Lineaarne mittehom. Teist järku konstantsete kordajatega lineaarne mittehomogeenne kons. kordajatega II diferentsiaalvõrrand omab kuju y''+ay'+by=F(x), kus a ja b on konstandid järku dif.võrrand ning F(x) on argumendi x funktsioon II järku kons. Üldlahend avaldub kujul y=y*+Y, kus y* on vastava homogeense kordajatega diferentsiaalvõrrandi üldlahend ja Y on antud mittehomogeense võrrandi üks mittehom. dif. erilahend võrrandi üldlahend ja erilahend II järku lineaarne y''+p1(x)y'+p2(x)y=F(x) diferentsiaalvõrrand II järku lineaarse hom. y=C1(x)y1(x)+C2(x)y2(x) ja mittehom. y=Y+C1(x)y1(x)+C2(x)y2(x), kus Y on võrrand üks erilahend ja C 1(x)y1(x) dif.võrrandi üldlahend +C2(x)y2(x) vastava homogeense võrrandi üldlahend II järku lineaarse hom. Kui võrrandi kohta on teada üks erilahend y 1, siis saab alandada võrrandi I
võr ja selle lahendite omadused. Def 13.1 Teist järku lineaarne dif.võr on lineaarne lahendi ja selle tuletise suhtes. (13.1) Jagades võrrandi a(x)-ga saame lihtsama kuju (13.1)' ; ; Võrrandit, mille parem pool võrdub nulliga nim homogeenseks. (13.2) y=0 Lemma 13.1 Kui y1(x) ja y2(x) on kaks homogeense lin.võrrandi (13.2) lahendit, siis ka on samuti selle võrrandi lahend Tõestus 13.1 Tõepoolest Asendades võrrandis (13.2) saadus avaldisega saame: Lemma 13.2 Mittehomogeense võrrandi (13.1)' üldlahend koosneb homogeense võrrandi (13.2) üldlahendist ja mittehomogeense võrrandi . (13.3) Tõestus 13.2 Olgu homogeense lineaarse võrrandi üldlahend, mis rahuldab võrrandit Ja millest kõigi algtingimuste Jaoks võib sobivalt valida C1 ja C2 abil leida erilahendi, mis rahuldab ka antud tingimusi. Olgu mittehomogeense võrrandi erilahend. Võttes , saame, et Olgu , siis saame algtingimusteks.
Diferentsiaalvõrrand on homogeenne, kui ta on viidav kujule = F . dx x Esimest järku lineaarne diferentsiaalvõrrand avaldub kujul dy + p( x ) y = q( x ) , dx dy mille lahend avaldub homogeense võrrandi + p ( x ) y = 0 üldlahendi ja vastava dx mittehomogeense võrrandi mingi erilahendi summana. Homogeenset võrrandit saab teisendada kujule dy dy = -p ( x ) dx , siis lahendamisel saame = ln y = p ( x ) dx + C . y y Konstantsete kordajatega lineaarne diferentsiaalvõrrand (KKLD) Teist järku homogeense KKLD d2y dy a0 2 + a1 + a2 y = 0 dx dx
tegemist eksaktse DV-ga. Sellist võrrandit nimetame eralduvate muutujatega DV-ks. Kasutades eksaktse DV lahedi valemit saame eraldatud muutujatega DV üldlahendi kujul Võrrandit kujul M1(x)M2(y)dx +N1(y)N2(x)dy=0 nimetame eralduvate muutujatega DV-ks. Kuna M2(y)N2(x) , siis lahendiks saame konstatsed funktsioonid y=L kui M2(L)=0 ja x=k kui N2(k)=0 ning vastavad eraldatud muutujatega DV lahendi. 10.Lineaarne diferentsiaalvõrrand. Homogeense ja mittehomogeense lineaarse diferentsiaalvõrrandi lahendamine. Lineaarseks esimest järku diferentsiaalvõrrandiks nimetatakse võrrandit, mis on esitatav kujul y’+p(x)y=q(x), kus p ja q on teadaolevad argumendi x funktsioonid. (Olgu funktsioonid p(x) ja q(x) määratud vahemikus(a, b), siis diferentsiaalvõrrandit: y’+p(x)y=q(x) nimetame lineaarseks mittehomogeenseks diferentsiaalvõrrandiks. Kui q(x)≡0, siis nimetame vastavat võrrandit lineaarseks homogeenseks diferentsiaalvõrrandiks.)
3. Keskkonnad võivad olla kas homogeensed või mittehomogeensed.Keskkonna osa, kus parameetrid , , ja on sõltumatud asukohast ruumis nimetatakse homogeenseks: Keskkonda võib lugeda homogeenseks ainult teatud tingimustel: piiratud ruumis (näiteks õhk toas või lainejuhi sees), mitte arvestades pindefekte jne. Homogeensust eeldatakse teatud lähenduses teoreetiliste ülesannete lahendamisel, kuna see hõlbustab oluliselt lahenduse käiku. Mittehomogeense keskkonna parameetrid sõltuvad koordinaatidest, s.t. Mittehomogeense keskkonna omadused on ruumi erinevates osades erinevad. Rangelt võttes on peaaegu alati tegemist mittehomogeense keskkonnaga. Maapinna osakeste ja vee segu veekogu pinna lähedal pärast vihma on näide keskkonna mittehomogeensusest, kus parameetrid ja muutuvad sõltuvast sügavusest. Ionosfääri, kui gaasilist
Teist järku diferentsiaalvõrrandit nimetatakse lineaarseks, kui ta sisaldab y, y´ ja y´´ esimeses astmes ja ei sisalda nende korrutist. Iga selline võrrand on esitatav kujul y´´+ p(x)y´+ q(x)y = f(x). Kui kordajad p(x)=p ja q(x)=q on konstandid, siis on tegemist konstantsete kordajatega lineaarse teist järku võrrandiga y´´+ py´+ qy =f(x). Kui f(x)0, siis on võrrand mittehomogeenne, kui f(x)=0, siis on võrrand homogeenne. 1. Mittehomogeense võrrandi üldlahend yMHÜ esitatakse tema mingi erilahendi yMHE ja vastava homogeense võrrandi üldlahendi yHÜ summana yMHÜ = yMHE + yHÜ. 2. Homogeense võrrandi üldlahendi leidmine. Karakteristliku võrrandi Homogeense võrrandi 2 k +pk+q=0 lahendid üldlahend yHÜ ____________________________________________ k1k2 C1e k x + C2e k x k1=k2= (C1 + C2x)e x
38. Eksaktse diferentsiaalvõrrandi üldkuju, eksaktsuse tingimus, lahendusmeetod. 39. Euleri ligikaudse lahendusmeetodi arvutusvalem. 40. Lineaarsed konstantsete kordajatega homogeensed teist järku diferentsiaalvõrrandid. Võrrandi üldkuju, lahendusvalemid kõigil juhtudel. 41. Lineaarsed konstantsete kordajatega mittehomogeensed teist järku diferentsiaalvõrrandid. Erilahendi leidmine. 42. Lineaarsed teist järku diferentsiaalvõrrandid. Homogeense ja mittehomogeense võrrandi kuju, üldlahend mõlemal juhul. 43. Kõrgemat järku harilikud diferentsiaalvõrrandid, üldlahend, erilahend. Cauchy ülesanne. 44. Kõrgemat järku lineaarsed diferentsiaalvõrrandid 45. . Harilike diferentsiaalvõrrandite süsteemid. Lahendusmeetodid, näited. 46. Osatuletistega diferentsiaalvõrrandi mõiste, üldkuju. Üldlahend ja erilahend
y'+p(x)y=q(x) nimetame lineaarseks mittehomogeenseks diferentsiaalvõrrandiks. Kui q(x)0, siis nimetame vastavat võrrandit lineaarseks homogeenseks diferentsiaalvõrrandiks 11.Lineaarsed konstantsete kordajatega diferentsiaalvõrrandid Lineaarne konstantsete kordajatega n-järku diferentsiaalvõrrand on esitatav kuju y(n)+p1y(n-1)+...+pn-1y'+pny=f(x). Vastav homogeenne DV on kujul y(n)+p1y(n-1)+...+pn-1y'+pny=0. Mittehomogeense DV üldlahend y on esitatav homogeense DC üldlahendi Yh ja mittehomogeense DV mingi erilahendi Y* summana y=yh+y*. Lineaarne konstantsete kordajatega n-järku homogeense DV y(n)+ p1y(n-1)+ ... + pn-1y'+ pny = 0. üldlahend avaldub lahendite fundamentaalsüsteemi (n lineaarselt sõltumatut lahendit) kaudu yh(x) = Lahendite fundamentaalsüsteemi saame karakteristliku polünoomi Pn(k) := kn+ p1kn-1+ ... + pn-1k + pn nullkohtadest (karakteristlikest väärtustest) kj, j = 1; 2; ... ; n
esitus z = fx(x, y) x + fy(x, y) y + . Saab näidata, et igal diferentseeruval funktsioonil on olemas esimest järku osatuletised. funktsioonid y = l kui M2(l) = 0 ja x=k kui N2(k)=0 ning vastava eraldatud muutujatega DV lahendi. Lineraarne diferentsiaalvõrrand. Homogeense ja mittehomogeense lineaarse diferentsiaalvõrrandi lahendamine. Liitfunktsiooni tuletise ja osatuletise valemid. Uks neist tuletada. Olgu funktsioonid p(x) ja q(x) määratud vahemikus (a,b), siis diferentsiaalvõrradit y' + p(x)y = q(x) nimetame lineaarseks Kui funktsioonid xi = xi (t) (i = 1;...;n) on diferentseeruvad punktis t ja funktsioon u = f(x) on diferentseeruvad punktis t ja mittehomogeenseks DV-ks
Tiheduse ühikuks on üks kilogramm kuupmeetri kohta. Vee tihedus on seega 1000 , mis m3 tähendab seda, et ühe kuupmeetri vee mass on 1000 kilogrammi. aine tihedus (kg / m 3 ) enamus kivimeid 2 500 - 3 000 raud 7 800 elavhõbe 13 600 kuld 19 500 Kui tegu on mittehomogeense keskkonnaga, s.t. keskkonna tihedus pole igas punktis ühesugune, siis tiheduse arvutamiseks mingis keskkonna punktis toimitakse järgmiselt. Kujundatakse selle punkti ümber ruumielement V ja määratakse selles sisalduva aine mass m . Seejärel arvutatakse nende kahe suuruse jagatis m / V ja lastakse ruumielemendil V tõmbuda vaadeldava punkti ümber lõpmata väikeseks kokku. Jagatis m / V läheneb siis mingile kindlale piirväärtusele, mida
Lauses võivad nimisõnad esineda aluse ja sihitisena, kuid ka määruse ja sihitistena. Nimisõnade jaotusel kasutatakse ka alaliike: üldnimed ja alanimed. Üldnimed jaotatakse sisu järgi: 1)abstraksed või konkreetsed asjad nt armastus vs mesilane. Vastanduvus toimub tajutatavuse järgi. 2)elus või eluta nt kass vs tool 3)jaotavad ja jaotamatud nt vesi vs laud. Vastandus toimub sisu homogeensuse alusel homogeense sisuga on jaotatavad ja mittehomogeense sisuga jaotamatud sõnad. Neid on nimetatud ka aine- ja asjasõnadeks. Asesõnad Asesõnad jaotatakse kolme leeri: iseseisvad, suffiksiga ning otsene. Nendest tuletatakse veel kaudne ning possessiv. Iseseisvaid asesõnu kasutatakse rõhu tekitamiseks. Joonis: asesõnad shilha keeles Eesti keeles jaotatakse asesõnad selle alusel, mis sõna nad asendavad. Prosubstantiivid viitavad esemetele, isikutele ja nähtustele nt mina, sina, tema, igaüks
Mass defineeritakse inertsuse kaudu ehk keha võimega vastu panna katsetele tema kiirust muuta. Massi mõõtühikuks SI-s on üks kilogramm. See võrdub ühe liitri destilleeritud vee massiga temperatuuril 4 kraadi. Aine tiheduseks nimetatakse tema massi ja ruumala jagatist : p=m/v Tiheduse ühikuks on üks kilogramm kuupmeetri kohta. Vee tihedus on seega 1000 kg/ m3, mis tähedab seda, et ühe kuupmeetri vee mass on 1000 kilogrammi. 5 Kui tegu on mittehomogeense keskkonnaga, see tähendab keskonna tihedus pole igas punktis ühesugune, siis tiheduse arvutamiseks mingis keskkonna punktis toimitakse järgmiselt. Kujundatakse selle punkti ümber ruumielement V ja määratakse selles sisalduva aine mass m. Seejärel arvutatakse nende kahe suuruse jagatus m/V ja lastakse ruumielemendil V tõmbuda vaadeldava punkti ümber lõpmata väikeseks kokku. Jagatis m/V läheneb siis mingile kindlale piirväärtusele, mida
elektrilahendust säilitama. (tekib läbilöök). Nt kondensaatorid, äikese välk Huumlahendus Toimub gaasi rõhu langemisel torus (mingi pinge juures tekivad ioonid ja tekib helenduv plasma, mis täidab kogu toru) nt. päevavalguslampides Elektrikaar (Kestev sõltumatu gaaslahendus). Kõrgel pingel. Ioonid põrkuvad vastu katoodi, lüües välja elektrone. Nt röntgenlambid ja ka keevitmine Korona lahendus Püha elmo tuled. Tekib tihti mittehomogeense elektrivälja puhul.(on näha mõnikord äikesetormi ajal kõrgepinge liinide juures-halb) Elektivoolu töö ja võimsus A U= q=I∗t A=UIt Töö, mida vool on võimeline tegema. q ja => Kui aga kogu energia muutub soojuseks(A=Q), siis A=I 2 Rt (Joule-Lenzi seadus) dA N=
niisusguse kõversilindri ruumala, mis on alt piiratud xy-tasandipiirkonnaga D, ülalt funktsiooni z=f(x,y) 𝑏 φ (𝑥) ψ (𝑥,𝑦) 13. Lineaarne diferentsiaalvõrrand. Homogeense ja mittehomogeense lineaarse diferentsiaalvõrrandi ∭𝑉 𝑓(𝑃)𝑑𝑉 = ∫𝑎 𝑑𝑥 ∫φ12(𝑥) 𝑑𝑦 ∫ψ12(𝑥,𝑦) 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑧 .Vaatleme üleminekut silinderkoordinaatidele, kus
. . , x2 r , 0, 1,. . . , 0 ), ............................. Xn-r = ( xn-r 1, xn-r 2, . . . , xn-r r , 0, 0, . . . , 1). 17 MITTEHOMOGEENNE LINEAARNE VÕRRANDISÜSTEEM DEFINITSIOON . Lineaarset võrrandisüsteemi AX = B nimetatakse MITTEHOMOGEENSEKS, kui tema vabaliikmete hulgas kas või üks on nullist erinev, st vabaliikmete veerg ei võrdu nulliga: B 0. LAUSE. Mittehomogeense lineaarse võrrandisüsteemi AX = B üldlahend XMHÜ on avaldatav tema mingi erilahendi XMHE ja vastava homogeense süsteemi AX = 0 üldlahendi XHÜ summana: XMHÜ = XMHE + XHÜ. CRAMERI PEAJUHTUM DEFINITSIOON. Kui lineaarses võrrandisüsteemis AX = B on tundmatute arv võrdne võrrandite arvuga ja süsteemimaatriksi determinant on nullist erinev, siis öeldakse, et tegemist on CRAMERI PEAJUHTUMIGA, st
. . , x2 r , 0, 1,. . . , 0 ), ............................. Xn-r = ( xn-r 1, xn-r 2, . . . , xn-r r , 0, 0, . . . , 1). 17 MITTEHOMOGEENNE LINEAARNE VÕRRANDISÜSTEEM DEFINITSIOON . Lineaarset võrrandisüsteemi AX = B nimetatakse MITTEHOMOGEENSEKS, kui tema vabaliikmete hulgas kas või üks on nullist erinev, st vabaliikmete veerg ei võrdu nulliga: B 0. LAUSE. Mittehomogeense lineaarse võrrandisüsteemi AX = B üldlahend XMHÜ on avaldatav tema mingi erilahendi XMHE ja vastava homogeense süsteemi AX = 0 üldlahendi XHÜ summana: XMHÜ = XMHE + XHÜ. CRAMERI PEAJUHTUM DEFINITSIOON. Kui lineaarses võrrandisüsteemis AX = B on tundmatute arv võrdne võrrandite arvuga ja süsteemimaatriksi determinant on nullist erinev, siis öeldakse, et tegemist on CRAMERI PEAJUHTUMIGA, st
Lahendus: Lahendamiseks kasutan standardit EVS 908-1:2010, valemid 4.16, 4.17, 4.19 ning tabel 4.10. 6- Müüriankur tabelist 4.19, lk 27. Uf= 8 * 52 * 6 * * 0,0016252 = 0,021 W/m2K Uc = U + U, W/(m2*K) Uc= 0,18 + 0,021 = 0,201 W/m2K Vastus: 0,201 W/m2*K on piirdetarindi korrigeeritud soojusjuhtivus kui läbi seina panna metallist kinnitid. 15 ÜLESANNE 11 Leia mittehomogeense puitsõrestikseina soojusjuhtivus U W/m2K ? Lahendus: Lahendamiseks kasutan standardit EVS 908-1:2010 peatükk 4.2.3.7 Esmalt arvutan kogusoojustakistuse ülemise piirväärtuse jaoks vajalikud homogeensete sektsioonide soojustakistused: Soojustuse sektsiooni soojustakistus (valem 4.8): Rsoojustuse sektsioon = 0,13 + Laudvooder + tuuletõke + mineraalvill puitkarkass 150 mm 0,039 + mineraalvill puitroov 50 mm 0,039 + kipsplaat + 0,04
1. (soojuslikult homogeenne kiht) või valemile Error: Reference source not found (soojuslikult mittehomogeenne kiht), (m2K)/W; Rse piirde välispinna soojustakistus, (m2K)/W. Ax Rx Axa Axb A , (m2K)/W ... xn R xa R xb R xn kus: Axa,…,Axn mittehomogeense kihi üksikute osade osapindalad (osakaalud), m2 (-); Rxa,..,RxTn mittehomogeense kihi üksikute osade soojustakistused, Piirde soojusläbivus U W/(m2K) 1 U , W/(m2K) Rtot Eelnevalt esitatud mittehomogeensete materjalikihtidega piirde soojustakistuse lihtsustatud arvutusmeetodit ei saa kasutada, kui mittehomogeense kihi materjalide soojuserijuhtivused erinevad üle viie korra;
37. Olgu a0 , a1 ,…. an reaalarvud. Diferentsiaalvõrrandit kujul F( x , y , y ´ , y ´ ´ … y(n) =0 nimetatakse n-järkus DV-ks. N-järku DV-ks on ka võrrand y(n) = f(x) (n ) (n−1) 38. DV-t kujul a0 y + a1 y +...+ an−1 y ´ + an y=0 nimetatakse konstantsete kordajatega homogeenseks lineaarseks n-järku DV-ks. 39. Lineaarse konstantsete kordajatega mittehomogeense teist järku DV erilahend: a. y ü= y h + y e 40. . Diferentsaalvõrrandite rekendused: a. 1. Kehade jahtumine d. 4. Keemiliste ainete reaktsioonid b. 2. Elektriahelad e. 5. Vabavõnkumine c. 3.Eksponentsiaalne kasvamine ja f. 6. Harmooniline võnkumine kahanemine g
· nõrgalt ventileeritud õhkvahe soojatakistuseks võetakse pool ventileerimata õhkvahe soojustakistusest ja kõigi väljaspool õhkvahet olevate kihtide pool soojustakistuse summast · ventileerimata õhkvahe väärtused võetakse EVS 908-1:2010 Tabel 4.7 40. Kuidas mõjutab emissiooni tegur õhkvahe soojustakistust? Emissiooni tegur mõjutab õhkvahe soojustakistuse suurust, kui emissiooni tegur on väike, siis on takistus suurem ja soojusülekanne väiksem. 41. Homogeense ja mittehomogeense seina soojusjuhtivuse arvutamine. Standardis EVS 908-1:2010 42. Kuidas ja miks on oluline välispiirde soojusjuhtivust korrigeerida? Sellepärast, et paljud tegurid võivad mõjutada ja suurenda välispiirde soojusjuhtivust, näiteks külmasillad, õhupilud, mehaanilised kinnitid, soojustuse õhujuhtivus. Leitakse vastavatele vigadele parandid ja liidetakse nende väärtus seina algsele U-arvule. 43. Miks ei saa pinnasega kokkupuutes olevate välispiirete puhul rakendada standardis EVS
• nõrgalt ventileeritud õhkvahe soojatakistuseks võetakse pool ventileerimata õhkvahe soojustakistusest ja kõigi väljaspool õhkvahet olevate kihtide pool soojustakistuse summast • ventileerimata õhkvahe – väärtused võetakse EVS 908-1:2010 Tabel 4.7 40. Kuidas mõjutab emissiooni tegur õhkvahe soojustakistust? Emissiooni tegur mõjutab õhkvahe soojustakistuse suurust, kui emissiooni tegur on väike, siis on takistus suurem ja soojusülekanne väiksem. 41. Homogeense ja mittehomogeense seina soojusjuhtivuse arvutamine. Standardis EVS 908-1:2010 42. Kuidas ja miks on oluline välispiirde soojusjuhtivust korrigeerida? Sellepärast, et paljud tegurid võivad mõjutada ja suurenda välispiirde soojusjuhtivust, näiteks külmasillad, õhupilud, mehaanilised kinnitid, soojustuse õhujuhtivus. Leitakse vastavatele vigadele parandid ja liidetakse nende väärtus seina algsele U-arvule. 43. Miks ei saa pinnasega kokkupuutes olevate välispiirete puhul rakendada standardis EVS
6,25=0,10+ + R 2+ + + 0,04 2,1 0,039 0,8 R2=4,77 m2k/W d R2= λ d=4,77*0,04=0,19 m = 190mm Ülesanne 10. Kui palju mõjutab seina soojajuhtivust see kui paneme läbi seina metallist kinnitid? Kinniti soojus-erijuhtivus λf=55W/mK , kinnitite arv nf ühele ruutmeetrile on 10 tk, kinniti raadius on 3,5mm. Seina soojusjuhtivus on 0,25 W/m2K Lahendus: ∆Uf=10*55*6*π*0,00352 = 0,06 W/m2K Uc= 0,25+0,127=0,38 W/m2K Ülesanne 11. Leia mittehomogeense puitsõrestikseina soojusjuhtivus U W/m 2K Paksu s Ühik λ Ühik Sisepind Kipsplaat 13 mm 0,21 W/mK roovid, vahel min vill 50x50 mm 0,12/0,04 W/mK Aurutõke 3 mm - W/mK Puitsõrestik, vahel min vill 200x50 mm 0,12/0,04 W/mK
esimest järku tuletise suhtes. Tal on kuju dy/dx+P(x)y=Q(x), kus P(x) ja Q(x) on argumendi x pidevad funktsioonid. Mittehomogeenne: y'+p(x)y=q(x) (1) Homogeenne: y'+p(x)y=0 (2) Homogeenses dif.võrrandis saab muutujaid eraldada. dy/dx=-p(x)y (dy/y)=-p(x)dx lny=-p(x)dx+lnc elny=c*e-p(x)dx See on homogeense võrrandi üldlahend Teoreem: Mittehomogeense võrrandi (1) üldlahend=homoheense võrrandi üldlahend+mittehomogeense võrrandi erilahend. Seega : y= e-p(x)dx [ ep(x)dx*q(x)dx+c] . Kui sulud avada, siis teine liidetav on homogeense võrrandi üldlahend : y=c* e-p(x)dx 35. Teist järku homogeenne difvõrrand, kolm juhust On antud teist järku homog.dif.võrrand : y''+py'+qy=0 , p ja q on konkreetsed reaalarvud. Üldlahendi
Positiivsed laengukandjad liiguvad väiksema potentsiaaliga kohtade poole. Laengud mõjutavad üksteist elektromagnetvälja kaudu. Vooluallika sees tööd teevad laengute nihutamiseks kõrvaljõud. 4. Üldistatud Ohmi seadus j = ( E + E*) - lisandub kõrvaljõudude elektriväli Elektromotoorjõud on arvuliselt võrdne tööga, mida kõrvaljõud teevad ühikulise positiivse laengu nihutamisel piki ahelat. Ühik V. 12 = ´ Ohmi seadus mittehomogeense elektrivälja jaoks IR12 = (1 - 2 ) + 12 = U 12 5. Kirchhoffi reeglid m I- I k =1 k m-voolude arv sõlmpunktis n n II - Ik =1 k Rk = k k =1 - ...alalõikude arv 6. Joule'i-Lenzi seadus dA võimsus N = = IU = I 2 R dt N j2
sest y1,y2,...,yn on võrrandi Ly=0 LFS. Kuna determinant ei võrdu nulliga, siis süsteem on lahenduv ning leidub parajasti üks komplekt sellist süsteemi rahuldavaid konstante C1=C10,C2=C20,...,Cn=Cn0. Teoreem on tõestatud ning sellega on ka esimene teoreem tõestatud. y(x)=C10y1(x)+C20y2(x)+...+Cn0yn(x)+y*(x) rahuldab tingimusi 7. Lagrange'i konstantide varieerimise meetod. V: Konstantide varieerimist kasutatakse n-järku lineaarse mittehomogeense DV ühe konkreetse lahendi leidmiseks. Vaatame võrrandit Ly=f(x). Olgu teada vastava homogeense DV Ly=0 lahendite fundamentaalsüsteem y1,...,yn. Sarnaselt I järku lineaarsete võrranditega otsime ka nüüd erilahendit lineaarse homogeense võrrandi lahendi kuju järgi, seega otsime y* kujul y*=C1(x)y1(x)+C2(x)y2(x)+...+Cn(x)yn(x). Selleks, et nii defineeritud y* oleks võrrandi Ly = f(x) lahend, on vaja sobivalt määrata suurused C1(x), ..., Cn(x)
vastuvõtlikkus J(vekt)= kH(vekt) . Diamagneetiku magnetiline vastuvõtlikus on antud aine korral konstante suurus, mis ei sõltu välisest väljast ega magneetumuses /k/= J/H. See tähendab, et diamagneetiku magneetumus on võrdeline väljatugevusega. Diamagneetik on näiteks vismut, kuld, vask, tsink, lämmastik. Diamagneetiku magnetiline vastuvõtlikus on väike, näitena vasel k = -10 astmel -5. Kuna μ=k +1, siis diamagneetikul μ‹ 1 (tahkisel ja vedelikel 0,99990 kuni 0,999999). Mittehomogeense magnetvälja korral diamagneetik tõukub tugevama välja osast nõrgemasse. Diamagneetikile efekt esineb kõikidel ainetel. Magnetväljas mõjub aatomis liikuvatele elektronidele magnetjõud, selle mõju on ekvivalentne sellise mikrovooluga, mis annab aatomile magnetväljaga vastassuunalise magnetmomendi. Paramagneetikud Paramagneetik magneetub välise välja suunas J(vekt) ↑ ↑ H (vekt) , k›0.
dt dt dt Diferentsiaalvõrrandi lahendamine xv(t)=xvvl(t)+xvsl(t) xvvl(t) on vabaliikmete komponent, mis kajastab süsteemi muutumist juhul kui puudub väline toime või kui see on minimaalne. xvsl(t) on sundliikmete komponent, mis kajastab süsteemi parameetrite muutumist välise toime olemasolul. Diferentsiaalvõrrandi lahendamise etapid 1. Määratakse homogeense diferentsiaalvõrrandi üldlahend 2. Määratakse mittehomogeense diferentsiaalvõrrandi erilahend 3. Määratakse mittehomogeense diferentsiaalvõrrandi üldlahend 4. Määratakse mittehomogeense diferentsiaalvõrrandi omalahend Mittehomogeenne diferentsiaalvõrrand 2 d xv + dxv + a2 2 a1 dt a0 xv = f (sis ) dt Homogeenne võrrand saadakse eeldusel, et f(sis)=0,:
......................... am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = 0, nimetame võrrandisüsteemi a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = a1, a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = a2, .......................... (1) ai1x1 + ai2x2 + . . . + ainxn = ai , .......................... am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = am. taandatud lineaarvõrrandisüsteemiks. Mittehomogeense LVS-i lahendivektori avaldamine LVS-i erilahendi ja taandatud LVSi fundamentaalsüsteemi kaudu vektorkujul ja komponentkujul Valemeid x = t1c1 + t2c2 + . . . + tn-scn-s, iga t1, t 2, . . . , tn-s R ja x1 = t1c11 + t2c21 + . . . + tn-scn-s,1, x2 = t1c12 + t2c22 + . . . + tn-scn-s,2, .................................... xi = t1c1i + t2c2i + . . . + tn-scn-s,i , .................................... iga t1, t2, . . . , tn-s R. xn = t1c1n + t2c2n + . . . + tn-scn-s,n,
esile kutsutud voolu või otseselt elektrijõudude toimel. a) Madalatel pingetel - õigem oleks öelda väikese väljatugevuse korral, kuna gaas on alati keskkond, mitte juhe - nimetatakse lahendust kustuvaks e. Geigeri lahenduseks. b) Kõrgetel pingetel ( )on kaks võimalikku lahenduse tüüpi: · sädelahendus ligikaudu homogeense välja korral · koroonalahendus (õigemini kroonlahendus) tugevalt mittehomogeense välja korral, näiteks elektroodi teravikul. Loeng 13 Elektromagnetiline induktsioon. Suurused: · Magnetvoog - (veeber) · Magnetmoment - tähendab ainest tingitud täiendava magnetvälja tekkimist. Aine magneetumist iseloomustav suurus igas aine punktis on magneetumusvektor J - aine magnetmoment ruumalaühiku kohta. · Induktiivsus L (H) (Henry)
esile kutsutud voolu või otseselt elektrijõudude toimel. a) Madalatel pingetel - õigem oleks öelda väikese väljatugevuse korral, kuna gaas on alati keskkond, mitte juhe - nimetatakse lahendust kustuvaks e. Geigeri lahenduseks. b) Kõrgetel pingetel ( )on kaks võimalikku lahenduse tüüpi: · sädelahendus ligikaudu homogeense välja korral · koroonalahendus (õigemini kroonlahendus) tugevalt mittehomogeense välja korral, näiteks elektroodi teravikul. Loeng 13 Elektromagnetiline induktsioon. Suurused: · Magnetvoog - (veeber) · Magnetmoment - tähendab ainest tingitud täiendava magnetvälja tekkimist. Aine magneetumist iseloomustav suurus igas aine punktis on magneetumusvektor J - aine magnetmoment ruumalaühiku kohta. · Induktiivsus L (H) (Henry)
elektromagnetiline (kineskoobid). Fokuseerimissüsteemis toimub katoodi poolt emiteeritud elektronide kiirendamine ja koondamine ekraanile fokuseeritud peeneks kiireks. Elektronkiirt on võimalik fokuseerida kas elektri- või magnetvälja toimega. Harilikult kasutatakse esimest võimalust. Fokuseerimine toimub elektrivälja abil, mis tekitatakse negatiivselt pingestatud tüürelektroodi ja positiivselt pingestatud anoodide vahel. Tekkiva mittehomogeense (ebaühtlase tugevusega) elektrivälja abil kujundatakse kahest "läätsesüsteemist" koosnev nn elektronoptika. Hälvitussüsteemid. Füüsika kursusest on teada, et elektronide liikumise trajektoori saab mõjutada nii elektri- kui magnetväljaga. Sellest tulenevalt on olemas nii elektrostaatilised kui ka magnetilised hälvitussüsteemid. Elektrostaatilises hälvitussüsteemis toimub elektronkiire hälvitamine e. kallutamine (deflection) elektrivälja mõjul
või olendit, on konkreetsed). Üldnimed võib jagada sisu alusel: 1) abstraktsed ja konkreetsed sõnad (nt au vs aken). Vastandus toimub meelelise tajutavuse/tajumatuse alusel; 2) elusat või elutut tähistavad sõnad (elus või elutu referentsiga), nt loom vs tool; 3) jaotatavad ja jaotamatud (loendatatavd/loendamatud) sõnad, vrd vesi vs laud. Vastandus toimub siin sisu homogeensuse alusel homogeense sisuga on jaotatavad ja mittehomogeense sisuga jaotamatud sõnad. Neid on nimetatud ka aine- ja asjasõnadeks. Põhiküsimus, mis selle eristuse raames kerkib, on see, kas osa asjast on veel sama kui asi ise, st kas osa veest on vesi? (on); aga kas osa lauast on laud? (ei ole). Osa substantiive on vaegmuutelised arvukategooria suhtes, st nende vormistikus puudub kas mitmus või ainsus. Sellised sõnad on: a) ainsussõnad e singularia tantum, nt katk, ilu, au;
arvuga. Magnetvooks läbi mingi pinna S nimetatakse homogeenses magnetväljas korrutist B BS cos B n S , (14.3) kus B on magnetiline induktsioon, S selle pinna pindala ja nurk magnetvälja jõujoonte ja pinna normaalvektori vahel. Ühtlasi võrdub magnetvoog seda pinda läbivate magnetvälja jõujoonte arvuga (vt. joonis järgmisel leheküljel). Mittehomogeense magnetvälja korral kehtib valem (14.3) ainult piisavalt väikese pinna korral, mille ulatuses võime magnetilise induktsiooni lugeda konstantseks. Suvalise magnetvälja ja meelevaldse kujuga pinna puhul arvutatakse pinda läbiv magnetvoog integraalina 6
inimesel võimalik kõndida. Selline tekkiv tsentrifugaaljõud ( ehk inertsijõud ) on sarnane gravitatsi- oonijõuga. Niimoodi simuleeritakse gravitatsiooni eksisteerimist kosmoselaevas. Raske ja inertse massi võrdsust nimetatakse nõrgaks ekvivalentsusprintsiibiks, kuid tugevast ekvivalentsusprintsiibist järeldub valguskiire kõverdumine gravitatsiooni poolt. Kiirenevalt liikuvate süsteemide matemaatilisel kirjeldamisel jõutakse välja mittehomogeense ruumi mõisteni. Massiivsete kehade ümber muutub ruum kõveraks. Seal hakkavad vabad kehad lii- kuma kiirendusega. Sellega seletataksegi gravitatsiooni. Kõveras ruumis on vaba keha kiirendusega 71 liikumine niisama iseenesest mõistetav nähtus nagu ühtlane sirgjooneline liikumine „sirges“ ehk eukleidilises ruumis. Gravitatsiooniväljal endal ei ole energiat, sest see väli on tingitud aegruumi kõverusest ( mida
pärast relativistlik gravitatsioonivälja teooria. Gravitatsioonijõu ja inertsijõu vahel ei ole mingisugust vahet. Sellisele ekvivalentsuseprintsii- bile ongi üles ehitatud kogu üldrelatiivsusteooria. Sellist printsiipi tõestavad kõik eksperimentaalsed katsed, mis näitavad raske ja inertse massi samasust. Need on võrdsed. Seega gravitatsioonivälja on võimalik asendada inertsijõudude väljaga. Kiirenevalt liikuvate süsteemide matemaatilisel kirjeldamisel jõutakse välja mittehomogeense ruumi mõisteni. Massiivsete kehade ümber muutub ruum kõveraks. Seal hakkavad vabad kehad lii- kuma kiirendusega. Sellega seletataksegi gravitatsiooni. Kõveras ruumis on vaba keha kiirendusega liikumine niisama iseenesest mõistetav nähtus nagu ühtlane sirgjooneline liikumine ,,sirges" ehk eukleidilises ruumis. 1.3.2.2 Inertne ja raske mass Nii Newtoni teises seaduses kui ka Newtoni gravitatsiooniseaduses on olemas mass. Mass on
pärast relativistlik gravitatsioonivälja teooria. Gravitatsioonijõu ja inertsijõu vahel ei ole mingisugust vahet. Sellisele ekvivalentsuseprintsii- bile ongi üles ehitatud kogu üldrelatiivsusteooria. Sellist printsiipi tõestavad kõik eksperimentaalsed katsed, mis näitavad raske ja inertse massi samasust. Need on võrdsed. Seega gravitatsioonivälja on võimalik asendada inertsijõudude väljaga. Kiirenevalt liikuvate süsteemide matemaatilisel kirjeldamisel jõutakse välja mittehomogeense ruumi mõisteni. Massiivsete kehade ümber muutub ruum kõveraks. Seal hakkavad vabad kehad lii- kuma kiirendusega. Sellega seletataksegi gravitatsiooni. Kõveras ruumis on vaba keha kiirendusega liikumine niisama iseenesest mõistetav nähtus nagu ühtlane sirgjooneline liikumine ,,sirges" ehk eukleidilises ruumis. 1.2.2.2 Inertne mass ja raske mass Erirelatiivsusteooriast on teada seda, et mida suurem on kehal liikumiskiirus, seda enam aeg ja ruum teisenevad
annaabi.ee 
