3 - 2x + x 2 7)y=tanx cosx 8) y = 9) y=sin2x x 2 x -1 2. Leia funktsiooni y= kasvamis ja kahanemispiirkonnad ja 1 - 3x ekstreemumpunktid. Määra ka nende liik. 3. Leia parabooli haripunkti koordinaadid y= 7x2+4x. 4. Leia joone y=(x+1) (x-1) (x-2) puutuja punktis , mille abstsiss on -3. x 5. Leia joone y= puutuja, mis on x -1 2 1) paralleelne sirgega x+y =5 2) risti sirgega 8x-3y=1 6. Punkti liikumisel on läbitud tee ja aja vaheline seos s=4t3-3t2+5t+8.Leia 1)algkiirus 2)hetkiirus ja kiirendus 1 sekundi lõpus. 7. Esita parabooli y= 2x2-8x +3 puutuja võrrand 1) kohal x=-2 2) juhul, kui puutuja tõus on 4 3) punktides , milles sirge y= 2x-3 lõikab parabooli. 8
y y = 2sin x - // . . x , y = -1 a) Funktsiooni y 2 sin x graafikult näeme, et funktsiooni y 2 sin x positiivsuspiirkond on X 0; ja negatiivsuspiirkond on X ;2 . b) Täiendame joonist sirgega y 1 . Jooniselt näeme, et funktsiooni y 2 sin x graafik on allpool 7 11 sirget y 1 , kui x ; . 6 6 #y 2 sin x Tõepoolest, leides võrrandisüsteemist " joonte y 2 sin x ja y 1 lõikepunktide !y 1 abstsissid:
2!2! 8! 9 10 15 5 2 1 P ( B ) = p ( L1) p ( L2) = = . 14 15 21 Vastus: Tõenäosus, et võetud pallid on sama värvi, on 19/40 ja 4 kollase palli saamise tõenäosus on 1/21. 5. (15p) Sektorisse, mille raadius on R ja kesknurk , on kujundatud ring. Avaldage ringi raadius ning ringi sektori pindalade suhe. Avaldage see suhe, kui = 60 o . Lahendus: Ringjoone puutuja on risti puutepunkti tõmmatud raadiusega r. Seega R r . a) VOAB on täisnurkne kolmnurk. Saame leida ringi raadiuse r. AO = R r; BO r sin = = ( R - r) sin = r ; 2 AO R - r 2
Leidke a) Ruutfunktsiooni y = f(x) määrav valem; b) Punkti A koordinaadid; c) Funktsiooni y = f(x) nullkohad ja haripunkti koordinaadid; d) Funktsiooni y = ex väärtus kohal, mis vastab funktsiooni y = f(x) absoluutväärtuselt vähimale nullkohale; e) Antud funktsioonide ühine positiivsuspiirkond. 4. (1998) Heinakuhja telglõige on piiratud joonega y = 1 x2 ja sirgega y = 0. Kuhjale toetub koonusekujuline katus, mille telglõike tipunurk on täisnurk. Leidke kuhja tipu ning katuse tipu vaheline kaugus. 5. (1998) Leidke funktsiooni y = x3 -4x2 3x -2 kasvamis- ja kahanemisvahemikud, maksimum- ja miinimumkoht. 6. (1998) On antud funktsioon f(x) = x2 2 ln x + 3. 1 1) Leidke f e 2 . 2) Leidke funktsiooni f(x) kasvamisvahemik ja ekstreemumid.
diferentsiaaliks ja tähistatakse dy-ga. dy = yx . Funktsiooni muut ja diferentsiaal on ligikaudselt võrdsed dyy, ning seda juhul kui x läheneb nullile. Argumendi diferentsiaaliks nimetatakse argumendi suvalist muutu. Funktsiooni diferentsiaaliks nimetatakse funktsiooni tuletise ja argumendi diferentsiaali korrutist. 3 dy Võrduse võib kirjutada kujul y = . dx Joone puutuja ja normaal- Tuletist saab kasutada funktsiooni kirjeldamiseks. Kui me teame joone puutuja puutepunkti koordinaate, siis saame leida selle joone tõusu. Puutuja tõus k = tan on võrdne funktsiooni y tuletisega argumendi väärtusel x0 . k = y x = x = f ( x0 ) . Teades puutepunkti koordinaate ja puutuja tõusu, 0 leiame puutuja võrrandi, kasutades selleks sirge võrrandit läbi antud punkti antud tõusuga: y - y 0 = k ( x - x 0 )
· Funktsioonil y=f(x) ei saa olla rohkem kui üks piirväärtus. L'Hospitali valem, selle kasutamise eeldused. See reegel on rakendatav ainult 0/0 ja / korral. Tuletis , selle rakendused. Tuletis, selle geomeetriline tähendus Funktsiooni tuletis on funktsiooni ja argumendi muudu suhte piirväärtus argumendi muudu tõkestamtul lähenemisel nullile. Funktsiooni tuletise geomeetriline tähendus on et funktsiooni graafiku puutuja tõus punktis mille abstsiss on x. Tuletise arvutamine definitsiooni järgi. · Funktsiooni tuletise leidmist nim ka diferentseerimiseks. Tuletise leidmiseks on vaja: · fikseerida argumendi mingi väärtus x ja arvutada sellele vastav funktsiooni väärtus · anda argumendile muut x ja arvutada uuele argumendi väärtusele x+x vastav funktsiooni väärtus · arvutada funktsiooni muut y · moodustada suhe y/x · leida selle suhte piirväärtus eeldusel, et argumendi muut x läheneb nullile
Liitfunktsiooni pidevus. Tuua näiteid. .................................................................................................................................. 13 16. Weierstrassi teoreem funktsiooni tõkestatusest, Weierstrassi teoreem ekstremaalsetest väärtustest, teoreem lõigul pideva funktsiooni nullkohast. ........................................................... 13 17. Tuletise mõiste, tuletise geomeetriline interpretatsioon (joone puutuja kaudu), tuletise leidmise skeem. ..............................................................................................................................14 18. Seos funktsiooni pidevuse ja diferentseeruvuse vahel (tõestusega). ....................................... 14 19. Funktsioonide y=sin x, y=cos x , y=loga x , y=ax tuletiste leidmine. .....................................14 20. Tehetega seotud diferentseerimisreeglid. Funktsioonide y = tan x , y = cot x tuletiste leidmine. .........
nende väärtuste hulka mille korral on funktsiooni avaldis täielikult määratud. 3. Graafline esitusviis. Funktsioon esitatakse graa_kuna tasandil ristkoordinaadistikus. Olgu antud funktsioon f, mille argument on x, sõltuv muutuja y ja määramispiirkond X. Kanname tasandile ristuvad x- ja y-teljed. Vaatleme selles teljestikus joont G, mis koosneb kõikvõimalikest punktidest P = (x, f(x)), kusjuures P esimene koordinaat x jookseb läbi kogu määramispiirkonna X. Seda joont nimetataksegi funtsiooni f graafikuks. Seega, lühidalt kirjutades on funktsiooni f graafiku defnitsioon järgmine: G = {P = (x; f(x)) ||x X} 2. Funktsioonide liike (paaris-, paaritu, perioodiline): Paaris- ja paaritud funktsioonid. Funktsiooni f nim. paarisfunktsiooniks kui iga x X korral kehtib võrdus f(-x) = f(x). Funktsiooni f nim. paarituks funktsiooniks kui iga x X korral kehtib võrdus f(-x) = -f(x). Perioodilised funktsioonid
kõik muutujad on konstantsed, välja arvatud x k . z z = lim k (3.3) x k x k 0 x k k = 1,2,..., n z Vaatleme kahe muutuja funktsiooni z = f ( x, y ) ja selle osatuletist . x xz = tan x Kui x 0 , siis tan tan z z = lim x = lim tan = tan , x x 0 x x 0 kus on puutuja tõusunurk, tan = k on puutuja tõus. z Geomeetriliselt on osatuletis võrdne pinna z = f ( x, y ) ja tasandi y = const x lõikejoone antud punktis tõmmatud puutja tõusuga k = tan . z Analoogselt on võrdne pinna z = f ( x, y ) ja tasandi x = const lõikejoonele tõmmatud y puutuja tõusuga. 4. Kahe muutuja funktsiooni diferentsiaal. Teoreem diferentsiaali olemasolust. Def. 4.1.
2. Lõik otspunktidega on ringjoone diameetriks. Leidke: 1) ringjoone võrrand; 2) sellele ringjoonele punktides (2,5; 4,5) ja (0;2) joonestatud puutujate võrrandid ja nende puutujate lõikepunkt. 3. Tuletage joone võrrand, kui joone iga punkti kaugused punktidest M(0;-3) ja N(2;3) on võrdsed. Näidake, et otsitav joon on lõigu MN keskristsirge. 4. Parabool läbib punkte (-1;0), (5;0) ja (0;-10). Leidke parabooli võrrand ja tema haripunkti koordinaadid ning puutuja võrrand punktis (0;-10). 5. Leidke parabooli y = x2 2x haripunkti koordinaadid. 1) Vektori v =(a;9) alguspunkt asetseb antud parabooli haripunktis. Leidke parameetri a väärtused a1 ja a2, mille korral vektori v lõpppunkt asetseb samuti sellel paraboolil. 2) Leidke vektorite v1 =(a1;9) ja ja v 2 =(a2;9) vahelise nurga suurus, võttes a1 ja a2 väärtused eelmisest punktist. 6. Joonisel on antud ruutf-ni y = f(x) ja funktsiooni y = ex graafikud.
b= u(a), siis liitfunktsioon = (u) on pidev punktis a Kõik elementaarfunktsioonid on pidevad oma määramispiirkonnas Funktsioon f(x) on pidev punktis a siis ja ainult siis, kui f(a-) = f(a) = f(a+) . Kui vasak ja parempoolne piirväärtused on võrdsed. 49.Teoreem lõigul pideva funktsiooni nullkohast Funktsioon f(x) on pidev punktis a parajasti siis, kui argumendi muudu x lähenemisel nullile ka funktsiooni muut läheneb nullile. 50.Joone puutuja mõiste Kui punkti M1 piiramatul lähenemisel punktile M0 ükskõik kummalt poolt mööda joont lõikaja läheneb teatud asendile M 0 T , siis seda sirget nimetatakse joone puutujaks punktis M0. 51.Funktsiooni tuletise mõiste Funktsiooni tuletis on funktsiooni muudu ja argumendi muudu suhte piirväärtus, kui argumendi muut läheneb nullile. 52.Diferentseeruva funktsiooni mõiste Antud funktsiooni f (x) tuletise leidmist nimetatakse selle funktsiooni
Teoreemid lõigul pideva funktsiooni Definitsioon Funktsiooni y=f(x) määratud integraaliks lõigul kohta. [a,b] nimetatakse piirväärtust 6. Funktsiooni tuletis ja selle geomeetriline tähendus. Puutuja ja normaali võrrand. x/2=arctan t ; x=2arctan t ; dx=2/1+t 2dt 7. Teoreem diferentseeruva funktsiooni pidevusest 2. Integraalid (tõestusega). tingimusel, et 8
läheneb kindlale arvule A siis see arv A on
funk f(x) piirväärtus argumendi x
lähenemisel arvule a lim f(x)=A 4.funk
tuletis-funk tuletis on funk muudu ja argu
muudu suhte piirväärtus argu muudu
lähenemisel nullile.y=f(x) tuletiste tähised
y`,f`(x),dy/dx,df/dy,yx funk tuletis sümb.-
y`=lim(x0) y/x=lim(x0) f(x+x)-
f(x) / x ..funk tuletise väärtus mingis
puntkis näitab selle funk muutumiskiirust
antud punktis. 5.joone puutuja-joonele
mingis punktis tõmmatud puutuja on seda
punkti läbivate lõlikajate piirasend.putuja
võrrand y-y0=f`(x0)*(x-x0)
6.funk kasv/kah ja extreem-funk f(x)
kasvamispiirkond on selline osa
määramispiirkonnast milles suuremale
argu-le vastab suurem funk väärtus.kui
x1
Tõestus: Funktsioon on pidev, kui on täidetud järgmised tingimused: 1) a X triviaalne, kuna muidu poleks võimalik leida f(a) tuletist avaldamises. 2) f(x) f(x) = (f(x) f(a) + f(a)) = = = f'(a) · 0 + f(a) = f(a) 3) on tõestatud punktis 2. 3. Funktsiooni tuletise aritmeetiliste tehetega seotud omadused (omaduse b tõestus) Tõestus: (uv) = u(x) · v(x) (uv) = u(x + x) · v(x · x) u(x) · v(x) (uv)' = 4. Joone puutuja ja normaalsirge mõisted. Vastavate võrrandite tuletamine Joone puutuja. Joone y = f(x) puutujaks punktis A nimetatakse tema lõikaja AP piirsirget, mis tekib punkti P lähenemisel punktile A mööda joont y = f(x). Puutja võrrandiks on: y y0 = f'(x0)(x x0) Võrrandi tuletamine: Tuletame puutuja s võrrand. Kõigepealt märgime, et valemi y - b = p(x - a) põhjal avaldub puutuja s võrrand punktis A = (a, f(a)) kujul y - f(a) = p(x - a) , kus p on s tõus. Vaatleme piirprotsessi x a
diferentseeruv ja rahuldab tingimust f(a) = f(b), siis leidub vahemikus (a, b) vähemalt üks punkt c nii, et f(c) = 0. Rolle'i teoreemil on lihtne geomeetriline sisu. See on järgmine. Nimelt teoreemi eeldustel on funktsiooni y = f(x) graafik sile joon, mille otspunktid A = (a, f(a)) ja B = (b, f(b)) asuvad x-telje suhtes samal kõrgusel. Teoreem väidab, et sellisel juhul leidub vahemikus (a, b) vähemalt üks punkt c, mille korral funktsiooni tuletis on null, st funktsiooni graafiku puutuja on paralleelne xteljega. Teoreemi illustreerib joonis 3.7. Vasakpoolsel graafikul on ¨uks taoline punkt c, parempoolsel graafikul aga kaks punkti c1 ja c2. Lagrange'i teoreem. Kui funktsioon f on lõigul [a, b] pidev ja vahemikus (a, b) diferentseeruv, siis leidub vahemikus (a, b) vähemalt üks punkt c nii, et f(b) - f(a) = f´(c)(b - a) . Lagrange'i teoreemi geomeetrilist sisu vaatleme jooniselt 3.8. Punktidest A = (a, f(a)) ja B = (b, f(b)) läbi tõmmatud lõikaja t tõus võrdub suhtega
arcsin[sin x] = x ja sin[arcsin y] = y, neist esimene iga x [-/2, /2] korral. arccos[cos x] = x ja cos[arccos y] = y, neist esimene iga x [0, ] korral. arctan[tan x] = x , tan[arctan y] = y , arccot[cot x] = x , cot[arccot y] = y, neist esimene iga x (-/2, /2 ) ja kolmas iga x (0, ) korral. Arkusfunktsioonide määramispiirkonnad ja väärtuste hulgad on järgmised: y = arcsin x : X = [-1, 1], Y = [-/2,/2] , y = arccos x : X = [-1, 1], Y = [0, ] , y = arctan x : X = R, Y = (-/2,/2) , y = arccot x : X = R, Y = (0, ) . 5. Algebralised tehted funktsioonidega. Liitfunktsiooni mõiste. Liitfunktsiooni määramispiirkond. Põhilised elementaarfunktsioonid. Elementaarfunktsiooni definitsioon. Polünoom ja ratsionaalfunktsioon. Algebralised tehted funktsioonidega. Olgu antud kaks funktsiooni y =f(x) ja y = g(x) ühise määramispiirkonnaga X. Kehtib f ja g summa puhul seos y = (f + g)(x) = f(x) + g(x).
funktsioon f on diferentseeruv kohal u=g(x), siis on diferentseeruv ka liitfunktsioon sellel kohal x. 32. Funktsioonide summa, korrutise ja jagatise tuletise leidmise eeskirjad. Summa: (u+v)' = u' + v' Korrutis: (uv)' = u'v + uv' Jagatis: (u/v)' = (u'v uv')/v2 33. Tuletise geomeetriline ja füüsikaline vaste. Funktsiooni muutumise kiirus ja kiirendus. Tuletise geomeetriline tähendus funktsiooni esimene tuletis mingil kohal annab funktsiooni puutuja tõusu sellel kohal. Tuletise füüsikaline tähendus funktsiooni esimene tuletis mingil ajahetkel annab hetkkiiruse sellel ajahetkel. Kiirus funktsiooni tuletis mingil kohal näitab selle funktsiooni väärtuse muutumise kiirust funktsiooni argumendi muutumisel funktsiooni tuletis on funktsiooni väärtuse muudu ja argumendi muudu suhte piirväärtus argumendi muudu lähenemisel nullile.
7. Kahe muutuja funktsiooni osatuletiste geomeetriline interpretatsioon (korralik selgitus joonise 2 põhjal). Olgu joonisel kujutatud pinna võrrand z=f(x,y). Suhe xz/y võrdub lõikaja PT ja y-telje positiivse suuna vahelise nurga tangensiga: Piirväärtus võrdub järelikult joonele PT punktis P ehitatud puutuja PB ja y-telje positiivse suuna vahelise nurga tangensiga: Niisiis võrdub osatuletis arvuliselt pinna z=f(x,y) ja tasapinna x=const lõikejoone puutuja tõusunurga tangensiga. Analoogiliselt võrdub arvuliselt pinna z=f(x,y) ja tasapinna y=const lõikejoone puutuja tõusunurga tangesinga. 8. Kahe muutuja funktsiooni täisdiferentsiaal. Definitsioon ja põhjalik selgitus, kuidas täismuudust
1 x2 1 u2 18 1 u x 1 (arctan x) = 1+ x2 (arctan u )x = 1+ x 2 dx = arctan x + c 1+ u2 19 (arc cot x) = 1 u 1+ x2 (arc cot u )x = x 2 1+ u Tähtsamaid tuletisi ja integraale
1 x2 1 u2 18 1 u x 1 (arctan x) = 1+ x2 (arctan u )x = 1+ x 2 dx = arctan x + c 1+ u2 19 (arc cot x) = 1 u 1+ x2 (arc cot u )x = x 2 1+ u Tähtsamaid tuletisi ja integraale
MATEMAATIKA TÄIENDÕPE VALEMID JA MÕISTED KOOSTANUD LEA PALLAS 1 2 SAATEKS Käesolev trükis sisaldab koolimatemaatika valemeid, lauseid, reegleid ja muid seoseid, mille tundmine on vajalik kõrgema matemaatika ülesannete lahendamisel. Kogumikus on ka mõned kõrgema matemaatika õppimisel vajalikud mõisted, mida koolimatemaatika kursuses ei käsitletud.. 3 KREEKA TÄHESTIK - alfa - nüü - beeta - ksii - gamma - omikron - delta - pii - epsilon - roo - dzeeta - sigma - eeta - tau - teeta - üpsilon - ioota - fii - kapa - hii - lambda - psii - müü - oomega
17. f-ni diferentsiaal Y=f(x)-> y'=f'(x)= lim x->0 y/ x=>dif-v(hulgas D=(a;b)-> y/ x=y'+ n| x=> y=y' x+ n x; y-f-ni muut; y' x-f-ni diferentsiaal; n x- kõrgemat järku lõpmata väikesed suurused. *Def F-ni diferentsiaaliks nim f-ni muudu peaosa. Nt dy=y' x; y=x, y'=x'=1 dy= y' x=1 x=dx=> dy= y'dx. *Argumendi enda dif on võrdne argumendi enda dif-ga: y'=dy/dx.*Dif geom. Tõlgendus:JOONIS! Y'=tan , PRS: dy=y' x=tan * x=SR/PR*PR=SR=> dy=SR *Järeldus: F-ni dif isel joone puutuja punkti, ordinaadi muutu, mis vastab argumendi muudule x 18. Dif arvutuse põhiteoreeme 1)Lagrange teoree,(18 saj) Olgu meil f-n y=f(x) dif-v lõigul[a;b], siis leidub sellele lõigule punkt c, nii et f(b)-f(a)/b-a=f'(c); JOONIS! PQR:tan =QR/PR => lõikaja e(P,Q) *Teoreem väidab et leidub selline punkt, kus selle joone puutuja tõus on paralleelne selle lõikajaga(võrdne lõikaja tõusuga). Neid punkte on vähemalt üks, aga võib olla ka rohkem 2)Rolle'i teoreem: Olgu
koht - 1/3 ; min. koht 3. b) Antud on funktsiooni y = x3 -5x2 +3x - 11 1) Leidke selle funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud 2) Leidke selle funktsiooni vähim väärtus lõigul [ 0 ; 5 ] 3) Skitseeri funktsiooni graafik lõigul [ 0 ; 5 ] . Vastus:1) kasvab, x< 1/3 või x>3 ; kahaneb, kui 1/3< x <3 2) y =-20 c) On antud funktsioon f ( x) = xln6 - xlnx 1) leidke funktsiooni f ( x) a) määramispiirkond b) graafiku ja x - telje lõikepunkt c) maksimumpunkti abstsiss 2) Koostage joone y = f ( x) puutuja võrrand punktis, kus joon lõikab x - telge. Vastus:1) a) ( 0 ; ) b) ( 6 ; 0 ) c ) 6/e 2) y = -x +6 d) Millise a korral on funktsioonil y a ln x x 3x ekstreemum punktis x = 1 2 Määrake ekstreemumi liik. Vastus:a = 1; x = 1 on miinimumkoht; y = -2 ex y ln x 2 e) Antud on funktsioon x
puutuja on paralleelne x-teljega. Lagrange'i teoreem Kui funktsioon f on lõigul [a, b] pidev ja vahemikus (a, b) diferentseeruv, siis leidub vahemikus (a, b) vähemalt üks punkt c nii, et Lagrange'i teoreemi geomeetrilist sisu vaatleme jooniselt. Punktidest A = (a, f(a)) ja B = (b, f(b)) läbi tõmmatud lõikaja t tõus võrdub suhtega Viime paralleellükkega sirge t uude asendisse nii, et saadud uus sirge t oleks joone y = f(x) puutuja. Tähistame puutepunkti x-koordinaadi c-ga. Kuna funktsiooni graafiku puutuja tõus võrdub funktsiooni tuletisega vaadeldavas punktis, siis sirge t tõus on f(c). Kuna sirged t ja t on paralleelsed, siis on nende tõusud omavahel võrdsed, seega Korrutades b - a-ga saame valemi . Kokkuvõttes: Lagrange'i teoreem väidab, et sileda joone lõikaja saab paralleellükkega viia selle joone puutujaks. 23. Kõrgemat järku tuletiste ja diferentsiaalide definitsioonid (kõrgemat järku
x pöördf-n y = - X = [0 ; ) Y = (- ; 0] 1 x2 f) Joonestage funktsioonide y = lnx ja y = graafikud samasse teljestikku ning leidke mõlema graafiku esimese veerandi nende punktide, mille ordinaat on 1, vaheline kaugus. Vastus: Kaugus on e-1 . 1. y log 2 x 2 2. y 3 3x 3. y 2 0,5 x 4. y log 1 x 4 3 g) Joonestada funktsioonide graafikud: 5
teravnurga. Avaldage trapetsi küljed, kui trapetsi pindala on S. Arvutage trapetsi küljed, kui S =3 3 . Lahendus: antud on a = 2b; S = 3 3 ; a ja b on trapetsi alused, c on haar ja h on trapetsi kõrgus. a+b 2b + b 3b 3b S= h= h= h; S = h 2 2 2 2 = , kui põiknurgad paralleelsete sirgete lõikamisel 3. sirgega, d-ga. Nelinurk A1BCD on romb: alusnurgad ei ole täisnurgad, diagonaalid poolitavad nurgad, vastasküljed on paralleelsed. Järelikult lühem alus võrdub haaraga c = b. Kolmnurk CEB on täisnurkne. Pythagorase teoreemi järgi saame 2 2 b 2 b 3b 2 3b 2 b h = c - = b - = 2 2 h= = 3. 2 4 4 4 2
2 2 1 m 1 . 2. arccos m on vähim mittenegatiivne nurk, mille koosinus on m: cos arccos m m , kusjuures 0 arccos m , 1 m 1 . 3. arctan m on absoluutväärtuselt vähim nurk, mille tangens on m: tan arctan m m , kusjuures arctan m , 2 2 m . 3.14 Arkusfunktsioonid negatiivsest argumendist arcsin m arcsin m
. . . . . . . . . . . . 49 5.4 Diferentseerimise reeglid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 5.5 Liitfunktsiooni tuletis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 5.6 Nähtuskäigu kiirus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 5.7 Kõrgemat järku tuletis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 5.8 Joone puutuja ja normaali võrrandid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 5.9 Funktsiooni diferentsiaal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 6 Funktsiooni uurimine 59 6.1 Diferentsiaalarvutuse keskväärtusteoreemid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 6.2 L'Hospital'i reegel piirväärtuse arvutamiseks . . . . . . .
1 16. Pidevus ja diferentseeruvus 17. M~onede p~ohiliste elementaarfunktsioonide tuletised 18. Diferentseerimisreeglid 19. P¨o¨ordfunktsiooni tuletis 20. Liitfunktsiooni tuletis 21. Logaritmiline diferentseerimine 22. Ilmutamata funktsiooni tuletis 23. Parameetrilisel kujul esitatud funktsiooni tuletis 24. Funktsiooni diferentsiaal 25. K~orgemat j¨arku tuletised 26. Joone puutuja ja normaali v~orrandid 27. Rolle'i teoreem 28. Cauchy teoreem 29. Lagrange'i teoreem 30. L'Hospitali reegel 31. L'Hospitali reegel teistel m¨aa¨ramatuse juhtudel 32. Taylori valem 33. Funktsioonide ex , sin x ja cos x arendid Maclaurini valemi j¨argi 34. Funktsiooni kasvamine ja kahanemine 35. Funktsiooni lokaalsed ekstreemumid 36. Funktsiooni suurim ja v¨ahim v¨a¨artus antud l~oigul 37. Funktsiooni graafiku kumerus ja n~ogusus. K¨aa¨nupunktid 38. Funktsiooni graafiku as¨
oleva hinnaga p MC(Q)=p TEOORIAKÜSIMUSED nr 5 1. Defineerida joone kumerus ja nõgusus. Kumer: Kui vahemikus (a;b) kõigis punktides funktsiooni f(x) teine tuletis on negatiivne, st f´´(x)<0, siis joon y=f(x) on selles vahemikus kumer. Nõgus: Kui vahemikus (a;b) kõigis punktides funktsiooni f(x) teine tuletis on positiivne, st f´´(x)>0, siis joon y=f(x) on selles vahemikus nõgus. 2. Kuidas asetseb joone puutuja igas punktis kumera funktsiooni graafiku suhtes? Kuidas asetseb joone puutuja igast punktis nõgusa funktsiooni graafiku suhtes? Kumer: Funktsioon f graafik on vahemikus X kumer, kui selle vahemiku igas punktis x graafiku puutuja astseb ülalpool graafikut. Nõgus: Funktsioon f graafik on vahemikus X nõgus, kui selle vahemiku igas punktis x graafiku puutuja astseb allpool graafikut. 3. Mis on joone käänupunkt?
vahemikus (a, b) asuvas punktis. Tähistame selle punkti c-ga. Kuna vahemikus (a, b) asuv absoluutne ekstreemum on 31.Nõgusa ja kumera joone definitsioonid. Öeldakse, et joon y = f(x) on nõgus, kui liikudes vasakult paremale ühtlasi ka lokaalne ekstreemum, omab funktsioon f lokaalset ekstreemumit punktis c. Peale selle on f teoreemi eelduste selle joone puutuja tõus suureneb. Öeldakse, et joon y = f(x) on kumer, kui liikudes vasakult paremale selle joone põhjal diferentseeruv punktis c. Järelikult, Fermat' lemma põhjal saame f(c) = 0. Teoreem on tõestatud. puutuja tõus väheneb. Kospekti joonisel (lk 93) 4.4 vasakpoolsel graafikul on kujutatud nõgusat joont. Liikudes
Järelikult, Fermat' lemma põhjal saame f(c) = 0. Teoreem on tõestatud. Rolle'i teoreemil on lihtne geomeetriline sisu. See on järgmine. Nimelt teoreemi eeldustel on funktsiooni y = f(x) graafik sile joon, mille otspunktid A = (a, f(a)) ja B = (b, f(b)) asuvad x-telje suhtes samal kõrgusel. Teoreem väidab, et sellisel juhul leidub vahemikus (a, b) vähemalt üks punkt c, mille korral funktsiooni tuletis on null, st funktsiooni graafiku puutuja on paralleelne x-teljega. Teoreem 3.5 (Cauchy teoreem). Kui funktsioonid f ja g on lõigul [a, b] pidevad, vahemikus (a, b) diferentseeruvad ja iga x (a, b) korral kehtib võrratusg(x)0, siis leidub vahemikus (a, b) vähemalt üks punkt c nii, et Tõestus. Defineerime järgmise funktsiooni: Arvutame: Seega F(a) = F(b). Ühtlasi on F(x) pidev lõigul [a, b] ja diferentseeruv vahemikus (a, b). Järelikult rahuldab F(x) Rolle'i teoreemi eeldusi
marginaalkulu turul oleva hinnaga p MC(Q)=p Teooriaküsimused nr.5 1. Defineerida joone kumerus ja nõgusus. Kumer: Kui vahemikus (a;b) kõigis punktides funktsiooni f(x) teine tuletis on negatiivne, st f''(x)<0, siis joon y=f(x) on selles vahemikus kumer. Nõgus: Kui vahemikus (a;b) kõigis punktides funktsioon f(x) teine tuletis on positiivne, st f''(x)>0, siis joon y=f(x) on selles vahemikus nõgus. 2. Kuidas asetseb joone puutuja igas punktis kumera (nõgusa) oleva funktsiooni graafiku suhtes. Kumer: Funktsioon f graafik on vahemikus X kumer, kui selle vahemiku igas punktis x graafiku puutuja asetseb ülalpool graafikut. Nõgus: Funktsiooni f graafik on vahemikus X nõgus, kui selle vahemiku igas punktis x graafiku puutuja asetseb allpool graafikut. 3. Mis on joone käänupunkt? Punkt, mis eraldab pideva joone kumerat osa nõgusast nimetatakse joone käänupunktiks. Kui
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
