Leidsid 33 sarnast õppematerjali, mis on seotud failiga "Seosed täisnurkses kolmnurgas". Need materjalid aitavad sul teemat sügavamalt mõista.
täisnurkse, kaatet, hüpotenuus, teoreem, pythagoras, kaateti, pythagorase, projektsioon, jaotab, projektsiooni, geomeetriline, projektsioonid, filosoof, redel, kolmnurk, eukleides, matemaatik, geomeetria, sukelduja, lohet, kolmikud, esialgse, ruutjuur, eukleidese, lauset, definitsioonid, aksioomid, teoreemid, hõlmav, ranges, usulis, halbadeksPLANIMEETRIA Kolmnurk Kolmnurga sisenurkade summa on 180o , + + = 180o . Kolmnurga kõrgused lõikuvad ühes punktis. Kolmnurga nurgapoolitajad lõikuvad kõik ühes punktis, mis on kolmnurga siseringjoone keskpunktiks (raadius r on keskpunkti kaugus küljest). Kolmnurga mediaanid (küljepoolitajad) lõikuvad kõik ühes punktis, mis jaotab iga mediaani suhtes 2:1 vastavast tipust arvates. Kolmnurga külgede keskristsirged lõikuvad kõik ühes punktis, mis on kolmnurga ümberringjoone keskpunktiks (raadius R on keskpunkti kaugus kolmnurga tipust). Siinusteoreem: kolmnurga küljed on võrdelised vastasnurkade siinustega ehk a b c = = = 2R . sin sin sin
sin sin sin Koo sin usteoreem a 2 b 2 c 2 2bc cos b 2 a 2 c 2 2ac cos c 2 a 2 b 2 2ab cos Täisnurkne kolmnurk Pythagorase teoreem a 2 b 2 c 2 Eukleidese teoreem a 2 fc, b 2 gc Teoreem kõrgusest h 2 fc ab ch S 2 2 f c 90 0
PLANIMEETRIA III 1.Leida täisnurkse kolmnurga küljed, kui kolmnurga ümbermõõt on 12 cm ja kaatetite vahe on 1 cm. 2. Arvutada täisnurkse kolmnurga kaatetid, kui täisnurga poolitaja jaotab hüpotenuusi lõikudeks, mille pikkusedon 15 cm ja 20 cm. 3.Täisnurkse kolmnurga kaatetid suhtuvad nagu 5:6 ja hüpotenuus on 122 cm. Arvuta lõigud, milleks kõrgus jaotab hüpotenuusi. 4. Täisnurkse kolmnurga kaatetid on 8 cm ja 6 cm. Täisnurga tipust on tõmmatud ristlõik hüpotenuusile, leia selle pikkus. 5. Täisnurkse kolmnurga kaatetid on 16 cm ja 12 cm. Arvutada sise- ja ümberringjoone raadius. 6. Täisnurkse kolmnurga kaatetid on 15 dm ja 20 dm. Arvutada siseringjoone keskpunkti kaugus hüpotenuusioe joonestatud kõrgusest. 7. Täisnurkse kolmnurga üks kaatet on 15 cm ja siseringjoone raadius 3 cm. Leia selle kolmnurga pindala. 8
PLANIMEETRIA KORDAMINE NELINURGAD RÖÖPKÜLIK Vastasküljed on paralleelsed ja võrdsed Vastasnurgad on võrdsed Diagonaalid poolitavad teineteist Diagonaal jaotab rööpküliku kaheks pindvõrdseks kolmnurgaks Lähisnurkade summa on 180º ( Diagonaalide ruutude summa on võrdne külgede ruutude summaga: d 12 + d 22 = 2 a 2 + b 2 ) Ümbermõõt. P = 2( a + b ) Pindala: S = ah S = a b sin ROMB On võrdsete külgedega rööpkülik, seega on rombil kõik rööpküliku omadused. Lisaks on rombi diagonaalid risti ja poolitavad rombi nurgad,
p p x2+px+q=0; x1, 2 = - ± - q a b = a + (-b) Võrre S = ah 2 2 -a b = a (-b) = - ab a c b + = 180° Viete`i teoreem -a (-b) = ab = , - lähisnurgad x2+px+q=0; x1+x2= - p; x1x2=q -a : b = a : (-b) = - a : b b d y=ax2 + c a>0 -a : (-b) = a : b ad=bc
1. Teoreemid ja mõisted kolmnurgast 2. Mediaanlõik - Kolmnurga mediaaniks nimetatakse elementaargeomeetrias kolmnurga tipust vastaskülje keskpunkti tõmmatud lõiku või selle pikkust. Kolmnurgal on kolm mediaani. Kõik nad lõikuvad ühes punktis, mida nimetatakse mediaanide lõikepunktiks. Jaotab tipupoolse osa suhtes alumise osaga 2:1. 3. Kesklõik - Lõiku, mis ühendab kolmnurga kahe külje keskpunkte, nimetatakse kolmnurga kesklõiguks. Kolmnurga kesklõik on paralleelne kolmnurga ühe küljega ja võrdub poolega sellest küljest.Nende ristumiskoht on kolmnurga ümberringjoone 4. Nurgapoolitaja – nurgapoolitajaks nimetatakse tipust lähtuvat kiirt, mis poolitab nurga kaheks võrdseks nurgaks. Nende ristumiskoht on siseringjoone keskpunkt. 5
1. Teoreemid ja mõisted kolmnurgast 2. Mediaanlõik - Kolmnurga mediaaniks nimetatakse elementaargeomeetrias kolmnurga tipust vastaskülje keskpunkti tõmmatud lõiku või selle pikkust. Kolmnurgal on kolm mediaani. Kõik nad lõikuvad ühes punktis, mida nimetatakse mediaanide lõikepunktiks. Jaotab tipupoolse osa suhtes alumise osaga 2:1. 3. Kesklõik - Lõiku, mis ühendab kolmnurga kahe külje keskpunkte, nimetatakse kolmnurga kesklõiguks. Kolmnurga kesklõik on paralleelne kolmnurga ühe küljega ja võrdub poolega sellest küljest.Nende ristumiskoht on kolmnurga ümberringjoone 4. Nurgapoolitaja – nurgapoolitajaks nimetatakse tipust lähtuvat kiirt, mis poolitab nurga kaheks võrdseks nurgaks. Nende ristumiskoht on siseringjoone keskpunkt. 5
VanaKreeka matemaatik Pythagoras U. 569 eKr- 475 eKr Kertu Saaroja Pythagorase elust Sündis Samoses (Kreekas). Isa Mnesarchus oli kaupmees, tuli Tyre'st. Ema Pythaisi sünnikohaks oli Samos. Lapsepõlv Samoses, kuid rändas isaga ringi. Rännates õppis ta paljude õpetlaste käe all, omandas hea hariduse. Oskas mängida lüüral, tundis poeesiat. Tee matemaatika juurde leidis ta Thales'i ja tema õpilase Anaximanderi kaudu Oli mõned aastad Egiptuses, kus ta külastas paljusid templeid ja pidas preestritega diskussioone. U
p ⎛ p⎞ x2+px+q=0; x1, 2 = − ± ⎜ ⎟ − q a –b = a + (-b) Võrre S = ah 2 ⎝2⎠ -a ⋅ b = a ⋅ (-b) = - a⋅b a c b α + β = 180° Viete`i teoreem -a ⋅ (-b) = a⋅b = α,β - lähisnurgad x2+px+q=0; x1+x2= - p; x1x2=q -a : b = a : (-b) = - a : b b d y=ax2 + c a>0 -a : (-b) = a : b ad=bc
............võrdhaarne.................................... 0,1 dm, 1cm ja 10 mm ........................võrdhaarne......................... 2 m, 6 km ja 6 km .........................võrdhaarne........................ ÜLESANDEID TÄISNURKSE KOLMNURGA KÜLGEDE JA NURKADE LEIDMISELE 1. Milline on täisnurkse kolmnurga nurkade summa? ....................180*........... 2. Milline on täisnurkse kolmnurga teravnurkade summa? .......90*........................ 4. Arvuta täisnurkse kolmnurga teine 3. Täisnurkse kolmnurga mõlemad teravnurk, kui üks teravnurkadest on kaatetid on 5 cm. Joonesta see kolmnurk ja mõõda hüpotenuus ning teravnurgad. * 20º ...........70*..............
33. Leia joone y = 2x² + 2 need puutujad, mis läbivad koordinaatide alguspunkti. 1 1 1 1 34. Arvuta + + + ... + = 1+ 2 2+ 3 3+ 4 1991 + 1992 35. Leia ristküliku küljed, kui nende pikkuste vahe on 1 ja tipu kaugus diagonaalist on 2,4. 36. Lahenda võrratus log 1 x + 1 < log 1 4 - x 2 +1 2 2 37. Leia täisnurkse kolmnurga küljed, kui ta siseringjoone raadius r = 5 cm ja üks kaatet onteisest pikem 5 cm võrra. 38. Kahe linna vahemaa on 400 km. Mitme protsendi võrra väheneks autol selle vahemaa läbimiseks kuluv aeg, kui ta a) suurendaks kiirust 60% võrra? b) lisaks kiiruse suurendamisele 60% võrra swõidaks 10% võrra lühemat teed? 39. Leia milliste a parameetri a väärtuste korral on võrrandil 4 5 = positiivne lahend. 3 x - a ax - 2 40
Albu Põhikool Pythagorase teoreem Koostas:Merilin Talimaa Juhendaja: Ivi Madison Albu 2011 Pythagorase teoreem SISSEJUHATUS Pythagoras on usutavasti kuulsaim Sokratese-eelne filosoof, kuid tema isik on ümbritsetud nii suurest hulgast legendidest, et ajaloolist tõde on raske eritleda. Kindel pole seegi, kas ta ise midagi kirja pani, kõik teadmised Pythagorase isiku ja õpetuste kohta pärinevad hilisemast ajajärgust, peamiselt meie aja esimestest sajanditest. Tema kaasaegsed, Platon ja Aristoteles näiteks, mainivad teda oma kirjutistes vaid mõnel korral. Andmed Pythagorase kohta on ka küllaltki vastukäivad. Herakleitos (ca. 544-483 eKr) kirjutas: ``palju teadmine ei tee targaks, muidu oleks ta targaks teinud .. Pythagorase``. Kreeka ajaloolane ja luuletaja Herodotos (ca. 484-425 eKr) seevastu
S ; S ; S p ( p a )( p b)( p c) ; p ; 2 2 2 abc S pr ; S 4R 5. Kolmnurga kõrgus (h on ristlõik külje ja selle vastastipu vahel) , mediaan (m on lõik külje keskpunkti ja selle vastastipu vahel. Mediaanid lõikuvad ühes punktis ja see lõikepunkt jaotab mediaani osadeks, mis suhtuvad nagu 2:1, lähtudes tipust) ja nurgapoolitaja (k on lõik, mis poolitab sisenurga ja nurgapoolitaja iga punkt asetseb nurga haaradest võrdsel kaugusel) 6. Kolmnurga sisenurga poolitaja omadus (Kolmnurga sisenurga poolitaja jaotab vastaskülje osadeks, mis suhtuvad nagu selle nurga lähisküljed ) 7. Kolmnurga sise-ja ümberringjoone keskpunkti leidmine(1. nurgapoolitajate lõikepunkt, 2. külgede keskristsirgete lõikepunkt). 8
S= ; S= ; S = p ( p - a )( p -b)( p -c ) ; p= ; 2 2 2 abc S = pr ; S= 4R 5. Kolmnurga kõrgus (h on ristlõik külje ja selle vastastipu vahel) , mediaan (m on lõik külje keskpunkti ja selle vastastipu vahel. Mediaanid lõikuvad ühes punktis ja see lõikepunkt jaotab mediaani osadeks, mis suhtuvad nagu 2:1, lähtudes tipust) ja nurgapoolitaja (k on lõik, mis poolitab sisenurga ja nurgapoolitaja iga punkt asetseb nurga haaradest võrdsel kaugusel) 6. Kolmnurga sisenurga poolitaja omadus (Kolmnurga sisenurga poolitaja jaotab vastaskülje osadeks, mis suhtuvad nagu selle nurga lähisküljed ) 7. Kolmnurga sise-ja ümberringjoone keskpunkti leidmine(1. nurgapoolitajate lõikepunkt, 2. külgede keskristsirgete lõikepunkt). 8
1074 kahe kõõlu vaheline nurk; toetub kaarele, mis Arvuta piirdenurk, mis toetub kaarele 100°. jääb kõõlude teiste otspunktide vahele; 100°:2=50° suurus=kaar kraadides:2 või samale kaarele Kui suur on kaar, millele toetub piirdenurk toetuv kesknurk:2; kõik samale kaarele 80°? toetuvad piirdenurgad (tipp asub erinevalt) on 2 80°=160° võrdsed vaata lk.177 NB piirdenurga 90° kohta kehtib Thalese teoreem 4.Piirdenurga omadus - teoreem: piirdenurk Ül.1078 on pool temaga samale kaarele toetuvast 1.joonis kesknurgast; tõestus tuleb esitada kolmes antud: piirdenurk kui võrdhaarse kolmnurga osas vastavalt sellele, kas ringi keskpunkt on alusnurk 70°, leida nurgad n,p,q,r o piirdenurga ühel haaral, piirdenurga sees või n=70 võrdhaarse kolmnurga alusnurk o o o
17. Biruutvõrrand neljanda astme võrrand kujul ax4+bx2+c=0. 18. Diagonaal hulknurga kaht mitte ühele küljele kuuluvat tippu ühendav lõik või sirge. Hulknurga kaht mitte ühele tahule kuuluvat tippu ühendav lõik. 19. Diameeter ringjoone keskpunkti läbiv lõik, mis ühendab ringjoone kaht punkti. Sfääri keskpunkti läbiv lõik, mis ühendab sfääri kaht punkti. 20. Diskriminant avaldis, mis on ruutvõrrandi lahendivalemis juuremärgi all. 21. Eukleidese teoreem täisnurkse kolmnurga kaateti ruut võrdub selle kaateti projektsiooni ja hüpotenuusi korrutisega : a2=fc ja b2=gc 22. Geomeetriline keskmine ruutjuur kahe positiivse arvu korrutisest. 23. Harmooniline keskmine kahe arvu a ja b kahekordse korrutise jagatis nende arvude summaga . 24. Hektar pindalaühik 1ha = 10 000m2. 25. Hulkliige üksliikmete summa . 26. Hulktahukas e. polüeeder hulkadega piiratud geomeetriline keha. 27
GEOMEETRIA Eksam 9.klass 1. (1996) Võrdhaarse kolmnurga haar on 1,3 dm ja alusele tõmmatud kõrgus 0,5 dm. Arvuta kolmnurga ümbermõõt. 2. (1996) Täisnurkse trapetsi teravnurk on 71° ning alused 35 cm ja 28 cm. Arvuta trapetsi pindala. 3. (1997) Ristküliku diagonaal on 25 cm ja ta moodustab ristküliku ühe küljega nurga 650. Arvuta ristküliku ümbermõõt. 4. (1997) Ristküliku diagonaal on 15 cm ja ta moodustab ristküliku ühe küljega nurga 350. Arvuta ristküliku pindala. 5. (1997) Täisnurkse kolmnurga kaatetid on 2,4 cm ja 3,2 cm. Arvuta kolmnurga ümbermõõt ja pindala. 6
5)iga kahe punkti A ja B korral AB=BA 6)väljaspool sirget olevat punkti läbib ainult üks sirge, mis on paralleelne antud sirgega (paralleelide aksioom) 9.Teoreem - lause, mille tõesust saab Ül.596 põhjendada varem teada olevate tõdede Teoreem (kõrvunurkade omadus). abil Kõrvunurkade summa on 180°. Teoreem (tippnurkade omadus). NB kasutatakse teiste teoreemide Tippnurgad on võrdsed. tõestamisel Teoreem (3-ga jaguvuse tunnus). Arv jagub 3-ga parajasti siis, kui tema ristsumma jagub 3-ga.
1290 sisestada ruutjuure alune arv arvutisse, Leida arvutil ruutjuur, ümardada vajutada klahvile "ruutjuur"; vajadusel sajandikeni. ümardada; arv on väiksem kui 1: ruutjuur =9.542012366 9,54 antakse standardkujul, näiteks 6.1646 -01, s.t. et koma tuleb nihutada ühe koha võrra =99.994999875 99,99 vasakule 0,61646, ümardades vastuse näiteks sajandikeni 0,62 NB ruutjuure saab leida ka vastava matemaatilise tabeli abil 7.Korrutise ruutjuur - TEOREEM. Näited. Mittenegatiivsete arvude korrutise ruutjuur võrdub tegurite ruutjuurte korrutisega. NB ühest ruutjuurest võib saada kahe (mitme) ruutjuure korrutise või vastupidi 8.Jagatise ruutjuur - TEOREEM. Ül.1304, 1306 Mittenega-tiivse arvu ja positiivse arvu jagatise ruutjuur võrdub jagatava = = ruutjuure ning jagaja ruutjuure jagatisega. = = =
ja 14-23.(Näide 13-22) 24.Funktsiooni väärtus-y-väärtus Argument-x-väärtus Ordinaat-y-väärtus Abstsiss-x-väärtus 25-27.(Näide 23-25) 28. Ruut: (Näide26) S = a² (pindala = alus x alus) P = 4a Ristkülik: S = ab ( pindala = pikem külg x lühem külg) P = 2(a + b) 29. Rööpkülik:paralleelsete vastaskülgedega neli nurk.(Näide 27) S = ah (pindala = alus x kõrgus) P = 2(a + b) Omadused: 1)rööpküliku diagonaal jaotab rööpküliku kaheks võrdseks kolmnurgaks 2)Rööpküliku vastas küljed on võrdsed 3)rööpküliku vastas nurgad on võrdsed 4)rööpküliku lähisnurkade summa on 180' 5)rööpküliku diagonaalid poolitavad teineteist Nelinurga sisenurkade summa on 360' 30. Romb:Rööpkülikud,mille kõik küljed on võrdsed(Näide28) S = ah (pindala = alus x kõrgus) P = 2(a + b) Omadused: 1)romb on sümmeetriline oma diagonaalide suhtes
Selle võrrandi lahend on x = 6. 11. Kahe tundmatuga lineaarvõrrandi lahendamine (Graafiline, liitmisvõte, asendusvõte) 12. Tekstülesannete lahendamine lineaarvõrrandsüsteemi abil. 13. Defineerimine ja algmõisted. Definitsioon on mõiste lühike ja täpne seletus. Mõisted, mida ei saa seletada nimetatakse algmõisteteks. Algmõisteid ei defineerita, vaid neile antakse nii täpne kirjeldus, kui see võimalik on ja tuuakse selgituseks näiteid 14. Teoreem ja aksioom. Eeldus ja väide. Pöördteoreem. Põhitõdesid, mida ei saa tõestada, nimetatakse aksioomideks. Teoreem on lause, mille õigsust tõestatakse arutluse abil. Teoreem koosned eeldusest ja väitest. Kui vahetame ära eeldus ja väite, saame pöördlause: v => e Antud lause pöördlause võib olla nii tõene kui ka väär. Kui pöördlause on tõene, siis nimetame seda pöördteoreemiks. 15. Kahe sirge lõikamisel kolmanda sirgega tekkivad nurgad.
oleksid võrdelised. 19. Nurga haarad on lõigatud kahe paralleelse sirgega. Lõikajate lõigud haarade vahel on 4 cm ja 10 cm. Nurga haarade lõigud nurga tipust teise lõikajani on 15 cm ja 25 cm. Arvuta nurga haarade lõikude pikkused nurga tipust esimese lõikajani. 20. Kolmnurga lõikamisel sirgega, mis on ühe küljega paralleelne, tekkis trapets, mille alused on 2,4 cm ja 6 cm ning haarad 2,7 cm ja 3,6 cm. Arvuta kolmnurga külgede pikkused. 21. Täisnurkse trapetsi alused on 20 cm ja 12 cm ning pikem haar 17 cm. Arvuta trapetsi pindala. 22. Võrdhaarse trapetsi alused on 20 cm ja 10 cm ning kõrgus 12 cm. Arvuta trapetsi ümbermõõt. 23. Rombi külg on 5,2 cm ja üks diagonaal on 9,6 cm.Arvuta rombi pindala. 24. Rombi diagonaalid on 60 cm ja 32 cm. Arvuta rombi ümbermõõt. 25. Arvuta poolringikujulise kujundi ümbermõõt, kui ringjoone raadius on 8 cm. 26. Täisnurkse kolmnurga üks kaatet on 20 cm ja selle lõhisnurk on 60°
vastavad väärtused. Koostame tabeli u (cm) 0,5 1 2 3 5 10 S (cm2) 1,5 6 24 54 150 600 See tabel esitab seost kuubi serva pikkuse ja kuubi pindala vahel. NÄIDE 2. Kui võrdhaarse kolmnurga kaatetite pikkus on v cm, s.o. AC = BC = v (vt joonist), B C A siis selle kolmnurga pindala vv 1 2 S v . 2 2 Saadud valem 1 S v2 2 esitab seost antud kolmnurga kaateti pikkuse v ja pindala S vahel. Edasi vaatame ülesandeid. 1. On antud ruutfunktsioon y = 3x2, kus x Z ja 4 x 2 . Koosta muutujate x ja y vastavate väärtuste tabel ning esita selle ruutfunktsiooni määramispiirkond ja väärtuste piirkond nende elementide loeteludena. Lahendus: On antud ruutfunktsioon y = 3x2, kus x Z ja 4 x 2 . Kui x = 4, siis y = 3 . ( 4)2 = 3 . 16 = 48, x = 3, siis y = 3 . ( 3)2 = 3 . 9 = 27; x = 2, siis y = 3
1o = rad ; 180 1 rad 57,3o . (kraadides) 0o 30o 45o 60o 90o 180o 270o 360o x (radiaanides) 0 3 2 6 4 3 2 2 3.2 Teravnurga trigonomeetrilised funktsioonid Täisnurkse kolmnurga teravnurkade trigonomeetrilised funktsioonid on järgmised. vastaskaatet a b Teravnurga siinus = ; sin = , sin = hüpotenuus c c lähiskaatet b a c Teravnurga koosinus = ; cos = , cos =
.................................................................12 Võrrandi samaväärsus.............................................................................................................13 Lineaarvõrrand........................................................................................................................13 Ruutvõrrand............................................................................................................................13 Viete teoreem......................................................................................................................14 Biruutvõrrand..........................................................................................................................14 Murdvõrrand...........................................................................................................................14 Parameetreid sisaldav võrrand................................................................
1o rad ; 180 1 rad 57,3o . (kraadides) 0o 30o 45o 60o 90o 180o 270o 360o x (radiaanides) 0 3 2 6 4 3 2 2 3.2 Teravnurga trigonomeetrilised funktsioonid Täisnurkse kolmnurga teravnurkade trigonomeetrilised funktsioonid on järgmised. vastaskaatet a b Teravnurga siinus ; sin , sin hüpotenuus c c lähiskaatet b a
Nt. (0), 2, 4, 6, 8, 10, 12, ... Kahe paarisarvu liitmisel saadakse paarisarv, ning kahe paarisarvu korrutamisel saadakse samuti paarisarv. Nt. 18+18=36; 18*18=324. Paaritu arv on täisarv, mis ei jagu kahega. Nt. 1, 3, 7, 9, 11, 13 ...Kahe paaritu arvu korrutamisel saadakse paaritu arv, kuid kahe paaritu arvu liitmisel saadakse paarisarv. Nt. 7*7=49; 7+7=14. Parabool on ruutfunktsiooni graafik. Parabooli haripunkt on punkt, mis asub parabooli sümmeetriateljel. See jaotab parabooli kaheks haruks. Paralleelsed sirged on sirged, mis pikendamisel üksteisega kunagi ei ristu. Sirged a ja b ning sirged d ja e on paralleelsed. Piirdenurk on nurk, mille tipp on ringjoonel ja haarad lõikavad ringjoont nimetatakse piirdenurgaks Punkti abtsiss ehk x - koordinaat on esimene punkti koordinaatidest ühe-, kahe- või kolmemõõtmelises koordinaadistikus. Punkti ordinaat ehk y - koordinaat on teine punkti koordinaatidest ühe-, kahe- või
algandmete täpsusega. 16 17 5. ÜLESANNE (10 punkti) Ülesannete tekstid b I Tiik on täisnurkse trapetsi kujuline. Trapetsi alusteks olevate kallaste pikkused on a ja b (a b) ning nendega ristuva kalda c pikkus on c, vt joonist. Trapetsi diagonaalide lõikepunktis paikneb purskkaev. 1) Leidke purskkaevu kaugus tiigi kaldast pikkusega a. a 2) Arvutage see kaugus, kui a = 60 m, b = 40 m ja c = 30 m. II Hoone külgsein on täisnurkse trapetsi kujuline
R Vaatleme täisnurkset kolmnurka OBC. Lõik 2 8 OB = 4 cm (pool kõrgusest) ja BC h , kus O 3 h on põhjaks oleva kolmnurga kõrgus ja samas 3 R ka mediaan, kuna kolmnurk on võrdkülgne. 3 Mediaanide lõikepunkt jaotab mediaani suhtes 2 B C 1 : 2 ja tipu poole jääb nii h . 3 3 2 3 Leiame Pythagorase teoreemi abil kolmnurga kõrguse h 32
c) (6 - 7i)(5 + i)(3 - 5i) d) 2i(7 + 10i)(2 - 4i) ja ainult üks tasandi punkt. e) (2 - 3i)(-1 - i)(3 + 4i) f) (5 + 4i)(-2 - i)(5 - 4i)(-2 + i) Tutvume veel ühe olulise mõistega. Selleks on kompleksarvu moodul. Paneme tähele, et lõik koordinaatide alguspunktist antud kompleksarvuni a + bi on täisnurkse 835. Leia jagatis. kolmnurga hüpotenuus. Selle kolmnurga kaatetite pikkused on a ja b. Seega 1 3+i 2i - 3 3 - 5i hüpotenuusi pikkus on: a) 1 + i b) 3 - i c) 1 - 3i d) 2 + 3i OP = a2 + b2 .
sin sin sin vastasnurk. Koosinusteoreem Teoreemi saab kasutada siis, kui on teada kolmnurga kolm külge või kaks külge ja nende- a2 b2 c 2 2bc cos vaheline nurk. b2 a2 c 2 2ac cos Kui külgede vaheline nurk on täisnurk, siis saame koosinusteoreemi erijuhuna Pythagorase c 2 a2 b2 2ab cos teoreemi. Märkus: kui kolmnurga lahendamisel tuleb leida kaks nurka, siis tuleb esmalt leida väiksem nurk (see asub lühema külje vastas) ja seejärel 180°-st lahutamise teel suurem nurk. © Allar Veelmaa 2014 20 10. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium VEKTOR. VEKTORI KOORDINAADID
vektor on tulemuseks. Kahe vektori vahe mõiste tuleb kas pähe õppida või näidata kohe alguses, et vektori lahutamise saab asendada vastandvektori liitmisega. Kunagi ammu õpetati vektorit põhikooli viimases klassis ja tolleaegses töövihikus olid väga head ülesanded. Enne vektori koordinaatide leidmist on aeg sisse tuua ühikvektorid ning näidata vektori avaldamist nende kaudu. Vektori koordinaatide leidmise reeglit on vaja osata selgitada (lugeda). Vektori pikkuse leidmine on ju Pythagorase teoreemi rakendamine. Analüütilises geomeetrias on tal väga oluline koht. Tehteid vektoritega koordinaatides on võimalik koordinaatteljestikus joonistega kinnitada. Oluline mõiste on ,,punkti kohavektor". Liiga lihtne mõiste kipub meelest ära minema. Soovitan õpetajal teha õpilastele nende teemade käsitlemisel väiksemaid töid ja hoolikalt kontrollida tähistusi. Õpilaste tähelepanu tuleb ka vigadele juhtida. Näiteks pakun etteütlust. Kirjuta sümbolites:
Seda tööd kasutades hoiad sa kokku kõvasti aega paljude jooniste, valemite ja muude asjade sisestamisega. Samuti on antud enamike ülesannete täpne lahendus. Mõnedes kohtades tuleb aga ise vaeva näha, sest mina nägin ja ei kavatsegi kõigi eest tööd ära teha. Antud ülesanded on tehtud konkreetsete arvude ja andmetega, mis olid määratud sellel ajal mulle. Kui sul veab langevad mõned andmed kokku, võib-olla isegi kõik, kuid ÄRA OLE NII LAMMAS, ET EI KONTROLLI JA EI MUUDA MITTE MIDAGI NING KOPEERID KÕIK LIHTSALT ÜMBER!!! INDIVIDUAALNE ÜLESANNE 1 IRZ0050 INFOHANKESÜSTEEMID 2010 a. sügissemester Üliõpilane: SINU NIMI Ülesanne nr. 1. Asukoha määramiseks kasutatakse kauguste vahe meetodit. Raadiomajakad on paigutatud täisnurkse kolmnurga tippudesse B,A,C . Raadiomajakate vahelised kaugused on AB ja AC km. Navigatsiooniobjekt O on paigutatud nii, et kauguste vahed on AO BO ja AO
annaabi.ee 
