Diskreetne matemaatika II Kodused ülesanded 3 Olga Dalton 104493 IAPB21 ÜLESANNE 1 = 2 # + 8 $ , # = 1, $ = 1 Kirjutan välja karakteristliku võrrandi: $ - 2 - 8 = 0 Leian karakteristliku võrrandi lahendid. = 1 ± 1 + 8 = 1 ± 3 # = 4 I $ = -2 Seega on rekurrentse võrrandi lahend: = I# 4 + I$ (-2) Leian I# ja c$ . I# 4# + I$ (-2)# = 1 4I# - 2I$ = 1 4I# = 1 + 2I$ I# = 0,25 + 0,5I$ I# 4 + I$ (-2) = 1 $ $ 16I# + 4I$ = 1 16(0,25 + 0,5I$ ) + 4I$ = 1 4 + 8I$ + 4I$ = 1 12I$ = -3 I$ = -0,25 I I# = 0,125 Vastus: = 0,125 4 - 0,25 (-2) ÜLESANNE 2 Koostan rekurrentse seose
juurdekirjutamisega saada 8 sõna pikkusega n + 1. Kõik saadavad sõnad on erinevad ja rohkem sõnu pikkusega n + 1 ei ole. Leida avaldis, millest on võimalik ainult naturaalarvu n järgi välja arvutada, mitu sõna pikkusega n keeles leidub. Lahendus. Olgu An kõigi n-täheliste sõnade arv. Ülesande tingimuste põh- jal kehtib seos An+1 = 2An + 8An-1 . Algtingimused on A1 = 1, A2 = 1. Karakteristliku võrrandi q 2 - 2q - 8 = 0 lahendid on q1 = 4, q2 = -2. Järelikult rekurrentse võrrandi üldlahend on An = c1 · 4n + c2 · (-2)n . Algtingimuste põhjal saame võrrandisüsteemi 4c1 - 2c2 = 1 16c1 + 4c2 = 1, mille lahendid on c1 = 81 , c2 = - 41 . Kõigi n-täheliste sõnade arv on seega 1 n 1 An = · 4 - · (-2)n .
koalitsioonide garanteeritud võidud i. Mängu nim mitteoluliseks, kui kõikide mängijate ühinemisel koalitsiooni ei suurene nedne võidud. 31. Kooperatiivse mängu taandamine LP ülesandeks N-tuuma kasutamine kooperatiivse ülesande lahendamisel annab võimaluse lahendada nii sellist ülesannet kus tuum on tühi hulk, kui ka siis kui tuum on liiga lai. Otsime sellist tulemusvektorit x, mille korral koalitsioon S saab kasumit, mis erineb võimalikult vähe karakteristliku funktsiooni väärtusest (S). Võtame kasutusele mõiste ekstsess: = - !! ! Mängu N-tuumaks nim sellist tulemusvektorit x*, mille korral kõikvõimalike koalitsioonide järgi leitud maksimaalne ekstsess on minimaalne tulemusvektorite x järgi, mis on kollektiivselt ratsionaalsed. LP ülesande koostamisel vaadeldakse kõiki koalitsioone, mis on võimelised töö ära tegema. Tulemus on 1, ning igale koalitsioonile liidetakse muutuja y. Samal ajal yàmin
0 sirge puhul on vastuseks kindlasti Q0 = 1, 1 sirge puhul aga Q1 = 2. Suhteliselt lihtne on näha ka seda, et Q2 = 4. Siinkohal võiksime püstitada hüpoteesi Qn = 2n. b). Jada edasi uurides aga selgub, et järeldus oli ennatlik. Jada järgmisteks väärtusteks on Q3 = 7 ning Q4 = 11, mille toel on võimalik püstitada rekurrentne hüpotees Qn = Qn-1 + n. c). Püstitaud hüpoteesi kontrollimiseks lahendame saadud rekurrentse võrrandi näiteks karakteristliku võrrandi meetodit kasutades ning võrdleme saadavaid väärtusi olemasolevate väärtustega. Kui need kattuvad täies ulatuses, on tõenäoline, et oleme probleemi õigesti lahendanud. Tasandi tükeldamine n nurksirgega: Nüüd uurime seda, kui mitu sektorit tekib tasandi jaotamisel n nurksirgega (linnunoka kujulised). Olgu seekord tasandi tükelduste arvuks Tn. a). Jällegi on lihtne leida jada esimesed väärtused: 0 nurksirge puhul on selleks T0 = 1.
Selleks, et paremini hinnata võnkelüli tööd, tuleb sisse tuua mõningad uued suurused. Meile on tuttav järgmine ülekandefunktsioon: (1) Kus tehes järgmised asendused: Kus 0 on objekti karaktelistlik ehk sumbumatu võnkumise nurksagedus Kus -sumbumiskonstant On võimalik avaldada võrrand (1) järgmisel kujul: Samuti on võimalik avaldada sumbumiskonstandi ja karakteristliku nurksageduse kaudu teisi süsteemi iseloomustavaid suuruseid kus s sumbuva võnkumise nurksagedus kus T sumbuva võnkumise periood kus sumbumistegur. 2) siirde- ja sageduskarakteristikud, kui K = 1, T1 = 2 ja T2 = 0,1; PT2-lüli K=1, T1=2 ja T2=0,1. a) hüppekaja, b) Bode diagramm 3)siirde- ja sageduskarakteristikud, kui K = 1, T1 = 0,5 ja T2 = 3; PT2-lüli K=1, T1=0,5 ja T2=3. a) hüppekaja, b) Bode diagramm
Konstantsete kordajatega lineaarne mittehomogeenne võrrand: vaatleme konstantsete kordajatega lineaarset DV kujul p0y(n) + p1y(n-1) + ... + pny = f(x) (1) Vastava lineaarse homogeense võrrandi Ly=0 lahendi leidmiseks on eeskiri olemas mittehomogense võrrandi lahend. A Olgu võrrandi vabaliige f(x) meil m-astme polünoom f(x) = eαxAm(x) = eαx(a0xm + a1xm-1 + ... + am) Lause: Kui arv α ei ole lineaarse homogeense võrrandi (1) karakteristliku võrrandi lahendiks, siis leidub võrrandil (1) üks lahend y*(x) kujul y*(x) = eαxPm(x) = eαx(p0xm + kus pi on määramata kordaja α-s –kordne karakteristlik väärtus, siis võrrand (1) on erilahend kujul: y(x) = pm(x) = (p0 + p1 + ... + pm), kus p0 on määramata kordaja. B Olgu võrrandi vabaliige f(x) kujul f(x) = Am(x)eαxcosβx + Bn(x)eαxsinβx.
esitatav kuju y(n)+p1y(n-1)+...+pn-1y'+pny=f(x). Vastav homogeenne DV on kujul y(n)+p1y(n-1)+...+pn-1y'+pny=0. Mittehomogeense DV üldlahend y on esitatav homogeense DC üldlahendi Yh ja mittehomogeense DV mingi erilahendi Y* summana y=yh+y*. Lineaarne konstantsete kordajatega n-järku homogeense DV y(n)+ p1y(n-1)+ ... + pn-1y'+ pny = 0. üldlahend avaldub lahendite fundamentaalsüsteemi (n lineaarselt sõltumatut lahendit) kaudu yh(x) = Lahendite fundamentaalsüsteemi saame karakteristliku polünoomi Pn(k) := kn+ p1kn-1+ ... + pn-1k + pn nullkohtadest (karakteristlikest väärtustest) kj, j = 1; 2; ... ; n
y1 = ex e ix = ex ( cos x + i sin x ) ~ ja ~y = ex e - ix = ex ( cos x - i sin x ) . 2 Minnes üle reaalarvulistele lahenditele, saame lineaarselt sõltumatuteks erilahenditeks y1 = ex cos x ja y 2 = ex sin x . Teist järku homogeense KKLD erikujuks on võrrand, kus esimese tuletise kordaja on null. Sel juhul võrrand kirjutatakse kujul d2y - y = 0 dx 2 ning karakteristliku võrrandi 2 - = 0 lahendiks on =± . Erilahendid sõltuvad märgist: >0 <0 = = - y = C1 e x + C 2 e - x ~ [( ~ )~
esitatav kuju y(n)+p1y(n-1)+…+pn-1y’+pny=f(x). Vastav homogeenne DV on kujul y(n)+p1y(n-1)+…+pn-1y’+pny=0. Mittehomogeense DV üldlahend y on esitatav homogeense DC üldlahendi Yh ja mittehomogeense DV mingi erilahendi Y* summana y=yh+y*. Lineaarne konstantsete kordajatega n-järku homogeense DV y(n)+ p1y(n-1)+ … + pn-1y’+ pny = 0. üldlahend avaldub lahendite fundamentaalsüsteemi (n lineaarselt sõltumatut lahendit) kaudu yh(x) = Lahendite fundamentaalsüsteemi saame karakteristliku polünoomi Pn(k) := kn+ p1kn-1+ … + pn-1k + pn nullkohtadest (karakteristlikest väärtustest) kj, j = 1; 2; … ; n
Kui kordajad p(x)=p ja q(x)=q on konstandid, siis on tegemist konstantsete kordajatega lineaarse teist järku võrrandiga y´´+ py´+ qy =f(x). Kui f(x)0, siis on võrrand mittehomogeenne, kui f(x)=0, siis on võrrand homogeenne. 1. Mittehomogeense võrrandi üldlahend yMHÜ esitatakse tema mingi erilahendi yMHE ja vastava homogeense võrrandi üldlahendi yHÜ summana yMHÜ = yMHE + yHÜ. 2. Homogeense võrrandi üldlahendi leidmine. Karakteristliku võrrandi Homogeense võrrandi 2 k +pk+q=0 lahendid üldlahend yHÜ ____________________________________________ k1k2 C1e k x + C2e k x k1=k2= (C1 + C2x)e x k1=+i, k2=-i ex (C1 cos x + C2 sin x) 19 3. Mittehomogeense võrrandi erilahendi leidmine DV parem pool f(x) Tingimus Mittehomogeense võr- randi erilahend y MHE
jalg võngub vabalt raskusjõu toimel. Raskusjõu asemel tuleb võtta lihasjõud F. Sel juhul saame valemi T = 2 I / mg r asemele valemi T = 2 I / F r , kus I on jala inertsimoment , r jala raskuskeskme kaugus jala kinnituskohast ja F on jalalihase jõud. Kuidas siduda jala pikkus lihase jõuga? Selleks kasutame meetodit, mida nimetatakse inglise keeles "scaling", eesti keeles ehk "hindamine". See on meetod , mis lubab objekte kirjeldada ühe parameetri, nn karakteristliku pikkuse abil. Näiteks ringil on selleks raadius, kuubil külje pikkus jne. Elusolendite korral kehtib sama meetod. Siis valitakse samuti mingi suurus keha 11 kirjeldamiseks, tavaliselt on selleks keha pikkus. Normaalselt (proportsionaalselt) arenenud inimese korral on ju selge, et ruumala on tal seda suurem, mida pikem ta on , ka reis on tal jämedam või kael pikem kui lühemal inimesel. Lihase jõud on
Pärsskiirgus tekib suure energiaga elektronide pidurdumisel metallis, näiteks röntgentoru anoodis, kui elektron annab osa oma kineetilisest energiast ära röntgenkiirgust kandvatele footonitele. Pärsskiirguse spekter on pidev. Kui langeva elektroni energia on piisav ioniseerimiseks, siis jääb lahkunud elektronist alles auk. Mingi aja pärast täidab selle augu mõni kõrgema energiaga elektron ja kaotatud energia antakse ära karakteristliku kiirguse footonina. Kuna aines elektronkihtidel olevate elektronide energia on kvantiseeritud, siis on ka tekkiva kiirguse spekter diskreetne. Kiirguse mõju tervisele jaotatakse otseseks ja kaudseks. Mõlemad kahjustavad valkude struktuuri: 1) otsene mõju on kiirguse neeldumisel vabanenud suure energiaga osakeste mõju otse valkude ja DNA molekulidele; 2) kaudseks mõjuks nimetatakse kiirete elektronide mõju molekulidele. Tekib vee
leidmiseks on eeskiri olemas mittehom võrrandi lahend. A Olgu võrrandi vabaliige kujul ɑx f(x)= m e ɑx Am(x)= e (a∗x +a 1) n −1 a +...+ m ) Lause:Kui arv ɑ ei ole lin hom võr(1) ɑx karakteristliku võr lahendiks,siis leidub võr (1) üks lahend y(x) kujul.y(x)= e Pm(x)= p 0 x m + p 1 x m −1 e ɑx ¿ +...+pm), kus pi on määramata kordaja ɑ-s –kordne karakteristlik s ɑx s ɑx m m−1
teatava süsteemi praktilise kasutusvõimalikkuse. Süsteemide dünaamika (siirdeprotsesside) üldised vormid ja iseärasused, süsteemi reaktsioon välistoimetele (nii sihipärastele kui ka häiringutele), süsteemide põhilised dünaamilised omadused (stabiilsus, juhitavus, jälgitavus, statsionaarsus jne). Siia kuuluvad ka muutused süsteemi käitumises, mida põhjustavad süsteemi parameetrite (tavaliselt väikesed) muutused (tundlikkus). Süsteemi stabiilsust saab määrata karakteristliku polünoomiga. Et süsteem oleks stabiilne, peavad poolused paiknema ühikringi sees. Ka piirväärtusteoreeme võib kasutada ainult stabiilsete süsteemide puhul. Vabaliikumine: Põhjustatud mittenulliste algtingimuste poolt (y( 0) ≠ 0 ja x(0) ≠ 0). Vabaliikumine näitab süsteemi väljundi sõltuvust algtingimustest. Vabaliikumine ei ole mõjutatav, sõltub algolekust x(0), tavaliselt sumbuv. Kui ei sumbu on süsteem ebastabiilne.
Ei leidu algoritmi, mis etteantud Gödeli numbrite m ja n põhjal otsustaks, kas φm = φn või mitte. Ei leidu algoritmi, mis etteantud suvalise arvutatava funktsiooni f põhjal teeks kindlaks, kas võrrand f (x ) = 0 on arvutatav või mitte. 26 Posti vastavuse probleemi mittelahenduvus. Mittelahenduvate ülesannete näited. vt punkt 17 Teoreem: Posti vastavuse probleem on mittelahenduv. T: Kui oleks lahenduv, leiduks predikaat P(α,β) = 1, kui leidub; 0, kui ei leidu. Peaksime tegema karakteristliku TM. Iga ülemineku jaoks võtame ühe doominokivi ja teeme vastavuste süsteemi: Kui masin peatub, on sõne kujul: ♯C0♯C1♯…♯Cm♯Cm’♯Cm’'♯...♯qa♯♯ C0…Cm on konfiguratsioonide jada x aktsepteerimisel. Cm’ jne on saadud Cm-i algusest 1, 2 jne sümboli kustutamisel. Konfiguratsioonide jada, mille puhul TM aktsepteerib ja peatub, ei saa ette teada. Turingi masina määramispiirkond on sisendite hulk, mille puhul see TM peatub. See hulk ei ole määratud.
tekib peegeldunud elektrone. 3. Millises vahemikus on peegeldunud elektronide energia? Sõltuvalt kokkupõrgete arvust võib nende energia varieeruda alates primaarsete elektronide energiast kuni sekundaarsete elektronide energiani. 4. Mis on sisekatte elektronid? Kui röntgenkiirguse footon tabab aine aatomit ning neeldub täielikult, siis põhjustab see sisekatte elektroni fotoelektroni eraldumise ja aatomi ülemineku ebastabiilsesse olekusse. Tekib karakteristlik röntgenkiirgus. Karakteristliku röntgenikiirguse tekkimiseks peab primaarsete elektronide energia olema suurem elektroni sidemeenergiast. 5. Mis on tagasihajunud elektron? Ehk peegeldunud elektron. Peegeldunud elektronide tagasihajumise ruumala kuju sõltub elektronide sissetungimise nurgast ainesse. 6. Mis on väliskatte elektronid? Väliskatte elektronid on kõige kõrgema energiaga elektronid (s.t. nende sideme energia tuumaga on kõige nõrgem). Isoleeritud aatomis on selles alas kõige rohkem elektrone. 7
kus on takistustegur ja võnkuva keha kiirus. Lisades selle vabavõngete võrrandile, saame: Asendades kiiruse ja kiirenduse tuletistega ning viies nad teisele poole võrdusmärki, saamegi sumbuvvõngete võrrandi: Takistavas keskkonnas on võnkuva keha liikumisvõrrandiks 1. lineaarne 2. homogeenne 3. II järku diferentsiaalvõrrand. Matemaatikute jaoks on see lineaarne homogeenne II järku diferentsiaalvõrrand, mille lahendi saab avaldada sama astme polünoomi, nn. karakteristliku võrrandi juurte kaudu. · Elektrivõnkumiste difvõrrandi koostamine. Loeng 15. · Sundvõngete difvõrrandi lahendamine faasidiagrammina. Sundvõnked. Oletame, et süsteem hakkab võnkuma sundiva jõu sagedusega ning selle võnkumise amplituudi ja algfaasi määravad sundiva jõu amplituud ning võnkuva süsteemi parameetrid: omasagedus ja sumbuvustegur Süsteemi parameetriteks on omasagedus ja sumbuvustegur; need leitakse vabavõngete
= ( ) = ( ). Pideva juhusliku suuruse vahemikku (x,x+∆x) sattumise tõenäosuse ja selle vahemiku ∆x suhte piirväärtust, kui ∆x läheneb nullile, nimetatakse juhusliku suuruse jaotustiheduseks punktis x. 16. Pideva juhusliku suuruse karakteristlik funtsioon. Tema seos tihedusfunktsiooniga. Keskväärtuse ja dispersiooni leidmine karakteristliku funktsiooni abil Juhusliku suuruse X karakteristlik funktsioon gX(t) = E(eitx) = ∫ ( ) Seos tihedusfunktsiooniga: ( ) = ∫ ( ) ( ) ( ) ( )= Keskväärtus: ( )= ∫ ( ) = ∫ ( ) = ∫ ( )
*Lause: kui meil y1 on võrrandi y''+py'+qy=f 1(x) lahend ja y2 on y''+py'+qy=f 2(x) lahend, siis osutub et y mis on nende lahendite summa on niisuguse võrrandi y''+py'+qy=f1(x) +f2(x) lahend *arv y'=y1'+y2', y''=y1''+y2'' *as y''+py'+qy= y1''+y2''+p(y1'+y2')+q(y1+y2)= (y1''+py1'+qy1)+ (y2''+py2'+qy2) = f1(x) +f2(x)= f(x) *MHE võrrandi määramiseks vaatame, milline on parem pool ehk f(x): 1)kui selgub, et f(x) on polünoom Pn(x)=a0xn+ a1xn-1+..+an Tingimused: on vaja vaadata, kas null on karakteristliku võrr lahend. Kui ta ei ole siis otsime y MHE vastava astme polünoomina Qn(x)=b0x1+..+bn. Kui ta on siis yMHE : xQn(x) 2) sisaldab eksponentf-ni e xPn(x), küsime kas on karakteristliku võrr lah. kui ei ole siis otsime vastust e xQn(x). Kui on p-kordne lah, siis tuleb otsida e xxpQn(x) 3) trigonomeetrilised f-nid e x(Pn(x)cos x+ Rm(x)sin x) NB vajalike polünoomide kordajad tuleb leida määramata kordajate meetodil
m x = mk 2 x - 2mk1 x kust x + 2k1 x - k 2 x = 0 (4.62) ja kus k1 > 0 ja k 2 > 0 . Sellist diferentsiaalvõrrandit lahendite tabelis ei ole ja see ei ole ka eralduvate muutujatega diferentsiaalvõrrand. See on näide diferentsiaal- võrrandist, mis tuleb iseendal ära lahendada. Teeme seda diferentsiaalvõrrandite teooria alusel (näiteks: G. Vainikko. Diferentsiaalvõrrandid). Kirjutame välja vastava karakteristliku võrrandi 2 + 2k1 - k 2 = 0 (4.63) Selle lahendid on = -k1 ± k12 + k 2 (4.64) Nagu näha, on karakteristlikud väärtused siin reaalsed ja erinevad, kusjuures 1 = - k12 + k 2 - k1 (4.65A) 2 = + k12 + k 2 - k1 (4.65B) ja üldlahend on seetõttu kujul
lim = lim =F ' ( x )=f ( x ) . Pideva ∆ x→ 0 ∆ x ∆ x →0 ∆ x juhusliku suuruse vahemikku (x,x+∆x) sattumise tõenäosuse ja selle vahemiku ∆x suhte piirväärtust, kui ∆x läheneb nullile, nimetatakse juhusliku suuruse jaotustiheduseks punktis x. 15. Pideva juhusliku suuruse karakteristlik funtsioon. Tema seos tihedusfunktsiooniga. Keskväärtuse ja dispersiooni leidmine karakteristliku funktsiooni abil ∞ Juhusliku suuruse X karakteristlik funktsioon gX(t) = E(eitx) = ∫ e itx f ( x ) dx −∞ ∞ 1
väiksem, siis on süsteem stabiilne. Kriitilisel sagedusel langeb faasikarakteristik () 180°-ni. Reguleerimissüsteemi stabiilsuse ja reguleerimisprotsesside iseloomu matemaatiline analüüs seisneb süsteemi vabaliikumise võrrandi uurimises. Selleks, et lineaarse ja konstantsete kordajatega diferentsiaalvõrrandiga kirjelduv automaatreguleerimissüsteem oleks stabiilne, on tarvilik ja piisav, kui selle süsteemi diferentsiaalvõrrandile vastava karakteristliku võrrandi reaaljuured on negatiivsed ja kompleksjuurte reaalosad samuti negatiivsed H. Nyquisti kriteerium (1932): automaatreguleerimissüsteem (ARS), mis on avatud olekus stabiilne, on stabiilne ka suletuna, kui avatud süsteemi amplituudi- ja faasikarakteristik sageduse muutumisel 0 ei haara komplekstasapinnal punkti koordinaatidega (-1, i0). ImW Ebastabiilne Stabiilne
− ∬𝐷 𝑋𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 . 1) Olgu D normaalne piirkond x-telje suhtes, st 𝐷 = .Lahendite fundamentaalsüsteemi saame karakteristliku polünoomi Pn(k) := kn+ p1kn-1+ … + {(𝑥, 𝑦)|(𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏) ∧ (𝜑(𝑥) ≤ 𝑦 ≤ 𝜓(𝑥))} . Rajajoont Γ läbimepositiivses suunas. Saame ∮Γ 𝑋𝑑𝑥 =
Matemaatiliselt lihtsam on kasutada väikestel kiirustel kehtivat keskkonnatakistust (sisehõõrdejõudu): kus on takistustegur ja võnkuva keha kiirus. Lisades selle vabavõngete võrrandile, saame: Asendades kiiruse ja kiirenduse tuletistega ning viies nad teisele poole võrdusmärki, saamegi sumbuvvõngete võrrandi: Matemaatikute jaoks on see lineaarne homogeenne II järku diferentsiaalvõrrand, mille lahendi saab avaldada sama astme polünoomi, nn. karakteristliku võrrandi juurte kaudu. Diferentsiaalvõrrandi lahendi tüüp sõltub nüüd juurte tüübist: · Kui need on reaalarvud (st. ruutjuure alune avaldis on positiivne), on otsitavaks funktsiooniks (üldlahendiks) eksponentfunktsioon: millele vastab hääbuv liikumine. · Negatiivne juurealune avaldis viib kompleksarvuliste juurte juurde: kus on reaal- ja imaginaarosa. Üldlahendiks on nüüd
Matemaatiliselt lihtsam on kasutada väikestel kiirustel kehtivat keskkonnatakistust (sisehõõrdejõudu): kus on takistustegur ja võnkuva keha kiirus. Lisades selle vabavõngete võrrandile, saame: Asendades kiiruse ja kiirenduse tuletistega ning viies nad teisele poole võrdusmärki, saamegi sumbuvvõngete võrrandi: Matemaatikute jaoks on see lineaarne homogeenne II järku diferentsiaalvõrrand, mille lahendi saab avaldada sama astme polünoomi, nn. karakteristliku võrrandi juurte kaudu. Diferentsiaalvõrrandi lahendi tüüp sõltub nüüd juurte tüübist: · Kui need on reaalarvud (st. ruutjuure alune avaldis on positiivne), on otsitavaks funktsiooniks (üldlahendiks) eksponentfunktsioon: millele vastab hääbuv liikumine. · Negatiivne juurealune avaldis viib kompleksarvuliste juurte juurde: kus on reaal- ja imaginaarosa. Üldlahendiks on nüüd
Lihtsate juhtimis- ja jälgimissüsteemide süntees ning tagasisidestatud süsteemide analüüs- Lihtsustatult: Antud süsteemi puhul pead uurima, kas on stabiilne või mittestabiilne, mõlemad sobivad tegelt. Siis kontrollid juhitavust/jälgitavust. Need peavad olema täielikud. Jälgimissüsteemil täielik jälgitavus ja juhtimissüsteemil täielik juhitavus. Siis teed tagasiside vastavalt ülesandele. Valid sobiva karakteristliku polünoomi ja arvutad tagasisidemaatriksi K või L. Nüüd on süntees tehtud. Järgmiseks analüüsid süsteemi, kas sai selline nagu tahtsid. Selleks paned oma leitud K või L olekuvõrrandisse ja leiad olekud või mis iganes sul vaja ja vaatad, kas said nii nagu algselt tahtsid. 11. Tehisnärvivõrgud- on väga lihtsustatud bioloogilise närvivõrgu mudel. Tema tööalgoritmid on ka tulnud bioloogiliste närvivõrkude tööprintsiibist.
X(P)dx + Y(P)dy + Z(P)dz homogeense DV y^(n)+p1y ^ (n-1)+...+pn-1y'+pny=0. Üldlahend avaldub lahendite fundametaalsüsteemi(n lineaarselt sõltumatut Greeni valem. lahendit) kaudu yh(x) = cjyj(x). Lahendite fundametaalsüsteemi saame karakteristliku polünoomi Pn(k) :):= k^n + p1k^(n-1)+... Kui funktsioonid X ja Y ning nende osatuletised Xy ja Yx on pidevad xy-tasandi sidusas piirkonnas D, mille rajajoon on tükiti +pn-1k + pn nullkohtadest(karakteristlikest väärtustest) kj, j = 1;2;...;n. sile, siis kehtib Greene valem: Xdx + Ydy = D (Yx Xy)dxdy, kusjuures rajajoont läbitakse positiivses suunas. Kui Yx = Xy , siis II liiki joonintegraal punktide P0 ja P vahel ei sõltu neid punkte ühendava joone valikust. Tõestus.
- 2 s - 3 1 , 2 > 0, järelikult on süsteem mittestabiilne. Selleks et stabiliseerimissüsteem oleks realiseeritav, peab esialgne süsteem olema juhitav. Kontrollime süsteemi juhitavust. Juhitavuse kontroll: 1 1 Qc = [B AB ] = rank (Qc ) = 2 0 2 Süsteem on juhitav. Süsteemi käitumist määravad tema poolused ehk karakteristliku polünoomi juured. Suletud süsteem on teist järku. Selle süsteemi soovitav karakteristlik polünoom on ( s ) = s 2 + 2 n s + n2 , kus (0 < < 1) on sumbuvus ja n on omavõnke(resonants-)sa- gedus. 54 Siis poolused 1 , 2 = - n ± 2 n2 - n2 Selleks et süsteem oleks stabiilne, peab pooluste reaalne osa olema negatiivne ehk n > 0. Kuna 0 < < 1, siis n > 0. 4,6 Siirdeprotsessi aeg t s
· Posti vastavuse probleem Posti vastavuse probleem: korteezhid tähestikus : = (1,..,n) = (1,..,n) Kas leidub indeksite jada i1,..,ik nii, et 1i1i2..ik = 1i2..in See ei ole lahenduv. Kui see oleks lahenduv, leiduks predikaat 1, kui leidub P(,) = 0, kui ei leidu Teatud juhul on lahenduv. = {a,b} = {aa,bb,abb} = {aab,ba,b} Ning indeksid <2;1;3> aabbabb = aabbab Osade korral aga eksisteerib. Koostame karakteristliku Turingi masina. Näeme, et kuna seda genereeriva Turingi masina määramispiirkond pole lahenduv hulk (mõnel korral jääb masin lõpmatusse tsüklisse). Taandasime Posti vastavuse probleemi Turingi masina peatumisprobleemile. Kontekstivabade keelte ühesuse mittelahenduvus: Mitmete formaalsete keelte ühesuse mittelahenduvus tugineb posti vastavuse mittelahenduvusele. KV keel L. Olgu antud sõnade paarid: C = {(x1,y1),..,(xn,yn)} (vähemalt ühetähelised keele sõnad)
peegeldunud- ja langenud signaalide amplituudide suhet miks vaja? Saab näidata et võimuse ülekanne allikast koormusesse on maksimaalne juhul, kui allika väljundimpedants Za ja koormuse sisendimpedants Zk on teineteise kaaskompleksarvud Za = Zk* Kui tingimused maksimaalseks võimsuse ülekandeks on täidetud, siis öeldakse, et allikas ja koormus on omavahel (täielikult) sobitatud Praktikas on raadioseadmete impedants standardiseeritud, enamlevinud karakteristliku impedantsi väärtus on Z0 = 50 Ω 42. Millised kaablite tüübi on sidevõrkudes kasutusel Coaxing cable Twisted-pair cables Fiber optic cable 43. Kirjelda optiliste kaablite eeliseid ja puudusi Pros: able to carry significantly more signals than wire, faster data transmission, less suspectible to noise from other devices, better security for signals during transmission, smaller physical size
esmase vaatluse (andmete kogumise) järel püstitatakse hüpotees (oletus, kuidas asi võiks olla), seejärel korraldatakse hüpoteesi kontrollimiseks eksperiment (või sihipärane vaatlus), viiakse läbi andmetöötlus ja lõpuks tehakse järeldus hüpoteesi kehtivuse või mittekehtivuse kohta. Geograafia, Bioloogia ja Keemia • Geograafia on loodusteadus, mis uurib Maa pinda ja sellel toimuvaid protsesse. • Geograafiat huvitavates loodusnähtustes osalevad objektid karakteristliku mõõtmega 1 m (inimene) kuni 1000 km (maailmajaod). Geograafia osaks loetakse ka geoloogiat. • Bioloogia on loodusteadus, mis käsitleb elusas looduses kehtivaid seaduspärasusi. • Bioloogia tegevusvaldkond looduse struktuuritasemete skeemil ulatub bioloogilist infot kandvatest molekulidest (DNA) kuni looma- ja taimekooslusteni välja. • Keemia on loodusteadus, mis uurib ainete omavahelisi muundumisi ja sidet aatomite vahel.
pidev, karakteristlikul kiirusel aga diskreetne (kindlate sagedustega). Pärsskiirgus tekib kiirete elekt- ronide järsul pidurdumisel metallkehas (röntgenitoru anoodis). Karakteristlik kiirgus tekib siis, kui röntgenitoru anoodi tabavad kiired elektronid löövad anoodi aatomite sisekihtidest omakorda välja elektrone. Tekkivad augud täidetakse välimistest kihtidest pärinevate elektronidega, vabaneva energia viib ära röntgenikvant. Moseley seadus väidab, et karakteristliku röntgenkiirguse sagedused on võrdelised anoodi materjali laengu- arvu Z (järjekorranumbri) ruuduga. Kõige intensiivsema, K -joone kvandi energia avaldub valemiga hf = 3/4 R (Z - 1)2, kus R on Rydbergi konstant (13,6 eV). 26 Tuum on kerataoline suure tihedusega keha aatomi keskmes. Nukleone (prootoneid ja neutroneid) seovad tervikuks tuumajõud
pidev, karakteristlikul kiirusel aga diskreetne (kindlate sagedustega). Pärsskiirgus tekib kiirete elekt- ronide järsul pidurdumisel metallkehas (röntgenitoru anoodis). Karakteristlik kiirgus tekib siis, kui röntgenitoru anoodi tabavad kiired elektronid löövad anoodi aatomite sisekihtidest omakorda välja elektrone. Tekkivad augud täidetakse välimistest kihtidest pärinevate elektronidega, vabaneva energia viib ära röntgenikvant. Moseley seadus väidab, et karakteristliku röntgenkiirguse sagedused on võrdelised anoodi materjali laengu- arvu Z (järjekorranumbri) ruuduga. Kõige intensiivsema, K -joone kvandi energia avaldub valemiga hf = 3/4 R (Z - 1)2, kus R on Rydbergi konstant (13,6 eV). Tuum on kerataoline suure tihedusega keha aatomi keskmes. Nukleone (prootoneid ja neutroneid) seovad tervikuks tuumajõud. Need jõud on tingitud tugevast vastastikmõjust, mis on suuteline ületama proo- tonite elektrostaatilist tõukumist.
pidev, karakteristlikul kiirusel aga diskreetne (kindlate sagedustega). Pärsskiirgus tekib kiirete elekt- ronide järsul pidurdumisel metallkehas (röntgenitoru anoodis). Karakteristlik kiirgus tekib siis, kui röntgenitoru anoodi tabavad kiired elektronid löövad anoodi aatomite sisekihtidest omakorda välja elektrone. Tekkivad augud täidetakse välimistest kihtidest pärinevate elektronidega, vabaneva energia viib ära röntgenikvant. Moseley seadus väidab, et karakteristliku röntgenkiirguse sagedused on võrdelised anoodi materjali laengu- arvu Z (järjekorranumbri) ruuduga. Kõige intensiivsema, K -joone kvandi energia avaldub valemiga hf = 3/4 R (Z - 1)2, kus R on Rydbergi konstant (13,6 eV). Tuum on kerataoline suure tihedusega keha aatomi keskmes. Nukleone (prootoneid ja neutroneid) seovad tervikuks tuumajõud. Need jõud on tingitud tugevast vastastikmõjust, mis on suuteline ületama proo- tonite elektrostaatilist tõukumist.
¿ A (x )={1,kui x A 0, kui x U Universaalse hulga U kaks alamhulka A ja B on võrdsed parajasti siis, kui neil on sama karakteristlik funktsioon, s.t A=B A (x)= B ( x), x U . Näide: Tühja hulga karakteristlik funktsioon on konstantne funktsioon 0; Näide: Universaalhulga U karakteristlik funktsioon on konstantne funktsioon 1. Karakteristliku funktsiooni omadused Lause Olgu U universaalne hulk ja A , B U . Siis iga x , y U korral 1. A(x) · A(x) = A(x); 2. A'(x) = UA(x) = 1 - A(x); 3. AB(x) = A(x) · B(x) = min{A(x), B(x)}; 4. AB(x) = A(x) + B(x) - A(x) · B(x) = max{A(x), B(x)}; 5. AB(x) = A(x) - A(x) · B(x); 6. AB(x) = A(x) + B(x) - 2A(x) · B(x); 7. A×B((x, y)) = A(x) · B(y). TÕESTUS Nende võrduste kontrolliks piisab, kui vaadatakse läbi kõik võimalused elemendi x jaoks (
Splainid B-splainid B-splainid defineeritakse traditsiooniliselt rekursiivselt, kasutades konvolutsiooni B := B -1 B 0 ( 1), st kujul -1 -1 B (t) := (B B 0 )(t) = B (t - u)B 0 (u)du. R Siin B 0 defineeritakse traditsiooniliselt loigu ~ [-1/2, 1/2] karakteristliku funktsioonina [-1/2,1/2] kujul 1.2 1.0 0, t < - 12 , 0.8 1 1 2, t = -2, 0.6 0 B (t) := 1, - 2 < t < 21 ,
annaabi.ee 
