MOLEKULAARFÜÜSIKA ALUSED (0)

KOOLIFÜÜSIKA:  SOOJUS  1 (kaugõppele)
4. MOLEKULAARFÜÜSIKA ALUSED
Molekulaarfüüsika käsitleb soojusprotsesse, lähtudes aine koosseisu kuuluvate
aatomite (molekulide) soojusliikumisest. Gaaside kirjeldamisel kasutame ideaalse
gaasi mudelit. Ideaalse gaasi korral jäetakse molekulidevahelised jõud
arvestamata, mistõttu gaasi  siseenergia  on gaasi molekulide  summaarne
kineetiline energia. Gaasid tavatingimustes (veeldumistemperatuurist kõrgematel
temperatuuridel  ja normaalsetel rõhkudel) on küllalt hästi vaadeldavad ideaalse
gaasina.
4.1  Mool ,  molaarmass , ühe molekuli mass
Mool on SI-süsteemi ainehulga ühik. Mool on süsteemi  ainehulk , mis sisaldab
sama palju elementaarseid koostisosakesi, nagu on aatomeid 0,012 kilogrammis
¹²C (süsiniku isotoobis massiarvuga 12). Mooli  kasutamisel  peab täpsustama
koostisosakeste tüüpi, milleks võivad olla  aatomid , molekulid,  ioonid , elektronid,
mingid teised osakesed või  eespool  nimetatud osakeste kindlalt määratletud
grupid. Meil on selleks molekulid ja üheaatomiliste molekulide korral aatomid.
Mooli definitsioonist järeldub, et mool on ainehulk, milles on 6,02· 1023  molekuli
(aatomit). Seda arvu nimetatakse  Avogadro  arvuks
23
N = ,
6 02 ⋅10  1/mol .
A
Aine molaarmass on ühe mooli aine mass. Süsiniku korral näiteks  µ = ,
0 012
C
kg/mol.
Teades molaarmassi µ ja molekulide arvu ühes  moolis , avaldub ühe molekuli
mass  m0  järgmiselt
µ
m =
0
 .
N A
1
Näidisülesanne 1. Kui suur on vee (H O) molaarmass?
2
Lahendus.
Lähtume vee keemilisest  valemist  H O, mille kohaselt  veemolekul  koosneb kahest vesiniku ja
2
ühest hapniku aatomist. Keemiliste elementide perioodilisuse tabelist saame aatommassidest
vesiniku ja hapniku molaarmassid
µ = 1 g/mol = 0,001 kg/mol ,
H
µ = 16
O
g/mol = 0,016 kg/mol .
Arvestades, et vee molekulis on kaks vesiniku aatomit, saame  eelnevat  arvestades vee
molaarmassiks
µ
= 2 µ + µ = ( 2 ⋅ ,
0 001 + ,
0 016 )
H
kg/mol = 0,018 kg/mol.
2 O
H
O
Vastus: vee molaarmass on 0,018 kg/mol.
Kommentaar. Toodud ülesandest on näha, et molaarmassi leidmine on keemiliste elementide
perioodilisuse tabelit ja aine keemilist koosseisu näitavat valemit kasutades üsna lihtne. Võttes
tabelist mingi elemendi aatommassi väärtuse, saame molaarmassi grammides mooli kohta, mis
edasisteks arvutusteks on otstarbekas teisendada kilogrammideks mooli kohta.
Näidisülesanne 2. Kui suur on ühe  veemolekuli  mass?
Lahendus.
Antud:
Ühe molekuli massi leidmiseks kasutame vastava aine
µ
= ,
0 018
H
kg/mol
2 O
molaarmassi, mis on lihtsalt leitav ja asjaolu, et ühes moolis aines
23
N = ,
6 02 ⋅10
on alati kindel kogus molekule. Kuna ühes moolis olev molekulide
1/mol
A
arv on võrdne Avogadro arvuga, siis saab molaarmassi avaldada
m = ?
0
ühe molekuli massi  m0  kaudu järgmiselt
µ = m N
0
A .
Siit saame avaldada ka ühe veemolekuli massi
µ H O
m
2
0
 .
N A
Arvutamine annab tulemuseks
0 018
m = (
0
kg = 3·10-26 kg
6 02 ⋅1023
Vastus: ühe veemolekuli mass on 
2
− 6
3 ⋅10
 kg.
2
Näidisülesanne 3. Kui suur on 10 mooli hapniku (O ) mass? Mitu molekuli on selles
2
gaasikoguses?
Lahendus.
Antud:
Ülesande algandmetesse kirjutasime lisaks ülesandes antud
ν = 10 mol
moolide arvule veel hapniku molaarmassi (vt eelmist ülesannet) ja
µ
= ,
0 032
O
kg/mol
2
Avogadro arvu. Moolide arvu ja molaarmassi kaudu saab leida
23
N = ,
6 02 ⋅10
1/mol
hapniku massi
A
m = ?, N = ?
m = ν µ
O2
Arvutamine annab tulemuseks
m = ( 10 ⋅ ,
0 032 ) kg = 0,32 kg .
Teades ühes moolis aines olevat molekulide  koguarvu , mis on antud Avogadro arvuga, saame
molekulide koguarvu valemist
N = ν N  .
A
Arvutamine annab molekulide koguarvuks
23
24
N = 10 ⋅ ,
6 02 ⋅10
= ,
6 02 ⋅10  .
Vastus: 10 mooli hapniku mass on 0,32 kg, molekulide  koguarv  on 
24
6 02 ⋅10 .
Näidisülesanne 4. Mitu aatomit on ühes  grammis  süsinikus (C)?
Lahendus.
Antud:
Nii, nagu eelmises ülesandes, lisasime ka siin algandmetesse
m = 1 g = 0,001 kg
süsiniku molaarmassi ja Avogadro arvu. Aatomite arvu leidmiseks
µ = ,
0 012
C
kg/mol
oleks vaja antud süsinikukogusele vastavat moolide arvu, sest ühes
23
moolis olevate osakeste arv (Avogadro arv) on teada
N = ,
6 02 ⋅10
1/mol
A
N = ?
N = ν N  .
A
Moolide arvu saame aga leida aine massi ja molaarmassi kaudu
m
ν =
 .
µC
Neid kahte valemit arvestades saame lõppvalemi molekulide arvu leidmiseks
3
m N A
N =
 ,
µC
mis arvutamisel annab tulemuseks
23
0 001⋅ ,
6 02 ⋅10
22
N =
= 5 ⋅10  .
0 012
Vastus: ühes grammis süsinikus on 
22
5 ⋅10  aatomit.
Näidisülesanne 5. Oletades, et aatomi raadius on 10-10 m, leida kui suur on ühe mooli aatomite
endi koguruumala.
Lahendus.
Antud:
Selleks et arvutada aatomite koguruumala, arvutame kõigepealt
r = 10-10 m
ühe aatomi ruumala ja seejärel korrutame selle aatomite
ν = 1 mol
koguarvuga. Teades aatomi raadiust, arvutame kera ruumala
23
N = ,
6 02 ⋅10
1/mol
A
valemit kasutades ühe aatomi ruumala
N = ?
4
4 ⋅ π ⋅10 3
− 0
3
V =
π r = (
) m3 = 4·10-30 m3 .
1
3
3
Koguruumala saamiseks korrutame ühe aatomi ruumala aatomite koguarvuga
23
N =ν N =1⋅ ,
6 02 ⋅10 =6,02·1023 .
A
Tulemuseks saame
V = N V = (4 ⋅10 3
− 0 ⋅ ,
6 02 ⋅1023 )  m3 = 2,5·10-6 m3 = 2,5 cm3 .
1
Vastus: aatomite koguruumala on 2,5 cm3. Siit on näha, et see ruumala nii väga väike ei olegi,
mis tähendab, et ühtegi ainet ei saa lõputult kokku suruda. Kui aatomid satuvad üksteisele väga
lähedale, hakkavad nende vahel mõjuma väga tugevad tõukejõud. Kristallis on
aatomitevaheliseks keskmiseks kauguseks d = 2·10-10 m, mis tähendab seda, et kuubilise
kristallvõre korral oleks ühe aatomi kohta tulev ruumala 
3
3
− 0
V = d = 8 ⋅10
 m3, mis on ühe
a
aatomi ruumalast kaks korda suurem. Järelikult kui aatomid viia kritallilisse olekusse, oleks
ühe mooli korral vastava kristalli ruumala 5 cm3.
4
4.2 Ideaalse gaasi olekuvõrrand
Ideaalse gaasi olekuvõrrand
pV = N k T  ,
kus  p  on gaasi rõhk, V  gaasi ruumala,  N  gaasi molekulide arv, T  absoluutne
temperatuur ja  k  Boltzmanni konstant.
Juhul kui on antud gaasi hulk ν  või gaasi mass  m , saab olekuvõrrandi anda veel
kahel, eelmisega ekvivalentsel kujul
m
pV = ν R T ,
pV =
R T  ,
µ
kus  R  on universaalne  gaasikonstant  ja  µ  molaarmass.
NB! T tähistab alati absoluutset temperatuuri. Temperatuuri Celsiuse skaalas tähistame
väikese t tähega. Seos temperatuuride vahel: T = t + 273, mis võimaldab teisendada
Celsiuse  kraadid  kelviniteks.
Isoprotsessid
Isoprotsessid (erijuhud, kus aine hulk protsessi käigus ei muutu ja üks kolmest
suurusest  – rõhk, ruumala, temperatuur – on  konstantne ). Nende kohta käivaid
valemeid pole vaja meeles pidada, sest need on ideaalse gaasi olekuvõrrandist
lihtsalt tuletatavad.
1. Isotermiline protsess. Protsess, mis toimub jääval temperatuuril ( T =  const  ).
Isotermilisel protsessil muutuvad gaasi rõhk ja ruumala nii, et nende korrutis on
jääv suurus ( Boyle - Mariotte  seadus)
pV = const
2. Isobaarne protsess. Protsess, mis toimub jääval rõhul ( p = const ). Isobaarsel
protsessil on gaasi ruumala ja temperatuuri suhe jääv suurus (Gay- Lussac ’i
seadus)
V = const
T
5
3. Isokoorne protsess. Protsess, mis toimub jääval ruumalal ( V = const ).
Isokoorsel protsessil on gaasi rõhu ja temperatuuri suhe jääv suurus (Charles’i
seadus)
p = const
T
4.3 Rõhuühikud
Nii füüsikas kui ka tehnikas on aegade jooksul olnud kasutusel mitmed erinevad
ühikud.  Erandiks  ei ole siin ka rõhk ja rõhuühikud. Teeme enamkasutatavatest
rõhuühikutest lühiülevaate.
1. SI-süsteemi rõhuühik 1 Pa ( paskal ). SI-süsteemis on rõhuühikuks selline rõhk,
kus jõud 1 N mõjub ühtlaselt 1 m 2  suurusele pinnale
1 N
1 Pa = 
2  .
1 m
Kuna see ühik on väike, siis kasutatakse kordseid ühikuid, nagu näiteks kPa ja
MPa. Et normaalrõhk on suurusjärgus sada  tuhat  paskalit, siis on defineeritud
vastav ühik - bar
1 bar = 10 5  Pa .
Kuna meie kasutame SI-süsteemi, siis tuleb arvutusteks rõhk teisendada
paskaliteks.
2. 1 mm Hg (millimeeter elavhõbedasammast). Nimetatud ühik on saadud kindla
kõrgusega vedelikusamba rõhust, mis avaldub valemiga  p = ρ g h  . Võttes 1 mm
kõrguse elavhõbeda samba, saaksime ülaltoodud valemist selle samba poolt
avaldatava rõhu
1 mm Hg = 133,3 Pa.
Millimeetreid elavhõbedasammast kasutatakse tänapäevani, eriti õhurõhu
iseloomustamiseks.
3. Normaalrõhk. Normaalne õhurõhk on 760 mm Hg, mille jaoks kasutatakse
eraldi tähistust 1 atm (vahel nimetatakse ka füüsikaliseks atmosfääriks). Seos
paskalitega on järgmine
1 atm = 760 mm Hg = 101,3 kPa (1,013 bar).
6
Paljudes maades antakse tänapäeval õhurõhk (viimasel ajal paralleelselt
millimeetritega elavhõbedasammast ka Eestis) hektopaskalites ( 1 hPa = 102 Pa).
Selle järgi oleks normaalrõhk
1013  hPa.
4 Tehniline atmosfäär 1 at. Tegemist on vananenud ühikuga, mis enam kasutusel
ei ole, oli aga omal ajal tehnikas peamiseks rõhuühikuks. Definitsiooni kohaselt
on tegemist rõhuga, mille korral jõud 1 jõukilogramm (9,8 N) mõjub ühtlaselt
ühe ruutsentimeetri suurusele pinnale
8
9
N
1 at =
= 98 kPa = 0,98 bar.
1
2
cm
Tasub teada, et omal ajal mõõdeti näiteks rehvirõhku tehnilistes atmosfäärides.
Näidisülesanne 5.  Kumb  keha on kuumem, kas see, mille temperatuur on 220 K, või see, mille
temperatuur on – 50 0C ?
Lahendus.
Kuumem keha on see, mille temperatuur on kõrgem. Selleks, et  temperatuure  võrrelda, tuleb
nad viia samasse temperatuuriskaalasse. Kuna esimese keha temperatuur T1 = 220 K on
kelvinites, teisendame ka teise keha temperatuuri kelviniteks. Tulemuseks saame
t2 = - 50 0C     →     T2 = 223 K.
Et teise keha temperatuur on kõrgem, on teine keha  esimesest  kuumem.
(Celsiuse  kraadides  võrreldes oleks esimese keha temperatuur t1 = -53 0C).
Vastus: keha temperatuuriga – 50 0C (223 K) on kuumem kehast temperatuuriga 220 K.
Näidisülesanne 6. Gaasi rõhk kolvis ruumalaga 4 liitrit on 1 bar. Milline on gaasi rõhk kolvis
kui teda isotermiliselt kokku suruda ruumalani 2 liitrit?
7
Lahendus.
Antud:
Teeme joonise, mis kajastab ülesande algandmeid..
V = 4 L
1
5
p = 1 bar = 10 Pa
1
V = 2 L
2
p = ?
2
Isotermilisel protsessil temperatuur ei muutu:  T = const . Lähtudes ideaalse ideaalse gaasi
olekuvõrrandist
pV = N k T
võime väita, et isotermilisel protsessil on gaasi rõhu ja ruumala korrutis alati jääv suurus
pV = const.  ,
sest aine hulk, seega ka molekulide arv N protsessi käigus ei muutu ( gaas  on eelduse kohaselt
kinnises kolvis).
Järelikult saame gaasi alg- ja lõppoleku jaoks kirjutada, et
p V = p V ,
1 1
2
2
millest avaldame otsitava rõhu
p V
1 1
p =
2
 .
V2
Lihtne arvutus annab
105 ⋅ ,
0 004
p = (
) Pa = 
5  Pa.
2
2 ⋅10
0 002
Vastus: gaasi rõhk kolvis on 
5
2 ⋅10  Pa (2 bar’i). Kuna isotermilisel protsessil on rõhu ja
ruumala muutused teineteisega pöördvõrdelised, siis näeme, et ruumala vähendamisel kaks
korda suureneb gaasi rõhk samuti kaks korda.
NB! Siin ülesandes jätsime ruumala ühikud (liitrid) algandmetes kuupmeetriteks
teisendamata, sest lõpptulemuse arvutamisel on vaja teada ruumalade suhet. Kahe
füüsikalise suuruse suhe ühikute valikust ei sõltu, oluline on ainult see, et nad oleks
samades ühikutes.
Näidisülesanne 7. Gaasi temperatuur kolvis on 30 0 C. Millise temperatuurini tuleb gaasi
isobaariliselt jahutada, et tema ruumala oleks 90% esialgsest?
8
Lahendus.
Antud:
Teeme algandmeid kajastava joonise. Ülesande tekstis oli gaasi
T = 302 K
1
temperatuur antud Celsiuse kraadides, mille teisendasime absoluutseks
V =
9
0
V
2
1
temperatuuriks (30 0 C = 302 K ), sest ideaalse gaasi olekuvõrrandis ja
T = ?
2
seega ka arvutustes tuleb kasutada absoluutset temperatuuri.
Isobaarsel protsessil rõhk ei muutu  p = const.  Lähtudes ideaalse ideaalse gaasi olekuvõrrandist
pV = N k T
võime väita, et isobaarilisel protsessil muutub gaasi ruumala võrdeliselt tema temperatuuriga
ehk teisiti väljendades: ruumala ja temperatuuri  jagatis  on jääv suurus
V = const.
T
Sellest lähtudes võime gaasi alg- ja lõppoleku kohta kirjutada
V
V
1
2
 ,
T
T
1
2
millest lõpptemperatuur
V T
2
1
T =
2
 .
V1
Kuna V /V =
9
0
, siis arvutamine annab
2
1
T = (
9
0 ⋅ 303 ) K = 273 K  .
2
Vastus: gaasi tuleb isobaariliselt jahutada temperatuurini 273 K (0 0 C).
Näidisülesanne 8. Temperatuuril 30 0 C on gaasi rõhk  anumas  150 kPa. Kui suur on gaasi rõhk
samas anumas temperatuuril -30 0 C?
9
Lahendus.
Antud:
Teeme ülesande algandmeid kajastava joonise (Celsiuse kraadid
p = 150 kPa
1
teisendasime jälle kelviniteks).
T = 303 K
1
T = 243 K
2
p = ?
2
Kuna antud protsessis on ruumala konstantne V = const , siis on tegemist isokoorse
protsessiga. Lähtudes ideaalse gaasi olekuvõrrandist
pV = N k T
võime väita, et isokoorsel protsessil muutub gaasi rõhk võrdeliselt tema temperatuuriga. Teisiti
väljendades tähendab see seda, et gaasi rõhu ja temperatuuri jagatis on jääv suurus
p = const
T
Sellest lähtudes võime oma alg- ja lõppoleku kohta kirjutada
p
p
1
2
 ,
T
T
1
2
millest lõpprõhk
p T
1
2
p =
2
 .
T1
Arvutamine annab tulemuseks
150 ⋅ 243
p = (
)  kPa = 120 kPa.
2
303
Vastus: gaasi rõhk temperatuuril -30 0 C on 120 kPa.
Näidisülesanne 9.  Gaas  asetseb kolviga suletud anumas. Gaasi algruumala on 15 L, algrõhk 2
atm ja  algtemperatuur  27 0 C. Kui gaas surutakse kokku ruumalani 12 L ja tema rõhk tõuseb 3
atm-ni, siis milline on gaasi lõpptemperatuur?
10
Lahendus.
Antud:
Teeme joonise, mis kujutab algandmeid. Antud protsessi korral muutuvad nii
p  = 2 atm
1
rõhk, ruumala kui ka temperatuur.
V  = 15 L
1
T  = 300 K
1
p  = 3 atm
2
V  = 12 L
2
T  = ?
2
Lähtume ideaalse gaasi olekuvõrrandist
pV = ν R T  .
Kuna gaasi kogus kolvis ei muutu, muutuvad aga rõhk, ruumala ja temperatuur, siis
pV = const  ,
T
teisisõnu – rõhu ja ruumala korrutis jagatud temperatuuriga on jääv suurus.
Gaasi alg- ja lõppoleku jaoks saame siit võrduse
p V
p V
1 1
2
2
 ,
T
T
1
2
millest avaldame lõpptemperatuuri
p V
2
2
T =
T
2
1  .
p V
1 1
Arvutamine annab tulemuseks
3 ⋅12
T = (
⋅ 300 ) K = 360 K
2
2 ⋅15
(kuna arvutamisel tuleb leida  samade  füüsikaliste suuruste jagatis, siis võib nii rõhu kui ka
ruumala ühikud jätta teisendamata, oluline on ainult see, et nad oleks samades ühikutes).
Vastus: gaasi lõpptemperatuur on 360 K (87 0 C).
Näidisülesanne 10.  Balloonis  ruumalaga 80 liitrit on 1 kg süsihappegaasi (CO ) temperatuuril
2
20 0 C. Kui suur on gaasi rõhk balloonis?
11
Lahendus.
Antud:
Kuna gaas allub ideaalse gaasi olekuvõrrandile, siis valime meie
V = 80   L= 0,08  m 3
algandmetele sobiva olekuvõrrandi
m = 1   kg
µ
= ,
0 044
CO
  kg/mol
2
m
pV =
R T  .
T = 293   K
µ
R =
3
8 1 J/(mol·K)
p = ?
Võrrandist on näha, et kõik andmed peale rõhu on olemas, jääb
ainult avaldada rõhk
m R T
p = µV
ja arvutada tulemus
1⋅ 3
8 1⋅ 293
p = (
)  Pa = 690000 Pa = 690 kPa.
0 044 ⋅ ,
0 08
Vastus: gaasi rõhk balloonis on 690 kPa.
Näidisülesanne 11. Balloonis mahuga 20 liitrit on hapnik temperatuuril 15 0 C. Kui osa
hapnikku ära tarvitati, langes rõhk 5 at võrra. Määrata tarvitatud gaasi mass.
Lahendus.
Antud:
Teeme ülesande tingimusi kujutava joonise, milles
V = 20 L = ,
0 02 m3
vahepealne joonis kujutab seda, et osa gaasi lastakse
T = 288
balloonist välja.
K
5
∆p = − 5 at = −
9
4 ⋅10 Pa
µ
= ,
0 032
O
kg/mol
2
R =
3
8 1 J/(mol·K)
∆m = ?
Järgnevas tähistab meil rõhu ja
massi muut suurusi
p
∆ = p − p ,
m
∆
= m − m  .
2
1
2
1
Lähtume ideaalse gaasi olekuvõrrandist
m
pV =
R T  .
µ
Antud juhul on tegemist protsessiga, kus jäävateks suurusteks on ruumala ja temperatuur (
V = const , T = const ), muutuvad suurused on rõhk ja gaasi mass,  kusjuures  rõhk on võrdeline
12
massiga. Võrdelise sõltuvuse korral on ka vastavate suuruste  muudud  võrdelised, mis
tähendab, et
m
∆
p
∆ V =
R T  .
µ
Tarvitatud gaasi mass avaldub siit kujul
p
∆ V µ
m
∆
 .
R T
Arvutamine annab tulemuseks
9
4 ⋅105 ⋅ ,
0 02 ⋅ ,
0 032
∆m = ( −
)  kg = - 0,13 kg.
3
8 1⋅ 288
Kuna gaasi mass vähenes (massi muutus oli negatiivne), siis tarvitati osa gaasi ära.
Vastus: tarvitatud gaasi mass on 0,13 kg.
Näidisülesanne 12. Leida ideaalse gaasi molekulide kontsentratsioon normaaltingimustel.
Lahendus.
Antud:
Olgu öeldud, et normaaltingimusteks loetakse rõhku 1 atm =
5
5
p = ,
1 013 ⋅10
Pa
1 013 ⋅10 Pa (mis on võrdne normaalse õhurõhuga merepinnal 760
− 23
k = 3
1 8 ⋅10
J/K
mm Hg) ja temperatuuri 0 0 C (T = 273 K). Mõlemad suurused
T = 273 K
oleme kandnud ülesande algtingimustesse. Molekulide
kontsentratsiooniks loetakse molekulide arvu ruumiühikus n = N/V. 
n = ?
Antud ülesandes on kasulik lähtuda ideaalse ideaalse gaasi
olekuvõrrandist, kus gaasi hulka väljendab gaasi molekulide koguarv N
pV = N k T  .
Kuna molekulide kontsentratsioon avaldub kujul
N
n =
 ,
V
siis  jagades  olekuvõrrandi mõlemaid pooli ruumalaga, saame peale lihtsaid teisendusi
p
n =
 .
k T
Asendades  algandmed , saame kontsentratsiooniks
13
1 013 ⋅105
n = (
)  1/m3 = 2,7·1025 1/m3.´
3
1 8 ⋅10−23 ⋅ 273
(Vahemärkusena olgu öeldud, et kontsentratsiooni ühikuks oleks molekuli kuupmeetri kohta
ehk molekuli/m3, kuid kuna molekulide arv on dimensioonita (ühikuta) suurus, siis seda välja
ei  kirjutata  ja tulemus antakse kujul 1/m3 või m-3.)
Vastus: ideaalse gaasi molekulide kontsentratsioon normaaltingimustel on 2,7·1025 1/m3 .
Näidisülesanne 13. Leida hapniku (O ) molekulide tihedus normaalrõhul ja toatemperatuuril
2
20 0 C.
Lahendus.
Antud:
5
Normaalrõhk tähendab rõhku 760 mm Hg (normaalne õhurõhk
p = ,
1 013 ⋅10
Pa
merepinnal). Selle rõhu teisendasime paskaliteks ja lisasime
T = 293 K
algtingimustesse. Veel kirjutasime sinna hapniku molaarmassi ja
µ
= ,
0 032
O
kg/mol
universaalse gaasikonstandi.
2
R =
3
8 1  J/(mol·K)
Aine tihedus avaldub teatavasti valemina
ρ = ?
m
ρ =
 .
V
Kuna gaasi olek tavatingimustel allub ideaalse gaasi olekuvõrrandile, siis lähtume ideaalse
gaasi olekuvõrrandist,  valides  seekord sellise olekuvõrrandi kuju, mis sisaldab gaasi massi
m
pV =
R T  .
µ
Siit on näha, et jagades võrrandi mõlemaid pooli ruumalaga, saame olekuvõrrandi avaldada
gaasi tiheduse kaudu
p =
R T  ,
µ
millest tihedus avaldub kujul
p µ
ρ =
 .
R T
Asendades ülesande andmed, saame
1 013 ⋅105 ⋅ ,
0 032
ρ = (
)  kg/m3 = 1,3 kg/m3.
3
8 1⋅ 293
Vastus: hapniku tihedus normaalrõhul ja temperatuuril 20 0 C on 1,3 kg/m 3 .
14
4.3 Ideaalse gaasi temperatuur, molekulide  ruutkeskmine  kiirus
NB! Seda osa käsitletakse põhjalikumalt üldfüüsika kursuses, mistõttu on järgnev ainult
üldteadmiseks.
Molekulaarfüüsika käsitleb soojusprotsesse, lähtudes molekulide nn kaootilisest
soojusliikumisest. Molekulid liiguvad üldiselt erineva kiirusega, kusjuures väga
väikese ja väga suure kiirusega liikuvaid molekule on vähe. Enamus molekule
liigub nn tõenäoseimale  kiirusele  (mille väärtus sõltub gaasi temperatuurist)
lähedaste kiirustega. Kuna molekulide kiirused on erinevad, iseloomustatakse
gaasi ühe molekuli keskmise kineetilise energia kaudu, mis võimaldab määrata
nii gaasi siseenergia kui ka temperatuuri. Molekuli liikumine on keeruline, sest
molekul  liigub kulgevalt, kuid võib ka pöörelda, samuti võivad aatomid
molekulis oma tasakaaluasendi ümber võnkuda. Osutub, et gaasi temperatuur on
määratud tema molekulide  kulgliikumise  keskmise kineetilise energiaga.
Gaasi temperatuur on määratud gaasi molekulide kulgliikumise keskmise
kineetilise energiaga järgmiselt
2
2
m v
0
k T =
 ,
3
2
kus  m0  on ühe molekuli mass ja  v  kiirus (siin tähistasime keskväärtust nurgeliste
sulgudega ). Siit on näha, et mida suurem on ühe molekuli kulgliikumise
keskmine kineetiline energia, seda kõrgem on temperatuur.
Gaasi molekulide ruutkeskmine kiirus
3 k T
2
v
v
rk
m0
annab ettekujutuse gaasi molekulide tõenäoseimast kiirusest  vt  antud
temperatuuril ( v = ,
1 22 v
rk
t ).
Näidisülesanne 11. Leida lämmastiku molekulide ruutkeskmine kiirus temperatuuril 0 0C.
Lahendus.
15
Antud:
Lisaks temperatuurile, mille teisendasime Kelviniteks
lisasime algandmetesse ka lämmastiku (N2) molaarmassi ja
T = 273 K
universaalse gaasikonstandi.
µ = 28 g/mol = 0,028 kg/mol
R = 8,31 J/(mol·K)
Lähtume molekuli ruutkeskmise kiiruse valemist
v
= ?
rk
3 k T
v
 .
rk
m0
See valem nõuab molekuli massi arvutamist ja ei ole seetõttu  otseseks  kasutamiseks hea. Kuna
moolaarmassi on lihtsam leida, siis anname ruutkeskmise kiiruse valemi molaarmassi kaudu.
Selleks korrutame ruutjuure all oleva  avaldise   lugejat  ja nimetajat Avogadro arvuga ja
arvestame, et molaarmass  µ = m N
R = k N
0
A  ning universaalne gaasikonstant 
. Tulemuseks
A
saame
3k T N
3 RT
v =
A =
 .
rk
m N
µ
0
A
Arvutamine annab tulemuseks
3 ⋅ 3
8 1⋅ 273
v = (
)  m/s = 490 m/s .
rk
0 028
Vastus: lämmastiku molekulide ruutkeskmine kiirus temperatuuril 0 0C on 490 m/s. Nagu näha
on molekulide soojusliikumise kiirused küllaltki suured, sest suurem osa molekulidest liigub
ruutkeskmisele kiirusele lähedaste kiirustega.
16
NB! Valemid, mis on vaja kindlasti meeles pidada.
Ideaalse gaasi olekuvõrrand
pV = N k T  ,
kus  p  on gaasi rõhk, V  gaasi ruumala,  N  gaasi molekulide arv, T  temperatuur ja
k  Boltzmanni konstant. Juhul kui on antud gaasi hulk ν  või gaasi mass  m , saab
olekuvõrrandi anda veel kahel, eelmisega ekvivalentsel kujul
m
pV = ν R T ,
pV =
R T  ,
µ
kus  R  on universaalne gaasikonstant ja  µ  molaarmass.
17
Ülesandeid iseseisvaks lahendamiseks.
4.1 Leida süsihappegaasi (CO2) molaarmass. (0,044 kg/mol)
4.2 Määrata süsihappegaasi (CO2) molekuli mass. (7,3·10-26 kg)
4.3 Kui palju molekule on ühes liitris vees? (3,3·1025)
4.4 Mitu mooli on üks liiter vett? (56 mol)
4.5 Kui suur on 20 mooli lämmastiku (N2) mass?
4.6 10 g gaasi täidab temperatuuril 20 0C anuma ruumalaga 15 liitrit. Leida gaasi molaarmass
kui rõhk anumas on 1 atm. (0,032 kg/mol)
4.7 Gaasi ruumala on 40 liitrit ja molekulide kontsentratsioon 3,2·1025 1/m3. Arvutada gaasi
molekulide arv ja gaasi ainehulk  moolides . (1,3·1024, 2,2 mol)
4.8 Gaasi ( heelium ) ruumala temperatuuril 0 0C ja kindlal rõhul on 10 liitrit. Kui suur on gaasi
ruumala temperatuuril 10 K kui rõhk ei muutu? (0,37 L)
4.9 Balloonis ruumalaga 80 liitrit on 1 kg süsihappegaasi (CO2) temperatuuril 20 0C. Kui suur
on gaasi rõhk balloonis? (690 kPa)
4.10 Suurest anumast pumbatakse välja lämmastikku (N2), nii et lõpprõhuks jääb 0,001 atm.
Kui palju lämmastikku jääb veel anumasse kui anuma ruumala oli 2 m3 ja temperatuur 10 0C ?
(0,086 mol, 2,4 g)
4.11 Õhupall täidetakse 10 kg heeliumiga (He). Kui suur on õhupalli ruumala normaalrõhul ja
temperatuuril 10 0C? Kui suur on sama õhupalli ruumala siis, kui see on tõusnud kõrgusele, kus
õhurõhk on 0,1 atm ja temperatuur - 46 0C ? (58 m3, 470 m3)
4.12 Kui suure ruumala võtab enda alla 1 mool gaasi rõhul 1 MPa ja temperatuuril 100 0C ?
(3,1 L)
4.13 Temperatuuril 20 0C oli gaasi rõhk balloonis 150 kPa. Kui suur on selle gaasi rõhk
temperatuuril - 20 0C ? (130 kPa)
4.14 Kui suur on 14 g lämmastiku (N2) temperatuur balloonis ruumalaga 10 L ja rõhul 1 atm ?
(244 K)
18