1.Vektorruumis on ainult üks nullelement tõestus: Olgu V vektorruum 2 omadus ütleb, et leidub . Olgu meil vektorruumis 1 ja2 vektorruumid. Vastavalt 2 saame seosed x+ 1 =x, 1 +x =x iga xV, y+ 2 =y, 2+y=y iga yV. Valime teises seoses x= 2 ja kolmandad seoses y= 1 Saame 1+ 2= 2 ja 1 +2= 1 oleme saanud 1=1 +2 =2 , et 1 ja 2 olid V nullelemendid, siis on kõik V nullelemendid omavahel võrdsed, st. Saab olla vaid üks nullelement. 2.Sirgete kimp, mis sisaldab teineteisest erinevaid sirgeid üldvõrranditega s: A1x1+A2x2+A3=0; t: B1x1+B2x2+B3=0; koosneb parajasti nendest sirgetest, mille üldvõrrand avaldub kujul (A1x1+A2x2+A3)+(B1x1+B2x2+B3)=0; kus ja on vabalt valitud reaalarvud, mis ei ole korraga nullid. Tõestus: 1) On vaja näidata, et uus võrrand kirjeldab alati antud kimpu kuuluvat sirget: Olgu P(p1,p2) antud kibu keskpunkt, st Ps ja Pt, mistõttu P koordinaadid peavad rahuldama mõlemat võrradit- A1P1+A2P2+A3=0 ja B1P1+B2P2+B3=0. Olgu ,R, ...
botaanikat ja võimlemist. Click to edit Master text styles Second level Third level Weierstrass suutis kirjutada Fourth level tõendeid mitme toonase tõestamata Fifth level teoreemide nagu Bolzano-Cauchy teoreem, Bolzano-Weierstrass teoreem ja Heine-Borel teoreem. Weierstrass tegi ka märkimisväärseid edusamme matemaatilistee variantide
humanitaarainetele. Matemaatika, füüsika, keemia need on reaalained ning seal toetutakse empiirilistele argumentidele. Nendes õppeainetes õpitakse fakte, mis on kunagiste matemaatikute, füüsikute ja keemikute poolt kirja pandud. Keemias ja füüsikas on igasugused katsed, millega tõestatakse ära faktid. Näiteks, kui õpilane ei tea Pythagorase ja Eukleidese teoreemi, siis on väga raske hakkama saada 9. klassis, kus peaaegu terve aasta käivad ülesanded nende teoreemide põhjal. Keemias on jällegi selline väärt asi nagu Mendelejevi tabel, kui seda ei osata kasutada, siis on raske keemilisi valemeid kokku panna. Geograafias ja ajaloos toetutakse samuti empiirilistele argumentidele. Geograafias on igasugused statistilised andmed, näiteks palju elab kuskil linnas inimesi ühe ruutkilomeetri kohta. Geograafias on ka faktid, näiteks mis aegkonnas tekkisid kivimid. Ajaloos on vanadest aegadest säilinud tekstid,
Materjal õpikus. Lk 9092 (ekvivalentsirelatsioon). Lk 9495, ülesanded 510, 1924. Kontrolltöö lahendused Diskreetsed struktuurid 2. variant Ülesanne 1. Raamat Mittediskreetne matemaatika koosneb 4-st peatükist, igaühes 7 teoreemi. Eksamiülesannete komplekt peab sisaldama 10 teoreemi tõestust, sealjuures igast peatükist vähemalt 2. Mitu võimalust on koostada nendele tingimustele vastav teoreemide tõestustest koosnev eksamikomplekt aines Mittediskreetne matemaatika? Lahendus. Kui komplekt sisaldab 4 teoreemi ühest peatükist ja ülejäänu- test igaühest 2, siis selle peatüki valikuks, millest võetakse 4 teoreemi, on 4 võimalust ja teoreemide endi valikuks 74 võimalust. Kolmest ülejäänud pea- tükist on igaühe puhul kahe teoreemi valimiseks 72 võimalust. Et kõigil sam- mudel on valikuvõimaluste arvud üksteisest sõltumatud, siis korrutamisreegli
Just matemaatika ongi olnud selleks valdkonnaks, millele ratsionalism on sajandeid viidanud, kui jutt on tõsikindla teadmise võimalikkusest. 19. sajandil loodi aga mitteeukleidilised geomeetriad ning see röövis ratsionalismilt tugeva pooltargumendi. Nimelt ei saa ju korraga mõistusest tuleneda nii Eukleidese kui ka näiteks Riemanni geomeetria. Mõlemal suunal on asjadest omad kindlad arusaamad ja samas ka komistuskivid. Näiteks empiristide komistuskiviks on peetud matemaatika teoreemide olemasolu: nende tõesus ei sõltu kogemusest ning neid on võimalik teada kogemuse-eelselt. Ma ei saa öelda, et pooldan täiesti üht või teist filosoofilist suunda, kuid siiski pean end pigem empiristiks kui ratsionalistiks, kuna ma ei usu, et teadmised on kaasasündinud, nagu arvavad ratsionalistid. Ma tean tõsikindlalt asju, mille teadmine ei tulene minu mõistusest, vaid südamest selle põhjal, mida olen kogenud ja hinges tunnetanud
aastasadade vältel geomeetriaõpikute koostamise aluseks. Eukleidese aksioomid : Tema põhiteos on 13nest raamatust koosnev "Elemendid", mis kujutab endast kogu Vana-Kreeka matemaatika suursaavutusi. Teos sisaldab geomeetria kõige varasema loogiliselt range ülesehituse. Selle 13nest raamatustt I VI on pühendatud planimeetriale, VII IX aritmeetikale, X ühismõõdututele suurustele, XI XIII stereomeetriale. Eukleidese poolt kasutatud teoreemide tõestamisviis on püsinud tänaseni. Iga tõestus algab eelduse ja väite esitamisega. Seejärel antakse tõestus koos viitamisega neile varem tõestatud lausetele või aksioomidele, millele rajaneb väite õigeks tunnistamine. Iga tõestus lõpeb sõnadega mida oligi tarvis tõestada. Eukleidesel oli võetud laused, mis oli aluseks ja millele rajanes kogu tema suurteos. Põhilaused jagas Eukleides kolme kategooriasse: definitsioonid, aksioomid ja postulaadid. Postulaadid. Nõutakse: 1. ..
Põhiliselt edendasid seda 6. sajandi teisel poolel Pythagoras ja tema õpilased, kelle arust põhines maailmakorraldus arvulistel suhetel. Ta püüdis mõista arvude olemust ja uuris sellest tulenevaid matemaatilisi probleeme. Kreeka matemaatikud õppisid palju Idamaade, eriti Mesopotaamia teadusest. Kreeklased olid esimesed, kelle jaoks matemaatika polnud lihtsalt praktiliste arvutusalaste näpunäidete kogum, vaid loogilistel üldistustel põhinev terviklik süsteem. Nii ei rahuldunud nad teoreemide sõnastamisega, vaid pidasid vajalikuks kontrollida loogilise tõestamise teel nende üldkehtivust. Meditsiin oli kõige rohkem seotud vaatlustel põhinevate konkreetsete tähelepanekutega ja igapäevase elu vajadustega. Klassikalise Kreeka meditsiinialased teadmised võtab kokku mahukas teos, mille autoriks on peetud kuulsat arsti Hippokratest (5-4 saj.). Teos sisaldab haiguste sümptomite ja kulgemise kirjeldusi ja püüab haigust selgitada looduslike põhjustega
Pythagorase õpilased arenesid tema õpetust edasi, levitades seda ühtlasi kogu Kreekas. Kreeka matemaatikud õppisid palju Idamaade, eriti Mesopotaamia teadusest. Ka näiteks Pythagorase teoreemis sisalduv väide oli seal juba ammusest ajast tuntud. Kuid kreeklased olid esimesed, kellele matemaatika polnud lihtsalt praktiliste arvutusalaste näpunäidete kogum, vaid loogilistel üldistustel põhinev terviklik süsteem. Nad ei rahuldunud matemaatiliste väidete (teoreemide) sõnastamisega, vaid pidasid vajalikuks kontrollida loogilise tõestamise teel nende üldkehtivust. Seega sai matemaatikast alles Kreekas teoreetiline teadus. Ajaloo sündmusi hakkas esimesena uurima ja üles tähendama Herodotos 5. sajandi keskpaiku. Herodotose teos "Historia" (kreeka keeles tähendas see algselt uurimist, järelepärimist) keskendub peamiselt Kreeka - Pärsia sõdadel, kuid lisab ka pika ja põhjaliku eelloo
Teoreemi eeldus ütleb mis on antud või teada. Teoreemi väide ütleb, mida on tarvis tõestada. Teoreemi eelduse ja väite äravahetamisel tekib esiagse teoreemi pöördlause. Kui teoreemi pöördlause on tõene on tegu pöördteoreemiga. Pöördteoreemid võib kokku võtta sõnaühendi parajasti siis abil (sümboliga )näiteks: arv lõppeb 0-iga parajast siis kui ta jagub 10-ga ja vastupidi. 4. vastuväiteline tõestusviis Kui teoreemide tõestamisel üldiselt alustatakse eeldusest ja jõutakse loogilise arutelu käigus väite tõesuseni, siis vastuväitelise tõestuse puhul toimub kogu protsess vastupidi. Vastuväitelise tõestuse korral: 1) alustatakse väitest ja oletatakse, et väide on väär; 2) viiakse läbi arutlus kasutades vajadusel aksioome või varem tõestatud teoreeme; 3) arutluse tulemusel jõutakse järelduseni, et väite eitamine on võimatu, sest viib vastuollu kas teoreemi eelduse või tuntud tõdedega;
on Hippokrates. Teos sisaldab haiguste kulgemise sümptoomide kulgemise kirjeldusi ja püüab haigusi seletada looduslike põhjustega. Olemas ka Hippokratese vane. b) Matem Matemaatikaga tegeles Thales, kuigi veelgi rohkem tegeles Pythagoros. Tema arust põhines maailmakorraldus arvulistel suhetel. Koostas Pythagorose teoreemi. Pidasi vajalikuks kontrollida loogilise tõestamise teel teoreemide kehtivust. c) Ajaloolased Hakati kirjutama eeposte põhjal proosavormis ajalooteoseid, jäetti välja üleloomulikust. Lähema ajaloo sündmusi hakkas 1. Uurima ja täheldama Herodotos. Tema teos "Historia" keskendus Kreeka-Pärsia sõdadele, eelloole ja erinevate rahvaste kommetele. Tema eesmärgiks oli ka õpetliku sisu väljatoomine. 7. Maailmaimed. Teada 1 põhjalikumalt 8
saadakse uus Füüsikaline suurus. 3. Mõõtühikutega sooritatakse tehteid samade eeskirjade järgi nagu arvväärtustega. 1.9. Mida annab füüsika? Mida annab füüsika? · Füüsika tundmine aitab näha ja mõista, mis meid ümbritseb, mis üldse olemas on ja mida kasutada saab. Samuti arendab füüsika õppimine loogilist mõtlemist. Koolifüüsika eesmärgiks pole kunagi olnud seaduste tuletuskäikude ning teoreemide pähetuupimine. Füüsika õpetamine juhib tähelepanu seostele looduses, õpetab sündmusi analüüsima ja tagajärgedele õiget põhjust leidma.
vaja teiste mõistete defineerimisel hulk 8.Aksioom - väide, mis loetakse tõeseks 1)arv 0 on vähim naturaalarv ilma põhjendamata 2)igale naturaalarvule järgneb vahetult ainult üks naturaalarv 3)kaht erinevat punkti läbib ainult üks sirge NB nendele tuginetakse teoreemide 4)igale kahele erinevale punktile A ja B tõestamisel vastab üks kindel positiivne arv-punktide A ja B vaheline kaugus AB 5)iga kahe punkti A ja B korral AB=BA 6)väljaspool sirget olevat punkti läbib ainult üks sirge, mis on paralleelne antud
Pythagorase õpilased arenesid tema õpetust edasi, levitades seda ühtlasi kogu Kreekas. Kreeka matemaatikud õppisid palju Idamaade, eriti Mesopotaamia teadusest. Ka näiteks Pythagorase teoreemis sisalduv väide oli seal juba ammusest ajast tuntud. Kuid kreeklased olid esimesed, kellele matemaatika polnud lihtsalt praktiliste arvutusalaste näpunäidete kogum, vaid loogilistel üldistustel põhinev terviklik süsteem. Nad ei rahuldunud matemaatiliste väidete (teoreemide) sõnastamisega, vaid pidasid vajalikuks kontrollida loogilise tõestamise teel nende üldkehtivust. Seega sai matemaatikast alles Kreekas teoreetiline teadus. Meditsiin See teadusharu oli kõige rohkem seotud vaatlusel põhinevate konkreetsete tähelepanekutega ja igapäevase elu vajadustega. Klassikalise Kreeka meditsiinialased teadmised võtab kokku mahukas teos, mille autoriks oli hiljem peetud 5.-4. sajandil elanud kuulsat arsti Hippokratest. Kui suur osa
operatsioonisüsteemi avaldus, mis peab nõu nüüdsete arvutite tippu. · Kord kui tulemüür on installeeritud, peab kasutaja sammu pidama uusimate paikadega operatsioonisüsteemi ja tulemüüri jaoks. Tarkvara tulemüüri hind võib ulatuda nullist kuni paari tuhande dollarini. Võrgutarkvara õppetool · Võrgutarkvara õppetool õpetab operatsioonisüsteeme, võrke, programmeerimistehnikaid ning rakendusloogikat. Peamisteks uurimisteemadeks on loogika, teoreemide masintõestus, semantiline veeb ja sellega seonduvad tehisintellektiprobleemid Võrgutarkvara eripärad · Suudab opereeruda võrgus. · Novell: NetWare 6.5 on kõige usaldusväärsem teenus kaitstuse, non- stop sissepääs võrku ja informatsiooni vahenditesse. Sa saad kiiresti kohanduda uude äri keskkonda, juhtida ja koostada sinu enda veebi teenuse ja muuta selle tootlikkust kõigile ametnikele. · LANtastic: sisaldab tarkvara Win 2000, NT 4
f ( x) = f ( a) + f ( a )( x - a ) + f ( a )( x - a ) + f ( a )( x - a ) + .... + f ( n ) ( a )( x - a ) + Rn ( x ) 2 3 n 1! 2! 3! n! 7. Teoreemid funktsiooni kasvamise ja kahanemise ning funktsiooni tuletise vahelistest seostest tõestuseta. Nende teoreemide geomeetriline tõlgendus. 1) Kui lõigul [ a, b] diferentseeruv funktsioon on sellel lõigul kasvav, siis on funktsioonil lõigul [ a, b] mittenegatiivne tuletis, s.t. f ( x ) 0 . 2) Kui funktsioon f ( x ) on lõigul [ a, b] pidev ja vahemikus ( a, b ) diferentseeruv, kusjuures a< x 0 , siis see funktsioon lõigul [ a, b] kasvab. 1) Kui funktsioon f ( x ) lõigul [ a, b] kahaneb, siis sellel lõigul f ( x ) 0 .
Eelistab lpetatuid tid, Vasak pool:Verbaalne- snade kasutamine nimetamisel ja kirjeldamisel, defineerimisel Anals- terviku jaotamine osadeks Selgitatakse asju samm sammult Ajatajuja orjenteerumine ajus Jrjestame asjad loogilises jrjekorras(kronoloogia) Ratsionaalne, sest teeme jreldused tuninedes faktidele ja phjustele. Digitaalne numbrite kasutamine arvutamisel ja loendamisel. Mlu- tahteline mlu. Algoritmiline, loogiline- jrelduste tegemine loogika reeglite alustel (teoreemide testamine Neb elu mustades vrvides. Ootamatu kiline reageerimine. Objektiivsed osused. Usaldab keelt ja mlu, kontrollib tundeid. Hoiame ajast kinni ------MINU AJU PROFIIL------ Parem pool: Hea ruumitaju, kujundusvime, ngude mletamine, instruktsioonid, soovin edasi lkata otsustamist Vasak pool: hoian ajust kinni, Loogiline- jrelduste tegemine, jrjestan asjad loogilises jrjekorras, -----TNAPEVA PEREKONNAVORMID NENDE EELISED JA PUUDUSED-----
Matemaatiliste tõestuste meetodid 1. Otsesed tõestuse meetodid M ate maat ilin e s üs teem koos neb aks ioomides t, teoreemides t, definits ioonides t ja defineeri ma ta obj ektides t. A ks ioom on laus e, mid a eeldataks e tõene olevat. D ef in its ioon i kas utataks e uute konts epts ioonide ja mõis t ete s elgitamis eks teadaolev ate mõis te te kaudu. Teoreem on väide, mis on tões tatud. L em m a - väiks e ma is es eis va tähts us ega teoreem, mis on ena mas ti abiks teoreemide tões ta mis e l. Järeld u s - toeree mis t ots es elt j ärelduv tule mus N äited: D efineeri ma ta obj ektid: punktid, jooned D efinits ioon: Kolmnurga ümber mõõ t on võrdne s elle kolmnurga külgede s ummaga Teoree m: Täis nuks e kolmnurga kaatet ite ruutude s umma võrdub hüpotenuus i ruuduga. J äreldus : kui kolmnurga külj ed on võrds e pikkus ega, s iis on s elle kolmnug a nurgad s amut i võrds ed. Teoree mi tões us e põhj endamis t, nimeta taks e tões tus eks .
mõttemaailmaga. See protseduur erineb oluliselt filosoofiliste argumentide ehitusest ja omab hoopis teist funktsiooni. Esimene neist on seotud eelkõige filosoofilise õpetuse loomisega. See on praktiline harjutus või koolitus, mille eesmärk on, et õpetus saaks üheks alalise käitumise viisideks. Sellele järgneb kolme tüüpi filosoofilisi koolitusi, visandatud Epictetuse poolt. Need kirjutatud mõtted moodustavad teise etapi filosoofia õppimisest, vajalik pärast filosoofiliste teoreemide mõistmist. Täites selliseid kirjutatud filosoofilisi harjutusi, püüab Marcus muuta oma hinge ja sisemist korraldust, mis omakorda muudab tema käitumist. Teine etapp filosoofilises hariduses on protsess, milles filosoofia õpilane treenib end panema teooriaid praktikasse ja seega teha edusamme tarkuse poole. 3. ,,Seisukoht Kosmosest" Kõikidest filosoofilistest harjutustest raamatus ,,Iseendale" on ehk kõige esileküündivam ,,Seisukoht Kosmosest"
Tänapäevaseima seletuse maailma ehitusele leidisid antiikatomistid, kellest kuulsaim oli Demokriots tühjuses langevad ja omavahel põrkuvad algosakesed- aatomid. Filosoofia alguses käsitles see vaid maailmakorraldust ja loodust, kuid hiljem oli see iseseisvatele teadusharudele. Matemaatika: Kreeklased võtsid eeskuju Idamaate teadusest, eriti Mesopotaamiast. Nad kirjutasid ning tõestasid praktiliste ülesannete õigsust teoreemide abil. Nii kujunes matemaatikast tõestatud väidete loogiline süsteem. Enim edendas seda Pythagoras, kes sõnastas teoreemi täisnurkse kolmnurga kaatetite ja hüpotenuusi vahekorrast. Meditsiin: Kreeka arstid olid laialdaselt tuntud, isegi Pärsias. Kuulsaimaks neist sai Hippokrates, keda peeti teadusliku käsiraamatu autoriks. Ta väitis, et haiguste põhjustajateks on loodusjõud, mitte jumalad. Ravi juures oli oluline õige toitumine. Hippokratese
3.juulil 1811 kirjutas ta: ,,Tõusen üles kell neli ja olen hommikust õhtuni tegev... Töö ei väsita mind sugugi, vastupidi, see teeb mind tugevamaks ja ma olen parima tervise juures." Prantsusmaa kuulsuse heaks täidetavate ülesannete kõrval leidis Cauchy aega teaduslikuks uurimistööks. Juba detsembriks 1810 oli ta asunud ,,läbi lööma kõiki matemaatikaharusid, aritmeetikast astronoomiani, ebaselgust kõrvaldama ja oma isiklikke meetodeid tõestuste ja uute teoreemide avastamiseks rakendama". Ja selle kõrval leidis too omapärane noormees veel aega teisi õpetada ning aitas Cherbourg'i linnapeal koolieksameid vastu võtta. Nii õppis ta ka õpetamist. Lüüasaamised Venemaal 1812 ja Leipzigi lahingus 1813 sundisid Napoleoni kõrvale jätma Inglismaale sissetungimise plaanid, ja ka Cherbourg'is alustatud tööd jäid soiku. 1813 pöördus ületöötamisest kurnatud Cauchy tagasi Pariisi. Ta oli alles 24-aastane, aga jõudnud juba oma
Seega polnud ta põhimõtteline skeptik, vaid metoodiline kahtleja. Kahtlus oli talle vahendiks või mõtlemise instrumendiks, etselgitada mis on tõde. Descartes ise kasutas põhiliselt väljendit ma mõtlen, järelikult olen olemas, milles mina olen olemas- on esimenepõhiaksioomist tuletatud teoreem. Kasutades deduktiivset meetodit kõik,mis niisama kindel ja ilmne, peab peab olema samuti õige tuletab Descartes üldeegli:- kõik on tõde, mida ma selgesti tajun. Teiste Descartes`i teoreemide hulgas on tähtsamaid: hing on mõtlev ja ainult mõõtlrv substants, Jumal eksisteerib, Jumal on kõikvõimas ja ülim headus, välismaailm eksisteerib ja keha on ruumiliselt ulatuv substants. Jumal näeb Descartes, kui kõige täiuslikumat olendit, kelle olemasolu ta tuletab jumala-ideest.Descartes oli arvamisel, et on olemas kolmesugused ideed ehk mõisted: 1) Sünnipärased-jumala-idee, Cogito,ergosum 2) Juurdetulevad ideed- moodustame kogemusest, mida tajume meeltega
Tões tus . Et a j a b on rats ionaalarvud, s iis võime kirj utada a kuj ul a = ja b = . a2 b2 kus a 2 0 ja b2 0 ; a1 ja a 2 ei oma ühis tegureid, b1 .j a b2 ei oma ühis tegureid. .......................................... J äreldus R ats ionaal arvu korruta mis el kahega s aame rats ionaalarvu. ............................................. M õned tüüpilis ed vead teoreemide tões tamis el : - A rgument eeri taks e näidetega, mõne näite korra teoreemi kehtimine ei tähenda s elle üldis t kehtimis t - S amad e tähis tus te kas uta mine erinevate ter mini te jaoks , näiteks kaks suvalis t paaris arvu m j a n tähis tataks e m= 2*k ja n= 2*k, kui s ee on vale s es t tekib s eos m= n, mis s uvalis te täis arvude korral ei kehti - H üppeline üle minek tulemus e le - Tule mus t ennas t kas utataks e tões tus e sees
Väide on kujul () Eeldus kujul () 5. AKSIOMAATILISED TEOORIAD Mitteformaalse aksiomaatilise teooria skeem: o Fikseeritakse mingi hulk antud teoorias uuritavaid objekte, nendel defineeritud funktsioone ja seoseid ning sümboolika nende tähistamiseks o Teatud hulk väiteid loetakse tõesteks a priori (ilma tõestuseta). Neid väiteid nimetatakse selle teooria aksioomideks o Teooria arendamine seisneb nn. teoreemide tõestamises. Teoreemideks loetakse väiteid, mida saab tõestada ,,ainult aksioome kasutades". Väidete mugavamaks sõnastamiseks võidakse olemasolevate mõistete baasil defineerida uusi Peano aritmeetika aksioomid: o ¬ = 0 o = = o [ + 0 = ] o [ + = ( + )] o [ 0 = 0] o [ = + ] o Kõik valemid kujul 0 &[ ] Aksioomidest P1-P2 saame, et on olemas lõpmatu
(i) Kui on külm või sajab lund, siis ei saja vihma. (j) Suvel ei saja korraga vihma ja rahet. (k) Suvel sajab vihma või rahet, talvel lund. 4.0.2. Lugeda, kasutades samu tähistusi: (a) E F D; (b) D B & F A & E; (c) E & G & D C; (d) E & B G; (e) F & H & D A. 21_fl_i-v NORMAALKUJUD Mitmesugustel põhjustel (nt ülesannete lahendamine, teoreemide tõestamine, etteantud omadustega valemi otsimine) on kasulik viia laused ühesuguse välise kujuga vormi. Literaal on lausemuutuja (positiivne literaal nt B) või lausemuutuja eitus (negatiivne literaal nt ¬B). Mingile lausemuutujate hulga puhul saame koostada elementaarkonjunktsiooni ehk konjunkti (ehk lihtkonjunktsiooni), milles erinevad literaalid on omavahel seotud konjunktsiooni abil. Sama hulga puhul saame koostada ka elementaardisjunktsiooni ehk disjunkti, milles
. . , xn] korral seosed s (T) = S (T) = = c (b − a), mistõttu I∗ (f) = I∗ (f) = c (b − a) , niisiis I (f) = c (b − a) . Paneme tähele, et konstantse funktsiooni (11.4) graafikuga määratud kõvertrapets on ristkülik alusega [a, b] ja kõrgusega c. Tähendab, integraali väärtuseks on sel juhul kõvertrapetsi pindala. Vaatleme Dirichlet’ funktsiooni Suvalise alajaotuse T[x0, . . . , xn] ∈ [0;1] puhul sisaldab iga osalõik [xk−1, xk] eelpoolmainitud teoreemide 1.9 ja 1.10 põhjal nii ratsionaal- kui ka irratsionaalarve. Seetõttu Mk = 1 ja mk = 0 iga k = 1, . . . , n korral. Järelikult seega S (T) − s (T) = 1 iga T ∈ [0;1] puhul. Teoreemi 11.3 põhjal ei ole funktsioon f integreeruv. Niisiis, leidub selliseid tõkestatud funktsioone, mis ei ole integreeruvad. 49. Tõkestatud funktsiooni Reimanni integraal Selgitada, kuidas moodustatakse funktsiooni Riemanni integraalsumma:
siiski katseid testida geomeetriat (Pythagorase teoreemi) tegelikkuses.] [5] Deduktiivse süstematiseerimise ideaalil on kolm aspekti või nõuet: 1) aksioomid on ilmselged tõed (väga lihtsad ja iseenesestmõistetavad); 2) aksioomid ja teoreemid on omavahel deduktiivselt seotud peab olema määratletud lubatavate tuletusreeglite hulk; 3) teoreemid on kooskõlas vaatlustega. (Teoreemide tõestamiseks tuleb aksioomidele lisada defineerimatud algmõisted ehk primitiivsed terminid [hulk hulgateoorias], nende kaudu defineeritavad mõisted ning tuletusreeglid.) Teadusfilosoofid on eriseisukohtadel 2) ja 3) suhtes, kuid on üksmeelsed 1) suhtes. Eukleidese kümnest aksioomist mõned: *. Kõik täisnurgad on võrdsed. *. Mistahes kaks punkti asuvad sirgjoonel. *. Tervik on suurem kui osa. *
kolmnurga kaatetite ja hüpotenuusi vahekorrast. Kreeka matemaatikud õppisid palju idamaade, eriti Mesopotaamia tedusest. Ka pütagoorase teoreemis sisalduv väide oli seal juba ammusest ajast tuntud. Kuid kreeklased olid esimesed, kelle jaoks matemaatika polnud üksnes praktiliste arvutusalaste näpunäidete kogum, vaid loogilistel üldistustel põhinev terviklik süsteem. Kreeklased olid ka esimesed kes ei rahuldunud matemaatiliste väidete (teoreemide) sõnastamisega vaid pidasid vajalikuks kontrollida loogilise tõestamise teel nende üldkehtivust. Alles Kreekas muutut matemaatika teoreetiliseks teaduseks. KLASSIKALINE PERIOOD (V sajandi algus u 330) Kreeka-Pärsia sõjad 500 478 eKr VI sajandi teisel poolel langesid kreeka linnriigid Väike-Aasia läänerannikul Pärsia võimu alla. 500 eKr puhkes nende ülestõus, mille pärslased mõne aasta järel karmilt maha surusid. Mileetos hävitati.
kolmnurga kaatetite ja hüpotenuusi vahekorrast. Kreeka matemaatikud õppisid palju idamaade, eriti Mesopotaamia tedusest. Ka pütagoorase teoreemis sisalduv väide oli seal juba ammusest ajast tuntud. Kuid kreeklased olid esimesed, kelle jaoks matemaatika polnud üksnes praktiliste arvutusalaste näpunäidete kogum, vaid loogilistel üldistustel põhinev terviklik süsteem. Kreeklased olid ka esimesed kes ei rahuldunud matemaatiliste väidete (teoreemide) sõnastamisega vaid pidasid vajalikuks kontrollida loogilise tõestamise teel nende üldkehtivust. Alles Kreekas muutut matemaatika teoreetiliseks teaduseks. KLASSIKALINE PERIOOD (V sajandi algus u 330) Kreeka-Pärsia sõjad 500 478 eKr VI sajandi teisel poolel langesid kreeka linnriigid Väike-Aasia läänerannikul Pärsia võimu alla. 500 eKr puhkes nende ülestõus, mille pärslased mõne aasta järel karmilt maha surusid. Mileetos hävitati.
. . . 81 3.6.1 Lähendamine treppfunktsioonidega . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 3.6.2 Lähendamine tükiti lineaarsete funktsioonidega . . . . . . . . . . . . . . . . 82 3.7 Heine-Boreli lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 3.7.1 Heine-Boreli lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 3.7.2 Bolzano–Cauchy teoreemide tõestus Heine-Boreli lemma abil . . . . . . . . . 84 3.7.3 Weierstrassi teoreemide tõestus Heine–Boreli lemma abil . . . . . . . . . . . 85 3.7.4 Cantori teoreemi tõestus Heine–Boreli lemma abil . . . . . . . . . . . . . . 85 4 Diferentseeruvad funktsioonid 87 4.1 Diferentseeruvuse mõiste ja diferentseerimisreeglid . . . . . . . . . . . . . . . 87 4.1
¬Q ¬P Näitame hoopis, et kehtib ¬Q ¬P. Lause Olgu n täisarv. Kui n2 on paaritu täisarv, siis n on paaritu täisarv. Kontrapositiiv on: Kui n on paaris täisarv, siis n2 on paaris täisarv. TÕESTUS Veendume antud lausega samaväärse lause kehtivuses: Kui n on paaris täisarv, siis n2 on paaris täisarv. Tõepoolest, kui n on paarisarv, siis leidub k nii, et n = 2k. Nüüd saame, et n2 = (2k)2 = 4k2, mis on kindlasti paarisarv. Vastuväiteline tõestus · Matemaatikas kasutatakse teoreemide tõestamisel sageli vastuväitelist tõestusviisi ehk absurdsusele taandamist. · Selle aluseks on välistatud kolmanda seadus: Iga väite V korral on tõene kas väide ise V või selle eitus ¬V, kolmandat võimalust ei ole. · Oletame, et V on väär ehk ¬V on tõene · Kui me jõuame niimoodi edasi arutledes vastuoluni mingi varem teadaoleva fakti või tulemusega, siis oli meie oletus, et ¬V on tõene, tegelikult väär. · Järelikult, V peab olema tõene
In-d on kõik võrdsed selles osas, et on ühtviisi saatuse mängukannid ja saavad filosofeerimise kaudu apaatiani jõuda. Edaspidi hakati stoa fil-s rõhutama rohkem ka kohusetunnet. Paratamatuse järgimine tähendab ka oma kohuse täitmist, mis on ka oluline komponent hingerahuni jõudmises. Filosoofia tähtsaim keskus oli jätkuvalt Ateena. Teadus. Matemaatikas tuntud nimi Eukleides. Tema võttis kokku oma teoses ,,Elemendid" kogu varasema mat kogemuse, esitas selle süsteemitult, teoreemide kaupa, mis olid koos tõestustega. Kujundas väga hästi läbitöötatud terviksüsteemi, mis oli edaspidi väga mõõtuandev. Tegutses Alexandrias 4. saj lõpupoolel. Füüsika tegelane Archimedes, kes elas ja tegutses Sürakuusas 3. saj, sai surma, kui Syrakusa vallutati tormijooksuga. Seega tapeti roomalste poolt sõjategevuses. Olulisin on tema puhul veeväljasurve seadus.....tuli selle peale vannis istudes (keha surus vett välja ,,Heureka!"). Astronoomia seotud geograafiaga
Teoreem 8.37 Kui topoloogilise ruumi X sidusate alamhulka- de Ai , i ∈ I, u ¨hisosa on mittet¨ ¨hend ∪i∈I Ai uhi, siis nende u on samuti ruumi X sidus alamhulk. T˜oestus. Olgu Ai , i ∈ I, sidusad hulgad ruumis X ja ∩i∈I Ai = ∅. (8.6) T¨ahistame A = ∪i∈I Ai . Hulga A sidususe n¨aitamiseks esitame ta analoogiliselt eelmis- te teoreemide t˜oestustega kahe lahtise ja mittel˜oikuva alam- hulga u ¨hendina: A = (B ∩ A) ∪ (C ∩ A) = (B ∪ C) ∩ A, (8.7) (B ∩ A) ∩ (C ∩ A) = (B ∩ C) ∩ A = ∅, (8.8) kus B ja C on lahtised hulgad ruumis X. Siis iga i ∈ I korral Ai ⊂ A ⊂ B ∪ C, B ∩ Ai ⊂ B ∩ A, C ∩ Ai ⊂ C ∩ A, Ai = Ai ∩ (B ∪ C) = (B ∩ Ai ) ∪ (C ∩ Ai ) (8.9) ja seose (8.8) t˜ottu
2. Piirväärtuse tehetega seotud omadused. Piirväärtuse arvutamine. sin(x) 3. Piirväärtuse limx0 x = 1 kasutamine. 4. Funktsiooni pidevuse uurimine. Eksamiteemad 1. Jada tõkestamatu kasvamine ja tõkestamatu kahanemine. 2. Piirväärtuse intuitiivne mõiste. Lõpmatud piirväärtused, ühepoolsed piirväärtused. 3. Piirväärtuse omadused (teoreemide 4.2-4.6 sõnastused). x sin(x) 1 n 4. Tähtsad piirväärtused lim = 1, lim 1 + = e ja lim n = 1. x0 x x x n 5. Pideva funktsiooni mõiste. Pideva funktsiooni muudu omadus (märkus 4.2). 6
Asendame x-i dx-iga valemis (3.2). Saame v~orduse dy = f (a)dx . (3.3) Siit tuleneb j¨argmine valem tuletise jaoks diferentsiaalide suhte kaudu: dy f (a) = . (3.4) dx Seda valemit on mugav kasutada m~onede tuletist puudutavate teoreemide t~oesta- misel j¨argmistes paragrahvides (nt liitfunktsiooni, p¨o¨ordfunktsiooni ja parameet- rilise funktsiooni tuletised). Diferentsiaali peamine m~ote seisneb siiski selles, et temaga on v~oimalik l¨ahendada funktsiooni muutu, st kehtib ligikaudne v~ordus y dy. L¨ahemalt tuleb sellest juttu §3.6. 3.2 N¨ aiteid tuletiste kohta rakendustes. Kiirus ja kiirendus. Vaatleme materiaalse objekti sirgjoonelist liikumist x-teljel. Olgu t aeg.
Asendame x-i dx-iga valemis (3.2). Saame v~orduse dy = f (a)dx . (3.3) Siit tuleneb j¨argmine valem tuletise jaoks diferentsiaalide suhte kaudu: dy f (a) = . (3.4) dx Seda valemit on mugav kasutada m~onede tuletist puudutavate teoreemide t~oesta- misel j¨argmistes paragrahvides (nt liitfunktsiooni, p¨o¨ordfunktsiooni ja parameet- rilise funktsiooni tuletised). Diferentsiaali peamine m~ote seisneb siiski selles, et temaga on v~oimalik l¨ahendada funktsiooni muutu, st kehtib ligikaudne v~ordus y dy. L¨ahemalt tuleb sellest juttu §3.6. 3.2 N¨ aiteid tuletiste kohta rakendustes. Kiirus ja kiirendus. Vaatleme materiaalse objekti sirgjoonelist liikumist x-teljel. Olgu t aeg.
milles need väited kõik tõesed oleksid. Kui väidetesüsteem on kooskõlaline, siis on olemas tõeväärtusjaotus, mille puhul on kõik väidetesüsteemi väited tõesed. Väidetesüsteemi uurimisel võib olla mõistlik neid esitada mõnel nn normaalkujul. 4 Mõnikord vaadeldakse väidete hulkade asemel väidete jadasid. See on tähtis siis, kui oluline on väidete esitamise järjekord, antud juhul seda ei vaadelda. 18 NORMAALKUJUD Mitmesugustel põhjustel, nt ülesannete lahendamine, teoreemide tõestamine, etteantud omadustega valemi otsimine, on kasulik viia laused ühesugusele välisele kujule. Teksti lühendamise huvides on mõistlik defineerida termin literaal, mis rakenduks nii lausemuutujale kui ka selle eitusele. Literaal on lausemuutuja (positiivne literaal, nt B) või lausemuutuja eitus (negatiivne literaal, nt ¬B). Mingi lausemuutujate hulga (väidetesüsteemi) puhul saame koostada elementaarkonjunktsiooni ehk konjunkti (ehk lihtkonjunktsiooni),
tõeväärtusjaotus, mille puhul on kõik väidetesüsteemi väited tõesed. Väidetesüsteemi uurimisel võib olla mõistlik neid esitada mõnel nn normaalkujul. 4 Mõnikord vaadeldakse väidete hulkade asemel väidete jadasid. See on tähtis siis, kui oluline on väidete esitamise järjekord, antud juhul seda ei vaadelda. 18 NORMAALKUJUD Mitmesugustel põhjustel, nt ülesannete lahendamine, teoreemide tõestamine, etteantud omadustega valemi otsimine, on kasulik viia laused ühesugusele välisele kujule. Teksti lühendamise huvides on mõistlik defineerida termin literaal, mis rakenduks nii lausemuutujale kui ka selle eitusele. Literaal on lausemuutuja (positiivne literaal, nt B) või lausemuutuja eitus (negatiivne literaal, nt ¬B). Mingi lausemuutujate hulga (väidetesüsteemi) puhul saame koostada elementaarkonjunktsiooni ehk konjunkti (ehk lihtkonjunktsiooni),
annaabi.ee 
