Leidsid 33 sarnast õppematerjali, mis on seotud failiga "Tekstülesannete lahendamine ". Need materjalid aitavad sul teemat sügavamalt mõista.
lahend, turist, maaly, saiast, franki, grupis, krohvida, maril, lahendid, seisvas, krohvimiseks, murd, lahendame, tõepoolest, kohvikuarve, viiel, eiffeli, rahakott, avame, sulud, jõgi, pikkune, sõidusuund, nimetaja, leidmist, teeksx+ y = 5 46. x + y = 13 2 2 56. Lahenda võrratus 57. 3 x - 2( 2 x + 5) > 2( 3 x +1) - 40 58. 2( x - 3) - 3( 2 x +1) > x -19 59. 5( 2 x + 6 ) - 3( 4 - 3 x ) < 15 x + 28 kujuta selle lahendihulk arvteljel. Leia lahendihulgast kõik täisarvud, mis on suuremad kui -2. 60. 4( 5 - 2 x ) - 2( 3 x + 4 ) > 6 -18 x kujuta selle lahendihulk arvteljel. Leia lahendihulgast kõik täisarvud, mis on väiksemad kui 3. 61. Leia võrratuse 2 x - 3 < 5 kõik positiivsed täisarvulised lahendid. Esita vastus arvuhulgana. 62. Leia võrratuse 5( x + 3) 4 x +12 kõik negatiivsed täisarvulised lahendid. Esita vastus arvuhulgana. 63. Leia võrratuse 12 x - 4( x - 3) < 13 x - 8 selleised täisarvulised lahendid, mis on väiksemad kui 6. Esita arvuhulgana. 64. Merlel on 5 kr rohkem raha kui Karlil. Kui Merle oma rahast 8 kr ära kulutaks ja Karl oma summa kahekordistaks, siis oleks neil kokku 39 kr. Leia mitu krooni raha on Merlel ja mitu Karlil. 65. Kahes kastis on kokku 154 õuna
Vastus: isa 36 aastat ja poeg 12 aastat (24 : 2 = 12 a poeg; tekstis on öeldud 3, võta 1 vähem; 12 + 24 = 36 a isa) 149. Jalgpallivõistkonna 11 liikme keskmine vanus on 22 aastat. Mängu ajal sai üks mängijatest vigastada ja lahkus väljakult. Väljakule jäänute keskmine vanus sai nüüd võrdseks 21 aastaga. Kui vana oli väljakult lahkunud jalgpallur? Vastus: 32 a ( 11 x 22 = 242; 10 x 21 = 210; 242 210 = 32 a) 150. Seisvas vees oleks paadi kiirus 3,2 km/h. Leia paadi kiirus pärivoolu ja vastuvoolu, kui voolu kiirus on 1,8 km/h. Vastus: 5 km/h pärivoolu (liida) ja 1,4 km/h vastuvoolu (lahuta) 151. Kaater liigub pärivoolu kiirusega 18,7 km/h. Leia kaatri kiirus seisvas vees, kui voolu kiirus on 2,7 km/h. Vastus: 16 km/h (lahuta) 152. Mitmes kuus on 30 päeva? Vastus: 11 ( v.a veebruar; ka siis, kui on 31 päeva, on ju ka 30 päeva) 153
( Tõmban maha / ) NB: Pane tähele märke! Sulgude avamine: Kui avaldises esinevad sulud, tuleb nendest vabaneda, seda teguviisi nimetatakse sulgude avamiseks. Näiteks: 2*(5a + 6b) = 2*5a + 2*6b = 10a + 12b (2x 3y + 4z)3 = 3*2x 3*3y + 3*4z = 6x 9y + 12z -(2b + 4c 3a -1) = -2b 4c + 3a + 1 NB: Miinus märk sulu ees muudab märgid sulu sees! Võrrandid: Võrrand on võrdus, mis sisaldab tundmatut suurust. Tundmatu väärtus on võrrandi lahend. Võrrandil võib olla: 1) üks lahend Nt: 2x = 10 | :2 x=5 2) kaks lahendit Nt: x2 = 9 x = 9 x1 = 3 x2 = -3
600t1 + 1200 = t1 (t1 + 2) + 10 t1 (t1 + 2) t1 + 2 600t1 + 1200 = 600t1 + 10 t12 + 20t1 10 t12 + 20t1 - 1200 = 0 t12 + 2t1 - 120 = 0 Ülesanne 1 (5) Lahendus jätkub ... t12 + 2t1 - 120 = 0 Lahendame saadud ruutvõrrandi: 2 2 2 t1 = - ± + 120 = -1± 121 = -1± 11 2 2 Negatiivne lahend t1 = -1 - 11 = -12 on võõrlahend, sest aeg ei saa olla negatiivne. Teiseks lahendiks on t1 = -1 + 11 = 10. Kontrollime selle sobivust. Ülesanne 1 (6) Lahendus jätkub ... Kontrollime lahendi sobivust. Kui esimesel rongil kulus aega 10 tundi, siis saame esimese rongi kiiruseks 600 km v1 = = 60 . 10 h Teisel rongil kulus 10 + 2 = 12 tundi ja tema kiiruseks saame
näiteks osade eksaminandide arvates asusid postkontor (või raamatukogu) Kuul (s.t vahemaad olid mitme tuhande kilomeetri pikkused)! 2 6. (15 punkti) On antud funktsioonid f ( x) = sin 2 x ja g ( x) = cos - x - cos x - . 3 3 1) Näidake, et g ( x ) = - cos x . 2) Leidke võrrandi f ( x) = - cos x lahendid, mis asuvad lõigul [0;2 ] . 3) Joonestage ühes ja samas koordinaatteljestikus funktsioonide y = f ( x) ja y = g ( x) graafikud ning lahendage joonise põhjal võrratus f ( x) < g ( x) lõigul [0;2 ] . ___________________________________________________________________________ Lahendus. 1) 2 2 2 g ( x) = cos - x - cos x - = cos cos x + sin sin x - cos x cos -
Nimetaja: Et nimetaja on muutuja a suhtes ruutkolmliige, siis tuleb esmalt leida selle nullkohad. Saame, et 2a2 11a + 5 = 0; 11 11 2 4 2 5 11 121 40 a ; 22 4 11 9 a ; 4 11 9 a1 5; 4 11 9 2 1 a2 . 4 4 2 Valemi ax2 + bx + c = a(x x1)(x x2) kohaselt, kus x1 ja x2 on ruutvõrrandi ax2 + bx + c = 0 lahendid, saame kirjutada 2a2 11a + 5 = 2(a 5) (a 0,5). Nüüd saame, et 2ab 2 c 2b 2 c 2 d) 6b 3 c 6ab 3 Lahendus: Murdu taandades saame, et Toodud teisenduses on kasutatud seoseid a a b a = (a - b) ja . b b m 2 25 e) 2m 10 Lahendus: x2 y 2 f) x y 2 Lahendus: 3. Taanda järgnevad murrud. 2x 4 a 3 a) ax 2a 3x 6 Lahendus: Tegurdame nimetajat. Saame, et
( ) 72 3 24. Laskevõistlusel koosnes seeria 25 lasust. Möödalasude eest sai karistuspunkte järgnevalt: esimene möödalask üks karistuspunkt ja iga järgneva möödalasu eest 0,5 karistuspunkti rohkem kui eelneva eest . Mitu korda tabas sihtmärki laskur, kes sai 7 karistuspunkti? (21 korda) 25. Leia aritmeetiline jada a1 a3 a5 12; a1 a3 a5 80 .(2;-1;-4;-7....;-10;-7;-4..) 26. Turist tõuseb mäkke, esimese tunniga jõudis ta 800 m kõrgusele, iga järgmise minutiga läbis ta 25 m võrra vähem kui eelmisega. Mitme tunniga jõuab ta 5700 m kõrgusele? (8tundi) 27. Kui jagada aritmeetilise jada üheksas liige teise liikmega saame vastuseks 5, kui aga jagada sama jada kolmekümnes liige kuuendaga saame vastuseks 2 jääk 5. Leia selle jada esimene liige ja jada vahe. (3; vahe 4) 28
m2. Leia, kui lai on tee. Lahendus: Olgu otsitav tee laius x m. Kogu väljaku pikkus koos teega on siis (90 + 2x) m ja laius (40 + 2x) m. Järelikult kogu väljaku pindala on siis (90 + 2x)(40 + 2x) m2. Nii saame võrrandi (90 + 2x)(40 + 2x) = 4136. Selle võrrandi lihtsustamisel saame normaalkujulise võrrandi (Lihtsustamine jääb iseseisvaks tööks.) x2 + 65x 134 = 0, mille lahendid on x1 = 67 ja x2 = 2. Negatiivne lahend antud ülesande lahendina ei sobi. Kontroll: Kui tee laius on 2 m, siis terve väljaku mõõtmed on 40 + 4 = 44 m ja 90 + 4 = 94 m ning pindala seega 44 . 94 = 4136 m2. Vastus: Tee laius on 2 meetrit. Tööd asuvad aadressil www.kool.ee
Ülesannete lahendused pärinevad õpikust "Matemaatika IX klassile"(koost. Tõnu Tõnso ,Tln., 1998), lk-74-78 (ül.269-391) ja kogumikust "Matemaatika kirjaliku eksami ülesanded IX klassile"* (koost. Enn Nurk ja Valvo Paat, Tln., 1996). * ülesanded tähistatud E-tähega. Paljude tekstülesannete lahendamisel jõuame ruutvõrrandini, millel on tavaliselt 2 lahendit. Olenevalt ülesande sisust võib aga ülesande vastuseks sobida ainult üks lahend. Tekstülesannete puhul tuleb võrrandi lahendeid kontrollida ülesande teksti, mitte koostatud võrrandi järgi. Tekstülesande lahendamine võrrandi abil koosneb kolmest etapist: 1. võrrandi koostamine teksti järgi; 2. koostatud võrrandi lahendamine; 3. võrrandi lahendite kontroll teksti järgi, lõplik lahendite leidmine ja vastuse kirjutamine. Mõningaid näpunäiteid võrrandi koostamiseks. Põhinõue - loe teksti ülima tähelepanuga, sest tekstis on kogu ülesande sisu
Ülesannete lahendused pärinevad õpikust "Matemaatika IX klassile"(koost. Tõnu Tõnso ,Tln., 1998), lk-74-78 (ül.269-391) ja kogumikust "Matemaatika kirjaliku eksami ülesanded IX klassile"* (koost. Enn Nurk ja Valvo Paat, Tln., 1996). * ülesanded tähistatud E-tähega. Paljude tekstülesannete lahendamisel jõuame ruutvõrrandini, millel on tavaliselt 2 lahendit. Olenevalt ülesande sisust võib aga ülesande vastuseks sobida ainult üks lahend. Tekstülesannete puhul tuleb võrrandi lahendeid kontrollida ülesande teksti, mitte koostatud võrrandi järgi. Tekstülesande lahendamine võrrandi abil koosneb kolmest etapist: 1. võrrandi koostamine teksti järgi; 2. koostatud võrrandi lahendamine; 3. võrrandi lahendite kontroll teksti järgi, lõplik lahendite leidmine ja vastuse kirjutamine. Mõningaid näpunäiteid võrrandi koostamiseks. Põhinõue - loe teksti ülima tähelepanuga, sest tekstis on kogu ülesande sisu
Ülesannete lahendused pärinevad õpikust "Matemaatika IX klassile"(koost. Tõnu Tõnso ,Tln., 1998), lk-74-78 (ül.269-391) ja kogumikust "Matemaatika kirjaliku eksami ülesanded IX klassile"* (koost. Enn Nurk ja Valvo Paat, Tln., 1996). * ülesanded tähistatud E-tähega. Paljude tekstülesannete lahendamisel jõuame ruutvõrrandini, millel on tavaliselt 2 lahendit. Olenevalt ülesande sisust võib aga ülesande vastuseks sobida ainult üks lahend. Tekstülesannete puhul tuleb võrrandi lahendeid kontrollida ülesande teksti, mitte koostatud võrrandi järgi. Tekstülesande lahendamine võrrandi abil koosneb kolmest etapist: 1. võrrandi koostamine teksti järgi; 2. koostatud võrrandi lahendamine; 3. võrrandi lahendite kontroll teksti järgi, lõplik lahendite leidmine ja vastuse kirjutamine. Mõningaid näpunäiteid võrrandi koostamiseks. Põhinõue - loe teksti ülima tähelepanuga, sest tekstis on kogu ülesande sisu
Kuna võrrandi mõlemal poolel on üks ja sama tegur (x + 3), siis tekib kohe kiusatus sellega läbi jagada. Nii saame võrrandi x + 2 = 2x + 1, millest x = 1. Kui aga lahendame esialgse võrrandi teisiti, näiteks avame kõigepealt sulud ja seejärel lahendame tekkinud võrrandi, siis saame hoopis rohkem lahendeid: (x + 2)(x + 3) = (2x + 1)(x + 3), x2 + 5x + 6 = 2x2 + 7x + 3, millest x2 2x 3 = 0. Selle võrrandi lahendid on 1 ja (3). Kumb lahendus on siis õige? Kuhu kadus esimese lahenduse korral lahend (3)? Esimene lahendus on vale, sest seal jagati võrduse pooled tundmatut sisaldava avaldisega, seda aga ei tohi teha. Sellise jagamise tulemusena kaovadki lahendid. Leia ise, mis on võrrandi (x +1)(x2)(x3)(x4) = (x2)(x3)(x4) lahendid. Ülesandeid · Lahendada võrrandid: x2 5 x
millest järelduvad seosed s = vt s ja t = . v Ülesanne 2 (2) Samuti peame teadma, et samasuunaliste liikumiste liitliikumisel kiirused liituvad: v = v1 + v2 , vastassunaliste kiiruste korral aga lahutuvad: v = v1 - v2 . Antud ülesande korral tähendab see seda, et kui tähistada laeva kiirus seisvas vees tähega v, siis pärivoolu liigub ta kiirusega v + 2 km/h, vastuvoolu aga kiirusega v - 2 km/h. Peale laeva kiiruse v on tundmatuks ka ülesandes küsitud sadamatevaheline kaugus. Tähistame selle tähega s. Ülesanne 2 (3) Kuna teepikkus on aja ja kiiruse korrutis, siis pärivoolu liikumisel saame sadamatevahelise kauguse leida valemi pärivoolu sõites kulub 4 tundi s = (v + 2)t = 4(v + 2) = 4v + 8
= ± = ± x1 = + = = 6, x2 = - = = 5. 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 Ülesanne 1 (5) Lahendus jätkub ... Tundmatule x leidsime 2 väärtust. Tundmatu y väärtuste leidmiseks kasutame teist võrrandit: x + y = 11 1) x = 6 6 + y = 11 y = 11 - 6 = 5 2) x = 5 5 + y = 11 y = 11 - 5 = 6 Saadud kaks lahendit on sisuliselt samaväärsed: üks otsitavatest arvudest on 5, teine 6. Kontrollime kas, lahend rahuldab ülesande tingimusi. 1) Arvude korrutis: x y = 5 6 = 30. 2) Arvude summa: x + y = 5 + 6 = 11. Ülesanne 1 (6) Vastus ... Osutus, et leitud arvud rahuldavad ülesande tingimusi ja võime välja kirjutada vastuse: Vastus: Otsitavad arvud on 5 ja 6. Ülesanne 2 Kahe arvu summa suhtub nende korrutisse nagu 4 : 15, samade arvude vahe suhtub nende summasse nagu 1 : 2. Leida need arvud. Lahendus
arvuga või muutujat sisaldava avaldisega, mis ei võrdu nulliga muutuja ühegi väärtuse korral LINEAARVÕRRAND Lineaarvõrrand (ehk esimeseastme algebraline võrrand)- võrrand, milles tundmatu suurim astendaja (peale lihtsustamisi) on 1 ja kus ei esine tundmatuga jagamist. Iga lineaarvõrrandi saab teisendada kujule ax + b = 0 või ax = b (x on tundmatu; a ja b on arvud). Lineaarvõrrandi lahendiks on Kui a = 0 ja b 0, st. võrrand on kujul 0 x b , siis võrrandil lahendid puuduvad. Kui a = 0 ja b = 0, st. võrrand on kujul 0 x 0 , siis sobib võrrandi lahendiks mistahes reaalarv. Näide 1 3x = -9 on lineaarvõrrand x(x + 2) - 6 = x2 on lineaarvõrrand, sest peale lihtsustamisi omandab see kuju: 2x = 6 (x2-ga liikmed koonduvad välja) a2 = 25 ei ole lineaarvõrrand, sest tundmatu suurim astendaja on 2. (x+1)/x + x = 4 ei ole lineaarvõrrand, kuna esineb muutujaga jagamine.
MAJANDUSMATEMAATIKA I Ako Sauga Tallinn 2003 SISUKORD 1. MUDELID MAJANDUSES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Mudeli mõiste. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Matemaatiliste mudelite liigitus ja elemendid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Matemaatilise mudeli struktuur ja sisu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2. FUNKTSIOONID JA NENDE ALGEBRA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Arvud ja nende hulgad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Funktsionaalne sõltuvus . . . . . . . . . .
Ristküliku külgede pikkused on leitavad täisnurkses kolmnurgas kehtivate trigonomeetriliste seoste kaudu. Toru läbimõõdu arvutamiseks on vaja teada ringjoone pikkuse valemit ja toru ruumala leidmiseks silindri ruumala valemit. Lahendused I 1) Funktsioon y 2 sin x on antud lõigul 0; 2 . Funktsiooni y f (x) nullkohad on võrrandi f ( x) 0 lahendid. 2 sin x 0 sin x 0 x1 0, x 2 ja x3 2 , kui 0 x 2 . Seega x0 0; ; 2 funktsiooni nullkohad on 0, ja 2 . Funktsiooni muutumispiirkond on Y 2;2 . 2) Funktsiooni graafiku joonestamise hõlbustamiseks koostame argumendi x sobivate väärtuste ja neile vastavate funktsiooni väärtuste tabeli. 5 7 3 11
10. Punkt liigub mööda sirgjoont, keha poolt läbitud teepikkuse võib arvutada valemi 2 s( t ) = 2 sin 4t + , leia vähim ajahetk, millal on keha kiirus on 4 . 3 1) 0,125 2) 0,25 3) 0,333 4) 0,375 5 -4 B-1 Arvuta +6 5 . 5 +2 B-2 Leia võrrandi 13 3 2 -2 x + 3 5 -2 x = 1080 lahend või lahendite summa. ( ) B-3 Leia võrrandi log 4 x 2 - 7 x + 49 = log 2 ( 2 x - 7 ) lahend või lahendite summa. log 0, 5 tan 3 3 3 - 2 7 9 arcus cos( - 0,5) - 3 2 B-4 Arvuta + + .
Ühe muutuja funktsioonid 2 Ülesanded iseseisvaks lahendamiseks Vastused Q 2 1.Kulufunktsioon on C(Q) = 600 + 4Q + 200 ning tulufunktsioon R(Q) = 20Q, kus Q on tootmismaht. Leida M C(8) ja M R(4). Leida püsikulu ja muutuvkulu, kui Q = 10. Leida ka tooteühiku hind. Q Lahendus: M C = C (Q) = 4 + 100 . M C(8) = 4.08. Toodangu suurendamisel kaheksast tooteühikust üheksa tooteühikuni suurenevad kulud 4.08 rahaühiku võrra. M R = R (Q) = 20. Nagu näha MR ei sõltu toodangu hulgast. Toodangu suurendamisel ühe ühiku võrra tulu suureneb alati 20 rahaühiku võrra. Kulufunktsiooni vabaliige on 600, mis ongi püsikuluks (see ei sõltu toodanguhulgast Q). Q2 102 Muutuvkulu avaldub kujul T V C(Q) = 4Q + 200
LIIKUMISHULK JA JÕUIMPULSS 45. Pall massiga 0.40 kg visatakse vastu kiviseina, nii et ta liigub horisontaalselt edasi- tagasi. Tema kiirus enne põrget on 30 m/s ja pärast põrget 20 m/s. Leida liikumishulga muut ja keskmine jõud, mida sein avaldab pallile, kui põrge kestab 0.010 s. Lahendus: Joonis. Palli mass m = 0,4 kg Palli kiirus enne põrget v1= -30 m/s Palli kiirus pärast põrget v2= 20 m/s Põrke kestvus t = 0,010 s Liikumishulk e. impulss (vektor) ⃗ ⃗ ⃗ 0,4 30 / = 2 / ⃗ 0,4 20 8 / Liikumishulga muut avaldub ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗ 8 2 / Keskmise jõu leiame järgmiselt ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ / ⃗⃗ = 2000 / = 2000 N
VASTUSED 3-1 25 klienti. 3-2 Mees 35 kr, naine 105 kr. 3-3 80 kr. 3-4 500. 3-5 Firmast B, kui üle 50 km. 3-6 Alla 1 milj tk variant B. 3-7 15. 3-8 a) 25 000 tk; b) 150 000 tk. 3.2 Ruutvõrrandid Ruutvõrrandiks nimetatakse võrrandit, kus otsitava muutuja suurim aste on 2. Ruutvõrrandi lahendamiseks tuleb kõik liikmed viia vasakule poole võrdusmärki (paremale poole jääb 0) ja kasutada ruutvõrrandi lahendivalemit. Ruutvõrrandi + + = lahendid leitakse seosest -± - = Näide 3-3 Tasuvuspunktid Olgu meil leitud ettevõtte kasumi P sõltuvus hinnast p järgmine: P(p)=-40p2+16 000p-1 200 000. a) Millise hinna korral on kasum null? b) Millise hinna korral on kasum 300 000 kr? Lahendus (a): Et leida, millise hinna korral on kasum null, paneme kasumi võrduma nulliga ning lahendame
Näiteks: või või , kuid mitte nt. 4 x x 2 . 3 Tegurdamine e. korrutiseks teisendamine Tegurdamisel võib kasutada järgmisi võtteid: 1) Ühise teguri sulgudest välja toomine: (2x-6x)=2x(x+3) 2) Valemite rakendamine: 4x²-25y²=(2x+5)(2x-5) 3) Ruutkolmliikme tegurdamine: ax² + bx + c = a(x - x1)(x - x2) , kus x1 ja x2 on võrrandi ax²+bx+c=0 lahendid. 5 ± 25 - 4 2 3 5 ±1 Näiteks: 2x²-5x+3=2(x-1)(x-1,5), sest x = = , x1=1 ja x2=1,5 22 4 4) Rühmitamine: x³+3x²-4x-12=x²(x+3)-4(x+3)=(x+3)(x²-4) Näidisülesanne: lihtsusta: -K ± K ² -ac * K-valem: kui ax²+2Kx+c=0, siis x= a
Ülesanded lahendustega 1. Maalil ja Juulil on kokku 480 krooni. Kui Maali annaks Juulile 120 krooni, siis jääks talle niisama palju raha, kui oli enne Juulil. Kui palju oli raha Maalil ja Juulil? Lahendus: Olgu Maalil x krooni ja Juulil y krooni. Kokku on neil siis x + y = 480 krooni. Kui Maali annaks Juulile 120 krooni, siis jääb talle x - 120 krooni, mis on niisama suur summa, kui oli enne Juulil x 120 = y. Saame võrrandisüsteemi: Kontroll: Maalil ja juulil on kokku 300 + 180 = 480 krooni. Kui Maali annaks Juulile 120 kooni, siis talle endale jääks 300 120 = 180 krooni, mis on samapalju kui Juulil esialgu. Vastus: Maalil oli 300 krooni ja Juulil 180 krooni. 2. Arvuta kujundi pindala, mida piiravad jooned x = 0; y = -2; y = 5; y = -2x + 10. Lahendus: Leiame joonte lõikepunktid. 1) Joonte x = 0; y = -2 lõikepunkt on A(0;-2). 2) Joonte y = 5 ja y = -2x + 10 lõikepunkt. Koostame võrrandisüsteemi: Joonte y = 5 ja y = -2x + 10 lõikepunkt on B(2,5; 5
a1 = a a0 = 1 a n a n am an © Allar Veelmaa 2014 5 10. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium LINEAAR- JA RUUTVÕRRANDI LAHENDAMINE 1) Lineaarvõrrandi ax + b = 0 lahendamine b Kui a ≠ 0, siis lahend on x a Kui a = 0, siis on kaks võimalust: a) kui b = 0, siis võrrandi 0 · x = 0 lahendiks sobib iga arv. b) kui b ≠ 0, siis võrrandil 0 · x = b lahendeid ei ole. 2) Ruutvõrrandi ax2 + bx + c = 0 lahendamine: Kui a = 1, siis sellist võrrandit nimetatakse taandatud ruutvõrrandiks ja esitatakse kujul x2 + px + q = 0 ning see lahendatakse valemiga p p2
NB ruutvõrrand võib olla normaalkujuline, täielik, mittetäielik, taandamata, taandatud lahendeid.2 võrrand x -x-12=0 asendada antud arv võrrandi vasakusse poolde ja kontrollida, kas V=0, sest P=0 2 V=0 -0-12=-12 arv 0 ei ole lahend 2 V=0,2 -0,2-12=-12,16 arv 0,2 ei ole lahend 2 V=(-3) -(-3)-12=0 arv -3 on lahend 2 V=0,5 -0,5-12=-12,25 arv 0,5 ei ole
punkte ei ühendataks sirglõikudega ning parabooli tipus (haripunktis) ei oleks teravikpunkti. Mõisted ,,parabooli haripunkt" ja ,,parabooli telg" võtame kasutusele kohe, niipea kui oleme joonestanud esimesed paraboolid. Teema ,,Ruutfunktsioon y = ax2 + c" visualiseerimiseks soovitan kasutada programmi GeoGebra. Muutes liuguri abil arvu c väärtusi näeme, et tekib terve ,,parv" ühise teljega paraboole (vt joonis 16). Kui võrrandil ax2 + c = 0 on lahendid, siis lõikab parabool x-telge (üldisemalt: abstsisstelge) kahes punktis. Nende punktide x-koordinaate nimetatakse funktsiooni 11 nullkohtadeks. Programmi GeoGebra kasutajad peavad arvestama sellega, et kirjutades sisendreale korralduse Nullokohad[x2-1] saame algebravaatesse tulemuse A(1; 0) ja B(1; 0), st nullkohtade asemel saame lõikepunktid x-teljega.
a (vaata joonist) c = a 2 + b2 , r r kusr c on vektori c pikkus ning a ja b on vastavalt vektorite a ja b pikkus. Tasub teada, et füüsikas liidetakse alati samale füüsikalisele suurusele vastavaid vektoreid (kiirusvektorit kiirusvektoriga, jõuvektorit jõuvektoriga, jne) 7 Näidisülesanne 5. Paadi kiirus seisvas vees on 4 m/s. Mitme meetri võrra kannab vool paati edasi kui sõudjad hoiavad paadi suunda kogu aeg risti vooluga, mille kiirus on 1 m/s? Jõe laius on 100 m. Lahendus. Antud; Paadi liikumise kujutamiseks v1 = 4 m / s teeme joonise, millel vektor r v2 = 1 m / s v1 .kujutab paadi kiirusvektorit s1 = 100 m ja mis algtingimuste kohaselt s2 = ? on kaldaga (samuti ka rjõe
) 3 3.7 Lineaarvõrrand Lineaarvõrrandi üldkuju on ax = b. b Kui a ≠ 0 , siis saame võrrandi lahendiks x = . a Kui a = 0 , siis võrrand omandab kuju 0 ⋅ x = b . Kui seejuures b = 0 , siis on võrrandil lõpmatu hulk lahendeid (lahendiks on iga reaalarv). Kui aga b ≠ 0 , siis lahend puudub. Lineaarvõrrandi lahendamiseks on vaja 1) viia võrrand üldkujule, jättes tundmatut sisaldavad liikmed vasakule poole ja vabaliikmed paremale poole võrdusmärki; 2) jagada mõlemad pooled tundmatu kordajaga. 22 3.8 Ruutvõrrand Ruutvõrrandi üldkuju on ax 2 + bx + c = 0 , kus a ≠ 0 . Lahendite leidmiseks kasutatakse valemit −b ± b 2 − 4ac
2 Bx Ax a2 b2 ; 34 2 6 0. 1 x1 y1 b a 2 3 ehk teisiti kirjutatult S . 2 x2 y2 Kolmandas näites leitud võrrandisüsteemide lahendid esituvad determinantide abil järgmiselt: Märkus: Saadud valem kolmnurga pindala arvutamiseks kehtib ka siis, kui kolmnurga tipu A juures oleks nürinurk või täisnurk. Sel juhul valemi tuletus- c1 b1 a1 c1 käik erineks mõnevõrra eelnevast, kuid lõpptulemus on sama. c2 b2 a2 c2
Näiteks süsteemi puhul: Süsteemi kordajatest ning vabaliikmetest tuleb välja kirjutada veerummatriksid A1, A2, ... , An ja b. Uue süsteemi leidmiseks tuleb süsteemi igas reas vasakul pool korrutada vastava järjekorranumbriga tundmatu veerumaatriks esimese tundmatu veerumaatriksiga, seejärel teisega jne. Paremale poole jääb vastava järjekorranumbriga tundmatu veerumaatriksi korrutis vabaliikmete veerumaatriksiga. Märkused. 1) Saame võrrandisüsteemi lahendid, kui projekteerime parema poole b veergude ruumi. 2) Kui parem pool b kuulub veergude ruumi, on Ax = b täpne lahend leitav Gaussi meetodiga. 3) TEOREEM: Normaalvõrrandisüsteemil ATA = ATb on ühene lahend, kui maatriksi A veerud on lineaarselt sõltumatud. 4) Gaussi teisenduste korral vähimruutude lahend muutub, see pole vähimruutude ülesandes lubatud. 4. Kumerad hulgad
v2 = 5 s s = 100m Leida: t=? Lahendus: Arvestame kaugusi punktist A, aega aga esimese keha liikuma hakkamise hetkest. Positiivseks loeme suuna A-st B suunas. Sel juhul esimese keha jaoks a t2 x 1 = v1 t + 1 2 ja teise keha jaoks x 2 = s - v 2 ( t - 1s ) . Et kohtumishetkel x1 = x2, siis a t2 v1 t + 1 = s - v 2 ( t - 1s ) 2 , millest t = 7 s. Teine lahend, mis on negatiivne, ei sobi. Vastus: Kaks keha kohtuvad 7 sekundit pärast esimese keha liikuma hakkamist. Koostas Kristiina Paunel (Kasutatud kirjandus: B. Kogan. Ülesandeid füüsikast. Tln, 1976.) Tööd asuvad keskkonnas www.kool.ee
Kasutame üldlahendi valemit x = arccos m + 2n , kus n Z . 3 2 cos x - = , 4 2 3 2 x- = arccos + 2n , n Z ; 4 2 3 x- = + 2n , n Z ; 4 4 3 1. x = + + 2n = + 2n = ( 1 + 2n ) , n Z 4 4 3 2. x = - + + 2n = 0,5 + 2n = 0,5 ( 1 + 4n ) , n Z 4 4 Võrrandi lahendid on x = ( 1 + 2n ) , n Z ; x = 0,5 ( 1 + 4n ) , n Z Kontroll: Kui n = 0, siis x1 = ( 1 + 2 0) = ; x2 = 0,5 ( 1 + 4 0 ) = 0,5 sin - cos = 0 - ( -1) = 1 v = p sin 0,5 - cos 0,5 = 1 - 0 = 1 v = p Lahendid on x1 = ; x2 = 0,5 3) Lahendame võrratuse f (x) > 0 lõigus [0; ] . Võrratuse võib lahendada graafiliselt. Selleks tuleb joonestada funktsioonide y = sinx ja y = cosx graafikud lõigul [0; ]
juurdekirjutamisega saada 8 sõna pikkusega n + 1. Kõik saadavad sõnad on erinevad ja rohkem sõnu pikkusega n + 1 ei ole. Leida avaldis, millest on võimalik ainult naturaalarvu n järgi välja arvutada, mitu sõna pikkusega n keeles leidub. Lahendus. Olgu An kõigi n-täheliste sõnade arv. Ülesande tingimuste põh- jal kehtib seos An+1 = 2An + 8An-1 . Algtingimused on A1 = 1, A2 = 1. Karakteristliku võrrandi q 2 - 2q - 8 = 0 lahendid on q1 = 4, q2 = -2. Järelikult rekurrentse võrrandi üldlahend on An = c1 · 4n + c2 · (-2)n . Algtingimuste põhjal saame võrrandisüsteemi 4c1 - 2c2 = 1 16c1 + 4c2 = 1, mille lahendid on c1 = 81 , c2 = - 41 . Kõigi n-täheliste sõnade arv on seega 1 n 1 An = · 4 - · (-2)n . 8 4
annaabi.ee 
