Leidsid 33 sarnast õppematerjali, mis on seotud failiga "Kahe tundmatuga lineaarvõrrandisüsteemi lahendamine asendusvõttega". Need materjalid aitavad sul teemat sügavamalt mõista.
muutuja, tundmatuga, lahendame, oskame, murdarvud, samasse, asendada, avaldan, esimesestsirge ja kirjutada juurde antud võrrand; tõmmata neist sirge läbi. lugeda punkte sirge pealt võrrandi Leida jooniselt võrrandile neli lahendit lahendite leidmisel (lugeda sirgel olevate punktide koordinaate): NB vaja võrrandisüsteemi graafilisel x=1;2;0;-2 lahendamisel y=1;0;2;4 7.Sirge võrrandi puuduva kordaja leidmine Ül.924,925 - asendada lõikepunkti koordinaadid sirge sirge võrrand on 2x + by = 4 võrrandisse; lahendada saadud ühe y-teljega lõikepunkt on (0;-2) tundmatuga võrrand, kus tundmatu on leida kordaja b väärtus otsitav kordaja 2 0+ b (-2)=4 -2b=4 |:(-2) NB saab kasutada sirge võrrandi b=-2 määramisel antud punkti järgi sirge võrrand on ax+3y=6
Kahe tundmatuga lineaarvõrrandisüsteemi lahendamine LIITMISVÕTTEGA Liitmisvõtte idee seisneb ühe muutuja kõrvaldamises ehk elimineerimises võrrandite liitmise või lahutamise kaudu ning tulemuseks saame ühe muutujaga võrrandi. Sealt on juba lihtne vastav muutuja väärtus leida. Teise muutuja väärtuse saame, kui asendame leitud muutuja väärtuse ühte esialgsetest võrranditest. x+2y=11 *(5) 5x3y=3 1.) Viin võrrandi normaalkujule. 5x10y=55 2.) Liidan võrrandid. 5x3y=3 3.) Lahendan saadud võrrandid. 13y=52 :(13) 4.) Arvutan teise tundmatu väärtuse. Y=4 5.) Teen kontrolli
DETERMINANDI MÕISTE. KAHEREALISE DETERMINANDI Avaldanud esimesest võrrandist x-i ja asendanud saadud tulemuse teise võr- KASUTAMINE VÕRRANDISÜSTEEMIDE LAHENDAMISEL randisse, saame c1 b1 y Paljude sisult erinevate probleemide lahendamine viib ühe ja sama seaduse a1 x b1 y c1 x , kui a1 0. järgi koostatud avaldisteni
3y=-6 y=-6 |:3 y=-2 x = 1 y = -2 Vastuseks on Kontroll: Vp=2-6= -4 Pp= -4 Vp=Pp Vp2=5-12= -7 Pp2= -7 Vp2=Pp2 Lineaarvõrrandisüsteemi lahendamine asendusvõttega: Võtame näiteks võrrandisüsteemi: x + 2 y = 15 2 x - 4 y = -14 1. Et asendusvõtet kasutada, tuleb leida kas x või y avaldis ühest võrrandist. x + 2 y = 15 x = 15 - 2 y 2 x - 4 y = -14 2 x - 4 y = -14 2. Nüüd kui on leitud x, saab selle avaldise asendada esimeses võrrandis x asemele. 2(15-2y)-4y=-14 3. Lahendame saadud võrrandi 30-4y-4y=-14 -8y=-44 y=-44|:-8 y=5.5 4. Leiame ka x-i väärtuse. x+2y=15 x=15-2y x=15-11 x=4 y = 5.5 x = 4 Vastus: Kontroll: Vp=4+11=15 Pp=15 Vp=Pp Vp2=8-22=-14 Pp2=-14 Vp2=Pp2 Veel lahenduskäike: 3 x - y = 5 x + y 2+ y 1 2 - = 3 2 1. Leiame alumisele võrrandile ühise laiendaja 3 x - y = 5 x + y 2+ y 1 2 - = 6 3 2 2
võrrandi: x + y = 11. Saadud kaks võrrandit moodustavad võrrandisüsteemi tundmatute x ja y määramiseks: x y = 30, x + y = 11. NB! Võrrandisüsteem ei ole lineaarne (kuna esimeses võrrandis esineb tundmatute korrutis!). Seetõttu ei saa seda lahendada determinantide abil. Ülesanne 1 (3) Lahendus jätkub ... Võrrandisüsteemi lahendame asendusvõttega: avaldame ühe tundmatu (ükskõik kumma) lineaarsest võrrandist (teisest võrrandist), asendame saadud avaldise esimesse, mittelineaarsesse võrrandisse ja lahendame saadud ruutvõrrandi. Teise tundmatu väärtuse saame siis juba avaldada teisest (lineaarsest) võrrandist. Avaldame süsteemi teisest võrrandist tundmatu y: x + y = 11 y = 11 - x. Asendame esimeses võrrandis tundmatu y äsjasaadud avaldisega: x y = 30 x (11 - x) = 30.
Lineaarvõrrandisüsteemid Põhikoolis lahendatakse põhiliselt lineaarseid võrrandisüsteeme, aga ka mõningaid lihtsamaid ruutvõrrandisüsteeme. Lineaarvõrrandisüsteeme on mõistlik lahendada kas asendusvõttega või liitmisvõttega (jätame graafilise lahendusmeetodi tähelepanu alt välja). Eespool nimetatud kahest võttest tuleks võimaluse korral eelistada liitmisvõtet. Näide 1. Lahendame võrrandisüsteemi liitmisvõttega. Kui korrutame võrrandisüsteemi teist võrrandit (-2)-ga, siis saame võrrandisüsteemi . Kui nüüd süsteemis olevate võrrandite vastavad pooled liita, siis saame võrrandi, kus enam tundmatut x ei ole, -3y = -3, millest y = 1. Asendame saadud y väärtuse süsteemi esimese võrrandisse, siis saame, et 2x + 1 = 3, millest x = 1. Vastus. Lahend on (1; 1).
arvu või muutujat sisaldava avaldise (mis omab mõtet võrrandi kogu määramis- piirkonnas), see annab sisuliselt teisenduse, mida tuntakse kui võrrandi liikmete teisele poole võrdusmärki viimist muutes samal ajal liikmete märgid vastupidisteks; 3) võrrandi mõlemat poolt võib korrutada või jagada ühe ja sama nullist erineva arvuga või muutujat sisaldava avaldisega, mis ei võrdu nulliga muutuja ühegi väärtuse korral LINEAARVÕRRAND Lineaarvõrrand (ehk esimeseastme algebraline võrrand)- võrrand, milles tundmatu suurim astendaja (peale lihtsustamisi) on 1 ja kus ei esine tundmatuga jagamist. Iga lineaarvõrrandi saab teisendada kujule ax + b = 0 või ax = b (x on tundmatu; a ja b on arvud). Lineaarvõrrandi lahendiks on Kui a = 0 ja b 0, st. võrrand on kujul 0 x b , siis võrrandil lahendid puuduvad. Kui a = 0 ja b = 0, st
x (x - 7) = 0 x² - 9 = 0 x1 = 0 x² = 9 x7=0 x = ± 9 = ±3 x2 = 7 x1 = 3 ja x2 = -3 Biruutvõrrand Biruutvõrrandiks nimetatakse võrrandit kujul ax4 + bx² + c = 0, kus a, b ja c on antud arvud (a0) ja x on tundmatu. Lahendamisel asendame x² mingi tähega ja lahendame võrrandi uue muutuja suhtes. Näidisülesanne 1: Näidisülesanne 2: x4 10x² + 9 = 0 x4 + 5x² + 4 = 0 x² = y x² = y y² - 10y + 9 = 0 y² + 5y + 4 = 0 y = 5± 25 - 9 =5± 16 = 5±4 -5 52 - 4 4 -5 9 -5 3 y= = =
nt: 2 < 5 | +10 12 < 15 2) mõlemaid pooli korrutada või jagada ühe ja sama positiivse arvuga, jääb võrratusmärk samapidiseks. nt: 8 < 10 | : 2 4<5 3) mõlemaid pooli korrutada ühe ja sama negatiivse arvuga, siis märk muutub vastupidiseks. nt: 8 < 10 | (-2) -16 > -20 5 Võrratuse lahendamine: Võrratust lahendame sarnaselt võrrandi lahendamisele. Esinevad mõningad erinevused: 1. tundmatul on mitu väärtust 2. rida omadusi, mis kehtivad ainult võrratuse kohta Näide: 5x + 3 > 2x 9 5x 2x > -9 3 3x > -12 |: 3 x>-4 Suhe ja mõõtkava: Geograafilise kaardi nurgast leiame mõõtkava, kus on märgitud kahe arvu suhe. nt: 1:30000 st. et 1cm kaardil vastab 30000cm (300m) looduses. Kahe arvu a ja b suhteks nimetatakse nende jagatist a:b.
3 4 Näide 12. Lihtsustada avaldis ⋅ − 1 ⋅ . n 2 + an n − 1 1 − a2 Lahendus. Toome esimese murru nimetajas ühise teguri sulgude ette. Sulgudes viime ühisele nimetajale. Esimese murru lugeja ja viimase muru nimetaja taandame. Viimase murru lugejas toome kahest esimesest ja kahest viimasest liikmest teguri sulgude ette nii, et mõlemasse sulgu jääks üks ja sama avaldis. Siis toome selle avaldise 1 − n 3 omakorda sulgude ette. Taandame. Lahutame avaldise n3 − 1 abivalemiga teguriteks. Taandame. 20 a2 −1 n n −1 a − an − n + n 3 4 ⋅ −1 ⋅ = n 2 + an n − 1 1 − a2
' ' x @ x @ x ' x 3 ehk ' x 6&3 ' x 3 ; x 3 x@x@x x3 ( x 4)2 ' (x @ x @ x @ x ) (x @ x @ x @ x ) ' x 8 ehk ( x 4 )2 ' x 4 @ 2'x 8 (xy)4 ' (xy) (xy) (xy) (xy) ' x @ y @ x @ y @ x @ y @ x @ y' x 4 y 4 Avaldises 5x2 on x muutuja 5 kordaja ehk koefitsient. Avaldist 5x2 nimetatakse üksliikmeks. Üksliige sisaldab kordajat ja üht või mitut muutujat. Näiteks 23 x 105 x 2 y 5 25 x 3 y z Üksliikmete liitmisel ja lahutamisel saame hulkliikme ehk polünoomi Näiteks 4x3 + 5x2 - 2x + 10; 15x4 - 3x2 + 2x - 3; x4 +1. Polünoomiks ehk hulkliikmeks nimetatakse järgmist avaldist an x n % an&1 x n&1 % ... % a1x % a0
Ruutfunktsioon - Sissejuhatus ruutfunktsiooni Praeguseks momendiks peaksid tundma niisuguseid seosei muutujate x ja y vahel, nagu a võrdeline seos y = ax, pöördvõrdeline seos y ning lineaarseos ehk lineaarfunktsioon y = x ax + b. Kordame neid seoseid. Edasi vaatame ülesandeid. 1. Joonesta võrdelise seose y = 1,5x graafik ja leia selle abil muutuja y väärtused, kui x 2; 1; 0; 1; 2; 3 . Lahendus: Kõigepealt joonestame graafiku. Teame, et sirge joonestamiseks piisab kahest punktist. Võtame x = 0. Sel juhul on y = 1,5 . 0 = 0. Saime punkti (0; 0). Olgu nüüd x = 2, siis y = 1,5 . 2 = 3. Teine punkt on (2; 3). Kanname punktid koordinaatteljestikku ja ühendame. Vaatame ainult kahte punkti, kui x = 2 ja x = 3. Ülejäänud punkid jäävad iseseisvaks tööks.
1. Diferentsiaalvõrrandi üld- ja erilahend. Väärtus ja raja ülesanne Def 1.1 Võrrandit, milles osalevad sõltumatu muutuja, tundmatu funktsioon ja selle tuletised nim diferentsiaalvõrrandiks. (1.1) F(x, y(), y'(), ...)=0 Kui otsitav funktsioon y sõltub ainult ühest muutujast, siis seda nim harilikuks diferentsiaalvõrrandiks. Kui otsitav funktsioon sõltub mitmest muutujast, siis on tegemist osatuletistega diferentsiaalvõrranditega. Kõrgema järguga tuletis dif.võr määrab ära selle võrrandi järgu. Esimest järku dif võrrand on (1.2) Def 1.2 N-järku dif.võr (1
t1 t1 + 2 600 600t1 + 1200 = t1 (t1 + 2) + 10 t1 (t1 + 2) t1 + 2 600t1 + 1200 = 600t1 + 10 t12 + 20t1 10 t12 + 20t1 - 1200 = 0 t12 + 2t1 - 120 = 0 Ülesanne 1 (5) Lahendus jätkub ... t12 + 2t1 - 120 = 0 Lahendame saadud ruutvõrrandi: 2 2 2 t1 = - ± + 120 = -1± 121 = -1± 11 2 2 Negatiivne lahend t1 = -1 - 11 = -12 on võõrlahend, sest aeg ei saa olla negatiivne. Teiseks lahendiks on t1 = -1 + 11 = 10. Kontrollime selle sobivust. Ülesanne 1 (6) Lahendus jätkub ... Kontrollime lahendi sobivust. Kui esimesel rongil kulus aega 10 tundi, siis saame esimese rongi kiiruseks
Kõigepealt lihtsustame avaldise: (x + 2)² + (3x3 - 14x) : x - (2x - 5)² = x² + 4x + 4 + 3x² - 14 - 4x² + 20x - 25 = 24x - 35. Leiame nüüd avaldise väärtuse: 24(-0,5) - 35 = -12 - 35 = - 47. 10. Lineaarvõrrandite lahendamine 1. kui võrrand sisaldab harilikke murde, siis vabaneme nendest, korrutades võrrandi mõlemaid pooli kõigi murdude ühise nimetajaga 2. lihtsustame võrrandi mõlemaid pooli ( sulgude avamine, sarnaste liidetavate koondamine) 3. viime tundmatuga liikmed võrrandi ühele poolele ja vabaliikmed teisele poolele, muutes kõigi üleviidavate liikmete märgid vastupidiseks 4. koondame sarnased liidetavad 5. leiame lahendi, jagades võrrandi mõlemat poolt tundmatu. Leitud lahendit tuleb osata vajadusel kontrollida. Näide 1. Lahendame võrrandi 2(2x - 5) = 20 - x Avame sulud 4x - 10 = 20 - x 4x + x = 20 + 10 5x = 30|: 5 x = 6.
NB ruutjuurt negatiivsest arvust ei ole olemas, aga ruutjuur negatiivse arvu ruudust võrdub selle vastandarvuga 3.Ratsionaalarvud - kahe täisarvu jagatis vaata kujul (q 0); tähis Q; Q=täisarvud+ Ül.1279,1289 Esitada kahe täisarvu jagatisena. positiivsed ja negatiivsed murdarvud; -8=-8:1 0,0082=82:10 000 osahulgad: naturaalarvude hulk ja - =- täisarvude hulk; siia kuuluvad murdarvud on kas lõplikud või lõpmatud perioodilised kümnendmurrud; iga ratsionaalarv avaldub Leida, kumb on suurem. lõpmatu perioodilise kümnendmurruna < + LOE 5< <6 ehk 5,... NB moodustavad reaalarvude hulga 3< <4+4< <5 ehk 7,... osahulga 4.Irratsionaalarvud - saab esitada lõpmatu Ül.1283 mitteperioodiline kümnendmurruna; Ruutjuure ligikaudne väärtus leida tekivad näiteks , , ; 6
Murd- ja juurvõrrand © T. Lepikult, 2010 Murdvõrrandi definitsioon Murdvõrrandiks nimetatakse võrrandit, milles muutuja esineb murru nimetajas. Murdvõrrandit saab samasusteisenduste abil teisendada kujule f ( x) 0 g ( x) Murdvõrrandi lahendamiseks lahendatakse võrrand f ( x) 0, mis on esialgse võrrandi järeldus (lahendite arv võib olla kasvanud). Et muutuja x lubatavad väärtused on kitsendatud tingimusega g ( x) 0,
I Urnis on 10 kollast ja 6 rohelist kuuli. Leidke tõenäosus, et urnist 1) juhuslikult võetud kuul on roheline; 2) juhuslikult korraga võetud kaks kuuli on mõlemad rohelised. II Karbis on 9 valget ja 7 musta palli. Leidke tõenäosus, et karbist 1) juhuslikult võetud pall on valge; 2) juhuslikult korraga võetud kaks palli on mõlemad valged. III Esimeses urnis on 5 punast ja 3 sinist kuuli, teises 4 punast ja 3 sinist kuuli. Leidke tõenäosus, et 1) esimesest urnist juhuslikult võetud kuul on sinine; 2) võttes kummastki urnist juhuslikult ühe kuuli, on mõlemad kuulid sinised. Vastused 3 1 9 3 3 9 I 1) ; 2) . II 1) ; 2) . III 1) ; 2) . 8 8 16 10 8 56 Näpunäited Esimeses alaülesandes on tegemist lihtsündmusega. Lihtsündmuse tõenäosus on määratud soodsate
2 4 Kui a ≠ 1, siis siis sellist võrrandit nimetatakse taandamata ruutvõrrandiks ja see lahendatakse valemiga b b2 4ac x1;2 2a 3) Kui ruutvõrrandis ax2 + bx + c = 0 b = 0 või c = 0, siis selliseid võrrandeid nimetatakse mittetäielikeks ruutvõrranditeks ja neid valemi abil ei lahendata. Näide 1. Lahendame võrrandi 3x2 – 5x = 0 5 x(3x – 5) = 0, järelikult x1 = 0 ja x2 = . 3 Näide 2. Lahendame võrrandi 4x2 + 21 = 0 21 4x2 = –21, millest x2 = – . Sellel võrrandil reaalarvude hulgas lahendeid ei ole, sest 4 negatiivsest arvust ei saa võtta ruutjuurt. © Allar Veelmaa 2014
Matemaatika käsiraamat IX - XI klassile. 2. tr. Tallinn, 1984 Litvinenko, V. N. jt Praktikum po reseniju matematitseskih zadats. Moskva, 1984 (vene keeles). 2 VÕRRATUSED Kaks algebralist avaldist, mis on omavahel seotud märkidega >, või < , moodustavad võrratuse. Tundmatuid sisaldava võrratuse korral tekib selle lahendamise probleem. Vaatleme siin vaid ühe tundmatuga võrratusi. Sellise võrratuse lahendiks nimetatakse tundmatu väärtust, mille puhul võrratus on rahuldatud, st mille asetamisel võrratusse tundmatu asemele saame õige arvulise võrratuse. Lahendada võrratus tähendab leida selle kõik lahendid. Kaks, kolm jne võrratust, mis sisaldavad üht ja sama tundmatut, võivad moodustada võrratuste süsteemi. Lahendada võrratuste süsteem tähendab leida nende
s = 5v - 10, s = 4v + 8. Ülesanne 2 (4) Võrrandisüsteemi lahendamiseks lahutame esimese võrrandi vasakust ja paremast poolest teise võrrandi vastvad pooled: s = 5v - 10 + s = 4v + 8 0 = v - 18. Saadud seosest leiame laeva kiiruse seisvas vees: v = 18 km / h. Võrrandisüsteemi esimesest võrrandist saame: s = 5v - 10 = 5 18 - 10 = 80km Ülesanne 2 (5) Kontrolliks leiame laeva kiiruse pärivoolu: v p = 18 + 2 = 20 km / h, ja pärivoolu ühest sadamast teise jõudmiseks vajaliku aja: s 80 tp = = = 4 h. v p 20 Vastuvoolu liikudes on kiirus ja teekonnale kuluv aeg: vv = 18 - 2 = 16 km / h, s 80 tv = = = 5 h.
= + = - = = - = = ( ) = Avaldises 5x2 on x muutuja ning 5 kordaja ehk koefitsient. Avaldist 5x2 nimetatakse üksliikmeks. Üksliige sisaldab kordajat ja üht või mitut muutujat (näiteks 23x; 105x2y5; 25 3 ). Üksliikmete liitmisel ja lahutamisel saame hulkliikme ehk polünoomi (näiteks 4x3+5x2-2x+10; 15x4-3x2+2x-3; x4+1). Polünoomiks ehk hulkliikmeks nimetatakse järgmist avaldist: + - - + + + Hulkiikme ühesuguseid liikmeid võib liita ja lahutada, liites või lahutades nende liikmete ees
Reaalarvud 1.1. Naturaal-, täis- ja ratsionaalarvud · Naturaalarvude hulk N (ainult positiivsed täisarvud) · Naturaalarvu n vastandarv -n defineeritakse selliselt, et n+(-n)=0 · Naturaalarvud koos oma vastandarvudega moodustavad täisarvude hulga Z (jaguneb pos ja neg) · Iga kahe täisarvu vahe on alati täisarv · Kui arv a ei jagu arv b-ga, siis on tegemist murdarvuga. Kõik täisarvud ja positiivsed ning negatiivsed murdarvud moodustavad kokku ratsionaalarvude hulga Q. Ratsionaalarv on arv, mis avaldub jagatisena a/b, kus a Z, b Z ja b 0. · Iga ratsionaalarv avaldub lõpmatu perioodilise kümnendmurruna. 1.2 Irratsionaal- ja reaalarvud · Arv, mis avaldub lõpmatu mitteperioodilise kümnendmurruna, on irratsionaalarv. · Arvutamisel piirdutakse ligikaudsete väärtustega e lähenditega, nt pii=3,14
-13 (-19) = -13 +19 = 6 ja -19(-13) = 247 x 1 = -19 sobib 2) kui x 2 = 13, siis II arv on x +6 = 13 +6 = 19 19 -13 = 6 ja 13 × 19 = 247 Vastus: need arvud on -19 ja -13 või 13 ja 19 274 II lahendus. Olgu arvud x ja y, vastavalt ülesande tingimustele saame võrrandisüsteemi, x - y = 6(1) xy = 247(2) mille lahendame asendusvõttega: avaldame (1) võrrandist x-i (võib ka y-i) ja asendame (2) võrrandi x-i (või y-i). (1) x = y +6 Asendades (2) võrrandis x-i, saame (y +6)y = 247 y² +6y = 247 y² +6y 247 = 0 y = -3 ± 9 + 247 = -3 ± 256 = -3 ± 16 y 1 = -19 või y 2 = +13
-13 (-19) = -13 +19 = 6 ja -19(-13) = 247 x 1 = -19 sobib 2) kui x 2 = 13, siis II arv on x +6 = 13 +6 = 19 19 -13 = 6 ja 13 19 = 247 Vastus:need arvud on -19 ja -13 või 13 ja 19 274 II lahendus. Olgu arvud x ja y, vastavalt ülesande tingimustele saame võrrandisüsteemi, x y 6(1) xy 247(2) mille lahendame asendusvõttega: avaldame (1) võrrandist x-i (võib ka y-i) ja asendame (2) võrrandi x-i (või y-i). (1) x = y +6 Asendades (2) võrrandis x-i, saame (y +6)y = 247 y² +6y = 247 y² +6y 247 = 0 y = -3 9 247 = -3 256 = -3 16 y 1 = -19 või y 2 = +13
-13 (-19) = -13 +19 = 6 ja -19(-13) = 247 x 1 = -19 sobib 2) kui x 2 = 13, siis II arv on x +6 = 13 +6 = 19 19 -13 = 6 ja 13 19 = 247 Vastus:need arvud on -19 ja -13 või 13 ja 19 274 II lahendus. Olgu arvud x ja y, vastavalt ülesande tingimustele saame võrrandisüsteemi, x y 6(1) xy 247(2) mille lahendame asendusvõttega: avaldame (1) võrrandist x-i (võib ka y-i) ja asendame (2) võrrandi x-i (või y-i). (1) x = y +6 Asendades (2) võrrandis x-i, saame (y +6)y = 247 y² +6y = 247 y² +6y 247 = 0 y = -3 9 247 = -3 256 = -3 16 y 1 = -19 või y 2 = +13
· Algebralised funktsioonid on funktsioonid, mis saadakse lõpliku arvu algebraliste tehte rakendamise teel. a. Täisratsionaalsed funktsioonid ehk astmefunktsioonid b. Murdratsionaalsed funktsioonid ehk kahe täisratsionaalse funktsiooni jagatis c. Irratsionaalsed funktsioonid ( sisaldavad lisaks eelnevale veel juurimist) d. Mittealgebralised funktsioonid Liitfunktsioon- on funktsioon, kus sõltuv muutuja y sõltub argumendist x mitme funktsiooni vaheldusel. Kui y=f(z) ja z=g(x) , seega saame liitfunktsiooni y=f(g(x)) . Liitfunktsioonil võib olla ka enam kui kaks koostisosa ja seega enam kui üks vahepealne muutuja. Pöördfunktsioon- pöördfunktsiooni saame, kui võtame algse funktsiooni , avaldame sealt x ja seejärel vahetame x ja y ära. Näiteks : y=2x ; x=0,5y ; y=0,5x , seega y=2x pöördfunktsioon on y=0,5x. Funktsiooni y = f(x) pöördfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni y =( x )
"Matemaatiline analüüs I" Funktsioon Funktsioon- Kui muutja x igale väärtusele piirkonnas X vastab muutuja y kindel väärtus, siis öeldakse, et y on muutuja x funktsioon piirkonnas X. Sõltumatu muutuja on x, sõltuv y Funktsiooni määramispiirkond-Funktsiooni y määramispiirkonnaks nimetakse argumendi x muutumispiirkonda. Funktsioonide liigid- 1. Paaris funktsioon-rahuldab tingimust f(x)=f(-x) ja see on sümmeetriline y-telje suhtes. (Nt:y=x2) 2.Paaritu funktsioon-rahuldab tingimust f(-x)=-f(x) ja see on sümmetrialine 0 punkti suhtes. (y=sinx) 3.Perioodilised funktsioonid- rahuldab tingimust f(x+T)=f(x), T on periood. 4
3 7 1 7 - 3 1 = - 39 + 49 - 10 18 - 21 + 4 - 6 + 7 - 1 = = 0 1 0 . 2 8 3 - 10 4 - 1 - 26 + 56 - 30 12 - 24 - 3 - 4 + 8 - 3 0 0 1 Pöhiomadused: 1. ( A-1 )-1 = A. 2. ( AB )-1 = B-1A-1. 3. ( AT )-1 = ( A-1)T. 1 4. DA-1 = . DA 5. Funktsiooni mõiste, tema esitusviise Eeskirja, mis seab sõltumatu muutuja igale väärtusele vastavusse sõltuva muutuja mingi ühe kindla väärtuse, nimetatakse funktsiooniks. Sõltumatut muutujat nimetatakse funktsiooni argumendiks. Argumendi väärtuste järgi leitud sõltuva muutuja vastavaid väärtusi nimetatakse funktsiooni väärtusteks. Funktsiooni väärtuste leidmine argumendi väärtuste järgi võib toimuda mitmeti: arvutamise, jooniselt mõõtmise, sellekohasest tabelist leidmise või vajaliku katse korraldamise teel.
Z Z Z 0 , kus Z on positiivsete ja Z negatiivsete täisarvude hulk. Ehk Z 0;1;2;3... . Arve n ja –n nimetatakse teineteise vastandarvudeks. Täisarvude hulk on liitmise, korrutamise ja lahutamise suhtes kinnine. Kuid ei ole endiselt seda jagamise suhtes. Kõik täisarvud, positiivsed ja negatiivsed murdarvud kokku moodustavad arvuhulga, mida nimetatakse m ratsionaalarvude hulgaks Q . Ratsionaalarvuks nimetatakse sellist arvu, mis avaldub jagatisena , n kus m Z , n Z ja n 0.
siis saame täisarvude hulga Z Z on positiivsete ja Z negatiivsete täisarvude hulk. Ehk Z 0;1;2;3... . Arve n ja –n nimetatakse teineteise vastandarvudeks. Täisarvude hulk on liitmise, korrutamise ja lahutamise suhtes kinnine. Kuid ei ole endiselt seda jagamise suhtes. Kõik täisarvud, positiivsed ja negatiivsed murdarvud kokku moodustavad arvuhulga, mida nimetatakse m ratsionaalarvude hulgaks Q . Ratsionaalarvuks nimetatakse sellist arvu, mis avaldub jagatisena , n kus m Z , n Z ja n 0.
Majandusmatemaatika TEM0222 konspekt 1. Gaussi meetod e. elimineerimise meetod täpselt määratud süsteemi korral (võrrandite arv=tundmatute arv): maatriksis jäätakse kõik peadiagonaali elemendid 1ks, kõik ülejäänud elemendid muudetakse 0ks. Selleks valitakse igast reast ja veerust ühe korra juhtelement. Ühest reast või veerust mitu korda juhtelementi valida ei saa. Juhtelemendi rida lahutatakse või liidetakse teistele ridadele, et ülejäänud ridadest saada samasse veergu kus juhtelemend asub nullid. N: -1 2 1 1 ! 7 1 3 -1 1 ! 4 1 8 1 1 ! 13 11 11!6 Mittestabiilse süsteemi korral: Kasutusele tuleb Crameri valem. X1=x1(maatriks)/kogumaatriks Crameri valemit ei kasuta ükski arvutiprogramm, sest see võib anda väga suure vea. Gaussi meetodis saab arvutusvigade vähendamiseks valida juhtelemendiks maksimaalse absoluutväärtusega arvu (antud veerus kui ka kogu süsteemis). Gaussi meetodiga saab leida ka pöördmaatriksit
Lahendamiseks viiakse kõik liikmed vasakule poole ning ühisele murrujoonele. Näide: Seejärel võrdustatakse lugeja nulliga, samal ajal väites, et nimetaja ei tohi olla 0. Antud juhul: x2-x-6=0 ja x-3 0 -> x 3 Ruutvõrrandi lahendid on x1 = 3 ja x2 = -2, kuid 3 on võõrlahend, seega murdvõrrandi lahendiks on -2. Juurvõrrand Juurvõrrandiks nimetatakse võrrandit, kus muutuja on juure all. Ei ole juurvõrrand, sest muutuja x ei ole juure all. Juurvõrrandit lahendadakse, viies juurega liikmed ühele poole ja juureta liikmed teisele poole ning seejärel tõstetakse mõlemad pooled ruutu. Näide: Ruututõstmist võib kasutada mitu korda, kui seda on juurtest lahtisaamiseks vaja. Edasi lahendatakse võrrandit nagu tavalist ruutvõrrandit
annaabi.ee 
