Eksamitöö näidisvariant: Firma toodab arvutitele riistvaralisi komplekte. Ettevõtte käsutuses on tootmishoone, soetusmaksumusega 5 000 000 krooni ning mida äriplaanist lähtudes plaanitakse kasutada 10 aastat, arvestades kulumit lineaarse meetodi alusel. Tootmishoones on tootmisseade soetusmaksumusega 1 000 000 krooni, mille elueaks on planeeritud 4 aastat ja mille kulumit arvestatakse samuti lineaarselt. Ühe komplekti valmistamiseks kulutatakse põhimaterjale 100 krooni eest, töötasu 50 krooni ja muud otsekulud on 25 krooni. Tootmise muud üldkulud (va kulum) on 600 000 krooni aastas. Ettevõtte üldhalduskulud on 300 000 krooni aastas, mis sisaldavad ruumide renti ja kommunaalkulusid, kontorikulusid jms. Ettevõttel on palgatud juht töötasuga 30 000 krooni kuus, sekretär 9 000 krooni kuus, müügijuht 20 000 krooni kuus. Reklaamile ja turundusele kulutatakse 100 000 krooni aastas
a 2+ …+0 ⃗ Mittetriviaalne – kui lineaarkombinatsiooni kordajate seas leidub väheb üks nullis erinev kordaja. LINEAARNE SÕLTUVUS JA LINEAARNE SÕLTUMATUS DEF1: Vektorite süsteem a1 , ⃗ ⃗ a2 , … ,⃗ ak on lineaarselt sõltuv, kui leidub vektoritest moodustatud mittetriviaalne lineaarkombinatsioon, mis on võrdne nullvektoriga. DEF2: Vektorite süsteem a1 , ⃗ ⃗ a2 , … ,⃗ ak on lineaarselt sõltumatu, kui vektoritest moodustatud lineaarkombinatsioon on võrdne nullvektoriga ainult siis, kui see kombinatsioon
Ja millest kõigi algtingimuste Jaoks võib sobivalt valida C1 ja C2 abil leida erilahendi, mis rahuldab ka antud tingimusi. Olgu mittehomogeense võrrandi erilahend. Võttes , saame, et Olgu , siis saame algtingimusteks. Eelduse kohaselt saab määrata üldlahendis konstandid C1 ja C2 nii, et oleks täidetud ka need algtingimused ja . 14. Funktsioonide lineaarne sõltumatus. Wronski determinant ja selle omadused. Def 14.1 Funktsioonid on lineaarselt sõltumatud kui leiduvad sellised kordajad , mis ei ole üheaegselt nullid, et kehtib võrdus (14.1) Need funktsioonid on lineaarselt sõltumatud kui võrdus (14.1) on võimalik vaid nulliliste kordajatega. Kahe funktsiooni korral saame põhivõrduseks (14.1)' Kui ja on lineaarselt sõltuvad, siis peab üks kordajatest olema nullist erinev. Olgu siis leiame, et (14.2) Või Seega kui kaks funktsiooni on lineaarselt sõltuvad, siis nad on võrdelised või nende suhe on konstantne.
aijT AT aij A Maatriksi transponeerimisel vahetatakse maatriksi read ja veerud omavahel ära V = ( A1 ;...; Ak ) R m×n Lineaarne kombinatsioon 1 A1 + ... + k Ak Sama dimensiooniga maatriksite (vektorite) hulga lineaarne kombinatsioon saadakse iga maatriksi (vektori) korrutamisel mingi arvuga ja korrutiste liitmisel 1 ;...; k R Lineaarse kombinatsiooni kordajad Lineaarne sõltumatus 1 A1 + ... + k Ak i 0 A1 + ... + 0 Ak = k lineaarselt sõltumatu mitte nullmaatriksi (vektori) lineaarne kombinatsioon saab võrduda nullmaatriksiga (nullvektoriga) ainult siis, kui kõik lineaarse kombinatsiooni kordajad võrduvad nulliga kui siis 1 A2 = - A1 - 3 A3 ... - k Ak 2 2 2 k lineaarselt sõltuva mitte nullmaatriksi (vektori) lineaarne kombinatsioon saab võrduda null-maatriksiga (nullvektoriga) ka lineaarse kombinatsiooni nullist erinevate kordajate korral, st
Om8 Kui determinandi mingi rea/veeru kõik elemendid on nullid, siis võrdub determinant nulliga. Om9 Kui determinandis kõik allpool/ülal peadiagonaali paiknevad elemendid on nullid, siis võrdub determinandi väärtus tema peadiagonaali elementide korrutisega ehk pealiikmega. Om10 Determinandi väärtus võrdub nulliga parajasti siis ( siis ja ainult siis), kui selle determinandi ridade/veergude hulk on lineaarselt sõltuv. Ridade ja veergude lineaarne sõltuvus on tarvilik ja piisav tingimus selleks, et determinandi väärtus oleks samane nulliga. Crameri peajuhtum Determinandi abiga saab lahendada l.v.s, kus tundmatuid ja võrrandeid on sama palju. · Moodustame tundmatute ees olevatest kordajatest n- järku determinandi. · D 0, siis räägitakse Crameri peajuhtumist. · Crameri peajuhul on l.v.s üheselt määratud lahend, mis avaldub valemiga xn = Dn/D
assotsatiivsus: sulge võib vabalt ümber paigutada; nullvektori omadus a+0=a. Vektorite korrutamine arvuga vektori korrutamisel saadakse esialgsega kollineaarne vektor, muutuda võivad pikkus ja suund. Korrutamise omadused: assotsiatiivsus arvuga korrutamise suhtes; distributiivsus arvude liitmise suhtes; distributiivsus vektorite liitmise suhtes; arvu üks omadus 1*a=a. 3)Vektorite lineaarne sõltuvus ja sõltumatus. Vektoreid 1; 2;...n nimetatakse lineaarselt sõltuvaiks, kui leiduvad arvud a1; a2;...an, mis ei ole korraga nullid ning mille puhul kehtib seos (lineaarne kombinatsioon) 1a1 + 2a2+...+nan=0 . Kui kõik kordajad on nullid on süsteem lineaarselt sõltumatu. 4)Vektorruum ja tema baas. Vektori koordinaadid antud baasi suhtes. Vektorruumi baas on tema max lineaarselt sõltumatute vektorite hulk/süsteem. Mistahes vektori lisamisel muutub süsteem lineaarselt sõltuvaks. Me võime avaldada lisatud vektori baasi elementide kaudu
Katse juuksekarva läbimõõdu leidmiseks.
Uurime esimest maksimumi.
85. Tuletage kiire 1 ja 2 optilise käiguvahe avaldis maksimumi ja
miinimumi jaoks.
1 ja 2 interfereeruvad.
Leiame optilise käiguvahe joonel AB.
On
peegeldumisel tekkiv poollaine kaotus või võit
ülemiselt või alumiselt pinnalt. "+" tuleb siis, kui n>n0
"-" tuleb siis, kui n
3. V = Kmxn - maatriks 4. V = {} - nullruum 5. V = C[a;b] - kõigi lõigul [a;b] pidevate funktsioonide hulk; C R K 6. Ax = b - lineaarne võrrandisüsteem, kui b = 17. Vektorite lineaarne kombinatsioon. Vektorite lineaarse sõltuvuse mõiste. Näiteid. V - vektorruum üle korpuse K; 1, ..., m V Vektorite 1, ..., m V lineaarseks kombinatsiooniks nimetatakse iga vektorit V, mis avaldub kujul = c11 + c22 + ... + cmm, kus c1, ..., cm K. Öeldakse, et vektorid 1, ..., m on lineaarselt sõltumatud, kui ükski neist ei avaldu ülejäänud m-1 vektori lineaarse kombinatsioonina. Vastasel juhul nimetatakse neid vektoreid lineaarselt sõltuvateks. Lõpmatut vektorite hulka W (V) nimetatakse lineaarselt sõltumatute vektorite hulgaks, kui tema iga lõplik alamhulk on lineaarselt sõltumatute vektorite hulk Vektorid 1, ..., m on lineaarselt sõltumatud parajasti siis, kui c11 + c22 + ... + cmm = => c1, c2, ..., cm = 0 Näiteid: 1
järjekorras. Aritmeetiliste vektorite = (a1 ; a 2;... a n ) ja = (b1 ; b2;...bn ) summaks nimetatakse aritmeetilist vektorit + = (a1 + b1 ; a2 + b2 ;...; an + bn ; ) , korrutiseks vektori = (a1 ; a2 ;...; an ) ca = (ca1 ; ca2 ;...; can ; ) . Vektorite skalaarkorrutiseks nimetatakse arvu n = ai bi =a1b1 + a2 b2 + ....an bn . i =1 5. Vektorruumi definitsioon. Vektorite lineaarne kombinatsioon (näide geomeetriliste vektorite kohta). Lineaarselt sõltumatud ja sõltuvad vektorid. Kollineaarsed vektorid. Mittetühja hulka V nimetatakse vektorruumiks, kui temas on antud kaks tehet liitmine (igale kahele elemendile , V on vastavusse pandud parajasti üks element + V ) ja skalaariga korrutamine (igale arvule a ja hulga V elemendile on vastavusse pandud parajasti üks element a V ) nii, et on täidetud lineaarsete tehete 8 omadust. 1. Olgu V kõigi geomeetriliste vektorite hulk tasandil ning ja suvalised
= a+ b+ a- b=a 11 11 11 11 Teise v~orrandiga kontrollitakse lahendit analoogiliselt. 4 Lineaarne s~ oltuvus 4.1 Lineaarkombinatsioonid Vektorite v1 , . . . , vn V lineaarkombinatsiooniks (LK-ks) korda- jatega 1 , . . . , n K nimetatakse avaldist (vektorit) 1 a 1 + · · · + n a n V Selle vektori kohta ¨oeldakse ka, et ta avaldub lineaarselt vektorite v1 , . . . , vn kaudu. Lineaarkombinatsiooni nimetatakse triviaalseks, kui k~oik tema kordajad on nullid. Lineaarkombinatsiooni nimetatakse mittetri- viaalseks, kui tal leidub v¨ahemalt u¨ks nullist erinev kordaja. N¨ aide 1) 1a, 1o, 1o + 0a on mittetriviaalsed LK-d, 2) 0a ja 0o on triviaalsed LK-d. 4.2 Lineaarne s~ oltuvus ja s~ oltumatus Vektoris¨ usteemi (VS-i) {v1 , . .
600 500 1,28 900 900 2 1200 1200 2,72 1500 1500 2,7 1800 1800 2,14 2100 1900 1,62 2400 1960 1,6 2700 1500 0,78 3000 700 0,66 Koostasime mõõtetulemuste põhjal ASK graafiku 2. Kontrollisime saadud tulemust lineaarselt muutuva sagedusega signaali abil (Sweep). Spektri jälgimiseks oli ostsilloskoop spektrianalüsaatori reziimis. Paistab küll sama kujuga. 3. Võtsime punkthaaval üles raadiotrakti amplituudkarakteristiku. Uvälj= f(Usis). Saadetavat signaali muutsime 100 mV sammuga vahemikus 100 mVpp 1 Vpp . Koostasime mõõtetulemuste põhjal amplituudkarakteristiku tabeli ja graafiku. U välj [mV] U sis [V] 100 3,4 200 5,6 300 8,4 400 10,6
Seega paindemomendi teine tuletis tala ristlõike abtsissi järgi on võrdne lauskoormusega: d 2 M dQ = = q. dz 2 dz PÕIKJÕU JA PAINDEMOMENDI EPÜÜRIDE EHITAMISE REEGLID 1. Lõigul, kus puudub lauskoormus (q=0) - põikjõud on konstantne, tähises on vahekriips vahel (QA-C); - paindemoment muutub lineaarselt (tan = Q). 2. Lõigul, kus mõjub lauskoormus - põikjõud muutub lineaarselt (tan = q), tähises vahekriips puudub, (QAC); - paindemoment on kirjeldatud ruutvõrrandiga. 3. Ristlõikes, kus on rakendatud põikjõud F - Q-epüüril on aste, mis on võrdne jõu F väärtusega; - M-epüüril on samas kohas murdekoht. 4. Ristlõikes, kus on rakendatud koondatud moment M - M-epüüril on aste, mis on võrdne paindemomendi M väärtusega;
0.16 0.137254902 0.115384615 0.115384615 0.094339623 R/r, Ω N1=f(R/r) η=f(R/r) Graafik 2. Järeldus Antud töös läbi viidud arvutuskäikudest saadud kasuteguri ja kasuliku võimsusega leitud graafikutest näeme, et kasutegur on lineaarses sõltuvuses voolutugevusega. Võin eeldada, et kui mõõdetud tulemusi oleks olnud rohkem, siis oleks kasutegur siiski lineaarselt sõltuv voolutugevusest I . Kuna mõõdetud tulemusi ei ole piisavalt, siis ei tea me täpselt, mis juhtub kasuliku võimsuse graafikuga, kui voolutugevus on väikesem. Teiselt graafikult (graafik 2.) võime samuti eeldada, et me ei tea täpset graafiku kuju kasulikule võimsusele, kuid see võib sõltuda takistuste suhtest lineaarselt. Sama võime eeldada kasutegurist. Kokkuvõttes arvestades andmete hulka võime ning vaadates graafikuid, võime öelda, et
i väljundping Vastuvõtja sisendi pinge e Uef(mV) Upp (mV) 100 29 ±0,3 200 54,5 ±0,3 300 73,5 ±0,2 400 85,7 ±0,3 500 89,8 ±0,3 600 90,8 ±0,2 700 91,8 ±0,3 800 92,4 ±0,1 900 92,5 ±0,1 1000 92,7 ±0,3 Joonis 4. Sisendpinge sõltuvus generaatori väljundpingest 5. Lineaarselt kasvava amplituudiga signaaliga saadud amplituudkarakteristik Joonsi 5. Lineaarselt kasvava amplituudiga signaaliga saadud amplituudkarakteristik 6. ML-moonutuste tegurid Generaatori väljundpinge sagedus 1 kHz , Upp = 200mV u1=152mV u2=0,75mV u3=0,23mV Generaatori väljundpinge sagedus 1 kHz , Upp = 200mV u1=390mV u2=4,8mV u3=7,31mV 7. Leitud dünaamiline diapasoon. U Mõõdame asja üle. 8. Järeldused punkti 7. Kohta (juhendis punkt 6). Joonis 6
Omadus3:Olgu f=f1+f2.Kui y1 on võrrandi Ly=f1 la-hend ja y2 on võrrandi Ly=f 2 lahend, siis y=y1+y2 on võrrandi Ly=f lahend.Tõestus: Ly=L(y1+y2)=Ly1+Ly2=f1+f2=f.Omadus4:Olgu y=u+iv võrrandi(1h) lahendiks,siis on ka u ja v võrrandi(1 h) lahenditeks.Tõestus:L(u+iv)≡0,siis L(u+iv)=Lu+L(iv)=Lu+iLv ≡0;Lu+iLv;i=√-1≠0. Fn-de lineaarne sõltuvus ja sõltumatus.Olgu meil antud fn-d y1(x),y2(x),...,yn(x), xє(a;b).Def:fn-e y1(x),...yn(x) nim lineaarselt sõltuvaks vahemikus (a;b),kui leiduvad kordajad α 1,α2,...,αn(α1+α2+...+αn≠0) nii,et α1y1(x)+α2y2(x) +...+ αnyn (x)=0 Ɐxϵ(a;b).(*)Kui seos (*) kehtib siis ja ainult siis,kui kõik kordajad α 1=α2=...=αn= 0, nim fn-e y1(x),y2(x),...,yn(x) lineaarselt sõltumatuteks.Nt.1)Vaatame y1=1,y2=sin2x, y3=cos2x vahemikus (a;b).Valime α1=y- 1,α2=α3=1,siis α1y1+α2y2+α3y3=-1·1+1·sin2x+1· cos2x=0.Järelikult on tegu lin. Sõltuvate fn-dega
Lu+iLv; i=-10. (Tõest) ***Aditiivsuse tõestus: L(y1+y2)=p0(x)(y1+y2)(n)+p1(x)(y1+y2)(n-1)+..+pn(x)(y1+y2)=p0(x)(y1(n) +y2(n))+p1(x)(y1(n-1)+y2(n-1))+..+pn(x)(y1+y2)=p0(x)y1(n)+p1(x)y1(n-1)+..+pn(x)y1+p0(x)y2(n)+p1(x)y2(n-1)+..+pn(x)y2=Ly1+Ly2. (ADIT TÕEST) 4. Funktsioonide lineaarne sõltuvus ja sõltumatus. V: Olgu meil antud funktsioonid y1(x),y2(x),...,yn(x), x(a;b). **Definitsioon: Funktsioone y1(x), ...yn(x) nim lineaarselt sõltuvaks vahemikus (a;b), kui leiduvad kordajad 1, 2, ..., n (1 + 2 + ... + n 0) nii, et lin kombinatsioon 1y1(x) + 2y2(x) + ... + nyn(x) = 0 x (a;b). (*) **Kui seos (*) kehtib ss ja ainult ss, kui kõik kordajad 1=2=...=n=0, nim funktsioone y1(x),y2(x),...,yn(x) lineaarselt sõltumatuteks. **Nt. 1.)Vaatame y1=1, y2=sin2x, y3=cos2x vahemikus (a;b). Valime 1=y-1,2=3=1, siis 1y1+2y2+3y3=-11+1sin2x+1cos 2x=0. Järelikult on tegu lin. Sõltuvate funktsioonidega. 5
kus rV on voltmeetri sisetakistus. Voltmeetriga järjestikkuolevate ühenduste takistust pole vajadust arvestada,kuna see on voltmeetri sisetakistusest mitu järku väiksem. Sel juhul voime kirjutada vastavalt valemi (3) pohjal,et (4) Kasutades seoseid (1) ja (2) , saame vordusest (4) (5) Seos (5) näitab meile,et takistus R on pikkusega l lineaarselt seotud ja soltuvuse graafikuks on sirge tõusuga k = r/S ning siit saame,et r = k·S (6) kus S on traadi ristlõike pindala. 4.Töö käik. 1.Protokollige mooteriistad. 2.Mõõtke kruvikuga traatide diameetrid viiest erinevast kohast ja kandke tulemused tabelisse 1. Leidke traatide keskmised diameetrid d1 ja d2. Saadud keskmiste diameetrite abil leiate traatide ristlõike pindalad ( S=pr2) Traadi läbimõõdud
1)liitmine-2le ( , V on )elemendile on pandud + V vastandisse. 2) skalaarkorrutamine- vastavuse elemet( C V on pandud arvule( C R ja hulga elemendile ( V ) .vektorruumi element-on vektor. 5) Vektorite lineaarne sõltuvus ja sõltumatus. Lineaarse s~oltuvuse tarvilik ja piisav tingimus. Lineaarne sõltuvus- Vektorruumi X(üle korpuse K) vektorite hulka nimetatakse lineaarselt sõltuvaks, kui Vektorruumi X(ülekorpuse K) mingit vektorite hulka nimetatakse lineaarselt sõltumatuks, kui ta ei ole lineaarselt sõltuv 6) Vektorruumi baas ja mõõde. Vektori koordinaadid. Tasnd- kasutatakse vektorruum pikkusega 1 =1 kordinaadid-baasiks on iga 2 lin.sõltumatu vektor sirge- baasiks on iga 3 lin.sõltumatu vektor aritmeetiline vektorruum-valitakse R ruumis B={ 1 2 ... m } ,avaldub aritm.vektor
Lineaarselt polariseeritud valgusega on tegemist siis, kui elektrivälja tugevus muutub ainult ühes kindlas sihis. (Lubatud on ainult üks kindel võnkesiht). Sellega on tegemist siis kui kiirte intensiivsused on erinevad, või faasinurk on erinev täisnurgast.
Polariseeritud valgus, saamine ja omadused Polariseeritud valgus eelistatud võnkumiste suunaga lained ristlainetuse sõltuvus võnketasandist Võnkesiht ja võnketasand polariseerida saab ainult ristlaineid, seega ka valgust. polarisatsiooni liigid: * lineaarne polarisatsioon; * ringpolarisatsioon; * elliptiline polarisatsioon. loomulik ehk polariseerimata valgus täielikult ehk lineaarselt polariseeritud valgus Lubatud on ainult üks kindel võnkesiht osaliselt polariseeritud valgus polarisatsiooniaste P Valgust saab polariseerida mitmel viisil, kasutades kas neeldumist, peegeldumist või murdumist: * Brewsteri seadus * dikroism * kaksikmurdumine polarisatsioonifiltritega päikeseprillid 3D
Tõestus: L(u+iv)≡0, siis L(u+iv)=Lu+L(iv)=Lu+iLv≡0; Lu+iLv; i=√-1≠0. Aditiivsuse tõestus: L(y1+y2)=p0(x)(y1+y2)(n)+p1(x)(y1+y2)(n-1)+..+pn(x)(y1+y2)=p0(x)(y1(n)+y2(n))+p1(x) (y1(n-1)+y2(n-1))+..+pn(x)(y1+y2)=p0(x)y1(n)+p1(x)y1(n-1)+..+pn(x)y1+p0(x)y2(n)+p1(x)y2(n-1)+.. +pn(x)y2=Ly1+Ly2. 4. Funktsioonide lineaarne sõltuvus ja sõltumatus. V: Olgu meil antud funktsioonid y1(x),y2(x),...,yn(x), xє(a;b). Definitsioon: Funktsioone y1(x), ...yn(x) nimetatakse lineaarselt sõltuvaks vahemikus (a;b), kui leiduvad kordajad α1, α2, ..., αn (α1 + α2 + ... + αn ≠ 0) nii, et α1y1(x) + α2y2(x) + ... + αnyn(x) = 0 Ɐx ϵ (a;b). (*) Kui seos (*) kehtib siis ja ainult siis, kui kõik kordajad α1=α2=...=αn=0, nimetatakse funktsioone y1(x),y2(x),...,yn(x) lineaarselt sõltumatuteks. Nt. 1.)Vaatame y1=1, y2=sin2x, y3=cos2x vahemikus (a;b). Valime α1=y-1,α2=α3=1, siis
1° 0 iga V korral; = 0 parajasti siis, kui = (vt. selgitust peale teoreemi); 2° = iga , V korral (kommutatiivsus); 3° ( + ) = ( ) + ( ) iga , , V korral (distributiivsus); 4° ( + ) = ( ) + ( ) iga , , V korral (distributiivsus); 5° a ( ) = ( a ) = ( a ) iga a ja , V korral. 5. Vektorruumi definitsioon. Vektorite lineaarne kombinatsioon (näide geomeetriliste vektorite kohta). Lineaarselt sõltumatud ja sõltuvad vektorid. Kollineaarsed vektorid. Def. 1. Mittetühja hulka V nimetatakse vektorruumiks, kui temas on antud kaks tehet liitmine (igale kahele elemendile , V on vastavusse pandud parajasti üks element + V ) ja skalaariga korrutamine (igale arvule a ja hulga V elemendile on vastavusse pandud parajasti üks element a V ) nii, et on täidetud II ptk. §1 teoreemis loetletud aksioomid 1° 8°. Vektorruumi V elemente nimetatakse vektoriteks. Def. 1
nad tasandit ei määra. Kui need kaks vektorit on mittekollineaarsed, siis nad määravad tasandi. Neid kahte mittekollineaarset vektorit nimetatakse sel juhul tasandi rihivektoriteks. Kolm vektorit ruumis võivad olla komplanaarsed või mittekomplanaarsed. Kui kolme vektori hulgas on kollineaarseid vektoreid, siis need kolm vektorit on komplanaarsed. Kui kolme vektori hulgas ei ole kollineaarseid vektoreid, siis nad on komplanaarsed juhul kui üks vektor on ülejäänud kahe kaudu lineaarselt avaldatav. See tähendab, kui vektorid , , on komplanaarsed, siis leiduvad arvud p ja q nii et =p+q. Kui vektorid on antud koordinaatidega, siis komplanaarsuse kontrolliks tuleb välja arvutada nende vektorite koordinaatidest moodustatud kolmerealine determinant. Kui see determinant võrdub nulliga, siis vektorid on komplanaarsed. Kui determinant ei võrdu nulliga, siis vektorid on mittekomplanaarsed.
kõrvutamisest. Soojade ja külmade värvide kontrast loob samuti ruumilisuse tunde. Kogu kompositsioon on väljendav: modelli või esemete asend lõuendil, neid ümbritsevad tühjad alad, suhted jne.Ruumilisus pildi ülesehituses aga puudus. Matisse´i tööd on harmoonilised ja dekoratiivselt kaunid. Matisse arvas, et kunsti põhimeeleolu peab olema rahulik rõõm, et väsinud inimene suudaks seda vaadates lõõgastudaInimkeha kujutas ta tihti lineaarselt - tumeda piirjoonega ümbritsetuna. Matisse`i maalidel on justkui omaette maailm, valitud värvid ja kujutatud inimesed ei ole tegelikkusega sugugi sarnased. Matisse`i peetakse fovismi tähtfiguuriks.
mittehomogeense võrrandi mingi erilahendi summana. Homogeenset võrrandit saab teisendada kujule dy dy = -p ( x ) dx , siis lahendamisel saame = ln y = p ( x ) dx + C . y y Konstantsete kordajatega lineaarne diferentsiaalvõrrand (KKLD) Teist järku homogeense KKLD d2y dy a0 2 + a1 + a2 y = 0 dx dx üldlahend avaldub lineaarselt sõltumatute erilahendite lineaarse kombinatsioonina y = C1 y1 + C 2 y 2 . Lineaarselt sõltumatute erilahendite korral on y 0 ainult juhul, kui C1 = C 2 0 . Üldlahendi kordajad C1 ja C 2 määratakse alg- ja/või rajatingimuste abil. Otsime ühte erilahendit kujul y = e x , siis saame (a 0 2 + a1 + a 2 ) e x = 0 . Seejuures karakteristlikul võrrandil a 0 + a1 + a 2 = 0 on üldjuhul kaks erinevat 2 lahendit
3. 0 X: 0 + x = x (nullelemendi olemasolu); 4. x V x + 0 = x, 0 + x = x. (vastandelemendi olemasolu); 5. 1x = x (unitaarsus); 6. ( x) = ()x (assotsiatiivsus arvude korrutamise suhtes); 7. (x + y) = x + y (distributiivsus vektorite liitmise suhtes); 8. ( +)x = x + x (distributiivsus arvude liitmise suhtes). Vektorruumi näited-aritmeetilised-,geomeetrilised-,maatriksite-,polünoomide hulk. Lineaarne sõltuvus- Vektorruumi X(üle korpuse K) vektorite hulka nimetatakse lineaarselt sõltuvaks, kui Vektorruumi X(ülekorpuse K) mingit vektorite hulka nimetatakse lineaarselt sõltumatuks, kui ta ei ole lineaarselt sõltuv 17. Vektorruumi baas (sirge,tasand,3-mõõtmeline ruum,aritmeetiline vektorruum) vektori kordinaadid. Tasnd- kasutatakse vektorruum pikkusega 1 kordinaadid-baasiks on iga 2 lin.sõltumatu vektor sirge- baasiks on iga 3 lin.sõltumatu vektor aritmeetiline vektorruum-valitakse ruumis ,avaldub aritm.vektor
2 4 2 4 1,333 0,75 3 3 3 3 1,667 0,60 4 2 4 2 2,667 0,375 Graafik Reaktsioonikiiruse sõltuvus Na2S2O3 kontsentratsioonist Järeldus Katses 1 selgus, et mida suurem on ainete kontsentratsioon lahuses, seda kiiremini toimub nende reageerimine. Reaktsioonikiirus kasvab sellisel juhul lineaarselt. Reaktsioonijärk Na2S2O3 suhtes on 1. Katse 2 Töö käik Kaheksa katseklaasi jagatakse taas neljaks paariks. Neli katseklaasi täidetakse 4 ml väävelhappelahusega ning teised neli 4 ml Na2S2O3 lahusega. Suurem keeduklaas täidetakse poolenisti veega ning kõik kaheksa katseklaasi asetatakse koos termomeetriga sinna. Keeduklaasi kuumutatakse elektripliidil ning jälgitakse temperatuuri tõusu. Temperatuuridel 30 °C, 40 °C, 50 °C ja 60 °C sooritatakse katsed: keeduklaas tõstetakse
Null-järku reaktsioon - (x +y = 0) v=k'Ca=k=const Lähteaine kontsentratsioon kahaneb lineaarselt kuni nullini.Esimest järku reaktsioon (x + y = 1) v=k*Ca aine reageerimisel tema kontsentratsioon väheneb.Teist järku reaktsioon (x + y = 2)aA + bB produktid; v = k · CAx · CBy ; ( k reaktsiooni kiiruskontstant (erikiirus), x reaktsiooni järk aine A suhtes, y reaktsiooni järk aine B suhtes, summa x + y on reaktsiooni summaarne järk, C A ja CB ainete A ja B molaarsed kontsentratsioonid, mol/dm3).Reaktsiooni kiirus sõltub aktivatsioonienergiast
. . = n = 0, siis öeldakse, et lineaarne kombinatsioon on TRIVIAALNE. Vastasel korral, kui kas või üks kordajatest i , i = 1, 2 , . . . , n, on nullist erinev, öeldakse, et lineaarne kombinatsioon on MITTETRIVIAALNE. DEFINITSIOON 3. Kui avaldis (A) võrdub nullvektoriga ainult siis, kui kõik kordajad on nullid, st ainult siis, kui avaldis (A) on triviaalne lineaarne kombinatsioon, siis öeldakse, et vektorid e 1, e2, . . . ,en moodustavad LINEAARSELT SÕLTUMATU SÜSTEEMI. DEFINITSIOON 4. Kui leidub mittetriviaalne lineaarne kombinatsioon (A), mis võrdub nulliga, siis öeldakse, et vektorid e1, e2, . . . , en moodustavad LINEAARSELT SÕLTUVA SÜSTEEMI. DEFINITSIOON 5. Vaadeldava vektorite hulga maksimaalset sõltumatute vektorite hulka nimetatakse selle vektorite hulga BAASIKS. Baasivektorite arvu nimetatakse vaadeldava vektorite hulga MÕÕTMEKS. MÄRKUS. Sõltumatute vektorite hulga maksimaalsus tähendab seda, et
. . = n = 0, siis öeldakse, et lineaarne kombinatsioon on TRIVIAALNE. Vastasel korral, kui kas või üks kordajatest i , i = 1, 2 , . . . , n, on nullist erinev, öeldakse, et lineaarne kombinatsioon on MITTETRIVIAALNE. DEFINITSIOON 3. Kui avaldis (A) võrdub nullvektoriga ainult siis, kui kõik kordajad on nullid, st ainult siis, kui avaldis (A) on triviaalne lineaarne kombinatsioon, siis öeldakse, et vektorid e 1, e2, . . . ,en moodustavad LINEAARSELT SÕLTUMATU SÜSTEEMI. DEFINITSIOON 4. Kui leidub mittetriviaalne lineaarne kombinatsioon (A), mis võrdub nulliga, siis öeldakse, et vektorid e1, e2, . . . , en moodustavad LINEAARSELT SÕLTUVA SÜSTEEMI. DEFINITSIOON 5. Vaadeldava vektorite hulga maksimaalset sõltumatute vektorite hulka nimetatakse selle vektorite hulga BAASIKS. Baasivektorite arvu nimetatakse vaadeldava vektorite hulga MÕÕTMEKS. MÄRKUS. Sõltumatute vektorite hulga maksimaalsus tähendab seda, et
mooduliga kaks saame tulemuseks kolmada,sama koodi koodisõna. 2)koodide vastavustabel sisaldab kirjeid vektoritest mida tuntakse koodivektorina või kujunditena. 3) Vektorkvantimisseadmed teisendavad sõnumi plokid vektoriteks ja neid nimetatakse Sõnumivektoriteks. 4) 1-k Sõnumivektor m , 1-(n-k) paarsusvektor b ja 1-n koodivektor C need on reavektorid (- tähenab kuni mitte ainult sulgudes) need on nagu m , b ja C jadad ehk reavektorid 5) Moodustajamaatriksi k rida on lineaarselt sõltumatu, see tähendab ,et ei ole võimalik leida maatriksi mingit rida teiste ridade kombinatsioonina, Kasutades moodustajamaatriksit saame avaldada vektori C.(C on koodivektor) 7)
Kodutöö peab sisaldama vähemalt 70% õigeid vastuseid (kõik vastused on konspektist leitavad). Eksamist peab saama vähemalt 51%. Kodutöö koosneb 25 küsimusest, millest valikuliselt 7 tuleb kontrolltöösse. 1. Sissejuhatus. 2. Elektromagnetkiirguse klassikaline teooria. 2.1 Elektromagnetlainete olemus. 2.2 Elektromagnetlainete tekitamine. 2.3 Vaguse intensiivsuse (kiiritustiheduse) ja elektrivälja amplituudi vaheline seos 2.4 Lineaarselt polariseerutud valgus 2.5 Elliptiliselt polariseerutud valgus 2.6 Loomulik valgus 2.7 Rakendus: Polarisaator 2.8 Malus seadus 2.9 Rakendus: faasinihkeplaadid 2.10 Polariseeritud valguse analüüs 2.11 Elektromagnetlainete skaala 2.12 Kiirguse spekter ja selle mõõtmine 3. Valguse murdumine ja kulgemine. Optiline teepikkus. Optiline käiguvahe. Interferents. Rakendused. 3
Vastus: Õige Vale Esita Õige Selle esituse hinded 1/1. Question 6 Punktid: 1/1 Täiuslikus konkurentsis asub optimaalne tootmismaht seal, kus kogutulu on maksimaalne. Vastus: Õige Vale Esita Õige Selle esituse hinded 1/1. Question 7 Punktid: 1/1 Oligopoolne turg tähendab, et turul on vaid suured ettevõtted Vastus: Õige Vale Esita Õige Selle esituse hinded 1/1. Question 8 Punktid: 1/1 Täiuslikus konkurentsis kasvab kogutulu lineaarselt Vastus: Õige Vale Esita Õige Selle esituse hinded 1/1. Question 9 Punktid: 1/1 Täiuslikus konkurentsis on N-kõver horisontaalne ja langeb kokku PT-kõveraga. Vastus: Õige Vale Esita Õige Selle esituse hinded 1/1. Question 10 Punktid: 1/1 Monopolistlikult konkureeriv ettevõte omandab turujõu tänu oma asukohale Vastus: Õige Vale Esita Õige Selle esituse hinded 1/1.
Kui väljundpinge on jõudnud soovitud amplituudväärtuseni, pannakse lüliti korraks kinni, misläbi kondekas laeb ennast tühjaks ja OV võimendustegur (ja jälle ka väljundpinge) läheb nulli. Seejärel protsess kordub... 40.Kuidas genereerida kolmnurkpinget? Vaja on operatsioonvõimendit, takistit, kondekat, kahte vooluallikat ja mingit kaadervärki, mis väljundi amplituudpingel + sisendi vastu vahetaks (ja vastupidi). OV-ga paralleelselt ühendatud kondekas garanteerib lineaarselt muutuva võimenduse ja kui väljundpinge on jõudnud amplituudväärtuseni lülitab eelpoolmainitud kaadervärk sisendi väärtuse vastupidiseks. Nii saamegi oma kolmnurkpinge. 41.Kuidas ehitada digitaalset generaatorit? 42.Kvartsgeneraator. Suure sageduse ja väikese võimsusega endaergutusega elektrongeneraator, milles sageduse stabiilsuse tagab piesokristall. Kasut ergutusgeneraatorina raadiosaatjates ja vastuvõtjates, kvartskellades jne. 43.Stabilitron
ja finantstulu Rentniku aruannetes: oma pilansis vara ja kohustustena renditud vara õiglase väärtuse summas või rendimaksete min.summa nüüdisväärtuses, juhul, kui see on madalam. Min.summa arvutamisel diskontomääraks rendi sisemine intressimäär või alternatiivne määr. Kasutusrendi kajastamine Rendileandja kajastav kasuturendi tingimustel väljarenditud vara oma bilansis tavakorras, analoogiliselt muule ettevõtte bilansis kajastatavale varale. Kajastatakse lineaarselt, kui mõni muu meetod pole objektiivsem. Rentniku aruannetes kajastatakse lineaarse kuluna välja arvatud juhul, kui mõni muu meetod on objektiivsem. Müügi ja tagasirenditehingud Kapitalirendi tingimustel kajastatakse tagasirenti kui finantseerimistehingut, perioodilised laekumised kajastatakse intressikuluna. Kasutusrendi tingimustel tagasirent kajastatakse ostumüügitehinguna, kusjuures kasum/kahjum kajastatakse kohe, kui müügihind pole madalam
Matisse ei maalinud pildile täpselt seda, mida nägi, vaid ta püüdis väljendada seda, mida ta parasjagu tundis. Parimaks väljendusvahendiks olid värvid. Neid kandis ta lõuendile suurte laikudena, sageli vastandvärve kasutades, nii et pildil tekkis ruumilisuse tunne paljalt värvide kõrvutamisest. Soojade ja külmade värvide kontrast loob samuti ruumilisuse tunde. Ruumilisus pildi ülesehituses puudus. Seevastu inimkeha kujutas ta tihti lineaarselt - tumeda piirjoonega ümbritsetuna. Matisse`i maalidel on justkui omaette maailm, valitud värvid ja kujutatud inimesed ei ole tegelikkusega sugugi sarnased. "Tants" Matisse´i looming on helge, värvirõõmus, pidulik. Andrè Derain Andrè Derain võttis osa kaunite kunstide kursusest Pariisis, kus ta tutvus endast vanema kunstniku Henri Matisse`iga. Matisse`i käe all sai ta teadlikuks Signac`i ja Seurat` maalimisviisi ja
reegel. Lineaarsed tehted geomeetriliste vektoritega (liitmine ja skalaariga korrutamine). Lineaarsete tehete 8 omadust 12. Aritmeetiline vektor. Lineaarsed tehted aritmeetiliste vektoritega (liitmine ja skalaariga korrutamine). Aritmeetiline ruum. 13. Vektorruumi ja vektori definitsioon. Vektorruumi 5 näidet. Vektorite lineaarne kombinatsioon (näide geomeetriliste vektorite kohta). Triviaalne ja mittetriviaalne Vektorite lineaarne kombinatsioon. Lineaarselt sõltumatud ja sõltuvad vektorid. 14. Vektorruumi baasi definitsioon. Geomeetriliste vektorite baas, aritmeetiliste vektorite baas, maatriksite vektorruumi baas. Vektorruumi mõõde ehk dimensioon. Vektori koordinaadid 15. Skalaarkorrutise definitsioon vektorruumis. Eukleidiline vektorruum. Vektori pikkuse definitsioon. Vektori pikkuse 3 omadust. Vektorite vahelise nurga definitsioon. Ortogonaalsed vektorid, ortogonaalne baas, ühikvektor. Ortonormaalne baas
B x 2 , y 2 , z 2 C x3 , y 3 , z 3 D x 4 , y 4 , z 4 Tetraeedri ruumala on 1/3 samale põhjale ehitatud kolmnurkse põhjaga prisma ruumalast, see omakorda pool rööptahuka ruumalast. 1 V ABCD AB AC AD 6 VEKTORITE LINEAARNE SÕLTUMATUS Definitsioon. Vektoreid a1 , , an nimetatakse lineaarselt sõltuvateks, kui leiduvad reaalarvud 1 , , n , millest vähemalt üks on nullist erinev, nii et 1a1 2 a2 n an 0 . (1) Vastasel korral, kui niisuguseid arve ei leidu, siis nimetatakse vektoreid lineaarselt sõltumatuteks. Nii saab defineerida ka maatriksi astakut: astak on maksimaalne lineaarselt sõltumatute ridade (veergude) arv
Seade voltmeetri ja ampermeetriga takistustraadi materjali eritakistuse määramiseks, kruvik. 3) Töö teoreetilised alused. Takistuse R määramiseks võib kasutada Ohmi seadust vooluringi osa kohta: U R= I kus I on traati läbiva voolu tugevus ja U pinge traadilõigul. Viimased määrame ampermeetri ja voltmeetri abil. Takistus R on pikkusega l lineaarselt seotud ja sõltuvuse graafikuks on sirge tõusuga k=/S ning siit saame, et =k·S kus S on traadi ristlõike pindala. Traatide ristlõike pindalad leiame kasutades valemit : S = · r2 Kus r on traadi raadius, millle leiame kasutades valemit d = 2r , kus d on diaametr 4)Mõõtmised. a) Traadi diameetri mõõtmine. Järjekorra number d1 (mm) d2 (mm)
ühele reale/veerule k-kordse teise rea veeru liitmine; 3. maatriksi kahe rea veeru ümberpaigutamine. Elementaarteisenduste abil teisendatakse maatriksit nii et kõik maatriksi elemendid ühel pool peadiagonaali saaksid nullideks. Niisugusest maatriksi kujust võib kergesti välja lugeda maatriksi astaku r. Teoreem maatriksi astakust Kui vektorite hulga S={a1,a2...ar...am}koordinaatide maatriksi astak on r, siis on r vektorit hulgast S lineaarselt sõltumatud, kuna ülejäänud m-r vektorit on nende r vektori lineaarsed kombinatsioonid. Vektorite hulk S={a1,a2...ar...am} on lineaarselt sõltumatud parajasti siis kui hulga S vektorite kordinaatide maatriksi astak on m. Maatriksi astakut võib sefineerida ka kui maatriksi lineaarselt sõltumatute ridade veergude maksimaalarvu. Determinandi võrdumine nulliga Determinant on võrdne nulliga kui: 1. ühe rea veeru elemendid on kõik nullid; 2. kaks rida veergu on võrdsed; 3
15 16 17 18 19 20 21 muutuja x1 kasvab lineaarselt 1 cobb douglase funktsiooni graafikuks on kumer pind 2 cobb douglase funtsioon on kasvav funtsioon 3 muutuja x2 suurenedes funtsioon kasvab oluliselt mittelineaarselt(kuna as 4 muutuja x1 suurenedes funtsioon kasvab praktiliselt lineaarselt(kuna sten uuritakse kapitali (x1) ja tööjõu(x2)
1)R1 = 116 Teksp = (0,2 ± 0,4751) ms Tteor = (0,000864 ± 1,52*10-9) ms 2)R2 = 216 Teks = (0,2 ± 0,4751) ms Tteor = (0,000871 ± 2,89*10-9) ms Eksperimentaalsed ja teoreetilised perioodid erinevad üksteisest märgatavalt, mistõttu võib katse ebaõnnestunuks lugeda. Vead võisid tekkida täisvõnke pikkuse määramisel ostsillograafilt ning arvutustel. Sumbuvuse logaritmilise dekremendi määramine: Graafikult selgub, et sumbuvuse logaritmiline dekrement on takistusest lineaarselt sõltuv. Takistuse suurenemisel suureneb logaritmilise dekremendi väärtus. Teoreetiline ja mõõdetud logaritmiline dekrement erinevad üksteisest.
Rentnik kajastab rendi jõustumisel kapitalirendi oma bilansis renditud vara õiglase väärtuse summas või rendimaksete miinimumsumma nüüdisväärtuses, juhul kui see on madalam. Rentnik arvutab renditavalt varalt amortisatsiooni, lähtudes ettevõttes sama tüüpi varade osas rakendatavatest tavalistest amortiseerimispõhimõtetest. Kasutusrent on rent, mis ei ole kapitalirent. Rentnik ei arvesta varalt amortisatsiooni ja kajastab kasutusrendi maksed rendiperioodi jooksul lineaarselt kuluna, sõltumata sellest, millal rendimaksed tegelikult toimuvad. Käibemaksu arvestus Käibemaksuseaduse seisukohalt ei oma määravat tähtsust renditehingu raamatupidamislik kajastamine, mis tuleneb Raamatupidamise Toimkonna poolt välja antud Rendiarvestuse juhendist. 3 Kasutus-ja kapitalirent
S, kus on traadi materjali eritakistus. Takistuse R määramiseks võib kasutada Ohmi seadust vooluringi osa kohta: U R= I , kus I on traati läbiva voolu tugevus ja U pinge traadil. Viimased määrame ampermeetri ja voltmeetri abil. Mõõtmiseks kasutame joonisel toodud lülitusskeemi. Takistus R on pikkusega l lineaarselt seotud ja sõltuvuse graafikuks on sirge tõusuga k= S ning siit saame,et =kS , kus S on traadi ristlõike pindala. S=r² 4. Töö käik 1) Protokollige mõõteriistad. 2) Mõõtke kruvikuga traatide diameetrid viiest erinevast kohast ja kandke tulemused tabelisse 1.
valget meest (Carl Vogt). *Oli arusaam, et naised on vähem intelligentsed kui mehed. Kehade mõõtmine *Cesare Lombroso väitis, et kurjategijad tunneb ära ahvi nina järgi ja nad ei oska sageli punastada. *Prostituutide jalad on tihti haardevõimelised nagu ahvidel (suur varvas asetseb teistest eemal). *Tätoveerimine on märk sünnipärasest kriminaalsusest. *Sageli sünnitakse kurjategijateks. IQ pärilikkuse teooria *IQ testi kasutati valedel eesmärkidel(inimesi ei saa lineaarselt IQ alusel reastada), mitte Binet kirja pandud põhimõtete alusel, mille sihtgrupp oli puuduliku õppimisvõimega lapsed. *Goddardi seisukoht oli see, et kõik "debiilikud" tuleb paigutada eraldi asutusse, sest nad on ohuks rassi kui terviku tervisele ja ei tohiks saada teistega järglasi. *Arusaam, et kui intelligentsitase on madal siis on tulemuseks reguleerimatu ja kontrollimatu käitumine. *Kurjategijad, alkohoolikud ja prostituudid on nõrgamõistuslikud e. debiilikud.
8) 1a=a Vektorruumi Vektorruumi alamruumiks nimetatakse vektorruumi V mittetühja alamhulka U, alamruum kui U on vektorruumi V tehete suhtes vektorruum üle reaalarvude hulga R Lineaarkate Vektorruumi V elementide a1, a2, ..., an lineaarkatteks nimetatakse hulka L(a1, a2, ..., an)={k1a1+k2a2+...+knan, k1, k2, ..., kn R} Lineaarne sõltumatus Vektorsüsteemi a1, ..., an nimetatakse lineaarselt sõltumatuks, kui mistahes k 1, ..., kn R korral võrdusest k1a1+k2a2+...+knan=0 järeldub, et k1=k2=...=kn=0 Lineaarne sõltuvus Vektorite süsteemi nimetatakse lineaarselt sõltuvaks, kui ta ei ole lineaarselt sõltumatu Moodustajate Vektorruumi V vektorite süsteemi M nimetatakse moodustajate süsteemiks, süsteem kui vektorruumi V iga vektor avaldub süsteemi M kuuluvate vektorite
suhkur Skeem 1 2 3 4 5 6 7 8 1 lamp 2 kondensor 3 valgusfilter 4 polarisaator 5 kvartplaadiga diafragma 6 uuritava vedelikuga täidetud toru 7 analüsaator 8 pikksilm Töö teoreetilised alused Mitmetel kristallidel ja lahustel on omadus pöörata neid läbiva lineaarselt poleriseeritud valguse polerisatsioonitasandit. Niisugused aineid nimetatakse optiliselt aktiivseteks. sEllisteks on näiteks kvartsikristallid ,suhkru,kampri,nikotiini lahused. Optiliselt aktiivset ainet läbinudvalguse polerisatsioonitasandi pöördenurk sõltub ainest ,ainekihi paksusest l , temperatuurist t ,valguse lainepikkusest ja lahuste korral ka masskontsentratsioonist c. Osutub ,et antud temeratuuri ja lainepikkuse korral on valguse polerisatsioonitasandi
Painduvad puutetundlikud ekraanid Toodetakse rullimeetodil Vasefooliumile lastakse aurustuda grafeenil Odavam kui praegune meetod Päikesepatareid, Paiduvad puuteekraanid. Grafeen teeb footonist rohkem kui ühe elektronpaar Kui ühekihilisest grafeenist läbi lasta footoneid, tekib rohkem kui üks elektronpaar Ränipõhistel päikesepaneelidel toodetakse ühest footonist üks elektronpaar Multiple exciton generation Toodetud elektronide arv kasvab lineaarselt footonite hulgaga On püsiv infrapunasest spektrist ultravioletse spektrini. Grafeenoksiid seob radioaktiivseid jääke Grafeenoksiidi helbed vees seovad radioaktiivsed tuumad Tekib radioaktiivne sade, mida on kerge koristada Suhteliselt odav ja tõhus meetod puhastamiseks Vähe keskkonnasaastet. Kütuseelementides Kasutada saab kütuseelementides katalüsaatorina plaatina asemel koobalt grafeeni. See on odavam ja püsivam.
Leidke tulemuse viga. Seejuures arvestage ,et lahuse eripöörangu sõltuvus temperatuurist on üldiselt väike ,mistõttu viga,mis tuleb sellest ,et lahuse temperatuur ei ole täpselt 20°c, ei ole suur Suhkrulahuse masskontsentratsioon Lahusekihi paksus Skaala vähima jaotise väärtus Nooniuse täpsus Katse nr. 0 1 Töö teoreetilised alused Mitmetel kristallidel ja lahustel on omadus pöörata neid läbiva lineaarselt poleriseeritud valguse polerisatsioonitasandit. Niisugused aineid nimetatakse optiliselt aktiivseteks. sEllisteks on näiteks kvartsikristallid ,suhkru,kampri,nikotiini lahused. Optiliselt aktiivset ainet läbinudvalguse polerisatsioonitasandi pöördenurk sõltub ainest ,ainekihi paksusest l , temperatuurist t ,valguse lainepikkusest ja lahuste korral ka masskontsentratsioonist c. Osutub ,et antud temeratuuri ja
DEF2: Vektorruumi V baasivektorite arv on vektorruumi mõõde ehk dimensioon. Lin.kombo ⃗x =x 1 ⃗ e 1 + x1 ⃗ e 1+ …+ x n ⃗ en kordajad x 1 ∈ R (i=1,2, … , n) on vektori ⃗x koordinaadid antud baasi suhtes. LAUSE: Vektorruumi Vn mistahes n -lineaarselt sõltumatute vektorite süsteem moodustab baasi. LAUSE: Vektori koordinaadid fikseeritud baasi suhtes on määratud üheselt. Tõestus: Olgu ruumis Vn fikseeritud baas B={⃗ e1 , ⃗ e2 , … , ⃗ e n } . Oletades väite vastaselt, et ⃗x =x 1 ⃗ e 1 +x1 ⃗ e 1+ …+ x n ⃗
annaabi.ee 
