1.5 RUUTVÕRRAND Ruutvõrrandiks nimetatakse võrrandit kujul ax2 + bx + c = 0, kus a 0. Kordajad a, b ja c on reaalarvud ning x tundmatu (otsitav). Ruutvõrrand on teise astme algebraline võrrand. Ruutvõrrandi liikmeid nimetatakse järgmiselt: ax2 ruutliige, kus a on ruutliikme kordaja; bx lineaarliige, kus b on lineaarliikme kordaja; c vabaliige. Ruutvõrrandi lahendivalem on - b ± b 2 - 4ac x= () 2a Avaldist D = b2 4ac nimetatakse ruutvõrrandi diskriminandiks. · Kui D > 0, siis ruutvõrrandil on 2 erinevat lahendit. · Kui D = 0, siis on ruutvõrrandil 2 võrdset lahendit. · Kui D < 0, siis ruutvõrrandil reaalarvulised lahendid puuduvad. Kui ruutliikme kordaja on negatiivne arv, siis enne võrrandi lahendamist korrutame
Selles võrrandis a = 1, b = - 2 ja c = -3. Asendame need arvud lahendivalemisse, saame 2 ± 4 - 4 1 ( -3) 2 ± 4 + 12 2 ± 16 2 ± 4 x= = = = . 2 1 2 2 2 2+4 6 2-4 -2 Siit x1 = = =3 ja x2 = = = -1. 2 2 2 2 Kuna a = 1, siis x2 - 2x - 3 = 0 on taandatud ruutvõrrand, mida on otstarbekam lahendada taandatud ruutvõrrandi lahendivalemi abil. 2 p p Taandatud ruutvõrrandi x2 + px + q = 0 lahendivalem on x=- ± -q 2 2 Näide 7. Lahendame ruutvõrrandi x2 - 2x - 3 = 0 taandatud ruutvõrrandi lahendivalemi abil.
6.ptk Ruutvõrrand 8.klass Õpitulemused Näited 1.Arvu ruut - kahe võrdse teguri korrutis Ül.1262,1263 2 a a=a ; mistahes ratsionaalarvu ruut on Leida arvu ruut taskuarvuti abil. mittenegatiivne 2 2 2 2 15 =225; 28 =784; 41 =1681; 57 =3249 Lihtsustada avaldis ja arvutada. 2 2 2 2 2,4 2 =(2,4 2) =4,8 =23,04 NB ruutjuure pöördtehe; saab kasutada 2 näiteks ruudu ja ringi pindala arvutamisel =3,5 =12,25 2 2 2 2 2
Lahendada võrrand 2 Lahendus. Teeme vajalikud teisendused: 4x 1 1 2 x 4 5 2 2 4 x 1 2 4 x 16 10 4 x 4 x 16 10 2 1 0 x 5. Vastus. Võrrandil puudub lahend. RUUTVÕRRAND Ruutvõrrandiks (teise astme algebraliseks võrrandiks) nimetatakse võrrandit, mis avaldub kujul ax 2 bx c 0 , kus a 0. Siin a, b ja c on reaalarvud ning x tundmatu (otsitav). Täielikud ruutvõrrandid: a) täieliku taandatud ruutvõrrandi puhul on x2 kordaja 1 Üldkuju: x px q 0 2 Lahendivalem: 2 p p x q 2 2 Näide 11 x2 + 8x + 7 = 0 Lahendamiseks kasutatakse lahendivalemit 2 8 8 x 7 4 9 4 3 2 2
· ( a )2 = a · b 2 a = b a ja c a = c 2 a Kõik need reeglid on rakendatavad ka vastupidises suunas. Ruutvõrrand Ruutvõrrandiks nimetatakse võrrandit ax2 + bx + c = 0, milles a, b ja c on mingid arvud (a 0) ja x on muutuja. ax2 + bx + c = 0 ruutliige
· ( a )2 = a · b2 a = b a ja c a = c 2 a Kõik need reeglid on rakendatavad ka vastupidises suunas. Ruutvõrrand Ruutvõrrandiks nimetatakse võrrandit ax2 + bx + c = 0, milles a, b ja c on mingid arvud (a 0) ja x on muutuja. ax2 + bx + c = 0 ruutliige
3) Koondame sarnased liikmed 4) Võrratuse mõlemaid pooli jagame tundmatu kordajaga 5) Teeme joonise, kirjutame vastuse 14. Mis on võrre? Võrde põhiomadus. Kuidas lahendada võrdekujulist võrrandit? Tõest võrdust, mille mõlemad pooled on jagatised, nimetatakse võrdeks. Põhiomadus: Võrde välisliikmete korrutis võrdub tema siseliikmete korrutisega. Lahendamine: Võrdekujulist võrrandit lahendatakse ristvõrrandi abil. 15. Mis on ruutvõrrand? Mida nimetatakse normaalkujuliseks ruutvõrrandiks? Mida nimetatakse täielikuks ruutvõrrandiks? Mida nimetatakse mittetäielikuks ruutvõrrandiks? Mis on taandatud ruutvõrrand? Võrrandit ax + bx + c = 0, milles a, b ja c on antud arvud (a ei võrdu nulliga) ja x on tundmatu, nimetatakse ruutvõrrandiks. Võrrand, mille vasakul poolel on esimesel kohal positiivse kordajaga ruutliige, teisel kohal
Lineaarvõrrandi lahendamine. Ruutvõrrandi lahendamine Lineaarvõrrand Ühe tundmatuga lineaarvõrrandiks nimetatakse võrrandit kujul ax + b = 0, kus a 0 ja b on antud arvud ja tähega x on tähistatud tundmatut. Seejuures nimetatakse korrutist ax lineaarliikmeks ja b vabaliikmeks. Näiteks on lineaarvõrrandid vabaliige lineaarliige 2 x 3 0, (tundmatu on tähistatud tähega x) 5 z 0, (tundmatu on tähistatud tähega z, vabaliige b = 0) Lineaarvõrrandid ei ole: 2 x 2 3 0, (kuna tundmatu on ruutu tõstetud) 2 3 5, (kuna tundmatut seoses ei esine) algusesse eelmine slaid järgmine slaid esitluse lõpp Lineaarvõrrandi lahendamine Lineaarvõrrandi ax + b = 0
Ruutvõrrandid. Ruutvõrrandid esituvad kujul ax2 + bx + c = 0. Ruutvõrrandid jagunevad taandamata ja taandatud ruutvõrranditeks: Taandamata ruutvõrrand Taandatud ruutvõrrand ax2 + bx + c = 0 x2 + px + q = 0 - b ± b 2 - 4ac 2 x1;2 = p p 2a x1;2 = - ± - - q 2 2 Kui ruutvõrrandis ax2 + bx + c = 0 kas b = 0 või c = 0, siis on tegemist mittetäieliku ruutvõrrandiga. Selliseid võrrandeid viisakas inimene ei lahenda eespool toodud
a b = a b a a = b b Ruutfunktsioon ja 12. 18. 09. 06 ruutvõrrand. Ruutjuurte teisendusi k 2a = k a Selgitus. 2) ül 4 (103-125) Ruutvõrrand. Ruutvõrrandi kordajad. Ruutliige, lineaarliige, vabaliige. Normaalkujuline
- ;2 - ;3 Vastused. ( ;3 0; ); ( ;20 20; ); 5 ; 4 ; ( - ;-4] 1 ; ( - ;-2] 1 ; - 2; 1 - 5; 1 3 ; 4 ; 5 ; 3 ; 5; 4; Ø; Ø; R; R; Ø; Ø; R; R; 2; 3. Korrutist sisaldava võrratuse nullkohtade leidmisel kasutame omadust: kahe teguri korrutis on null, kui üks teguritest on null (s.t. lahendame sulgude sees olevad lineaarvõrrandid). Näide 10. Lahendame võrratuse (x 2)(x + 1) > 0. Lahendus. (x 2)(x + 1) > 0 X0 x 2 = 0 või x + 1 = 0 x1 = 2 x2 = 1 5 Joonise tegemiseks teeme kindlaks x2 ees oleva märgi, selleks korrutame võrratuses x-ga liikmed omavahel. Praeguses näites x · x = x2. Kuna x2 ees on positiivne arv, avaneb parabool üles. Vastu s
selliseid algarve, mille vahe on 2, näiteks 101 ja 103 või 1 000 000 007 ja 1 000 000 009. Ei ole teada, kas kaksikuid on lõpmata palju. Aritmeetiliseks keskmiseks nimetatakse arvu, mis saadakse antud arvude summa jagamisel liidetavate arvuga. Näide 1. On antud arvud 3, 4, 5 ja 6. Leiame nende arvude aritmeetilise keskmise. 1) Leiame summa: 3 + 4 + 5 + 6 = 18. 2) Jagame summa liidetavate arvuga 18 : 4 = 4,5. Seega nende arvude aritmeetiline keskmine on 4,5. Lahendamiseks sobib ka avaldis (3 + 4 + 5 + 6) : 4. Arvkiir on kiir, mille alguspunktis on märgitud arv 0. Edasi on vabalt valitud ühiklõikude kaugusel järgmised naturaalarvud kasvavas järjekorras. Arvkiirt võime vajaduse korral pikendada kuitahes kaugele. Absoluutväärtus on positiivse arvu ja nulli korral arv ise ning negatiivse arvu absoluutväärtuseks on selle arvu vastandarv. Arvu absoluutväärtus on seda arvu arvteljel kujutava punkti kaugus nullpunktist
(a-b)2 = a2-2ab+b2 a3+b3 = (a+b)(a2-ab+b2) a2-b2 = (a+b)(a-b) a3-b3 = (a-b)(a2+ab+b2) (a+b)3 = a3+a2b+ab2+b3 (b-a) = -(a-b) 3. Võrrandid ja võrrandisüsteemid Lineaarvõrrand Muutujaga liikmed ühele, vabaliikmed teisele poole. Näide: 2(x+2) + 3 = 5x -2 -> 2x + 4 + 3 = 5x 1 -> -3x = -9|:(-3) -> x=3 Ruutvõrrand Erinevad lahendusvõtted: ax2 +bx+c=0 1) Klassikaline lahendivalem 2) Taandatud võrrandi lahendivalem x2+px+q=0 (ruutliikme kordaja peab olema a=1) 3) Viete'i teoreem (ruutliikme kordaja peab olema a=1) Ruutkolmliikme tegurdamine -> a(x-x1)(x-x2)=0 Näide: 2x2+5x-7=0 x1=1 x2=-3.5 2(x-1)(x+3,5)=0
nurga x siinuse, koosinuse ja tangensi kaudu ja vastupidi. sin 2x = 2 sin x · cos x cos 2x = cos2x – sin2 x 2 tan x tan 2x = 1 tan2 x Näited: 1 1 sin x · cos x = 2 sin x · cos x = sin 2x 2 2 sin2x – cos2x = –(cos2x – sin2x) = – cos 2x 2 tan 2x tan 4x = 1 tan2 2x Ülesanne. Kasutades kahekordse nurga siinuse valemit lihtsusta avaldis sin x cos x cos 2x cos 4x cos 8x cos 16x 1 Kui lahendad ülesande õigesti, saad lõpptulemuseks sin 32x . 32 Ülesanne. On teada, et cos 2x = cos2x – sin2 x. Millega võrdub a) cos2 2x – sin2 2x b) sin2 4x – cos2 4x c) cos2 8x + sin2 8x POOLNURGA VALEMID Trigonomeetriliste avaldiste lihtsustamisel kasutatakse ka n.n. poolnurga siinuse,
14 3.3 Näited astendamisest ja juurimisest ………………………………… 15 3.4 Korrutamise abivalemid …………………………………………….. 17 3.5 Hulkliikme lahutamine teguriteks …………………………………... 17 3.6 Näited algebraliste avaldiste teisendamisest ………………………… 18 3.7 Lineaarvõrrand ……………………………………………………… 22 3.8 Ruutvõrrand ……………………………………………………...… 23 3.9 Ruutkolmliikme teguriteks lahutamine …………………………….. 23 3.10 Näiteid lineaarvõrrandite ja ruutvõrrandite lahendamisest ning ruutkolmliikmete teguriteks lahutamisest ……………………..….… 24 3.11 Determinandid …………………………………………………..….. 27 3.12 Lineaarvõrrandisüsteem ……………………………………….….… 27 3
Ruutfunktsioon Sissejuhatav kordamine 1. Teosta tehted. Vastustes vabane negatiivsetest astendajatest. 3 1 2 3 1 a) 2 a b c 3 Lahendus: ; 1 4 2 s 3 t b) 4 5 3 4 s t Lahendus: . 2. Lihtsusta avaldis. a) xy(x + 3y) + (x + y)(x2 2xy y2) Lahendus: xy(x + 3y) + (x + y)(x2 2xy y2) = = x2y + 3xy2 + x3 2x2y xy2 + x2y 2xy2 y3 = = x 3 y3 = = (x y)(x2 + xy + y2) b) (3a 2)2 + (2 + 3a)(2 3a) Lahendus: (3a 2)2 + (2 + 3a)(2 3a) = 9a2 12a + 4 + 4 9a2 = = 8 12a 3. Lahenda võrrand. a) 24x2 + 5x 1 (24x2 6x 12x + 3) = 111 Lahendus: 24x2 + 5x 1 (24x2 6x 12x + 3) = 111;
Lahendivalemid on tuletatud ka kolmanda ja neljanda astme võrrandite jaoks, kuid need on küllalt keerulised. Tihti on aga võimalik kõrgema astme võrrandeid lahendada korrutiseks teisendamise abimuutuja kasutamise või mõne muu võttega. Tutvume mõningate selliste võtetega. Näide 1. Lahendada võrrand : x5 = 4x3. Lahendus. Toome kõik liikmed vasakule : x5 - 4x3 = 0 Toome ühise kordaja x3 sulgude ette: x3(x2 4) = 0 Korrutis võrdub nulliga, kui kordajatest on null: x3 = 0 või x2 4 = 0 Lahendades, saame : x1 = 0, x2 = 2, x3 = -2. Näide 2. Lahendada võrrand x3 - 3x2 = 2x 6. Lahendus .Toome võrrandi kõik liikmed vasakule poole võrdusmärki ja teisendame siis selle poole korrutiseks: x3 - 3x2 - 2x + 6 = 0; x2(x 3) -2(x 3) = 0;
Näide: x 2 3 3 x2 m t) a n n a m , kui a 0, m Z , n N 3 Näide: x 4 4 x 3 2) Korrutamise abivalemid a) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 b) (a – b)2 = a2 - 2ab + b2 c) (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 d) (a – b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 3) Hulkliikme lahutamine teguriteks a) Ühise teguri sulgude ette toomine Näide: 6a 2b 12a 3b 4 18a 4b3 6a 2b 1 2ab3 3a 2b 2 b) Valemite kasutamine (1) a2 – b2 = (a – b)(a + b) Näide: 4 x 2 9 2 x 3 2 x 3 (2) a3 + b3 = (a + b)( a2 - ab + b2) (3) a3 – b3 = (a - b)( a2 + ab + b2) Näide: 125a 3 8b3 5a 2b 25a 2 10ab 4b 2 (4) a – b = a b =
Kahe kompleksarvu jagamisel aitab meid lihtne reegel: laiendame murdu selle Nii nagu esimese võrrandi puhul, on ka nüüd võrrandi lahenditeks kaaskomp- nimetajas oleva kompleksarvu kaaskompleksarvuga. Nii vabaneme imaginaar-susest leksarvud. murru nimetajas. 3) Võrrand x4 - 3x2 - 4 = 0 pole küll ruutvõrrand (see on biruutvõrrand), kuid ta Seega lahendatakse analoogiliselt. Teeme muutuja vahetuse x2 = t, saame ruutvõrrandi t2 a + bi (a + bi)(c - di) ac - adi + cbi + bd ac + bd bc - ad c + di = (c + di)(c - di) = c2 + d2 = c2 + d2 + c2 + d2 i, kus c2 + d2 0. - 3t - 4 = 0. Selle võrrandi lahenditeks saame t1 = 4 ja t2 = -1
süsteemi leidmiseks tuleb süsteemi igas reas vasakul pool korrutada vastava järjekorranumbriga tundmatu veerumaatriks esimese tundmatu veerumaatriksiga, seejärel teisega jne. Paremale poole jääb vastava järjekorranumbriga tundmatu veerumaatriksi korrutis vabaliikmete veerumaatriksiga. Märkused. 1) Saame võrrandisüsteemi lahendid, kui projekteerime parema poole b veergude ruumi. 2) Kui parem pool b kuulub veergude ruumi, on Ax = b täpne lahend leitav Gaussi meetodiga. 3) TEOREEM: Normaalvõrrandisüsteemil ATA = ATb on ühene lahend, kui maatriksi A veerud on lineaarselt sõltumatud. 4) Gaussi teisenduste korral vähimruutude lahend muutub, see pole vähimruutude ülesandes lubatud. 4. Kumerad hulgad Def: Hulk QcR2 on kumer, kui kõikide punktipaaride x1,x2 jaoks kogu neid punkte ühendav sirglõik kuulub sellesse hulka. Teoreem: Kumerate hulkade Q1...Qk ühisosa on kumerhulk. Tõestus: =!!!! ! Võtame 2 mistahes punkti x1,x2 Q ja moodustame: x= x1+x2Q
a +b = b+a ab = ba a ( b + c) = ( b + c) a Ühenduvus ehk assotsiatiivsus: a + ( b + c) = ( a + b) + c a ( bc ) = ( ab ) c Jaotuvus ehk distributiivsus: a ( b + c ) = ab + ac a ( b - c ) = ab - ac Sulgude avamine: a + ( b + c) = a + b + c a - ( b + c) = a - b - c a + ( b - c) = a + b - c a - ( b - c) = a - b + c 1.6 Protsent ja promill Üks protsent ( 1 %) on üks sajandik osa tervikust (arvust). Üks promill ( 1 )on üks tuhandik osa tervikust (arvust). a 100 %
4.ptk Kahe tundmatuga lineaarvõrrandisüsteem 8.klass Õpitulemused Näited 1.Kahe tundmatuga lineaarvõrrand - Ül.908 normaalkuju ax+by=c, esimese tundmatuga lineaarliige ax, teise teise | 12 tundmatuga lineaarliige by ja vabaliige c; tähed a,b ja c tähistavad arve, need on laiendajad on 12;4;2;3 võrrandi kordajad; kahe tundmatuga võrrandil on samad põhiomadused, mis 48x-4(2x-5)=2(y+2)-3(2x-3y) ühe tundmatuga võrrandil 48x-8x+20=2y+4-6x+9y 48x-8x-2y+6x-9y=4-20 NB kaks kahe tundmatuga lineaarvõrrandit 46x-11y=-16 normaalkuju moodustavad lineaarvõrrandisüsteemi 2.Kahe tundmatuga lineaarvõrrandi Ül.901
1Mis on üksliige? Üksliikmeks nimetatakse avaldist, kus on kasutatud ainult korrutustehet. 1Mis on hulkliige? Hulkliikmeks nimetatakse üksliikmete summat. 1Mis on tegurdamine? Tegurdamiseks nimetatakse avaldise teisendamist korrutiseks. 1Nimeta tegurdamise võtted 1)Teguri sulgudest välja toomine 2)Korrutise abivalemite kasutamine 3)Rühmitamisvõtte kasutamine 4)Ruutkaksliikme tegurdamine 1Mis on teoreem? Teoreem on lause, mida on vaja tõestada teada olevate tõdede põhjal. 1Mis on teoreemi eeldus? Teoreemi eeldus ütleb, mis on antud või teada. 1Mis on teoreemi väide? Teoreemi väide ütleb, mida saab eeldusest järeldada, ehk mida on vaja tõestada. 1Mis on kolmnurga kesklõik? Tee selgitav joonis. Sõnasta teoreem kolmnurga kesklõigust. Kolmnurga kesklõiguks nimetatakse lõiku, mis ühendab haarade keskpunkte ja on paralleelne kolmanda küljega.
1. Absoluutväärtus reaalarvuga x määratud mittenegatiivne reaalarv 2. Abstsisstelg x telg 3. Aksioom lause, mida loetakse õigeks ilma põhjenduseta. Aksioomid võetakse aluseks teiste väidete põhjendamisel. 4. Algarv Ühest suurem naturaalarv, mis jagub vaid ühe ja iseendaga. 5. Algebraline murd murd, mille lugejaks ja / või nimetajaks on muutujaid sisaldav avaldis. 6. Algebraline ruutjuur arv, mille ruut on antud arv a. 7. Algkoordinaat antud sirge ja ordinaattelje lõikepunkti ordinaat. 8. Algtegur naturaalarvu algarvuline tegur. 9. Algteguriteks lahutamine naturaalarvu esitamine algarvuliste tegurite korrutisena. 10. Alusnurk võrdhaarse kolmnurga või trapetsi aluse ja haara vaheline nurk. 11. Apoteem 1. korrapärase hulknurga keskpunktist küljele tõmmatud ristlõik. 12. 2
x = - , kui a 0 ; a murru lugeja on null ja nimetaja ei ole null. lahend puudub, kui a = 0 ja b 0 ; lahendeid on lõpmata palju, kui a = 0 ja b = 0 . L L= 0 = 0 N N 0 Ruutvõrrand Juurvõrrand - võrrand, milles tundmatu esineb juuritavas. Taandamata ruutvõrrand ax 2 + bx + c = 0 , a 0 Võrrandi mõlemaid pooli tuleb astendada - b ± b 2 - 4ac (sobivalt valitud) ühe ja sama x1, 2 = naturaalarvulise astendajaga.
Juure korrutis ab= a b Mittenegatiivsete arvude korrutise ruutjuur võrdub tegurite aritmeetilise ruutjuure korrutisega Jagatise ruutjuur a a = b b Positiivsete arvude jagatiste aritmeetiline ruutjuur võrdub nende arvude aritmeetiliste ruutjuurte jagatisega. Ruut võrrand Võrrandit ax²+bx+c=0, milles a, b ja c on antud arvud (a0) ja x on tundmatu, nimetatakse ruutvõrrandiks. ax² + bx + c = 0 a ruutliikme kordaja ax² ruutliige b lineaarliikme kordaja bx lineaarliige c vabaliige Valem. Ruutvõrrandiks nimetatakse võrrandit, mida saab esitada kujul . Seejuures tähistavad a, b ja c reaalarvulisi kordajaid. Ruutvõrrandi lahendamiseks saab kasutada valemit . Kui a=1, on tegemist taandatud ruutvõrrandiga, kuid ka sellisel juhul on võimalik lahendeid leida üldise ruutvõrrandi lahendivalemi abil.
....................................................................... 12 Võrrandid................................................................................................................................12 Võrrandi samaväärsus.............................................................................................................13 Lineaarvõrrand........................................................................................................................13 Ruutvõrrand............................................................................................................................13 Viete teoreem......................................................................................................................14 Biruutvõrrand..........................................................................................................................14 Murdvõrrand.............................................................................
a na 18. Jagatise juur n = n b b 19. Juure aste ( a ) = a n m n m 20. Juure juur m n a = mn a . 21. Astendaja 0 a 0 = 1 , kui a 0 -n 1 22. Negatiivne astendaja a = n a m 23. Murruline astendaja a n = n a m RUUTVÕRRAND 24. Taandatud ruutvõrrand x2 + px+q = 0. 2 p p 25. Võrrandi x2 + px + q = 0 lahend on valem x1; 2 = - ± -q . 2 2 26. Taandamata ruutvõrrand ax 2 + bx + c = 0 , a 1 - b ± b 2 - 4ac 27
a na 18. Jagatise juur n = n b b 19. Juure aste ( a ) = a n m n m 20. Juure juur m n a = mn a . 21. Astendaja 0 a 0 = 1 , kui a 0 -n 1 22. Negatiivne astendaja a = n a m 23. Murruline astendaja a n = n a m RUUTVÕRRAND 24. Taandatud ruutvõrrand x2 + px+q = 0. 2 p p 25. Võrrandi x2 + px + q = 0 lahend on valem x1; 2 = - ± -q . 2 2 26. Taandamata ruutvõrrand ax 2 + bx + c = 0 , a 1 - b ± b 2 - 4ac 27
Võrratusmärk muutub vastupidiseks, kui võrratuse mõlemaid pooli korrutada või jagada ühe ja sama negatiivse arvuga. –5x > 15 (5–) : → ׀x < –3 Võrratusmärk muutub vastupidiseks, kui vahetada võrratuse pooli. 2x + 3 < 6x → 6x > 2x + 3 Lineaarvõrratuse lahendamine Ühe tundmatuga lineaarvõrratus üldkujul on ax > b või ax < b. RUUTVÕRRAND JA VÕRRATUS Ruutvõrrand on teise astme algebraline võrrand. Ühe tundmatuga ruutvõrrand on teisendatav kujule kus a ≠ 0 Ruutvõrrandi lahendid on antud valemiga Ruutvõrrandi liikmed - ruutliige (tundmatu teise astme liige); bx - lineaarliige (tundmatu esimese astme liige); c - vabaliige (ei sisalda tundmatut). Ruutvõrrand, mille vasakul poolel on esimesel kohal positiivse kordajaga ruutliige,
1) ruutvõrrandi lahendamist käsitletakse enne ruutfunktsiooni tundmaõppimist; 2) ruutfunktsiooni graafiku konstrueerimine on seotud vastava ruutvõrrandi lahendamisega; 3) ruutfunktsiooni käsitletakse enne vastavat võrrandit. 10 Kuna olen juba aastaid kasutanud teist varianti, siis pakun välja võimaliku teemade käsitlemise järjekorra: 1. Funktsioon y = ax2. 2. Ruutfunktsioon y = ax2 + c. 3. Ruutvõrrand ax2 + bx + c = 0. 4. Ruutfunktsioon y = ax2 + bx. 5. Ruutvõrrand ax2 + bx = 0. 6. Ruutfunktsioon y = ax2 + bx + c. 7. Ruutvõrrandi graafiline lahendamine. Teema ,,Funktsioon y = ax2" juurde soovitan minna praktiliste ülesannete kaudu. Leiame sõltuvuse kuubi külje pikkuse a ja kuubi pindala S vahel (kuubi serva pikkuse ja vastava pindala märgime tabelisse), ringi raadiuse r ja pindala S vahel vms. Need sõltuvused esituvad valemina S = 6a2 ja S = r2
Kui otsitav arv x = 3, siis ta vastandarv x = (3) = 3. Vastus: 3 ja 3 2. Pool otsitava arvu ruudust võrdub 7-ga. Kui suur on otsitav arv? Lahendus: 1 2 Kui otsitava arvu tähistame tähega x, siis pool otsitava arvu ruudust on x . 2 Ülesande põhjal võrdub see avaldis 7-ga. Saame võrrandi 1 2 x = 7. 2 Lahendame saadud võrrandi. 1 2 x =7 2 2 x 2 =14; x = ± 14 = ±3,74; x 1 = 3,74; x 2 = -3,74. Kontroll: Kui otsitav arv on 3,74, siis pool selle arvu ruudust võrdub 1 1 3,74 2 = 14 = 7. 2 2 Kui otsitav arv on 3,74, siis pool selle arvu ruudust võrdub 1 1 ( - 3,74 ) = 14 = 7. 2 2 2
a+b = b+a ab = ba a ( b + c) = ( b + c) a Ühenduvus ehk assotsiatiivsus: a + ( b + c) = ( a + b) + c a ( bc ) = ( ab ) c Jaotuvus ehk distributiivsus: a ( b + c ) = ab + ac a ( b - c ) = ab - ac Sulgude avamine: a + ( b + c) = a + b + c a - ( b + c) = a - b - c a + ( b - c) = a + b - c a - ( b - c) = a - b + c 1.6 Protsent ja promill Üks protsent ( 1 % ) on üks sajandik osa tervikust (arvust). Üks promill ( 1 ) on üks tuhandik osa tervikust (arvust). a Arvude a ja b suhe protsentides on 100 % . b Kui p % arvust a on m, siis
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
