docstxt/135420403745.txt
docstxt/135720483086.txt
5. Kahekordse integraali geomeetrilised rakendused: ruumala, tasapinnalise ja ruumilise kujundi pindala, näiteid 1) Ruumala Kui Kahekordse integraali definitsioonist nägime, et kui integreeruvuspiirkonnas D unktsioon f suuremvõrdne 0, siis kahekordne integraal üle piirkonna D võrdub keha ruumalaga, mis on piiratud pinnaga z=f(x,y), xy-tasandiga(z=0) ja silindrilise pinnaga, mille moodustajad on paralleelsed z-teljega ja juhtjooneks piirkonna D rajajoon: V=ʃʃDf(x,y)dxdy 2)Tasandilise kujundi pindala: S=ʃʃDdxdy 3)Ruumilise kujundi pindala: Kui pinna z=f(x,y) proj. xy-tasandil on D, kusjuures fn koos oma osatul. on pidev selles piirkonnas D, on selle pinnatüki pindala: S=ʃʃDsqrt(1+z’x2+z’y2) 6. Kahekordse integraali füüsikalised rakendused: aine mass, tasandilise kujundi masskese, tasandilise kujundi inertsmoment, näide 1)Aine mass: Olgu piirkonnas D antud mingi aine pindtihedus γ= γ(x,y), siis piirkonnas D leiduva aine mass: m=ʃʃDγ(x,y)dxdy
viisist ega punktide (xi, yi) valikust Kõversilindri ruumala Kõverjoonelise silindri ruumala on võrdne kahekordse integraaliga funktsioonist f(x,y)>=0 üle piirkonna D, kui silinder on pealt piiratud pinnaga z=f(x,y) ja alt pinnaga D Tasandilise kujundi pindala Tasandilise kujundi D pindala SD= dxdy D Tasandilise kujundi Kui tasandilise kujundi pindtihedus on antud pideva funktsiooniga (x,y), kus mass (x,y) D, siis tasandilise kujundi D mass avaldub kahekordse integraalina üle piirkonna D: mD= ( x , y )dxdy
summa. o Kui funktsioon f(x; y) on kinnises piirkonnas D pidev, siis integraalsummade jadal leidub osapiirkondade si maksimaalse läbimõõdu nullile lähenemisel ja n lõpmatu kasvamisel piirväärtus. Seda piirväärtust nimetatakse funktsiooni f(x; y) kahekordseks integraaliks üle piirkonda D ja tähistatakse sümboliga f (x , y)dxdy D Kahekordse integraali rakendusi (tasandilise kujundi mass, massikese, inertsimomendid) o Tasandilise kujundi pindala. Olgu xy-tasandil asetsev kujund D kinnine ja mõõtuv. Selle kujundi D pindala SD avaldub valemiga: SD = dxd y D o Kujundi ruumala. Olgu keha E alt piiratud kinnise mõõtuva piirkonnaga D; ülalt
ruumis. (tasand, prisma, püramiid, tüvipüramiid, silinder, koonus, tüvikoonus, kera, kuup) Hulktahukaks nimetatakse geomeetrilist keha, mida piiravad ainult hulknurgad. Hulktahukat piiravaid hulknurki nimetatakes hulktahuka tahkudeks, hulknurkade tippe hulktahuka tippudeks ja hulknurkade külgi hulknurga servadeks. Hulktahukad jagunevad kumerateks ja mittekumerateks. Pöördkehadeks nimetetakse geomeetrilist keha, mis tekib tasandilise kujundi pöörlemisel ümber oma telje. Telglõikeks nimetatakse pöördkeha lõiget telge läbiva tasandiga. Prisma St=2Sp+Sk Sp=a*b (Sp=4a) Sk=P*H P=2a+2b V=Sp*H H=V/Sp Kaldprisma korgus on lühem, kui külgserva pikkus. Püramiid St=Sp+Sk Sp= vastavalt, kas põhi on ruut, ristkülik või kolmnurk. Sk=a*h(m)*n/2 Sk=P*n/2 P=a*n V=Sp*H/3 Kuup St=(4*a)6 Sk=4*a V=Sp*H Kera Kera on pöördkeha. Kera pinda nimetatakse sfääriks. Suur ringi pöörlemisel ümber oma telje moodustub kera.
kasutada masinapumbas. Seda kasutatakse ka jalgrattal. Ekstsentrik on ringjoonelise kontuuriga ketas, mille pöörlemistelg on geomeetrilise teljega paralleelne, kuid ei asu geomeetrilisel teljel. Pöörlemistelje ning geomeetrilise telje vahet nimetatakse ekstsentrilisuseks. Kasutamisel nukina tagab ekstsentrik nukkmehhanismi sujuva töö, sest survenurk jääb muutumatuks. Nukkmehhanism mehhanism mis sisaldab muutuva kõverusega kõrgpaari elemendiga lüli. Lihtsaima kolmelülilise tasandilise nukki vedav lüli on kas pöörlev või nookuv ketasnukk või translatoorselt edasi tagasi liikuv liugurnukk Veetav lüli translatoorselt edasi-tagasi liikuv tõukur või nookur. Veetava lüli kiirenduse sõltuvuse ajast (liikumisseaduse) määrab nuki kuju. Nukud on kompaktsed, nende koostööd saab hõlpsasti korraldada, neile saab anda kõiki võimalikke liikumisseadusi. Kuid nad kuluvad üsna kiiresti ja võivad põhjustada vibratsiooni ja lööke. Nukke kasutatakse
24. Kahekordse integraali omadused (sh omadused 3-5 koos põhjendustega). 25. y- ja x-telje suhtes regulaarsed piirkonnad. Kahekordse integraali esitus kaksikintegraalina y- ja x-telje suhtes regulaarsete piirkondade korral. Millal nimetatakse piirkonda regulaarseks? 26. Ruumala arvutamine kahekordse integraali abil. Tuletada vastav valem. 27. Muutujate vahetus kahekordse integraali all. Kahekordse integraali teisendamine polaarkoordinaatidesse (tuletada vastav valem). 28. Tuletada tasandilise kujundi massi valem pindtiheduse kaudu. Tuletada tasandilise kujundi masskeskmete koordinaatide valemid pindtiheduse kaudu. 29. Kolmemuutuja funktsiooni integraalsumma ja kolmekordse integraali definitsioonid. Massi arvutamine ruumtiheduse kaudu (tuletada vastav valem). 30. Kolmekordse integraali omadused (sh omadused 3-5 koos põhjendustega). 31. Kolmekordse integraali esitamine kolmikintegraalina. 32. Muutujate vahetus kolmekordse integraali all. 33
mõjusirgete lõikepunkti ja seejärel jõurööpküliku abil asendada nendega ekvivalentse resultandiga Fres. Võib ka joonestada jõukolmnurga (joon2), kus liidetavad jõud kujutatakse teineteise järel, resultant on suunatud esimese vektori algusest teise lõppu. Üldjuhul koosneb koonduv jõusüsteem rohkematest jõududest. Need võib üle kanda mõjusirgete lõikepunkti ja järjekorras liita jõukolmnurkade abil. Resultant on suunatud esimese jõu algusest viimase lõppu.(joon3). Tasandilise jõusüsteemi korral on resultanti võimalik leida graafiliselt, kujutades jõude valitud mõõtkavas ja seejärel mõõtes resultandi joonisel. Üldjuhul toimub resultandi ja suuna määramine arvutuslikult, kasutades vektoralgebra teoreemi: summavektori projektsioon koordinaatteljel võrdub liidetavate vektorite projektsioonide algebralise summaga. Ruumilise jõusüsteemi korral: Fres x =F1x + F2x + ... Fix (sama ka Fres y ja z) ; resultandi moodul: Fres=F2resx+F2resy+F2resz ja
Sk= PH V= SpH Sp sõltub põhja kujundist St= Sk+2Sp Püramiid: Kaldpüramiid ja püstpüramiid 1 tahk on hulknurk ja ülejäänud tahud on ühise tipuga kolmnurgad Kõrgus on tipu kaugust põhjast, alati põhjaga risti. Tipp on külgservade ühine punkt Korrapärased ja mittekorrapärased püramiidid m = külje kõrgus ehk apoteem Sk=Pm/2 Sp sõltub põhja kujundist St= Sk+Sp V=SpH/3 Pöördkehad Pöördkehad on ruumilised kujundid, mis tekivad mingi tasandilise kujundi pöörlemisel ümber ühe külje. Silinder tekib ristküliku pöörlemisel Külgtahk on ristkülik. Silindritelg ristküliku külg, mille ümber ta pöörleb Selleks, et silindril kõik ära arvutada on vaja tema raadiust ja kõrgust Moodustaja = m telje vastas asetsev ristküliku külg. Telje ja moodustaja pikkus on silindri kõrgus. Külgpind see osa silindrist, mille kujundab moodustaja Sp= r Sk= CH C=2 r St= 2Sp + Sk V=SpH
Pöördkehad reede, 10. mai 2013. a Külli Nõmmiste Jõhvi Gümnaasium Definitsioon Pöördkehaks nimetatakse geomeetrilist keha, mis tekib tasandilise kujundi pöörlemisel ümber kujundi tasandil asetseva sirge (telje) Pildid: http://mathworld.wolfram.com/ Silinder Silindriks nimetatakse pöördkeha, mis tekib ristküliku pöörlemisel ümber ühe oma külje Külgpindala Täispindala S k = 2 r h S = Sk + 2 S p = silindri külgpind
3) Arvutada fn-i väärtused osades 1) ja 2) leitud punktides. 4) Suurim väärtus on GLOBAALNE MAKSIMUM ja väiksem väärtus GLOBAALNE MIINIMUM. Kahekordsed integraalid · Kahekordse integraali definitsioon ja geomeetriline tähendus · Kahekordse integraali arvutamine · Integreerimisjärjekorra muutmine · Kahekordse integraali rakendusi (tasandilise kujundi pindala, kujundi ruumala, tasandilise kujundi mass, massikese, inertsimomendid) Read · Arvrea koonduvus · Funktsionaalread, astmeread Majanduses kasutatavaid mitme muutuja funktsioone · Osaelastsused · Täisdiferentsiaali majanduslik tähendus · Samatoodangujooned · Tehnilise asenduse piirmäär
sõnavabadus on inimõigus, meediavabadus aga mitte.3Meediavabadust peab siiski piirama, kuna meedia oluline oskus on tõlgendada ümbritsevat ja tajuda piire. Postimees Online`i arendus- ja turundusjuht Jaanus Lillenberg on öelnud : ,, Kes väidab, et väljaanded soosivad halbu kommentaare, on kas pahatahtlik või ei tea, mis online-meedias toimub." Veel lisas Lillenberg, et nemad on oma saidi jaoks välja töötanud kehvade kommentaaride toimetulemiseks viie tasandilise süsteemi. Tänu sellele näeb nende online- süsteemis palju vähem ebameeldivaid kommentaare. 1 Juuraku, Raivo, 2010. Hädas suhtlusmeediaga. Õpetajate Leht 15.10. 2 Juuraku, Raivo, 2010. Hädas suhtlusmeediaga. Õpetajate Leht 15.10. 3 http://web3.nlib.ee/
85. Kuidas tekib harilik (kald-)kruvipind? Harilik kruvipind tekib sirgjoone kruvijoonelisel liikumisel, kui sirgjoon igas oma asendis lõikab pinna telge täisnurga all. Kaldkruvipind tekib sirgjoone kruvijoonelisel liikumisel, kui sirgjoon igas oma asendis lõikab pinna telge ühe ja sama teravnurga all. 86. Kuidas tekib tsükliline pind? Tsükliline pind tekib püsiva või muutuva raadiusega ringjoone liikumisel. Järelikult saab tsüklilise pinna iga punkti kohalt teha tasandilise lõike, mille kuju on ringjoon. 87. Milles seisneb aksonomeetria meetodi olemus? Kujutis konstrueeritakse punktide ristkoordinaatide järgi teljestiku kujutise baasil. Kujutamismeetodit, mille abil luuakse objektist piltlik kujutis, nimetatakse aksonomeetriaks. 88. Kuidas liigitatakse aksonomeetrilisi kujutisi a) teljestiku projektsiooni liigi alusel; b) telgede moondetegurite vahekorra alusel? a) rist- ja kaldaksonomeetria b)
24. Ligikaudsed arvutused täisdiferentsiaali abil. Kõrgemat järku osatuletised. 25. Kahe muutuja funktsiooni lokaalsete ja globaalsete ekstreemumite mõisted, nende leidmine. Ekstreemumi leidumise tarvilikud ja piisavad tingimused. 26. Tinglikud kriitilised punktid. Lagrange’i kordajate meetod tinglike ekstreemumite leidmiseks 27. Gradient, tuletis antud antud suunas. 28. Kahekordse integraali mõiste ja geomeetriline tõlgendus - kõversilindri ruumala, tasandilise kujundi pindala. Kahekordse integraali omadused, arvutamine. 29. Muutuja vahetus kahekordses integraalis, üleminek polaarkoordinaatidele 30. Kolmekordse integraali mõiste, arvutamine. 31. Muutuja vahetus kolmekordses integraalis, üleminek silindrilistele ja sfäärilistele koordinaatidele. Kolmekordse integraali rakendused: keha ruumala ja massi valem. III osa Diferentsiaalvõrrandid (15 punkti) 32. Diferentsiaalvõrrandi mõiste, liigitus, järk. 33
19. Normaalalkaanide (CH4-C10H22) nimetusi! TULEB OSATA: 1. Kirjutada summaarse valemi alusel struktuurvalemeid!(lihtsustatud ja tasapinnalised struktuurvalemid, graafiline kujutis) 2. Koostada üht liiki struktuurvalemi järgi teisi struktuurvalemeid! 3. Koostada ja tunda ära isomeeride (asendi-, ahel-, funktsiooni-, geomeetriline e. cis-, trans-isomeeria) struktuurvalemeid! 4. Määrata, kas on tegemist tetraeedrilise, tasandilise või lineaarse süsinikuga! 5. Kirjutada nimetuse põhjal alkaanide, tsükloalkaanide ja halogeenühendite tasapinnalisi struktuurvalemeid, lihtsustatud struktuurvalemeid ja esitada neid molekule ka graafiliselt! 6. Anda valemi põhjal nimetatud aineklasside esindajatele nimetusi! 7. Määrata ühendi aineklassi (küllastumata või küllastunud süsivesinik, alkaan, tsükloalkaan, alkeen, alküün, halogeenühend)!
0. 167 0 Kui keha, mille ruumala otsitakse, on piiratud pindadega 1 x, y ja 2 x, y , kusjuures 2 x, y 1 x, y ja mõlema projektsiooniks xy-tasandil on piirkond D (vaata näiteks allpool olevat joonist) siis V 2 x, y 1 x, y dxdy D 1.6.2 Tasandilise piirkonna pindala. Ilmselt S dxdy D Kui piirkonnaks D on joontrapets, siis saame selle joontrapetsi pindala arvutada kaksikintegraalist b 2 x S dx f x, y dy a 1 x või d 2 y S dy f x, y dx
x=(t), a b, . Lause2. (x=(t), ()=b, ()=a) N. N. N. 2.20 Päratud integraalid DEF1. Kui f(x)I[a,c] iga c(a,b) korral ja , siis funktsiooni f(x) lõigul [a,b] selleist piirväärtust: nim. päratuks integraaliks. Analoogiliselt defineeritakse ka pärtud integraal juhul, kui funktsioon f(x) on tõkestamata punkti a ümbruses: . N. Seega ntud päratu integraal koondub. DEF2. Kui f(x)I[a,b] iga b>a korral ja , siis . N. See integraal on koonduv. 2.16 Tasandilise kujundi pindala arvutamine N. =[see on ¼ ringist]= II III =() Joone sektori asendame ringi rektoriga, kusjuures (i)=r ja nurk on i. Kui vaadelda ringi pindalat siis 22 (i), i?, Lause. Kui on kõverjooneline sektor, mille rajajoonteks on polaarkordinaatides kõigepealt sirglõik kiirel võrrandiga = ja siis sirglõik kiirel = ja joone =() osa, mis on ja vahel, siis selle piirkonna pindala . 2.17 Joone pikkuse arvutamine
ühest punktist. Paralleelprojekteerimisel on kujutamiskiired omavahel paralleelsed. See on tsentraalprojekteerimise erijuht, kus kujutamistsenter on viidud lõpmata kaugele. 2. Kuidas jaguneb paralleelprojektsioon ja kuidas need projektsioonid üksteisest erinevad? Jaguneb kald- ja ristprojektsioonideks, vastavalt kas kiired langevad paralleelselt või kaldu. 3. Mis juhtumil tuleb sirgjoone projektsiooniks punkt? Kui sirgjoon ühtib kujutamiskiirega. 4. Mis juhtumil tuleb tasandilise kujundi paralleelprojektsiooniks sirglõik? Kui kujundit projekteerivad kiired asetsevad kõik kujundi tasandis. 5. Mis on sirglõigu moondetegur? Sirglõigu paralleelprojektsiooni pikkuse ja lõigu enda pikkuse suhe. 6. Millistes piirides võib muutuda sirglõigu moondetegur? a) ristisomeetrias Tegelikult kui siin on ristisomeetriat mõeldud, siis seal on ju telgedel moondetegur umbes 0,82, aga ristprojekteerimisel on see moondetegur nullist üheni (mõlemad kaasa arvatud)
Nt: tsüklopropaan. Halogeenide nimetus on R-Hal 19. Normaalalkaanide (CH4-C10H22) nimetusi! TULEB OSATA: 1. Kirjutada summaarse valemi alusel struktuurvalemeid! (lihtsustatud ja tasapinnalised struktuurvalemid, graafiline kujutis) 2. Koostada üht liiki struktuurvalemi järgi teisi struktuurvalemeid! 3. Koostada ja tunda ära isomeeride (asendi-, ahel-, funktsiooni-, geomeetriline e. cis-, trans-isomeeria) struktuurvalemeid! 4. Määrata, kas on tegemist tetraeedrilise, tasandilise või lineaarse süsinikuga! 5. Kirjutada nimetuse põhjal alkaanide, tsükloalkaanide ja halogeenühendite tasapinnalisi struktuurvalemeid, lihtsustatud struktuurvalemeid ja esitada neid molekule ka graafiliselt! 6. Anda valemi põhjal nimetatud aineklasside esindajatele nimetusi! 7. Määrata ühendi aineklassi (küllastumata või küllastunud süsivesinik, alkaan, tsükloalkaan, alkeen, alküün, halogeenühend)!
26) Newtoni meetod http://www.mathema.ee/mathematica/ptk7/ptk7.htm osa 2.2 27) Algfunktsioon ja määramata integraal. 28) Integreerimise põhivalemid. 29) Tehetega seotud integreerimisreeglid. 30) Muutujate vahetus määramata integraalis. Muutujate vahetuse valem: For more information go to porns lecture nr 11 31) Ositi integreerimine. For more information go to porns lecture nr 11 32) Määratud integraal. 33) Tasandilise kujundi pindala. 34) Pöördkeha ruumala. 35) Määratud integraali ligikaudne arvutamine.
α 23.Green’i valem(mis seose annab Green’i valem?) ❑ ❑ ∬ ( g x −f y ) dxdy =∫ fdx+ gdy Annab seose, kahekordselt D L integraalilt üle minna I liiki joonintegraaliks. 24.Joonintegraali rakendusi Kaare AB pikkuse arvutamine Tasandilise joone massi määramine Tasandilise kujundi D pindala arvutamine Jõuvälja poolt tehti töö kaarel arvutamine Vedeliku stabiilne tasandiline liikumine Elektrivoolu ja magneti vaheline toime 25.Pindintegraalid(Ostrogradski ja Stokes’i valem- mis seosed need valemid annavad?) Kuidas arvutada esimest liiki pindintegraali Ostrogadski valemiga saab üle minna Kolmekordselt integraalilt pindintegraalile Stokes’i valemiga saab üle minna pindintegraalilt joonintegraalile
Mis on kruvijoone samm (keerd)? Kruvijoone osa, mis vastsab punkti ühele täispöördele ümber kruvijoone telje. Samm – keeru otspunktide omavaheline kaugus (keeru kõrgus). 39. Milliste parameetritega on määratud silindriline kruvijoon? Kruvijoon on täiesti määratud, kui on teada tema raadius r, samm h ja käelisus (parema- või vasakukäeline 40. Mis on algebralise pinna järk, lähtudes geomeetrilisest seisukohast? Geomeetriliselt on algebralise pinna järk võrdne selle pinna tasandilise lõikejoone järguga või selle pinna ja sirge lõikepunktide arvuga. 41. Kuidas tekib üldkujuline pöördpind? Mistahes joone(moodustaja) pöörlemisel ümber kindla sirgjoone (pöördpinna telg). 42. Mis on pöördpinna meridiaan (paralleel, ekvaator, kael, vöö)? Meridiaan – pöördpinna lõikamisel telge läbivate tasanditega saadud kongruentsed lõikejooned. Paralleel – lõikejoon telje risttasandiga. Ekvaator – suurima raadiusega paralleel.
x a b a A C A L B Joon. 13a Joon. 13b Joon. 13c Tasand on määratud ka mistahes tasandilise kujundiga, näit kolmnurgaga (joon. 13e), ringiga, jne. Tasandi ühtedelt määramisandmetelt saab üle minna teistele. B a b C A x b C
x2+px+q z2+1. Alustada tuleb TÄISRUUDU ERALDAMISEST ruutkolmliikmes. c) Integraalid (Bix+Ci)/ (x2+px+q)idx taandatakse eelmisele juhule. 12 MÄÄRATUD INTEGRAALI ARVUTAMINE NEWTON LEIBNIZI VALEM: b b f(x)dx = F(x)= F(b) F(a); F´(x) = f(x). a a MÄÄRATUD INTEGRAALI GEOMEETRILISI RAKENDUSI 1. TASANDILISE KUJUNDI PINDALA Olgu tasandiline kujund D piiratud joontega y = f(x) ja y = g(x), kusjuures Dx = [ a, b ] ning f(x) > g(x), x [ a, b ]. Siis b SD = (f(x) g(x))dx. a 2. KEHA RUUMALA ARVUTAMINE Olgu keha K lõigatud tasandiga x = const ja olgu selle lõike pindala S(x). Kui Kx = [ a, b ], siis b VK = S(x)dx. a
kruvijoone keeruks. Keeru otspunktide vahelist kaugust nimetatakse silindrilise kruvijoone sammuks. 6. Milliste paramaatritega on määratud silindriline kruvijoon? Kruvijoon on täiesti määratud, kui on teada tema raadius r, samm h ja käelisus (parema- või vasakukäeline= 7. Mis on algebralise pinna järk, lähtudes geomeetrilisest seisukohast? Geomeetriliselt on algebralise pinna järk võrdne selle pinna tasandilise lõikejoone järguga või selle pinna ja sirge lõikepunktide arvuga. 8. Kuidas tekib üldkujundiline pöördpind? Pöördpind tekib mis tahes joone (moodustaja) pöörlemisel ümber kindla sirgjoone, mida nimetatakse pöördpinna teljeks. 9. Mis on pöördpinna... a. ...meridiaan? Pöördpinna lõikamisel telge läbiva tasandiga saadakse pöördpinna meridiaan. b. ...paralleel? Pöördpinna teljega risti olevaid lõikeid nimetatakse pöördpinna
kruvijoone keeruks. Keeru otspunktide vahelist kaugust nimetatakse silindrilise kruvijoone sammuks. 6. Milliste paramaatritega on määratud silindriline kruvijoon? Kruvijoon on täiesti määratud, kui on teada tema raadius r, samm h ja käelisus (parema- või vasakukäeline= 7. Mis on algebralise pinna järk, lähtudes geomeetrilisest seisukohast? Geomeetriliselt on algebralise pinna järk võrdne selle pinna tasandilise lõikejoone järguga või selle pinna ja sirge lõikepunktide arvuga. 8. Kuidas tekib üldkujundiline pöördpind? Pöördpind tekib mis tahes joone (moodustaja) pöörlemisel ümber kindla sirgjoone, mida nimetatakse pöördpinna teljeks. 9. Mis on pöördpinna... a. ...meridiaan? Pöördpinna lõikamisel telge läbiva tasandiga saadakse pöördpinna meridiaan. b. ...paralleel? Pöördpinna teljega risti olevaid lõikeid nimetatakse pöördpinna
Miller-Rabini test. [31]. Graafid ja graafide omadused. Ahelad ja tsüklid graafis. [32]. Euleri graafid. Hamiltoni tsüklid. [33]. Puud. Puude omadused. [34]. Graafi vähima kaaluga aluspuud. [35]. Märgendatud puud. Puude esitamine arvuti mälus. [36]. Prüferi kood. Märgendatud puude loendamine. Cayley teoreem. [37]. Märgendamata puude arv. [38]. Kooskõlad graafis. Berge'i teoreem. [39]. Kooskõlad kahealuselises graafis. Halli teoreem. [40]. Tasandiline graaf. Euleri valem: seos tasandilise graafi tippude, servade ja tahkude arvude vahel. Eulri valemi rakendusi. [41]. Graafi tasandilisuse kriteeriumid. Kuratowski teoreem. [42]. Graafi tippude värvimise ülesanne. Brooksi teoreem (tõestuseta). [43]. Tasandilise lihtgraafi värvimine 6 ja 5 värviga. Neljavärviprobleem ja kaartide värvimine. I. OSA [1]. Hulgad. Alam- ja ülemhulgad. Tehted hulkadega. Hulk on koosvaadeldavate objektide kogum. *Eristatakse kaht erinvat hulgateooriat:
Kasutades ülaltooduid avaldisi x ja y jaoks saame: J(,)= x '(, ) x '(, ) = cos - sin = cos2 + sin2 = y '(, ) y '(, ) sin cos Muutuja vahetuse esimeses valemis esineb jakobiaani (J) absoluutväärtus. Kuna polaarkaugus on mittenegatiivne , siis J(, )== . Järelikult (x,y)dxdy= (a + cos , b + sin ) d d D D 10. Tuletada valem tasandilise kujundi massi arvutamiseks aine pindtiheduse kaudu. Olgu antud aine pindtihedus (P) kogupiirkonnas D. Jaotame piirkonna D osapiirkondadeks S1, S2, ..., Sn ja valime igas osapiirkonnas Si ühe punkti Pi. Tähistagu Si samaaegselt nii I-ndta tükki kui i-nda tüki pindala. Olgu S i mass mi. Kui osapiirkond Si on väike, siis võib aine pindtiheduse Si peal lugeda ligikaudselt konstatntseks ja võrdseks arvuga (Pi)Si saame funktsiooni integraalsumma n
xC = V =V , yC = V , zC = V . 46. g V V V V kust peale gr taandamist leiame : 47. 48. 49. 50. Raskuskeskme leidmise erijuhtumid 51. Ühtlase paksusega plaat, mida plaanis esitab kujund pindalaga A. Kui plaadi paksus on h, siis tema ruumala V=hA ja elemendi ruumala dV=hdA. 52. Peenike tasandilise teljega varras, konstantse ristlõikepindalaga A ja pikkusega l. Siis on ruumala V=Al ja elemendi ruumala dV=Adl. 53. Raskuskeskme leidmise võtteid xdV xC = V = 0. 54. V Kui kehal on sümmeetriatasand, siis paikneb raskuskese selles tasandis. Kahel pool tasandit võib alati leida kaks ruumelementi millede xdV on vastasmärgilised, mistõttu integraal ò xdV=0 55. 56
alates teatav numbrite rühm lõpmatult kordub. 61. Piirdenurk nurk ringjoone ühise otspunktiga kõõlude vahel. Piirdenurk võrdub poolega samale kaarele toetuvast kesknurgast. 62. Prisma hulktahukas, mille kaks tahku on vastavalt paralleelsete ja võrdsete külgedega hulknurgad ning ülejäänud tahud rööpkülikud, millel on kummagi hulknurgaga üks ühine külg. 63. Pöördarvud kaks arvu, mille korrutis võrdub ühega. 64. Pöördkeha keha, mis tekib tasandilise kujundi pöörlemisel mingi fikseeritud sirge, nn. telje ümber. 65. Pöördteoreem antud teoreemist p -> q eelduse ja väite vahetamisel saadav teoreem q -> p. 66. Pöördvõrdeline seos niisugune seos kahe suuruse x ja y vahel, mille korral nende suuruste korrutis on konstant a : xy = a. 67. Püramiid hulktahukas, mille üks tahk on hulknurk ja kõik ülejäänud tahud on ühise tipuga kolmnurgad. 68. Püstprisma prisma, mille kõik tahud on ristkülikud. 69
võrdumine nulliga. Sümmeetrilise kujundi peateljeks on alati sümmeetriatelg ja selle risttelg. Mittesümmeetrilise kujundi korral kasutan nurga leidmiseks tan valemit. Peainertsmomendid- ekstremaalsed inertsmomendid. Peatasand-varda pikitasand, mis on määratud varda telja ja ühega ristlõike peatelgedest. Jõusüsteemi tasakaal- tarvilik ja piisav on tingimus, et nulliga võrdukisd jõudude projektsioonide summad kolmel koordinaatteljel ja momentide summad nende telgede suhtes. Tasandilise jõusüsteemi tasakaal- variant.1. Fx=0 , Fy=0 , Mz=0 ; variant.2. MzA=0, MzB=0, MzC=0 ; variant.3.-MzA=0, MzB=0, Ft=0. Tala-horisontaalne varas, millele mõjuvad peaasjalikult teljega ristuvad ühes tasandis paiknevad koormused.Liikumatuse tagamiseks aluse suhtes on vaja toesidemeid.Vähima sidemete arvuga talasid nim. Lihttaladeks. Kehade süsteemi tasakaal- Süsteem on tasakaalus siis , kui süsteemi üksikosad on tasakaalus. Seega tuleb
Tähistame piirkonna D pindala tähega S, siis kehtib seos: Keskväärtuste teoreem (omadus 19.3). Pideva funktsiooni z=f(x,y) kaksikintegraal ID üle piirkonna D, mille pindala on S, võrdub korrutisega, mille üheks teguriks on pindala S ja teiseks funktsiooni z=d(x,y) väärtus piirkonna D teatud punktis P: 3. Pindala ja ruumala arvutamine kahekordse integraali abil: ruumala arvutamine (+märkus 20.1 ja 20.2); tasandilise piirkonna pindala arvutamine (selgitustega: et olgu f(x, y) 1 jne). Ruumala. Kui keha on piiratud pinnaga z=f(x,y), kus funktsioon f(x,y) on mittenegatiivne, tasandiga z=0 ja silindrilise pinnaga, mille juhtjoonteks on piirkonna D rajajoon ning moodustajad on paralleelsed z-teljega, siis keha ruumala V võrdub funktsiooni d(x,y) kahekordse integraaliga üle piirkonna D: Märkus 20.1
=|PA|=(x-a)2+(y-b)2 ja on nurk, mis tekib liikumisel x-telje suunaliselt vektorilt vektorile AP vastupäeva. Kokkuleppeliselt ]-,] x=cos+a x'=cos x'=-sin y=sin+b y'=sin y'=cos cos - sin J ( ,) = = cos 2 + sin 2 = sin cos Seega f ( x, y )dxdy = f ( cos + a, sin + b) dd D D' 10. Tuletada valem tasandilise kujundi massi arvutamiseks aine ruumitiheduse kaudu Vaatleme tasandilist piirkonda D, mis on kaetud mingi ainega nii, et piirkonna iga pindalaühiku kohta tuleb teatud hulk seda ainet. Valime piirkonnas D suvalise osapiirkonna S. Olgu S mass mS ning pindala S. Suhet S= mS/S nimetatakse aine keskmiseks pindtiheduseks osapiirkonnas S. Võtame Si peal konkreetse punkti P. Vaatleme piirprotsessi, kus S kahaneb punktiks P. ( P ) = lim S - aine pindtihedus
projekteerimis- ehk kujutamistsentrist. Paralleelprojekteerimisel on kujutamiskiired omavahel paralleelsed. 2. Kuidas jaguneb paralleelprojektsioon ja mille poolest need projektsioonide alaliigid üksteisest erinevad? Paralleelprojektsioon jaguneb kald- ja ristprojektsiooniks, vastavalt sellele, kas kiired langevad ekraanile kaldu või risti. 3. Mis juhtumitel sirgjoone projektsiooniks tuleb punkt? Sirgjoone projektsiooniks on punkt, kui sirge ühtib kujutamiskiirtega. 4. Mis juhtumil tasandilise kujundi paralleelprojektsiooniks tuleb sirglõik? Tasandiline kujund projekteerub projekteerub sirglõiguks, kui tasandilist kujundit projekteerivad kiired asetsevad kõik kujundi tasandis. 5. Mis on sirglõigu moondetegur? Sirglõigu moondeteguriks nimetatakse sirglõigu paralleelprojektsiooni pikkuse ja lõigu tõelise pikkuse suhet. 6. Millistes piirides võib muutuda sirglõigu moondetegur ristprojekteerimisel (paralleelprojekteerimisel)? 0m1 (0m<) 7
ristprojekteerimisel langevad saamise meetodid. 1) Monge'i meetod, 2) projekteerimiskiired ekraanile risti. kvooditud ristprojektsiooni meetod, 3) 3. Mis juhtumitel sirgjoone projektsiooniks on aksonomeetria meetod. punkt? Kui sirgjoon ühtib projekteeritavate 14. Missugust joont punkti kaksvaatel kiirtega. nimetatakse sidejooneks? Projektsioone 4. Mis juhtumil tasandilise kujundi ühendavat sirget. projektsiooniks tuleb sirglõik? Kui 15. Sõnastage kolmvaate peaomadus. tasandilist kujundit projekteerivad kiired Kolmvaade on sisuliselt kaks kaksvaadet, asetsevad kõik kujundi tasandis. kus esiekraan (peaekraan) esineb kaks 5. Mis on sirglõigu moondetegur? Lõigu korda. Eeltoodust tingitult esineb punkti
Täiendanud saksa matemaatikud/geodeedid Gauss ja Krüger Tuntud ka Gauss-Krügeri projektsioonina Maakera on paigutatud silindrisse, mis puutub maakera mööda Greenwitchi meridiaani ja silindri telg ühtib ekvaatori teljega. Kogu maakera jagatakse meridiaanidega 6°või 3°tsoonideks. Tsoonide eristamiseks antakse neile numbrid. Iga tsoon projekteeritakse oma silindri pinnale, mis puutub kera mööda tsooni keskmeridiaani. Keskmeridiaan võetakse tasandilise projektsiooni x-teljeks. Gauss-Krügeri projektsiooni kohaselt nummerdatakse tsoone alates. Greenwichi meridiaanist ida suunas (Eesti jääb 5 ja 6 tsooni). Ülemaailmselt on topograafiliste kaartide korral kasutusel UTM numeratsioon, kus tsoone hakatakse lugema kuupäevarajst alates, ehk meridiaanist, mille geograafiline pikkus on 180°(Eesti ala jääb tsoonidesse nr 35 ja 36). Silindrilises projektsioonis on kaardistatud paljude riikide kaardid, sh Eesti Baaskaart (vt sinised koordinaadid).
2. Kuidas jaguneb paralleelprojektsioon ja mille poolest need alaliigid üksteisest erinevad? Paralleel projektsioon jaguneb kaldprojektsiooniks ja ristprojektsiooniks. Kaldprojektsiooni puhul langevad projekteerimiskiired tasapinnale kaldu, ristprojekteerimisel langevad projekteerimiskiired ekraanile risti. 3. Mis juhtumitel sirgjoone projektsiooniks on punkt? Kui sirgjoon ühtib projekteeritavate kiirtega (kujutamiskiirtega). 4. Mis juhtumil tasandilise kujundi projektsiooniks tuleb sirglõik? Kui tasandilist kujundit projekteerivad kiired asetsevad kõik kujundi tasandis. 5. Mis on sirglõigu moondetegur m? Lõigu paralleelprojektsiooni ja tema originaalpikkuse suhe. 6. Millises piirides võib muutuda sirglõigu moondetegur ristprojekteerimisel (paralleelprojekteerimisel)? 0m1, (0m<). 7. Mis on sirglõigu põhikaldenurk 1 ja kuidas selle suurust määratakse? Põhikaldenurk 1 on nurk
a 26. Määratud integraali omadused: a. 1. Lõigus (a;b) pidev funktsioon f(x) on integreeruv selles lõigus b. 2. Lõigus(a;b) monotoonne funktsioon f(x) on integreeruv selles loogus(kasvav või kahanev) c. 3. Lõigus (a;b) integreeruv funktsioon f(x) on tõkestatud selles lõigus(funk. Saab ette panna piirid) 27. Ositi integreerimine: ∫ udv=uv −∫ vdu 28. Määratud integraal rakendused: Tasandilise kujundi pindala leidmisel, ruumilise kujundi ruumala leidmisel, pöördkeha ruumala leidmisel, töö arvutamisel. 29. Kui funktsiooni f(x) pole tõkestatud punkti b ümbruses, siis defineerime päratu integraali kui f ( x ) dx= lim ¿ t t−b −¿ ∫ f ( x ) dx
2. Kuidas jaguneb paralleelprojektsioon ja mille poolest need alaliigid üksteisest erinevad? Paralleel projektsioon jaguneb kaldprojektsiooniks ja ristprojektsiooniks. Kaldprojektsiooni puhul langevad projekteerimiskiired tasapinnale kaldu, ristprojekteerimisel langevad projekteerimiskiired ekraanile risti. 3. Mis juhtumitel sirgjoone projektsiooniks on punkt? Kui sirgjoon ühtib projekteeritavate kiirtega (kujutamiskiirtega). 4. Mis juhtumil tasandilise kujundi projektsiooniks tuleb sirglõik? Kui tasandilist kujundit projekteerivad kiired asetsevad kõik kujundi tasandis. 5. Mis on sirglõigu moondetegur m? Lõigu paralleelprojektsiooni ja tema originaalpikkuse suhe. 6. Millises piirides võib muutuda sirglõigu moondetegur ristprojekteerimisel (paralleelprojekteerimisel)? 0m1, (0m<). 7. Mis on sirglõigu põhikaldenurk 1 ja kuidas selle suurust määratakse? Põhikaldenurk 1 on nurk
graafikuga, alt selle piirkonnaga D ja silindriga, mille moodustajad on paral w teljega ja
juhtjooneks on piikonna D rajajoon, niisugust keha nim. kõversilindriks.
Kui jaotame piirkonna D n osaks ja mõõdame pindala Si ning valime punkti Pi ja arvutame fun.
väärtuse selles punktis Pi, siis Vi=f(Pi)Si
Vk = lim Vi = lim f ( Pi )S i = f ( x, y )dxdy
n n
D
Kahekordse integraali arvutamine ristkoordinaatides
Def: olgu tasandilise piirkonna D jaoks teada, et D x = [a,b]. Öeldakse, et D on regulaarne y-telje
sihis, kui iga sirge x=x0, a
I paarisf-n f(-x)=f(x)=> -a
f ( x )dx = 2 f ( x ) dx II
0
a
paarituf-n f(-x)=-f(x)=> f ( x)dx = 0 ; perioodiline f(x+T)=f(x), T IR; *Ositi Int:
-a
b b b
udv = uv - vdu
a a a
36.Tasandilise kujun pindala leidmine
1)antud f-n y=f(x) 0, x [a,b], pidev!=> n IN: a=x0
7. leida kumeruspiirkond ja nõgususpiirkond 8. toetudes leitud andmetele, skitseerida funktsiooni graafik 15. Algfunktsioon ja määramata integraal 16. Määramata integraali omadused 17. Asendusvõte määramata integrali puhul. 18. Ositi integreerimine 19. Määratud integrali mõiste 20. Newton-Leibnizi valem 21. Määratud integrali omadused 22.Asendusvõte ja ositi integreerimine määratud integraali korral. 23. määratud integraali rakendusi: tasandilise kujundi pindala arvutamine, keha ruumala arvutamine. 24. differentsiaalvõrrandid. (DV). Lahendid, lahendite geomeetriline tõlgendus esimest järku DV korral. Diferentsiaalvõrrand on võrrand, mis seob otsitavaid (ühe või mitme muutuja) funktsioone, nende tuletisi (või osatuletisi) ja argumente[1]. Diferentsiaalvõrrandi järguks nimetatakse otsitavate funktsioonide tuletiste kõrgeimat järku. Näiteks
leidmisele. Mõistlik on valida u-ks x, x-i aste või ln N: ∫ 𝑥𝑠𝑖𝑛 𝑥 𝑑𝑥 → 𝑥 = 𝑢, sin 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑣 36. Esimest liiki päratud integraalid (lõpmatute rajadega integraalid) (definitsioon, kuidas arvutatakse). 37. Teist liiki päratud integraalid (tõkestamata funktsiooni integraalid) (definitsioon, kuidas arvutatakse). 38. Määratud integraali rakendusi (pindala, ruumala, kaare pikkus, töö, f-ni keskmine väärtus). Tasandilise kujundi pindala. Defineerime piirkonna S kogupindala kui osapiirkondade pindalade summa A = A1 + A2 + . . .. Seega üldisemal juhul Ruumilise kujundi pindala, kus A(x) on vastava ristlõike pindala: 𝑏 𝑉 = 𝜋 ∫ [𝑓 2 (𝑥) − 𝑔2 (𝑥)]𝑑𝑥 𝑎 39. Diferentsiaalvõrrand (definitsioon)
Lahendus vahepealse orbiidi punkt, mis asub Maale kõige (geomeetriline) lähend – pöördellipsoid (sferoid). üleminekuga tasandile, mille puhul sferoidiline kaugemal. Pöördellipsoidi 3 põhiomadust: * geomeetriline kese kolmnurk projitseeritakse mingi kaardiprojektsiooni 32. Defineeri Kepleri esimene seadus peab ühtima Maa masskeskmega, aga lühem telg – tasandile, lahendatakse tasandilise trigonemeetria sateliitidele kohandatult. Maa pöörlemisteljega. * maht peab võrduma geoidi valemitega ja saadud tulemused projitseeritakse I seadus: Sateliidid tiirlevad piki ellipseid, mahuga * ellipsoidi ja geoidi pindade tagasi sferoidile. Kõõlude meetod, mille puhul mille ühe fookuses asub Maa. kõrguserinevuste ruutude summa peab olema kasutatakse geodeetiliste joonte asemel ellipsoidil 33
1.2. Kinemaatilise ahela vabadusaste. Liigseondid. Liigliikuvused 1.2.1. Vabadusaste 1.2.2. Liigseondid. Liigliikuvused. 1.3. Mehhanismide struktuuri sünteesimine 1.3.1. Struktuurigrupid 1.3.2. Kõrgpaaride arvestamine 1.3.3. Kinemaatiline skeem. Struktuuriskeem 2. ptk. MEHHANISMIDE KINEMAATILINE ANALÜÜS 2.1. Eesmärk. Algmõisted 2.2. Mehhanismide kinemaatika analüütilised meetodid 2.3. Tasandilise mehhanismi kinemaatika arvutusgraafilised meetodid 2.3.1. Siirete leidmine 2.3.2. Kiirusplaan. Homoteetse kolmnurga reegel 2.3.3. Düaadmehhanismide kiirusplaanid 2.3.4. Düaadmehhanismide kiirendusplaanid 2.3.5. Kinemaatilised diagrammid 3. ptk. MEHHANISMIDE DÜNAAMILINE ANALÜÜS 3.1. Mehhanismides toimivad jõud ja momendid. Mehaanilised karakteristikud 3.1.1. Hõõrdejõud ja -momendid 3.2
ARC toime nagu joonel CIRCLE katkestatakse esimesest punktist teise punktini suunaga vastu kellaosuti liikumise suunda Käsklust BREAK saab valida: 1) Modify ribalt ikooni valimisega 2) Kirjutades käsuribale BREAK Kui valida käsklus BREAK: - Select objekt (valida objekt ja ühtlasi ka 1. katkestuspunkt) 11 - Specify second break point (valida 2. katkestuspunkt) PLINE (POLYLINE) tasandilise liitjoone joonestamine Käsuga PLINE saab joonestada sirg- ja kaarjoontest koosnevat tasapinnalist liitjoont. Joone üksikosad võivad olla kas null- laiusega, püsiva või muutuva laiusega. Joone üksikosa laiuse muutus on lineaarne. Käsku PLINE saab valida: 1) Draw ribalt ikooni abil 2) Kirjutades käsuribale PLINE Kui valida käsklus PLINE: - Specify start point (määra kindlaks alguspunkt) - Specify next point or [Arc/Halfwidth/Length/Undo/Width]
Ta kuulub ühtlasi joonpindade klassi konoidide rühma, sest telgsirget ja kruvijoont võib vaadelda juhtjoontena, telje risttasandit aga juhtpinnana Kaldkruvipind t e k i b t e l j e k a l d l õ i k a j a k r u v i j o o n e l i s e l l i i k u m i s e l 114. Kuidas tekib tsükliline pind Tsükliline pind tekib püsiva või muutuva raadiusega ringjoone liikumisel. Järelikult saab tsüklilise pinna iga punkti kohalt teha tasandilise lõike, mille kuju on ringjoon. 115. Milles seisneb aksonomeetria meetodi olemus? kujutamisviisi, milles kujutis konstrueeritakse objekti punktide ristkoordinaatide järgi teljestiku kujutise baasil. 116. Kuidas liigitatakse aksonomeetrilisi kujutisi a) teljestiku projektsiooni liigi alusel; b) telgede moondetegurite vahekorra alusel? paralleel (rist ja kald) ja tsentraalaksonomeetria isomeetriline (võrdmõõduline), dimeetriline, trimeetriline 117
0 1 0 0 Karnaugh' kaardil valitakse välja kindlate mõõtmetega ruutude gruppe, mida 0 1 1 1 0 0 1 1 0 nimetatakse kontuurideks. 1 0 0 1 Tasandilise kaardi kontuurid on ristkülikud lubatud küljepikkustega 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 2täisarv ehk 2m 2n ruutu. 1 1 1 1
3r H 3 2 3 3 r H r 2 H r2H . 6 3 12 18 12 36 1 5 5 1 5 Suurem osa koonusest 1 ja selle ruumala r 2 H r 2 H . 6 6 6 3 18 Saame tasandilise lõikega eraldunud suurema osa koonusest 5 2 3r 2 H 5 3 10 3 3 r H r 2 H r2H . 18 12 18 12 36
annaabi.ee 
