Kolmnurga sisenurkade summa (Teoreem) Koostaja: Egert Kruberg 2011 Kui suur on siis kolmnurga sisenurkade summa? Teoreem: Kolmnurga sisenurkade summa on 180(Kraadi). Eeldus:On antud ABC sisenurkadega (alfa; beeta ja gamma) Väide: alfa + beeta + gamma = 180(Kraadi) Tõestus Tõmbame läbi tipu C küljega AB paralleelse sirge. Click to edit Master text styles Second level Third level Fourth level Fifth level Seejärel pikendame külgesid AC ja BC üle tipu C. Click to edit Master text styles
docstxt/14581517463234.txt
Kui põiknurgad on võrdsed, siis lähisnurkade summa on 180kraadi ja sirged on paralleelsed. Kui põiknurgad ei ole võrdsed, siis ka lähisnurkade summa ei ole 180kraadi ja sirged ei ole paralleelsed. Rööpkülikuks nimetatakse nelinurka, mille vastasküljed on paralleelsed. Rööpkülikuks saab veel nimetada rombi, ruutu, ristkülikut. Rööpküliku iga külje lähisnurkade summa on 180kraadi, sest nelinurga vastasküljed on paralleelsed. Rööpküliku sisenurkade summa on 180kraadi + 180kraadi = 360kraadi. Teiste nelinurkade sisenurkade summa on ka 360kraadi. Kolmnurga sisenurkade summa on 180kraadi. Võrdkülgse kolmnurga sisenurga suurus on 60kraadi. Tipunurgaks nimetatakse võrdhaarse kolmnurga haarade vahelist nurka. Alusnurgaks nimetatakse võrdhaarse kolmunrga aluse lähisnurki. Nürinurgseks kolmnurgaks nimetatakse kolmnurka, milles on üks nürinurk. Täisnurkseks kolmnurgaks nimetatakse kolmurka, milles on üks täisnurk.
Ruuduks nimetatakse ristkülikut, mille kõik küljed on 2. Vastasküljed paralleelsed. S= 4² võrdsed. 3. Kõik nurgad 90°. 4. Lähisnurkade summa 180°. 5. Diagonaalid poolitavad teineteist ja on risti. 6. Sisenurkade summa 360°. 7. Diagonaali suhtes sümmeetriline. 8. Diagonaal poolitab ruudu nurga. 9. Diagonaal jaotab kaheks võrdseks täisnurkseks kolmnurgaks. Ristkülik 1. Vastasküljed on võrdsed ja paralleelsed. P= 2(a+b)
Kahe sirge lõikamine sirgega Kui paar põiknurki on võrdsed, siis on võrdsed ka teine paar põiknurki. Kui põiknurgad on võrdsed, siis lähisnurkade summa on 180°. Kahe sirge paralleelsus Kui kahe sirge lõikamisel kolmanda sirgega tekib paar võrdseid kaasnurki, siis need sirged on paralleelsed. a=b s½½u Kui kahe sirge lõikamisel kolmanda sirgega tekib paar võrdseid põiknurki, siis need sirged on paralleelsed. a=b s½½u Kolmnurga sisenurkade summa. Kolmnurga sisenurkade summma on 180°. Kolmnurga välisnurgaks nimetatakse kolmnurga sisenurga kõrvunurka. Kolmnurga iga välisnurk on võrdne temaga mitte kõrvu olevate sisenurkade summaga. Kolmnurga kesklõik Lõiku, mis ühendab kolmnurga kahe külje keskpunkte, nimetatakse selle kolmnurga kesklõiguks. Kolmnurga kesklõik on paralleelne kolmnurga ühe küljega ja võrdub poolega sellest küljest. Trapetsi kesklõik Lõiku, mis ühendab trapetsi haarade keskpunkte, nimetatakse trapetsi kesklõiguks.
kuid mille tõesuses pole põhjust kahelda, nimetatakse aksioomideks. Aksioomi Iga kaht erinevat punkti läbib ainult üks d: sirge. Iga sirglõiku on võimalik lõpmatult 4 pikendada. Teoreemi eeldus ja väide Eelduses pannakse kirja see, mis on teada (antud) ning väide ütleb, mida tuleb tõestada. Kui eeldus, siis väide. Teoreemi Kolmnurga sisenurkade summa on d: 180. Rööpküliku diagonaalid poolitavad teineteist. Täisnurkse kolmnurga teravnurkade summa on 90. 5 Pöördteoreem Eelduse ja väite äravahetamisel tekkinud lauset nimetatakse esialgse teoreemi pöördlauseks. Kui teoreemi pöördlause on tõene, siis nimetatakse seda pöördlauset pöördteoreemiks. Teoreemi Kui kujund on ruut, siis tema
2a 13. Ruutkolmliikme ax2 + bx + c tegurdamine ax + bx + c = a( x - x1 )( x - x2 ) 2 14. Ruudu ümbermõõt ja pindala P = 4a S = a2 15. Ristküliku ümbermõõt ja pindala P = 2(a + b) S = ab 16. Kolmnurga sisenurkade summa S = 180° 17. Kolmnurga pindala ah S= 2 18. Rombi ümbermõõt ja pindala d d P = 4a S= 1 2
* Lähisnurgad Sisepiirkond on ühel ja samal pool lõikajast, haarad on suunatud teineteisele vastu . Teoreem: Kui üks paar põiknurki on võrdsed, siis on võrdsed ka teine paar põiknurki. Eeldus: Väide: 6. KAHE SIRGE PARALLEELSUSE TUNNUSED Teoreem: Kui kahe sirge s ja t lõikamisel kolmanda sirgega u tekivad võrdsed põiknurgas, siis sirged s ja t on paralleelsed. Eeldus: Väide: s || t 7. KOLMNURGA SISENURKADE SUMMA * Kolmnurga välisnurk võrdub temaga mitte kõrvu olevate sisenurkade summaga. Teoreem: Kolmnurga sisenurkade summa on 180 Eeldus: On antud kolmnurk ABC Väide: 8. KOLMURGA KESKLÕIK * Lõiku, mis ühendab kolmnurga kahe külje keskpunkte, nimetatakse kolmnurga kesklõiguks. Teoreem: Kolmnurga kesklõik on paralleelne kolmnurga ühe küjega ja võrdub poolega sellest küljest.
· Põiknurgad on võrdsed parajasti siis, kui lähisnurkade summa on 180 . · Kaks sirget on paralleelsed parajasti siis, kui nende lõikumisel kolmanda sirgega tekivad võrdsed põiknurgad. · Kaks sirget on paralleelsed parajasti siis, kui nende lõikumisel kolmanda sirgega tekivad lähisnurgad, mille summa on 180 . · Kui nelinurgas on üks paar võrdseid ja paralleelseid vastaskülgi, siis see nelinurk on rööpkülik. 6.Kolmnurga sisenurkade summa, kesklõik ja mediaanid. Välisnurgaks nimetatakse kolmnurga nurga kõrvunurka. Igal kolmnurgal on 6 välisnurka, mis on paarikaupa võrdsed kui tippnurgad. · Kolmnurga sisenurkade summa on 180 . · Kolmnurga välisnurk võrdub temaga mitte kõrvu olevate sisenurkade summaga. Kolmnurga kesklõiguks nimetatakse lõiku, mis ühendab kolmnurga kahe külje keskpunkte. · Kolmnurga kesklõik on paralleelne kolmnurga ühe küljega ja võrdub poolega sellest küljest.
Lähisnurkadeks nim nurki, mille sisepiirkonnad on ühel pool lõikajat ja haarad lõikajal vastassuunalised. Põiknurkadeks nim kaht nurka, mille sisepiirkonnad on teineteisel pool lõikajat ja haarad lõikajal vastassuunalised. Kui üks paar põiknurki on võrdsed on võrdsed ka teine külg paar põiknurki. Kui põiknurgad on võrdsed, siis lähisnurkade summa on 180 kraadi. Kui lähisnurkade summa on 180 kraadi, siis põiknurgad on võrdsed. · Kolmnurga sisenurkade summa, kolmnurga välisnurkade omadus Kolmnurga sisenurkade summa on 180 kraadi. Kolmnurga välisnurgaks nim tema sisenurga kõrvunurka. Kolmnurga välisnurk võrdub temaga mitte kõrvuti olevate sisenurkade summaga. · Kolmnurga kesklõik Kolmnurga kesklõiguks nim lõiku, mis ühendab kolmnurga külgede keskpunkte Teoreem: kolmnurga kesklõik on paralleelne kolmnurga vastava küljega ja võrdub pikkuselt poolega sellest küljest. · Trapets
5. Kümnega jaguvuse tunnus - Arv jagub 10-ga siis, kui arvu üheliste numbes lõppeb 0-ga, vastasel juhul mitte 6. Tippnurkade omadus - Tippnurgad on võrdsed 7. Kõrvunurkade omadus - Kõrvunurgad on kõrvuti nind need on võrdsed 8. Võrdhaarse kolmnurga alusnurkade omadus - Alusnurgad on võrdsed 9. Võrdhaarse kolmnurga kõrguse omadus - Kõrgus poolitab aluse 10. Kolmnurga sisenurkade summa - Kolmnurga sisenurkade summa on 180o 11.Rööpküliku lähisnurkade omadus - Rööpküliku lähisnurgad on erinevad 12.Rööpküliku vastaskülgede omadus - Rööpküliku vastasküljed on võrdsed 13.Rööpküliku vastasnurkade omadus - Rööpküliku vastasküljed on võrdsed 14.Rööpküliku diagonaalide omadus - Rööpküliku diagonaalid on võrdsed 15.Rombi lähisnurkade omadus - Rombi lähisnurgad on erinevad 16
need sirged on paralleelsed. 25.Rööpkülik Rööpkülikuks nimetatakse nelinurka, mille: a)vastasküljed on paralleelsed b) vastasküljed on võrdsed c) vastasnurgad on võrdsed d) iga külje lähisnurkade summa on 180º e) diagonaalid jaotavad rööpküliku kaheks võrdseks kolmnurgaks. 26.Trapets Trapetsi alused on paralleelsed. 27.Romb Rombi küljed on võrdsed. Rombi diagonaalid on risti. 28.Kolmnurga sisenurkade summa Kolmnurga sisenurkade summa on 180º. 29.Kolmnurga välisnurga omadus Kolmnurga iga välisnurk on võrdne temaga mitte kõrvuti olevate sisenurkade summaga. Kolmnurga välisnurgaks nimetatakse kolmnurga sisenurga kõrvunurka (joonisel nr.4). 30.Kolmnurga kesklõik Kolmnurga kesklõik on paralleelne kolmnurga ühe küljega ja võrdub poolega sellest küljest. Kesklõikudest moodustatud kolmnurga ümbermõõt on pool suure kolmnurga ümbermõõdust. ED = ½ AB ; EF = ½ CB ; DF = ½ AC 31.Trapetsi kesklõik
* Sirged on paralleelsed siis kui nad on hel tasandil ega liku. 25. Millist nelinurka nimetatakse rpklikuks? * Rpklikuks nimetatakse nelinurka , mille vastaskljed on paralleelsed ning vastaskljed ja vastasnurgad on vrdsed. 26. Milline nelinurk on trapets? * Trapets on kumer nelinurk, mille kaks klge (alused) on omavahel paralleelsed ja kaks lejnud klge (haarad) ei ole omavahel paralleelsed. 27.Milline kujund on romb? * Romb on rpklik, mille kljed on vrdsed pikkusega. 28. Kolmnurga sisenurkade summa. * Kolmnurkade sisenurkade summa on 180 kraadi. 29. Kolnurga vlisnurga omadus. * Kolmnurga vlisnurk vrdub nende sisenurkade summaga, mis ei ole tema krvunurgad. Vlisnurkade summa vrdub tisprdega ehk 360 kraadi. 30. Kolmnurga kesklik. * Kolmnurga keskliguks nimetatakse tema kahe klje kekspunkte ahendavat liku. *Kolmnurga kesklik on lik, mis hendab kolmnurga klgede keskpunkte 31. Trapetsi kesklik. * Trapetsi kesklik on paralleelne alustega ja vrdub aluste poolsummaga. 32
Täisnurkse kolmnurga teravnurga siinus on selle nurga vastaskaateti ja hüpotenuusi suhe. Täisnurkse kolmnurga teravnurga koosinus on selle nurga lähiskaateti ja hüpotenuusi suhe. Täisnurkse kolmnurga teravnurga tangens on selle nurga vastaskaateti ja lähiskaateti suhe. Täisnurkse kolmnurga pindala võrdub kaatetite poolkorrutisega või hüpotenuusi ja sellele joonestatud kõrguse poolkorrutisega MIS TAHES KOLMNURGA TRIGONOMEETRIA Kolmnurga sisenurkade summa on . Kolmnurga külgede pikkused on võrdelised vastavate vastasnurkade siinustega. Kolmnurga ühe külje ruut on võrdne ülejäänud külgede ruutude summaga, millest on lahutatud nende külgede ja nendevahelise nurga koosinuse kahekordne korrutis. Mis tahes kolmnurga pindala võrdub kahe külje ja nendevahelise nurga siinuse poolkorrutisega
Kolmnurga kesklõik DEF: Lõiku, mis ühendab kolmnurga kahe külje keskpunkte, nimetatakse kolmnurga kesklõiguks. TEOREEM: Kolmnurga kesklõik on paralleelne kolmnurga ühe küljega ja võrdub poolega sellest küljest. EELDUS: DE on kolmnurga kesklõik ( millest saame, et AD = DC ja CE = EB) VÄIDE: 1) 2) 1) DE = EF , CE =EB, , (tunnus KNK) BF = DC BF = DC ja DC = AD BF =AD. põiknurgad võime väita, et nelinurk ABFD on rööpkülik. ABFD on rööpkülik, siis on 2) DF = AB (rööpkülik) Järelikult on siis Eukleidese teoreem Täisnurkse kolmnurga kaatet on hüpotenuusi ja hüpotenuusil võetud selle kaateti projektsiooni keskmine võrdeline. Peame näitama, et ja , kus f ja g on siis nende kaatetite ristprojektsioonid. , sest mõlemad on . Analoogsel põhjusel on Kolmnurga s...
kaks külge on võrdsed. 3. võrdkülgne kolmnurk Võrdkülgseks kolmnurgaks nimetatakse kolmnurka, mille kõik küljed on võrdsed. · Kolmnurga kõrguseks nimetatakse ristlõiku kolmnurga tipu ja külje vahel. (märgitakse h- ga). · Kolmnurga kesklõiguks nimetatakse lõiku, mis ühendab kolmnurga kahe külje keskpunkte (märgiktakse k-ga). Kolmnurga välisnurk on võrdne temaga mitte kõrvu olevate nurkadega A+C=B' Teoreemid: Kolmnurga sisenurkade summa on 180° Kolmnurga kesklõik on paralleelne kolmnurga ühe küljega ja võrdub poolega sellest küljest.
PLANIMEETRIAKURSUSE KORDAMINE GÜMNAASIUMI LÕPUEKSAMIKS. KOLMNURGAD 1. Kolmnurga sisenurkade summa on sirgnurk + + = 180 o 2. Siinusteoreem a b c = = = 2R sin sin sin 2. Koosinusteoreem a 2 = b 2 + c 2 - 2bc cos b 2 = a 2 + c 2 - 2ac cos c 2 = a 2 + b 2 - 2ab cos 4. Pindala valemid. ch ab sin a +b +c
PLANIMEETRIAKURSUSE KORDAMINE GÜMNAASIUMI LÕPUEKSAMIKS. KOLMNURGAD 1. Kolmnurga sisenurkade summa on sirgnurk 180 o 2. Siinusteoreem a b c 2R sin sin sin 2. Koosinusteoreem a 2 b 2 c 2 2bc cos b 2 a 2 c 2 2ac cos c 2 a 2 b 2 2ab cos 4. Pindala valemid. ch ab sin abc
ühtepidi nim. kaasnurkadeks. ¤Lähisnurgad- Kahte nurka, mis asuvad ühel pool lõikajat ja mille haarad lõikajal suunduvad vastamisi nim. lähisnurkadeks. ¤Põiknurgad- Kahte nurka, mis asuvad üks ühel ja teine teisel pool lõikajat ja mille haarad lõikajal suunduvad vastamisi nim. põiknurkadeks. ¤Kolmnurga välisnurk- kolmnurga välisnurgaks nim. kolmnurga sisenurga kõrvunurka. ¤Kolmnurga välisnurga teoreem- kolmnurga iga välisnurk on võrdne temaga mitte kõrvu olevate sisenurkade summaga. ¤Kolmnurga kesklõik- Lõiku, mis ühendab kahe külje keskpunkte, nim. selle kolmnurga kesklõiguks. ¤Kolmnurga kesklõigu teoreem- Kolmnurga kesklõik on paralleelne kolmnurga ühe küljega ja võrdub poolega sellest küljest. ¤Trapetsi kesklõik- Leitud haarade keskpunktid ja need omavahel ühendatud. ¤Trapetsi kesklõigu teoreem- Trapetsi kesklõik on paralleelne trapetsi alustega ja kesklõigu pikkus võrdub aluste poolsummaga. ¤Mediaan- Aluse keskpunktist vastastippu
P = 4a Ristkülik: S = ab ( pindala = pikem külg x lühem külg) P = 2(a + b) 29. Rööpkülik:paralleelsete vastaskülgedega neli nurk.(Näide 27) S = ah (pindala = alus x kõrgus) P = 2(a + b) Omadused: 1)rööpküliku diagonaal jaotab rööpküliku kaheks võrdseks kolmnurgaks 2)Rööpküliku vastas küljed on võrdsed 3)rööpküliku vastas nurgad on võrdsed 4)rööpküliku lähisnurkade summa on 180' 5)rööpküliku diagonaalid poolitavad teineteist Nelinurga sisenurkade summa on 360' 30. Romb:Rööpkülikud,mille kõik küljed on võrdsed(Näide28) S = ah (pindala = alus x kõrgus) P = 2(a + b) Omadused: 1)romb on sümmeetriline oma diagonaalide suhtes 2)Rombi diagonaalid on teineteisega risti ja nad poolitavad rombi nurgad 31.Trapets:nelinurk mille kaks külge on paralleelsed ja kaks külge mitte paralleelsed(Näide29) S = (a + b)/2 *h (pindala = alus1; + alus2 : 2 x kõrgus) P=a+b+c+d Omadus:trapetsi haara lähinurkade summa on 180' 32.(Näide30)
Iga järgmise teoreemi tõestus põhineb eeltõestatuil. Eukledes tegeles ka astronoomiaga, optikaga, muusikaga ja veel mõne asjadega. Eukleidese teoreem: täisnurkse kolmnurga kaateti ruut võrdub korrutisega, mille üks tegur on hüpotenuus ja teine selle kaateti ristprojektsiooni hüpotenuusil. 300. aasta paiku eKr uuris vanakreeka matemaatik Eukleides kauguste ja nurkade vahelisi seoseid algul tasandil (idealiseeritud lamedal pinnal) ja siis ruumis. Näiteks on kolmnurga sisenurkade summa alati 180°. Neid uurimusi tuntakse tänapäeval kahe ja kolmemõõtmelise eukleidilise geomeetriana (planimeetria ja stereomeetriana).Tänapäeva matemaatika keeles on kaugus ja nurk hõlpsasti üldistatavad 4mõõtmelistele, 5mõõtmelistele ja veel kõrgemamõõtmelistele ruumidele. nmõõtmelist ruumi kauguse ja nurga mõistega, mis annavad Eukleidese leitud seoste analoogi, nimetatakse nmõõtmeliseks eukleidiliseks ruumiks.
nimetatakse põiknurkadeks, 16. Kahe sirge paralleelsuse tunnused. Kui kahe sirge lõikamisel kolmandaga tekivad võrdsed põiknurgad, siis on need sirged paralleelsed. Kaks sirget on paralleelsed, kui nende lõikamisel kolmanda sirgega tekkinud lähisnurkade summa on 180º. Kaks sirget on paralleelsed, kui nad asetsevad samal tasandil ega pikendamisel lõiku. 17. Kolmnurga välisnurk ja selle omadus. Kolmnurga sisenurkade summa. Välisnurk on kolmnurga sisenurga kõrvunurk. Kolmnurga sisenurkade summa on 180 kraadi. 18. Kolmnurga kesklõik, selle omadus. Kolmnurga kesklõiguks nimetatakse lõiku, mis ühendab tema kahe külje keskpunkte. Kolmnurga kesklõik on paralleelne kolmnurga alusega ja tema pikkus võrdub poolega sellest. 19. Rööpkülik, ristkülik, romb, ruut ja nende omadused. Rööpkülik on nelinurk, mille vastasküljed on paralleelsed. Vastasküljed on võrdse pikkusega. Vastasnurgad on võrdsed. Lähisnurkade summa on 180 kraadi.
PLANIMEETRIA Kolmnurk Kolmnurga sisenurkade summa on 180o , + + = 180o . Kolmnurga kõrgused lõikuvad ühes punktis. Kolmnurga nurgapoolitajad lõikuvad kõik ühes punktis, mis on kolmnurga siseringjoone keskpunktiks (raadius r on keskpunkti kaugus küljest). Kolmnurga mediaanid (küljepoolitajad) lõikuvad kõik ühes punktis, mis jaotab iga mediaani suhtes 2:1 vastavast tipust arvates. Kolmnurga külgede keskristsirged lõikuvad kõik ühes punktis, mis on kolmnurga ümberringjoone keskpunktiks (raadius R on keskpunkti kaugus kolmnurga tipust). Siinusteoreem: kolmnurga küljed on võrdelised vastasnurkade siinustega ehk a b c = = = 2R . sin sin sin Koosinusteoreem: kolmnurga ühe külje ruut on võrdne ülejäänud külgede ruutude summaga, millest on lahutatud ...
1. kirjelda mördi mehhaniseeritud pinnale kandmist. 1. Seinte loodimine, majakate ja juhtlaudade paigaldamine 2. Lagedele mördi kandmine ja tasandamine 3. Mördi kandmine seintele 4. Mördi tasandamine seintele 5. põrandalt mördi kogumine 6. sisenurkade viimistlemine ja karsiiside tõmbamine 7. välisnurkade tegemine ja juhtlaudade eemaldamine 8. liivata tasanduskihi paigaldamine ja selle lihvimine 2. kirjelda sisenurga krohvimist. 1. viskame nurgale kaheltpoolt vedelat mörti 2. ühtlustame mördi kihi poolhõõruki tõmmetega nurgast seina poole 3. kontrollime nurga sirgejoonelisust kahe meetri pikkuse rihtlatiga, vertikaalsust nöörloodi või vaaderpassiga 4
Täienda joonist ning arvuta trapetsi pindala. 30. (2003) Ristküliku KLMN (vt joonist) kohta on antud: Kl = 48 cm, cos = 0,96, punktid A ja B on vastavalt külgede KN ja KL keskpunktid. Leia viisnurga ABLMN ümbermõõt. 31. (2004) Kolmnurga üks nurk on teisest nurgast 720 võrra suurem ning kolmas nurk on teisest nurgast 4 korda suurem. 1) Kui suur on kolmnurga sisenurkade summa? 2) Arvuta kolmnurga iga sisenurga suurus. 3) Mis liiki kolmnurgaga on tegemist liigitamisel nurkade järgi? 32. (2004) Kolmnurga üks nurk on teisest 3 korda suurem ning kolmas nurk on esimest 260 võrra suurem. 1) Kui suur on kolmnurga sisenurkade summa? 2) Arvuta kolmnurga iga sisenurga suurus. 3) Mis liiki kolmnurgaga on tegemist liigitamisel nurkade järgi? 33
·° Korrapärane hulknurk: sisenurk on Kolmnurk: On määratud, kui ; , . Sisenurkade summa on 180°, välisnurkade summa on 360°. Mediaanide lõikepunkt raskuskese, jaotab mediaanid lõikudeks suhtes : . Nurgapoolitajate lõikepunkt siseringjoone keskpunkt, .
· Ümbermõõt (Joonis nr. 1) Kuna rombil on küljed võrdsed, võrdub ümbermõõt neljakordse külje pikkusega. Valemiks on P= 4a P= 3 · 4= 12 cm. Vastus: Ümbermõõt on 12 cm. · Pindala (Joonis nr. 1) 1) S= ah S= 4 ·2= 8 cm2. Vastus: Pindala on 8 cm2. 1) S= d1 ·d2:2 S= 6 · 6: 2= 36:2=18 cm2 Vastus: Pindala on 18 cm2. · Rombi mille nurgad on täisnurgad, nimetatakse ruuduks. · Joonis nr. 1 a) A=C B=D Kehtib lähisnurkade omadus. b) A+C= 180° B+D= 180° Kehtib sisenurkade summa omadus. A+C+B+D= 360° · Joonis nr. 2 a) Ümbermõõt P= 4a P= 3 · 4= 12 cm Vastus: Ümbermõõt on 12 cm. b) Pindala (diagonaal) 1. S= d1 · d2 : 2 S= 2 · 2 : 2= 2 cm Vastus: Pindala on 2 cm. c) Pindala (vaelmi järgi) 2 S= ah S= 3,3 · 2= 6,6 cm2 Vastus: Pindala on 6,6 cm2
nurgad on 100°;100°;80°;80° 27.Kolmnurga välisnurgad - sisenurga Ül.762 kõrvunurk, seega Antud: kolmnurga välisnurk 76°; temaga sisenurk+välisnurk=180°; mitte kõrvuti olev sisenurk on 25° omadus (teoreem): välisnurk võrdub Leida: kolmnurga nurgad, kolmnurga liik temaga mitte kõrvuti olevate sisenurkade summaga; tähiste abil lk.162 vaata Üks sisenurk (välisnurga kõrvunurk) 180°-76°=104°. Teine sisenurk 76°-25°=51°. Kolmnurga nurgad on 25°, 51° ja 104°. NB saab kasutada kolmnurga sisenurkade See kolmnurk on nürinurkne ja isekülgne. leidmisel; piirdenurga omaduse tõestamisel 28
Lk35 Inimeste teadmised nähtuste kohta üha laienevad, kuid inimene ei saa tunnetada asja iseeneses sellisena, nagu ta tegelikult on, s.t väljaspool tunnetuse aprioorseid vorme. Analoogia võiks siin olla näiteks selline: kuiinimestel oleksid ees värvilised prillid ja nad ei suudaks neist kuidagi vabaneda, siis ei saaks nad midagi öelda selle kohta, mis värvi maailm tegelikult on. Lk41 Millise väite paikapidavuse üle saab otsustada deduktiivse arutluse põhjal? 1. Kolmnurga sisenurkade summa võrdub kahe täisnurgaga. Millise väite paikapidavuse üle saab otsustada kogemuse põhjal. 1. Pooled tudengitest käivad tööl. John Locke'i arvates ("Essee inimmõistusest") pärinevad aistingutest näiteks järgmised ideed: 1. kollase, külma ja magusa ideed Bertrand Russelli arvates sarnaneb filosoofia teadusega, sest 1. Mõlemad tunnistavad inimmõistuse autoriteeti. Ratsionalismi seisukoht on, et 1. tõsikindel teadmine ei pärine kogemusest.
a) algmõisteteks; b) teoreemideks; c) aksioomideks; d) eeldusteks; e) Thaleese teoreemideks. Kolmnurga mediaan on kolmnurga a) nurgapoolitaja; b) keskristsirge; c) kõrgus; d) alus; e) küljepoolitaja. Trapetsi kesklõik on alustega a) risti; b) lõikuv ; c) paralleelne; d) võrdne; e) ühtiv. Kõrvunurkade summa võrdub a) põiknurgaga; b) kaasnurgaga; c) täisnurgaga; d) lähisnurgaga; e) sirgnurgaga. Kolmnurga sisenurkade summa on a) 100°; b) 360°; c) 90°; d) 180°; e) 50°. Tippnurgad on a) risti; b) 180° ; c) paralleelsed; d) võrdsed; e) teravnurgad. Korrapärase n-nurga sisenurkade summa on a) 180°; b) 180°(n-2); c) (n+2)180°; d) 90°; e) 360°. Ringjoonel ja selle puutujal on ühiseid punkte a) 1; b) 2; c) lõpmata palju; d) 0; e) vähemalt 3. Ringjoont, mis läbib kolmnurga kõiki tippe nimetatakse kolmnurga a) siseringjooneks; b) kõõluks; c)sektoriks; d) ümberringjooneks; e) kaareks.
lõikepunkt. Kesklõik: Trapetsi kesklõik on paralleelne trapetsi alustega ja kesklõigu pikkus võrdub aluste poolsummaga. 3. Kolmnurk: Liigid: · erikülgsed · võrdhaarsed · võrdkülgsed · teravnurgad · nürinurgad · täisnurgad Omadused: 1. Kolmnurga iga kahe külje summa on suurem, kui kolmas külg ja iga kahe külje vahe väiksem, kui kolmas külg. 2. Kolmnurga sisenurkade summa180° 3. Kolmnurga välisnurkade summa 360° 4. Kolmnurga iga välisnurk on võrdne temaga mitte kõrvuti asetsevate sisenurkade summa 5. Kolmnurgas on võrdsete külgede vastas võrdsed nurgad ja võrdsete nurkade vastas võrdsed küljed. 6. Kolmnurgas on suurema külje vastas suurem nurk ja suurema nurga vastas suurem külg. Pindala: S=ah/a Ümbermõõt: Ü=a+b+c 5. Ring: Mõiste: Ringiks raadiusega r nim
Pythagorase uskumused Tee ainult seda, mille tagajärjed sind ei kurvasta ega sunni sind kahetsema. Ära tee kunagi seda, mida sa ei oska, kuid õpi kõike,mida on vaja osata. Ära ole oma tervise vaenlane. Ära sule puhkama heites silmi enne, kui oled päeva jooksul tehtu läbi arutanud. Teadus võttis esmakordselt kasutusele kirjutise 2laeva + 2laeva = 4laeva asemel abstraktse kirjutise 2 + 2 = 4, mis võis käia kõigi asjade kohta. kolmnurga sisenurkade summa on kaks täisnurka avastas nn Pythagorase arvud (3² + 4²= 5²; 5² + 12²= 13 ²;...) avastas muusikateraapia Pythagoras oli esimene, kas hakkas maailma tervikuna kutsuma kosmoseks, kuid arvas, et Maa on maailma keskel ja ülejäänud planeedid ja taevakehad tiirlevad tema ümber Samuti oli Pythagoras see, kes arvas, et Maa ei saa olla lame, vaid peab olema kerajas, kuna just seda pidas ta kõige täiuslikumaks ja ilusamaks kehade seas Kõige tuntum teoreem on tal siiski
Need kõik pole aga ligilähedaseltki piisavad. Inimesed on liiga kinni enese leidmisel, pööramata tähelepanu teistele asjaoludele mis nende elu rahulolevana elada segavad. Need konseptsioonid, mis puudutavad "mina" olemust on tihti valesti mõistetud. Me hoiame liialt kinni asjades, mille olemasolust pole meil tegelikult vähimatki aimu. On vaid see arusaam, et meil on vaja leida universaalne tõde, mis kehtiks üheaegselt kõige kohta. Kuid niisamuti nagu kolmnurga sisenurkade summa pole täpselt 180 kraadi, mainimata fakti et see väljaspool Maad ei kehtigi, pole tõde eal konstantne. Kui meil oleks võime loobuda oma minevikus toodetud liigsest tundepagasist ja vajadusest teada saada, kes me oleme, ei oleks ka üksinduse tundmine probleem. Need takistused inimeste vahel pole kellegi teise loodud kui meie. Käsitledes veidi spetsiifilisemalt meie ahnust säilitada kõike võimalikku, mida me elus üles korjame, võib öelda, et egoism on põhjus meie nõrkuste
13. Võrdkülgne kolmnurk – kolmnurk, mille kõik küljed on võrdsed. 14. Erikülgne kolmnurk – kõik küljed erineva pikkusega. Nurgad on samuti erinevad. 15. Kolmnurk on tasapinnaline geomeetriline kujund. 16. Võrdhaarse kolmnurga alusnurgad on võrdsed 17. Võrdkülgse kolmnurga alusnurgad ja tipunurk on võrdsed. 18. Võrdhaarse kolmnurga aluse nurki nimetatakse alusnurkadeks ja aluse vastasnurka tipunurgaks. 19. Kolmnurga välisnurk on võrdne temaga mitte kõrvu olevate sisenurkade summaga. 20. Thalese teoreemi kohaselt on ringjoone diameetrile toetuv piirdenurk alati täisnurk. 21. Thalese pöördteoreem - Täisnurkse kolmnurga hüpotenuus on ühtlasi selle kolmnurga ümberringjoone diameetriks. Kui kombineerida Thalese teoreem ja tema pöördteoreem, siis saame järgmise tõese lause: Kolmnurga ümberringjoone keskpunkt asub ühel kolmnurga külgedest siis ja ainult siis, kui see kolmnurk on täisnurkne. 22
lõikajal vastassuunalised. 36. Põiknurkadeks nimetatakse kahte nurka, mille sisepiirkonnad on teine teisel pool lõikajat ja haarad lõikajal vastassuunalised. 37. Kui üks paar põiknurki on võrdsed, siis on võrdsed ka teine paar. 38. Kui põiknurgad on võrdsed, siis lähisnurkade summa on 180 kraadi. 39. Kolmnurga välisnurgaks nimetatakse tema sisenurga kõrvunurka. 40. Kolmnurga välisnurk võrdub temaga mitte kõrvuti olevate sisenurkade summaga. 41. Kolmnurga kesklõiguks nimetatakse lõiku, mis ühendab kolmnurga külgede keskpunkte. 42. Kolmnurga kesklõik on parallelne kolmnurga vastava küljega ning võrdub pikkuselt poolega sellest küljest. 43. Trapetsiks nimetatakse nelinurka, mille kaks külge on paralleelsed ja kaks külge mitteparalleelsed. 44. Trapetsi kesklõiguks nimetatakse lõiku, mis ühendab trapetsi haarade keskpunkte. 45. Trapetsi kesklõik on paralleelne trapetsi alustega. 46
matemaatilised väited peavad olema tõestatud. See tähendab seda, et kõik matemaatilised laused pidid olema tuletatavad fundamentaalsetest definitsioonidest vastuolu lubamatuse seaduse alusel. Kanti terminoloogias tuleks matemaatilisi väiteid nende leibnizlikus käsituses seega nimetada analüütilisteks otsustusteks, kuna sel juhul oleks predikaadi-mõiste subjekti-mõistest loogiliselt tuletatav. Nii näiteks on Leibnizi jaoks lause “Kolmnurga sisenurkade summa on võrdne kahe täisnurgaga” tõestatav üksnes vastuolu lubamatuse seadusest lähtudes ja seetõttu sisaldub tema veendumuse kohaselt predikaadi- mõiste "sisenurkade summa võrdne kahe täisnurgaga” subjekti-mõistes “kolmnurk”. Antud lauset eitades sattutakse loogilisse vasturääkivusse. Kuid Kanti eluajal olid tekkinud juba ka esimesed mitte-eukleidilised geomeetriad, mis võimaldasid
Sirgete paralleelsuse tunnus lähisnurkade järgi Kui kahe sirge lõikamisel kolmandaga tekkivate kolmnurkade lähisnurkade summa on 180 kraadi, siis sirged on paralleelsed. Sirgete paralleelsuse tunnus vastaskülgede paari järgi Kui kahe sirge lõikamisel kolmanda sirgega tekkivad Teroeem vastavalt ristuvate haaradega nurkadest Nürinurk ja tervanurk on 180 kraadi. Teoreem kolmnurga välisnurgast Välisnurk on võrdne mitte kõrvuti olevate sisenurkade summaga. Teoreem vastavalt paralleelsete haaradega nurkadest Kolmnurga kesklõik Lõiku, mis ühendab kolmnurga kahe külje keskpunkte, nimetatakse kolmnurga kesklõiguks. Trapetsi kesklõik Lõiku mis ühendab trapetsi haarade keskpunkte, nimetatakse trapetsi kesklõiguks. Kolmnurga mediaan Lõiku, mis ühendab kolmnurga tippu vastaskülje keskpunktiga, nimetatakse kolmnurga mediaaniks. Teoreem kolmnurga kesklõigust Kolmnurga kesklõik on paralleelne kolmnurga ühe
Kontrolliks lõpetatakse käik samuti riikliku geodeetilise võrgu punktides. 20. Skemaatiline joonis, millel näidatakse ära lähimad maastiku püsiobjektid ja mõõdetakse sidemed. 22. Väikesed juhuslikud vead(ei ületa äärmist viga /n=0, mõõtmistulemused kuhjuvad ümber õige tulemuse), suured juhuslikud vead, korreleeritud vead, süstemaatilised vead, jäme viga. 23. Horisontaalnurkade summa 1800 n-nurkse hulknurga sisenurkade summa peab olema (n-2)1800 sulgemisviga-saadud tulemus miinus teoreetiline 24. Enne mõõtmist tuleb joon maastikul tähistada, mille fikseerivad tema otspunktid. Joont tuleb min 2x mõõta! Britmarii Kroon Jaanuar, 2013 25. Tsentreerimine- teodoliidi põhitelg peab läbima nurga tippu. Kasutatakse nöör- ehk ripploodi. Horisonteerimine- põhitelg vertikaalseks. 27
Plekikäärid Krohvikellu - pinnale mördi kandmiseks, tasandamiseks, mördi segamiseks Ämber Liigendmeeter - väiksemate mõõdistamiste tegemiseks Pintsel- krohvipindade pesemiseks Rihtlatt - seina tasandamiseks ja kontrollimiseks Käsisaag Nöörlood - majakate tegemiseks Mördilabidas Mõõdulint - kuulub krohvija põhitöövahendite hulka ja seda on käepärasem kasutada Töölava - väiksemate kõrgemalasuvate pindade krohvimiseks Puitpoolhõõrik - ümatamate sisenurkade viimistlemiseks Kaldhõõrik - sise-ja välisnurkade silumiseks Metallsiluti - polümeerkrohvide ja viimistluskihi silumiseks Profiilhõõrik - ümarnurga tegemiseks Puithõõrik - erinevate pindade tasandamiseks Tsemendiprits - torkreetkrohvi tegemiseks Mördiprits Rihtlatt - seinte õigsuse kontrollimiseks Pärast tööriistade kasutamist tuleks need puhastada. 6.5.Tellingud ja töölavad,nõuded nende paigaldamisel. Monteeritava tellingu- töölava paigaldamine koosneb järgmistest
pinna vahekaugus olema ligikaudu 10…15 cm; Krundi õige pihustamine Pihustamisel tuleb püstolit hoida pinna suhtes 90o nurga all ja tema liikumiskiirus peab olema ühtlane; Pihustamisel tekitatakse ühtlased paralleelsed krundi triibud ülekattega kuni 75% Ülekate krundi pihustamisel Enne pinna kruntimist tuleb pihustada krunti detaili servadele. Välisservade puhul hoitakse püstolit vahetult serva ees. Sisenurkade puhul pihustatakse krunti eraldi igale nurka moodustavale pinnale (nurgast alustades ja nurgaga lõpetades). Esmalt kaetakse vertikaalne ja seejärel horisontaalne pind; Kui nõutavat kihi paksust ei saavutata ühe töökäiguga, pihustatakse järgmine kiht. Seejuures tuleks vaheldumisi kasutada horisontaalset ja vertikaalset pihustamist. Peale kruntimist ja kuivatamist näeb detail välja nagu fotol kujutatud. Käsiklotsi ja
sobivaimad lahendusvõtted: · kaks külge ja nendevaheline nurk lahendamist alustame koosinusteoreemi abil; · üks külg ja selle lähisnurgad lahendame siinusteoreemi abil; · kolm külge lahendamist alustame koosinusteoreemi abil; · kaks külge ja pikema külje vastasnurk lahendamist alustame siinusteoreemiabil. Lisaks siinus- ja koosinusteoreemile tuleb arvesse võtta järgnevat: · kolmnurga sisenurkade summa on 180o; · kolmnurga kahe lühema külje summa on suurem kolmnurga kolmandast küljest; · suurema külje vastas asub suurem nurk. Kui ülesanne on lahendatud, tuleb kontrollida, kas need tingimused on täidetud. Näide 1. Lahendame kolmnurga, kui a = 3 cm, b = 5 cm ja = 40o. Antud: a = 3 cm b = 5 cm = 40o Leia c, , ja S, a b = sin sin 3 5
a b V = R 3 R - välisringjoone raadius 3 s sisenurkade summa n - nurkade, külgede arv Võrdhaarne kolmnurk a Korrapärane Korrapärane Silinder Koonus h2 + x2 =b2 x = püstprisma S = Pr püramiid VV=
(Väike Entsüklopeedia, lk 244) 4 1.1. Kolmnurga nurgad Igas kolmest tipust moodustuvad kaks sirglõiku nurga. Vähemalt kaks neist on teravnurgad. Kui kolmas on ka teravnurk, nimetatakse kolmnurka teravnurkseks kolmnurgaks. Kuid üks nurk võib olla ka täisnurk või nürinurk. Kolmnurka nimetatakse siis vastavalt täisnurkseks või nürinurkseks kolmnurgaks. Kolmnurga sisenurkade summa on alati 180 kraadi (180°) ehk radiaani ( rad). Kolmnurga nurki tähistatakse tavaliselt kreeka tähtedega , ja . Kui tegemist on täisnurkse kolmnurgaga, on tähistatakse täisnurka tavaliselt tähega ning teravnurki tähtedega ja . 5 1.2. Kolmnurga küljed Kolmnurga küljed on kolmnurga tippe ühendavad sirglõigud, mis üksteisega moodustavad nurki. Kolmnurga kahe suvalise külje pikkuste summa on alati suurem kolmanda külje pikkusest
KIIRTETEOREEM: kui nurga haarasid lõigata paralleelsete sirgetega, siis ühel haaral tekkinud lõigud on võrdelised teise haara vastavate lõikudega Pöördteoreem. Kui sirged lõikavad nurga haarasid nii, et ühel haaral tekkinud lõigud on võrdelised vastavate lõikudega nurga teisel haaral, siis need sirged on paralleelsed. KOLMNURGAD 3/6 PLANIMEETRIA KORDAMINE Sisenurkade summa on 180° + + =180° a Kolmnurga kesklõik (q) on paralleelne ühe küljega ja võrdub poolega sellest q = ja q a 2 a b c Siinusteoreem: = = = 2R sin sin sin Koosinusteoreem
a b V = πR 3 R - välisringjoone raadius 3 s – sisenurkade summa n - nurkade, külgede arv Võrdhaarne kolmnurk a Korrapärane Korrapärane Silinder Koonus h2 + x2 =b2 x = püstprisma S = Pr püramiid VV=
Seejärel tee diagonaallõige, nagu on nädaitud joonisel. Selleks, et liimida kolmnurkseid tükke lihtsamalt ja ohtumalt, lõika spetsiaalse vuugi ettelõkiamisnoga kolmnurga tagumisele küljele soon. Soone sügavus ei tohi ületada poolt materjali paksust. Nüüd saab kolmnurka paremini murda ja nurgale paigaldada. Kolmnurk katab materjali ääri. Lõika üleliigne materjal maha ni, et moodustuks tihie liide. Kasuta kuumaõhupüstolit välis- ja sisenurkade nööriga ühendamiseks. Komplektis on erinevaid otsikuid nii nööri paigaldamiseks kui ka hilisemaks silumiseks (kui vaja). Põranda keskosas oleva vuugid tuleb samuti ette lõigata spetsiaalse vuuginoaga u. ¾ katte sügavuselt. Tõmmates kuumaõhupuhurit ütlse kiirusega enda poole, 270 kuni 280 keevitamise temp. Sulata keevitusnöör ettelõigatud soonde. Lase sulanud nööril jahtuda kuni toatemeratuurini. Pärast jahtumist alusta vuugi silumist. Esmane silumine tee nn
13. Võrdkülgne kolmnurk – kolmnurk, mille kõik küljed on võrdsed. 14. Erikülgne kolmnurk – kõik küljed erineva pikkusega. Nurgad on samuti erinevad. 15. Kolmnurk on tasapinnaline geomeetriline kujund. 16. Võrdhaarse kolmnurga alusnurgad on võrdsed 17. Võrdkülgse kolmnurga alusnurgad ja tipunurk on võrdsed. 18. Võrdhaarse kolmnurga aluse nurki nimetatakse alusnurkadeks ja aluse vastasnurka tipunurgaks. 19. Kolmnurga välisnurk on võrdne temaga mitte kõrvu olevate sisenurkade summaga. 20. Thalese teoreemi kohaselt on ringjoone diameetrile toetuv piirdenurk alati täisnurk. 21. Thalese pöördteoreem - Täisnurkse kolmnurga hüpotenuus on ühtlasi selle kolmnurga ümberringjoone diameetriks. Kui kombineerida Thalese teoreem ja tema pöördteoreem, siis saame järgmise tõese lause: Kolmnurga ümberringjoone keskpunkt asub ühel kolmnurga külgedest siis ja ainult siis, kui see kolmnurk on täisnurkne. 22
lahenduskäigust aru saab ning on võimeline näpuvead üles leidma 6. Leibnizi arvates ("Uued esseed inimmõistusest" Eessõna) K Ei ole õige on kõik tõed kogemuse alusel tõestatavad L Ei ole õige on kõik tõed sünnipäraste printsiipide alusel tõestatavad ? õige! on mõned tõed sünnipäraste printsiipide alusel tõestatavad 7. Millise väite paikapidavuse üle saab otsustada deduktiivse arutluse põhjal? M õige! Kolmnurga sisenurkade summa võrdub kahe täisnurgaga. N Ei ole õige Kuu teeb ringi ümber Maa ühe päevaga. Ei ole õige Õnn ei ole rahas, vaid raha hulgas. 8. Mis iseloomustab skeptikut? O ? Skeptik ei nõustu ühegi väitega P Ei ole õige Skeptik eitab näiteks asjade olemasolu siis, kui neid ei tajuta Õige! Skeptik hoidub näiteks väitmast, et asjad on olemas ka siis, kui neid ei tajuta 9. Bertrand Russelli arvates sarnaneb filosoofia teadusega, sest Q Õige
parandada. Kui pahteldatud kohad on kuivanud, lihvi ja krundi need kohad uuesti üle. Nüüd on seinad pahteldatud ning krunditud ja saab asuda seinu-lagesid viimistlusvärviga katma. Kuidas värvida lage? Ruumi värvimist alusta lae värvimisest. Lae värvimiseks kasuta pikakarvalist värvirulli, mis imab endasse palju värvi, jättes pinnale õige paksusega värvikihi ja ilusa struktuuri. Lae sisenurkade tegemiseks kasuta väiksemat, 10 cm laiust rulli ning lae põhilise pinna värvimiseks laia, 25 cm laiust rulli. Kindlasti kasuta lae värvimisel pikendusvart ja kaitseprille, et kaitsta silmi värvitilkade eest. Samuti võiks käepärast olla ka redel. Kui lagi on siledaks pahteldatud ja lihvitud, siis krundi pind üks kord ja värvi kaks korda laevärviga. Üldjuhul on laevärvid täismatid ja valged. Täismatt pinnalt paistavad pinnavead vähem välja kui läikivalt
Sümfüüs Luid ühendavad kõhrekihis esineb pilukujline õõs(puusaluu). Looma vananedes võivad ühendused asenduda luukoega, muutudes luuliidusteks. Liiges on selline ühendusvorm , kus liigestuvate luude otsade vahele jääb pilujas õõs. Luude ühendamise kõrval on liiges esiplaanil liikumisfuntsioon. Kehaosad ja regioonid Keha koosneb peast, kaelast, kerest, sabast ja jäsemetest. Pea jaguneb silmade sisenurkade ühendusjoonel ajuosaks ja näoosaks. Kael ühendab pead kerega. Kaelal eristatakse: dorsaalset kaelapiirkonda;külgmist kaelapiirkonda;õlavarre-pea lihase piirkonda. Kere jaotatakse rinnaks, seljaks, kõhuks ja vaagnaks. Rind - luuliseks aluseks on roided ja rinnak. Kõht on laialdane kere piirkond, mis ulatub roiete sisepinnale kinnituvast diafragmast kuni süleluukammiga piirneva kraniaalse vaagnaavani.
annaabi.ee 
