peatükk Kujundite sarnasus 1. Võrdelised lõigud: Kui kahe lõikude hulga vahel saab korraldada sellise vastavuse, et kõik vastavate lõikude jagatised on võrdsed, siis nimetatakse ühe hulga lõike võrdelisteks teise hulga lõikudega. Geomeetriline keskmine on võrdne ruutjuurega nende arvude korrutisest( tähistame:k ) Näide: Kolmnurgad on võrdelised. Leia x. 2. Kiirteteoreem: Teoreem: Kui nurga haarasid lõigata paralleelsete sirgetega, siis on nurga ühel haaral tekkinud lõigud võrdelised teisel haaral tekkinud lõikudega. Eeldus: Nurga O haarasid u ja v on lõigatud kahe paralleelse sirgega s ja t. s || t Väide: Kiirteteoreemi järeldus: Nurga haarade lõikamisel paralleelsete sirgetega tekivad võrdeliste külgedega kolmnurgad. Näide: Leia joonise järgi lõigu x pikkus, teades, et a ll b. 3. Sarnased Kolmnurgad: Nurga haarade lõikamisel paralleelsete sirgetega tekivad sarnased kolmnurgad
HULKNURKADE SARNASUS Kiirteteoreem NKN - Kui ühe kolmnurga kaks nurka on võrdsed teise kolmnurga vastavate nurkadega, siis need kolmnurgad on sarnased. Kui nurga haarasid lõigata paralleelsete sirgetega, siis nurga ühel haaral tekkinud lõigud on võrdelised teise haara vastavate lõikudega Näiteül.: Kas pildil olevad kolmnurgad on sarnased? Põhjenda http://www.miksike.ee/docs/elehed/9klass/3matemaatika/images/image894.gif
Kiirteteoreem Kui nurga haarasid lõigata paralleelsete sirgetega, siis nurga ühel haaral tekkinud lõigud on võrdelised teise haara vastavate lõikudega Kui sirged lõikavad nurga haarasid nii , et ühelhaaral tekkinud lõigud on võrdelised teisel haaral tekkinud lõikudega , siis lõikesirged on paralleelsed Kui nurga haarasid lõigata paral.sirgetega , siis on nurga haaral tekkinud lõigud võrdelised paral.sirgetel tekkinud lõikudega Nurga haarade lõikamisel paralleelsete sirgetega tekivad võrdeliste külgedega kolmnurgad.
Teoreemid Kiirteteoreem: Kui nurga haarasid lõigata paralleelsete sirgetega, siis ühel haaral tekkinud lõigud on võrdelised teise haara vastavate lõikudega. Kiirteteoreemi järeldus: Kui nurga haarasid lõigata paralleelsete sirgetega, siis tekivad võrdeliste külgedega kolmnurgad. k sarnasustegur Kaks hulknurka on teineteisega sarnased, kui nende hulknurkade vastavad nurgad on võrdsed ja küljed on võrdelised. Teoreem: Kahe sarnase hulga ümbermõõtude suhe võrdub vastavate külgede suhtega ehk sarnasusteguriga. P / P 1= k Teoreem: Kahe sarnase hulknurga pindalade suhe võrdub nende hulknurkade vastavate külgede suhte ruuduga ehk sarnasusteguri ruuduga. Kitsam variant:
suhtuvad nagu selle nurga lähisküljed ) Kolmnurga sise-ja ümberringjoone keskpunkti leidmine(1. nurgapoolitajate lõikepunkt, 2. külgede keskristsirgete lõikepunkt). Kolmnurga kongruentsuse tunnused(1. tunnus KNK, 2. tunnus NKN, 3. tunnus KKK ja tunnus KKN) Teoreem kolmnurga kesklõigust (Kesklõik on paralleelne küljega ja võrdub poolega sellest) Võrdelised lõigud. Kiirteteoreem (Kui nurga haarad on lõigatud paralleelsete sirgetega, siis ühel haaral tekkinud lõigud on võrdelised teise haara vastavate lõikudega. Nurga haarade lõikamisel paralleelsete sirgetega tekivad võrdeliste külgedega kolmnurgad) Kolmnurkade sarnasus. (Täisnurksete kolmnurkade sarnasuse tunnused. Kaks täisnurkset kolmnurka on sarnased, kui 1. ühe kolmnurga kaatetid on võrdelised teise kolmnurga kaatetitega; 2. ühe kolmnurga teravnurk võrdub teise kolmnurga teravnurgaga; 3
vastaskülje osadeks, mis suhtuvad nagu selle nurga lähisküljed ) 7. Kolmnurga sise-ja ümberringjoone keskpunkti leidmine(1. nurgapoolitajate lõikepunkt, 2. külgede keskristsirgete lõikepunkt). 8. Kolmnurga kongruentsuse tunnused(1. tunnus KNK, 2. tunnus NKN, 3. tunnus KKK ja tunnus KKN) 9. Teoreem kolmnurga kesklõigust (Kesklõik on paralleelne küljega ja võrdub poolega sellest) 10. Võrdelised lõigud. Kiirteteoreem (Kui nurga haarad on lõigatud paralleelsete sirgetega, siis ühel haaral tekkinud lõigud on võrdelised teise haara vastavate lõikudega. Nurga haarade lõikamisel paralleelsete sirgetega tekivad võrdeliste külgedega kolmnurgad) 11. Kolmnurkade sarnasus. (Täisnurksete kolmnurkade sarnasuse tunnused. Kaks täisnurkset kolmnurka on sarnased, kui 1. ühe kolmnurga kaatetid on võrdelised teise kolmnurga kaatetitega; 2. ühe kolmnurga teravnurk võrdub teise kolmnurga teravnurgaga; 3
vastaskülje osadeks, mis suhtuvad nagu selle nurga lähisküljed ) 7. Kolmnurga sise-ja ümberringjoone keskpunkti leidmine(1. nurgapoolitajate lõikepunkt, 2. külgede keskristsirgete lõikepunkt). 8. Kolmnurga kongruentsuse tunnused(1. tunnus KNK, 2. tunnus NKN, 3. tunnus KKK ja tunnus KKN) 9. Teoreem kolmnurga kesklõigust (Kesklõik on paralleelne küljega ja võrdub poolega sellest) 10. Võrdelised lõigud. Kiirteteoreem (Kui nurga haarad on lõigatud paralleelsete sirgetega, siis ühel haaral tekkinud lõigud on võrdelised teise haara vastavate lõikudega. Nurga haarade lõikamisel paralleelsete sirgetega tekivad võrdeliste külgedega kolmnurgad) 11. Kolmnurkade sarnasus. (Täisnurksete kolmnurkade sarnasuse tunnused. Kaks täisnurkset kolmnurka on sarnased, kui 1. ühe kolmnurga kaatetid on võrdelised teise kolmnurga kaatetitega; 2. ühe kolmnurga teravnurk võrdub teise kolmnurga teravnurgaga; 3
180° Tippnurgad nurgad, mis on ühe ja sama nurga kõrvunurkadeks. Tippnurgad on võrdsed. Kahe sirge lõikamine kolmandaga kaasnurgad, põiknurgad, lähisnurgad. Kahe paralleelse sirge lõikamisel kolmandaga: 1. kaasnurgad võrdsed; 2. põiknurgad võrdsed; 3. kahe lähisnurga summa on 180°. Kiirteteoreem: Nurga haarade lõikamisel paralleelsete sirgetega on ühel haaral tekkinud lõigud võrdelised teisel haaral tekkinud vastavate lõikudega.
Elektrood ühendatakse mõõteseadmega, lülitatakse seade sisse ja mõõdetakse lahuse elektrijuhtivus . Edasi lisatakse uuritavale lahusele mõõtelahust 0,5 ml kaupa. Iga kord määratakse pärast lahuse segamist juhtivus. Tiitrimist jätkatakse seni, kuni mõõtelahust on lisatud kahekordne kogus ekvivalentsega võrreldes. Katseandmete põhjal joonestatakse graafik juhtivuse sõltuvuse kohta lisatud mõõtelahuse mahust. Graafikule kantud punktid ühendatakse sirgetega, mille lõikepunkt annab mõõtelahuse koguse ekvivalentpunktis. Hapete segu tiitrimisel on graafikul kaks ekvivalentpunkti. Ekvivalentpunktile vastava mõõtelahuse mahu ja tema normaalsuse alusel arvutatakse tiitritavas lahuses olev happe hulk milligrammekvivalentides. Katseandmed: Kasutatud mõõtelahus 0,1010n NaOH Tugev hape HCl(10 ml) Lisatud mõõtelahuse Mõõdetud elektrijuhtivus
Vastus: Prisma ruumala on V = 3d 2 - ja see on maksimaalne, kui d = ehk V = 56 cm2. 4 3 9 7. (10p) On antud jooned y = sin x ja y = cos x. 1) Milliste x väärtuste korral lõigus - ; on nende joonte puutujad paralleelsed? 2 2 2) Leidke sirgetega x = 0 ja x = ning antud joontega piiratud kujundi pindala. 2 Lahendus: On antud jooned y = sin x ja y = cos x lõigul - ; . Joonte puutujad on paralleelsed, kui nende tõusud 2 2 on võrdsed: k1 = k2. Olgu k1 funktsiooni y = sin x tõus ja k2 funktsiooni y = cos x tõus.
Katseandmed koondatakse tabelisse. Kasutatud mõõtelahus .................. M ............................ Lisatud mõõtelahus Mõõdetud erijuhtivus ml , S/m 0 0,5 Märkus: Sellised tabelid koostada eraldi iga mõõdetava lahuse tarvis Katseandmete põhjal joonestatakse mõnes tabelarvutusprogrammis graafik erijuhtivuse sõltuvuse kohta lisatud mõõtelahuse mahust. Graafikule kantud punktid ühendatakse sirgetega, mille lõikepunkt annab mõõtelahuse koguse ekvivalentpunktis. Graafiku töötlemisel kasutada hästi täpse ja tiheda jaotusega telgesid, abijooni (vt. lisatud joonist) ja määrata lõikepunktid täpsusega 0,05...0,1 mL. Selleks teha graafik piisavalt suures mõõtkavas. Ekvivalentpunktile vastava mõõtelahuse ruumala ja tema molaarsuse (normaalsuse) alusel arvutatakse tiitritavas lahuses olev happe hulk millimoolides või milligrammekvivalentides
lisatud kahekordne kogus ekvivalentsega võrreldes (siin töös hapete segu korral ca 15 ml, tugeva ja nõrga happe korral ca 10 ml). Et jooned konduktomeetrilise tiitrimise graafikul oleksid sirged, ei tohi tiitrimise käigus lahuse maht oluliselt muutuda. Seetõttu peab titrant olema kontsentreeritum kui uuritav lahus. Katseandmete põhjal joonestatakse mõnes tabelarvutusprogrammis graafik erijuhtivuse sõltuvuse kohta lisatud mõõtelahuse mahust. Graafikule kantud punktid ühendatakse sirgetega, mille lõikepunkt annab mõõtelahuse koguse ekvivalentpunktis. Graafiku töötlemisel kasutada hästi täpse ja tiheda jaotusega telgesid, abijooni ja määrata lõikepunktid täpsusega 0,05...0,1 mL. Selleks teha graafik piisavalt suures mõõtkavas. Ekvivalentpunktile vastava mõõtelahuse ruumala ja tema molaarsuse (normaalsuse) alusel arvutatakse tiitritavas lahuses olev happe hulk millimoolides või milligrammekvivalentides (üheprootoniliste hapete puhul numbriliselt samad).
Ühele ja samale kaarele toetuvad piirdenurgad on võrdsed. Diameetrile toetuv piirdenurk on täisnurk. NURGAD Kahe sirge lõikamisel tekkinud kõrvunurkade summa on 180° ning tippnurgad on võrdsed. Kaks sirget on paralleelsed parajasti siis, kui nende lõikamisel kolmanda sirgega tekkinud · Kaasnurgad on võrdsed · Põiknurgad on võrdsed · Lähisnurkade summa on 180° KIIRTETEOREEM: kui nurga haarasid lõigata paralleelsete sirgetega, siis ühel haaral tekkinud lõigud on võrdelised teise haara vastavate lõikudega Pöördteoreem. Kui sirged lõikavad nurga haarasid nii, et ühel haaral tekkinud lõigud on võrdelised vastavate lõikudega nurga teisel haaral, siis need sirged on paralleelsed. KOLMNURGAD 3/6 PLANIMEETRIA KORDAMINE Sisenurkade summa on 180° + + =180°
lk 243-246; [5], lk 441-451). Loomulikult sobivad loetletud meetodid ka selliste funktsioonide määratud integraalide ligikaudseks leidmiseks, mille algfunktsioon avaldub elementaarfunktsiooni- na. 4.5 Kõvertrapetsi pindala Olgu funktsioon y = f (x) määratud, pidev ja mittenegatiivne lõigus [a, b]. Kujundit, mis on ülalt piiratud funktsiooni f graafikuga, alt x-teljega ning külgedelt sirgetega x = a ja x = b, nimetatakse kõvertrapetsiks. Määratud integraali mõisteni jõutigi selliste kujundite pindala leidmise ülesannet lahendades (vt näiteks [3], lk 209-214). Osutub, et kirjeldatud kõvertrapetsi pindala S on võrdne määratud integraaliga b S= f (x)dx.
sihivektorid a ja b on kollineaarsed Ühtivad sirged kolm vektorit a, b ja AB on komplanaarsed, vektorid on paarikaupa kollineaarsed 23. Sirge kanoonilised ja parameetrilised võrrandid ruumis. kanooniline võrrand: parameetriline võrrand: 24. Tasandi normaal. Tasandi üldvõrrand ruumis. Tasand võib olla määratud punktiga P(xp; yx; zp) ja normaalvektoriga n = (n1; n2; n3) Tasandi normaal (ristsirge) on risti selle tasandi kõigi sirgetega, mis asetsevad antud tasandil. (st vektorid n ja PQ on risti) tasandi vektorvõrrand: PQ n = 0 tasandi üldvõrrand: Ax + By + Cz + D = 0 x,y,z tasandi punkti koordinaadid; a,b,c kordajad vektorkujul: koordinaatkujul: 25. Ühe ja mitme muutuja funktsiooni mõisted. Elementaarfunktsioonid. Ühe muutuja funktsioon kui igale muutuja x väärtusele piirkonnas X vastab üks ja ainult
1. Tähistame pikima osalõigu pikkuse sümboliga 2. Muudame [a,b] tükeldust järjest peenemaks nii, et pikima osalõigu pikkus läheneb nullile. 3. Kui f on pidev lõigul [a,b] siis integraalsummal on taolises piirprotsessis lõplik piirväärtus. Või Olgu reaalarvulise muutuja x pidev ja tõkestatatud funktsioon lõigus [a,b], siis määratud integraal On arvuliselt võrdne xy-tasandil funktsiooni graafiku x-telje ning vertikaalsete sirgetega ja piiratud kujundi märgiga pindalaga. S.o x-teljest ülespoole ja allapoole jääva osa pindalade vahega. 15. Määratud integraali geomeetriline sisu: kõvertrapetsi pindala leidmine. Esitada vastav valem ilma tuletamata Jaotame lõigu [a,b] n osalõiguks punktidega , kusjuures 1. Fikseerime igal osalõgiul ühe punkti tähistades selle 2. Kui on väike muutub pidev funktsioon f osalõigul vähe, seega võib ta lugeda ligikaudselt võrdseks konstandiga e , kui
22. Sirgete paralleelsuse ja ristseisu tunnused. Kahe sirge vastastikused asendid. Paralleelsuse tunnused: sihivektorid kollinearsed (+ kontrollin et ei ühti) Ristseisu tunnused: sihivektorid on risti. 23. Sirge kanoonilised ja parameetrilised võrrandid ruumis. Kanoonilised võrrandid: (x-x1) / sx = (y-y1) / sy = (z-z1) / sz =täh. t. Parameetrilised võrrandid: 24. Tasandi normaal. Tasandi üldvõrrand ruumis. Tasandi normaal (ristsirge) on risti selle tasandi kõigi sirgetega, mis asetsevad antud tasandil. Tasandi võrrand ruumis: Ax + By + Cz + D = 0 Saadakse: (M0X)*n = 0 nx(x-x0) + ny(y-y0) + nz(z-z0) = 0. 25. Ellips (mõiste, kanooniline võrrand, tähiste selgitused). Ellipsiks nim kõigi selliste punktide P hulka tasandil, millest iga punkti kauguste summa kahest etteantud punktist F1 ja F2 on jääv suurus 2a, st |F1P| + |F2P| = 2a. Punkte F1 ja F2 nim ellipsi fookusteks.
..........................19 1 Kasutatud kirjandus.........................................................................................................................20 2 Määratud integraal Pindfunktsioon ning selle tuletis Kõverjooneline trapets on selline kujund, mis on piiratud kahe teineteisega (ja näiteks y-teljega) paralleelsete sirgetega, x-telje lõiguga [a ; b] ning funktsiooni y=f ( x) graafikuga. JOONIS 1 Määrates eelneval joonisel x -teljele punkti x ning määrata talle vastavusse X =f ( x ) , saame vaadelda kõverjoonelist trapetsit axXA . Selle pindala S on sõltuvuses x -st, seega saame, et pindala S on x funktsioon S=S( x) , mida nimetatakse pindfunktsiooniks. (T. Kraav) ∆S
27. Hüpotenuus täisnurkse kolmnurga kõige pikem külg, mis paikneb täisnurga vastas. 28. Irratsionaalarv reaalarv, mis pole ratsioonaalarv. 29. Jalg vana pikkuseühik, mis võrdub 12 tolliga. 1 jalg = 30,48cm. 30. Kaar kõverjoone kahe punkti vahele jääv osa. 31. Kaatet täisnurkse kolmnurga teravnurga vastas olev külg. 32. Kesknurk nurk, mille tipp asetseb ringi keskpunktis. 33. Kiirteteoreem kui nurga haarasid lõigata paralleelsete sirgetega, siis nurga ühel haaral tekkinud lõigud on võrdelised teise haara vastavate lõikudega. 34. Konstant suurus, mille väärtus vaadeldavas protsessis või mõttekäigus ei muutu. 35. Koonus keha, mille moodustab ühe oma kaateti ümber pöörlev täisnurkne kolmnurk. 36. Koordinaadid arvud, mis määravad üheselt punkti asukoha tasandil. 37. Kordarv naturaalarv, mis on esitatav ühest erinevate naturaalarvude korrutisena. 38
Kui on punkt M(x;y), siis selle kaugus fookustest MF1+MF2=2a. Ellipsi kanooniline võrrand: (F1(-c;0), F2(c,0) Ellipsi fookuste vahekauguse suhet ellipsi suure telje pikkusesse nimetatakse ellipsi eksentrilisuseks (tähistatakse e). ; 0e<1 Ellipsi omadused: · Ellips on sümmeetriline x-telje, y-telje ja koordinaatide alguspunkti suhtes. · Ellips lõikub koordinaattelgedega neljas punktis. · Ellips paikneb ristkülikus, mis on piiratud sirgetega. x=-a; y=-b; x=a; y=b. Ellipsi telgeteks on 2a (suur telg) ja 2b (väike telg). a- pikem pooltelg; b- lühem pooltelg. Hüperbool Hüperbooliks nim tasandi nende punktide hulka, mille kauguste vahe tasandi kahest antud punktist on absoluutväärtuselt konstantne. Neid kahte punkti nim fookusteks. Fookuste vahelist kaugust tähistatkse 2c. F1(-c;0), F2(c,0). Definitsioonis mainitud absoluutväärtust tähisttakse 2a.
On risti tasandi horisontaalidega (ka põhijäljega). 2) Tasandi esilangusjoone eestvaade on risti selle tasandi iga frontaali eestvaatega, ühtlasi risti tasandi esijäljega 29. Mis on tasandi normaal ja mis on tema tunnus kaksvaate alusel? Tunnus: Tasapinna normaal on risti iga sirgega vastaval tasandil. 30. Millise nurgaga mõõdetakse kahe tasandi vahelist nurka? Tasandite normaalide vahelise nurgaga (sest normaalid on risti kõigi tasandi sirgetega). 31. Millise nurgaga mõõdetakse nurka sirge ja tasandi vahel? Sirge ja tema ristprojektsiooni vahelise nurgaga sellel tasapinnal. 32. Nimetage põhilised lisaprojektsioonide saamise võtted. 1) Lisaekraani võte (muudetakse ekraani ja vastavate kiirte asendit paigale jääva objekti suhtes). 2) Uute kujutamiskiirte võte (objekti ja ekraani vastastikune asend jäetakse muutmata, muudetakse kujutamiskiirte sihti).
tasapinna iga frontaali eestvaatega. tasandi kaldenurk on väiksem kui 29. Mis on tasandil normaal ja mis on tema moodustajate oma pöörlemistelje suhtes. tunnuseks kaksvaatel? Tasapinna normaal- 40. Mis juhtumil lõikab tasapind pöördkoonust tasapinna ristsirge, mis on risti selle sirgeid mööda? Kui koonuse moodustajate tasapinna kõigi sirgetega k.a. frontaalid ja alguspunkt kuulub lõikavale tasapinnale ja horisontaalid. Normaali pealtvaade on risti tasapinna kaldenurk on väiksem koonuse tasapinna horisontaali pealtvaatega moodustajate omast telje suhtes. (põhijäljega) ja frontaali eestvaatega 41. Nimetage kõik teist järku jooned. Elliptiline (esijäljega). silinder,hüperboolne silinder, paraboolne 30
cos 2 cos 2 x cos x . 2 3. (23.05.1998, I, 10 punkti). On antud jooned y sin x ja y cos x . 1) Milliste x väärtuste korral lõigust 2 , 2 on nende joonte puutujad paralleelsed? 2) Leidke sirgetega x 0 ja x ning antud joontega piiratud kujundi pindala. 2 4. (23.05.1998, II, 20 punkti). On antud funktsioon f x sin x cos x . 1) Lihtsustage avaldist f x f x . 2) Lahendage võrrand f x 1 . 3) Lahendage võrratus f x 0 lõigus 0, . 4) Leidke funktsiooni f x miinimumkoht vahemikus 0,2 ja arvutage funktsiooni väärtus sellel kohal. 5. (06.06.1998, T, 10 punkti)
1 dx a dx a 12. lim a 1 0 lim a 1 02 1 x 0 2. 0 1 x 0 1 x Määratud integraali rakendusi. 1. Tasapinnalise kujundi pindala. Kui kõvertrapets (vaata joonist all) on piiratud ülalt ja alt vastavalt joontega y f x ja y g x ning vasakult ja paremalt vastavalt sirgetega x a ja x b, siis tema pindala saab leida valemist b S fx g x dx a Näide 12. Leida kõverate y cos x ja y cos 2x vahele lõigul 0, 2 olev pindala. Joonestame algul selle kujundi Näeme, et lõigul 0, 2 kõverad y cos x ja y cos 2x lõikuvad punktides, kus cos 2x cos x x 0, 23 , 43 , 2
Ellipse kanoonilise võrrand on x²/a²+y²/b²=1. Ellipsi omadused: 1.ellips on sümmeetriline koordinaattelgede suhtes. Järelikult koordinaatteljed on ellipsi sümmetriatelgedeks. Ellipsi seda sümmetriatelge, millel asuvad fookused, nim fokaalseks teljeks.Sümmeetriatelgede lõikepunkti nim ellipsi keskpunktiks ehk tsentriks. 2.Ellipsi ja x-telje lõikepunktide leidmiseks tuleb lahendada ellipsi võrrand ja x-telje võrrand y=0 süsteemina. 3. Ellips paikneb ristkülikus, mis on piiratud sirgetega x=a, x=-a, y=b ja y=-b e=c/a nim ellipsi ekstsentrilisuseks, kui c
1) jälgedega, 2) kolme punktiga, mis ei asetse ühel sirgel, 3) kahe lõikuva sirgega, 4) kahe paralleelse sirgega, 5) üks tasapind jälgedega ja teine kolme punktiga, mis ei asetse ühel sirgel. 53. Sõnastage sirge ja tasapinna lõikepunkti leidmise käik. 54. Mis sihilised on tasapinna normaali projektsioonid? Tasapinna normaal tasapinna ristsirge, mis on risti selle tasapinna kõigi sirgetega k.a. frontaalid ja horisontaalid. Normaali pealtvaade on risti tasapinna horisontaali pealtvaatega (põhijäljega) ja frontaali eestvaatega (esijäljega). 55. Joonestada valitud punktist A tasapinna (p;e) normaali n projektsioonid. 56. Millise nurgaga mõõdetakse kahe tasapinna vahelist nurka? Nende tasandite normaalide vahelise nurgaga. 57. Millise nurgaga mõõdetakse nurka sirge ja tasapinna vahel?
1 h B 1 n C D Joon. 28 Joon. 29 4.2. Sirgjoone ja tasandi ristseis Tasandi normaal (ristsirge) on risti selle tasandi kõigi sirgetega, mis asetsevad antud tasandil. Tasandi sirgetena on otstarbekas kasutada nivoosirgeid (horisontaali 14 ja frontaali), sest siis täisnurk projekteerub sellele ekraanile täisnurgaks, millega ta on paralleelne. Sirgjoon ja tasand on teineteisega risti, kui sirgjoone pealtvaade on risti tasandi horisontaali pealtvaatega ja eestvaade on risti tasandi frontaali eestvaatega. Tasandil on lõpmata palju normaale ning et ülesannet lahendada üheselt, siis
b.i.3. Kui f on pidev lõigul [a,b] siis integraalsummal on taolises piirprotsessis lõplik piirväärtus. b.ii. Definitsioon 2: Olgu reaalarvulise muutuja x pidev ja tõkestatatud funktsioon lõigus [a,b], siis määratud integraal On arvuliselt võrdne xy-tasandil funktsiooni graafiku x-telje ning vertikaalsete sirgetega ja piiratud kujundi märgiga pindalaga. S.o x-teljest ülespoole ja allapoole jääva osa pindalade vahega. 15. Töö arvutamine sirgjoonelisel liikumisel muutuvas jõuväljas. Tuletada vastav valem. a. Liikugu materiaaline objekt x-teljel punktist a punkti b. Mõjugu temale jõud F, mis üldiselt sõltub kordinaadist x, st F=F(x). Eesmärgiks on leida valem töö A arvutamiseks, mille jõud F teeb vaadelda objekti liikumisel punktist a punkti b
(näiteks kristalse süsiniku erikujud on teemant ja grafiit ) kui ka amorfsed. Kristallides paiknevad molekulid korrapäraselt ning moodustavad kristallvõre. Amorfsed ained sarnanevad struktuurilt vedelikega. Kehi, mille aatomitel on kindel paigutus ehk ruumvõre nimetatakse kristallilisteks kehadeks. Kindla paigutusega aatomite gruppe nimetatakse kristallideks. Kristalli aatomite ühendamisel kujuteldavate sirgetega saadud võretaolist moodustist nimetatakse Kõik kristallilised kehad on anisotroopsed. Nende füüsikalised omadused on piki kristalli erinevad, võrreldes omadustega risti kristalli. Nagu soojusjuhtivus, elektrijuhtivus. Erandiks on metallid, mis omades kristallvõre, ei ole anisotroopsed. Kristallilised kehad sulavad kindlal temperatuuril, mida nimetatakse. Kogu sulamise jooksul on temperatuur jääv.
Määratud integraal 1. Tähistame pikima osalõigu pikkuse sümboliga 2. Muudame [a,b] tükeldust järjest peenemaks nii, et pikima osalõigu pikkus läheneb nullile. 3. Kui f on pidev lõigul [a,b] siis integraalsummal on taolises piirprotsessis lõplik piirväärtus. Või Olgu reaalarvulise muutuja x pidev ja tõkestatatud funktsioon lõigus [a,b], siis määratud integraal On arvuliselt võrdne xy-tasandil funktsiooni graafiku x-telje ning vertikaalsete sirgetega ja piiratud kujundi märgiga pindalaga. S.o x-teljest ülespoole ja allapoole jääva osa pindalade vahega. 38. Kõvertrapetsi leidmine Jaotame lõigu [a,b] n osalõiguks punktidega , kusjuures 1. Fikseerime igal osalõgiul ühe punkti tähistades selle 2. Kui on väike muutub pidev funktsioon f osalõigul vähe, seega võib ta lugeda ligikaudselt võrdseks konstandiga e , kui Järelikult on ristkülik ja tema pindala avaldub ligikaudu kõrugse ja aluse korruisena
(α ┴ ε2), läbides püramiidi kõiki tahke ja servi (sele 26). Eestvaates projekteeruvad lõikekujundit määravad punktid 1''...6'' kõik tasandi α esijälgjoonele eα, kusjuures kaks punktipaari langevad kokku: 2''≡6'' ja 3''≡5''. Punktide pealt- ja vasakultvaated leitakse eestvaatest lähtuvate sidejoonte abil püramiidi tippu koonduvate külgservade vastavatelt projekt- sioonidelt. Lõikekujundi pealtvaade saadakse punktide 1'...6' järjestikusel ühendamisel sirgetega. Lõikekujundi tegelik kuju leitakse lisaekraani võttega. Selleks võetakse lõikekujundiga paralleelne ja temast vabal kaugusel lisaekraan ε4 koos lõikekujundi loomulikus suuruses projekteerunud kujutisega ja pööratakse ümber telje u vastu ekraani ε2. Ühtemoodi märgistatud punktide 1 ja 4 võrdne esikvoot, mis võetakse pealtvaatelt, paneb paika tegeliku kuju sümmeetriatelje 14. Sellest kummalgi
Joonis 5.1. k~overtarpetsi, kui f (x) 0 Joonisel 5.1 esitatud k~overtrapetsi pindala on b SabBA = f (x)dx. (5.1) a Oletame, et funktsioon f v~oib l~oigul [a; b] omada ka negatiivseid v¨a¨artusi. Olgu vaja arvutada joonisel 5.2 esitatud kujundi, mis on piiratud sirgetega x = a, x = b, x-teljega ja funktsiooni y = f (x) graafikuga, pindala. y y = f( x) a x b Joonis 5.2
graafiku puutuja tõus sellel kohal. Füüsikas on nihke tuletiseks aja järgi hetkkiirus, kiiruse tuletiseks omakorda kiirendus. Integraal määramata integraaliks nimetatakse funktsiooni algfunktsiooni leidmist ehk tuletise pöördfunktsiooni. Määratud integraal on arvuliselt võrdne xy-tasandil funktsiooni f(x) graafiku, x-telje ning vertikaalsete sirgetega x=a ja x=b piiratud pindalaga, kui f(x) reaalarvuline muutuja x on pidev ja funktsioon on tõkestatud lõigus [a, b] Newtoni-Leibnizi valem: Olgu funktsioon f(x) lõigus [a, b] integreeruv ja leidugu tal selles lõigus algfunktsioon F(x). Siis . Arve a ja b nimetatakse vastavalt integraali alumiseks ja ülemiseks rajaks. Lõiku [a; b] nimetatakse integreerimislõiguks. Näide. Loeng 2
Iga ruudu poolt kujutatav lastiruumi maht on iga trümmi jaoks erinev ja arvutatakse valemi järgi: Wt V= , N kus Wt on trümmi maht m3, N ruutude arv antud trümmi jaoks Määramaks mingi lasti massikeset, arvutatakse stoovimisteguri ja lasti massi järgi tema ruumala, mis jagatakse ruudu maastaabiga. Saadud ruutude arv annab ristküliku, mille täidab last. Lasti massikeskme leidmiseks ühendatakse ristküliku vastasnurgad sirgetega, mille lõikepunkt ongi lasti massikese. Rõhtmõõtkava 1:500 Püstmõõtkava 1:150 59 Oletame, et joonisel antud laeva esimese lastiruumi maht on 480 m 3 ja teise lastiruumi maht 720 m3. Siis vastab esimese lastiruumi üks ruut mahtu 4,4 m 3 ja teise lastiruumi üks ruut mahule 4,6 m3. Kui mingi lasti ruumala trümmis on 198 m3,, siis esindab seda mahtu ristkülik, mille
Nurgad sirgete ja tasandite vahel. Nurgad kahe sirge vahel. Olgu antud kaks sirget s1 ja s2, kusjuures pole oluline kas nad on tasandil või ruumis. Juuresoleval joonisel on sirged s1 ja s2 ruumi kiivsirged. Fikseerime mingi punkti A ja joonistame läbi tema kaks sirget ja , mis on vastavalt paralleelsed sirgetega s1 ja s2. Sirged ja tekitavad neli nurka. Tähistame neid 1, 2, 3 ja 4 abil. Seejuures 3 = 1, 4 = 2 ja 1+2= tõttu on olulisi ainult üks. Definitsioon. Sirgete s1 ja s2 vaheliseks nurgaks, mida tähistame , abil, nimetatakse sirgete ja vahelistest nurkadest 1, 2, 3 ja 4 vähimat. Selle definitsiooni kohaselt kahe sirge vaheline nurk on esimese veerandi nurk, s.o. Leiame nüüd valemid kahe sirge vahelise nurga arvutamiseks. Skalaarkorrutise abil lihtne
Kui f on pidev lõigul [a, b], siis on integraalsummal Sn taolises piirprotsessis lõplik piirväärtus. Seda piirväärtust nimetatakse funktsiooni f määratud integraaliks lõigul [a, b] ja tähistatakse Wikipediast Olgu f(x) reaalarvulise muutuja x pidev ja tõkestatud funktsioon lõigus [a, b], siis määratud integraal on arvuliselt võrdne xy-tasandil funktsiooni graafiku, x-telje ning vertikaalsete sirgetega x = a ja x = b piiratud kujundi märgiga pindalaga, s.o x-teljest ülespoole ja allapoole jääva osa pindalade vahega. 37. Too arvutamine sirgjoonelisel liikumisel muutuvas jouvaljas. Tuletada vastav valem. Vt konspekt 120-121 38. Maaratud integraali geomeetriline sisu: kovertrapetsi pindala leidmine. Tuletada vastav valem. Selleks jaotame l~oigu [a, b] n osal~oiguks punktidega x0, x1, x2, . . . . . . , xn, kusjuures a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn = b.
joonis 17) näitab multijoone iga komponentjoone nihke nulljoonest (Offset), värvuse (Color) ja joonetüübi (Ltype). Käsunuppe Add ja Delete kasutatakse uute komponentjoonte lisamiseks ja jooksva joone (sinisega esile tõstetud) eemaldamiseks. Väljavalitud joone nihet, värvust ja joonetüüpi saab muuta selleks on dialoogaknal vastavanimelised käsunupud olemas. Alamaken Multiline Properties (vt. joonis 18) võimaldab kujundada multijoone mõlema otsa kujusid: sulgeda jooneotsi sirgetega (Line) ja/või kaartega (Outer arc ja Inner arc), kus- juures nurk (Angle) võib olla kas joone teljega risti (90.000) või mõne muu nurga all. Sealjuures tähistab Start multijoone algust, End aga lõppu. Lisaks saab soovi korral värvida multijoone sisemuse (piirkonna Fill abil, ka värvus on valitav) ning multijoone murdekohti 24 esile tõsta (märkeruuduga Display joints). Multijoone standardtüüpi STANDARD ei saa
........ ........... 1 Joon. Pinna vektoriaalne käsitlus. Nimipind on määratletud nimi asendi vektoriga P ja nimi suuna ühiku vektoriga E. Tegeliku pinna arvutatud üleviidud pind on määratletud tegeliku asendi vektoriga Pa ja tegeliku suuna ühiku vektoriga Ea. Silindri vektoriaalsel käsitlusel antakse silindri telje asukoha vektor P, telje suuna vektor E, mis moodustavad tasapinna ning lisaks nimimõõtme (raadiuse kujul) vektor r. Tegelikud detailid saadakse piirates tasapinda sirgetega ning silindrit tasapindadega. VDT põhireegliteks on: a) Omadus mida mõõtmestatakse ja tolereeritakse on asendatud geomeetriliselt täislik pind (nimipind), mis ei ole tegelik tööpind. b) Tegelik pind on reaalse detaili pinna üleviidud pind, mis on saadud reaalse pinna mõõtmiste ning selle arvutamisel Gaussi meetodi alusel. c) Nimipinna määratletakse koordinaatide süsteemi abil. d) Eraldi ja sõltumatult on antud asendi ja suuna vektorid.
dub valemiga b S= y dx = y(t) x (t) dt. (11.1) a 11.2 Kõversektori pindala Definitsioon 11.1 Läbigu nullpunkti kaks sirget, mis moodustavad x-telje positiivse suu- naga vastavalt nurgad ja . Kõversektoriks nimetatakse tasandilist kujundit, mis on piiratud nimetatud sirgetega ning lisaks pideva mitte- negatiivse funktsiooni r = f () graafikuga, kus on nurk radiaanides. Joonis: http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/CalcII/PolarArea.aspx Lause 11.1 Pideva funktsiooniga r = f () määratud kõversektori pindala avaldub kujul 1 S= f 2 () d, (11.2)
S (T ) − s (T ) < ∆xk = (b − a) = ε, b − a k=1 b−a teoreemi 5.6 kohaselt on f integreeruv lõigus [a, b] . Tulles tagasi alapunkti 5.1 juurde, võime teoreemi 5.6 silmas pidades sõnastada Riemanni integraali geomeetrilise tähenduse: kui mittenegatiivne funktsioon f on lõigus [a, b] pidev, siis tema graafiku ja sirgetega x R= a, x = b ning y = 0 määratud kõvertrapetsil on pindala b ning see on võrdne integraaliga a f (x) dx. Tõepoolest, selline funktsioon f on lause 5.18 Rb kohaselt integreeruv, mistõttu teoreemi 5.6 põhjal S∗ = I∗ = I ∗ = S ∗ ja SaABb = a f (x) dx. Järeldusest 5.17 ja lausest 5.18 tuleneb vahetult järgmine pidevate funktsioonide in-
oleks naturaalarvuga. Samuti oleks meid üllatanud, kui kaaslase vanus oleks osutu- nud nullist väiksemaks. Samas kui otsitavaks on sõbra sõidukiirus, võiks see vabalt olla mistahes positiivne reaalarv. Kui lahendame võrrandeid oma lõbuks, võime täiesti ise otsustada, milliste arvu- dega ennast piirame. Näiteks kahe muutujaga lineaarvõrrandi korral on mõistlik end piirata reaalarvudega – nii saame ilusa vastavuse sirgetega tasandil [lk 184]. Ka ruutvõrrandi korral piirame end reaalarvudega [lk 87], kui tahame joonistada ilusat graafikut, ja samas võtame arvesse ka kompleksarvud [lk 89], kui soovime lahendit leida igale võimalikule ruutvõrrandile. Üldiselt kehtibki, et mida rohkem arve endale lubame, seda rohkem lahendeid võime ka leida. Näiteks võrrandil puuduvad lahendid ratsionaalarvudes, ent ometi eksisteerivad nad juba irratsionaalarvude hulgas. Võrrandil ei leidu
annaabi.ee 
