Mn=N nii, et Mi(xi,yi), n osakaareks jaotamisel saadud muudud ja Pi 0 1 2 11...
Mass Keha mass on füüsikaline suurus, mis on keha inertsi mõõduks. Ühe keha mõju teisele ei saa olla ühepoolne. Mõlemad kehad mõjuvad teineteisele kehadevahelised mõjud on alati vastasmõjud. Kehade kiirused muutuvad ainult kehade vastasmõju tõttu. Ilma mingi teise keha (või teiste kehade) mõjuta antud kehale selle kiirus muutuda ei saa. Kehade masse võrreldakse nende kehade vastasmõjust põhjustatud kiiruste muutude kaudu. Kehade vastasmõju tulemusena tekkinud kiiruste muudud on pöördvõrdelised kehade massidega. m1 a 2 = m2 a1 Keha massi saab mõõta kas: a. mõjudes sellele kehale teise kehaga, mille mass on teada, ja mõõtes mõlema keha kiiruste muudud; b. selle keha tasakaalustamisel kangkaaludel kehaga, mille mass on teada. 4. Jõud Jõud on vektoriaalne suurus, mis iseloomustab ühe keha mehaanilist mõju teisele kehale (kehade vastasmõju)....
Puuduvad, aind põrgete Tugevad, ei suuda Suured ja vah. ajal säilitada kuju. tugevad. jõud Klaas, pigi - >amorfsed<- voolavad üliaeglaselt.(Mol korrapäratult kindel sulamistemp pole) Soojuspaisumine kehade ruumala ja joonmõõtmete muutumine temp. muutumisel.(Nähtus: joonmõõtmed: pikkus laius jne. mõõdetakse meetrites. I ruumpaisumisel on vedelike ja gaaside ruumala muudud võrdelised temperatuuri muutudega. Y=ax (delta)V=B(delta)t (delta)V/m(3) V2-V1 (t2-t1) |___ (delta)t/c' II tahkete kehade joonpaisumisel on pikkuse muut võrdeline temp. muuduga: V=B t (v2-v1)=Bt2-t1 Näit: gaas: õhupall, |vedelik: termomeeter|tahke: hõõglamp elektripirn klaas, metal sarved, raudkeltoon. Temperatuur on f suurus mis iseloomustab kehade soojuslikku seisundit.Aine ehituse seisukohalt on temp. määratud molekulide keskmise liikumise kiirusega....
Joonintegraali koordinaatide järgi mõiste ja omadusi xy-tasandil antud lõpliku pikkusega joonel L otspunktidega M ja N määratud funktsioonide F ja G joonintegraaliks üle joone L nimetatakse funktsioonide F ja G integraalsumma n An = ( F ( Pi )xi + G ( Pi )yi ) , i =1 kus xi=xi-xi-1 ja yi=yi-yi-1 on joone L punktidega M=M0, M1, M2, ..., Mn=N nii, et Mi(xi,yi), n osakaareks jaotamisel saadud muudud ja Pi punkt, kusjuures Pi[Mi-1,Mi], piirväärtust protsessis n0, kus n=max{d1, d2,...,dn}, kus di=|Mi-1,Mi| n lim An = lim ( F ( Pi ) xi + G ( Pi )yi ) = F ( x, y ) dx + G ( x, y ) dy n 0 n 0 i =1 L Joonintegraali omadusi 1) ( F L 1 + F2 ) dx + (G1 + G2 ) dy = F1dx + G1dy + F2 dx + G2 dy L L...
-a. su¨gissemestril 3,5 AP 4 2-0-2 E S Dots. Lembit Pallas TTU¨ Matemaatikainstituut V-404, tel. 6203056 e-post: [email protected] K¨asitletavad teemad on toodud punktide kaupa. Neid punkte tuleb vaadelda ka kui kollokviumide ja eksami teooriak¨ usimusi. 1. Funktsiooni m~oiste ja esitusviisid 2. Funktsioonide liigitamine (paaris- ja paaritud funktsioonid, perioodilised funktsioo- nid, kasvavad ja kahanevad funktsioonid) 3. P¨o¨ordfunktsioon 4. Liitfunktsioon 5. Jada piirv¨aa¨rtus 6. Funktsiooni piirv¨aa¨rtus ¨ 7. Uhepoolsed piirv¨aa¨rtused 8. L~opmatult kasvavad ja l~opmatult kahanevad suurused 9. Piirv¨a¨artusteoreemid 10. L~opmatult kahanevate suuruste v~ordlemine 11. Funktsiooni pidevuse m~oiste. Tarvilik ja piisav tingimus funktsiooni pidevuseks 12. Elementaarfu...
Nii hakkabki väljenduma vaikselt integraal kui pindala , kkdw jms arvutamise vahend b) Integraalse alam ja ülemsumma omadusi Olgu funktsioon f(x) pidev lõigul [a, b] ja x n vastava lõigu alamlõigu pikkust iseloomustavad argumendi muudud 1) Kuna igal alamlõigul on funktsiooni vähim väärtus alati kas väiksem funktsiooni suurimast väärtusest või sellega võrdne, siis ka integraalne alamsumma on alati kas väiksem ülemsummast või siis sellega võrdne: ehk: n n Kuna iga i (i=1, 2 , 3...
Arvestades valemeid (2.11) ja (2.12), võime Newtoni kolmanda seaduse (valem (2.13)) kirjutada kujul: dp2 dp1 =- . (2.14) dt dt Korrutanud võrduse mõlemaid pooli ajavahemikuga dt, saame, et meie süsteemi kehade impulsi muudud sama aja jooksul on võrdsed ja vastassuunalised, nende summa on null. Seega on meie suletud süsteemi kehade impulsside summa süsteemi impulss aja jooksul jääv suurus. See tulemus on üldine kuitahes suurest arvust kehadest koosnevate suletud süsteemide kohta ja kannab impulsi e. liikumishulga jäävuse seaduse nimetust: suletud mehhaanilise süsteemi impulss p on ajas jääv suurus. Seega sisejõud ei saa muuta...
isoleerituks. Arvestades valemeid (2.11) ja (2.12), võime Newtoni kolmanda seaduse (valem (2.13)) kirjutada kujul: dp2 dp1 =- . (2.14) dt dt Korrutanud võrduse mõlemaid pooli ajavahemikuga dt, saame, et meie süsteemi kehade impulsi muudud sama aja jooksul on võrdsed ja vastassuunalised, nende summa on null. Seega on meie suletud süsteemi kehade impulsside summa süsteemi impulss aja jooksul jääv suurus. See tulemus on üldine kuitahes suurest arvust kehadest koosnevate suletud süsteemide kohta ja kannab impulsi e. liikumishulga jäävuse seaduse nimetust: suletud mehhaanilise süsteemi impulss p on ajas jääv suurus. Seega sisejõud ei saa muuta...
Saab näidata analoogselt, et 3z 3z 3z 3z 3 d 3 z = 3 dx 3 + 3 2 dx 2 dy + 3 dxdy 2 + dy x x y xy 2 y 3 10. Tuletis antud suunas ja gradient. ? Olgu antud kolme muutuja funktsioon u = f ( x, y, z ) ja vektor s = { s1 , s 2 , s3 } . Võtame suvalise punkti P( x, y, z ) ja valime muudud x, y, z nii, et vektor PQ , kus ? Q( x + x, y + y, z + z ) oleks samasihiline (kollineaarne) vektoriga s . ? PQ = ks = { x, y, z} Tähistame PQ = = x 2 + y 2 + z 2 Leiame funktsiooni muudu u = u ( Q ) - u ( P ) = f ( x + x, y + y, z + z ) - f ( x, y , z ) Def. 10.1. ? Funktsiooni u = f ( x, y , z ) tuletiseks vektori s suunas nimetatakse piirväärtust...
Näiteks kolme liidetava korral: y = u (x) + v (x) + w (x); y' = u'(x) + v' (x) + w' (x) Tõestus: Argumendi väärtuse x korral y=u+v+w (argument x on jäetud funktsiooni tähistuses lühiduse mõttes kirjutamata) ja argumendi väärtuse x + x korral: y + y = (u + u) + (v + v) + (w + w), kus u , v , w , y on funktsioonide y, u, v, w muudud , mis vastavad argumendi x muudule x. Järelikult y = u + v + w, y' = lim(xx0) ehk y' = u'(x) + v' (x) + w' (x) m.o.t.t. Näide 1: 5. Tuletada parameetrilisel kujul antud funktsiooni diferentseerimise reegel. Olgu argumendi x funktsioon y antud parameetriliste võrranditega t0 t T (1) Eeldame, et funktsioonid x(t) ja y(t) on diferentseeruvad ja et funktsioonil x = x(t) on olemas pöördfunktsioon t = X (x), mis on samuti diferentseeruv....
aastal andis Swift kolm erakontserti Bishop lreton gumnaasiumi õpilastele, väikese katoliku kooli õpilastele Aleksandrias, pärast seda, kui nad olid võitnud rahvusvahelised "TXT 2 WIN" võistlused. Õpilased olid saatnud üle 19000 sõnumi Verizonile ühe kuu pikkuse võistluse ajal. Ta mängis neile üle tunni kooli välimangude ajal, mis on päevapikkune üritus mängude ja muude tegevustega. 8. oktoobril 2008. aastal teatas Taylor Swifti ametlik koduleht, et tema välja muudud Fearless Põhja- Ameerika tuur laiendatakse veel 37 linna. Esinemine paika pandud, osales ta 13. Detsembril 2009. aastal MTV Music Video Award'sil. See oli tema esimene VMA, kus oli tal võimalik ka esineda. Ta läks ajalukku sellga, et oli esimene kantriartist, kes kunagi võitnud MTV Video Music Awards'il. Kui ta läks lavale, et vastu võtta oma Best Female Video auhind muusikavideo ''You Belong With Me" eest, astus lavale räppar/laulja Kanye West....
TERMODÜNAAMILISE SÜSTEEMI OLEKUFUNKTSIOON Termodünaamilise süsteemi olekufunktsiooniks nimetatakse süsteemi olekut iseloomustavat funktsiooni, mille muudu väärtus sõltub ainult süsteemi alg-ja lõppolekust, mille viisist, kuidas süsteem ühest olekust teise viidi. Termodünaamilise süsteemi olekufunktsiooni näiteks on siseenergia ja entroopia. Süsteemi poolt tehtud töö ja saadud soojushulka ei saa käsitleda olekufunktsioonidena ning nende muudud sõltuvad viisist kuidas süsteemi viiakse ühest olekust teise. 3.1.2. Termodünaamika 1.printsiip: Termodünaamika I printsiip seob süsteemile antud soojushulga dQ sellest tuleneva siseenergia muudu dU ja süsteemi poolt protsessi käigus tehtud mehhaanilise töö dA. dU=dQ-dA Kui on tegemist soojusvahetusega jääval temperatuuril, T=const. , siis süsteemi siseenergia ei muutu ja kogu soojushulk realiseeritakse...
Kas farmaatsiatööstused teenivad inimese huve või enda huve Inimeste tervisehädad on levinud alates meie kõige vanemate esivanemate aegadest, kui ravitsemine oli põhiliselt kodusepitsemine ja vähe arenenud, kui nii võib nimetada, teadus. Ajas on muutunud igapäevased talitused enda tervena hoidmiseks . Selle kõige kõrval on õpitud ajas aina paremini tundma inimese organismi ja selle toimimist . Selleks on uuritud haiguste kulgu, katsetatud erinevaid vahendeid haigustest jagu saamiseks ning seejuures on arenenud ka ravimite kasutusalad ja nende olemus . Sünteetiliste ravimite toomine sai hoo sisse peale Teist Maailmasõda : alguse said farmaatsiatööstused . Farmaatsiaks nimetatakse teadust, mis leiutab, toodab ja uurib ravimeid, ning mille eesmärk on inimese ja loomade ravimitega varustamine . Kuid kas nende tööstuste eesmärgiks on vaid meie huvide teenimine või on sellel teised tagamõtted?...
märts 2012 James Krüss, ,,Timm Thaler ehk müüdud naer" Raamat jutustab meile Timm Thaleri rasketest noorusaastatest. Olles veel väga noor, kaotab ta isa ja ema ning peab elama võõrasema ja kasuvennaga, kes kogu aeg näägutavad tema kallal. Lootes saada õnnelikuks, Timm sõlmib lepingu salapärase härra Tarukiga, loovutades talle oma naeru ning saades vastu võime võita iga kihlvedu. Varsti mõistab poiss, et tegi suure vea. Selleks, et oma naer tagasi saada, peab Timm kaua nuputama mingit viisi kuidas üle kavaldada Taruki, aga õnneks on tal ka head sõbrad kelle peale ta võib lootma jääda. Raamatu peategelased on: Timm, Timmi isa, võõrasema, kasuvend Ervin, parun Taruk, Timmi sõbrad Kreschimir, härra ja proua Rickert ja meremees Jonny ning teised v...
Matemaatiline anal¨ uu¨s I Jaan Janno ii Sisukord 1 Funktsioonid ja nendega seotud m~ oisted 1 1.1 Reaalarvud ja Arvtelg. Absoluutv¨a¨artuse m~oiste. Reaalarvudest koosnevad hulgad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 J¨a¨ avad ja muutuvad suurused. Funktsiooni m~oiste ja esitusviisid. 3 1.3 Funktsioonide liigid. Konstantne funktsioon. Astme-, eksponent- ja trigonomeetrilised funktsioonid. . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4 P¨o¨ ordfunktsiooni m~oiste. Logaritmfunktsioon. Arkusfunktsioonid. 8 1.5 Tehted funktsioonidega. Elementaarfunktsioon. Pol¨ unoom ja ratsionaalfunktsioon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.6 Ilmutatud ja ilmutamata funktsioonid. Parameetrilisel kujul an- tud jooned ja funktsioonid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.7 H...
Kasutame ideaalse gaasi olekuvõrrandit ja asjaolu, et ideaalse gaasi siseenergia sõltub ainult temperatuurist (kui temperatuur kasvab, siis gaasi siseenergia kasvab ja vastupidi). Vaatame olekuvõrrandit m pV = RT . µ Kuna antud protsessil gaasi rõhk ja gaasi mass ei muutu, siis muutuvad ruumala ja temperatuur, kusjuures nende muudud on seotud analoogilise valemiga m p V = R T . µ Siit on näha, et kui V > 0 , siis ka T > 0 , mis tähendab, et isobaarsel paisumisel gaasi temperatuur tõuseb ja ühtlasi suureneb ka gaasi siseenergia. (Vastupidi, isobaarsel kokkusurumisel gaasi siseenergia väheneb). Vaatame veel ka termodünaamika I seadust,mille kohaselt Q = U + A . Viimane tähendab nüüd seda, et isobaarsel paisumisel peab gaas saama väljastpoolt kindla soojushulga Q , mis...
Lähtume ideaalse gaasi olekuvõrrandist m pV = RT . µ Antud juhul on tegemist protsessiga, kus jäävateks suurusteks on ruumala ja temperatuur ( V = const , T = const ), muutuvad suurused on rõhk ja gaasi mass, kusjuures rõhk on võrdeline 12 massiga. Võrdelise sõltuvuse korral on ka vastavate suuruste muudud võrdelised, mis tähendab, et m p V = RT . µ Tarvitatud gaasi mass avaldub siit kujul p V µ m = . RT Arvutamine annab tulemuseks 4,9 105 0,02 0,032 m = ( - ) kg = - 0,13 kg. 8,31 288 Kuna gaasi mass vähenes (massi muutus oli negatiivne), siis tarvitati osa gaasi ära. Vastus: tarvitatud gaasi mass on 0,13 kg. Näidisülesanne 12...
Kui funktsioon on diferentseeruv aga mingi piirkonna igas punktis, siis öeldakse, et see funktsioon on diferentseeruv selles piirkonnas. 3 Teoreem: Kui funktsioonil on olemas lõpplik tuletis antud kohal, siis funktsioon on pidev sellel kohal. 4 Tõestus: olgu funktsioonil y = f (x) olemas kohal x lõplik tuletis kus x ja y on vastavalt argumendi ja funktsiooni muudud kohal x. 5 Et siis seega 6 Mis ütlebki, et f on pidev kohal x . 7 MOTT. 19. Funktsioonide y=sin x, y=cos x , y=loga x , y=ax tuletiste leidmine. *Teoreem: y = sin x tuletis on cos x Tõestus: 14 *Teoreem: kui y = loga x, siis Tõestus: 8 Teoreem: y = cos x tuletis on sin x 9 Tõestus:...
Tähistame ac D , siis kaardimõõt m piki meridiaani avaldub suhtega m M Kuna projektsioon peab olema võrdnurkne, siis p=m. Tehes asendused, saame 1 D 1 1 e 2 sin 2 2 sec M . Asendame muudud diferentsiaalidega 1 e2 sin 2 2 sec dD Md 1 d a 1 e2 d dD M 1 e sin 2 2 2 ja asendades M-i, saame dD...
Matemaatiline anal¨ uu¨s I Jaan Janno ii Sisukord 1 Funktsioonid ja nendega seotud m~ oisted 1 1.1 Reaalarvud ja Arvtelg. Absoluutv¨a¨artuse m~oiste. Reaalarvudest koosnevad hulgad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 J¨a¨avad ja muutuvad suurused. Funktsiooni m~oiste ja esitusviisid. 3 1.3 Funktsioonide liigid. Konstantne funktsioon. Astme-, eksponent- ja trigonomeetrilised funktsioonid. . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4 P¨o¨ordfunktsiooni m~oiste. Logaritmfunktsioon. Arkusfunktsioonid. 8 1.5 Tehted funktsioonidega. Elementaarfunktsioon. Pol¨ unoom ja ratsionaalfunktsioon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.6 Ilmutatud ja ilmutamata funktsioonid. Parameetrilisel kujul an- tud jooned ja funktsioonid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.7 H¨uperboolsed trigonom...