Nõo Reaalgümnaasium Statistika uurimustöö Tervslik eluviis Nõo Reaalgümnaasiumi õpilaste seas Koostas: Klass: Juhendaja: Nõo 2011 SISUKORD SISUKORD.............................................................................................................2 SISSEJUHATUS.......................................................................................................3 MÕISTED.........................................................................
Matemaatika ,,Funktsioon" test Võrdeline seos muutujad x ja y on seotud valemiga y=ax, kus (a0) Võrdelise seose graafikuks on sirge, mis läbib 0-punkti. a>0 I & III a<0 II & IV Suurust y nimetatakse sõltuvaks suurusest x, kui erinevatele x väärtustele vastavad kindlad y väärtused. · X-sõltumata muutuja · Y-sõltuv muutuja Funktsioon vastavus, mille järgi sõltumatu muutuja igale kindlale väärtusele seatakse vastavusse sõltuva muutuja mingi väärtus Funktsiooni y=f(x) määramispiirkonnaks nimetatakse kõikide selliste muutuja x väärtuste hulka, mille korral saab funktsiooni väärtust y arvutada. (Tähis:X) Funktsiooni y=f(x) muutumispiirkonnaks nimetatakse muutja y kõigi väärtuste hulka.(Tähis:Y) Funktsiooni esitusviisid: valem, sõnaline formuleering, nooldiagramm, graafik, tabel. Funktsiooni nullkohaks nimetatakse argumendi väärtust, mille korral funktsiooni väärtus on null. Võrrand-(f(x)=0)(Tähis:X0) Funktsiooni posit...
..................................................................................... 10 2 Sissejuhatus Antud uurimustöö on koostatud Carolina Tantsustuudio vanema rühma tantsijate põhjal. Uurisin, mitu aastat on igaüks tantsimas käinud. Uurimustöös esinevad mõisted, tähised ja seletused · Statistika teadus, mis käsitleb arvuandmete kogumist, töötlemist ja analüüsimist · Matemaatiline statistika matemaatika haru, mis uurib statistiliste andmete põhjal järelduste tegemise meetodeid Statistikas on oluline uurimise objekt ja üldkogum. · Üldkogum esemete hulk, mille kohta tahetakse teha teaduslikult põhjendatud järeldusi · Valim mõõtmiseks võetud üldkogumi osa · Tunnus omaduste seisukoht, mille kohaselt uuritakse objekti · Sagedus-jaotustabel tabel, mis näitab, mitmel korral on antud tunnus saanud antud
valikvastus: 1 - mitte kunagi 2 - kord aastas 3 - kord kuus 4 - kord nädalas 5 - rohkem ; nominaaltunnused 7. Keskmine hinne: pidev arvtunnus Mõisted Statistika- teadus, mis käsitleb andmete kogumist, töötlemist ja analüüsimist. Matemaatiline statistika - matemaatika haru,mis uurib statistiliste andmete põhjal järelduste tegemise meetodeid. Üldkogum looduse või ühiskonna nähtus või objektide hulk, mille kohta soovime teha teaduslikult põhjendatud järeldusi. Valim- mõõtmiseks võetud üldkogumi osa. Binaarsed tunnused kaks teineteist välistavat suurust (nt sugu). Variatsioonrida kasvavalt või kahanevalt järjestatud tunnuse väärtuste rida. Keskväärtus tunnuse väärtuste aritmeetiline keskmine.
Matemaatika 8 klass Kõrvunurkadeks nimetatakse kahte nurka, mille üks haar on ühine ja teised moodustavad sirge. Kõrvunurkade omadus: kõrvunurkade summa on 180kraadi. Tippnurkadeks nimetatakse kahte nurka, kus ühe haarad on teise haarade pikendused üle ühise tipu. Tippnurki on alati kaks paari! Tippnurkade omadus: tippnurgad on võrdsed. Põiknurkadeks nimetatakse kahte nurka, mille sisepiirkonnad on teine teiselpool lõikajat ja mille haarad lõikajal on suunatud teineteisele vastu. Lähisnurkadeks nimetatakse kahte nurka, mille sisepiirkonnad on ühel ja samal pool lõikajat ning haarad lõikajal on suunatud teineteisele vastu. Kui põiknurgad on võrdsed, siis lähisnurkade summa on 180kraadi ja sirged on paralleelsed. Kui põiknurgad ei ole võrdsed, siis ka lähisnurkade summa ei ole 180kraadi ja sirged ei ole paralleelsed. Rööpkülikuks nimetatakse nelinurka, mille vastasküljed on paralleelsed. Rööpkülikuks ...
Ruutude vahe valem (a + b)(a - b) = a2 - b2 (a + b)(a - b) = a2 - ab + ab - b2 = a2 - b2 Summa ruudu valem (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a + b)2 = (a + b)(a + b) = a2 + ab + ba + b2 = a2 + 2ab + b2 Vahe ruudu valem (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 (a - b)2 = (a - b)(a - b) = a2 - ab - ba + b2 = a2 - 2ab + b2 Kuupide summa valem (a + b)(a2 - ab + b2) = a3 + b3 (a + b)(a2 - ab + b2) = a3 - a2b + ab2 + ba2 - ab2 + b3 = a3 + b3 Kuupide vahe valem (a - b)(a2 + ab + b2) = a3 - b3 (a - b)(a2 + ab + b2) = a3 + a2b + ab2 - ba2 - ab2 - b3 = a3 - b3 Summa kuubi valem (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 (a + b)3 = (a + b)(a + b)2 = (a + b)(a2 + 2ab + b2) = a3 + 2a2b + ab2 + a2b + 2ab2 + b3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 Vahe kuubi valem (a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 (a - b)3 = (a - b)(a - b)2 = (a - b)(a2 - 2ab + b2) = a3 - 2a2b + ab2 - a2b + 2ab2 - b3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3
Rööpkülik Rööpkülikuks nimetatakse nelinurka, millel on kaks paari paralleelseid vastaskülgi. Rööpküliku vastasküljed on võrdsed. Rööpküliku lähisnurkade summa on 180 kraadi. Rööpküliku vastasnurgad on võrdsed. Rööpküliku diagonaalid poolitavad teineteist. Rööpküliku erijuhud on ristkülik, romb ja ruut - esimesel juhul on nurgad võrdsed (täisnurgad), teisel küljed võrdsed ja kolmandal nii nurgad kui ka küljed võrdsed. Valemid Rööpküliku pindala: Rööpküliku ümbermõõt: Rööpkülikus kehtib veel üks seos:
c'=0 x'=1 (c × x)'=c (1/x)'=-1/x2 (√x)'=1/2√x (xn)'=n × xn-1 (ax)'=axIn a (ex)'=ex (In x)'=1/x (logax)'=1/x In (sin x)'=cos x (cos x)'=-sin x a (tan (cot x)'=- (arcsin x)'=1/cos2x 1/sin2x x)'=1/√1-x2 (arccos x)'=- (arctan (arccot x)'=- 1/√1-x2 x)'=1/1+x2 1/1+x2
Kontrolltöö „Tuletise rakendusi“ tööleht I. Andmed enda kohta (täidab õpilane) 1. Õpilase e-maili aadress [email protected] 2. Õpilase ees- ja perekonnanimi Christiin Lember 3. Kool ja klass Toila Gümnaasium, 12.klass 4. Aineõpetaja Katrin Pentel II. Kontrollimise tulemused (täidab kontrollija) Ül. nr. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Max 5 5 5 5 5 10 10 10 5 60 Saadud Kontrolltöö hinne Parandaja 1. (5p) 2000 sipelgat pandi teatud kasvukeskkonda, milles tehti katseliselt kindlaks, et asurkonna suurus on lähinädalatel ennustatav funktsiooniga f (t ) 10t 3 120t 2 2000 , kus t on aeg nädalates. Mitme nädala pärast hakkab asurkonna suurus vähenema ja milline on suurim sipelgate arv selles? Lahendus. ( t- aeg nädalates; f(t)- asurkonna suurus) F(t)=-10t...
Kodune ülesanne Murdvõrrandi koostamine ja lahendamine Minu ülesanne: Üks suusataja läbis 20 km pikkuse distantsi 20 min kiiremini kui teine. Leia mõlema suusataja kiirus, kui esimese kiirus on 2 km/h suurem kui teisel. Lahenduskäik: Kuna „esimene“ ja „teine“ võivad ülesande lahendamisel ja lahenduse selgitamisel segadusse ajada, siis olgu esimese suusataja nimi Mati ja teise suusataja nimi Kati. Ülesandes antud andmete kohta koostasin tabeli. Järgenvalt selgitan, miks on tabelis andmed just nii kujutatud: Kati kiirus pole teada, seetõttu tähistan tema kiiruse x’iga. Kuna Mati kiirus on 2 km/h suurem kui Katil, saan Mati kiiruseks x+2. Teepikkuse (distantsi) läbimiseks kulunud ajad tuletasin valemist teepikkus teepikkus kiirus = aeg ehk aeg = kiirus Mati läbitud distantsi pikkus oli 20 km, tema kiirus x+2 ja sell...
4. Ringjoone pikkus ja ringi pindala Ringjoon sõltub vaid ühest suurusest,milleks on selle ringjoone raadius, mida tähistatakse sümboliga ݎ. Ringjoone diameeter koosneb kahest raadiusest, seega ringjoone raadiuse ݎja diameetri ݀ vahel on kindel seos ݀ ൌ 2ݎ. Ringjoone pikkuse ja ringi pindala valemites kohtub veel kreeka täht ߨ (pii). See on üks kindel arv, mille ligikaudne väärtus on 3,14. See tähendab, et arvutusülesannete lahendamisel võime alati arvu ߨ asendada kümnendmurruga 3,14. Tähistame ringjoone pikkuse sümboliga ܲringjoon ja ringi pindala sümboliga ܵring . Nende suuruste leidmiseks kasutatakse valemeid ܲringjoon ൌ 2ߨݎ ja ܵring ൌ ߨ ݎଶ . Juhime tähelepanu sellele, et arvutusülesannetes saab arvutada ka ligikaudselt: ܲringjoon ൌ 2ߨ ݎൌ 2 · ߨ · ݎൎ 2 · 3,14 · ݎൌ 6,28 · ݎ ܵring ൌ ߨ ݎଶ ൌ ߨ · ݎ · ݎ...
LIHTSUSTAMINE TÕENÄOSUSE ÜLESANDED: TÕENÄOSU FUNKTSIOON FUNKTSIOON FUNKTSIOON VÕRRANDID Geomeetria PROTSENT VEKTOR, VÕRRANDITE KOOSTAMINE Integraal, pindala arvutamine JADA
MATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE MÕISTED, VALEMID, NÄITED, ÜLESANDED LEA PALLAS I OSA SISUKORD 1. ARVUHULGAD …………………………………………………… 2 2. ARITMEETIKA ……………………………………………….…… 3 2.1 Mõningate arvude kõrgemad astmed ………………………….……. 3 2.2 Hariliku murru põhiomadus ………………………………….…….. 3 2.3 Tehetevahelised seosed ……………………………………….…….. 3 2.4 Tehted harilike murdudega ………………………………….……… 4 2.5 Tehete põhiomadused ……………………………………….……… 5 2.6 Näited tehete kohta positiivsete ja negatiivsete arvudega …….…….. 5 2.7 Näited tehete kohta ratsionaalarvudega ……………………….……. 6 2.8 Protsent ja promill …………………………………………….……. 8 2.9 Näited protsentarvutusest …………………………………………... 9 2.10 Arvu absoluutväärtus ………………………………………………. 10 2.11 Ülesanded ……………………………………………………….….. 11 3. ALGEBRA …………………………………………………….……. 12 3.1 Astmed ………………………...
Õppeaine I veerand II veerand 1 Eesti keel 4 4 2 Kirjandus 5 5 3 Inglise keel 5 5 4 Saksa keel 5 5 5 Matemaatika 5 5 6 Loodusõpetus 5 4 7 Ajalugu 5 5 8 Inimeseõpetus 5 5 9 Muusika 5 5 10 Kunst 5 5
Kõvertrapetsi pindala arvutamine integraalide abil Henri Müür 2PTAE Ida-Virumaa kutsehariduskeskus Kõvertrapetsi pindala • Meile seni tuntud pindala valemid on rakendatavad ainult teatud erikujuliste pinnatükkide, nagu ristkülik, romb, kolmnurk, trapets jne puhul. Kõverjoonega piiratud pinnatükkidest oskame leida ainult ringi pindala. Meie järgmiseks ülesandeks on õppida leidma kõverjoonega piiratud pinnatüki suurust integreerimise teel. 1) Esmalt tuleta meelde olulisemad integreerimisvalemid ja reeglid. 2) Summa (vahe) integraal võrdub liidetvate integraalide summaga(vahega) 3) Konstantse teguri võib tuua integraali märgi alt integraali ette. Newton-Leibnizi valem 4) Newton-Leibnizi valem määratud integraali arvutamiseks. 5) Määratud integraali arvutamiseks • leitakse integreeritava funktsiooni algfunktsioon; • leitakse algfunktsiooni väärtused ülemise ja alumi...
-1- - 1.Leia funktsiooni määramispiirkond. 3 x 3 x y y b) y 17 15 x 2 x log( 1 x ) 2 a) 4x 8 c) 2x 2 3 9 x y d) y = log( x2 + x -20 ) - 6x e) log 2 ( x 4) f) ...
JADAD Aritmeetiline jada Olgu antud lineaarfunktsioon y=f(x)=ax+b Aritmeetilised jadad on näiteks: 1,3,5,7...2n-1 Selle aritmeetilise jada üldvalem 7,11,13,15,19...4n+3 Selle aritmeetilise jada üldvalem d=3-1=5-3=7-5=...=2 d-aritmeetilise jada vahe 1+5 3+ 7 Omadus: =3 ; =5 2 2 d=11-7=15-11=19-15=...-4 7 +15 11 +19 Omadus: =11 ; =15 2 2 Üldiselt avaldub aritmeetiline jada: a1 , a2, a3 … an −1, a n , a n+1 , … Üldliige avaldub valemiga: an =a1 + ( n−1 ) × d Avaldan sellest valmist: a1 , d ,n 1=¿ a n−( n−1 ) × d a¿ a n−a d= 1 n−1 a n−a n= 1 +1 d Aritmeetilise jada esimese n liikme summa 1. 1,3,5,7 Arvutan ...
Ülesanne 1 On arvutatud kahe erineva tudengite grupi keskmine testi punktisumma ning standardhälve. Esim tudengit ning keskmine tulemus 50 punkti standardhälbega 10,3 punkti, teises grupis oli 30 tuden tulemus oli 45 punkti standardhälbega 12,5 punkti. Kas on alust väitel, et õppejõud hindas es kõrgemate punktidega kui teist gruppi? I grupp II grupp n 57 n 30 xx 50 xx 45 s 10.3 s 12.5 H₀: μ I grupp = μ II grupp H₁: μ I grupp ≠ μ II grupp SE*=√SE²₁+SE₂² SE*=√10,3²/57+12,5²/30 SE*= 2.66 t=xx ₂-xx ₁/SE* t=(45-50)/2,66 ...
TRAPETS Slaidid on mõeldud kasutamiseks 7. klassi matemaatika tundideks. Slaidikomplekti koostas Eva Tomson Viljandi 2002.a. TRAPETS •Trapetsi definitsioon • Trapetsi koostis •Trapetsite liigitus •Trapetsi kesklõik •Trapetsi pindala •Ülesanded Tagasi TRAPETSI DEFINITSIOON Trapetsiks nimetatakse nelinurka, mille kaks külge on paralleelsed ja kaks mitteparalleelsed. D C AB // CD AD // BC
Nurk kraadides Nurk radiaanides Y=sin(x) 0 0 0 20 0.3490658504 0.34202 S 1.5 40 0.6981317008 0.64279 60 1.0471975512 0.86603 1 80 1.3962634016 0.98481 0.5 100 1.745329252 0.98481 120 2.0943951024 0.86603 0 140 2.4434609528 0.64279 0 45 90 160 2.7925268032 0.34202 -0.5 180 3.1415926536 1E-016 -1 200 3.490658504 -0.34202 220 3.8397243544 -0.64279 -1.5 240 4.1887902048 -0.86603 260 4.5378560552 -0.98481 280 4.8869219056 -0.98481 300 5.235987756 -0.86603 320 5.5850536064 ...
Tekstüleasnded 1. Hoiustaja võttis pangast välja 1/6 oma rahast, siis 500 krooni, ja lõpuks 2/5 ülejäänud rahast.Kolme korraga võttis ta välja kokku 5100 krooni. Kui palju raha jäi hoiustajal panka? 2. Puuviljaaed on ristkülikukujuline. Ristküliku pikkus on 400 m võrra suurem laiusest, kusjuures tema küljed suhtuvad nagu 5: 3. Öövaht käib kiirusega 4 km/h. Kui palju kulub tal aega selleks, et käib üks kord ümber aia? 3. Sõiduki esiratta ümbermõõt on 21 dm ja tagaratta ümbermõõt 35 dm. Leida teelõik, mille läbimisel teeb esiratas 10 pööret rohkem kui tagaratas. 4. Tehas vajab 378 detaili pakkimiseks kaste. Kui igasse kasti panna 9 detaili rohkem kui kavatsetud, siis vajatakse üks kast vähem. Mitu kasti on vaja? 5. Hoone ehitamiseks tuleb teatud tähtajaks välja kaevata 2000 m3 pinnast. Kaevamistöödel aga ületati iga päev plaani 50 m3 võrra, mistõttu lõpetati töö 2 päeva enne tähtaeg...
Õppematerjalide loomist toetab AS Topauto/autod, markide Seat, Suzuki, Hyundai ning kasutatud autode müüja üle Eesti Murdude teisendusi. Harilike murdude korrutamine ja jagamine Ülesandeid kõigile tehtetele murdudega Kui ühes ülesanded esinevad nii kümnendmurrud kui ka harilikud murrud, siis üldiselt teisendatakse harilikud murrud kümnendmurdudeks, kuna kümnendmurde kasutatakse igapäeva elus sagedamini ja nendega on arvutamine lihtsam. Kui aga ülesandes on vaja leida täpne vastus ja harilik murd ei teisendu täpselt lõplikuks kümnendmurruks, tuleb kümnendmurrud teisendada harilikeks murdudeks, arvutada harilike murdudega ja anda ka vastus hariliku murru kujul. Edasi vaatame ülesandeid. 1 1. Arvuta avaldise 0,7 x väärtus, kui x = 9. 5 Lahendus: 1 0,7 9 6,3 0,...
Kolmnurk: S = a x h : 2 (pindala = alus x kõrgus : 2) P=a+b+c Trapets: S = (a + b) : 2 x h (pindala = alus1; + alus2 : 2 x kõrgus) P=a+b+c+d Rööpkülik: S = a x h (pindala = alus x kõrgus) P = 2(a + b) Romb: S = a x h (pindala = alus x kõrgus) P = 2(a + b) Ring: C = 2πr ( ringi pikkus = 2 x 3,14 x raadius) S = πr² ( pindala = 3, 14 x raadius ruudus) Kera: S = 4 π r² V = 4 : 3 π r³ Silinder: Sp = π r² Sk = π rm St = 2Sp + Sk V = 1/3 π r²h Koonus: Sp = π r² Sk = π rm St = Sp + Sk V = 1/3 π r²h Kuup: S = 6 x a² V = a³ Risttahukas: S = 2(ab + ac + bc) V = abc Pythagorase teoreem: a² + b² = c² c=√c² (täisnurkses kolmnurgas hüpotenuusi (c) ruut võrdub kaatetite (a ja b) ruutude summaga.) Eukleidese teoreem: a² = f x c (kaateti a ruut võrdub tema projektsiooni (f) ja hüpotenuusi korrutisega) b² = g x c (kaateti b ruut võrdub tema projektsiooni (g) ja hüpotenuusi korrutisega) Teoreem kõrgusest: h² = h x g (kõrgus võrdub kaatetite projektsioon...
Ruutvõrratuse lahendamine Heldena Taperson www.welovemath.ee Ruutvõrratuseks nimetatakse võrratust, mis esitub kujul ax 2 bx c > 0 < , , , kus a 0 Ruutvõrratuse lahendid sõltuvad diskriminandist D b 2 4ac Funktsiooni väärtused on positiivsed - graafik asub x-teljest ülevalpool > x ; x1 ; x2 ; Funktsiooni väärtused on positiivsed - graafik asub x-teljest ülevalpool > x x1 ; x2 ; Funktsiooni väärtused on positiivsed - graafik asub x-teljest ülevalpool > x R x1, 2 Graafik asub x- teljest allpool ...
Toome sisse koordinaattelgede suunalised ühikvektorid: i 1,0,0 , i 1, j 0,1,0 , j 1, k 0,0,1 , k 1, 0 Px xi , Px Pxy yj , Pxy P zk . VEKTORITE ANALÜÜTILINE ESITUS KOORDINAATIDE KAUDU Analüütiline geomeetria on matemaatika haru, mis uurib geomeetria objekte algebra vahenditega, kasutades koordinaatide meetodit. 2 On erinevaid koordinaatsüsteeme, enamasti kasutame ristkoordinaadistikku. Antud koordinaatsüsteem määrab järjestatud arvupaaride või –kolmikute näol punkti koordinaadid (geomeetrilise asukoha) ehk punkti analüütilise esituse. Punktide koordinaatide kaudu on võimalik iseloomustada jooni ja pindu võrranditega (võrrandi- süsteemidega).
Matemaatika valemid VÕRRANDID JA VÕRRATUSED ruutvõrrand murdvõrrand nimetaja ei võrdu nulliga! vajadusel leian ühise nimetaja kontroll! juurvõrrand võtan mõlemad pooled ruutu trigonomeetriline võrrand - logaritm eksponentfunktsioon ja eksponentvõrrandid 1. eksponentvõrrand 2. eksponentvõrrand 3. kolmeliikmeline eksponentvõrrand ehk logaritmfunktsioon ja logaritmvõrrand logaritmfunktsioon: logaritmvõrrandite lahendusvõtted: 1. potentseerimine 2. asendusvõte 3. logaritmi definitsiooni kasutamine võrrandisüsteem ja võrratussüsteem liitmis- või asendusvõte! GEOMEETRIA Tasandilised kujundid kolmnurk Heroni valem: r – siseringjoone raadius täisnurkne kolmnurk koosinusteoreem siinusteoreem R – ümberringjoone raadius ruut ristkülik rööpkülik trapets romb ringjoon, ring,...
1. Lihtsusta 5a a 2 ab b 2 a 3 b3 1) : -1 1 5a 25a 2 10a 1 5a 2 a 5ab b 5 2 2a 9 8 2a 3 2) 2 : 2 2a 3 3 2a 4a 9 4a 12a 9 2 1 1 1 3a 2 6a 1 3) : 2 2 6a 27a 1 1 3a 9a 3 a a 2. Turist kavatses matkata 252 km. Kuna ta läbis iga päev 3 km rohkem kui kavatsetud, siis kestis matk planeeritust 2 päeva vähem. Mitu päeva kestis matk? ...
Funktsioonid I Kordamine. 1. Leia määramispiirkond. a. y 4 x 3 3 x 1 X=R 3x 6 b. y x 1 x 2 4 X=R{-2, 1, 2} c. y x 2 6x 8 X ;2 4; x3 d. y X 4;0 4; x 3 16 x 2. Leia nullkohad, pos., neg. piirkonnad. a. y x 3 6 x 2 9 x 54 X 3;3 6; ; X ;3 3;6 4 ...
TEHTED ALGEBRALISTE MURDUDEGA TEGURDAMINE - esita hulkliige korrutisena I ühise teguri sulu ette toomine 2a + 6abc = 2a(1 + 3bc) NB! „ -1” ette: a -1 = - (-a + 1)= -(1 – a); -a – 1= - (a + 1); a + 1= - (-a – 1) II valemid: 1. a 2 – b 2 = (a – b)(a + b) 2. a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2 = (-a - b) 2 3. a 2 – 2ab + b 2 = (a – b) 2 = (b - a) 2 III rühmitamine IV ruutkolmliikme tegurdamine st. lahenda vastav ruutvõrrand ax 2 + bx + c = 0 b b 2 4ac lahendivalemiga x1; 2 2a ja pane lahendid vastandarvudena sulgudesse - ax 2 + bx + c = a( x - x1 )(x - x 2 ) V kui muud ei saa, pane hulkliikmele lihtsalt sulud ümber (kui on + või – märke) 2 – a = ( 2 – a) TAANDAMINE- murru lugeja ja nimetaja jagamine ühiste teguritega. Nendeks võivad olla üksikud täisar...
Kombinatoorika kordamisülesanded. 1. Korvis on 4 punast ja 3 kollast õuna. Mitu erinevat võimalust on a) kahe õuna võtmiseks? b) kahe punase õuna võtmiseks? c) kolme kollase õuna võtmiseks? d) kahe erinevat värvi õuna võtmiseks? 2. Mitu erinevat lauset saab moodustada sõnadest TIHTI TÄHTI TAEVAS NÄHTI nende sõnade järjrstuse muutmise teel? 3. Neli musketäri hüppavad postitõllale, kus on 6 vaba kohta. Mitmel viisil võivad nad istuda vabadele kohtadele? 4. Korvpallivõistlusel osaleb 12 võistkonda. Mitmel erineval viisil võivad jaotuda kuld-, hõbe- ja pronksmedal? 5. Korvpallivõistlusel osaleb 12 võistkonda. Neist 4 mängivad finaalturniiril. Mitu erinevat finaalgruppi võib moodustada? 6. Hulgimüügifirma “Ratsa rikkaks” võtab tööle müügijuhi, reklaamijuhi ja pankrotihalduri. Korraldati ühine konkurss, millest võttis osa 10 töösoovijat. Mitu erinevat töömääramist ...
Korrutamise valemid (a+b)² = a² +2ab +b² (a-b)² = a² -2ab +b² (a+b)(a-b) = a² -b² (a+b)³ = a³ +3a²b +3ab² +b² (a-b)³ = a³ -3a²b +3ab² -b² (a-b)(a² +ab +b²) =a³ -b³ (a+b)(a² -ab +b²) =a³ +b³
Protsenti tähistatakse erimärgiga % 1 protsent (1%) on üks sajandik tervikust, st 1% 100-st on 1; 1 % 200-st on 2; 1% 10-st on 0,1 jne. 10 protsenti (10%) on kümme sajandikku tervikust, st 10% 200- st 20, 10% 10-st on 1 jne 30 protsenti (30%) on kolmkümmend sajandikku tervikust, st 30% 200-st on 60, 30% 10–st on 3 jne
Teravnurga siinus ja koosinus Täisnurkse kolmnurga teravnurga siinuseks nim. selle nurga vastas kaateti ja a vastaskaatet hüpotenuusi suhet ning seda tähistatakse c . sin = hüpotenuus Täisnurkse kolmnurga teravnurga koosinuseks nim. selle nurga lähis kaateti ja b lähiskaatet hüpotenuusi suhet ning seda tähistatakse c . cos = hüpotenuus vastaskaatet hüpotenuus lähiska lähiskaatet Teravnurga tangens Täisnurkse kolmnurga teravnurga tangensiks nim. selle nurga vastas kaateti ja a lähis kaateti suhet ning seda tähistatakse tan . Tan = b tan = vastaskaatet lähiskaatet a b a a Sin = c ; cos = c ; tan = b ...
1. Olgu sündmus A kolmega jaguva silmade arvu saamine kahe täringu viskel, B kahega jaguva silmade arvu saamine kahe täringu viskel. Kas sündmuste A ja B korrutis on Vali üks: A. 2, 6, 8 või 12 silma saamine kahe täringu viskel. B. 3, 6, 9 või 12 silma saamine kahe täringu viskel; C. 6 või 12 silma saamine kahe täringu viskel; 2. Kui tõenäone on, et uue passi number lõpeb 7ga? Vastus: 0,1 3. Loterii iga 1000 pileti kohta tuleb 6 rahalist ja 24 esemelist võitu. Kui tõenäone on võita ühe piletiga? Vastus: 0,03 4. Õpperühmas on 8 mees ja 12 naisüliõpilast. Neist 6 kutsutakse juhusliku valiku teel eksamiruumi. Leida tõenäosus selleks, et sisenejate hulgas on 4 naisüliõpilast. Vastus: 0,357585
Funktsioonid I Funktsiooni tuletis Tuletiste tabel: 1 1 c 0 x 1 x x2 x 2 1 x x nx n n 1 e e x x ...
y f ( x 0 x ) f ( x 0 ) f `( x0 ) lim lim . x 0 x x 0 x Funktsiooni tuletise leidmist nimetatakse diferentseerimiseks. Diferentsiaalarvutuse lõid 17. sajandil saksa matemaatik ja filosoof G. W. Leibnitz ning inglise matemaatik ja füüsik I. Newton. Diferentsiaalarvutuse loomist hinnatakse matemaatikas uues ajastu alguseks. Matemaatika arenguperioodi 17 .sajandi lõpust kuni 19. sajandi alguseni nimetatakse tänapäeval kõrgema matemaatika perioodiks. Ilma kõrgema matemaatikata poleks olnud võimalik tööstuse ja tehnika tormiline areng, mis viis Euroopa riigid feodaalsest ühiskonnakorraldusest kapitalismini. Seega on kõrgem matemaatika ka see vundament, millele on ehitatud kogu tänapäeva tehniline tsivilisatsioon. Tähtsamate tuletiste tabel
Täisnurkne kolmnurk
Koonus Koonus on keha, mille moodustab ühe oma kaateti ümber pöörlev täisnurkne kolmnurk. Kaatet BC, mille ümber pööreb koonust moodustav täisnurkne kolmnurk, on koonuse teljeks. Kolmnurga hüpotenuus AB on koonuse moodustajaks. Koonuse moodustajat tähistatakse tavaliselt tähega m. Pöörleva kolmnurga teine kaatet CA moodustab ringi, mida nimetatakse koonuse põhjaks. Lõiku CA, mis on koonuse põhja raadius, tähistatakse ka tähega r. Kolmnurga hüpotenuus moodustab pöörlemisel koonuse külgpinna. Punkti B nimetatakse koonuse tipuks ning tipu kaugust koonuse põhjast (lõiku BC) koonuse kõrguseks ning tähistatakse tavaliselt tähega H. Koonuse pinnalaotus Valemeid Koonuse täispindala Koonuse täispindala St on külgpindala Sk ja põhitahu pindala Sp summa St = Sk + Sp Koonuse külgpindala võrdub põhja ümbe...
Matemaatika 11. klassi praktikumi töö 1. Kirjalik arvutamine m Tehted astmetega (a:b)n = an : bn Tehted juurtega a n n am (ab)n = an * bn a b a b an am = an+m n m a n m a a a an : am = an-m b b n m n*m ...
OSA LEIDMINE LEAIA A OSA ARVUST B LEIA 0,7 ARVUST 80 80*0,7=56,0 LEIA P PROTSENT ARVUST A LEIA 15% ARVUTS 8 0,15%*8=1,2 TERVIKU LEIDMINE LEIA ARV MILLEST A OSA ON LEAI ARV MILLEST 0,7 ON 49 B 0,7*100%=70 49 LEIA ARV MILLEST P LEIA ARV MILLEST 17 % ON 51 PROTSENT ON A 17*100%=300 51 SUHTE VÄLJENDAMINE MITU PROTSENTI MITU % MOODUSTAB 6 PROTSENTIDES MOODUSTAB ARV A ARVUST 24-ST B ...
Ringjoone pikkus piirväärtusena Ringjoone pikkuse arvutamise täpse valemi leidmise jaoks peame joonestama ringi sisse korrapärase kumera hulknurga. Näeme, et mida rohkem on hulknurgal nurki, seda lähemal on joonestatud hulknurga ümbermõõt ringjoone ümbermõõdule: Seega saame ringjoone pikkuse defineerida nii: Ringjoone pikkuseks nimetatakse korrapäraste kõõlhulknurkade ümbermõõtude jada piirväärtust hulknurga tippude arvu tõkestamatul kasvamisel.. Oletame, et meil on ringi raadiusega r joonestatud korrapärane n-nurk küljepikkusega an. Kui ühendada hulknurga tipud ringi keskpunktiga O, siis jaotub kõõlhulknurk n võrdhaarseks kolmnurgaks. Iga sellise kolmnurga tipunurk on . 360 Vaatleme ühte nendest kolmnurkadest, 360 näiteks Kolmnurka OAB. n O Tõmbame kolmnurga alusele AB kõrguse OC. ...
docstxt/14837919425527.txt
Ülesanne.1 X=onu vanus, y=tädi vanus Vastus: Praegu on onu 36 ja tädi 23. Ülesanne.2 X= mitu lehte on,y= mitu pilti on lehel Vastus: Albumis on 20 lehte. Ülesanne.3 Y=laeva kiirus, 1=laeva kiirus allavoolu, 2=kiirus vastuvoolu, s=teepikkus, t=aeg, v=kiirus Vastus: laeva kiirus seisvas vees on 15km/h. Ülesanne.4 1 töötaja teeb x detaili minutis, 2 töötaja teeb x-6 dtaili minutis. 1.=Kui palju teeb esimene töötaja detaile 420 minutis. 2.=Kui palju teeb teine töötaja detaile 420 minutis. Vastus: Esimine töötaja valmistab 7h 28 detaili ja teine töötaja valmistab 7h 20 detaili. Ülesanne.5 X ja y on kahekohaline arv.. Vastus: kahekohaline arv on 45 Ülesanne.6 Uus aeg=0,8t, uus kiirus=v(1+x) , s=teepikkus, t=aeg, v=kiirus Vastus: kiirust tuleks suurendada 25% võrra.
Matemaatika: Arvuhulgad ja
arvuhulkade omadused
Mairo Tammepõld
10ü
Arvuhulgad
● Arvuhulgad jagunevad reaalarvudeks.
● Reaalarvud on
naturaalarvud N=(1;2;3;4;...)
täisarvud Z=(...;-4;-3;-2;-1;0;1;2;3;4;...)
ratsionaalarvud Q=(...;-12;...;3;...;-4;...;-½;0)
irratsionaalarvud J=(...;π;...;erinevad ruutjuured)
Arvuhulgad
● Murdudega seoses oleme kasutanud veel järgmisi
mõisteid :
harilik murd - ½ (a-lugeja, b-nimetaja)
lihtmurd - (a
Astmed ja juured Astme mõiste. Definitsioon Ühest suurema naturaalarvu n korral nimetatakse astmeks an korrutist, milles on n võrdset tegurit a, s.t. a n a a ... a. n tegurit Näited 32 3 3 9; 10 4 10 10 10 10 10000 3 1 1 1 1 1 (2) (2) (2) (2) 8 3 4 4 4 4 64 (0,5) 4 (0,5) (0,5) (0,5) (0,5) 0,0625 1 kilobait = 2 baiti 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 baiti 1024 baiti; 10 Astendajad 0 ja 1 Astme an leidmist nimetatakse...
1 1. õppetükk Kontrolltöö I tase 1) Kujuta ühel ja samal arvteljel hulgad A 3; 2 ja B 1; 4 Leia hulgad A B ja A B . 4 2) Arvuta kalkulaatorit kasutamata avaldise 0,2 0,04 2 0, 5 8 4 1,5 täpne väärtus. 3 3) Arvuta a) 4 7 4 7 b) 4 7 33 ...
ASTMEVAHELDUS Astmevahelduse liigid: Laadivaheldus: sõna tugeva astme teise silbi alguses klusiil või „s“. LV liigid on kadu, asendumine, assimilatsioon (sarnastumine). Vältevaheldus: II ja III astme vaheldumine (ainult II ja III, mitte I). Jaguneb vältemuutuseks ja pikkusmuutuseks (nõrgenev ja tugevnev). Määramine: LV – tugevas astmes on klusiil või „s“ säilinud, nõrgas astmes pole või on asendatud VV – tugevas astmes III välde, nõrgas astmes II välde LN – laadivahelduse nõrk vorm LT – laadivahelduse tugev vorm VN – vältevahelduse nõrk vorm VT – vältevahelduse tugev vorm V? – jääb lahtiseks, nt eranditega I välte puhul Testvormid AV leidmiseks: Käändsõnad: ainsuse nimetav – omastav – osastav Erandid : põder (I) - põdra (II, nõrk) - põtra (III, tugev) nali – nalja – nalja Pöördsõnad: ma-tegevusnimi – da-tegevusnimi – oleviku ainsuse esimene ...
Ruutvõrrandi abil lahenduvaid ülesandeid Ülesannete lahendused pärinevad õpikust "Matemaatika IX klassile"(koost. Tõnu Tõnso ,Tln., 1998), lk-74-78 (ül.269-391) ja kogumikust "Matemaatika kirjaliku eksami ülesanded IX klassile"* (koost. Enn Nurk ja Valvo Paat, Tln., 1996). * ülesanded tähistatud E-tähega. Paljude tekstülesannete lahendamisel jõuame ruutvõrrandini, millel on tavaliselt 2 lahendit. Olenevalt ülesande sisust võib aga ülesande vastuseks sobida ainult üks lahend. Tekstülesannete puhul tuleb võrrandi lahendeid kontrollida ülesande teksti, mitte koostatud võrrandi järgi. Tekstülesande lahendamine võrrandi abil koosneb kolmest etapist: 1
23. Funktsiooni muudu esitus diferentsiaali ja jääkliikme summana. Kuidas käituvad diferentsiaal ja jääkliige argumendi muudu x suhtes, kui x läheneb nullile? (tõestada!). Loetleda diferentsiaali omadused. Funktsiooni muudu esitus diferentsiaali ja jääkliikme summana y ' =f ( a ) +r ( x ) x Korrutame saadud avaldise x-ga ja saame y=f ' ( a ) x+ , kus =r ( x ) x Kuidas käituvad diferentsiaal ja jääkliige argumendi muudu x suhtes, kui x läheneb nullile? (Tõestada) ' lim f ( a ) x dy lim r ( x ) x =¿ x o = lim f ' ( a )=f ' ( a ) 0 x x x o lim = x o = lim r ( x ) =0 lim ¿ x o x x x o x o Loetleda diferentsiaali omadused ...
KORRUTAMINE ja JAGAMINE Heli Pundonen 2009 1 Kirjuta paberile järjekorra numbrid ülalt alla 1 – 14. Näide: 1) 2) 3) Kirjuta järjekorra numbri taha ainult vastus. Tehe vilgub ainult korra! 1. KORRUTA 1) 2 4 8) 4 9 2) 3 3 9) 6 3 3) 6 2 10) 5 8 4) 5 3 11) 9 2 5) 4 4 12) 4 5 6) 7 3 13) 6 4 7) 5 6 14) 3 8 1. JAGA 1) 24 : 3 8) 30 : 5 2) 24 : 4 9) 21 : 3 3) 20 : 5 10) 16 : 4 4) 18 : 2 11) 15 : 5 5) 40 : 5 12) 12 : 2 6) 18 : 3 13) 9:3 7) 36 : 4 14) 8:4 KONTROLLI KORRUTAMIST 1) 8 8) 36 2) 9 9) 18 3)12 10) 40 4)15 11) 18 5)16 12) 20 6)21 13) 24 7)30 14) 24 KONTROLLI JAGAMIST 1) 8 ...
Gerli Lanno Rmo16 Iseseisevtöö funktsioonid 1.Firma kulud ruumide, tehnilise varustuse , kommunikatsiooniseadmete ja kontoritöötasule on päevas 1200 eurot. Ühe toote tootmiskulud on 45 eurot, toote müügihind on 75 eurot. a Leida kulufunktsioon q toote valmistamisel. C(q)=45q+1200 b Leida tulufunktsioon q toote valmistamisel. R(q)=75q c Millise q korral kulud on võrdsed tuluga? 75q=1200+45q 30q=1200 q=40 d Leida kasumi avaldis. ( q )=75 q-45 q-1200=30 q-120 0 e Leida kasum, kui on valmistatud 100 toodet.. ( 100 ) =( 30 100 ) -1200=180 0 f Kui palju tuleb toota ja müüa, et kasum oleks 2000 eurot? 2000 100 X= 111,11 toodet 1800 2. Kulude analüüsil tehti kindlaks, et püsikulud kuus on 2410 eurot ...
docstxt/14840797025078.txt
docstxt/135422664405.txt
docstxt/135422662727.txt
docstxt/13542266323.txt
Logaritmimisvõttega ülesanded: 1) Xlog10=log300 2) Xlog0,5=log10 3) log xloge=log10 4) Xlog5=log35 =2,21
Logaritm võrrand ! 1) Log( x-3)=2 2) log ( 3-x)=-1 100=x-3 X=103 x= 2,9 2) 4 3) log(-x)=3 16+3=x 1000=-x X=19 x=1000
docstxt/135411271588.txt
Thales ( u 624 eKr 547 eKr ). , (u 630/635 - 543) Thalest peetakse traditsiooniliselt Euroopa esimeseks filosoofiks ning ühtlasi Ioonia koolkonna varaseimaks esindajaks. Thales oli pärit Väike-Aasia rannikul asunud linnriigist Mileetosest, kust on pärit ka kaks teist varast kreeka mõtlejat-- Anaximandros ja Anaximenes. Linna järgi on tema ja ta õpilased saanud nimeks Mileetose koolkond. Mileetos oli õitsev kaubalinn kus suure osa populatsioonist moodustasid orjad ning pidevalt toimus kibe võitlus rikaste ja vaeste vahel. Sarnane olukord valitses Thalese ajal enamikes Väike-Aasia linnades. Mileetoses toimusid 6. ja 7. sajandil suured majanduslikud ja poliitilised muutused, mille käigus võim kandus üha enam sugukondlikult aristokraatialt kaupmeestest koosnevale aristokraatiale. Thales olevat ennustanud 585.a. aset leidnud päikesevarjutuse. Siiski pole tõendeid tema erilistest geniaalsetest võimetest päikesevarjutuse ennustamisel-- ...
Kahetahuline nurk Kahetahulise nurga moodustavad kaks lõikuvat tasandit. Neid tasandeid nimetatakse kahetahulise nurga tahkudeks. Nende tasandite lõikesirget nimetatakse kahetahulise sirge servaks. Kahetahulist nurka mõõdab tema joonnurk. Joonnurk saadakse, kui kahetahulist nurka lõigatakse tasandiga, mis on nurga servaga risti. Joonnurga saame ka siis, kui nurga serval valitud punktist tõmbame mõlemale tahuleservaga ristuvad sirged. Kahe lõikuva tasandi vaheliseks nurgaks nimetatakse nende tasandite lõikumisel tekkivat väiksemat nurka. Kui tasandid on paralleelsed, siis tasanditevaheline nurk on 0o. Mitmetahuline nurk Kolme ühes punktis lõikuvat tasandit eraldavad ruumis kolmetahulised nurgad. Lõikuvate tasandite ühine punkt on kolmetahuliste nurkade tipp. Kui ühte punkti läbivate tasandite arv on 4, 5 ja 6...n, siis tekivad vastavalt nelja-, viie-, kuue-,...n-tahulised nurgad. Kõiki neid koos nimetatakse mitmetahulisteks nurkadeks. K...
Helene Leht Kanepi gümnaasium 2012 Pafnuti Lvovits Tsebõsov (1821-1894) Sündis 16. mail 1821 Borovski Kalugas, Venemaal Suri 8. detsembril 1894 (73 aastaselt) St. Petersburgis Tegevusvaldkond- matemaatika Õppis Moskva Ülikoolis Tema peamine õpetaja oli Nikolai Brashman Haridustee Alghariduse omandas kodus Ema õpetas ta lugema ja kirjutama Ta nõbu õpetas talle prantsuse keelt ning aritmeetikat 11- aastaselt sai ta matemaatikaõpetajaks Pogorelski Bakalaureuse kraadi omandas Moskva Ülikoolis 1941. aastal Kuid jätkas õppimist Brashman'i juhendamisel Hakkas ise Moskva Ülikooli professoriks Saadeti St. Petersburgi 1849 kaitses oma doktorantuuri Aastad 1840-1846
Vektorite komplanaarsus Punkte, mis asuvad ühel tasandil, nimetatakse komplanaarseteks. Vektoreid nimetatakse komplanaarseteks siis, kui nad pärast ühisesse alguspunkti viimist asuvad samal tasandil. Kaks vektorit on alati komplanaarsed. See tähendab, kui kaks vektorit rakendada ühisesse alguspunkti, siis saab neist alati läbi panna tasandi. Kui need vektorid on kollineaarsed, siis nad tasandit ei määra. Kui need kaks vektorit on mittekollineaarsed, siis nad määravad tasandi. Neid kahte mittekollineaarset vektorit nimetatakse sel juhul tasandi rihivektoriteks. Kolm vektorit ruumis võivad olla komplanaarsed või mittekomplanaarsed. Kui kolme vektori hulgas on kollineaarseid vektoreid, siis need kolm vektorit on komplanaarsed. Kui kolme vektori hulgas ei ole kollineaarseid vektoreid, siis nad on komplanaarsed juhul kui üks vektor on ülejäänud kahe kaudu lineaarselt avaldatav. See tähendab, kui vektorid , , on komplanaarsed, siis leiduvad a...
Kaks tasandit ruumis Kaks tasandit ruumis võivad olla paralleelsed või mitteparalleelsed. Kaht tasandit ja nimetatakse paralleelseteks ja tähistatakse sümboliga ||, kui neil ei ole ühtegi ühist punkti. Tasandite lõikesirge: kui kaks tasandit omavad ühiseid punkte, siis on neid lõpmatult palju ja nad kuuluvad kõik ühisele sirgele. Mitteparalleelseid tasandeid nimetatakse lõikuvateks. Seda, et tasandid ja lõikuvad mööda sirget s, tähistatakse sümboliga =s. Tasandite paralleelsuse tunnus: kui ühe tasandi kaks lõikuvat sirget on paralleelsed teise tasandiga, siis on need tasandid paralleelsed. Kahe paralleelse tasandi vaheliseks kauguseks on nende ühisel normaalil asuva tasandite vahelise lõigu pikkus. Kahe tasandi vaheliseks nurgaks nimetatakse nende tasandite lõikesirgele joonestatud selliste lõikesirgega ristuvate sirgete vahelist nurka, millest üks asub ühel, teine teasel tasandil.
docstxt/135274290518.txt
docstxt/135274277848.txt
docstxt/135274270643.txt
docstxt/135274263315.txt
Koostajad : A.J A.S M.T Sel aastal (2012) toimusid Londonis olümpiamängud. Iraan saavutas seal medalite arvestuses 17. koha. Kokku oli medaleid 12. Kui kuldmedaleid oleks 25 % rohkem ja hõbemedaleid 40 % vähem, siis oleks kokku 11 medalit. Kui pronksmedaleid oleks kaks korda rohkem ja hõbemedaleid viiendiku võrra vähem, oleks neid kokku 14. Kui palju sai Iraan olümpiamängudelt kuld , hõbe , ja pronksmedaleid? Olgu kuldmedalite arv x, hõbemedalite arv y ja pronksmedalite arv z, kokku on medaleid 12. Kui kuldmedaleid oleks 25 % rohkem ehk 1,25x ja hõbemedaleid 40 % vähem ehk o.6y, siis oleks kokku 11 medalit. Kui pronksmedaleid oleks kaks korda rohkem ehk 2x ja hõbemedaleid viiendiku võrra vähem ehk 0.8y, oleks neid kokku 14. Koostan võrrandisüsteemi Lahendan determinandi abil Leian determinandi D = ...
Funktsioone saab esitada valemi, tabeli graafikuga ja sõnaliselt.
Funktsioon e kujutius- seos, mis seob ühe hulga iga elemendi üheselt määratud elemendiga teiste
hulgast.
Lineaarfunktsioon- funktsioon, mida saab esitada kujul y=ax+b.
Ruutfunktsioon- funktsioon, mis on esitatud ruutavaldisega.
Funktsiooni määramispiirikond- valemina antud funktsiooni argumendi x selliste väärtuste hulk,
mille korral on võimalik funktsiooni f(x) väärtust välja arvutada.
Funktsiooni muutumispiirkond- funktsiooni väärtuste hulk ehk selle määramispiirkonna kujutis.
Kasvavaks nimetatakse funktsiooni y=f(x) vahemikus (a;b), kui selles vahemikus argumendi
väärtuste suurenedes ka funktsiooni vastavad väärtused suurenevad: kui x1
Põhivalemid sin cos tan = cot = sin + cos = 1 2 2 cos sin 1 1 1 1 sec = cos ec = 1 + tan 2 = 1 + cot 2 = cos sin cos 2 sin 2 Kahekordse ja poolnurga valemid 2 tan tan 2 = sin 2 = 2 sin cos cos 2 = cos 2 sin 2 1 - tan 2 1 - cos = 2 sin 2 1 + cos = 2 cos 2 ...
annaabi.ee 
