Ruutfunktsioon avaldub kujul y = ax2 + bx + c, kus a, b ja c on mistahes arvud ja ruutliikme kordaja a 0. Ruutfunktsiooni y = ax2 + bx + c graafikuks on parabool. Kui a > 0, siis parabooli harud avanevad üles, kui a < 0, siis alla. Parabooli sümmeetriatelge nimetatakse parabooli teljeks ja punkti, kus parabool lõikub oma teljega nimetatakse parabooli haripunktiks. Parabooli skitseerimiseks tuleb leida nullkohad ( võrrandi ax2 + bx + c = 0 lahendid) ja x + x2 haripunkt ( haripunkti abstsissi leiame kas nullkohtade aritmeetilise keskmisena 1 2 b
8x3 + 36x2 + 54x + 27 316 8x3 + 12x2 6x 1 = 0 x2 + x 6 = 0 x1 = 0,5 + 2,5 = 2 x2 = 0,5 2,5 = 3 Kontroll: x1 = 2 vasak pool: (2 . 2 + 3)3 316 = 73 316 = 27 parem pool: (2 . 2 1)3 = 33 = 27 Vasak pool on võrdne parema poolega. x2 = 3 vasak pool: (2 . ( 3) + 3)3 316 = ( 3)3 316 = 343 parem pool: (2 . ( 3) 1)3 = ( 7)3 = 343 Vasak pool on võrdne parema poolega. Vastus: x1 = 2 ja x2 = 3 Ruutfunktsioon - Sissejuhatus ruutfunktsiooni Praeguseks momendiks peaksid tundma niisuguseid seosei muutujate x ja y vahel, nagu a võrdeline seos y = ax, pöördvõrdeline seos y ning lineaarseos ehk lineaarfunktsioon y = x ax + b. Kordame neid seoseid. Edasi vaatame ülesandeid. 1. Joonesta võrdelise seose y = 1,5x graafik ja leia selle abil muutuja y väärtused, kui x 2; 1; 0; 1; 2; 3 .
Esimeses tabelis vastab igale x väärtusele ainult üks y väärtus, seega on tegemist funktsiooniga. Teises tabelis vastab väärtusele x = 3 kaks erinevat y väärtust (7 ja 8), tabel ei esita funktsiooni. Kolmandas tabelis vastab igale x väärtusele ainult üks y väärtus (see, et need väärtused on võrdsed, ei ole üldse oluline), järelikult on tegemist funktsiooniga. Näide 2. Selgitame, kas koordinaatteljestikus on funktsiooni graafik. 4 Joonis 2 Joonis 3 Joonis 4 Joonis 5 Jooniselt 2 on näha, et igale x väärtusele vastab täpselt üks y väärtus tegemist on funktsiooniga. Joonisel 3 vastab vahemikus 2 < x < 2 ühele x väärtusele mitu erinevat y väärtust, seega see graafik funktsiooni ei esita
PARABOOL Parabooliga puututakse kokku juba koolimatemaatikas. Joonistatakse graafikuid, mis avanevad üles- või allapoole, mille haripunkt on koordinaatide alguspunktis või mitte, mis lõikavad x-telge või mitte jne. Järgmine joonis kirjeldab, millise tasandiga tuleb koonust lõigata, et nende lõikejoon oleks parabool. Järgnevalt vaatleme, kuidas parabool defineeritakse. Tegeleme parabooli võrrandiga, mis erineb pisut koolimatemaatikas õpitust. Lisaks joonistame paraboole, mis võivad avaneda nii üles või alla kui ka vasakule või paremale. Esitatud on nii teooria kui näiteülesanded. Iseseisvalt on võimalik läbi lahendada harjutusülesandeid, kus tuleb siiski paber ja pliiats appi võtta. Arvuti teel saab lahendada testi, mis aitab parabooli võrrandist selgust luua. Parabool on joon, mille iga punkti X(x; y) kaugus ühest kindlast sirgest (juhtjoonest)
funktsiooni suurim väärtus on 14. Näpunäited I, II, III 1) Funktsioon y f ( x) on diferentseeruv. Diferentseeruv funktsioon on kasvav vahemikus, kus f ( x) 0 ja kahanev vahemikus, kus f ( x) 0 . Seega tuleb leida funktsiooni tuletis ning seejärel lahendada võrratused f ( x) 0 ja f ( x) 0 . Kuna on tegemist kuupfunktsiooniga, siis võrratused f ( x) 0 ja f ( x) 0 kujutavad ruutvõrratusi. Ruutvõrratuse lahendamiseks toimime järgmiselt: 1) leiame vastava ruutfunktsiooni nullkohad, st võrrandi f ' ( x) 0 lahendid; 2) arvestades ruutliikme kordaja märki ja leitud nullkohti skitseerime ruutfunktsiooni graafiku (parabooli); 3) leiame jooniselt ruutfunktsiooni positiivsus- või negatiivsuspiirkonna. 2) Etteantud lõigus funktsiooni suurima (vähima) väärtuse leidmiseks arvutame funktsiooni väärtused vastaval ekstreemumkohal, st f x max , kui küsitakse funktsiooni suurimat väärtust või f x min ,
muutuja suhtes, kui ühegi liikme aste nende muutujate suhtes ei ole suurem kui üks. Näiteks on hulkliige ax+bx+c lineaaravaldiseks kahe muutuja x ja y suhtes. Hulknurgaks nimetatakse geomeetrilist kujundit, mis on piiratud kinnise murdjoonega (hulknurka nimetatakse korrapäraseks ja kumeraks) ja diagonaaliks nimetatakse lõiku, mis ühendab kaht tippu, mis ei kuulu ühele ja samale küljele. Hüperbooliks (nimetatakse tasandile kuuluvate punktide hulka, mille iga punkti kauguste vahe absoluutväärtus kahest antud punktist, mida nimetatakse fookusteks, on jääv suurus.) Hüperbool on pöördvõrdelise seose y=a/x graafikuks Jagatise põhiomadus - jagatis ei muutu, kui jagatav ja jagaja korrutada või jagada ühe ja sama nullist erineva arvuga. NT. a : b = (a · n) : (b · n) 6 : 3 = (6 · 100) : (3 · 100)= 600 : 300 = 2 a : b = (a : n) : (b : n) 360 : 60 = (360 : 10) : (60 : 10) = 36 : 6 = 6
FUNKTSIOONID. 1. (1997 A) Leidke funktsiooni y = 4x3 3x2 maksimum- ja miinimumkoht ning kasvamis- ja kahanemisvahemikud. 2 2. (1997 B) Leidke funktsiooni y 2 x määramispiirkond, maksimum- ja x 1 miinimumpunkt ning kasvamis- ja kahanemisvahemikud. 3. Joonisel on antud ruutfunktsiooni y = f(x) ja funktsiooni y = ex graafikud. Leidke a) Ruutfunktsiooni y = f(x) määrav valem; b) Punkti A koordinaadid; c) Funktsiooni y = f(x) nullkohad ja haripunkti koordinaadid; d) Funktsiooni y = ex väärtus kohal, mis vastab funktsiooni y = f(x) absoluutväärtuselt vähimale nullkohale; e) Antud funktsioonide ühine positiivsuspiirkond. 4. (1998) Heinakuhja telglõige on piiratud joonega y = 1 x2 ja sirgega y = 0. Kuhjale toetub koonusekujuline katus, mille telglõike tipunurk on täisnurk.
Ruutfunktsioon Ruutfunktsioon y = ax2 + c ja tema graafik Vaatleme niisugust muutujate x ja y vahelist seost, mis on esitatud valemiga y = ax2 + c, kus a ja c on antud arvud ning a 0. Määramispiirkonnaks on kõigi reaalarvude hulk või selle osahulk. NÄIDE 1. Joonestame ühes ja samas teljestikus ruutfunktsioonide y = 2x2 ja y = 2x2 + 2 graafikud. Lahendus: Koostame kõigepealt muutujate x ja y vastavate väärtuste tabeli. x 2 1,5 1 0,5 0 0,5 1 1,5 2
korraldamisel ruumi ja toidu peale tehtavaid kulutusi, loodusressursside kasutamist jne (vaata õpikuid ja jälgi meedias toodud graafikuid). Saame õpilastele näidata, et õpitut on võimalik rakendada elus toimuvate protsesside kirjeldamiseks. Ruutfunktsiooni ja pöördvõrdelise seose graafikute joonestamisega ette antud valemi järgi on juba põhikoolis tegeldud. Sellest tuleks nüüdki alustada joonestada graafikuid nii paberil kui arvuti abil, meenutada kõiki ruutfunktsiooni graafikuga seotud mõisteid (nullkohad, nende arv, avanemine, telg, haripunkt, lõikepunktid telgedega). Kitsa kursuse õppijad sellega piirduvadki, st parabooli ja hüperbooli võrrandeid nad koostama ei pea. Laias kursuses võib õpetaja graafiku ette anda ja lasta joone võrrandi ära arvata. Näiteks allpool toodud - 0,5 9 hüperboolide (joonis 8 ja 9) korral saame, et y = ja y = . Vajalikud andmed tuleb
ax2 + bx + c < 0 või ax2 + bx + c 0 või ax2 + bx + c 0, kus a 0, b ja c on antud arvud ja tähega x on tähistatud tundmatut. Ruutvõrratuste lahendamine Ruutvõrratuste lahendihulgad leitakse funktsiooni y = ax2 + bx + c graafiku abil. Arutelu lihtsustamiseks on kasulik võrratust teisendada nii (vajadusel teguriga 1 korrutades), et pealiikme kordaja a > 0. Sel juhul avaneb funktsiooni graafikuks olev parabool alati ülespoole, mistõttu on vaja leida vaid ruutvõrrandi ax2 + bx + c = 0 lahendid ning läbi nende skitseerida graafik. Kui neid lahendeid pole, siis - võrratuse ax2 + bx + c > 0 (või 0) lahendihulgaks on hulk R - võrratuse ax2 + bx + c < 0 (või 0 ) lahendihulgaks on tühi hulk Näide 1 Näide Lahendame võrratuse 6 + x x2 < 0. Lahendus Korrutame selle võrratuse mõlemaid pooli arvuga 1, saame võrratuse x2 x 6 0 Viimase lahendamiseks leiame võrrandi
lahendivalem x2+px+q=0 (ruutliikme kordaja peab olema a=1) 3) Viete'i teoreem (ruutliikme kordaja peab olema a=1) Ruutkolmliikme tegurdamine -> a(x-x1)(x-x2)=0 Näide: 2x2+5x-7=0 x1=1 x2=-3.5 2(x-1)(x+3,5)=0 Ärge unustage tegurdatud kujule ette lisada ruutliikme kordajat! Ruutvõrrandi graafiku parabooli haripunkti koordinaatide leidmine: xh=-b/2a VÕI xh=(x1+x2)/2 yh saab arvutada parabooli võrrandist Murdvõrrand Murdvõrrandiks nimetatakse võrrandit, kus nimetaja sisaldab muutujat Näide: (x+1)/(x+2)=0 Murdvõrrandit EI TOHI muutujaga läbi korrutada! Lahendamiseks viiakse kõik liikmed vasakule poole ning ühisele murrujoonele. Näide:
2 x + y b 4 b2 - 4 12. - 2 : 2 b + 3 b + 3b b + 8b + 15 x + 6x + 5 2 16 13. + x - 5 x +5 x +3 2 2y + 6 y +1 14. - 2 : 2 y - 4 y - 16 y - 3 y - 4 15. Kolmnurga tippudeks on punktid (-6; 3); (2; -3) ja (4; 6). Joonesta antud kolmnurk koordinaatteljestikus. Joonesta mediaanid ja leia jooniselt mediaanide lõikepunkti koordinaadid. 16. Joonesta funktsioon y = -2x + 4 graafik. Kirjuta välja graafiku ning koordinaattelgede lõikepunktide koordinaadid. Leia punkt, mille ordinaat on 6. 17. Joonesta funktsiooni y = x 2 -1 graafik. Leia lõikepunktid koordinaattelgedega ja punk, mille abstsiss on -2. 18. Joonesta ühes ja samas teljestikus lineaarfunktsiooni y = x + 2 ja ruutfunktsiooni
Nurg kahe sirge vahel. Tema arvutamisvalem taandatud kujul antud sirgete jaoks. Nurk kahe tasandi vahel. Nurk sirge ja tasandi vahel. 18. Ringjoone definitsioon ja võrrand. Ellipsi definitsioon ja kanooniline võrrand. Ellipsi fookused. Ellipsi ekstsentrilisus ja juhtjooned. Ellipsi optiline omadus. Hüperbooli definitsioon ja kanooniline võrrand. Hüperbooli fookused, harud, ekstsentrilisus. Hüperbooli kaldasümptoodid ja juhtjooned. Hüperbooli alternatiivne definitsioon. Parabooli definitsioon ja kanooniline võrrand. Parabooli fookus, juhtjoon, ekstsentrilisus. Parabooli optiline omadus. Matemaatikutele tulemused tõetustega 1. Determinandi leidmine, kus viimases reas kõik elemendid peale viimast võrduvad nulliga. 2. Determinandi arendis j-nda veeru järgi. 3. Maatriksi pöördmaatriksi arvutamise valem. 4. Crameri valemi tuletamine 5. Kronecker-Capelli valemi tuletamine 6. Igal nullist erineval kompleksarvul on n erinevat n-juurt. 7
Kauba hinda alandati 10% võrra. Mitme protsendi võrra tuleb uut hinda veel alandada, et kogu hinnaalandus oleks 28%? 11. Ringi raadiusega 1 on joonestatud maksimaalse suurusega võrdkülgne kolmnurk, sellesse siseringjoon, saadud ringi võrdkülgne kolmnurk jne. Leia tekkivate kolmnurkade pindalade summa. 12. Humalavars kasvab 6 cm ööpäevas. Ta väändub ümber puu maaga 30° nurga all. Puu ümbermõõt on 25 cm. Kui kiiresti kasvab humal 3 m kõrgusele maapinnast? 13. Parabooli lõigatakse teljega ristuva sirgega. Parabooli ning selle sirge lõikepunktide A ja B vaheline kaugus on 32 cm, parabooli telje ning nimetatud sirge lõikepunkti C ja parabooli tipu D vaheline kaugus on 6 cm. Punktist B 8 cm kaugusel, punktis E on lõigule AB tõmmatud ristsirge, mis lõikab parabooli punktis F. Leia E ja F vaheline kaugus 14. Korrapärase kolmnurkse püramiidi põhiserva a ja külgserva b kaudu avalda üht
Joone võrrand © T. Lepikult, 2010 Joone võrrand Joone C võrrandiks ristkoordinaatides nimetame niisugust seost F(x, y) = 0 kahe muutuja x ja y vahel, mida rahuldavad selle joone iga punkti ristkoordinaadid ja ainult need. Sirge, mille Parabool, mille võrrandiks on y võrrandiks on b d y + x -b = 0 y - 2 ( x - c) 2 = 0 c c d Ringjoon, mille võrrandiks on r b ( x - a) 2 + + ( y - b) 2 - r 2 = 0 a 0 c x
MATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE MÕISTED, VALEMID, NÄITED, ÜLESANDED LEA PALLAS I OSA SISUKORD 1. ARVUHULGAD …………………………………………………… 2 2. ARITMEETIKA ……………………………………………….…… 3 2.1 Mõningate arvude kõrgemad astmed ………………………….……. 3 2.2 Hariliku murru põhiomadus ………………………………….…….. 3 2.3 Tehetevahelised seosed ……………………………………….…….. 3 2.4 Tehted harilike murdudega ………………………………….……… 4 2.5 Tehete põhiomadused ……………………………………….……… 5 2.6 Näited tehete kohta positiivsete ja negatiivsete arvudega …….…….. 5 2.7 Näited tehete kohta ratsionaalarvudega ……………………….……. 6 2.8 Protsent ja promill ……………�
1 10. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium KORDAMINE: FUNKTSIOONI GRAAFIK I Joonistel on kuue funktsiooni graafikud. Tee kindlaks, missuguste funktsioonidega on tegemist. 1 2 3 © Allar Veelmaa 2014 2 10. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium KORDAMINE: FUNKTSIOONI GRAAFIK II © Allar Veelmaa 2014 3
sirge ja abstsisstelje positiivse suuna vahelise nurga ehk tõusunurga tangens. Algordinaadiks - nimetatakse matemaatikas sirge ja y-telje lõikepunkti ordinaati. Ehk teisisõnu algordinaat on sirge ja y telje lõikepunkti y väärtus. Sirge kahe tasandi lõikejoonena (ruumis) - TASANDI VÕRRAND: Tasandi riht tasandit määrav lineaarselt sõltumatu vektorsüsteem. Paneme tähele, et kolmik {A;u;v} on tasandi reeperiks. Olgu X suvaline punkt tasandil . Paneme tähele, et punkt X kuulub tasandile parajasti siis, kui tema kohavektor AX avaldub tasandi reeperisse kuuluva baasi kaudu. Seega, X parajasti siis, kui leiduvad sellised reaalaarvud t1 ja t2, et AX = t1u + t2v: Tasandi parameetriline vektorvõrrand -võrrandit ={X|AX = t1u + t2v; iga t1, t2 R} ehk :AX = t1u + t2v; iga t1, t2 R nimetatakse tasandi parameetriliseks vektorvõrrandiks. Muutujaid t1 ja t2 nimetatakse parameetriteks. Olgu O poolus ehk reeperi alguspunkt ruumis E3. Tähistame punktide A ja X
See näitab, et sirge tasandil on kahe muutuja lineaarne võrrand. Tasandi võrrandid Fikseeritud punkt ja kaks nullist erinevat mittekollineaarset vektorit määravad tasandi. Neid tasandi suunalisi vektoreid nimetatakse tasandi suunavektoriteks.Tasandi üldvõrrand A(x-xo)+B(y-yo) +C(z-zo)=0. Kahe tasandi vahelise nurga arvutamiseks piisab nende normaalvektorite vahelise tervanurga arvutamisest. Tasandi ja sirge vahelise nurga all mõistetakse sirge ja selle tasandile võetud projektsiooni vahelist nurka: see on tasandi normaali ja sirge suunavektori vahelise nurga täiendnurk. Arve a, b ja c nimetatakse telglõikudeks. Telglõgud näitavad, kus tasand lõikub koordinaattelgedega. Nende abil on võimalik saada ettekujutus tasandi paiknemisest ruumis: kui tahame joonistada tasandit, siis on selleks sobivaim kuju võrrand telglõikudes. Sirge ja tasand kui alamruumid Ruumi Rn ühe võrra madalamat alamruumi Rn_1 nimetatakse hüpertasandiks
...........................................................................36 Kahe sirge lõikepunkti koordinaadid......................................................................................37 Kahe sirge vaheline nurk........................................................................................................ 38 Ringjoonevõrrand................................................................................................................... 38 Ruutfunktsiooni graafik, selle joonestamine.......................................................................... 39 Pöördvõrdelise sõltuvuse graafik............................................................................................39 4 I Reaalarvud ja avaldised Arvuhulgad Naturaalarvude hulk N N = {0; 1; 2; 3; 4; ...}
Hüperbooli asümptoodiks nim sirget millele hüperbool kulgemisel lõpmatusse piiramatult läheneb. Risthüperbooliks ehk võrdhaarseks hüperbooliks nim hüperbooli mille reaal- ja imaginaartelg on võrdsed, (a=b). Siit järeldub, et risthüperbooli asümptoodid ristuvad. Parabool Parabooliks nim tasandi niisuguste punktide hulka mis asuvad võrdsel kaugusel antud punktist, mida nim fookuseks ja antud sirgest mida nim juhtjooneks. Fookuse kaugust juhtjoonest tähistatakse tähega p, mida nim parabooli parameetriks. x²=2py so parabooli kanooniline võrrand. Selle võrrandiga antud parabool on sümmeetriline y-telje suhtes ja tema tipp ehk haripunkt asetseb koordinaatide alguspunktis. Parabool võib olla sümmeetriline ka x-telje suhtes. Sel juhul asetseb parabooli fookus x-teljel ja juhtjoon on paralleelne y-teljega. y²=2px Maatriksid Ruutmaatriks ja ristkülikmaatriks Kui ühe ja sama vektori koordinaadid asetseksid ühes reas ning samanimelised koordinaadid
triikraua mass suurem kui külma triikraua _________________________________________________ 18.Mõisted: teepikkus, nihe, taustsüsteem. Kui mõõdame alg- ja lõppasukoha vahekauguse täpselt piki trajektoori, saame teepikkuse. Mõõtes kaugust aga mööda sirgjoont ehk linnulennul, saadakse nihe Taustkeha, sellega seotud koordinaadistik ja ajamõõtmise süsteem moodustavad taustsüsteemi. 19.Ühtlase sirgjoonelise liikumise liikumisvõrrand ja graafik. Mehaanika põhiülesanne on määrata keha asukoht mis tahes ajahetkel, st leida keha koordinaatide sõltuvus ajast. Kui paneme selle sõltuvuse kirja matemaatilise avaldise abil, saame liikumisvõrrandi. Liikumisgraafikuks nimetatakse graafikut, mis näitab keha asukoha (koordinaadi x) sõltuvust ajast. Liikumisgraafiku horisontaalteljele kantakse aeg t ja püstteljele ajast sõltuv koordinaat x. 20.Keha keskmine kiirus ja hetkkiirus
1315 positiivset arvu, mis seisab tegurina juuremärgi ees, võib viia ruutu tõstetult tegurina juuremärgi alla NB juuremärgi all tuleb saadud arvud omavahel korrutada või jagada 2 11.Ruutvõrrand - võrrand ax +bx+c=0, Ül.1321,1324 milles antud arvud a,b,c (a 0), tundmatu Määrata kordajad ja liikmed. 2 2 1)2x +5x+7=0 x; kordajad a,b,c; ruutliige ax ; lineaarliige kordajad a=2 b=5 c=7 bx; vabaliige c 2 liikmed: ruutliige 2x ; lineaarliige 5x; vabaliige 7 Leida antud arvuhulgast NB ruutvõrrand võib olla normaalkujuline, täielik, mittetäielik, taandamata, taandatud lahendeid.2
kool.ee 23.05.1998 a matemaatika riigieksam Lehe haldamist toetavad Topauto ja meelespea.net 8. (20p) Heinakuhja telglõige on piiratud joonega y =1 - x 2 ja sirgega y = 0. Kuhjale toetub koonusekujuline katus, mille telglõike tipunurk on täisnurk. Leidke kuhja tipu ning katuse tipu vaheline kaugus. Lahendus: Heinakuhja telglõige on piiratud joonega y =1 - x 2 ja sirgega y = 0. Sirge y = 0 on x-telg. Joone y =1 - x 2 graafik on parabool, mis avaneb alla, nullkohad on -1 ja 1. ABC = 900 . Kuna VABC on täisnurkne võrdhaarne kolmnurk, siis alusnurgad on võrdsed ja CBA = CAB = 450 . Koonusekujulise katuse moodustajat läbiv sirge on puutujaks paraboolile y = 1 x2. Märkus: puutuja võrrand y y0 = k(x x0). Puutuja tõus on k ja puutepunkt (x0; y0). Kuna sirge tõus võrdub tõusunurga tangensiga, siis otsitava puutuja tõus k = tan 450 = 1.
kvantitatiivse või kvalitatiivse teguri muutumise tagajärjel I ft = 1,40 40% I f = 1,28 28% I t = 1,09 9% 1,40 1,28 1,09 31750 = 24500 + 7200 891,9 = 1095,9 + ( -204) ( , ) = ( ) + ( ) 1,022 1,028 0,995 I = 0 1 = 39496 = 0,995 I = 11 = 40591,9 = 1,028 I = 11 = 40591,9 = 1,022 0 0 39700 0 1 39496 0 0 39700 Teist järku parabool sobib niisuguste aegridade tasandamiseks, kus rea tasemed kasvavad (vähenevad) teatud piirini ning seejärel hakkavad aja kulgedes vähenema (kasvama). · Parameetrite a0, a1 ja a2 normaalvõrrandite süsteem: · Leiame parabooli parameetrite a0, a1 ja a2 hinnangud normaalvõrrandite süsteemist Interpoleerimine aegrea puuduvate elementide arvväärtuste leidmine Ekstrapoleerimine trendi retrospektiivne ja/või perspektiivne leidmine n
5.8 Nurga radiaanmõõt · Kraadimõõt · Detsimaalkraadimõõt e kümnendkraadimõõt. Täisnurk jaotatakse 100 võrdseks osaks, rahvusvaheline nimetus on goon. 100g=90o · Radiaanmõõdusüsteem. Mõõtühikuks nurgaradiaan, mis on kesknurk, ms toetub raadiuse pikkusele kaarele. 180=rad 5.9 Funktsioon y=sin x Kuna sinfunktsiooni väärtused korduvad 2 järel, siis öeldakse, et sinfunktsioon on perioodiline funktsioon perioodiga 2. · Sinfunktsioon graafik lõikab x-telge iga järel alates argumendi väärtusest x=0, st kohtades x=n. Need kohad on nullkohad, sest neis kohtades sin x=0. · Suurim väärtus on 1 ja vähim -1. 5.10 Funktsioon y=cos x Koosinusfunktsioon on perioodiline funktsioon perioodiga 2. · Vähim väärtus -1, suurim 1. Kõik need väärtused korduvad iga 2 järel. · Koosinusfunktsiooni nullkohad avalduvad kujul: 5.11 Funktsioon y= tan x Funktsioon on perioodiline perioodiga .
38. Nullvektor, vastandvektor, vektorite vahe · Hüperbool a 0 = ( 0;0 ) y= x a = ( x; y ) vas tan dvektor - a = ( - x;- y ) · Parabool a - b = ( x1 - x 2 ; y1 - y 2 ) y = ax 2 + bx + c 39. Vektori korrutamine arvuga Põhiparabool y=x 2 k a = ( kx; ky ) a? y=ax2 (ruutliikme kordaja) 40. Vektorite skalaarkorrutis
MÄÄRATUD INTEGRAAL Pindfunktsioon ja tema tuletis Kõverjooneliseks trapetsiks nimetatakse kujundit, mille kaks külge on teineteisega paralleelsed sirged (paralleelsed näiteks y teljega). Vaatame siin esialgu veel lihtsustust, kus ka kolmas külg on sirge (x telg või täpsemalt x telje lõik [a,b]), neljas külg funktsiooni y = f ( x ) graafik. Trapetsiga on sarnasus: kahe vastaskülje paralleelsus. y M A X B y = f(x) m P P 0 a x x+x b x
MÄÄRATUD INTEGRAAL Pindfunktsioon ja tema tuletis Kõverjooneliseks trapetsiks nimetatakse kujundit, mille kaks külge on teineteisega paralleelsed sirged (paralleelsed näiteks y teljega). Vaatame siin esialgu veel lihtsustust, kus ka kolmas külg on sirge (x telg täpsemalt x telje lõik [a,b], neljas külg funktsiooni y = f ( x ) graafik. Trapetsiga on sarnasus: kahe vastaskülje paralleelsus. y M A X B y = f(x) m P P 0 a x x+x b x
40. Korrapärane prisma püstprisma, mille põhi on korrapärane hulknurk. 41. Korrapärane püramiid püramiid, mille külgservad on võrdsed ja põhjaks on korrapärane hulknurk. 42. Kraad ringjoone kaare või vastava kesknurga mõõtühik. 43. Kuup 1. risttahukas, mille kõik servad on võrdsed. 44. Kõõl joone kaht punkti ühendav lõik. 45. Lineaarfunktsioon kahe suuruse x ja y vaheline seos kujul y = ax + b ; ax on lineaarliige, b vabaliige; graafik on sirge. 46. Lineaarvõrrand võrrand, milles tundmatud on ainult esimeses astmes. 47. Lõpmatu kümnendmurd kümnendmurd, mille ükski numbrikoht pole viimane. 48. Lähisküljed ühest ja samast tipust lähtuvad hulknurga küljed. 49. Mediaan kolmnurga tippu vastaskülje keskpunktiga ühendav lõik. 50. Minut ringjoone kaare või vastava kesknurga mõõtühik. 51. Mittetäielik ruutvõrrand ruutvõrrand, mis esitub kas kujul ax2+c=0 või kujul
positiivsel sisepinnal mõjub positiivsel sisepinnal mõjub positiivses suunas või negatiivsel negatiivses suunas või negatiivsel sisepinnal negatiivses suunas sisepinnal positiivses suunas 6.3.3. Paindemomendi ja põikjõu epüürid. Näited Eelnevast: Sisejõu epüür = sisejõu graafik piki varda telge Priit Põdra, 2004 89 Tugevusanalüüsi alused 6. DETAILIDE TUGEVUS PAINDEL 6.3.3.1. Näide. Üksik-põikkoormused Koostada üksikkoormustega painutatud varda (Joon. 6.10) sisejõudude epüürid ja määrata ohtlikud lõiked (kui varras on ühtlane)! Lahenduskäik:
positiivsel sisepinnal mõjub positiivsel sisepinnal mõjub positiivses suunas või negatiivsel negatiivses suunas või negatiivsel sisepinnal negatiivses suunas sisepinnal positiivses suunas 6.3.3. Paindemomendi ja põikjõu epüürid. Näited Eelnevast: Sisejõu epüür = sisejõu graafik piki varda telge Priit Põdra, 2004 89 Tugevusanalüüsi alused 6. DETAILIDE TUGEVUS PAINDEL 6.3.3.1. Näide. Üksik-põikkoormused Koostada üksikkoormustega painutatud varda (Joon. 6.10) sisejõudude epüürid ja määrata ohtlikud lõiked (kui varras on ühtlane)! Lahenduskäik:
Teised lineaarvõrratused lahendatakse analoogselt. Kui a = 0 , siis saadakse arvvõrratus (see ei ole lineaarvõrratus). Tõese arvvõrratuse lahenditeks on kõik reaalarvud. Mittetõese arvvõrratuse puhul lahendid puuduvad. 2.11 Ruutvõrratus Ühe tundmatuga ruutvõrratuseks nimetatakse võrratust ax 2 + bx + c > 0 või ax 2 + bx + c < 0 ( ka 0 või 0 ). Näiteks ruutvõrratuse ax 2 + bx + c > 0 lahendamine tähendab vastava ruutfunktsiooni y = ax 2 + bx + c positiivsuspiirkonna leidmist. Olgu selle funktsiooni nullkohad ehk ruutvõrrandi ax 2 + bx + c = 0 lahendid x1 ja x 2 . Esineda võivad järgmised kolm juhtu. I. D>0 (D=b 2 - 4ac ) . Ruutvõrrandil on kaks erinevat lahendit x1 ja x 2 . Sõltuvalt ruutliikme kordaja a märgist on võrratusel ax 2 + bx + c > 0 järgmised lahendid: 12
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
