Leidke tõenäosus, et sõltumatute katsete seeria nende hulgas on täpselt 3 hiljuti testitut. Liitmislause: P(A1+A2)=P(A1)+P(A2)-P(A1A2) Lahendus: A=“3 pooljuhti 5-st on testitud“ P((A1+A2)+A3)= P(A1)+P(A2)+P(A3)-P(A1A2)- 5 P(A1A3)-P(A2A3)+P(A1A2A3) │Ω│=n= C10 =12 Tinglik tõenäosus: DEF. P(A/B)=P(AB)/P(B) ; 3 2
on pada või äss? Olgu A = "saadakse pada"; B = "saadakse äss". Sündmus AB tähendab "saadakse padaäss". Sündmus A + B = "saadakse pada või äss". 13 4 1 16 4 p(A + B) = p(A) + p(B) p(AB) = + = = . 52 52 52 52 13 Välistavate sündmuste summa tõenäosus võrdub liidetavate sündmuste tõenäosuste summaga. p(A + B) = p(A) + p(B), kui AB = V. Näide 2. Urnis on 3 punast, 5 sinist ja 2 valget kuuli. Kui suur on tõenäosus, et juhuslikult võetud kuul on kas punane või sinine? 3 Tõenäosus, et võetud kuul on punane (sündmus A) on p(A) = . 10 5 1 Tõenäosus, et võetud kuul on sinine (sündmus B) on p(B) = = .
tõenäosuse omadustega). Sündmuse A suhteliseks suuruse X jaotustabel järgmine: 1, Sündmus ja tõenäosus. Kindel, võimatu ja juhuslik sageduseks Pn(A) antud katseseeria puhul nim. sündmuse sündmus, nende tõenäosused. Sündmus on Aesinemiste arvu m ja kõigi katsete arvu n suhet: P n(A)= tõenäosusteooria põhimõiste. Tavaliselt tähistatakse m/n Juhusliku sündmuse A statistiliseks tõenäosuseks suurte tähtedega, vajadusel kasutatakse indekseid. Nt. A, nim. konstantse arvu P(A), mille läheneb sündmuse A A1, Bi, Cjk jne. Sündmuse tõenäosus on sündmuse suhteline sagedu, kui katsete arv n käheneb lõpmatusele. võimalikust näitav arv lõigul [0,1], mida tavaliselt Suhtelise sageduse omadused: 1. Sündmuse suhteline tähistatakse P. Võimatu sündmuse V tõenäosus P(V)=0, sagedus o
4. Vastand sündmuse tõenäosus. Sündmuse A ja tema vastandsündmuse A tõenäosuste summa on 1. p(A) + p( A ) = 1 5. Tinglik tõenäosus sõltumatute ja sõltuvate sündmuste korral. Sündmuse B tõenäosust, mis on arvutatud tingimusel, et sündmus A toimus, nimetatakse sündmuse B tinglikuks tõenäosuseks. Kui arvutame P(B|A), siis sündmused A ja B on sõltumatud. See tugineb teadmisel, et sündmus A on toimunud ja ei mõjuta kuidagi sündmuse B toimumist. Sõltumatute sündmuste korral P(B|A) = P(B). Sõltumatud on alati kahe niisuguse järjestikuse katsega seotud sündmused, kus esimese katse tulemus ei mõjusta teise katse võimalike tulemuste hulka ega tulemuste võimalikkust. Sõltumatute sündmuste korral kehtib võrdus P(A B) = P(A) P(B). so sõltumatute sündmuste korral võrdub sündmuste korrutise tõenäosus korrutatavate sündmuste tõenäosuste korrutisega. 6. Tõenäosuste liitmislause 2 ja 3 sündmuse korral
MATEMAATIKA ARVESTUS 1. Kombinatoorika põhiprintsiibid-liitmis ja korrutamisprintsiip. Liitmisprintsiip- ,,kas üks või teine" . kui mingit objekti A on võimalik valida n erineval viisil ja objekti B m erineval viisil ning valida tuleb kas objekt A või objekt B, siis kõigi erinevate võimalike valikute arv on n + m. Korrutamisprintsiip- ,, nii üks kui ka teine" kui mingit objekti A on võimalik valida n erineval viisil ja objekti B m erineval viisil ning valida tuleb nii objekt A kui ka objekt B, siis kõigi võimalike erinevate valikute arv on n · m. 2. Permutatsiooni permutatsioonideks n erinevast elemendist nimetatakse nende elementide kõikvõimalikke erinevaid järjestusi. Pn = n! 3. Variatsioonid Variatsioonideks n elemendist k-kaupa (k n) nimetatakse nelemendilise hulga kõigi k-elemendiliste osahulkade elementide erinevaid järjestusi. Vnk = n!/(n-k)! k 0! = 1 Variatsioonides on oluline liikmete järjestus erinevalt kombinatsioonidest. Variatsioone on 2x ro
s(A) p(A). [20]. Sõltuvad ja sõltumatud sündmused. Sündmuste summa ja korrutis. *Sõltumatud sündmused- Kui sündmuse A toimumise tõenäosus ei olene sündmuse B toimumisest/mitte-toimumisest siis nimetatakse neid kahte sündmust sõltumatuteks sündmusteks. 1).Kahe sõltumatu sündmuse A ja B summaks A U B nimetatakse sündmust, mille toimumine seisneb kas sündmuse A VÕI sündmuse B toimumises. Seega, kahe sündmuse summa on p(AB) = p(A)+p(B). Nt: Urnis on 3 punast, 5 sinist ja 2 valget kuuli. Tõenäosus, et võetakse sinine VÕI punane kuul, on p(AB) = p(A)+p(B) = 3/10 + 1/2 = 4/5 2). Kahe sõltumatu sündmuse A ja B korrutiseks AB nimetatakse sündmust, mille toimumine seisneb sõltumatute sündmuse A JA B toimumises. Nt: Ühes urnis on 5 musta ja 3 valget kuuli ning teises urnis 4 musta ja 6 valget kuuli. Kummastki urnist võetakse üks kuul, milline on tõenäosus, et mõlemad kuulid on mustad? p(AB)=5/8 * 4/10.
1. Kirjeldava statistika põhimõisted: Aritmeetiline keskimine X=(x1+x2+...+xN)/N=( i=1N xi)/N Kaalutud keskmine- keskmiste keskmine. On teada rühmade keskmised ja objektide arvud. Mediaan Kui N on paaritu, siis on mediaan järjestatud statistilise rea keskmine liige. Kui N on paaris, siis on mediaan järjestatud arvrea kahe keskmise liikme poolsumma. Kvartiilid p-protsentiil on arv, millest p protsenti andmetest on temast väiksem või võrdne ja (100-p) protsenti suurem või võrdne. 25- protsentiili nim. esimene kvartiil. Mediaan on 50-protsentiil e. teine kvartiil. 75-protsentiil nim. kolmas kvartiil. Mood arvrea suurima sagedusega liige. Dispersioon 2= ((x1-x)2+(x2-x)2+...+(xN-x)2)/N =(i=1N(xi-x)2)/N Standardhälve =2 Haare arvrea suurima ja vähima väärtuse vahe 2. Sündmus ja t
P(A) = lim m/n seda nimetatakse sündmuse statistiliseks tõenäosuseks. Puudus- seda täpset väärtust ei ole võimalik praktikas kasutada, sest kellelegi ei anta aega ega raha lõpmata arv kordi katseid sooritada, kasutatakse ligilähedasi väärtusi. P(A)=w=m/n. 15.Sündmuse tinglik tõenäosus – Kui kaks sündmust A ja B toimuvad järjestikku siis tekib küsimus, kas esimese sündmuse toimumine mõjutab hilisema sündmuse toimumist. Kui hilisema sündmuse B tõen. sõltub eelneva sündmuse toimumisest on sellise olukorra jaoks kasutusele võetud sündmuse tingliku tõen. mõiste. Tinglikku tõen. tähistatakse P(B/A), kusjuures loetakse seda järgmiseks ’’ sündmuse B tõenäosus tingimusel, et on toimunud sündmus A’’ 16.Tõenäosuste liitmisteoreem – Kahe teineteist mittevälistava sündmuse A ja B summa tõenäosus on võrdne nende sündmuste tõenäosuste
sündmuse A tõenäosust eeldusel, et sündmus B toimub. Täistõenäosus. - Olgu {A1,A2,..Ak} sündmuste täissüsteem ja saagu sündmus B toimuda ainult koos ühega sündmustest Ai, siis täistõenäosust arvutatakse valemiga: Bayes'i valem. - Arvutame sündmuse Ai tingliku tõenäosuse eeldusel, et toimub sündmus B: 6. Juhuslik suurus, - Juhuslik suurus (JS) on suurus, mis omandab katsel mingi väärtuse. Enne katse toimumist on tundmata. Üldjuhul tähistatakse X. Diskreetne juhuslik suurus on juhuslik suurus, mille väärtuste hulk on lõplik või loenduv. Praktiliselt vaatleme ainult selliseid DJS, mille võimalikud väärtused on 0, 1, 2, ... või alamhulk eelnevast. DJS jaotusseadus on eeskiri, mis seob juhusliku suuruse väärtused ja nende tõenäosused: pi=P(X=xi).( esitatud valemina, tabelina, arvupaaridena või graafikuna). keskväärtus - EX = E(X).
Statistika teooria I 1. Kirjeldava statistika põhimõisted: aritmeetiline keskmine, mediaan, kvartiilid, mood, dispersioon, standardhälve, haare. Esitada definitsioonid ja osata antud andmeväärtuste puhul neid mõisteid rakendada N x + x 2 + ... + x N xi Aritmeetiline keskmine: µ = 1 = i =1 N N N-üldkogumi maht Aritmeetilise keskmise erijuht on kaalutud keskmine: N N N µ = 1 µ1 + 2 µ 2 + ... + m µ m N N N µ1, µ2,..., µm on m-rühma keskmised N1 N 2 N , ,..., m on nn kaalud N N N Mediaan: Kui N on paaritu, siis on mediaan järjestatud statistilise rea (variatsioonirea) keskmine liige; kui N on paarisarv, si
Sissejuhatus - Test 1 1. Järjesta skaalad informatiivsuse järgi, alustades kõige vähem informatiivsemast a. kõige vähem informatiivsem nimiskaala b. suurema informatiivsusega järjestusskaala c. kõige informatiivsem intervallskaala 2. Uuringufirma viib Eesti elanikkonna hulgas läbi tööjõu-uuringut. Vali õiged terminid, mis tähistavad toodud mõisteid. a. Eesti elanik objekt b. Uuringu teostamiseks kasutatakse intervjuusid mõõtmismeetod c. Tallinna elanikud osakogum d. need isikud, keda küsitletakse valim e. Intervjuul esitatavate küsimuste komplekt mõõtmisvahend f. Eesti elanikkond üldkogum g. inimese vanus tunnus h. need inimesed, kelle sissetulek on väiksem kui 5000 kr osakogum i. inimese sissetulek tunnus 3. Milliste vaatlustega on tegemist? a. küsimustiku
SÜNDMUSE TÕENÄOSUS 1. Mis on sündmus tavaelus? 2. Mis on juhuslik sündmus? 3. Millisest aspektist me tahame sündmusi uurida? 4. Sündmuse matemaatiline definitsioon (elementaarsündmus, elementaarsündmuste ruum, sündmus). Elementaarsündmus on mingi vaadeldava protsessi või läbiviidava katse tulemus. Elementaarsündmuste ruumi moodustavad kõik elementaarsündmused ehk kõikvõimalike tulemuste hulk. Sündmuseks nimetatakse mingit suvalist elementaarsündmuste ruumi alamhulka. 5. Sündmuse toimumise kriteerium. Sündmuse toimumise juures on meile oluline vaid see, kas toimub või mitte. Sündmus toimub, kui toimub sündmust määravatest elementaarsündmustest üks. 6. Mitu erinevat sündmust saab moodustada n-elemendilise elementaarsündmuste ruumi põhjal? Tõesta! N-elemendilise elementaarsündmuste ruumi põhjal saab moodustada 2 n sündmust, mille hulka on arvestatud ka tühihulk. 7. Sündmuste liigitus (kindel, võimatu, vastandsündmus) Kind
Tõenäosus, et esimene käskjalg jõuab sihtpunkti, on 0,9 ja teisel 0,8. Kui tõenäone on, et teade jõuab sihtpunkti? (0,98) 9. Umbrohutõrjet tehes suudab üks lennuk preparaati pritsides umbrohu hävitada tõenäosusega 0,7, teine lennuk - 0,8. Kui suur on umbrohu hävitamise tõenäosus mõlema lennuki käsutamisel? (0,94) 10. Tulistatakse 3 lasku. Märgi tabamise tõenäosused on I lasuga 0,4, II - 0,5 , III - 0,7- Kui tõenäone on, et märki tabab vähemalt üks lask ? (0,91) 11. Aparaadi monteerimisel käsutatakse neljas tsehhis valmistatud detaile. Praagi tõenäosus tsehhide kaupa on 0,04; 0,03; 0,06; 0,02. Tsehhidest saabus detaile järgmistes kogustes: 30, 20, 30 ja 25 tükki. Kui tõenäone on, et juhuslikult võttes saadakse praakdetail? (0,066) 12. Viiest urnist 2 sisaldavad kumbki 4 valget ja 3 musta kuuli, üks - 3 valget ja 4 musta ning kaks urni kumbki 5 valget ja 2 musta kuuli, ühest urnist võetakse üks kuul
5. Teoreetiline ja statistiline tõenäosus. Nende vaheline seos tuginedes Suurte Arvude Seadusele ( ) Teoreetiline – tõenäosust P*(A) nimetatakse sündmuse A teoreetiliseks tõenäosuseks, kui lim | ( )| = 0 Statistiline – põhineb katseeksitusmeetodil. Katsetame n korda sündmuse A toimumist. Õnnestugu katse k(n) ≤ n korda. ( ) P(A) = Suurte arvude seadus. Katsetame n korda sõltumatult sündmust A. Olgu k(n) ≤ n õnnestunud katsed ja P*(A) ( ) ( ) sündmuse A teoreetiline tõenäosus. Siis ( ) > 0: lim ( | ( )| < ) = 1 Suurtearvude seadus
Majandusstatistika eksamiküsimused FK100 1. Statistika mõiste. Üldkogum ja valim. Rühmitatud andmed. Statistilise materjali graafiline esitamine (histogramm ja kumulatiivse sageduse graafik). Statistika on andmete kogumine ja töötlemine, statistilised andmekogumid, teadusharu, mille põhiülesandeks on massinähtuste vaatlemine, nende kohta andmete kogumine ja analüüsimine ning selle põhjal järelduste ja üldistuste tegemine ning praktiliste lahenduste pakkumine Üldkogum antud tunnustega elementide hulk (nt. koolis õpilaste hulk), N Valim- juhuslik alamhulk üldkogumist (nt õpilaste seast tüdrukute hulk), valimi vaatluse läbi püütakse teha järeldusi üldkogumi kohta. Rühmitatud andmed- korrastamata statistilise rea andmed, mida rühmitatakse klassidesse e. intervallidesse skaalal Statistilise materjali graafiline esitamine: 1. Valimi elementide korrastatud hulk e. variatsioonirida (sageli rühmitatakse klassidesse e. tekib
1. Reaalarvud ja avaldised a, kui a 0 · Arvu absoluutväärtus a = - a, kui a < 0 · Astme mõiste ja omadused a 0 = 1, kui a 0 a1 = a a n = a a a a, kui n N 2 1 a-k = , kui a 0 ja k Z või ak kui a > 0 ja k Q m n a m , kui a > 0, m Z ja n N a = n 2 0, kui a = 0, m N 1 ja n N1
Õpilane, kes pidi kutse edastama, unustas nimed ja saatis neist huupi kolm konsultatsiooni. Kui tõenäone on, et juhtusid kutsutud? 2. Õpilane oskab 25-st eksamiküsimusest vastata kahekümnele. Kui suur on tõenäosus, et pileti 3 küsimust on kõik nende kahekümne seast? 3. Kui suur on tõenäosus, et täringu viskamisel tuleb a. 5 silma, b. paaritu arv silmi, c. kolmega jaguv silmade arv. 4. Urnis on 3 punast ja 9 sinist ühesugust kuuli. Kui suur on tõenäosus, et kuuli juhuslikul võtmisel urnist saadakse d. sinine kuul, e. punane kuul, f. roheline kuul, g. kas punane või sinine kuul. 5. Lapse käes on neli kaarti, millest igaühele on kirjutatud üks number 1, 2, 3, 4. Laps laob need juhuslikus järjrkorras üksteise kõrvale. Kui suur on tõenäosus, et nii tekib a. arv 2134, b. paarisarv, c. arv, mis on suurem kui 1000, d
1. Tõenäosus ja tema leidmise näiteid arvutusvalemite abil Sõltumatute katsete kordamisel saadavat suhtelise sageduse piirväärtust kutsutakse sündmuse A toimumise tõenäosuseks P (A) := lim mn n Sündmus, mille toimumise tõenäosus on 0 võib aset leida lim n1 =0 n n-1 Sündmus, mille toimumise tõenäosus on 1 ei pruugi alati toimuda lim =1 n n Tõenäosus, et toimuvad nii sündmused A kui ka B, P(A B), on leitav valemiga P(A B) = P(A|B) P(B) Kui A ja B on teineteisest sõltumatud: P(A|B)=P(A) ja P(A B) = P(A) P(B) Tõenäosus, et toimub kas sündmus A või sündmus B, P(A U B), on leitav valemiga P(A U B) = P(A)
(14/285) 5. Kaardipakist (52 kaarti) võetakse juhuslikult välja 3 kaarti. Leia tõenäosus, et a) need kaardid on ristimastist, (11/850) b) need kaardid on erinevatest mastidest. (169/425) 6. Laual on kaks ühesugust kaardipakki (52 kaarti), mõlemast võetakse üks kaart. Leia tõenäosus, et a) mõlemad kaardid on kuningad, (1/169) b) mõlemad kaardid on sama värvi. (1/2) 7. Korvpallur tabab igal viskel korvi tõenäosusega 0,7. Kui suur on tõenäosus, et Korvpallur 20 viske korral tabab korvi täpselt 12 korda? (0,11) 8. Esimene õpilane lahendab ülesande (sündmus A) tõenäosusega 0,75, teine aga (sündmus B) tõenäosusega 0,8. Kui tõenäoline on, et vähemalt üks õpilane lahendab ülesande, kui nad töötavad teineteisest sõltumatult? (0,95) 9. Hiina keele testis on 40 küsimust, igal küsimusel kolm vastusevarianti, millest ainult üks on õige.
sin2 + cos2 = 1 tan = sin /cos 1+tan2 = 1/cos2 sin2 = 1 cos2 sin = tan *cos cos2 = 1/tan2 +1 cos2 = 1 sin2 cos = sin /tan cos2 1 = - sin2 cot = cos /sin cot =1/tan sin2 1 = - cos2 cos = cot *sin tan *cot =1 sin = cos /cot 1+cot2 = 1/sin2 sin = cos (90o ) sin = vastas kaatet/hüpotenuus cos = sin (90o ) cos = lähis kaatet/hüpotenuus tan = 1/tan (90o ) tan = vastas kaatet/lähis kaatet cot =tan (90o ) cot = lähis kaatet/vastas kaatet tan = cot (90o ) Kolmnurga pindala Koosinusteoreem Siinusteoreem S=a*h/2 a2=b2+c2-2bc*cos a/sin=b/sin=c/sin=2R S=1/2a*b*
P6(1)=6! / 1! * (6-1)! * 0,5 astmes 1 * 0,5 astmes 5= 0,0938 P(A)= 0,1094 ül.2 Kak s k orvpallurit visk avad 3 k orda järjest k orvile. Tõenäosused tabada igal visk el on vastavalt 0,6 ja 0,7. Leida tõenäosus, et mõlemal on võrdne arv tabamusi. n= 3 m- tabamuste arv BINOMDIST I korvpalluri iga viske p= 0,6 II korvpalluri iga viske p= 0,7 p1= p2= p1 * p2 m= 0 0,0640 m= 0 0,0270 0,0017 1 0,2880 1 0,1890 0,0544 2 0,4320 2 0,4410 0,1905
29,999 0 30 0,02857 39,999 0,02857 40 0,37143 49,999 0,37143 50 0,88571 59,99 0,88571 60 1 70 1 milline o n tõenäosus et saame vähemalt 70 senti 6. Urnis on 6 kuuli : 4 MUSTA JA 2 VALGET. Kuule võetakse kuni esimese valge kuuli saamiseni. Võtmiste arv o Kõik võimalikud väärtused väärtuste tõenäosused keskväärtus dispersioon jaotusfunktsiooni graafik Xi Pi Xi*Pi Xi^2*Pi V 1 0,333333 0,333333 0,333333333 Juhusliku suuruse 5 x jao
MATEMAATIKA TÄIENDÕPE VALEMID JA MÕISTED KOOSTANUD LEA PALLAS 1 2 SAATEKS Käesolev trükis sisaldab koolimatemaatika valemeid, lauseid, reegleid ja muid seoseid, mille tundmine on vajalik kõrgema matemaatika ülesannete lahendamisel. Kogumikus on ka mõned kõrgema matemaatika õppimisel vajalikud mõisted, mida koolimatemaatika kursuses ei käsitletud.. 3 KREEKA TÄHESTIK - alfa - nüü - beeta - ksii - gamma - omikron - delta - pii - epsilon - roo - dzeeta - sigma - eeta - tau - teeta - üpsilon - ioota - fii - kapa - hii - lambda - psii - müü - oomega
1. Tõenäosus ja tõenäosuse põhilised omadused. Tingimuslik tõenäosus. Bayes'i valem 0 P(A) 1; P(AB) = P(A) + P(B), AB= või U. Tingimuslik tõenäosus tõenäosus sündmusele A kui toimus sündmus B - P(A/B) = P(AB) / P(B)(TINGIMUSLIK) Tõenäosus sündmusele A tingimusel, et sündmus B on juba toimunud, P(B) > 0.BAYES kus P(A) = P(B1)*PB1(A)+P(B2) *PB2(A)+...+P(Bn) * PBn(A), i tähistab osasündmuse B numbrit 2. Sündmus ja vastandsündmus. Sõltuvad ja sõltumatud sündmused. Sündmuste väli P(A/B) = P(A), P(AB) = P(A)P(B) Sündmus fakt, toimumine, ilming jne, mis on seotud, kas toimub või ei teatud tingimustel. Vastandsündmus A sündmusele A Sündmus A ei ilmne kui esineb sündmus A. Sündmus A on sõltumatu sündmusest B kui tema tingimuslik on võrdne mittetingimusliku tõenäosusega. 3. Sündmuste algebralised operatsioonid. Sündmuste summa ja korrutis Summa: Sündmus C, mis ilmneb igal juhul kui ilmneb vähemalt üks sündmustest A või B. C = A B, Korrutis: On
MATEMAATIKA TÄIENDÕPE VALEMID JA MÕISTED KOOSTANUD LEA PALLAS 1 2 SAATEKS Käesolev trükis sisaldab koolimatemaatika valemeid, lauseid, reegleid ja muid seoseid, mille tundmine on vajalik kõrgema matemaatika ülesannete lahendamisel. Kogumikus on ka mõned kõrgema matemaatika õppimisel vajalikud mõisted, mida koolimatemaatika kursuses ei käsitletud.. 3 KREEKA TÄHESTIK Α α alfa Ν ν nüü Β β beeta Ξ ξ ksii Γ γ gamma Ο ο omikron Δ δ delta Π π pii Ε ε epsilon Ρ ρ roo Ζ ζ dzeeta Σ σ sigma Η η eeta Τ τ tau Θ θ teeta Υ υ üpsilon Ι ι ioota Φ φ fii Κ κ kap
võib kalkulaatoriga teha kõik tehted järjest, vahepealseid tulemusi fikseerimata. 3 4 2. ÜLESANNE (5 punkti) Ülesannete tekstid I Urnis on 10 kollast ja 6 rohelist kuuli. Leidke tõenäosus, et urnist 1) juhuslikult võetud kuul on roheline; 2) juhuslikult korraga võetud kaks kuuli on mõlemad rohelised. II Karbis on 9 valget ja 7 musta palli. Leidke tõenäosus, et karbist 1) juhuslikult võetud pall on valge; 2) juhuslikult korraga võetud kaks palli on mõlemad valged. III Esimeses urnis on 5 punast ja 3 sinist kuuli, teises 4 punast ja 3 sinist kuuli. Leidke tõenäosus, et
Mudeli parameetrite hindamine Mudeli parameetrte leidmisel on sobivaimaks meetodiks vähimruutude meetod, mille kohaselt parameetrite hinnanguks tuleb valida sellised arvud, mille korral erinevused tegelike katsetulemuste ja mudeli põhjal prognoositud väärtuste vahel oleksid minimaalsed nende erinevuste ruutude summa minimeerimise mõttes. Katse dispersiooni leidmine. Sobivaimaks lähenemisviisiks väljundi y dispersiooni hindamiseks on enamasti eraldi korduskatsete seeria läbiviimine. Korduskatsete seeriast leitakse väljundi y dispersiooni hinnang, vabadusastmete arv f=w-1. Kui bj absoluutväärtus on suurem kui bj, siis lükatakse H0 tagasi ja vastavat liiget võib lugeda oluliseks, kui bj on väiksem, siis lükatakse H1 tagasi ja vastavat mudeli liiget võib lugeda mitteoluliseks. Mudeli adekvaatsuse kontroll. Adekvaatsuse mõte on kontrollida valitud mudeli kuju õigsust ning
23.05.1998 a matemaatika riigieksam Lehe haldamist toetavad Topauto ja meelespea.net Põhivariant 1. rida 1998 aasta matemaatika riigieksami ülesannete lahendused 8 - x 12 x +2 1. (5p) Lihtsustage avaldist ning näidake, et selle väärtus ei sõltu x väärtusest. 6 2- x 18 x 21-x Lahendus: Valemid, mida lihtsustamisel kasutati: 1 a n ; ( ab ) = a n bn ; ( a n ) = a n m n m a - n = n ; a m+ n = a m a Vastus: Avaldise väärtus ei sõltu x väärtusest, lihtsustatud avaldises x puudub. Vastus on 2. 2. (10p) Ühistu maast 80% on põldude all ja 51 ha on metsa. Mitte põllumaast 15% on hei
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
