Leidsid 33 sarnast õppematerjali, mis on seotud failiga "Lahtise geodeetilise vastuülesande lahenduskäik". Need materjalid aitavad sul teemat sügavamalt mõista.
juurdekasvud, prakt, tabelinurgad, direktsiooninurgad, teoreetilise, vahed, miinus, eelmine, vaatasin, millisesse, veergu, numbrid, vahedeKinnine mõõdistuskäik rajatakse tavaliselt ümber mõõdistatava maa-ala, katastriüksusel võimalusel mõõda piiripunkte. Tänapäeval tuleb kinnine käik siduda riikliku geodeetilise põhivõrguga, selleks rajatakse tavaliselt eraldi sidumiskäik. Sidumiskäiku tahetakse enamasti kinnise käiguna, mille üheks küljeks on tavaliselt riikliku geodeetilise tihendusvõrgu paarispunktid. 1. horisontaalnurkade tasandamine arvutatakse mõõdetud nurkade summa prakt = 1 + 2 + ... ´, siis teoreetiline summa teor =180 0 (n + 2) (välisnurkadel) teor =180 0 (n - 2) (sisenurkadel), siis nende vahe f = prakt - teor - see tuleb jagada proportsionaalselt nurkadele Lubatud vea suurus sõltub nõutud täpsusklassist. Kui tegelik sulgemisviga ületab lubatud piirid, siis ei tohi arvutusi enne jätkata, kui viga on leitud ja kõrvaldatud. Parandi täpsus tuleb ümardada samasse täpsusklassi, kui nurga mõõtmine (meil 0,1')
Antud: Punktid A(Xa, Ya) ja B (Xb, Yb) Leida: X, Y, d(AB), alfa (AB) Lahendus: X= Xb-Xa ja Y= Yb-Ya d(AB)ruudus= Xruudus+Yruudus alfa(AB)= arctan(Y/X) X: I+, II - (90...180), III- (180..270) , IV + Y: I+ (0...90), II +, III-, IV - (270...360) 16. Direktsiooninurkade arvutamine nii koordinaatidest kui ka mõõdetud nurkadest Direktsiooninurkade arvutamiseks kirjutatakse lähteandmed ja tasandatud nurgad koordinaatide arvutuslehele. Polügooni (käigu) kõik direktsiooninurgad arvutatakse järjest. Alustada antud algsuunast ja lõpetades antud lõppsuunaga (kinnisel käigul a=lõpp). Parempoolselt mõõdetud nurkade käik: Iga joone direktsiooninurk arvutatakse eelneva joone direktsiooninurga ja parandatud nurga järgi valemist: i = i-1 ± 180o i . Järgmise joone direktsiooninurk võrdub eelneva joone vastudirektsiooninurk miinus parempoolne nurk või järgmise joone dirnurk võrdub eelneva joone vastudirektsiooninurk pluss vasakpoolne nurk.
Eksamiabimees 1.Geodeetiline otseülesanne. Geodeetiliseks otseülesandeks on ülesanne, kus on antud punkti A koordinaadid (xA, yA), kaldenurk punktilt A punkti B (AB) ning kahe punkti vaheline kaugus dAB. Antud: xA, yA, AB, dAB X yAB B Leida: xB, yB ? XB xB =xA+ xAB AB yB =yA+ yAB x,y- koordinaatide juurdekasvud, "+" vôi "-". dAB xAB Tuleb arvestada millise veerandi nurgaga on tegemist. XA A xAB = dAB *cosAB yAB = dAB *sinAB xB =xAB + xA 0 YA YB Y yB =yAB + yA 2.Geodeetiline vastuülesanne. Antud on 2 punkti koordinaadid (xA,yA,xB,yB) IV veerand I veerand ja leida tuleb nurk (AB) ja punktidevaheline kaugus dAB. x + x +
horisontaalprojektsioonide ja kõrguskasvude arvutamiseks. Kaldenurgad mõõdetakse teodoliidi (tahhümeetri) vertikaalringi abil. Enne kaldenurkade mõõtmist on vaja selgitada välja nulliasend (NA). Joone kaldenurga mõõtmiseks suunatakse niitristiku keskpunkti K tähisele instrumendi kõrgusele. = Lv - NA, kus Lv on vertikaalringi lugem. 22. Kinnise mõõdistuskäigu arvutamine. · Horisontaalnurkade tasandamine: f = prakt teor sulgemisviga f < 1'n p = - f / n ' = + p ' = teor · Direktsiooninurkade arvutamine: Parem i = i-1 ± 180o 'i = n * 180o + a n t = 180o (n 2) Vasak i = i-1 ± 180o + 'i = n * 180o a + n t = 180o (n 2) · Koordinaatide juurdekasvude arvutamine: XBi = dBi * cos Bi YBi = dBi * sin Bi lub (fd/d) 1 /2000 f X = Xprakt f Y = Yprakt fd = (f X2 + f Y2)
horisontaalprojektsioonide ja kõrguskasvude arvutamiseks. Kaldenurgad mõõdetakse teodoliidi (tahhümeetri) vertikaalringi abil. Enne kaldenurkade mõõtmist on vaja selgitada välja nulliasend (NA). Joone kaldenurga mõõtmiseks suunatakse niitristiku keskpunkti K tähisele instrumendi kõrgusele. = Lv - NA, kus Lv on vertikaalringi lugem. 22. Kinnise mõõdistuskäigu arvutamine. Horisontaalnurkade tasandamine: f = prakt teor sulgemisviga f < 1'n p = - f / n ' = + p ' = teor Direktsiooninurkade arvutamine: Parem i = i-1 ± 180o 'i = n * 180o + a n t = 180o (n 2) Vasak i = i-1 ± 180o + 'i = n * 180o a + n t = 180o (n 2) Koordinaatide juurdekasvude arvutamine: XBi = dBi * cos Bi YBi = dBi * sin Bi lub (fd/d) 1 /2000 f X = Xprakt f Y = Yprakt fd = (f X2 + f Y2)
V ertikaalringi nulliase on lugem, kui viseerimiskiir on horisontaalne. Mõõtmist alustades tuleb vaadata, milline vertikaalringi lugemi väärtus vastab viseerimiskiire rõhtsale asendile. Nulliasend tuleb horisontaaltasandi suhtest mõõdetud nurgast maha lahutada, et saada täpne nurk. 34. Kinnise mõõdistuskäigu arvutamine, täpsushinnang 1. Arvutatakse lähte ja lõpudirektsiooni nurgad 2. Tasandatatakse horisontaalnurgad 3. Arvutatakse direktsiooninurgad 4. Arvutatakse koordinaatide juurdekasvud Kinnises polügoonis peab nii abstsisside kui ka ordinaatide juurdekasvude summa võrduma nulliga. 35. Lahtise mõõdistuskäigu arvutamine, täpsushinnang 1. Tasandatatakse horisontaalnurgad 2. Arvutatakse direktsiooninurgad 3. Arvutatakse koordinaatide juurdekasvud Käigu joonte koordinaatide juurde kasvude summad peavad võrduma kindelpunktide koordinaatide vahega. 3
TEODOLIITMÕÕDISTAMINE. Teodoliitkäikude liigid. Mõõdetavad suurused teodoliitkäigus: Tringulatsiooni meetod: mõõdetakse igas kolmnurgas kõik sisenurgad. Trilateratsiooni meetod: mõõdetakse igas kolmnurgas külgede pikkused. GPS mõõtmised: võimaldavad määrata geodeetilisi koordinaate maa satelliitide abil. Kasutatakse samuti kolmnurkade süsteemi aga pole oluline määratavate punktide silmside. Määratakse võrgu punktide koordinaatide juurdekasvud lähtepunkti suhtes ja arvutatakse nende koordinaadid. Polügonomeetria: mõõdetakse käigu igas punktis horisontaalnurk eelmisele ja järgmisele punktile võetud suundade vahel ning kaugused eelmise ja järgmise punktini. Mõõdistamisvõrgu rajamise viisid ja etapid ning nõutav täpsus. Maa-ala plaani koostamiseks vajalike tugipunktide saamine, mille suhtes määratakse situatsiooni elementide ja maastikuobjektide asend. Punktide
jaamas esimese ja tagumise lati lugemid. Punktil A olev latt viiakse teisele sidepunktile ja teises jaamas tehakse lugemid. Esimese sidepunkti latt viiakse punktile B ja kolmandas jaamas tehakse lugemid. Kõrguskasvu hAB saad teada, kui tagumiste lattide lugemite summa lahutad esimeste lattide lugemite summast. HB=HA+hAB Kuidas võrdub kõrguskasv liitnivelleerimisel? Liitnivelleerimisel võrdub kõrguskasv käigu üksikute kõrguskasvude summaga ehk tagasivaate lugemite summa miinus edasivaate lugemite summa. Mis on nivelleerimislatid? Nivelleerimislattidele kantud jaotistele toetudes on võimalik fikseerida latilt niitristi horisontaalniidi järgi nn latilugem. Kaasaegsed latid on ühepoolsed alglugemina OOOO. Kuidas teha latilugemeid? Latilugem tehakse kahes osas: 1) detsimeetrites-latile kantud arvud ongi tavaliselt detsimeetrid ja 2) millimeetrites- selgitatakse lähtuvalt latile kantud jaotistest. Näiteks
Kui nurgaline sulgemisviga on väiksem/võrdne lubatud nurgalise sulgemisveaga siis tuleb saadud sulgemisviga f jagada polügooni nurkadele, parandus p ühele nurgale. Parandid p anda sulgemisveale vastupidise märgiga, kusjuures suurem parand antakse neile nurkadele, millede haarad on lühemad. Parandatud nurgad saadakse mõõdetud nurga ja parandi p liitmisel, parandatud nurkade summa peab võrduma eelnevalt leitud teoreetilise summaga so t. 16 53. Direktsiooninurkade arvutamine teodoliitkäigus. Järgmise suuna direktsiooninurk võrdub eelmise suuna direktsiooninurk ± 180° miinus parempoolne nurk (või pluss vasakpoolne nurk ). 54. Koordinaatide juurdekasvude arvutamine teodoliitkäigus. Sidum atus ja selle tasandamine. Koordinaatide arvutamine.
Punktidevaheline kõrguskasv on kahe punkti kõrguste vahe. Maapinna tõusu suunas loetakse kõrguskasv positiivseks, languse suunas negatiivseks. Kõrguskasvu võib arvutada kõrgusarvude või maastikul tehtud mõõtmiste, st nivelleerimise andmete järgi. 25.Mis on punktidevaheline kõrguskasv?- Kõrguskasv on kahe punkti vaheline kõrguslik erinevus, mis nivelleerimisel arvutatakse nivellerimislattidelt tehtud lugemite vahena- tagasivaatelugem miinus edasivaatelugem 26.Keskelt nivelleerimise olemus ja selle tähtsus.- Keskelt nivelleerimine: Vaatekiir on kaldu, nivelliir asub täpselt keskel, mõlemal lati lugemil on ühesugune viga. Nivelleerimisõlad peavad olema võrdsed, aga nivelliir ei pea asuma sirgel AB 27.Trigonomeetrilise nivelleerimise olemus.- Punktide vahelise kõrguskasvu määramiseks mõõde- takse nende vaheline kaugus horisontaal- tasapinnal ja
teoreetiline summa ??t. Kui nurgaline sulgemisviga on väiksem/võrdne lubatud nurgalise sulgemisveaga siis tuleb saadud sulgemisviga f? jagada polügooni nurkadele, parandus p? ühele nurgale. Parandid p? anda sulgemisveale vastupidise märgiga, kusjuures suurem parand antakse neile nurkadele, millede haarad on lühemad. Parandatud nurgad saadakse mõõdetud nurga ja parandi p? liitmisel, parandatud nurkade summa peab võrduma eelnevalt leitud teoreetilise summaga so ??t. 17. Direktsiooninurkade arvutamine teodoliitkäigus Järgmise suuna direktsiooninurk võrdub eelmise suuna direktsiooninurk ± 180° miinus parempoolne nurk ? (või pluss vasakpoolne nurk ?). 18. Koordinaatide juurdekasvude arvutamine teodoliitkäigus. Sidumatus ja selle tasandamine. Koordinaatide arvutamine Koordinaatide juurdekasvud on vastavalt paralleelsed X- ja Y-telgedega. Kinnises polügoonis peab koordinaatide juurdekasvude summa ??x ja ??y
summa t . Kui nurgaline sulgemisviga on väiksem/võrdne lubatud nurgalise sulgemisveaga siis tuleb saadud sulgemisviga f jagada polügooni nurkadele, parandus p ühele nurgale. Parandid p anda sulgemisveale vastupidise märgiga, kusjuures suurem parand antakse neile nurkadele, millede haarad on lühemad. Parandatud nurgad saadakse mõõdetud nurga ja parandi p liitmisel, parandatud nurkade summa peab võrduma eelnevalt leitud teoreetilise summaga so t . 17. Direktsiooninurkade arvutamine teodoliitkäigus Järgmise suuna direktsiooninurk võrdub eelmise suuna direktsiooninurk ± 180° miinus parempoolne nurk (või pluss vasakpoolne nurk ). 18. Koordinaatide juurdekasvude arvutamine teodoliitkäigus. Sidumatus ja selle tasandamine. Koordinaatide arvutamine. Koordinaatide juurdekasvud on vastavalt paralleelsed X- ja Y-telgedega.
Kaldenurgad mõõdetakse teodoliidi (tahhümeetri) vertikaalringi abil. Enne kaldenurkade mõõtmist on vaja selgitada välja nulliasend (NA). Joone kaldenurga mõõtmiseks suunatakse niitristiku keskpunkti K tähisele instrumendi kõrgusele. = L v - NA, kus Lv on vertikaalringi lugem. 33. Vertikaalringi nulli ase ning selle arvestamine mõõtmistes 34. Kinnise mõõdistuskäigu arvutamine, täpsushinnang. (vt 1s6l) · Horisontaalnurkade tasandamine: f = prakt teor sulgemisviga f < 1'n p = - f / n ' = + p ' = teor · Direktsiooninurkade arvutamine: Parem i = i-1 ± 180o 'i = n * 180o + a n t = 180o (n 2) Vasak i = i-1 ± 180o + 'i = n * 180o a + n t = 180o (n 2) · Koordinaatide juurdekasvude arvutamine: XBi = dBi * cos Bi YBi = dBi * sin Bi lub (fd/d) 1 /2000
vahega. Keskelt. Kõrguskasvu mõõtmine on mugavam ja täpsem, kui nivelliir paigutada kahe antud punkti vahele, kummassegi punkti aga asetada latt. Kõrguskasv saadakse keskelt nivelleerimise valemi järgi: ∆ h AB =t−e , kus tähega t on märgitud tagasivaade (lugem tagumiselt latilt) ja tähega e edasivaade ( lugem esimeselt latilt). Siin ei ole vaja mõõta instrumendi kõrgust, sest kõrguskasv arvutatakse tehtest: tagasivaade miinus edasivaade. Täpsemad tulemused saadakse siis, kui kaugused instrumendist tagumise ja esimese latini on võrdsed. Neid kaugusi nimetatakse ka õlgadeks. 46. Nivelliiride tüübid Nivelliiride põhilised tüübid instrumendi loodimise meetodi põhjal on alljärgnevad: o Silindrilise vesiloodiga nivelliirid, mille vaatekiir seatakse horisontaalseks silindrilise vesiloodi abil.
Lubatud erinevuse korral arvutatakse vahede keskmine ning siis M õõ detud kontuuri pindala leitakse jaotise väärtus valemist: p = u k 4.4. Kuidas toimub kõlviku pindala määramine? Kõigepealt asetatakse planimeeter kontuuri algusesse ja seejärel kirjutatakse üle lugem (u 1). Siis tehakse esimene ümbervedamine ja kirjutatakse üles teine lugem ja siis teine ümbervedamine ja kolmas lugem. Seejärel arvutatakse lugemite vahed, hinnatakse lubatavust (vajadusel korratakse ümbervedamist) ja arvutatakse keskmine lugemite vahe (u k). Keskmist kasutades arvutatakse pindala: P = p × uk. 4.5. Millise täpsusega saadakse kõlviku pindala ja kuidas toimub täpsuse hindamine? Täpsus ~0,2% maatüki pindalast. Planimeetriga saab määrata ~0,3% täpsusega igasuguse konfiguratsiooniga maatükkide pindalasid, mis on plaanil suuremad kui 5 cm2. Pindala
KESKKOOLI MATEMAATIKA RAUDVARA 1. osa Andres Haavasalu dikteeritud konspekti järgi koostanud Viljar Veidenberg. 2003. aasta 1 Sisukord Sisukord........................................................................................................................................2 Arvuhulgad............................................................................................................................... 5 Naturaalarvude hulk N..........................................................................................................5 Negatiivsete täisarvude hulk z ...........................................................................................5 Täisarvude hulk Z.................................................................................................................5 Murdarvu
Kahe punkti pikkuste vaheks (PsV) nimetatakse nende punktide meridiaanide vahelist lühimat ekvaatori kaart. PsV = Ps2 Ps1 (0° - 180° E või W) Laiuste vahe ja pikkuste vahe mõiste võimaldab lahendada meresõidus mitmeid ülesandeid. Kui on teada laiuste vahe ja pikkuste vahe ning laeva algkoordinaadid, saab võlja arvutada lõpp- punkti koordinaadid või vastupidi. Näited: 1. Arvutada laiuste ja pikkuste vahed, 2. Arvutada lõpp- punkti koordinaadid, kui: kui: Ls1= 35°34´ N; Ps1= 007°12´ W Ls1= 23°47´2 S; Ps1= 165°12´7 W Ls2= 14°45´ N; Ps2= 003°23´ E LsV= 12°21´7 S; PsV= 101°53´3 W Lahendus: Ls2= 14°45´ N Ps2= 003°23´ E Lahendus:
· Kui vektorid on võrdsed, siis on võrdsed ka nende samanimelised koordinaadid. · Vektorite summa ja vektori arvuga korrutamise ühesuse tõttu kehtib ka vastupidine: kui vektorite vastavad koordinaadid on võrdsed, siis on ka vektorid võrdsed. · Vektorite summa koordinaatideks on liidetavate vektorite vastavate koordinaatide summad. · Vektorite vahe koordinaatideks on lahutavate vektorite vastavate koordinaatide vahed · Vektori korrutamiseks mingi arvuga tuleb selle arvuga korrutada vektori koordinaate. · Vektori vastandvektori koordinaadid on esialgse vektori vastandarvud · Kollineaarsete vektorite vastavad koordinaadid on võrdelised · Kui kahe vektori vastavad koordinaadid on võrdelised, siis on vektorid kollineaarsed. 6.9 Otspunktidega määratud vektori koordinaadid Vektori koordinaadid avalduvad vektori lõpp-punkti ja alguspunkti samanimeliste koordinaatide vahedena.
1 10. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium KORDAMINE: FUNKTSIOONI GRAAFIK I Joonistel on kuue funktsiooni graafikud. Tee kindlaks, missuguste funktsioonidega on tegemist. 1 2 3 © Allar Veelmaa 2014 2 10. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium KORDAMINE: FUNKTSIOONI GRAAFIK II © Allar Veelmaa 2014 3 10. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium REAALARVUDE PIIRKONNAD Kuna erinevates õpikutes kasutatakse reaalarvude piirkondade märkimiseks erinevaid tähistusi, siis oleks kasulik teada mõlemat varianti. Nimetus Tingimus Esimene
MATEMAATIKA TÄIENDÕPE VALEMID JA MÕISTED KOOSTANUD LEA PALLAS 1 2 SAATEKS Käesolev trükis sisaldab koolimatemaatika valemeid, lauseid, reegleid ja muid seoseid, mille tundmine on vajalik kõrgema matemaatika ülesannete lahendamisel. Kogumikus on ka mõned kõrgema matemaatika õppimisel vajalikud mõisted, mida koolimatemaatika kursuses ei käsitletud.. 3 KREEKA TÄHESTIK - alfa - nüü - beeta - ksii - gamma - omikron - delta - pii - epsilon - roo - dzeeta - sigma - eeta - tau - teeta - üpsilon - ioota - fii - kapa - hii - lambda - psii - müü - oomega
1. Maatriksi mõiste, järk, tähistused, liigid. Maatriks on ristkülikukujuline arvude tabel, milles on m-rida ja n-veergu ja mis on ümbritsetud ümarsulgudega. Maatriksit tähistatakse suure tähega: Maatriksi järk tähistab maatriksi mõõtmeid: A on m*n järku maatriks. Liigid: · Ruutmaatriks (m=n) · Diagonaalmaatriks ruutmaatriks, mille peadiagonaalis arvud, muud elemendid 0-d. · Ühikmaatriks diagonaalmaatriksi erijuht. Peadiagonaali elemendid 1-d. Täh E. · Nullmaatriks kõik nullid. Täh . 2. Tehted maatriksitega (korrutamine arvuga, liitmine, lahutamine, korrutamine). · Korrutamine arvuga: korrutades maatriksit reaalarvuga, muutuvad kõik elemendid, selle arvu korra suuremaks. · Maatriksite liitmine: mõõtmed peavad olema samad. Ühemaatriksi elemendid liidetakse teise maatriksi vastavate elementidega: A = (a ij) ja B = (bij) A+B =(cij) kus cij = aij + bij. ·
C = A + B, cij = aij + bij , i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n. (1.2) 8 1.2. Definitsioon 1.5 Kui maatriksitel A ja B on võrdne arv ridu ja veerge, siis A ja B va- heks nimetatakse maatriksit D, mille elementideks on vastavate ele- mentide vahed: D = A - B, dij = aij - bij , i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n. (1.3) Definitsioon 1.6 Maatriksi A korrutiseks skalaariga ehk arvuga nimetatakse maat- riksit A, mille elemendid saadakse maatriksi A vastavate elementide läbikorrutamisel arvuga : A = ·A = (cij ), cij = ·aij , i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n. (1.4) Definitsioon 1.7 Me nimetame maatriksit nullmaatriksiks, kui kõik tema elemendid võrduvad nulliga, s.t.
MATEMAATIKA TÄIENDÕPE VALEMID JA MÕISTED KOOSTANUD LEA PALLAS 1 2 SAATEKS Käesolev trükis sisaldab koolimatemaatika valemeid, lauseid, reegleid ja muid seoseid, mille tundmine on vajalik kõrgema matemaatika ülesannete lahendamisel. Kogumikus on ka mõned kõrgema matemaatika õppimisel vajalikud mõisted, mida koolimatemaatika kursuses ei käsitletud.. 3 KREEKA TÄHESTIK Α α alfa Ν ν nüü Β β beeta Ξ ξ ksii Γ γ gamma Ο ο omikron Δ δ delta Π π pii Ε ε epsilon Ρ ρ roo Ζ ζ dzeeta Σ σ sigma Η η eeta Τ τ tau Θ θ teeta Υ υ üpsilon Ι ι ioota Φ φ fii Κ κ kap
Kõrgem matemaatika 1. Maatriksi mõiste, järk, tähistused, liigid. Maatriks ristkülikukujuline arvudega tabel, milles on m-rida ja n-veergu. Tähistused: (maatriksit tähistatakse suure tähega) a11 a12 ... a1n a 21 a 22 ... a2n i =1,2,..., m = A( aij ), ... ... ... ... j =1,2,..., n a m1 am2 ... a mn Maatriksi järk tähistab maatriksi môôtmeid; A on m*n järku maatriks. Maatriksi liigid: 1) Ruutmaatriks: m=n; 2) Diagonaalmaatriks: a11, a22, amm - peadiagonaal (diagonaalil ei ole 0; muud elemendid 0-d); 3) Ühikmaatriks (diagonaalmaatriksi erijuht): a11 = a22 ... = amm = 1; (Täh. E); 4) Nullmaatriks: aij = 0, iga i ja j korral; (Täh ). 2. Tehted maatriksitega (korrutamine arvuga, liitmine, lahutamine, korrutamine). 1) Korrutamine arvuga: A=(aij), kR; kA=C; C=(cij), kus cij = kaij. 2) Maatriksite liitmine: (m*n) ma. A, (p*q) m
õhumull täpselt keskel olema, kui ei ole siis korrata seda punkti. 6) Tsentreeri kinnituskruvidega. Nihutada treeger punktile. Kui ei õnnestunud, siis korrata punke 5 ja 6. Mõõdistuskäigu tasandamise põhimõte Iga mõõtmine sisaldab vigu! Teha kordusmõõtmisi. Mõõtmistulemuste tasandamine- keskmiste väärtuste parandamine Käigu tasandamine: Nurgaline sulgemisviga f beeta f= see mis on, miinus see, mis peab olema. Parandite summa= -(sulgemisviga) Parandatud nurkade summa = teoreetiline nurkade summa 3. loeng Mõõtmise vead -Juhuslikud -Süstemaatilised( instrument või mõõtja) -Jämedad(juhuslikult, mõõtjast) Mõõtmise viga: f= juhuslik viga-tegelik tulemus Juhuslikud vead - Ei ületa etteantud piiri( äärmine viga) - -esinevad võrdse väärtuse korral ühusuguse seadusega nii + kui - märgiga - Väiksed juh
MATEMAATLINE ANALÜÜS II 1. KORDSED INTEGRAALID Kordame kõigepealt mõningaid teemasid Matemaatlise analüüsi I osast. 1.1 Kahe muutuja funktsioonid Kui Tasndi R 2 mingi piirkonna D igale punktile x, y D seatakse ühesel viisil vastavusse arv z, siis öeldakse, et piirkonnas D on määratud kahe muutuja funktsioon z f x, y . Piirkoda D nimetataksefunktsiooni f määramispiirkonnaks. See on mingi piirkond xy-tasandil. Näide 1. Poolsfääri z 1 x2 y 2 määramispiirkonnaks on ring x 2 y2 1. Funktsiooni z ln x y määramispiirkonnaks on pooltasand y x (sirgest y x ülespoole jääv tasandi osa: vaata joonist). Kahe muutja funktsioon ise esitab pinda xyz-ruumis (ruumis R 3 ). Näide 2. Funktsiooni z x2 y 2 graafikuks on pöördparaboloid (vaata allpool olevat joonist) Kahe muutuja funktsiooni f nivoojoonteks nimetatakse jooni f x, y c Näide 3. Tüüpiline näide nivoojoo
2007. aasta matemaatika riigieksami ülesanded koos lahenduste ja kommentaaridega 2 1. ÜLESANNE (5 punkti) Ülesannete tekstid 1 5x 1 I Antud on avaldis 2 , kus x 0 ja x . x 25 x 2 x 0 5 1) Lihtsustage see avaldis. 3 2) Arvutage avaldise väärtus, kui x 2 . Vastus andke täpsusega 10 2. 2 x 2 (9 x 2 x 0 ) 1 II Antud on avaldis , kus x 0 ja x . 1 3x 3 1)
SISUKORD 1 TÖÖDE ÜLDISELOOMUSTUS _____________________________________2 2 GEODEETILISTE MÄRKIDE RAJAMINE, VÄLISVORMISTUS JA ASUKOHAKIRJELDUSTE KOOSTAMINE ___________________________4 2.1 Ülevaade märkide rekonstrueerimistöödest ______________________________ 4 2.2 Märkide ehitamine _________________________________________________ 5 2.3 Kasutatud märgitüüpide kirjeldused ____________________________________ 7 2.4 Välisvormistus ____________________________________________________ 9 2.5 Asukohakirjelduste koostamine _______________________________________ 9 3 KOHALIKU GEODEETILISE PÕHIVÕRGU 2. JÄRK__________________10 3.1 Kõrguslike lähtepunktide geomeetriline nivelleerimine ____________________ 10 3.1.1 Kasutatud instrumendid _________________________________________________12 3.1.2 Instrumentide kontroll __________________________________________________12 3
MAATRIKS: Maatriks nimetatakse ümarsulgudesse paigutatud reaalarvude tabelit, milles on eristatavad read ja veerud. Maatriksi mõõtmed Maatriksit, milles on m rida ja n veergu nimetatakse täpsemalt (m,n)- maatriksiks ning arvupaari (m,n) selle maatriksi mõõtmeteks. Maatriksi järk Omadus, mis esineb ainult ruutmaatriksil: Näiteks Mat(n,n) nim. n-järku maatriksiks. Maatriksi elemendid nimetatakse reaalarve, milledest maatriks koosneb. Maatriksi ja maatriksite hulga tähistused Maatrikseid tähistatakse tavaliselt suurte ladina tähtedega: A, B,....X, Y, Z. Maatriksite elemente tähistatakse vastavate väikeste ladina tähtedega, mis võivad olla varustatud ka indeksitega: a, b, c, jne. Kõigi (kõikvõimalike mõõtmetega) maatriksite hulka tähistame edaspidi Mat abil ning kõigi (m, n)-maatriksite hulka tähistame edaspidi Mat(m, n) abil. Ruutmaatriks maatriks, mille ridade arv on võrdne veergude arvuga, s.t. m=n Ristkülikmaatriks maatriks, mille ridade arv
märk muuta vastupidiseks. Rp h1 P1 l1 l3 l2 h3 h2 P2 2. Seotud nivelleerimiskäigu arvutamine Lubatud sulgemisviga f h = ±50 L (mm). Sektsioonide kõrguskasvud parandada proportsionaalselt. Parandid arvutatakse sama täpsusega kui olid määratud kõrguskasvud. Lõpus ka kontrollida, kas summa võrdne teoreetilise reeperite kõrgusvahega. Arvutatakse uute reeperite kõrgused. 3. Rippuva nivelleerimiskäigu arvutamine Rippuv käik on selline, mille alguses või lõpus on ainult üks riiklik reeper ja sellisel juhul tuleb kõik sektsioonid nivelleerida edasi ja tagasi suunas. Rangeid kontrolli võimalusi pole, kontrolliks võrreldakse edasi ja tagasi suuna kõrguskasvusid. Lubatud vahe sõltub täpsusklassist f h = ±50 l edasi +ltagasi . Kui erinevus h on lubatud piirides, siis
KORDAMISKÜSIMUSED 2015/2016 Kõrgem matemaatika MTMM. 00.145 (6EAP) 1. Maatriksi mõiste, järk, tähistused, liigid. Maatriks on ristkülikukujuline arvude tabel, milles on m-rida ja n-veergu ja mis on ümbritsetud ümarsulgudega. Maatriksit tähistatakse suure tähega. Kui aij on reaalarvud ning i = 1; 2;...;m ja j = 1; 2;...; n, siis tabelit: nimetatakse täpsemalt (m x n)-maatriksiks ja kasutatakse tähistusi Am x n või Amn. Arvupaari (m; n) nimetatakse maatriksi A mõõtmeteks. Tabelis paiknevaid arve aij nimetatakse maatriksi elementideks. i reaindeks; j veeruindeks. reamaatriks (1 x n); veerumaatriks (m x 1); ruutmaatriks m = n Tähistused: maatriksi järk naturaalarvude paar m x n (ridade ja veergude arv). ruutmaatriksi korral järk n (n = ridade arv = veergude arv). maatriksi liigid: nullmaatriks kõik elemendid 0. tähistus teeta ruutmaatriks rida
Vektor. Joone võrrand. Analüütiline geomeetria. Hele Kiisel, Hugo Treffneri Gümnaasium Analüütilise geomeetria teemad on gümnaasiumi matemaatikakursuses jaotatud kaheks osaks: analüütiline geomeetria tasandil, mida õpetatakse nii kitsas kui laias kursuses 10. klassi viimase teemana ja analüütiline geomeetria ruumis, mida õpetatakse vaid laias matemaatikas 12. klassis. Esimene kursus kannab pealkirja ,,Vektor tasandil. Joone võrrand" nii laias kui kitsas matemaatikas, kuid erinevused sisus on olulised. Kitsas matemaatikas peab kolmanda kursuse lõpetaja oskama selgitada vektori mõistet ja selle koordinaate; liitma ja lahutama vektoreid ning korrutama vektoreid arvuga nii geomeetriliselt kui ka koordinaatkujul; arvutama vektori pikkust; leidma vektorite skalaarkorrutist ning tundma vektorite ristseisu ja kollineaarsuse tunnuseid. Õpilane koostab sirge võrrandi, kui sirge on määratud punkti ja tõusuga, tõusu ja algordina
MATEMAATILINE ANALÜÜS II Kood YMM0012 3,5 AP KORDAMISKÜSIMUSED 1. Mitme muutujaga funktsiooni mõiste m-muutuja funktsiooniks nimetatakse kujutist, mis seab suuruse P igale väärtusele tema muutumispiirkonnast D vastavusse suuruse z ühe kindla väärtuse Mitmemuutuja funktsioon graafik Funktsiooni z=f(x1,x2,...,xm), määramispiirkonnaga D, graafikuks nimetatakse järgmist ruumi Rm+1 alamhulka ={(x1,x2,...,xm,f(x1,x2,...,xm))||P(x1,x2,...,xm)D} 2. Nivoojooned ja pinnad Kahemuutuja funktsiooni z=f(x,y) nivoojooneks nimetatakse joont, mille moodustavad piirkonna D punktid (x,y) mille korral f(x,y)=C, kus C on etteantud konstant Skalaarvälja f ehk funktsiooni f nivoopinnaks nimetatakse pinda, mis koosneb piirkonna D punktidest (x,y,z) mille korral f(x,y,z)=C, kus C on etteantud konstant. 3. Mitme muutuja funktsiooni piirväärtus ja pidevus Mitmemuutuja funktsiooni piirväärtus m-muutuja funktsioonil f on piirväärtus b punktis A kui suvalises piirprotsessis PA, mis rahulda
annaabi.ee 
