a
b
(joon) x=(t) ja y=(t) siis S = ydx [x=at=; x=bt= ja dx=(t)dt=xdt] siis pindala saab: S = yx dt
a
Polaarkoordinaadistik. Kõversektori pindala polaarkoordinaatides
(joon) -polarkaugus (p raadius), punkti kaugus poolusest; -polaarnurk. Seos ristkoordinaadistikuga: (joon) P(;).
[x/=cos; y/=sin] {x=cos; y=sin} x2=2cos2; y2=2sin2 =x2+y2 Kõversektori pindala
polaarkoordinaadistikus: (joon) =; = ja =(). Vaja leida pindala [; ] vahel =o<1<...
y = y(u; v) D peavad olema pidevad; 4)peavad olema pidevad osatuletised mõlema muutuja järgi. (joon) f ( x; y ) = f [ x (u; v ); y (u; v )] = F (u; v ) * f ( x; y ) dxdy = F (u; v) J dudv D xu xv J = Jacobi determinant e jakobiaan. yu yv Kahekordne integraal polaarkoordinaatides x = cos f ( x; y )dxdy = f ( cos; sin ) dd y = sin D cos - sin
Funktsioon, mis on antud parameetrilisel kujul. Funktsiooni f muutujate x ja y väärtused saab määrata ka teatavate abimuutuja t funktsioonide x = x(t) ja y = y(t), t T väärtustena. Antud esituse korral öeldakse, et funktsioon on antud parameetrilisel kujul ning tavaliselt esitatakse see järgmiselt: x = x (t ) t T y = x(t ) x = t +1 Näiteks: y = t + 2 Polaarkoordinaadid, üleminek parameetrilisele esitusele. Funktsiooni f saab esitada ka polaarkoordinaatides valemiga r = r(), T, mis annab funktsiooni graafiku punktid (x,y) polaarkoordinaatides (r, ). Esituselt polaarkoordinaatides saab minna üle parameetrilisele esitusele kasutades järgmiseid valemeid: Näiteks: 8. Jada (näide). Jada piirväärtus. Näiteks tõestada, et jada xn= piirväärtus on . Alates millisest n väärtusest suurus - xn ei ületa = 0,01 ? Jada. Definitsioon nimetatakse funktsiooni, mille määramispiirkonnaks on naturaalarvude hulk N. Näide: n = (1, , , ...)
3. Parameetriline esitus .Muutujate x ja y väärtused määratakse teatavate abimuutuja t funktsioonide x=x(t), y=y(t), t∈T väärtustena. Abimuutujat t nimetatakse parameetriks ja vaadeldavafunktsiooni parameetrilisteks võrranditeks. 4. Esitus polaarkoordinaatides valemiga r= r(φ), φ∈T, mis annab funktsiooni graafiku punktid (x,y) polaarkoordinaatides (r,φ). 6. Funktsioonide liigid. Näited. Definitsioon: Kui iga x ∈ X korral on f(x)=f(x), siis nimetatakse funktsiooni f
20. Vektori skalaarse argumendi järgi võetud tuletise mõiste. Olgu vektor ~a antud mingis koordinaatide süsteemis kui skalaarse argumendi u pidev funktsioon. ~a= ~a(u), vahet ~a= ~a(u+u)- ~a(u) nimetatakse vektori ~a juurdekasvuks. ~a/u=(~a(u+u)- ~a(u))/ u, kui piirväärtus u0 puhul, juhul kui see on olemas nimetatakse vektori tuletiseks skalaarse argumendi järgi ja tähistatakse d~a/ du. 21. Punkti kiirus (vektorviisil, koordinaatviisil, loomulikul viisil?). Punkti kiirus polaarkoordinaatides (radiaal- ja transversaalkiirus). Punkti kiirus: A) Vektorviis - Kiiruseks antud hetkel nimetatakse punkti siirdevektori ja ajavahemiku, mille kestel see siire toimus, suhete piirväärtust, kui see ajavahemik läheneb nullile: ~v= limt0(~r/t)=d~r/dt=(~r)` Kiiruse dimensioon m/s. (Punkti kiirus on vektor ~v, mille suund on piki trajektoori puutujat punkti liikumise suunas). B) Koordinaatviis - x= x(t), y= y(t), z= z(t). ~r=x~i+y~j+z~k. ~v=d~r/dt= dx/dt*~i+ dy/dt*~j+ dz/dt*~k C)
integraalina ja tegutsetakse vastavalt kahele esimesele punktile. Teoreemid: f(x) ja (x) on pidevad [a;b]. 1. kui 0<=f(x)<=(x) ja (x)dx koondub, siis koondub ka f(x)dx. 2. kui 0<=f(x)<=(x) ja f(x)dx hajub, siis hajub ka (x)dx 8. Määratud integraali ligikaudne arvutamine. Ristkülikvalem. Trapetsvalem. 9. Pindala arvutamine ristkoordinaatides. 10. Polaarkoordinaadistik. Kõversektori pindala polaarkoordinaatides. 11. Kõverjoone kaare pikkus. 12. Mitme muutuja funktsiooni mõiste. 13. Kahe muutuja funktsiooni tasandilõiked ja nivoojooned. 14. Funktsiooni osamuut ja täismuut. 15. Kahe muutuja funktsiooni piirväärtus ja pidevus. 16. Mitme muutuja funktsiooni osatuletised. 17. Täismuut ja täisdiferentsiaal. 18. Ilmutamata funktsiooni tuletis. 19. Liitfunktsiooni tuletis. 20. Mistahes järku osatuletised. 21. Tuletis antud suunas. 22. Gradient. 23
Allikas: radialdrillingmachine.net german-traders.com / Suurte täpsuste saamiseks kasutatakse koordinaatsisetreipinke. Koorrdinaatsisetreipinki kasutatakse väikeste ja keskmiste baasdetailide ja kere avade töötlemiseks. Töölaud ja spindelkast, mis on ühtlasi pingi põhisõlmedeks, positsioneeritakse ristkoordinaatides, töörikut positsioneeritakse polaarkoordinaatides pöördlaud. Pöördlaud võimaldab toorikut pöörata rõhtasendis 0-360°. Universaalse pöördlaua kasutamine võimaldab toorikut pöörata ka 0-90° püstasendis. Koorrdinaatsisetreipingid paigutatakse püsiva temperatuuriga ruumidesse eraldi vundamendile. Tigureduktor. Reduktoriks nimetatakse tavaliselt kinnist hammas- või tiguülekannet, mis on projekteeritud kas iseseisva agregaadina või siis ehitatud masinasse sisse. Sisukord Reduktori ülesanne
S 8 dz dx 8 a dx 0 0 a2 x2 0 a2 x2 0 a a 8a dx 8ax 0 8a 2 . 0 Näiteks kui a 2, siis S 32. 1.7 Kahekordne integraal polaarkoordinaatides. Kui piirkond D on ring või selle osa, siis kahekordset integraali on lihtsam arvutada polaarkoordinaatides kui ristkoordinaatides. Samuti on teatud joonte esitus lihtne polaarkoordinaatides, samas kui see ristkoordinaatides on üpris keeruline. Tuletame meelde polaarkoordinaadistiku mõistet. Valime tasapinnal mingi punkti O, mida nimetatakse pooluseks ja sellest punktist väljuva kiire, mida nimetame polaarteljeks p. Punkti M asukohta tasapinnal saab määrata kahe arvuga:
Funktsioon, mis on antud parameetrilisel kujul. Funktsiooni f muutujate x ja y väärtused saab määrata ka teatavate abimuutuja t funktsioonide x = x(t) ja y = y(t), t T väärtustena. Antud esituse korral öeldakse, et funktsioon on antud parameetrilisel kujul ning tavaliselt esitatakse see järgmiselt: x = x (t ) t T y = x(t ) x = t +1 Näiteks: y = t + 2 Polaarkoordinaadid, üleminek parameetrilisele esitusele. Funktsiooni f saab esitada ka polaarkoordinaatides valemiga r = r(), T, mis annab funktsiooni graafiku punktid (x,y) polaarkoordinaatides (r, ). Esituselt polaarkoordinaatides saab minna üle parameetrilisele esitusele kasutades järgmiseid valemeid: Näiteks: 8. Jada (näide). Jada piirväärtus. Näiteks tõestada, et jada xn= piirväärtus on . Alates millisest n väärtusest suurus - xn ei ületa = 0,01 ? Jada. Definitsioon nimetatakse funktsiooni, mille määramispiirkonnaks on naturaalarvude hulk N. Näide: n = (1, , , ...)
x x0 y y 0 z z 0 Normaali võrrand = = Fx Fy Fz 1 Joone kõverus Kõverusraadius R= k ristkoordinaatides parameetrilises kujus polaarkoordinaatides, kus x = cos y =sin 5 DIFERENTSEERIMISE ja INTEGREERIMISE VALEMID y 2 + 2( ) 2
x x0 y y 0 z z 0 Normaali võrrand = = Fx Fy Fz 1 Joone kõverus Kõverusraadius R= k ristkoordinaatides parameetrilises kujus polaarkoordinaatides, kus x = cos y =sin 5 DIFERENTSEERIMISE ja INTEGREERIMISE VALEMID y 2 + 2( ) 2
Tasandilise piirkonna pindala arvutamine. Koostades funktsiooni f(x,y)1 integraalsumma üle piirkonna D, saame summa, mis piirkonna iga jaotusviisi puhul võrdub selle pindalaga S: Minnes võrduse paremal poolel piirile, saame: Kui piirkond D on regulaarne, siis pindala avaldub kaksikintegraaliga Sulgudes oleva integraali arvutamisel leiame, et 4. Muutuja vahetus kahekordses integraalis: muutuja vahetuse jakobiaan ning valem (21.4) (valemi tuletamist pole vaja); kahekordne integraal polaarkoordinaatides (muutujavahetus, jakobiaan ning valem(22.1)). Kahekordses integraalis minnakse muutujatelt x ja y muutujatele u ja v seoste (22.1.) abil. Eeldame, et kahe muutuja funktsioonid x=(u,v) ja y=(u,v) on vaadeldavas uv-tasandi piirkonnas ühesed, pidevad ning omavad pidevaid osatuletisi mõlema muutuja järgi. Lisaks eeldame, et võrrandispsteem (22.1.) on üheselt lahenduv muutujate u ja v suhtes.
tiivseks ja kellaosuti liikumise suunas m~o~odetud nurk negatiivseks. Punktile (x, y) vastav polaarnurk ei ole u ¨heselt m¨a¨aratud. Nimelt sellele nurgale 2k (k Z) lisamisel saadud nurk m¨a¨arab sama punkti (x, y). Punkti (x, y) = (0; 0) polaarkoordinaatide u ¨heseks m¨ aramiseks valime 0 < 2 0 < < +. Punkt a¨ (x, y) = (0; 0) m¨a¨ aratakse polaarkoordinaatides tingimusega = 0. Punkti rist- ja po- laarkoordinaatide vahel on seosed: x = cos , y = sin , y = x2 + y 2 , tan = (x = 0). x Funktsiooni y = f (x) (x X) graafikut xy-tasandil k¨asitletakse kui punktihulka {(x, y) : x X y = f (x)} . Seda punktihulka saab m¨a¨arata ka polaarkoordinaatide
massi ja kauguse ruudu korrutist. I=m*r2 I vastavalt x- ja y-telje suhtes valemitega: Ix=ʃʃDy2dxdy Iy=ʃʃDx2dxdy I koordinaatide alguse suhtes valemiga: Io=Ix+Iy=ʃʃD(x2+y2)dxdy 3)Tasandilise kujundi masskese: Kui tasandilise kujundi D pindtihedus on mingi funktsioon γ=γ(x,y), siis tasandilise kujundi D masskeskme (xc,yc) koordinaadid saab arvutada: xc=[ʃʃDγ(x,y)xdxdy]/[ʃʃDγ(x,y)dxdy] ning yc=[ʃʃDγ(x,y)ydxdy]/[ʃʃDγ(x,y)dxdy] 7. Kahekordne integraal polaarkoordinaatides, Poissoni integraal, näideπ Kui piirkond D on ring või selle osa, on kahekordset integraali lihtsam arvutada polaarides. Polaaride def: valime punkti O. See on poolus. Sealt väljub kiir- p (polaartelg). Punkti M asukoht määratakse polaarkaugusega ρ ja polaarnurgaga φ. Nurga φ mõõtmisel loetakse positiivseks vastupäeva suunda. Polaarkoordinaadistik M(ρ,φ). x=ρcosφ ; y=ρsinφ ; ρ=sqrt(x2+y2) ; tanφ=y/x. Poisson integraali abil esitatakse Gaussi kõver. 8
Vahetähiste asetamine kulgegu suunaja suhtes joone kaugemast otsast alates suunaja poole, et iga uue paigaldatava tähise ja suunaja vahele jääks ainult esimene tähis. 8.Situstsiooni mõõdistamine. Abriss. Polaarkoordinaatide meetod. Kasutatakse nurka ja kaugust. Ringmalli ja joonlauaga kantakse peale punktid. Tööde kergendamiseks on ringmallil tihi peal ka joonmôôtkava. Leiab rakendamist tahhümeetrilisel môôtmistamisel. Polaarkoordinaatides môôdistamisel kasutatakse kaugusmôôturiga teodoliite vôi tahhümeetrit. Lõigete meetod: Tehakse nurgaline otselôige, kasutatakse ringmalli. Suundade lôikepunkt annabki ôige kontuuripunkti. Môôtmine tülikas, kuid lihtne, kasutada mugav. Sobib kasutada seal, kus kauguse môôtmine objektini on takistatud. Rristjoonte meetod. Sel juhul pannakse piki külge joonlaud ja tema kôrvale asetatud kolmnurkjoonlauaga tehakse ristjoon. Situatsioon kantakse peale vastavalt aadressidele
42. sirge normaalvõrrand x cos + y sin p = 0 1 43. normeerimistegur µ = ± , saadakse kui võrrelda sirge üldvõrrandit ja normalvõrrandit. A + B2 2 C p= = µC A + B2 2 p 44. sirge võrrand polaarkoordinaatides. = cos( ) 45. Tasandi võrrand läbi antud punkti ja antud normaalvektoriga A (x xA) + B ( y yA ) + C (z zA ) = 0. 46. Tasandi üldvõrrand. A x + B y + C z + D = 0 Tasandi üldvõrrandi uurimine. a) D = 0 , tasand läbib koordinaatide alguspunkti Ax+By+Cz=0 b) C = 0 , tasand on paralleelne z teljega Ax+By+D=0 c) B = 0 , tasand on paralleelne y teljega Ax+Cz+D=0
42. sirge normaalvõrrand x cos + y sin p = 0 1 43. normeerimistegur µ = ± , saadakse kui võrrelda sirge üldvõrrandit ja normalvõrrandit. A + B2 2 C p= = µC A + B2 2 p 44. sirge võrrand polaarkoordinaatides. = cos( ) 45. Tasandi võrrand läbi antud punkti ja antud normaalvektoriga A (x xA) + B ( y yA ) + C (z zA ) = 0. 46. Tasandi üldvõrrand. A x + B y + C z + D = 0 Tasandi üldvõrrandi uurimine. a) D = 0 , tasand läbib koordinaatide alguspunkti Ax+By+Cz=0 b) C = 0 , tasand on paralleelne z teljega Ax+By+D=0 c) B = 0 , tasand on paralleelne y teljega Ax+Cz+D=0
y = f (t ) Vastupidine esitus, s.o. üleminek parameetriliselt kujult ilmutatud kujule ei ole alati teostatav. 5. Esitus ilmutamata kujul, s.o. võrrandi F ( x, y ) = 0 abil. Definitsioon: Kui võrrand F ( x, y ) = 0 määrab iga x X korral arvu y, siis öeldakse, et ta määrab funktsiooni y = f ( x ) , x X ilmutamata kujul. 6. Esitus polaarkoordinaatides valemiga r = r ( ) , T , mis annab funktsiooni graafiku punktid (x, y ) polaarkoordinaatides (r , ) . Üleminek esituselt polaarkoordinaatides x = r ( ) cos parameetrilisele esitusele on teostatav valemitega: T y = r ( )sin , 2 Kordamine matemaatilise analüüsi I eksamiks matemaatika-informaatika teaduskonnas 04/05 õ.a
valida ka üksteisest sõltumatuid kursusi Matemaatika A (arvud ja avaldised, arvjadad, matemaatiline induktsioon, Newtoni binoom, arvuti ja programm- meerimine, kujundite lüke, sarnasus), Matemaatika B (vektorid tasandil ja ruumis, kompleksarvud ja tehted nendega, tõenäosuse arvutamine, binoom- jaotus, lihtsamate arvutusalgoritmide programmeerimine) või Matemaatika C (maatriksid ja tehted nendega, lineaarvõrrandisüsteemid, teist järku jooned, polaarkoordinaadid, joone võrrand polaarkoordinaatides). Oluliseks peetakse õpilaste loogilise mõtlemise ja intuitsiooni arendamist, matemaatika põhimõistete lahtimõtestamist nende rakendatavuse aspektist, üldse matemaatika rakendusliku aspekti rõhutamist, eksperimentide korraldamist, 15 õpilaste iseseisvat uurimistööd. Ka põhikooli programmis rõhutatakse, et tuleb anda õpilastele ülesandeid iseseisvaks lahendamiseks. 3.3. Saksamaa kool
Näiteks: On 2 f-ni: ja Leida liitf-nid ja - f(x)-s on x asendatud g(x)-ga - g(x)-s on x asendatud f(x)-ga 21. Esitage 2 näidet funktsionaalse sõltuvuse esituse kohta parameetrilisel kujul! Funktsionaalne sõltuvus on antud parameetrilisel kujul võrdustega , , kus Koostada selle f-ni graafik 22. Esitage 2 näidet funktsionaalse sõltuvuse esituse kohta polaarkoordinaatides! , . Suurusi p ja võib vaadelda punkti koordinaatidena, mida nim. polaarkoordinaatideks. OSA 2 1. Mis on ilmutamata kujul antud funktsioon? Esitage 2 näidet! Öeldakse, et funktsionaalne sõltuvus on esitatud võrrandiga ilmutamata kujul, kui muutuja x iga väärtuse korral hulgast X on . Näited: , 2. On antud võrrand . Ilmutada selle võrrandiga määratud funktsionaalne sõltuvus y = f(x)!
Situatsioon kantakse peale vastavalt aadressidele (silmamõõduline skeem, mis tehtud mõõtmiste ajal). Ühele ja samale kontuurile kuuluvad punktid ühendatakse kohe peale nende pealekandmist. Polaarkoordinaatide viis: kasutatakse nurka ja kaugust. Ringmalli ja joonlauaga kantakse peale punktid. Tööde kergendamiseks on ringmallil tihi peal ka joonmõõtkava. Leiab rakendamist tahhümeetrilisel mõõdistamisel. Polaarkoordinaatides mõõdistamisel kasutatakse kaugusmõõturiga teodoliite või tahhümeetrit. Lõigete meetod: nurgaline otselõige, kasutatakse ringmalli. Suundade lõikepunkt annabki õige kontuuripunkti. Mõõtmine tülikas, kuid lihtne, kasutada mugav. Sobib kasutada seal, kus kauguse mõõtmine objektini on takistatud. Abriss - silmamõõdistamise skeem, millele kantakse kõik mõõdud ja selgtavad märkused. 18. Horisontaalnurga mõõtmine.
aadressidele (silmamõõduline skeem, mis tehtud mõõtmiste ajal). Ühele ja samale kontuurile kuuluvad punktid ühendatakse kohe peale nende pealekandmist. · Polaarkoordinaatide viis: kasutatakse nurka ja kaugust. Ringmalli ja joonlauaga kantakse peale punktid. Tööde kergendamiseks on ringmallil tihi peal ka joonmõõtkava. Leiab rakendamist tahhümeetrilisel mõõdistamisel. Polaarkoordinaatides mõõdistamisel kasutatakse kaugusmõõturiga teodoliite või tahhümeetrit. · Lõigete meetod: nurgaline otselõige, kasutatakse ringmalli. Suundade lõikepunkt annabki õige kontuuripunkti. Mõõtmine tülikas, kuid lihtne, kasutada mugav. Sobib kasutada seal, kus kauguse mõõtmine objektini on takistatud. Abriss - silmamõõdistamise skeem, millele kantakse kõik mõõdud ja selgtavad märkused. 18. Horisontaalnurga mõõtmine
M¨aa¨ratud integraali m~oiste 49. M¨aa¨ratud integraali omadused 50. M¨aa¨ratud integraali arvutamine. Newton-Leibnizi valem 51. Muutuja vahetus m¨aa¨ratud integraalis 52. Ositi integreerimine (m¨aa¨ratud integraali korral) 53. L~opmatute rajadega p¨aratud integraalid 54. P¨aratud integraalid t~okestamata funktsioonidest 55. M¨aa¨ratud integraali ligikaudne arvutamine. Trapetsvalem 56. Pindala arvutamine ristkoordinaatides 57. Polaarkoordinaadistik. K~oversektori pindala polaarkoordinaatides 58. K~overjoone kaare pikkus Kirjandus 1. N. S. Piskunov, Diferentsiaal- ja integraalarvutus, I, II, Tallinn 1983. 2. A. L~ohmus, I. Petersen, H. Roos, K~orgema matemaatika u ¨lesannete kogu. Tallinn, 1982. 3. L. Pallas, M¨aa¨ramata integraal. Tallinn, 2005 4. I. Tammeraid, Matemaatiline anal¨ uu¨s I. Tallinn, 2001. 3 5. G. N
mistahes ajahetkel t vastava vektori r ja leida liikuva punkti asukoha. 90. Mida nimetatakse loomulikuks koordinaadiks punkti liikumise korral trajektooril? 91. Mis vahe on Descartes'i ristkoordinaatidel ja loomulikel koordinaatidel punkti kinemaatikas? 92. Kirjutada punkti liikumise seadus trajektooril loomuliku koordinaadi kaudu. S = f(t) 93. Kirjutada punkti liikumise seadus polaarkoordinaatides tasapinnalisel juhtumil. = f1(t) = f2(t) 94. Kirjutada punkti liikumise seadus Descartes'i ristkoordinaatides. x =f1(t) ; y =f2(t) ; z = f3(t) 95. Milline on punkti kiirusvektori moodul, siht ja suund? Kirjutada ka kiirusvektori vektorvalem. Kiirusvektoriks nim sellist vektorit, mis on rakendatud trajektoori vaadeldavasse punkti, mis on suunatud mööda trajektoori puutujat liikumise suunas ja mille moodul on võrdne dr v= =r dt 96
mistahes ajahetkel t vastava vektori r ja leida liikuva punkti asukoha. 90. Mida nimetatakse loomulikuks koordinaadiks punkti liikumise korral trajektooril? 91. Mis vahe on Descartes'i ristkoordinaatidel ja loomulikel koordinaatidel punkti kinemaatikas? 92. Kirjutada punkti liikumise seadus trajektooril loomuliku koordinaadi kaudu. S = f(t) 93. Kirjutada punkti liikumise seadus polaarkoordinaatides tasapinnalisel juhtumil. = f1(t) = f2(t) 94. Kirjutada punkti liikumise seadus Descartes'i ristkoordinaatides. x =f1(t) ; y =f2(t) ; z = f3(t) 95. Milline on punkti kiirusvektori moodul, siht ja suund? Kirjutada ka kiirusvektori vektorvalem. Kiirusvektoriks nim sellist vektorit, mis on rakendatud trajektoori vaadeldavasse punkti, mis on suunatud mööda trajektoori puutujat liikumise suunas ja mille moodul on võrdne dr v= =r dt 96
suurust f(x+x, y+y), kui teame selle funktsiooni ja tema osatuletiste väärtusi punktis P(x,y). Kui suurused x,y, x ja y on | y yp | = | pcos psin | = -p 0, kui p 0 fikseeritud, siis abifunktsioon g(t)=f(x+ tx + ty) on vaid muutuja t funktsioon, kusjuures g(1)=f(x+x,y+y) ja g(0)=f(x,y). Saame D f(x,y)dxdy = f(pcos , psin )p d dp. Kui piirkond D on polaarkoordinaatides piiratud kiirtega = ja = Eraldatud muutujatega võrrandiks nimetatakse diferentsiaalvõrrandit, mis on esitatav kujul M(x)dx + N(y)dy = 0, kus M=M(x) ja ning kõveratega p = p1 () ja p = p2(), siis saab valemi esitada kujul D f(x,y)dxdy = (rajad ülevalt kuni ) d (rajad ülevalt N=N(y) on teadaolevad ühemuutuja funktsioonid. Vaatame võrrandit M(x)dx + N(y)dy = 0. Seega My = Nx = 0. Kui ühelisidusas p2() kuni p1 ()) f(p cos , p sin ) p dp
jõumoment ja kontuuri potentsiaalne energia) ja mittehomogeenses magnetväljas. Magnetdipooli lihtsaimaks mudeliks on lõpmata väike tasapinnaline voolukontuur. Seda voolukontuuri iseloomustab magnetmoment pm, mille moodul võrdub S* I* n(vektor) (I — voolutugevus kontuuris, S — kontuuri pindala), siht on määratud voolukontuuri tasandi normaaliga n ja suund kruvireegliga. pm ei sõltu kontuuri kujust. Magnetiline dipool pm tekitab ruumipunktis r välja, mis polaarkoordinaatides on esitatav järgmiselt: teisest failist: pm = I*S*n, kus I on voolutugevus läbi kontuuri, S on kontuuri pindala ja n on kontuuri pinnanormaal. Magnetmoment pm proovib pöörata kontuuri nii, et magnetmoment ja induktsioon oleksid samasuunalised. Kõik süsteemid tahavad saavutada väikseimat pot. energiat. 15
dx = x dt Polaarkoordinaadid 4) = u ( ) x = cos 2 0 - u = sin l = + = + 2 2 2 2 Joon polaarkoordinaatides = u ( ) 1 S = 2 dl = ' 2 + 2 d 2 (34.7) n 1 1 l = ' 2 + 2 d S i2 i 2 d i =1 2 2
kinemaatikas? Loomulikel koordinaatidel on trajektoori kujuline kõverjooneline koordinaattelg. t Neid seob valem: s = x 2 + y 2 + z 2 dt 0 97.Kirjutada punkti liikumise seadus trajektooril loomuliku koordinaadi kaudu. s = f (t ) 11 98.Kirjutada punkti liikumise seadus polaarkoordinaatides tasapinnalisel juhtumil. = f (t ) A = f (t ) 99.Kirjutada punkti liikumise seadus Descartes'i ristkoordinaatides. x = f 1 (t ) y = f 2 (t ) z = f 3 (t ) 100. Defineerida punkti liikumise kiirus. Kirjutada ka valem. Punkti liikumise kiirus on selle punkti kohavektori tuletis aja järgi. ds v= = s dt 101. Milline on punkti kiirusvektori moodul, siht ja suund? Kirjutada ka kiirusvektori vektorvalem.
dx = x dt Polaarkoordinaadid 4) = u ( ) x = cos 2 0 - u = sin l = + = + 2 2 2 2 Joon polaarkoordinaatides = u ( ) 1 S = 2 dl = ' 2 + 2 d 2 (34.7) n 1 1 l = ' 2 + 2 d S i2 i 2 d i =1 2 2
Aluseks mõõdistuskäigu üks külg ja tema alguspunkt. Teaodoliidi alil mõõdetakse horisontaalnurk kuni mõõdistatava punktini. Kaugust mõõdetakse kas ruleti võikaugusmõõturiga Ringmalli ja joonlauaga kantakse peale punktid. Tööde kergendamiseks on ringmallil tihi peal ka joonmõõtkava. Leiab rakendamist tahhümeetrilisel mõõdistamisel. Polaarkoordinaatides mõõdistamisel kasutatakse kaugusmõõturiga teodoliite või tahhümeetrit. Lõigete meetod: Lõigete viisis aluseks on mõõdistus käigu küld ja mõlemad tema otspunktid. Kaks võimalust- nurgaline ja joone pikkuse järgi. Nurgaline on kasutusel siis kui ei saa joone pikkust mõõta .nurgaline otselõige, kasutatakse ringmalli. Suundade lõikepunkt annabki õige kontuuripunkti. Mõõtmine tülikas, kuid lihtne, kasutada mugav. Sobib kasutada seal, kus
3. Evolvendi kõverusraadiused võrduvad alusringjoone puutuja lõikudega, mis paiknevad evolvendi ja alusringjoone vahel: 1 = E1 N1 = N 0 N 1 , 2 = N 2 E 2 = N 0 N 2 jne. Punktid N1, N2, N3 jne on seega evolvendi kõverustsentrid. Alusringjoon osutub evolvendi kõverustsentrite geomeetriliseks kohaks e. evoluudiks. Evolvendi parameetriliste võrrandite polaarkoordinaatides tuletamiseks vt. joonist 24. Parameetriteks on profiilinurk y evolvendi jooksvas punktis Y asuva puutuja - ja sellesse punkti viiva raadiusvektori OY = ry vahel. (Et puutuja - on paralleelne raadiusega ONy = rb, siis ka nurk YONy = y) . Evolvendi raadiusvektori moodul (vt. kolmnurka YONy ) ry = rb / cosy . ...(4.7) Polaarnurga Qy (hammasrataste korral nim. evolventnurgaks) saab määrata seosest
– FILLET – terava nurga ümardamine, klõps kolmurgal ▼ annab faasimise: – FILLET – terava nurga ümardamine (vaikimisi); – CHAMFER – faasimine; – ARRAY – massiivide kujundamine, klõps kolmurgal ▼ annab eri massiivide valikuid: – ARRAYRECT – ristküliku kujuline massiiv (vaikimisi), – ARRAYPATH – massiivi elemendid mingil suvalisel joonel, rajal; – ARRAYPOLAR – massiiv polaarkoordinaatides; – SETBYLAYER – valitud objekt viiakse kasutatavasse kihti; – ALIGN – valitud objekt ühildatakse matemaatiliselt teisega; – CHSPACE – objelt viiakse Mudel-ruumist Paber-ruumi ja vastupidi; – BREAK – objekti keskelt Lõigatakse osa välja, eraldatakse osa; – LENGTHEN – objekti pikendamine; – BREAK, Break at Point – katkestus ühes punktis; – PEDIT – liitjoone muutmine, parandamine; – JOIN – kahe või mitme (joon-)objekti kokkuliitmine;
cdr list ilma esimese elemendita 43 open faili avamine infovahetuseks 51 close faili sulgemine 52 or loogiline liitmine 49 command AutoCAD-käsu täitmine 47 pause ooteaja organiseerimine 39 cond paljuharuline hargnemine 49 pi arv 3.1415926 39 cons listi ette elemendi lisamine 43 polar punkt polaarkoordinaatides 44 cos koosinus 41 princ info saatmine käsureale/faili 45 defun funktsiooni kirjeldamine 38 progn lausete järjend üheks lauseks 50 distance kahe punkti vaheline kaugus 44 prompt teksti kirjutamine käsureale 45 entlast viimasena loodud objekt 47 read andmete lugemine sõnest 52
annaabi.ee 
