1.Kordse integraali mõiste. Kahemuutuja funktsiooni integraalsumma ja kahekordse integraali definitsioonid. Kahekordse integraali geomeetriline sisu. Kahekordse integraali omadused. Kui eksisteerib , mis ei sõltu osapiirkondadeks Dj jaotamise viisist ega punktide Pj ϵ Dj valikust, siis seda piirväärtust nimetatakse funktsiooni f(x,y) kahekordseks integraaliks üle piirkonna D ja tähistatakse Olgu D kinnine tõkestatud piirkond ruumis R2. Olgu z = ƒ (x,y) piirkonnas D määratud pidev funktsioon. Jaotame piirkonna D n tükiks ∆S1,∆S2,…,∆Sn.Tähistagu ∆Si samaaegselt nii i- ndat tükki kui ka i-nda tüki pindala.Valime igalt tükilt ühe punkti P ja moodustame järgmise summa: Vn= ƒ (P1) ∆S1 + ƒ (P2) ∆S2+…+ ƒ (Pn) ∆Sn Seda summat Vn nim funktsiooni ƒ integraalsummaks piirkonnas D
Pideva mitmemuutuja Kui funktsiooni z=f(x,y) on diferentseeruv kohal (x,y), siis funktsioon f on pidev sellel kohal. funktsiooni definitsioon. Kahemuutuja funktsiooni pidevuse geomeetriline sisu. Funktsioon z=f(x,y) on diferentseeruv kohal (x,y) siis, kui funktsioonil z=f(x,y) on pidevad osatuletised fx ja fy kohal (x,y). Kui hulga Rn igale punktile P(x1, . . . , xn) on vastavusse seatud muutuja u R kindel väärtus, siis öeldakse, et hulgal on Kui funktsiooni f(x,y) osatuletised fx(x,y) ja fy(x,y) on diferentseeruvad kohal (x,y), siis fxy = fyx kohal (x,y). defineeritud n-muutuja (skalaarväärtusega) funktsioon. Suurust df:=fx(x,y)dx + fy(x,y)dy, kus dx:= x ja dy:= y, nimetatakse funktsiooni f(x,y) täisdiferentsiaaliks.
ruumala, mis pealt on piiratud funktsiooni z=f(x,y) graafikuga, alt funktsiooni z=g(x,y) graafikuga ja küljelt Definitsioon 2. Öeldakse, et kahe muutuja funktsioonil on punktis P2(x2, y2) lokaalne miinimum, kui sellel ∭∆ 𝑓(𝜌 𝑐𝑜𝑠𝜑, 𝜌 𝑠𝑖𝑛𝜑, 𝑧)𝜌 𝑑𝜑 𝑑𝜌𝑑𝑧 .Vaatleme üleminekut sfäärkoordinaatidele, kus teisendus on kujul
1) un > un+1 > 0 lim u ( n )=0 2) n , siis vahelduvate märkidega rida koondub Integraaltunnus Kui f on pidev monotoonselt kahanev funktsioon piirkonnas [a, ¿ ja un=f(n), siis positiivne rida u ( n) ja päratu integraal f ( x ) dx n=0 a koonduvad (hajuvad) samaaegselt Astmerida Astmereaks nimetatakse rida, mille liikmeteks on funktsioonid f n(x)=anxn, kujul a ( n ) ( x-c )n=a ( 0 ) + a ( 1 ) ( x-c)+a ( 2 ) (x-c)2+ ...+a ( m ) (x-c ) m+... n=0
.............21 Lähendite jada koondumine............................................................................................................21 31. Diferentseeruva funktsiooni kasvamis-, kahanemis-ja konstantsustingimused. ......................21 32. Funktsiooni ekstreemumite tarvilikud ja piisavad tingimused. ............................................... 22 33. Funktsiooni graafiku asümptoot, asümptootide liigid, teha selgitav joonis. ........................... 22 34. Määramata integraal, määramata integraali omadused, määramata integraali arvutusvõtted (ositi integreerimine ja asendusvõte). ............................................................................................23 35. Kirjeldada ratsionaalfunktsiooni integreerimist. ..................................................................... 23 36. Esimest ja teist liiki osamurrud. Tuletada valemid nende integreerimiseks. ...........................24 Osamurdude integreerimine................................
MATEMAATLINE ANALÜÜS II 1. KORDSED INTEGRAALID Kordame kõigepealt mõningaid teemasid Matemaatlise analüüsi I osast. 1.1 Kahe muutuja funktsioonid Kui Tasndi R 2 mingi piirkonna D igale punktile x, y D seatakse ühesel viisil vastavusse arv z, siis öeldakse, et piirkonnas D on määratud kahe muutuja funktsioon z f x, y . Piirkoda D nimetataksefunktsiooni f määramispiirkonnaks. See on mingi piirkond xy-tasandil. Näide 1. Poolsfääri z 1 x2 y 2 määramispiirkonnaks on ring x 2 y2 1. Funktsiooni z ln x y määramispiirkonnaks on pooltasand y x (sirgest y x ülespoole jääv tasandi osa: vaata joonist). Kahe muutja funktsioon ise esitab pinda xyz-ruumis (ruumis R 3 ). Näide 2
Kordamisküsimused 1. Funktsioon - Olgu X mingi reaalarvude hulk. Kui muutuja x igale väärtusele hulgas X vastab muutuja y üks kindel väärtus, siis öeldakse, et y on muutuja x funktsioon. Funktsiooni esitusviis: tabelina, graafikuna. Funktsiooni analüütiline esitusviis on ilmutatud, ilmutamata, parameerilisel kujul. 2. Funktsioonide liigitus (paaris- ja paaritud funktsioonid, perioodilised funktsioonid, monotoonsed funktsioonid, tõkestatud funktsioonid). Tuua näiteid. paarisfunktsioon - Funktsiooni y = f (x) nimetatakse paarisfunktsiooniks, kui f (-x) = f (x) Paarisfunktsiooni graafik on sümmeetriline y-telje suhtes
1. Kahe muutuja funktsioon ja selle osatuletise rakendused: ekstreemumi leidmine, pinna puutuvtasapind ja normaal, näiteid Kahe muutuja funktsioon esitab pinda xyz-ruumis R3. Piirkonna D (x,y)ЄD igale punktile vastab z=f(x,y). Piirkond D on funktsiooni f määramispiirkond. Osatuletiste rakendused: Ekstreemumi (min, max) leidmine. Punkt, kus osatuletis on 0, nim. kriitiliseks punktiks. P(xo,yo). Puutujatasandi võrrand: fx(x0,y0)x+fy(x0,y0)y-z+d=0. Punkt Q0(x0,y0,z0) kuulub puutujatasandile.Seal pt.s puutujatasandiga risti olev vektor n on pinna normaal pt.s Q0. 2
DV II teooriatöö kordamisküsimused 1. Kõrgemat järku harilik DV. Lahendi olemasolu, ühesuse tingimused, üldlahend, erilahend. V: Kõrgemat järku harilikud diferentsiaalvõrrandid: Üldkuju: F(x, y, y', y'', ..., y(n)) = 0, kus x on sõltumatu muutuja, y = y(x) on otsitav funktsioon ja y', ..., y (n) on otsitava funktsiooni tuletised. Normaalkuju: y(n) = f(x, y, y', ..., y(n-1)) (1) Eksaktne lahend: x0, y0, y01, ..., y0n-1, Algtingimused: nii mitu konstanti kui suur on DV järku konstant. {y(x0) = y0 {y'(x0) = y0(1)
.., Pn. Tähistame antud funktsiooni z=f(x,y) väärtusi valitud punktides sümbolitega f(P 1),...,f(Pn) ja moodustame korrutiste summa, mille liikmeteks on f(P1)s1: Summat nim. funktsiooni z=f(x,y) integraalsummaks üle piirkonna D. Kui piirkonna D igas punktis f0, siis saab iga liidetavat f(Pi)si geomeetriliselt tõlgendada väikese silindri ruumalana, kusjuures silindri põhjaks on si ja kõrguseks f(Pi). Summa Vn on nimetatud elementaarsete silindrite ruumalade summa, s.t. teatud ,,treppkeha" ruumala. Vaatleme funktsiooni z=f(x,y) integraalsummade suvalist jada Vn1, Vn2, Vn3,..., Vnn, mis on saadud antud piirkonna D jaotamisel osadeks si mitmel erineval viisil. Oletame, et osapiirkonna si maksimaalne läbimõõt läheneb nullule, kui nk. Siis ositab õigeks järgmine väide:
Kordamine eksamiks aines matemaatiline analüüs II (2004/2005 õa kevad) §1. MITME MUUTUJA FUNKTSIOONID 1. Ruum R m , hulgad selles ruumis Def. Kõigi m reaalarvust koosnevate järjestatud süsteemide P = ( x1 ,..., x m ) hulka nimetatakse m-mõõtmeliseks ruumiks. Def. Kui m-mõõtmelises ruumis defineeritakse süsteemide P = ( x1 ,..., x m ) ja Q = ( y1 ,..., y m ) m vaheline kaugus d (P, Q ) valemiga d (P, Q ) = (x - y i ) , siis nimetatakse seda ruumi
Definitsioon: Kõvera käänupunktiks nimetatakse punkti, millest ühel pool on joon rangelt kumer, ja teiselt poolt rangelt nõgus. Leidmine: 1) kui teine tuletis on väiksem nullist piirkonnas X, siis joon on kumer selles piirkonnas 2)kui teine tulestis on suurem nullist piikronnas X, siis joon on nõgus selles piirkonnas 3)käänupunkt on kohas, kus kumerus läheb üle nõgususeks või vastupidi 24. Algfunktsioon ja määramata integraal (definitsioonid). Näiteid. Teoreemid algfunktsiooni kohta. Definitsioon: funktsioon F(x) nimetatakse funktsiooni f(x) algfunktsiooniks piirkonnas X, kui F’(x)=f(x) piirkonnas X Teoreem: Kui F(x) on funktsiooni f(x) algfunktsioon, s.t F’(x)=f(x), siis seda on ka iga funktsioon F(x)+C, kus C on konstant Definitsioon: Avaldsit F(x)+C, kus F(x) on funktsiooni f(x) mingi algfunktsioon ja C suvaline konstant, nimetatakse funktsiooni f(x)
n=1: R1={P(x1) | x1 R} geom. sirge n=2: R2={P(x1,x2) | x1,x2 R} geom. tasand n=3: R3={P(x1,x2,x3) | x1,x2,x3 R} geom. ruum Punkt A on piirkonna D sisepunkt, sel korral kui tal leidub ümbrus, mis sisaldub piirkonnas D. Punkt A on piirkonna D rajapunkt sel korral kui iga tema ümbrus sisaldab nii piirkonna D kui ka piirkonda mittekuuluvaid punkte. Piirkond D on lahtine, kui ta koosneb sisepunktidest. Piirkond D on kinnine, kui ta koosneb nii sise- kui ka rajapunktidest. Mitme muutuja funktsiooni mõiste Def: nMF f:RnR:P(x1,...,xn) Rn a w=f(P) f(x1,...,xn) R Kujutlus, mis seab n-mõõtmelise ruumi punktidele P vastavusse lõpliku reaalarvu w=f(P), nim n- muutuja funktsiooniks. Geom hüperpind n+1-mõõtmelises ruumis. Füüsikaliselt on nMF skalaarväli. Def: funktsiooni w=f(P), P Rn MP-ks nim nende punktide hulka, mille puhul funktsiooni väärtus on lõplik. MP={P(x1,...,xn) Rn | w=f(P) f(x1,...,xn) < } Rn
1.Diferentsiaalvõrrandi mõiste DV nim võrrandit, mis seob sõltumatut muutujat x, otsitavat funktsiooni y=f(x) ja selle tuletisi y', y'',...yn HDV üldkuju: F(x,y,y')=0 ; x-sõltumatu muutuja, y=y(x) otsitav f ja y'=dy/dx otsitava f-i tuletis. Esimest järku HDV normaalkuju: y'=f(x.y) (edasi sama mis üldkujul). Esimest järku HDV sümmeetriline kuju: M(x,y)dx + N(x,y)dy=0. Cauchy ülesanne: {y'=f(x,y) {y(Xo)=Yo * esimest järku HDV jaoks f(x,y) on pidev piirkonnas D=> eksisteerib (Xo; Yo). Kui y=y(x) on teada, siis y'(x) = f(x, y(x)) iga xD korral ; y'(Xo)=f(Xo,y(Xo)) ; y'(Xo)=f(Xo,Yo) ; tan=y'(Xo)=f(Xo;Yo) 2.I järku DV lahend: DV
Matemaatiline analüüs I Eksamiteemad 1. Muutuvad suurused: Muutuja x on argument ehk sõltumatu muutuja. Muutuja y on sõltuv muutuja. 2. Funktsioon- Muutuvat suurust y nimetatakse muutuva suuruse x funktsiooniks, kui mingi eeskirjaga on suuruse x igale väärtusele seatud vastavusse suuruse y üks väärtus Tähistused: y=f(x); y=g(x); y=H(x) Näited: s(t)=3-0,5gt²( s- kaugus maapinnast langemisel; g- raskuskiirendus) Funktsiooni esitlusviis: a. Piltlik- d. Nooldiagrammine- b
Kordamisküsimused matemaatilise analüüsi (II) II osaeksamiks 2013 1. Kahekordne integraal (integraalsumma, kahekordse integraali definitsioon, kahekordse integraali omadused (vastavad teoreemid tõestuseta)). n Moodustame summa: Vn = f ( P1 )s1 + f ( P2 )s 2 + ... + f ( Pn )s n = f ( Pi )s i i =1 Seda summat nimetatakse funktsiooni f(x,y) integraalsummaks üle piirkonna D. Teoreem 1
..,xm), määramispiirkonnaga D, graafikuks nimetatakse järgmist ruumi Rm+1 alamhulka ={(x1,x2,...,xm,f(x1,x2,...,xm))||P(x1,x2,...,xm)D} 2. Nivoojooned ja pinnad Kahemuutuja funktsiooni z=f(x,y) nivoojooneks nimetatakse joont, mille moodustavad piirkonna D punktid (x,y) mille korral f(x,y)=C, kus C on etteantud konstant Skalaarvälja f ehk funktsiooni f nivoopinnaks nimetatakse pinda, mis koosneb piirkonna D punktidest (x,y,z) mille korral f(x,y,z)=C, kus C on etteantud konstant. 3. Mitme muutuja funktsiooni piirväärtus ja pidevus Mitmemuutuja funktsiooni piirväärtus m-muutuja funktsioonil f on piirväärtus b punktis A kui suvalises piirprotsessis PA, mis rahuldab tingimust PA, funktsiooni väärtus f(P) läheneb arvule b Mitmemuutuja funktsiooni pidevus Olgu antud mitmemuutuja funktsioon z=f(P) määramispiirkonnaga D. Funktsiooni f nimetatakse pidevaks punktis A kui AD; eksisteerib piirväärtus lim f ( P ) ; lim f ( P ) = f ( A) PA PA
. . . . . . . . . . 62 6.3 Funktsiooni kasvamine ja kahanemine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 6.4 Funktsiooni ekstreemumid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 6.5 Funktsiooni kumerus ja nõgusus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 6.6 Funktsiooni graafiku joonestamine * . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 7 Algfunktsioon ja määramata integraal 69 7.1 Sissejuhatus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 7.2 Algfunktsioon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 7.3 Määramata integraal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 7.4 Integraal põhilistest elementaarfunktsioonidest . . . . . . . . . . .
f * ( P)dS = dx f * ( P)dy = osahulk ning Pi punkt, kusjuures PiSi. osapiirkondadeks. Olgu Sk võrratustega xi-1xxi+1 ja yj-1yyj+1 m d Eeldame, et f(x,y)0. Moodustame silindri Zi, mille põhjaks on Si ja määratud. Olgu Sk ühtlasi ka tüki Sk pindala. Tähistame xi=xi-xi-1 ja
IntegraalsummaVn on järelikult silindrite ühendi Z=Z1 U Z2 U...U Zn ruumala. Silindrite ühend Z on treppkeha, mille ülemine pind on tükiti tasapinnalineomades hüppeid erinevate kõrgustega naaber silindrite liitekohtades. 2. Kahekordse integraali mõiste ja geomeetriline sisu. · Kui on pidev piirkonnas D, siiis on integraalsummal V n taolises piirprotsessis lõplik väärtus. Seda piirväärtust nim funktsiooni kahekordseks integraaliks piirkonnas D ja tähistatakse (x,y)dxdy · Olgu (x,y)0. Vaatleme keha Q, mis on ülalt piiratud pinnaga z = (x,y) alt tasandiga z = 0 ja küljelt silindriga, mille moodustajad on paralleelsed z-teljega ja juhtjooneks piirkonna D rajajoon. Saadud treppkeha Z ruumala läheneb keha Q ruumalale, kui piirkonna D tükeldus muutub järjest peenemaks, st n 0. Eelnevalt nägime, et treppkeha Z ruumala on võrdne integraalsummaga Vn
1 ÜHE MUUTUJA FUNKTSIOON. TEMA MÄÄRAMISPIIRKOND DEFINITSIOON 1. Kui muutuja x igale väärtusele hulgast X on mingi eeskirja f abil vastavusse seatud lõplik reaalarv y, siis öeldakse, et hulgal X on määratud FUNKTSIOON ja seda tähistatakse y = f(x). DEFINITSIOON 2. Muutuja x väärtuste hulka, mille puhul f(x) väärtus on lõplik, nimetatakse funktsiooni y = f(x) MÄÄRAMISPIIRKONNAKS. X = { x R; f(x) väärtus on lõplik}. PÕHILISED ELEMENTAARFUNKTSIOONID: 1. Astmefunktsioonid: y = x , Q; 2. Eksponentfunktsioonid: y = ax, a > 0, a 1; 3. Logaritmfunktsioonid: y = loga x, a > 0, a 1; 4. Trigonomeetrilised funktsioonid: y = sin x, y = cos x, y = tan x, y = cot x; 5. Arkusfunktsioonid: y = arcsin x, y = arccos x,
aga q(x) ei=0, siis tuleb LmitteHDv Bernoulli võrrand y`+p(x)y=q(x)ya kus (- , ) . Kui = 0 või = 1 , siis on tegi L võrrandiga. Seega eeldame et 0, 1 Toome ya sulgude ette, siis - 1- y y y `+ p( x ) y - f ( x) = 0 ning , kui a>0, siis y=0 on üheks lahendiks. Kui teeme sulus muutujavahetuse z=y1-a ja saame z-i suhtes lineaarse võrrandi z`+(1+a)p(x)z=(1-a)f(x) Riccat- võrrand y`+p(x)y+q(x)y2=r(x) Saame lahendada, kui teada üks konkreetne lahend y* sellisel juhul saab asendusega u=y-y*. Riccat võrrand teisendada Bernoulli võrrandiks. Eksaktne DV M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 nim. Eksaktseks e. täisD-ga võrrandiks, kui leidub f-n u=u(x,y) nii, et täisD on kujul du(x,y)=M(x,y)dx+N(x,y)dy st. u ( x, y ) u ( x, y) = M ( x, y ) = N ( x, y) x , y Eksaktse DV lahendamine taandub sobival kujul f-i u määramisele
x f X= 2 , F= 2 . ... ... x f n n Kui m < n , siis on alamääratud süsteem, osa tundmatuid jääb määramata, kui m > n , siis on ülemääratud süsteem, lahend võib üldse puududa, kui m = n , siis on üks lahend kui det A 0 . Homogeense võrrandsüsteemi vabaliige on null ehk AX = 0 . Homogeensel võrrandsüsteemil esineb alati triviaalne lahend X = 0 . Homogeensel võrrandsüsteemil on m = n korral mittetriviaalsed lahendid ainult juhul, kui det A = 0 . Kui homogeensel võrrandsüsteemil on üheks mittetriviaalseks lahendiks x1 bx1
30. L'Hospitali reegel 31. L'Hospitali reegel teistel m¨aa¨ramatuse juhtudel 32. Taylori valem 33. Funktsioonide ex , sin x ja cos x arendid Maclaurini valemi j¨argi 34. Funktsiooni kasvamine ja kahanemine 35. Funktsiooni lokaalsed ekstreemumid 36. Funktsiooni suurim ja v¨ahim v¨a¨artus antud l~oigul 37. Funktsiooni graafiku kumerus ja n~ogusus. K¨aa¨nupunktid 38. Funktsiooni graafiku as¨ umptoodid 39. Algfunktsioon ja m¨aa¨ramata integraal 40. Integraalide tabel 2 41. M¨aa¨ramata integraali omadusi 42. Integreerimine muutuja vahetusega 43. Ositi integreerimine 44. Osamurrud ja nende integreerimine 45. Ratsionaalse murru lahutamine osamurdudeks 46. M~onede trigonomeetriliste funktsioonide klasside integreerimine 47. Irratsionaalavaldiste integreerimine 48. M¨aa¨ratud integraali m~oiste 49. M¨aa¨ratud integraali omadused 50. M¨aa¨ratud integraali arvutamine
1. Kõrgemat järku harilik DV. Lahendi olemasolu, ühesuse tingimused, üldlahend, erilahend. Kõrgemat jär harilikud dvid: Üldkuju: F(x, y, y', y'', ..., y (n)) = 0 (1), kus x on sõltumatu muutuja, y = y(x) on otsitav funktsioon ja y', ..., y (n) on otsitava funktsiooni tuletised. Normaalkuju: y(n) = f(x, y, y', ..., y (n-1))(2) (( F(x,y, y')=0 (1) ja y' =f(x;y) (2))) Eksaktne lahend: x0, y0, y01, ..., y0n-1, Algtingimused: nii mitu konstanti kui suur on DV järku konstant. ***{y(x0) = y0 {y'(x0) = y0(1) {... {y(n-1)(x0) = y0(n-1) ***Lahendi olemasolu : kõrgemat järku DV lahend funktsioon, mille asendamisel võrrandisse saame samasuse F(x, y(x), y'(x), y''(x), ..., y(n)) 0 x. Peano teoreem e. olemasolu teoreem: olgu funktsioon f pidev muutujate x, y, y', y'', ..., y(n-1) piirkonnas D, siis iga punkt (x0, y0, y0(n-1) ) D korral on
Teises etapis tehakse kindlaks kas süsteem on lahenduv või mitte. Kui astmelisele kujule
viidud laiendatud maatriksis leidub rida, kus ainsaks nullist erinevaks elemendiks on vabaliige,
siis on süsteem vastuoluline. Kui sellist rida ei ole, on süsteem lahenduv. Kui lahenduvas
süsteemis on n tundmatut ja astmelisele kujule viidud maatriksis on k juhtelementi siis juhul
n=k on süsteemil ainult üks lahend, juhul k
n Kõrgemat järku harilik DV-Üldkuju(F,x,y,y’,y’’,.., y ),kus x-sõltumatu muutuja,y=y(x) otsitav funkt ja y’.. ' n x , y , y , .. y on otsitava fun tuletised.Lahendiks y=y(x)>y=y(x,C1,C2,..,Cn). Normkuju: y =f ¿ ,
Funktsiooni y = f ( x ) , x X võib alati esitada parameetrilised kujul, näiteks: t T = X y = f (t) Vastupidine esitus, s.o. üleminek parameetriliselt kujult ilmutatud kujule ei ole alati teostatav. 5. Esitus ilmutamata kujul, s.o. võrrandi F ( x, y ) = 0 abil. Liitfunktsioon - kui y=f(u), kus u=g(x), siis öeldakse, et y on muutuja x suhtes liitfunktsioon ja kirjutatakse y=f[g(x)] Pöördfunktsioon Paaris- ja paaritudfunktsioonid : *paaris kui iga x X korral on f(-x)=f(x), siis nimetatakse funktsiooni f paarisfunktsiooniks piirkonnas X *paaritu kui iga x X korral on f(-x)=-f(x), siis nimetatakse funktsiooni f paarituks funktsiooniks piirkonnas X Perioodiline funktsioon funktsiooni f nimetatakse perioodiliseks piirkonnas X ja arvu 0 tema perioodiks, kui f ( x + ) = f ( x ) iga x X korral.
1. Kahje muutuja funktsioonid(definitsioon, määramis- ja muutumispiirkonna definitsioon ja tähistused, näited, esitusviisid, ilmutamata kujul esituse definitsioon, graafik ja graafiku näiteid) DEF: Kahe muutuja funktsioon f on kujutus, mis seab igale arvupaarile (x,y) ∈ D vastavusse ühe reaalarvu z= f ( x , y ) Nende punktide (x,y) hulka D, mille puhul funktsiooni väärtus on lõplik, nimetatakse selle funktsiooni määramispiirkonnaks. Funktsiooni väärtuste z hulka Z nimetatakse funktsiooni muutumispiirkonnaks. Esitusviis : z=f (x , y ) z- sõltuv muutja, (x,y)- sõltumatud
Paaridf-n *Def. Y=f(x) on paarisf-n juhul kui f(-x)=f(x) x MP graafik sum y telje suhtes, Nt y=x 2 =(-x)2 3. Paaritu f- n- sel korral paaritu kui f(-x)= -f(x), x MP, graafik sümm 0-punkti suhtes 4.Perioodiline f-n-parajasti siis, kui leidub niisugune reaalarv t, et tekib võrdsus iga MP punkti puhul. Märkus: kui f-n perioodiline=> t on lõpmata palju=> min t =T periood=> näit ting f-nil t>0 4. Liitfunktsioon Funkts, mille argumendiks ei ole sõltumatu muutuja, vaid tema mingi funktsioon, nim liitfunkt-niks sõltumatu muutuja suhtes y=f(u) u=u(x), Märkus: sisalduvus võib olla mitmekordne 5. Põhilised elementaarfunkts. 1)astmefunkts y=xa; a IR (nii murrulised, kui negatiivsed) 2)eksponentf-n y=ax, a 1, astmef-ni puhul on muutuja konstantses astmes , eksponentf-ni puhul on muutuja muutuvas astmes 3)logaritmf-n y=log ax, a>0, a 1 4)trig. F- nid y=sinx; cosx;tanx;cotx 5)arkus f-nid y=arcsinx;... NB 2ja 3 ning 4 ja 5 on pöördf-nid
· Algebralised funktsioonid on funktsioonid, mis saadakse lõpliku arvu algebraliste tehte rakendamise teel. a. Täisratsionaalsed funktsioonid ehk astmefunktsioonid b. Murdratsionaalsed funktsioonid ehk kahe täisratsionaalse funktsiooni jagatis c. Irratsionaalsed funktsioonid ( sisaldavad lisaks eelnevale veel juurimist) d. Mittealgebralised funktsioonid Liitfunktsioon- on funktsioon, kus sõltuv muutuja y sõltub argumendist x mitme funktsiooni vaheldusel. Kui y=f(z) ja z=g(x) , seega saame liitfunktsiooni y=f(g(x)) . Liitfunktsioonil võib olla ka enam kui kaks koostisosa ja seega enam kui üks vahepealne muutuja. Pöördfunktsioon- pöördfunktsiooni saame, kui võtame algse funktsiooni , avaldame sealt x ja seejärel vahetame x ja y ära. Näiteks : y=2x ; x=0,5y ; y=0,5x , seega y=2x pöördfunktsioon on y=0,5x. Funktsiooni y = f(x) pöördfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni y =( x )
"Matemaatiline analüüs I" Funktsioon Funktsioon- Kui muutja x igale väärtusele piirkonnas X vastab muutuja y kindel väärtus, siis öeldakse, et y on muutuja x funktsioon piirkonnas X. Sõltumatu muutuja on x, sõltuv y Funktsiooni määramispiirkond-Funktsiooni y määramispiirkonnaks nimetakse argumendi x muutumispiirkonda. Funktsioonide liigid- 1. Paaris funktsioon-rahuldab tingimust f(x)=f(-x) ja see on sümmeetriline y-telje suhtes. (Nt:y=x2) 2.Paaritu funktsioon-rahuldab tingimust f(-x)=-f(x) ja see on sümmetrialine 0 punkti suhtes. (y=sinx) 3.Perioodilised funktsioonid- rahuldab tingimust f(x+T)=f(x), T on periood. 4
ühele reale (võrrandile) mingi nullist erineva arvuga korrutatud sama maatriksi mõne teise rea (võrrandi) liitmine/lahutamine Süsteemi laiendatud maatriks tuleb teisendada astmelisele kujule (treppkujule), mille abil saab otsustada süsteemi lahendavuse ja lahendite arvu üle ning leida ka kõik esialgse süsteemi lahendid. tegemist on lahenduva võrrandisüsteemiga, kui leidub vähemalt üks lahend. seejuures lahendeid on kas üks või lõpmata palju. (homogeenne kõik vabaliikmed nullid süsteem on alati lahenduv). tegemist on määratud võrrandisüsteemiga, kui lahendeid on üks. tegemist on mittelahenduva e vasturääkiva võrrandisüsteemiga, kui lahendid puuduvad. Lahendite arv: lahendid puuduvad, kui maatriksi reas ainsaks nullist erinevaks arvuks on vabaliige kui lahenduvas süsteemi tundmatud on n ja astmelisele kujule viidud maatriksi
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
