Punktmassi dünaamika (0)

Punktmassi dünaamika
3.1. Inerts . Newtoni I seadus. Mass. Tihedus.
Newtoni I seadus (inertsiseadus). Kui mingile kehale ei avalda mõju teised kehad või need mõjud tasakaalustuvad, siis see keha kas seisab paigal või liigub ühtlaselt sirgjooneliselt.
Inerts – keha võime säilitada oma liikumist või paigalseisu. Ilma teiste kehade mõjuta pole võimalik muuta vaadeldava keha kiirusvektori moodulit ega suunda.
Mõnede kehade liikumiskiiruse muutmiseks on vaja intensiivsemat mõju kui teistel. Näiteks täislastis kaubarongi kiirendamine on tunduvalt raskem kui tühja rongi kiirendamine, samamoodi on ka täislastis rongi pidurdamine raskem kui tühja rongi pidurdamine. See tähendab, mõned kehad on inertsemad kui teised.
Kui keha on inertsem, s.t. tema vastupanu katsetele tema kiirust muuta on suurem, siis öeldakse, et sellel kehal on suurem mass. Mass on keha inertsi mõõt.
Märkus. Keha massi ei tohi ajada segamini keha kaaluga. Kaal on jõud, millega keha surub alusele või pingutab riputusvahendit. Mass defineeritakse inertsuse kaudu ehk keha võimega vastu panna katsetele tema kiirust muuta.
Galilei katse masside võrdlemiseks. Laua kohale on tõstetud püssirohuga täidetud toru, mille üks ots on suletud kivikuuliga, teine mõõtmetelt ja kujult sama suure raudkuuliga.
Püssirohulaengu süütamisel lendavad mõlemad kuulid torust välja. Et kuulid on tulistatud horisontaalsihis, peavad nad lauale langema üheaegselt.
Kivikuuli lennukaugus on kolm korda suurem, seega peab tema algkiirus vastavalt valemile (1.23) olema kolm korda suurem kui raudkuuli algkiirus. Et mõlemat kiirendati ühesuguse mõju abil, siis avaldab kivikuul katsetele teda kiirendada kolm korda väiksemat vastupanu kui raudkuul. Järelikult – kivikuuli mass on raudkuuli massist kolm korda väiksem.
Massi mõõtühikuks SI-s on üks kilogramm (1 kg). See võrdub ühe liitri destilleeritud vee massiga temperatuuril .
Aine tiheduseks nimetatakse tema massi ja ruumala jagatist:
. (3.1)
Tiheduse ühikuks on üks kilogramm kuupmeetri kohta. Vee tihedus on seega , mis tähendab seda, et ühe kuupmeetri vee mass on 1000 kilogrammi.
aine
tihedus
enamus kivimeid
2 500 - 3 000
raud
7 800
elavhõbe
13 600
kuld
19 500
Kui tegu on mittehomogeense keskkonnaga, s.t. keskkonna tihedus pole igas punktis ühesugune, siis tiheduse arvutamiseks mingis keskkonna punktis toimitakse järgmiselt. Kujundatakse selle punkti ümber ruumielement ja määratakse selles sisalduva aine mass . Seejärel arvutatakse nende kahe suuruse jagatis
ja lastakse ruumielemendil
tõmbuda vaadeldava punkti ümber lõpmata väikeseks kokku. Jagatis
läheneb siis mingile kindlale piirväärtusele, mida nimetataksegi aine tiheduseks vaadeldavas ruumipunktis:
. (3.2)
3.2 Jõu mõiste. Newtoni II ja III seadus
Jõuks nimetatakse ühe keha mõju teisele, mille tulemusel muutub vaadeldava keha kiirus.
Newtoni II seadus. Keha kiirendus võrdub temale mõjuva resultantjõu ja keha massi jagatisega.
. (3.3)
Kehale mõjuvaks resultantjõuks nimetatakse sellele kehale mõjuvate kõigi jõudude vektoriaalset summat .
Valemi (3.3) kaudu defineeritakse jõu ühik – üks njuuton .
1 njuuton on niisugune jõud, mis annab kehale massiga 1 kilogramm kiirenduse 1 meeter sekund ruudus . (Võrdub ligikaudu sajagrammise eseme kaaluga maapinnal.)
Rõhuks nimetatakse pinnaühikule avaldatavat jõudu. Arvutatakse valemist
, (3.4)
kus F on rõhumisjõud ja S selle jõu toetuspindala. Rõhu ühikuks on üks paskal :
Ligikaudu sama suurt rõhku avaldab maapinnale sajagrammise maasiga keha, mille toetuspindala on üks ruutmeeter. Mittesüsteemsetest rõhuühikutest kasutatakse veel ühikut üks atmosfäär, mis võrdub atmosfääriõhu keskmise rõhuga maapinnal ja mille väärtuseks on
Newtoni III seadus (kehade vastasmõju seadus). Kui üks keha mõjub teisele jõuga, siis teine keha mõjub talle endale täpselt sama suure ja sama liiki, kuid vastassuunalise jõuga.
Newtoni seadused kehtivad ainult inertsiaalsetes süsteemides, s.t. sellistes taustsüsteemides, mis on kas paigal või mis liiguvad ühtlaselt ja sirgjooneliselt.
3.3 Inertsijõud
Newtoni seaduste mittekehtivust mitteinertsiaalsetes, s.t. kiirendusega liikuvates süsteemides, illustreerib järgmine näide.
Paigalseisval vankril olevale inimesele mõjuvad jõud on tasakaalustatud, ta seisab paigal. Newtoni esimene seadus kehtib.
Kui vanker hakkab liikuma vasakule, s.t. tema kiirendus on suunatud vasakule, siis inimene kaldub vankri suhtes paremale, s.t. vankri kiirendusele vastassuunas . Seega saab inimene vankriga seotud taustsüsteemis paremale suunatud kiirenduse, kuigi talle ükski teine keha mõju ei avalda. See on Newtoni seadustega vastuolus .
Kui vanker liigub ühtlaselt, on olukord samasugune nagu paigalseisva vankri korral. Inimesele mõjuvad jõud on tasakaalustatud, ta seisab vankriga seotud taustsüsteemis paigal. Välja vaatamata pole võimalik kindlaks teha, kas vanker liigub või mitte.
Vankri pidurdamisel (vankri kiirendus on suunatud paremale) kaldub inimene vasakule, taas vankri kiirendusele vastassuunas. Ta saab vankriga seotud taustsüsteemis paremale suunatud kiirenduse, kuigi talle ka seekord ükski keha mõju ei avalda. Samuti vastuolu Newtoni seadustega.
Et kooskõlastada mitteinertsiaalsetes taustsüsteemides toimuvat Newtoni seadustega, defineeritakse inertsijõu mõiste.
Inertsijõud – jõud, mis mõjub kiirendusega liikuvates taustsüsteemides paiknevatele kehadele . On suunatud taustsüsteemi kiirendusele vastassuunas ja arvutatakse valemist:
, (3.5)
kus
on taustsüsteemi kiirendus, m on vaadeldava keha (mitte taustsüsteemi!) mass. Tuleb rõhutada, et inertsijõud on fiktiivne jõud, ta on teooria lihtsustamiseks kunstlikult sisse toodud mõiste. Tegelikult inertsijõudu ei eksisteeri, kuna pole olemas keha, millest ta lähtub.
Märkus. Kuigi Newtoni II seaduse valemi (3.3) teisend
(3.6)
sarnaneb inertsijõu valemiga (3.5), on resultantjõud ja inertsijõud täiesti erinevad mõisted ja neid kahte valemit ei tohi segamini ajada. Resultantjõu valemis (3.6) on keha mass ja keha kiirendus, mida jõuga
mõjutatakse. Inertsijõu valemis (3.5) on küll vaadeldava keha mass, kuid taustsüsteemi kiirendus.
Nagu näitasime teises peatükis, kaasneb kõverjoonelise liikumisega alati kesktõmbekiirendus, mis on suunatud trajektoori kõverusraadiuse sihis ja kõveruskeskpunkti poole. Seega – kui mingi süsteem liigub kõverjooneliselt, siis vastavalt valemile (3.5) peab temaga kaasa liikuvatele kehadele mõjuma inertsijõud, mis on suunatud kõveruskeskpunktist eemale. Seda jõudu nimetatakse kesktõukejõuks.
Arvestades normaalkiirenduse valemit (2.15), saame kõverjoonelisel liikumisel kehale mõjuva kesktõukejõu ehk tsentrifugaaljõu