Leidsid 33 sarnast õppematerjali, mis on seotud failiga "Matemaatiline analüüs I". Need materjalid aitavad sul teemat sügavamalt mõista.
tuletis, diferentseeruv, teoreem, piirväärtus, lõpmata, pidevuse, liitfunktsioon, nullile, diferentsiaal, pöördfunktsioon, arctan, kusjuures, graafik, logaritmfunktsioon, rangelt, muutuvate, summaga, omandab, eksima, nendest, tõepoolest, diferentseeruvus, definitsioonist, avaldise, logaritmilise, tähistus, liitmise, vaatlen, liidetavate, katkematuNäiteks kui f(x)=ex, siis f-1(y)=lny ja iga x korral ln(ex)=x. Pöördfunktsiooni f-1 leidub ainult niisugusel funktsioonil f, mis on kogu oma määramispiirkonnas kas kasvav või kahanev, sest üksnes selline f korraldab üksühese vastavuse oma määramispiirkonna ja muutumispiirkonna vahel. Kui funktsioon f rahuldab nimetatud tingimust vaid oma määramispiirkonna mingil osahulgal, siis saab rääkida üksnes selle funktsiooni vastava lahendi pöördfunktsioonist. Kui funktsiooni f tuletis f' on kohal x nullist erinev, siis pöördfunktsiooni f-1 tuletis kohal y=f(x) saab avaldada kujul ( f -1 )' ( y ) = f '1( x ) = f ' ( f 1-1 ( y ) ) 4. Funkts. Piirväärtus. Ühepoolsed piirväärtused. Funktsiooni piirv. Def: Funktsioonil f on piirväärtus b kohal a kui suvalises piirprotsessis xa, mis rahuldab tingimust x a, funktsiooni väärtus f(x) läheneb arvule b. Funktsiooni piirväärtuse kirjutusviis on: lim(xa) f(x) = b või f(x) b kui xa
ühepoolsed piirväärtused f ( a+) = lim f(x); x a+ ja f( a- ) = lim f(x); x a - nimetatakse 1. liiki katkevuspunktiks. ( hüppekoht, kõrvaldatav katkevuskoht, ................................................... 3 17. Teist liiki katkevuspunkt - arvu a nimetatakse funktsiooni y = f(x) teist liiki katkevuspunktiks, kui lim f(x); x a - on lõpmatu või ei eksisteeri ............................................ 4 20. Diferentseeruv funktsioon - kui funktsioonil y = f(x) on tuletis punktis x = x0, siis ütleme, et funktsioon on diferentseeruv punktis x0. Kui funktsioon on aga diferentseeruv mingi piirkonna igas punktis, öeldakse, et funktsioon on diferentseeruv selles piirkonnas. ..................................... 4 1. Arvuhulgad: naturaal-, täis-, ratsionaal-, reaal- ja kompleksarvud. Nende omadused. ...............6 2. Reaalarvu absoluutväärtus, absoluutväärtuse omadused. ............................................................6 Absoluutväärtuse omadused..
Logaritmfunktsioon ja tema määramispiirkond, väärtuste hulk ning graafik. Arkusfunktsioonid ja nende seosed trigonomeetriliste funktsioonide ahenditega. Arkusfunktsioonide määramispiirkonnad, väärtuste hulgad ja graafikud. Üksühese funktsiooni mõiste. Olgu antud funktsioon y = f(x). Vastavalt funktsiooni definitsioonile on tegemist kujutisega, mis seab igale argumendi x väärtusele oma määramispiirkonnast vastavusse ühe kindla y väärtuse. Uksühese funktsiooni pöördfunktsioon. Üksühese funktsiooni y = f(x) pöördfunktsiooniks nimetatakse kujutist, mis seab igale f(x)-le funktsiooni f väärtuste hulgast vastavusse x-i. Pöördfunktsiooni avaldise saame, kui lahendame võrrandi y = f(x) muutuja x suhtes. Vahetavad pöördfunktsioonis kohad esialgse funktsiooni määramispiirkond ja väärtuste hulk. Olgu x = g(y) üksühese funktsiooni y = f(x) pöördfunktsioon. Siis funktsioonid f ja g kompenseerivad teineteist järgmises mõttes. g[f(x)] = x , f[g(y)] = y .
y = cosx : X = R, Y = [-1,1], y = tanx : X = R {(2k + 1)/ 2 * ||k Z }, Y = R, y = cotx : X = R {k||k Z}, Y = R. Funktsioonid y = sinx ja y = cosx on perioodilised perioodiga 2 ning y = tanx ja y = cotx perioodiga . Funktsioonid y = sinx, y = tanx ja y = cotx on paaritud ning y = cosx paaris. 4. Üksühese funktsiooni mõiste. Kujutis, mis seab igale argumendi x väärtusele oma määramispiirkonnast vastavusse ühe kindla y väärtuse. Üksühese funktsiooni pöördfunktsioon. Üksühese funktsiooni y = f(x) pöördfunktsiooniks nimetatakse kujutist, mis seab igale f(x)-le funktsiooni f väärtuste hulgast vastavusse x-i. · Pöördfunktsioonis vahetavad kohad esialgse funktsiooni määramispiirkond ja väärtuste hulk. · Funktsioonid f ja g kompenseerivad teineteist järgmises mõttes: kui g of funktsiooni f pöördfunktsiooni, siis f on g pöördfunktsioon.
valitud y on selle x-i kujutiseks.
· Üksühese funktsiooni y = f(x) pöördfunktsiooniks nimetatakse kujutist, mis
seab igale f(x)-le funktsiooni f väärtuste hulgast vastavusse x-i.
(Pöördfunktsioonis funktsiooni argument ja sõltuv muutuja vahetavad oma
kohad).
· Pöördfunktsiooni ja tema esialgse funktsiooni määramispiirkond ja
väärtuste hulk vahetavad kohad
· Olgu x = g(y) üksühese funktsiooni y = f(x) pöördfunktsioon. Siis funktsioonid f
ja g kompenseerivad teineteist järgmises mõttes. g[f(x)] = x ; f[g(y)] = y
· Funktsiooni ja pöördfunktsiooni graafikud on sümmeetrilised sirge y=x
suhtes
· Logaritmifunktsioon on eksponent funktsiooni y=a x pöördfunktsioon. x=logay
kus a on logaritmi alus. y=log ax määramispiirkond X=(0, ) väärtuste kulk Y=R.
Graafik on juhtudel a>1 ja 0
3) logaA(x) A(x) >0 arcsin A( x) 4) -1 A( x) 1 arccos A( x) Funktsiooni y=f(x) pöördfunktsiooniks nim. f-ni y=g(x), mis igale funktsiooni f väärtusele y seab vastavusse need argumendi x väärtused, mille korral y=f(x) Olgu funktsioonid y=f(x) ja y=g(x), siis väärtus y on teisendatud argumendi x liitfunktsiooniks ehk kompositsiooniks y=f[g(x)]=f*g(x) © 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 1 Funktsiooni piirväärtus. Teoreemid piirväärtuste kohta (tõestusega). Arv a on funktsiooni y=f(x) piirväärtuseks tingimusel, et xx0, kui >0, () >0, et 0< x-x0< f(x)-a< Selleks, et funktsioonil y = f (x) oleks piirväärtus, kui xx0 on piisav ja tarvilik, et eksisteeriksid ühepoolsed piirväärtused ja et nad oleks võrdsed. lim f ( x) = lim f ( x) = a x x0 - 0 x x0 + 0 Teoreemid piirväärtuste kohta. Teoreem 1 Selleks, et funktsioonil oleks piirväärtus on piisav ja tarvilik, et
3) logaA(x) A(x) >0 arcsin A( x) 4) -1 A( x) 1 arccos A( x) Funktsiooni y=f(x) pöördfunktsiooniks nim. f-ni y=g(x), mis igale funktsiooni f väärtusele y seab vastavusse need argumendi x väärtused, mille korral y=f(x) Olgu funktsioonid y=f(x) ja y=g(x), siis väärtus y on teisendatud argumendi x liitfunktsiooniks ehk kompositsiooniks y=f[g(x)]=f*g(x) © 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 1 Funktsiooni piirväärtus. Teoreemid piirväärtuste kohta (tõestusega). Arv a on funktsiooni y=f(x) piirväärtuseks tingimusel, et xx0, kui >0, () >0, et 0< x-x0< f(x)-a< Selleks, et funktsioonil y = f (x) oleks piirväärtus, kui xx0 on piisav ja tarvilik, et eksisteeriksid ühepoolsed piirväärtused ja et nad oleks võrdsed. lim f ( x) = lim f ( x) = a x x0 - 0 x x0 + 0 Teoreemid piirväärtuste kohta. Teoreem 1 Selleks, et funktsioonil oleks piirväärtus on piisav ja tarvilik, et
Üksühese funktsiooni y = f(x) pöördfunktsiooniks nimetatakse
kujutist, mis seab igale f(x)-le funktsiooni f väärtuste hulgast
vastavusse x-i. (Pöördfunktsioonis funktsiooni argument ja sõltuv
muutuja vahetavad oma kohad).
Pöördfunktsiooni ja tema esialgse funktsiooni määramispiirkond
ja väärtuste hulk vahetavad kohad
Olgu x = g(y) üksühese funktsiooni y = f(x) pöördfunktsioon. Siis
funktsioonid f ja g kompenseerivad teineteist järgmises mõttes.
g[f(x)] = x ; f[g(y)] = y
Funktsiooni ja pöördfunktsiooni graafikud on sümmeetrilised
sirge y=x suhtes
Logaritmifunktsioon on eksponent funktsiooni y=ax
pöördfunktsioon. x=logay kus a on logaritmi alus. y=logax
määramispiirkond X=(0, ) väärtuste kulk Y=R. Graafik on juhtudel
a>1 ja 0
1* Normi ka kauguse Def. 1o puudu ||f||∞ = sup|f(x)|(x∈X) 5*(Jada definitsioon. Koonduvad jadad , jada piirväärtus. Normiks vektorruumis V nimetatakse reeglit, mis igale vektorile u ∈V Koonduva jada piirväärtuse omadused + tõestus) piirväärtuse ühesuse tõestus.jada
argumendiks on x ja sõltuvaks muutujaks y, siis funktsiooni f pöördfunktsiooni argumendiks on y ja sõltuvaks muutujaks x. Samuti vahetavad pöördfunktsioonis kohad esialgse funktsiooni määramispiirkond ja väärtuste hulk.Seosed funktsiooni ja tema pöördfunktsiooni määramispiirkondade ja väärtuste hulkade vahel, vastastikune kompenseerimine, funktsiooni ja pöördfunktsiooni graafikute omavaheline seos: Olgu x = g(y) üksühese funktsiooni y = f(x) pöördfunktsioon. Siis funktsioonid f ja g kompenseerivad teineteist järgmises mõttes. Fikseerime mingi x väärtuse ja arvutame f(x). Seejärel arvutame g[f(x)], st funktsioon g kohal f(x). Tulemusena saame esialgse x väärtuse tagasi. Samuti arvutades antud y kaudu f[g(y)] saame y väärtuse tagasi. Need seosed saab kirjutada kujul g[f(x)] = x , f[g(y)] = y . Kui g of funktsiooni f pöördfunktsiooni, siis f on g pöördfunktsioon. Funktsiooni y = f(x) ja
..n ... ja b = , 1 2 ...n ... nimetame võrdseteks, kui a = b, i = i , i = 1,2, .... Ütleme, et reaalarv a on suurem kui reaalarv b (ehk b on väiksem kui a), kui a > b või leidub k 1, nii et a = b, 1 = 1, ..., k -1 = k -1 , k > k. Reaalarv a on määratud, kui on teada eeskiri tema täiskoha ja iga kümnendkoha leidmiseks. Praktikas kasutatakse irratsionaalarvude asemel nende ratsionaalarvulisi lähendeid. 2. Reaalarvude hulga ülemine ja alumine raja. Pidevuse aksioom Olgu X mingi reaalarvude hulk (X R). Hulka X nimetatakse ülalt tõkestatud hulgaks, kui leidub selline arv M, nii et x M iga x X korral. Seejuures arvu M nimetatakse hulga X ülemiseks tõkkeks. Hulka X nimetatakse alt tõkestatud hulgaks, kui leidub selline arv m, nii et x m iga x X korral . Seejuures arvu m nimetatakse hulga X alumiseks tõkkeks. Hulka X, mis on tõkestatud nii alt kui ülalt, nimetatakse tõkestatud hulgaks.
on positiivne täisarv ja a reaalarvud. 8.2 Murdratsionaalsed funktsioonid nim kahe hulk liikme jagatist. Y= y=anxn + an-1xn-1 +K+a1x+a0 / y=bnxn + bn-1xn-1 +K+b1x+b0 8.3. Irratsionaalsed funktsioonid- nim algebralist funktsiooni, kui lisaks eelpool toodud tehetele võetakse argumendi sisaldavast avaldisest juur. Kõik ülejäänud funktsioonid on mittealgebralised ehk transtsendentsed. Liitfunktsioon Liitfunktsiooniks nimetatkse funktsiooni piirkonnas X kujul F(x)=f[p(x)]. Liitfunktsioon koosneb mitmest funktsioonist. Pöördfunktsioon Olgu y=f(x) mingi funktsioon, kus x on argument ja y funktsioon.Kui lahendada see võrrand x suhtes, samme x=p(y). Nende graafikud on samad. Tuleb vahetada argumendi ja funktsiooni tähistused saame funktsiooni y=p(x) Pöördfunktsiooni graafik on sümmeetriline algfunktsiooni graafikuga esimese ja kolmanda veeerandi nurgapoolitaja suhtes.(y=x2 y= -+ x ) Piirväärtus Lõpmata väike suurus, selle omadused.
1. Kollokvium 1. Hulga mõiste. Järjestatud hulk. Tehted hulkadega. Arvuhulgad. Teoreem. Ei leidu ratsionaalarvu, mille ruut on 2 (tõestada). Tõkestatud hulgad (näide). Tõkestamata hulgad (näide). Hulk koosneb elementidest, kusjuures elemendid ei kordu ja nende järjestus ei ole kindlaks määratud. Järjestatud hulk koosneb samuti elementidest, kuid selles hulgas on iga kahe elemendi kohta võimalik öelda, kumb neist on eelnev, kumb järgnev. Tehted hulkadega: * Hulkade A ja B ühendiks ehk summaks nimetatakse hulka, mille moodustavad kõik kas
Perioodiline funktsioon Niisugust funktsiooni f(x), mis rahuldab tingimust f(x+t)=f (x), t≠0, iga x ja x+t korral määramispiirkonnast, nim. perioodiliseks funktsiooniks vähimat arvu t aga selle funktsiooni perioodiks. Kui on teada perioodilise funktsiooni ajagraafiku osa perioodi pikas poollõigus, siis on teada ka kogu graafik. Tuntud perioodilised funktsioonid on sinx (periood 2π, sest et sin(x+2π), cosx, (periood 2π, sest et cos(x+2π), tanx (periood π tan(x+π)=tanx ). Funktsiooni piirväärtus Vaatleme funktsiooni f (x). Kui argumendi x väärtuste jada xn lähenemisel arvule a, ükskõik kummalt poolt, kas vasakult või paremalt, vastava funktsiooniväärtuste jada f(x n) läheneb ühele kindlale arvule A, siis öeldakse, et arv A on funktsiooni f(x) piirväärtus argumendi x lähenemiseel arvule a ja kirjutatakse või lühemalt Võib olla ka, et x -> +∞ x -> - ∞ Argumendi väärtus a ei pea olema määrmaispiirkonnas. Funktsiooni piirväärtusi
d. Mittealgebralised funktsioonid Liitfunktsioon- on funktsioon, kus sõltuv muutuja y sõltub argumendist x mitme funktsiooni vaheldusel. Kui y=f(z) ja z=g(x) , seega saame liitfunktsiooni y=f(g(x)) . Liitfunktsioonil võib olla ka enam kui kaks koostisosa ja seega enam kui üks vahepealne muutuja. Pöördfunktsioon- pöördfunktsiooni saame, kui võtame algse funktsiooni , avaldame sealt x ja seejärel vahetame x ja y ära. Näiteks : y=2x ; x=0,5y ; y=0,5x , seega y=2x pöördfunktsioon on y=0,5x. Funktsiooni y = f(x) pöördfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni y =( x ) .Pöördfunktsiooni graafik on sümmeetriline algse funktsiooni graafikuga, sirge y=x suhtes. Teineteise pöördfunktsioonideks on: eksponent- ja logaritmfunktsioon , tirgonomeetrilised ja arkusfunktsioonid. Piirväärtus Lõpmata väike suurus, selle omadused- Muutuvat suurust, mille piirväärtus on null, nimetatakse lõpmata väikeseks suuruseks. Lõpmata väikese suuruse omadused: 1
II. Perioodilised funktsioonid Def. Niisugust funktsiooni f (x), mis rahuldab tingimust f (x+t) = f (x) (t 0) iga x ja x t + puhul määramispiirkonnas X, nimetatakse perioodiliseks funktsiooniks, vähimat arvu t aga funktsiooni f (x) perioodiks. 4. Elementaarsed põhifunktsioonid (astmefunktsioon, eksponentfunktsioon, logaritmfunktsioon, trigonomeetrilised funktsioonid, arkusfunktsioonid). Nende funktsioonide definitsioonid, määramispiirkonnad, graafikud). Liitfunktsioon. Astmefunktsioon: y = x ,kus on reaalarv a · Eksponentfunktsioon: y = a , kus a on ühest erinev positiivne arv ( a > 0, x · a 1) y = log a x · Logaritmfunktsioon: , kus logaritmide alus a on ühest erinev positiivne arv ( a > 0, a 1).
a.ii. Üksühese funktsiooni y=f(x) pöördfunktsiooniks nimetatakse kujutist, mis seab igale f(x)-le funktsiooni f väärtuste hulgast vastavusse x-i. b. Seosed funktsiooni ja tema pöördfunktsiooni määramispiirkondade ja väärtuste hulkade vahel, vastastikune kompenseerimine, funktsiooni ja pöördfunktsiooni graafikute omavaheline seos. Pöördfunktsiooni funktsiooni argument ja muutuja vahetavad oma kohad. Pöördfunktsioon saadakse, kui lahendatakse võrrand y=f(x) argumendi x suhtes. Pöördfunktsiooni argumendiks on y ja muutujaks x. Pöördfunktsioonis vahetavad kohad esialgse funktsiooni määramispiirkond ja muutumispiirkond.Funktsioon y=f(x) ja tema pöördfunktsioon x=g(y) graafikud kattuvad xy-teljestikus. Funktsiooni y=f(x) ja x=g(y) määravad ühed ja samad arvupaarid (x,y), seega ühed ja samad punktid P(x,y) tasandil.
Kui x + ja x + , siis lim f ( x) + g ( x) = lim f ( x) + lim g ( x) x + x + x + Üritan eelpool mainitut tõestada. lim f ( x) = A, lim g ( x) = B f ( x ) = A + ( x ), g ( x ) = B + ( x) Eeldus: x + x + lim ( f ( x) + g ( x) ) = A + B f ( x ) + g ( x) = A + B + ( x) + ( x) Väide: x + 2. Esitada funktsiooni y = f (x) punktis x 0 pidevuse definitsioon. Tuletada funktsiooni pidevuse tunnus. f ( x) C ( x0 ) ,kui 1) f ( x0 ) lim f ( x) x x0 2) lim f ( x ) = f ( x0 ) 3) x x0 Tuletada funktsiooni pidevuse tunnus: y = f ( x + x) - f ( x) lim f ( x + x) - f ( x) = 0 x 0 lim y = 0 x 0 3. Defineerida funktsiooni y = f (x) tuletis y'. Sõnastada ja tõestada funktsiooni diferentsieeruvuse ja pidevuse vaheline seos.
Kordamisküsimusi 3. teema kohta 1. Defineerida funktsiooni tuletis. Mis on diferentseeruv funktsioon ja diferentseerimine? Funktsiooni f tuletiseks punktis a nimetatakse järgmist suurust: f ( x )−f (a) f ' ( a )=lim x→ a x−a Kui funktsioon f omab punktis a lõplikku tuletist, siis öeldakse et ta on selles punktis diferentseeruv. Tuletise arvutamist nimetatakse diferentseerimiseks. 2. Esitada tuletise valem funktsiooni muudu ja argumendi muudu kaudu.
Alt tõkestatud hulga suurimat alumist tõket nimetatakse selle hulga alumiseks rajaks ning tähistatakse inf X. Teoreem (pidevuse aksioom) Igal ülalt tõkestatud reaalarvude hulgal on olemas ülemine raja; igal alt tõkestatud reaalarvude hulgal on olemas alumine raja. 3. Funktsiooni mõiste. Funktsiooni määramispiirkond, muutumispiirkond, graafik. Funktsiooni põhilised esitusviisid. Liitfunktsioon, pöördfunktsioon. Paaris- ja paaritud funktsioonid. Perioodilised funktsioonid. Põhilised elementaarfunktsioonid. Elementaarfunktsioonid. Funktsioon - Kui igale arvule x X on mingi eeskirja f abil seatud vastavusse üks reaalarv y , siis öeldakse, et hulgas X on määratud funktsioon y=f(x) ja kirjutatakse y=f(x), x X Määramis ja muutumispiirkond - Hulka X nimetatakse funktsiooni määramispiirkonnaks ja hulka Y = { y | y = f ( x ) , x X } tema väärtuste hulgaks ehk muutumispiirkonnaks
27. Trigonomeetriliste avaldiste integreerimine. 28. Määratud integraal ja selle omadused. 1. Funktsioon. Määramispiirkond, väärtuste hulk. Me vaatleme integraali (sinx,cosx)dx Keskväärtusteoreem (tõestusega). Pöördfunktsioon. 1. Universaalne asendus tan x/2=t Olgu y=f(x) pidev lõigul [a,b] Jaotame lõigu n osaks punktidega 2. Funktsiooni piirväärtus. Teoreemid piirväärtuste x0=a, x1, x2,..,xn=b kohta (tõestusega). J={x0,x1,..,xn} lõigu [a,b] jaotus 3. Lõpmatult vähenevad suurused ja nende järk. Igal lõigukesel xi=xi-xi-1 i=1,2,..,n võtame punkti i =[xi-1,xi] 4
Olgu antud funktsioon y = f (x). Eeldame, et ka argument x funktsiooni v¨aärtuse f (x) kaudu üheselt määratud. See tähendab, et iga y korral hulgast Y leidub ainult üks x nii, et valitud y on selle xi kujutiseks. Kui see on nii, siis öeldakse, et funktsioon f on üksühene. Üksühese funktsiooni korral on võrrand y = f (x) muutuja x suhtes üheselt lahenduv. · Üksühese funktsiooni pöördfunktsioon. Üksühese funktsiooni y = f(x) pöördfunktsiooniks nimetatakse kujutist, mis seab igale f(x)le funktsiooni f väärtuste hulgast vastavusse xi. · Seosed funktsiooni ja pöördfunktsiooni vahel: o Olgu x = g(y) üksühese funktsiooni y = f(x) pöördfunktsioon. Siis funktsioonid f ja g kompenseerivad teineteist järgmises mõttes. g[f(x)] = x , f[g(y)] = y .
Olgu antud funktsioon y = f (x). Eeldame, et ka argument x funktsiooni v¨aärtuse f (x) kaudu üheselt määratud. See tähendab, et iga y korral hulgast Y leidub ainult üks x nii, et valitud y on selle xi kujutiseks. Kui see on nii, siis öeldakse, et funktsioon f on üksühene. Üksühese funktsiooni korral on võrrand y = f (x) muutuja x suhtes üheselt lahenduv. · Üksühese funktsiooni pöördfunktsioon. Üksühese funktsiooni y = f(x) pöördfunktsiooniks nimetatakse kujutist, mis seab igale f(x)le funktsiooni f väärtuste hulgast vastavusse xi. · Seosed funktsiooni ja pöördfunktsiooni vahel: o Olgu x = g(y) üksühese funktsiooni y = f(x) pöördfunktsioon. Siis funktsioonid f ja g kompenseerivad teineteist järgmises mõttes. g[f(x)] = x , f[g(y)] = y .
· Kasvavaks, kui a < b f (a) < f (b) · Monotoonselt kasvavaks, kui a < b f (a) f (b) · Kahanevaks, kui a < b f (a) > f (b) · Monotoonselt kahanevaks, kui a < b f (a) f (b) Tõkestatud funktsioonid. Funktsiooni y = f (x) nimetatakse piirkonnas A tõkestatud funktsiooniks, kui leidub reaalarv k, nii et | f (x)| k iga x A korral. 2. Liitfunktsioon, pöörfunktsioon, elementaarfunktsioon. o Pöördfunktsioon. Funktsiooni y = f (x) (x X) pöördfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni x = f-1 (y), mis igale arvule y Y = y (X) seab vastavusse arvu x X. o Elementaarfunktsioonid. Elementaarfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni, mis saadakse põhielementaarfunktsioonidest lõpliku arvu aritmeetiliste tehete ja liitfunktsioonide moodustamise
Mitmemuutuja funktsiooni mõiste. Mitmemuutuja funktsiooni piirväärtuse definitsioon. Pideva mitmemuutuja Kui funktsiooni z=f(x,y) on diferentseeruv kohal (x,y), siis funktsioon f on pidev sellel kohal. funktsiooni definitsioon. Kahemuutuja funktsiooni pidevuse geomeetriline sisu. Funktsioon z=f(x,y) on diferentseeruv kohal (x,y) siis, kui funktsioonil z=f(x,y) on pidevad osatuletised fx ja fy kohal (x,y). Kui hulga Rn igale punktile P(x1, . . . , xn) on vastavusse seatud muutuja u R kindel väärtus, siis öeldakse, et hulgal on Kui funktsiooni f(x,y) osatuletised fx(x,y) ja fy(x,y) on diferentseeruvad kohal (x,y), siis fxy = fyx kohal (x,y). defineeritud n-muutuja (skalaarväärtusega) funktsioon
( k Z , k 0 ). y = tan x , y = cot x k Funktsiooni f perioodi leidmiseks tuleb tingimusest määrata arv , vaadeldes tingimust kui võrrandit suhtes. Funktsioon f on perioodiline parajasti siis, kui sel võrrandil on olemas konstantne lahend 0 , s.o. muutujast x sõltumatu lahend 0 , kusjuures on sel juhul funktsiooni periood. Liitfunktsioon Definitsioon: Kui y = f (u ) , kus u = g ( x ) , siis öeldakse, et y on muutuja x suhtes liitfunktsioon, ja kirjutatakse: y = f [g ( x )] . Muutujat u nimetatakse vahepealseks muutujaks. Funktsioone f ja g nimetatakse liitfunktsiooni koostisosadeks. Liitfunktsiooni nimetatakse ka funktsioonide f ja g kompositsiooniks ehk superpositsiooniks. Kui liitfunktsiooni määramispiirkond pole antud, siis selle all mõeldakse argumendi x väärtuste niisugust hulka, mille korral liitfunktsiooni väärtused y eksisteerivad.
x=f -1 (y), mis igale arvule y ∈ Y = f (X) seab vastavusse arvu x ∈ X, kusjuures y = f(x). Reaalmuutuja ühene funktsioon - Kui hulga X ⊂ R igale elemendile x on vastavusse seatud element y hulgast Y ⊂ R, siis öeldakse, et hulgal X on määratud ( ühene) ühe (reaal-)muutuja (reaalsete väärtustega) funktsioon f. Arvupaaride hulka {(x, y)| x ∈ X ∧ y = f(x)} nimetatakse funktsiooni f graafikuks. 3.Jada definitsioon. Koonduvad jadad, jada piirväärtus. Jada piirväärtuse omadused. Jada – Funktsioon f(x), mille määramispiirkonnaks on kõigi naturaalarvude hulk N. Jada piirväärtus - Arvu b nimetatakse funktsiooni f piirväärtuseks punktis a, kui iga ε > 0 leidub δ(ε) > 0, et iga x korral, mis täidab tingimust 0 < |x − a| < δ(ε) kehtib võrratus |f(x) − b| < ε. Lim f(x) = b x→a Koonduv jada – Jada, millel on lõplik piirväärtus. Jada piirväärtuse omadused - 1)Konstantse funktsiooni piirväärtuseks on see konstant, st
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.9 Homogeenne lineaarvõrrandisüsteem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3 Funktsioonid ja jadad 25 3.1 Funktsiooni mõiste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.2 Üksühesus ja pealekujutus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.3 Liitfunktsioon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.4 Pöördfunktsioon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.5 Põhilised elementaarfunktsioonid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 SISUKORD 3.6 Elementaarfunktsioonid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Matemaatiline analüüs 23. Funktsiooni muudu esitus diferentsiaali ja jääkliikme summana. Kuidas käituvad diferentsiaal ja jääkliige argumendi muudu ∆x suhtes, kui ∆x läheneb nullile? (tõestada!). Loetleda diferentsiaali omadused. Funktsiooni muudu esitus: ∆y = f’(a)∆x + β , kus β = r(∆x)∆x Kuidas käituvad diferentsiaal ja jääkliige argumendi muudu ∆ x suhtes, kui ∆ x läheneb nullile? (tõestada!). funktsiooni muut ∆y koosneb kahest liidetavast, millest esimene on diferentsiaal dy = f’(a)∆x ja teine on β. Mõlemad liidetavad on lõpmatult kahanevad protsessis ∆x → 0. Võrdleme neid suurusi ∆x suhtes. Esiteks, eelduse f’(a) 0 põhjal saame lim dy ∆x= lim f’(a)/∆x* ∆x= lim f’(a) = f(a) 0. ∆x→0 ∆x→0 ∆x→0 Teiseks kehtib
23. Funktsiooni muudu esitus diferentsiaali ja jääkliikme summana. Kuidas käituvad diferentsiaal ja jääkliige argumendi muudu x suhtes, kui x läheneb nullile? (tõestada!). Loetleda diferentsiaali omadused. Funktsiooni muudu peaosa ja jääkliige. Olgu antud funktsioon, mis on diferentseeruv punktis a. Eeldame, et f(a)0 kasutades mõisteid: x = x - a - argumendi muut kohal a y = f(x) - f(a) - funktsiooni muut kohal a . Näitasime, et Seega kui tähistame ja f'(a) vahe järgmiselt : Kehtib võrdus Püüame avaldada funktsiooni muutu y argumendi muudu x kaudu. Selleks
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.8 L~opmatult kahanevate ja l~opmatult kasvavate suuruste v~ordlemine. 43 2.9 Funktsiooni pidevus. Katkevuspunktide liigitus. . . . . . . . . . . 45 ¨ 2.10 Uhepoolne pidevus. Pidevus hulkadel. Elementaarfunktsioonide pidevus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.11 L~oigul pidevate funktsioonide omadusi. . . . . . . . . . . . . . . . 52 3 Tuletis ja diferentsiaal 57 3.1 Tuletise, diferentseeruva funktsiooni ja diferentsiaali m~oisted. . . 57 3.2 N¨aiteid tuletiste kohta rakendustes. . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.3 Tuletiste arvutamise p~ohireeglid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.4 Ilmutamata funktsiooni, p¨o¨ordfunktsiooni ja parameetrilise funk- tsiooni diferentseerimine. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.8 L~opmatult kahanevate ja l~opmatult kasvavate suuruste v~ordlemine. 43 2.9 Funktsiooni pidevus. Katkevuspunktide liigitus. . . . . . . . . . . 45 ¨ 2.10 Uhepoolne pidevus. Pidevus hulkadel. Elementaarfunktsioonide pidevus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.11 L~oigul pidevate funktsioonide omadusi. . . . . . . . . . . . . . . . 52 3 Tuletis ja diferentsiaal 57 3.1 Tuletise, diferentseeruva funktsiooni ja diferentsiaali m~oisted. . . 57 3.2 N¨aiteid tuletiste kohta rakendustes. . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.3 Tuletiste arvutamise p~ohireeglid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.4 Ilmutamata funktsiooni, p¨o¨ordfunktsiooni ja parameetrilise funk- tsiooni diferentseerimine. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
kui 𝑥1 < 𝑥2 , 𝑠𝑖𝑖𝑠 𝑓(𝑥1 ) < 𝑓(𝑥2) Funktsioon f on piirkonnas X kahanev, kui selles piirkonnas igale suuremale argumendi väärtusele vastab väiksem funktsiooni väärtus, s.t. kui 𝑥1 < 𝑥2, 𝑠𝑖𝑖𝑠 𝑓(𝑥1 ) > 𝑓(𝑥2 ) Funktsioon f on piirkonnas X konstantne, kui selles piirkonnas igale suuremale argumendi väärtusele vastab võrdne funktsiooni väärtus, s.t. kui 𝑥1 < 𝑥2, 𝑠𝑖𝑖𝑠 𝑓(𝑥1) = 𝑓(𝑥2) Kui funktsiooni f(x) tuletis lõigu (a,b) ulatuses on negatiivne, so f’(x) < 0, siis f-n kahaneb selles vahemikus. Kui funktsiooni f(x) tuletis lõigu (a,b) ulatuses on positiivne, so f’(x) > 0, siis f-n kasvab selles vahemikus. 7. Liitfunktsioon. Näited. Võime saada uusi funktsioone ka mitme funktsiooni kompositsioonina. Liitfunktsiooni saame kahe või enama funktsiooni järjest rakendamisel. Näiteks kui 𝑦 = 𝑓(𝑢) = √𝑢 𝑗𝑎 𝑢 = 𝑔(𝑥) = 𝑥 2 + 1, siis y on funktsioon x-ist, st
annaabi.ee 
