Leidsid 33 sarnast õppematerjali, mis on seotud failiga "Korrapärase nelinurkse püramiidi täispindala Pythagorase teoreemi abil". Need materjalid aitavad sul teemat sügavamalt mõista.
ruudus, pythagorase, teoreem, hüpotenuus, täisnurkse, ruutude, ruutjuur, nelinurkse, sõnastus, summaga, kaatetid, võrduma, täisnurkne, keskpunkti, teoreemil, lahendeidHüpotenuusile joonestatud kõrgus jaotab hüpotenuusi kaheks osaks, mida nimetatakse kaatetite projektsioonideks hüpotenuusil C f kaateti a projektsioon g kaateti b projektsioon a h b f g B A D c Teoreem täisnurkse kolmnurga kõrgusest Täisnurkse kolmnurga hüpotenuusile tõmmatud kõrgus on kaatetite projektsioonide geomeetriline keskmine C h fg a h b ehk h fg 2 f g B A D
1290 sisestada ruutjuure alune arv arvutisse, Leida arvutil ruutjuur, ümardada vajutada klahvile "ruutjuur"; vajadusel sajandikeni. ümardada; arv on väiksem kui 1: ruutjuur =9.542012366 9,54 antakse standardkujul, näiteks 6.1646 -01, s.t. et koma tuleb nihutada ühe koha võrra =99.994999875 99,99 vasakule 0,61646, ümardades vastuse näiteks sajandikeni 0,62 NB ruutjuure saab leida ka vastava matemaatilise tabeli abil 7.Korrutise ruutjuur - TEOREEM. Näited. Mittenegatiivsete arvude korrutise ruutjuur võrdub tegurite ruutjuurte korrutisega. NB ühest ruutjuurest võib saada kahe (mitme) ruutjuure korrutise või vastupidi 8.Jagatise ruutjuur - TEOREEM. Ül.1304, 1306 Mittenega-tiivse arvu ja positiivse arvu jagatise ruutjuur võrdub jagatava = = ruutjuure ning jagaja ruutjuure jagatisega. = = =
1074 kahe kõõlu vaheline nurk; toetub kaarele, mis Arvuta piirdenurk, mis toetub kaarele 100°. jääb kõõlude teiste otspunktide vahele; 100°:2=50° suurus=kaar kraadides:2 või samale kaarele Kui suur on kaar, millele toetub piirdenurk toetuv kesknurk:2; kõik samale kaarele 80°? toetuvad piirdenurgad (tipp asub erinevalt) on 2 80°=160° võrdsed vaata lk.177 NB piirdenurga 90° kohta kehtib Thalese teoreem 4.Piirdenurga omadus - teoreem: piirdenurk Ül.1078 on pool temaga samale kaarele toetuvast 1.joonis kesknurgast; tõestus tuleb esitada kolmes antud: piirdenurk kui võrdhaarse kolmnurga osas vastavalt sellele, kas ringi keskpunkt on alusnurk 70°, leida nurgad n,p,q,r o piirdenurga ühel haaral, piirdenurga sees või n=70 võrdhaarse kolmnurga alusnurk o o o
17. Biruutvõrrand neljanda astme võrrand kujul ax4+bx2+c=0. 18. Diagonaal hulknurga kaht mitte ühele küljele kuuluvat tippu ühendav lõik või sirge. Hulknurga kaht mitte ühele tahule kuuluvat tippu ühendav lõik. 19. Diameeter ringjoone keskpunkti läbiv lõik, mis ühendab ringjoone kaht punkti. Sfääri keskpunkti läbiv lõik, mis ühendab sfääri kaht punkti. 20. Diskriminant avaldis, mis on ruutvõrrandi lahendivalemis juuremärgi all. 21. Eukleidese teoreem täisnurkse kolmnurga kaateti ruut võrdub selle kaateti projektsiooni ja hüpotenuusi korrutisega : a2=fc ja b2=gc 22. Geomeetriline keskmine ruutjuur kahe positiivse arvu korrutisest. 23. Harmooniline keskmine kahe arvu a ja b kahekordse korrutise jagatis nende arvude summaga . 24. Hektar pindalaühik 1ha = 10 000m2. 25. Hulkliige üksliikmete summa . 26. Hulktahukas e. polüeeder hulkadega piiratud geomeetriline keha. 27
17. Võrdkülgse kolmnurga alusnurgad ja tipunurk on võrdsed. 18. Võrdhaarse kolmnurga aluse nurki nimetatakse alusnurkadeks ja aluse vastasnurka tipunurgaks. 19. Kolmnurga välisnurk on võrdne temaga mitte kõrvu olevate sisenurkade summaga. 20. Thalese teoreemi kohaselt on ringjoone diameetrile toetuv piirdenurk alati täisnurk. 21. Thalese pöördteoreem - Täisnurkse kolmnurga hüpotenuus on ühtlasi selle kolmnurga ümberringjoone diameetriks. Kui kombineerida Thalese teoreem ja tema pöördteoreem, siis saame järgmise tõese lause: Kolmnurga ümberringjoone keskpunkt asub ühel kolmnurga külgedest siis ja ainult siis, kui see kolmnurk on täisnurkne. 22. Kolmnurga alus - Kolmnurga aluseks nimetatakse seda kolmnurga külge, mille suhtes kõrgus määratakse. 23. Kolmnurga kõrgus - Kolmnurga kõrgus on alusele selle vastastipust joonestatud ristlõik ning ka selle ristlõigu pikkus. 24
17. Võrdkülgse kolmnurga alusnurgad ja tipunurk on võrdsed. 18. Võrdhaarse kolmnurga aluse nurki nimetatakse alusnurkadeks ja aluse vastasnurka tipunurgaks. 19. Kolmnurga välisnurk on võrdne temaga mitte kõrvu olevate sisenurkade summaga. 20. Thalese teoreemi kohaselt on ringjoone diameetrile toetuv piirdenurk alati täisnurk. 21. Thalese pöördteoreem - Täisnurkse kolmnurga hüpotenuus on ühtlasi selle kolmnurga ümberringjoone diameetriks. Kui kombineerida Thalese teoreem ja tema pöördteoreem, siis saame järgmise tõese lause: Kolmnurga ümberringjoone keskpunkt asub ühel kolmnurga külgedest siis ja ainult siis, kui see kolmnurk on täisnurkne. 22. Kolmnurga alus - Kolmnurga aluseks nimetatakse seda kolmnurga külge, mille suhtes kõrgus määratakse. 23. Kolmnurga kõrgus - Kolmnurga kõrgus on alusele selle vastastipust joonestatud ristlõik ning ka selle ristlõigu pikkus. 24
sin sin sin Koo sin usteoreem a 2 b 2 c 2 2bc cos b 2 a 2 c 2 2ac cos c 2 a 2 b 2 2ab cos Täisnurkne kolmnurk Pythagorase teoreem a 2 b 2 c 2 Eukleidese teoreem a 2 fc, b 2 gc Teoreem kõrgusest h 2 fc ab ch S 2 2 f c 90 0
ka mediaan, kuna kolmnurk on võrdkülgne. 3 Mediaanide lõikepunkt jaotab mediaani suhtes 2 B C 1 : 2 ja tipu poole jääb nii h . 3 3 2 3 Leiame Pythagorase teoreemi abil kolmnurga kõrguse h 32 3 3 cm . 2 2 23 3 3 cm . 2 BC h 3 3 2 Leiame nüüd kolmnurgast OBC Pythagorase teoreemi abil kera raadiuse R OC 4 2 32
3a 2 3a 6 a 2 3a 9a 6 a 2 3a 1 2 2 ; 3a 3a a 1 a 1 1 a 2) a 1 . a a a Kui a = 0,5, siis 1 a 1 0,5 0,5 1. a 0,5 0,5 Täisnurkse kolmnurga lahendamine Pythagorase teoreem 1. Leia täisnurkse kolmnurga 1) hüpotenuus c, kui kaatetid a = 5 cm ja b = 12 cm; Lahendus: Hüpotenuusi c arvutamiseks kasutame valemit c2 a 2 b2 ; c a 2 b2 . c 5 2 12 2 169 13. Vastus: hüpotenuus c = 13 cm. 2) kaatet a, kui hüpotenuus c = 10 cm ja teine kaatet b = 6 cm; Lahendus: Kaateti a arvutamiseks kasutame valemit c2 a 2 b2 ; a c2 b2 . a 10 2 6 2 64 8. Vastus: kaatet a = 8 cm.
Leia risttahuka mõõtmed. 2. Urnis on 5 musta, 7 kollast ja 4 punast palli. Leia tõenäosus, et juhuslikult võetud kolme palli hulgas on. 1) vähemalt 2 kollast palli; 2) Kõik erinevat värvi pallid; 3) kõik ühtevärvi pallid. 3. Leia kõik reaalarvude paarid (x;y), mis rahuldavad võrrandit 2 x +1 = 4 y 2 +1 ja võrratust 2 x 2 y . 4. Kahe positiivse arvu vahe moodustab 1/19 nende kuupide vahest, nend4e korrutis on aga ½ võrra väiksem nende ruutude poolsummast. Leia need arvud. 5. Lahenda võrrand 3sin 9 + 3 = 3 vahemikus (-2; 2). 6. Võrdkülgsesse kolmnurka küljega a on kujundatud teine võrdkülgne kolmnurk, mille tipud asuvad esimese kolmnurga külgedel jaotades need suhtes 1:2. Leia väiksema kolmnurga pindala. 7. Koonusekujulise veiniklaasi kõrgus on h. Mitu protsenti klaasi ruumalast on täidetud, kui klaasi fvalatakse veini poole kõrguseni? 8
PLANIMEETRIA KORDAMINE NELINURGAD RÖÖPKÜLIK Vastasküljed on paralleelsed ja võrdsed Vastasnurgad on võrdsed Diagonaalid poolitavad teineteist Diagonaal jaotab rööpküliku kaheks pindvõrdseks kolmnurgaks Lähisnurkade summa on 180º ( Diagonaalide ruutude summa on võrdne külgede ruutude summaga: d 12 + d 22 = 2 a 2 + b 2 ) Ümbermõõt. P = 2( a + b ) Pindala: S = ah S = a b sin ROMB On võrdsete külgedega rööpkülik, seega on rombil kõik rööpküliku omadused. Lisaks on rombi diagonaalid risti ja poolitavad rombi nurgad, Rombi kõrgused on pikkuselt võrdsed. 1 Rombi diagonaalide lõikepunkt on siseringjoone keskpunkt r = h
Nt. 2x² + 5x 6 = 0 Nullkoht on argumendi väärtus, mille korral funktsiooni väärtus on 0. (ehk siis x väärtus, mille korral y=0) Nurk on geomeetriline kujund, mille moodustavad kaks ühest ja samast punktist väljuvat kiirt koos tasandi osaga, mis jääb nende kiirte vahele. Paarisarv on täisarv, mis jagub kahega. Nt. (0), 2, 4, 6, 8, 10, 12, ... Kahe paarisarvu liitmisel saadakse paarisarv, ning kahe paarisarvu korrutamisel saadakse samuti paarisarv. Nt. 18+18=36; 18*18=324. Paaritu arv on täisarv, mis ei jagu kahega. Nt. 1, 3, 7, 9, 11, 13 ...Kahe paaritu arvu korrutamisel saadakse paaritu arv, kuid kahe paaritu arvu liitmisel saadakse paarisarv. Nt. 7*7=49; 7+7=14. Parabool on ruutfunktsiooni graafik. Parabooli haripunkt on punkt, mis asub parabooli sümmeetriateljel. See jaotab parabooli kaheks haruks. Paralleelsed sirged on sirged, mis pikendamisel üksteisega kunagi ei ristu.
1. harilik murd Harilik murd näitab, mitmeks võrdseks osaks on tervik jaotatud ja mitu sellist osa on võetud. 2. kümnendmurd Kümnendmurd on komaga arv. N: 23,4 ;14,1 ; 3,8 ; 10,5 3.murru taandamine Hariliku murru taandamiseks nimetatakse murru lugeja ja nimetaja jagamist ühe ja sama nullist erineva arvuga. 4.Astmete korrutamine Ühe ja sama arvu astmete korrutamisel astendajad liidetakse. 32 · 31 = 32 + 1 = 33 = 3 · 3 · 3 = 27 5.Astmete astendamine Astme astendamisel astendajad korrutatakse. 6.Astmete jagamine Ühe ja sama arvu astmete jagamisel astendajad lahutatakse. a m : a n = a m-n 7.Negatiivne astendaja Murd, mille lugejaks on arv 1 nimetajaks sama aste positiivse astendajaga. 1 a -n = n , kus a 0 a 8.Arvu standardkuju Kui arv on esitatud kahe teguri korrutisena, millest üks jääb arvude 1 ja 10 vahele ning teine
Albu Põhikool Pythagorase teoreem Koostas:Merilin Talimaa Juhendaja: Ivi Madison Albu 2011 Pythagorase teoreem SISSEJUHATUS Pythagoras on usutavasti kuulsaim Sokratese-eelne filosoof, kuid tema isik on ümbritsetud nii suurest hulgast legendidest, et ajaloolist tõde on raske eritleda. Kindel pole seegi, kas ta ise midagi kirja pani, kõik teadmised Pythagorase isiku ja õpetuste kohta pärinevad hilisemast ajajärgust, peamiselt meie aja esimestest sajanditest. Tema kaasaegsed, Platon ja Aristoteles näiteks, mainivad teda oma kirjutistes vaid mõnel korral. Andmed Pythagorase kohta on ka küllaltki vastukäivad. Herakleitos (ca. 544-483 eKr) kirjutas: ``palju teadmine ei tee targaks, muidu oleks ta targaks teinud .. Pythagorase``. Kreeka ajaloolane ja luuletaja Herodotos (ca. 484-425 eKr) seevastu
nurga haaradest võrdsel kaugusel) 6. Kolmnurga sisenurga poolitaja omadus (Kolmnurga sisenurga poolitaja jaotab vastaskülje osadeks, mis suhtuvad nagu selle nurga lähisküljed ) 7. Kolmnurga sise-ja ümberringjoone keskpunkti leidmine(1. nurgapoolitajate lõikepunkt, 2. külgede keskristsirgete lõikepunkt). 8. Kolmnurga kongruentsuse tunnused(1. tunnus KNK, 2. tunnus NKN, 3. tunnus KKK ja tunnus KKN) 9. Teoreem kolmnurga kesklõigust (Kesklõik on paralleelne küljega ja võrdub poolega sellest) 10. Võrdelised lõigud. Kiirteteoreem (Kui nurga haarad on lõigatud paralleelsete sirgetega, siis ühel haaral tekkinud lõigud on võrdelised teise haara vastavate lõikudega. Nurga haarade lõikamisel paralleelsete sirgetega tekivad võrdeliste külgedega kolmnurgad) 11. Kolmnurkade sarnasus. (Täisnurksete kolmnurkade sarnasuse tunnused. Kaks täisnurkset kolmnurka on sarnased, kui 1
nurga haaradest võrdsel kaugusel) 6. Kolmnurga sisenurga poolitaja omadus (Kolmnurga sisenurga poolitaja jaotab vastaskülje osadeks, mis suhtuvad nagu selle nurga lähisküljed ) 7. Kolmnurga sise-ja ümberringjoone keskpunkti leidmine(1. nurgapoolitajate lõikepunkt, 2. külgede keskristsirgete lõikepunkt). 8. Kolmnurga kongruentsuse tunnused(1. tunnus KNK, 2. tunnus NKN, 3. tunnus KKK ja tunnus KKN) 9. Teoreem kolmnurga kesklõigust (Kesklõik on paralleelne küljega ja võrdub poolega sellest) 10. Võrdelised lõigud. Kiirteteoreem (Kui nurga haarad on lõigatud paralleelsete sirgetega, siis ühel haaral tekkinud lõigud on võrdelised teise haara vastavate lõikudega. Nurga haarade lõikamisel paralleelsete sirgetega tekivad võrdeliste külgedega kolmnurgad) 11. Kolmnurkade sarnasus. (Täisnurksete kolmnurkade sarnasuse tunnused. Kaks täisnurkset kolmnurka on sarnased, kui 1
Selle võrrandi lahend on x = 6. 11. Kahe tundmatuga lineaarvõrrandi lahendamine (Graafiline, liitmisvõte, asendusvõte) 12. Tekstülesannete lahendamine lineaarvõrrandsüsteemi abil. 13. Defineerimine ja algmõisted. Definitsioon on mõiste lühike ja täpne seletus. Mõisted, mida ei saa seletada nimetatakse algmõisteteks. Algmõisteid ei defineerita, vaid neile antakse nii täpne kirjeldus, kui see võimalik on ja tuuakse selgituseks näiteid 14. Teoreem ja aksioom. Eeldus ja väide. Pöördteoreem. Põhitõdesid, mida ei saa tõestada, nimetatakse aksioomideks. Teoreem on lause, mille õigsust tõestatakse arutluse abil. Teoreem koosned eeldusest ja väitest. Kui vahetame ära eeldus ja väite, saame pöördlause: v => e Antud lause pöördlause võib olla nii tõene kui ka väär. Kui pöördlause on tõene, siis nimetame seda pöördteoreemiks. 15. Kahe sirge lõikamisel kolmanda sirgega tekkivad nurgad.
5)iga kahe punkti A ja B korral AB=BA 6)väljaspool sirget olevat punkti läbib ainult üks sirge, mis on paralleelne antud sirgega (paralleelide aksioom) 9.Teoreem - lause, mille tõesust saab Ül.596 põhjendada varem teada olevate tõdede Teoreem (kõrvunurkade omadus). abil Kõrvunurkade summa on 180°. Teoreem (tippnurkade omadus). NB kasutatakse teiste teoreemide Tippnurgad on võrdsed. tõestamisel Teoreem (3-ga jaguvuse tunnus). Arv jagub 3-ga parajasti siis, kui tema ristsumma jagub 3-ga.
Matemaatika 9.klass 1.Ühenimeliste murdude summa on murd,mille nimetajaks on murdude ühine nimetaja ja lugejaks murdude lugejate summa. (Näide1) 2.Harilike murdude korrutis on murd,mille lugejaks on nende murdude lugejate korrutis ja nimetajaks murdude nimetajate korrutis.(Näide2) Harilike murdude jagatis on murd,mis saadakse esimese murru korrutamisel teise murru pöördarvuga.(Näide3) 3,4-kümnendmurrud.(Näide4) 5.negatiivsed ja erimärgilised arvud.(Näide5) 6.sulud,astendamine,korrutamine,jagamine,liitmine,lahutamine 7. 35=3*3*3*3*3=243.(Näide6) 8.(Näide8) Ruutude vahe valem: a² - b² = (a+b)(a-b) Vaheruudu valem: (a - b)² = a² - 2ab + b² Summaruudu valem: (a + b)² = a² + 2ab + b² Kuupide summa valem: a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²) Kuupide vahe valem: a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)
PLANIMEETRIA III 1.Leida täisnurkse kolmnurga küljed, kui kolmnurga ümbermõõt on 12 cm ja kaatetite vahe on 1 cm. 2. Arvutada täisnurkse kolmnurga kaatetid, kui täisnurga poolitaja jaotab hüpotenuusi lõikudeks, mille pikkusedon 15 cm ja 20 cm. 3.Täisnurkse kolmnurga kaatetid suhtuvad nagu 5:6 ja hüpotenuus on 122 cm. Arvuta lõigud, milleks kõrgus jaotab hüpotenuusi. 4. Täisnurkse kolmnurga kaatetid on 8 cm ja 6 cm. Täisnurga tipust on tõmmatud ristlõik hüpotenuusile, leia selle pikkus. 5. Täisnurkse kolmnurga kaatetid on 16 cm ja 12 cm. Arvutada sise- ja ümberringjoone raadius. 6. Täisnurkse kolmnurga kaatetid on 15 dm ja 20 dm. Arvutada siseringjoone keskpunkti kaugus hüpotenuusioe joonestatud kõrgusest. 7. Täisnurkse kolmnurga üks kaatet on 15 cm ja siseringjoone raadius 3 cm. Leia selle kolmnurga pindala. 8
Täisnurkne kolmnurk on kolmnurk, mille üks nurk on täisnurk ehk 90° = /2 rad. Täisnurkse kolmnurga täisnurga moodustavad küljed on 2kaatetid ja üle jääv külg on 3hüpotenuus. Täisnurkse kolmnurga hüpotenuusi tähistatakse tavaliselt tähega c ning kaateteid tähtedega a ja b. Hüpotenuus on alati pikem mõlemast kaatetist. Hüpotenuusi lähisnurgad on väiksemad täisnurgast ja nende summa võrdub täisnurgaga. Vastavalt Pythagorase teoreemile võrdub kaatetite ruutude summa hüpotenuusi ruuduga. 2 kaatet- täisnurkse kolmnurga teravnurga vastaskülg. (Väike Entsüklopeedia, lk 367) 3 hüpotenuus- täisnurkse kolmnurga pikim külg (täisnurga vastaskülg). (Väike Entsüklopeedia, lk 310) 7 3.Võrdhaarne kolmnurk Võrdhaarne kolmnurk on kolmnurk, mille kaks külge on võrdse pikkusega. Võrdhaarse
1o = rad ; 180 1 rad 57,3o . (kraadides) 0o 30o 45o 60o 90o 180o 270o 360o x (radiaanides) 0 3 2 6 4 3 2 2 3.2 Teravnurga trigonomeetrilised funktsioonid Täisnurkse kolmnurga teravnurkade trigonomeetrilised funktsioonid on järgmised. vastaskaatet a b Teravnurga siinus = ; sin = , sin = hüpotenuus c c lähiskaatet b a c Teravnurga koosinus = ; cos = , cos =
sin sin sin vastasnurk. Koosinusteoreem Teoreemi saab kasutada siis, kui on teada kolmnurga kolm külge või kaks külge ja nende- a2 b2 c 2 2bc cos vaheline nurk. b2 a2 c 2 2ac cos Kui külgede vaheline nurk on täisnurk, siis saame koosinusteoreemi erijuhuna Pythagorase c 2 a2 b2 2ab cos teoreemi. Märkus: kui kolmnurga lahendamisel tuleb leida kaks nurka, siis tuleb esmalt leida väiksem nurk (see asub lühema külje vastas) ja seejärel 180°-st lahutamise teel suurem nurk. © Allar Veelmaa 2014 20 10. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium VEKTOR. VEKTORI KOORDINAADID
............võrdhaarne.................................... 0,1 dm, 1cm ja 10 mm ........................võrdhaarne......................... 2 m, 6 km ja 6 km .........................võrdhaarne........................ ÜLESANDEID TÄISNURKSE KOLMNURGA KÜLGEDE JA NURKADE LEIDMISELE 1. Milline on täisnurkse kolmnurga nurkade summa? ....................180*........... 2. Milline on täisnurkse kolmnurga teravnurkade summa? .......90*........................ 4. Arvuta täisnurkse kolmnurga teine 3. Täisnurkse kolmnurga mõlemad teravnurk, kui üks teravnurkadest on kaatetid on 5 cm. Joonesta see kolmnurk ja mõõda hüpotenuus ning teravnurgad. * 20º ...........70*..............
trapetsi kõrgus. a+b 2b + b 3b 3b S= h= h= h; S = h 2 2 2 2 = , kui põiknurgad paralleelsete sirgete lõikamisel 3. sirgega, d-ga. Nelinurk A1BCD on romb: alusnurgad ei ole täisnurgad, diagonaalid poolitavad nurgad, vastasküljed on paralleelsed. Järelikult lühem alus võrdub haaraga c = b. Kolmnurk CEB on täisnurkne. Pythagorase teoreemi järgi saame 2 2 b 2 b 3b 2 3b 2 b h = c - = b - = 2 2 h= = 3. 2 4 4 4 2 3b b 3b 2 3 4S S= 3= b2 = 2 2 4 3 3 4S S 3 S 3 2 b= = 2 = 2 = S 3
1o rad ; 180 1 rad 57,3o . (kraadides) 0o 30o 45o 60o 90o 180o 270o 360o x (radiaanides) 0 3 2 6 4 3 2 2 3.2 Teravnurga trigonomeetrilised funktsioonid Täisnurkse kolmnurga teravnurkade trigonomeetrilised funktsioonid on järgmised. vastaskaatet a b Teravnurga siinus ; sin , sin hüpotenuus c c lähiskaatet b a
Valem: C = 2r. C 2 3,14 8; C 50,24 cm. Ring Ring on rinjoonega piiratud tasandi osa koos seda piirava ringjoonega. Ringi pindala Selleks, et arvutada ringi pindala, tuleb korrutada raadiuse ruuduga. Valem: S = r² Ruut Ümbermõõt: P = 4 a Pindala: S = a² (vastus alati .. cm² !) Ristkülik - Ümbermõõt: P = 2 (a+b) Pindala: S = a b Kolmnurk Iga kolmnurkade nurkade summa on 180° Ümbermõõt: P = kl + lm + km (küljed). Pindala: Täisnurkse kolmnurga pindala võrdub kaatetite poole korrutisega: S ABC = a b : 2. Seadused: 1) Kui ühe kolmnurga kaks külge ja nende vahel olev nurk on vastavalt võrdsed teise kolnurg kahe külje ja nende vahel oleva nurgaga, siis on need kolmnurgad võrdsed. 2) Kui ühe kolmnurga kolm külge on vastavalt võrdsed teise kolmnurga kolme küljega, siis on need kolmnurgad võrdsed.
Vastused x2 3x 1 4 I 1) ; 2) 0,61. II 1) 2 ; 2) 0,936. III 1) ; 2) 1,887 . 5x 1 x 3x 2 Näpunäited Lihtsustamisel vabastame kõigepealt avaldise negatiivsest astendajast ja astendajast 0: 1 I ja II x 2 2 , x 0 1 , III (3 x) 0 1 . x Lahutame avaldises esineva ruutude vahe tegureiks: 25 x 2 1 (5 x 1)(5 x 1) , 9 x 2 1 (3 x 1)(3 x 1) , 9 x 2 4 (3 x 2)(3 x 2) . 2 3 Lahendused I 1 5x 1 5x x 2 (1 5 x) x2 1) = = = . x 2
ning vastaskljed ja vastasnurgad on vrdsed. 26. Milline nelinurk on trapets? * Trapets on kumer nelinurk, mille kaks klge (alused) on omavahel paralleelsed ja kaks lejnud klge (haarad) ei ole omavahel paralleelsed. 27.Milline kujund on romb? * Romb on rpklik, mille kljed on vrdsed pikkusega. 28. Kolmnurga sisenurkade summa. * Kolmnurkade sisenurkade summa on 180 kraadi. 29. Kolnurga vlisnurga omadus. * Kolmnurga vlisnurk vrdub nende sisenurkade summaga, mis ei ole tema krvunurgad. Vlisnurkade summa vrdub tisprdega ehk 360 kraadi. 30. Kolmnurga kesklik. * Kolmnurga keskliguks nimetatakse tema kahe klje kekspunkte ahendavat liku. *Kolmnurga kesklik on lik, mis hendab kolmnurga klgede keskpunkte 31. Trapetsi kesklik. * Trapetsi kesklik on paralleelne alustega ja vrdub aluste poolsummaga. 32. Kolnurga mediaan. * Kolmnurga mediaaniks nimetatakse liku , mis hendab kolmnurga tippu selle vastasklje keskpunktiga. 33. Kesknurk.
................................................................................ 8 Negatiivse täisarvulise astendajaga aste...............................................................................9 Arvu 10 astmed.....................................................................................................................9 Juurimine.................................................................................................................................. 9 Ruutjuur................................................................................................................................9 Arvu n-es juur.....................................................................................................................10 Tehted juurtega...................................................................................................................10 Murru nimetaja vabastamine irratsionaalarvust.........................................
25 November 2009 on the EU Ecolabel. [http://eurlex.europa.eu/LexUriServ/LexUriServ.do? uri=OJ:L:2010:027:0001:0019:EN:PDF] 21.09.2012 15. Singh, T.; Slotkin, M. H.; Vamosi, A. R. 2007. Journal of Vacation Marketing. Los Angeles, London, New Delhi, Singapur: SAGE Publications. Vol. 13(2), pp. 119 134. 16. Wearing, S.; Neil, J. 2002. Ecotourism Impacts, Potentials and Possibilities. Oxford: Butterworth-Heineman, pp. 171194. 13 Lisa 1. Pythagorase teoreem Pythagorase teoreemi järgi võrdub täisnurkse kolmnurga hüpotenuusi ruut kaatetite ruutude summaga. c2= a2 + b2, kus c täisnurkse kolmnurga hüpotenuus, a, b täisnurkse kolmnurga kaatetid. Joonis 3. Täisnurkne kolmnurk (Autori koostatud). 14
argumendi väärtusi, mille korral tuletis võrdub nulliga või lõplik tuletis puudub. Teoreem: Lokaalse ekstreemumi tarvilik tingimus. Kui funktsioonil f on punktis x 1 lokaalne ekstreemum, siis on x1 Järgnevalt olgu x punktist x1 paremal. Siis x - x1 > 0. Jagades võrratuse positiivse arvuga x - x1 saame selle funktsiooni kriitiline punkt. Funktsioonil (lk.88 joonis) on punktides koordinaatidega (a, f(a)), (b, f(b)), (c, f(c)) ja (d,
x x1. Seega tuletise definitsiooni põhjal Järgnevalt olgu x punktist x1 paremal. Siis x - x1 > 0. Jagades võrratuse positiivse arvuga x - x1 saame Võtame piirväärtuse: Võrratused ja näitavad, et f(x1) 0 ja f(x1) 0. See on võimalik vaid siis, kui f(x1) = 0. Seega on lemma tõestatud juhul, kui x1-s on lokaalne miinimum. Analoogiliselt saab käsitleda ka juhtu, kui x1-s on lokaalne miinimum. 25. Sõnastada ja tõestada Rolle'i teoreem. Rolle'i teoreemi geomeetriline sisu. Sõnastada ja tõestada Cauchy teoreem. Sõnastada ja tõestada Lagrange'i teoreem. Lagrange'i teoreemi geomeetriline sisu. Rolle'i teoreem. Kui funktsioon f on lõigul [a, b] pidev, vahemikus (a, b) diferentseeruv ja rahuldab tingimust f(a) = f(b), siis leidub vahemikus (a, b) vähemalt üks punkt c nii, et f(c) = 0. Tõestus. Kuna f(x) on pidev lõigul [a, b], siis saavutab ta oma suurima ja vähima väärtuse sellel lõigul.
annaabi.ee 
