Leidsid 33 sarnast õppematerjali, mis on seotud failiga "Minimeerimine. Kaugõpe". Need materjalid aitavad sul teemat sügavamalt mõista.
abcd, minimeerimine, elektriajamite, jõuelektroonika, juhendaja, lehtla, aaabAruanne Dekooder Dekooder on lülitus, mis on ette nähtud etteantud sisendkoodi muundamiseks soovitud väljundkoodiks. Ta tunneb ära sisestatava kahendarvu ja annab signaali vastavasse väljundisse. Tabeli järgi hakkame koostama valemeid. DCBA 0000 0 abcdef 0001 1 bc 0010 2 abged 0011 3 abgcd 0100 4 fgbc 0101 5 afgcd 0110 6 afgcde 0111 7 abc 1000 8 abcdefg 1001 9 abcdfg 1010 A abcefg 1011 b cdefg 1100 C adef 1101 d bcdeg 1110 E adefg 1111 F aefg Meeldetuletuseks ka väike joonis, mis tähed mida tähistavad: a ----- f | g | b --- e | | c ----- D Valemi saame, kui vaatame tabelis tähti a-g'ni ja selle järgi saame kirjutada kas eitus või jaatus, kui on A' , siis tähendab see eitust, kui aga lihtsalt A siis on see aga jaatus. Valemid: a=A'B'C'
Tallinna Tehnikaülikool Elektroenergeetika instituut SISSEJUHATUS DIGITAALTEHNIKASSE Laboratoorne töö nr 1 Minimeerimine Juhendaja: Üliõpilane: Tallinn 2013 Lihtsustamine: y a c d abc d ( abc bcd )( acd b)ac d abd ab(bc b) a c d abcd ( abc bcd )( 0 ac db ) abd (0 0) acd abcd (0 0) abd cd ( a ab) abd cd b ad b b( cd ad ) b( c d a d ) b( c d a ) abcd Kasutatavad seadused: ab+ac=a(b+c) a+ a =1 a* a =0 a*0=0 a*1=a a*a=a a+0=a Loogikakonverter Loogikakonverter koostab sisestatud võrrandi alusel olekutabeli. Selle tabeli alusel saab see võrrandit ka lihtsustada ja sellest skeemi koostada. Joonis 1: Logic Converter Skeem Minimeeritud võrrandi alusel koostatud skeem
Determinandid Kompleksarvud Lineaarkujutus ja teisendus Ruutvormid Def.1-eeskirja £, mis seab hulga V igale elemendile x Kui hulgas on määratud mingisugune tehe ja selle hulga mistahes kahe Kahe vektorruumi V ja W korral määratud kujutust nimetatakse F= ruutvorm, lineaarvorm: vastavusse hulga W teatava elemendi y, nimetatakse kujutuseks elemendiga sooritatud tehte tulemus osutub alati selle sama hulga lineaarkujutuseks, kui on täidetud tingimus £(*+)=*£() Ruutvormi kordajatest saab moodustada nxn järku hulgast V hulka W. elemendiks, siis öeldakse, et hulk on vaadeldava tehte suhtes +*£() sümmeetrilise maatriksi. At=A. Ruutvormi maatrikskuju: Def.2-kui m
t võib väita, et trigonomeetrilisi teisendusi ja võrrandeid lahendada oskavad vaid üksikud eksaminandid. Juba mitmeid aastaid on riigieksamil kasutatud praktiliselt ühesuguseid funktsioone, kuid endiselt joonistatakse graafikuteks (sinusoidide asemel) sirgeid või suvalisi kõverjooni. Samuti on endiselt probleemiks võrrandi/võrratuse lahendamine etteantud lõigul. 7. (15 punkti) Ristküliku ABCD üheks tipuks on punkt A(4; 3), tipp B asub x-teljel ja küljega AB paralleelne külg CD asub sirgel x - y + 7 = 0 . 1) Arvutage ristküliku ABCD tippude B, C ja D koordinaadid ning joonestage ristkülik ABCD koordinaattasandile. 2) Koostage sirge võrrand, millel asub ristküliku diagonaal AC. 3) Arvutage ristküliku ABCD ümbermõõdu täpne väärtus. 4) Koostage ristküliku ABCD ümberringjoone võrrand.
Tallinn Tehnikaülikool Elektriajamite ja jõuelektroonika instituut MIKROPROTSESSORTEHNIKA Laboratoorne töö nr. 1 Minimeerimine Juhendaja: Taavi Möller Üliõpilane: Ekaterina Fedorova AAVB-37 082040 Tallinn 2009 Ülesanne: abcd abcd ( abc abcd )( acd cb)c d ab d a bc (cd cbd ) acd (b b) (aabccd abbcc aabc cdd abbccd )c d ab d abccd (1 b) acd (abcd 0 0 0)c d ab d abcd acd aabcd d ab d abcd acd 0 ab d abcd ab d acd (1 b) ab d acd Kasutatavad seadused: a *a a a *a 0 a a 1 a 1 1 Käesolevat loogikavõrrandit on võimalik minimeerida Logic Converteriga. Loogikakonverter, mis näitab, milliste sisendite korral on väljund 1. See aitab minimeerida loogikavõrrandit ja koostada
A1 x + B1 y + C1 = 0 - Kahe sirge lõikepunkt A2 x + B2 y + C 2 = 0 NB! Mediaan -- poolitab vastaskülje Kõrgus -- on risti alusega Kesklõik -- paralleelne alusega ja sellest poole lühem Ülesanded: Vastused: 1. Rööpkülikus ABCD AB = a ja AD = b . O on rööpküliku diagonaalide lõikepunkt. Avalda vektorite a ja b kaudu vektorid: AO, BD,-CO, DB, AO +DO, CB +CD 2. On antud punktid A(1;-2) ja B(4;2) Mis on punkti B X-koordinaat? Millises veerandis paikneb punkt A? Leia puntide A ja B vaheline kaugus. Leia lõigu AB keskpunkti koordinaadid. Leia sirge AB võrrand ning vii järgmistele kujudele: - sirge võrrand tõusu ja algordinaadiga - sirge üldvõrrand
cb bc h ac ah . 2 2 2 2 ac Siit cb cb bh ac ah ja h . a b 2) Kauguse h arvulise väärtuse saame nii nagu 1. lahenduses. 4. lahendus Antud: AB a , DC b, AD c. Leida: kolmnurga AOB kõrgus h. 1) Trapetsi pindala saab leida kolmnurkade pindalade kaudu. S ABCD S ADB S ABC S ABO S DOC . a b ac ac ah bc h Seega c . 2 2 2 2 2 ac Siit saame ac bc ac ac ah bc bh ja h . a b 2) Kauguse h arvulise väärtuse saame nii nagu 1. lahenduses.
2 3 2 4 Leiame, mitu protsenti moodustab kolmnurga pindala ringi pindalast. 3 3R 2 100% 75 3 41,4% . 4 R 2 Vastus. Kolmnurga pindala moodustab ringist ligikaudu 41,4%. 4) Rööpküliku ümbermõõt on 90 cm ja teravnurk on 60o. Rööpküliku diagonaal jaotab nürinurga suhtes 1:3. Leidke rööpküliku küljed. Lahendus. Ülesande andmete kohaselt rööpküliku ABCD ümbermõõt on 2a b 90cm a b 45cm . Kuna diagonaal jaotab nürinurga suhtes 1: 3, siis tähistades ühes osa tähega , on teine pool 3 ning terve nürinurk 4 . Teame, et rööpküliku iga külje lähisnurkade summa on 180º. 4 D C 60 0 4 180 0 60º
Kodune arvestuslik töö. Vektor. Joone võrrand. 11.klass Esitamistähtaeg: 16.10.2012 Konsultatsioon: kokkuleppel või reedel 8.tund või meili teel ([email protected]) NB! Vormistus peab olema korrektne, täiuslik! ÜL.1 Ristküliku ABCD üheks tipuks on punkt A(4; 3), tipp B asub x-teljel ja küljega AB paralleelne külg CD asub sirgel x y + 7 = 0. 1) Arvuta ristküliku ABCD tippude B, C ja D koordinaadid ning joonesta ristkülik ABCD koordinaattasandile. 2) Koosta sirge võrrand, millel asub ristküliku diagonaal AC. 3) Arvuta ristküliku ABCD ümbermõõdu täpne väärtus. 4) Koosta ristküliku ABCD ümberringjoone võrrand. ÜL. 2 Punktist A(-2; 2) on joonestatud vektor = (6; 2). Läbi punkti D(-3; -5) on joonestatud sirge DC, mis on paralleelne sirgega AB. Punktide A, B, C ja D järjestikusel ühendamisel saadakse täisnurkne trapets, mille täisnurk on tipu B juures. 1) Tee joonis.
Hulkliikmete korrutamine Tehted Arvu ruutjuur Funktsioonide graafikud Ring (a+b)2 =a2+2ab+b2 astmetega a, kui a > 0 Võrdeline seos : y=ax d (a-b)2=a2-2ab+b2 (a : b)n=an : bn a>0 d = 2r r= a = a = - a, kui a p 0 2 2 (a-b)(a+b)=a2-b2 (ab)n=an bn 0, kui a = 0 (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd anam=an
ARITMEETIKA 1.1 Mõningate arvude kõrgemad astmed 24 = 16 29 = 512 34 = 81 44 = 256 64 = 1296 25 = 32 210 = 1024 35 = 243 45 = 1024 65 = 7776 26 = 64 211 = 2048 36 = 729 46 = 4096 7 4 = 2401 27 = 128 212 = 4096 37 = 2187 54 = 625 84 = 4096 28 = 256 213 = 8192 38 = 6561 55 = 3125 94 = 6561 1.2 Hariliku murru põhiomadus Murru väärtus ei muutu, kui murru lugejat ja nimetajat korrutada või jagada ühe ja sama nullist erineva arvuga. Kui k 0 , siis a ka = b kb (murru laiendamine), ka ka : k a = = kb kb : k b (murru taandamine). 1.3 Tehetevahelised seosed Kui x + a = b , siis x = b - a . Kui x - a = b , siis
Hulkliikmete korrutamine Tehted Arvu ruutjuur Funktsioonide graafikud Ring (a+b)2 =a2+2ab+b2 astmetega ⎧a, kui a > 0 Võrdeline seos : y=ax d (a-b)2=a2-2ab+b2 (a : b)n=an : bn ⎪ a>0 d = 2r r= a = a = ⎨ - a, kui a p 0 2 2 (a-b)(a+b)=a2-b2 (ab)n=an bn ⎪0, kui a = 0 (a+b)(c+d)=ac+ad
Teist ja kolmandat j¨arku determinandid. Crameri valemid. Kompleksarvud Tartu 2016 Teist ja kolmandat j¨ arku determinandid. Crameri valemid. Kompl Sarruse (kolmnurga) reegel 3. j¨arku determinantide arvutamiseks Teist ja kolmandat j¨ arku determinandid. Crameri valemid. Kompl ¨ Ulesanne Arvutage determinandid 1 2 4 2 4 0 −1 3 3 1 3 −2 5 −6 4 2 1 0 2 5 6 −4 −3 4 1 2 5 1 3 2 Teist ja kolmandat j¨ arku determinandid. Crameri valemid. Kompl LVS lahendamine Crameri valemite abil
Lineaarkujutus ja teisendus. Olgu hulgad V, W vektorruumid. Aksioom1 Kahe vektorruumi V ja W korral määratud kujutust f: V W nimetatakse lineaarkujutuseks, kui on täidetud tingimus : f ( a + b) = f (a) + f (b). Järeldus1 Olgu = = 1 f ( a + b) = f ( a ) + f ( b ) lineaarkujutuse distributiivsus vektorite liitmise suhtes. Järeldus2 = 0 f ( a ) = f (a ) lineaarkujutuse kommutatiivsus skalaariga korrutamise suhtes. Järeldus3 = = 0 f ( 0 ) = 0 Aksioom2 Vektorruumi V korral määratud lineaarset kujutust f : V V nimetatakse selle vektorruumi V lineaarteisenduseks vektorruumist V iseendasse tagasi. Lineaarkujutuste f ja g korral lepitakse kokku rääkida ka nende summast f + g ja kujutuste korrutamisest reaalarvuga f. Lineaarkujutiste liitmisel ja korrutamisel arvuga lepitakse kokku järgmises:
Kodutöö nr 4 õppeaines TUGEVUSÕPETUS (MES0240) Variant Töö nimetus A B Võlli tugevusarvutus painde ja väände koosmõjule Üliõpilane Üliõpilaskood Esitamise kuupäev Õppejõud Ühtlasele võllile on paigaldatud kaks rihmaratast. Võlliga ülekantav võimsus on P = 5,5 kW. Väiksema rihmaratta efektiivläbimõõt on D1 = 140 mm. Arvutada ühtlase võlli läbimõõt, kui see valmistatakse terasest E335 (voolepiir tõmbel y = 325 MPa) ja varuteguri nõutav väärtus on [S] = 5. Pingekontsentraatorite ja väsimuse mõju on arvesse võetud nõutava varuteguri väärtuse valikul. Iga rihma vedava ja veetava haru tõmbejõudude F ja f seos on F 2,5f. Võlli skeem valida vastavalt üliõpilaskoodi viimasele numbrile A. Rihmarataste efektiivläbimõõtude s
MHE0011 TUGEVUSÕPETUS I Kodutöö nr. 6 Variant nr. Töö nimetus: Tala tugevusarvutus paindele A-1 B-4 Üliõpilane (matrikli nr ja nimi): Rühm: Juhendaja: 112441 MATB32 A.Sivitski Töö esitatud: Töö parandada: Arvestatud: Andmed INP-profiil S235 F = 10 kN a =4,5 m b = c = a/2 = 2,25 m p = F/b = 4,4 kN/m [S] = 4 Toereaktsioonid Ühtlase joonkoormuse resultant = pL => 4,4*2,25 = 9,9 kN Toereaktsioonid 2 =0
Determinant Def1 Eeskirja f, mis seab hulga V igale elemendile x vastavusse hulga W teatava elemendi y nimetatakse kujutiseks hulgast V hulka W. Def2 Kui mistahes x korral hulgast V on eeskirja f alusel vastavusse seatud üks kindel y hulgast W, siis öeldakse, et on määratud ühine kujutis hulgast V hulka W. L V = M(n × n) LW= f: M(n × n) f: Ad A M(n × n) d 1 2 n |a1 a1 ... a1 | |a21 a22 ... a2n| d = |.....................| = (-1) a11 a22 a33 ... ann permutatsioonid |an1 an2 ... ann| Selgitus: determinandi väärtust arvutav summa on võetud üle kõigi permutatsioonide, millised saab moodustada numbritest 1, 2, 3 ... n ( seega on liidetavaid n! tükki), sümbol summa avaldises tähistab inversioonide koguarvu permutatsioonis 1; 2;....; n. Permutatsioon on teatava hulga kõikidest elementidest moodustatud ning konk
TallinnaTehnikaUlikool Insenerigraafikakeskus GEOMEETRIA KUJUTAVA ULDKURSUS ABIMATERJALLOENGUTE KUULAMISEKS KoostanudEdgarKogermann Tallinn 2001 h) Kahe kiivsirgevahelistnurka mS6detakse tavalisenurgaga,mille haaradon nende SISSEJUHATUS paralleelsed. kiivsirgetega l) Kahetahulistnurka m66detaksenurgaga, 1. Kujutavgeomeetriaon geomeetriaeriharu, mille haaradasetsevadteine teisel tahul milleskdsitletakse ning on risti tahkude l6ikejoonega - objektidesttasandilistekujutistefiooniste) (kahetahulisenurgaservaga). tuletamist; -ruumigeomeetrilisteUlesannetelahenda- elementideja nendev
Tallinna Tehnikaülikool Elektriajamite ja jõuelektroonika instituut SISSEJUHATUS DIGITAALTEHNIKASSE Jadaloendur Juhendaja: Madis Lehtla Üliõpilane: Rainer Sild 118421 AAAB Tallinn 2012 Loendamine. Koostada jadaloenduri loogikaskeem koos 7-segmendilise indikaatoriga ning kontrollida selle tööd MultiSimi tarkvaraga. Digitaaltehnikas kasutame signaali, millel on kaks olekut ,,0" (väljas) ja ,,1" (sees), nende kahe olekuga saame moodustada erinevaid arvsüsteeme ning arvnumbreid. Antud ülesandel kasutame kahendkoodi, mille valem on: X ...a3 23 a2 22 a1 21 a0 20
8) Riigieksam 2002(20 p.) Koonuse tippu läbiv tasand lõikab koonuse põhja mööda kõõlu, mille pikkus on võrdne raadiusega. Leia koonuse tekkinud osade ruumalade suhe. 1 D Lahendus. Koonuse ruumala avaldub V r 2 H . 3 Vaatleme esmalt koonuse põhja. Põhjal tekkib võrdkülgne kolmnurk, seega on kesknurk A = 60º ja koonusest eralduv kujund ABCD 60 1 moodustab kogu ruumalast A 360 6 C . B r C A 60
Negatiivsete arvudega teostatavate tehete a n an eeskirjad 5. = b bn 1. a + (-b) = -b + (-a) = -(a + b) 2. a + b = b + (-a) = b a , kui b a Abivalemid ja tegurdamine 3. a + b = b + (-a) = - (a b), kui b ( a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 a ( a - b) 2 ( a + b) 3 = a 2 - 2ab + b 2 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 4. a + a = a + (-a) = 0 ( a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3 5. a(-b) = -b(-a) = ab a3 + b3 = (a + b)(a2 ab + b2)
Tallinna Tehnikaülikool Automaatjuhtimissüsteemid, ISS0021 Labor nr. 2 Pöördpendli modelleerimine ja juhtimine. Rain Jõearu 040737 IASB Tallinn 2008 1. Mudeli lähteandmed X0 = [-0.1; 0; 0; 0] - algolek Xs = [0; 0; 0,7; 0] seadesuurus X(t) - olek A = 0 1 0 0; 17.64 0 0 0; 0 0 0 1; -0.784 0 0 0 ] B = [0; -0.3333; 0; 0.2] C=eyes(4) D=zeros(4,2) G = [0; 0; 0; 0] - olekuhäiringu sisendmaatriks M= 5 - mass X1 pendli nurk rad X2 - pendli nurga muutumise kiirus X3 - pendli asend X4 - pendli asendi muutmise kiirus U(t) - Jõud N, 2. Vormistatud eksperimendi lühiselgitus Ülesandeks oli pendli hoidmine püsti asendis nii, et juhtimine toimuks võimalikult kiiresti ja parameetrid oleksid ettenähtud piiride. Sa
Tallinna Tehnikaülikool Mehaanikateaduskond Mehhatroonikainstituut Staatika ja kinemaatika Kodutöö nr. 1 Variant nr. 1(5) Üliõpilane: Ül.kood: Rühm: Kuupäev: 30.09.14 Õppejõud: Leo Teder 2014 F x =F cos 60 °=1500 0,5=750 N F y =F sin60=1500 0.866=1299,01 N Q=q BC=4000 0,4=1600 N F x =0 X A-Q-F x =0 F y =0Y A -F y + N D =0 3 BD M A =0N D BD -M -Q AB -F x AB-F y =0 4 2 Toereaktsioonide arvutused 3 BD M +Q AB + F x AB+ F y X A =Q+ F x =1600+750=2350 N 4 2 N D= =¿
Külgserva CS pikkus on 5 ja see külgserv on risti põhitahuga ABC. Servadel AC ja BC
2
Tiia Toobal 2008 II osa
Pärnu Koidula Gümnaasium
on valitud vastavalt punktid M ja N nii, et AM = NB = 3. Lõiketasand läheb läbi punktide
M, N ja S. Leia põhitahu ja lõiketasndi vahelise nurga tangens.
B-11 Nelinurgas ABCD on külg AB = 12. sin
Põhikooli matemaatikakursuse põhivalemid Tehe Valem 1. Harilike murdude liitmine a c ad + bc + = b d bd 2. Harilike murdude lahutamine a c ad - bc - = b d bd 3. Harilike murdude korrutamine a c ac = b d bd 4. Harilike murdude jagamine a c ad : = b d bc 5. Astmete korrutamine am an = am+n 6
Arvu a nimetatakse kompleksarvu a + ib reaalosaks ja arvu bi selle imaginaarosaks. KOMPLEKSARVUD Kui a = 0, siis on tegemist imaginaararvuga bi, kui b = 0, siis saame arvu a + 0·i, mis on reaalarv a. Kui a = b = 0, siis siis saame tulemuseks arvu 0. KOMPLEKSARVU MÕISTE. TEHTED KOMPLEKSARVUDEGA Kaks kompleksarvu on omavahel võrdsed parajasti siis, kui nende reaalosad ja 1. Kompleksarvu mõiste imaginaarosad on vastavalt võrdsed: a + ib = c + id
Tallinna Tehnikaülikool Automaatikainstituut Kodutöö 3 Pöördpendli mudel, järgimissüsteem Rain Jõearu 040737 IASB Tallinn 2008 1. Mudeli lähteandmed - pendli nurk [rad] 0.2 rad x käru asend M käru mass [kg] m pendli mass [kg] kaugus pendli raskuskeskmeni [m] g raskuskiirendus [m/s2] F liikumise jõud (mudeli sisend) B= G X0 A olekumaatriks, B sisendmaatriks, G häiringu ülekandemaatriks, X0 olekuvektor 2. Vormistatud eksperimendi lühiselgitus Eksperimendi eesmärk on tasakaalustada käru peal asetsevat pöördpendlit, samal ajal käru mingist asendist teise liigutades. Maksimaalne lubatud pendli kõrvalekalle ei tohi ületada 0,2rad; maksimaalne juhttoime 40V. Lubatud viga ei tohi ületada 5% Xs valitud seadesuurus, XS Seekord kasutatakse süsteemi juhtimise
Ruutfunktsioon Sissejuhatav kordamine 1. Teosta tehted. Vastustes vabane negatiivsetest astendajatest. 3 1 2 3 1 a) 2 a b c 3 Lahendus: ; 1 4 2 s 3 t b) 4 5 3 4 s t Lahendus: . 2. Lihtsusta avaldis. a) xy(x + 3y) + (x + y)(x2 2xy y2) Lahendus: xy(x + 3y) + (x + y)(x2 2xy y2) = = x2y + 3xy2 + x3 2x2y xy2 + x2y 2xy2 y3 = = x 3 y3 = = (x y)(x2 + xy + y2) b) (3a 2)2 + (2 + 3a)(2 3a) Lahendus: (3a 2)2 + (2 + 3a)(2 3a) = 9a2 12a + 4 + 4 9a2 = = 8 12a 3. Lahenda võrrand. a) 24x2 + 5x 1 (24x2 6x 12x + 3) = 111 Lahendus: 24x2 + 5x 1 (24x2 6x 12x + 3) = 111; 24x2 + 5x 1 24x2 + 6x
Väga tähtsad matemaatika valemid 1. (A + b) (a - b) = a2 - b2 2. (A + b + c) 2 = a2 + b2 + c2 + 2 (ab + bc + ca) 3. (A ± b) 2 = a2 + b2 ± 2ab 4. (A + b + c + d) 2 = a2 + b2 + c2 + d2 + 2 (ab + ac + ad + bc + bd + cd) 5. (A ± b) 3 = a3 ± b3 ± 3AB (± b) 6. (A ± b) (a2 + b2 m ab) = a3 ± b3 7. (A + b + c) (a2 + b2 + c2-ab - bc - ca) = a3 + b3 + c3 - 3abc = 1 / 2 (a + b + c) [(a - b) 2 + (b - c) 2 + (c - a) 2] 8.when + b + c = 0, a3 + b3 + c3 = 3abc 9. (X + a) (x + b) (x + c) = x3 + (a + b + c) x2 + (ab + bc + ac) x + abc 10. (X - a) (x - b) (x - c) = x3 - (a + b + c) x2 + (ab + bc + ac) x - abc 11.a4 + a2b2 + b4 = (a2 + ab + b2) (a2 - ab + b2) 12.a4 + b4 = (a2 - 2ab + b2) (a2 + 2ab + b2) 13.an + bn = (a + b) (n-1 - n-2 b + n-3 b2 - n-4 b3 + ... ... .. + b n-1) (Kehtib ainult siis, kui n on paaritu) 14.an - miljard = (a - b) (n-1 + n-2 b + n-3 b2 + n-4 b3 + ... ... ... + b n-1) {Kus n N) 15. (A ± b) 2n on alati posi
Matemaatika abivalemid Tehete p~ ohiomadused Kommutatiivsus (vahetuvus) Assotsiatiivsus (¨ uhenduvus) Distributiivsus (jaotuvus) a+b=b+a a + (b + c) = (a + b) + c a(b + c) = ab + ac ab = ba a(bc) = (ab)c a(b - c) = ab - ac Sulgude avamine a + (b + c) = a + b + c a - (b + c) = a - b - c a + (b - c) = a + b - c a - (b - c) = a - b + c Tehted harilike murdudega a c a±c a c ac a c a d ad ± = · = : = · = b b b b d bd
MATEMAATIKA TÄIENDÕPE VALEMID JA MÕISTED KOOSTANUD LEA PALLAS 1 2 SAATEKS Käesolev trükis sisaldab koolimatemaatika valemeid, lauseid, reegleid ja muid seoseid, mille tundmine on vajalik kõrgema matemaatika ülesannete lahendamisel. Kogumikus on ka mõned kõrgema matemaatika õppimisel vajalikud mõisted, mida koolimatemaatika kursuses ei käsitletud.. 3 KREEKA TÄHESTIK - alfa - nüü - beeta - ksii - gamma - omikron - delta - pii - epsilon - roo - dzeeta - sigma - eeta - tau - teeta - üpsilon - ioota - fii - kapa - hii - lambda - psii - müü - oomega
Kompleksarvud Kompleksarvu mõiste: Arve kujul a+ib, kus a ja b on reaalarvud ja i on imaginaarühik, nimetatakse kompleksarvudeks. Kõikide kompleksarvude hulka tähistatakse sümboliga C Kaks kompleksarvu on võrdsed parajasti siis, kui nende imaginaarosad ja reaalosad on vastavalt võrdsed a + bi = c + di <=> a = c ja b = d Kompleksarve a + bi ja a - bi nimetatakse kaaskompleksarvudeks. Näiteks 5+2i ja 5-2i. Kompleksarvu a + bi vastandarvuks nimetatakse kompleksarvu -a bi. Näiteks 7+5i ja -7- 5i. Tehted kompleksarvudega: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i (5 -3i)+(2 + 7i) = (5+2) + (-3+7)i = 7 + 4i (a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b d)i (5-3i)-(2+7i) = (5-2) +(-3-7)i = 3 - 10i (a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i (5-3i)(2+7i) = (52 - (-3)7) + (57 +(-3)2)i = 31 + 29i Kompleksarvude j
[,t02 uulllsJ i b tfiV? wtlYlteddg salsJ urt1yta6 t nV7 Z t#1, t l, euepdgrlg G=ONVS]-InsnlnruvH snsunyGln MUr33ruO39 Vnvrnrny ,".'i:9 snISeI elUeeloueuesu; 67/a9d/4 looM n e),1 ! u L,|al eu u ! I lel ^J "// 'r/.7//1 4l 'set4aawosllslr sgn[nt1 ef apeerr1lntl ewxld prye1g npp4 epelapl ,€, ' (stu o o ts I I a fo t d p w q e 41 , seulaewry
annaabi.ee 
