Tallinna Tehnikaülikool Mehhatroonikainstituut Jüri Kirs, Kalju Kenk Kodutöö D-2 D'Alembert'i printsiip Tallinn 2007 Kodutöö D-2 D'Alembert'i printsiip Leida mehaanikalise süsteemi sidemereaktsioonid kasutades d'Alembert'i printsiipi ja kinetostaatika meetodit. Kõik vajalikud arvulised andmed on toodud vastava variandi juures. Seda, millised sidemereaktsioonid süsteemi antud asendis tuleb leida, on samuti täpsustatud iga variandi juures. Variantide järel on lahendatud ka rida näiteülesandeid koos põhjalike seletustega. Näiteülesandeid d'Alembert'i printsiibi kohta võib lugeda ka E. Topnik' u õpikus ,,Insenerimehaanika ülesannetest IV. Analüütiline mehaanika", Tallinn 1999, näited 14-17, leheküljed 39-49. Kõikides variantides xy-tasapind on horisontaalne, xz- ja yz-tasapinnad aga on vertikaalsed. Andmetes toodud suurused 0 ja 0 on vastavalt pöördenurga ja
rööpküliku. Aitab sellest, et me joonistame välja ainult ühe kolmnurga. Diagonaal F jaotab rööpküliku kaheks kolmnurgaks, joonistame nendest ainult ühe välja, see annab meile ju ka summavektori F . Loogilise mõtlemise põhjal on kohe selge, et ükskõik kumma kolmnurga me välja joonistame. Joonisel 3.2 on välja joonistatud alumine kolmnurk. Selle meetodi realiseerimiseks tuleb muidugi kõigepealt jõud F2 paralleelselt iseendaga ümber paigutada nii, et tema alguspunkt langeks täpselt ühte jõu F1 lõpp-punktiga. Summavektor F on sel juhul esimese jõu alguspunktist teise jõu lõpp-punkti. F
1. Konstantne funktsioon y = c (joon. 1). 23 2. Võrdeline sõltuvus (joon. 1): y = kx , k = tan , 0 < , paaritu funktsioon. Määramispiirkond X = . 3. Lineaarfunktsioon (joon. 1): y = kx + b , k = tan , 0 < , ei paaris ega paaritu, kui b 0 . X = . y Joon. 1 4. Pöördvõrdeline sõltuvus (joon. 2): a y = , graafikuks on võrdhaarne hüperbool, asümptootideks on koordinaatteljed, x paaritu funktsioon. X = ( - ; 0 ) U ( 0 ; ) . Joon. 2 5. Ruutfunktsioon: y = x 2 , graafikuks on põhiparabool (joon. 6), paarisfunktsioon. X = . 24 y = ax 2 + bx + c (ka ruutpolünoom), graafikuks on parabool (joon. 3). X = . b x0 = -
CD = 1,519 2 + 0,93 2 - 2 1,519 0,93 cos 25 0,782 km. · Teekond postkontorisse C pikenes: Talust A: AD + DC - AC 0,93 + 0,782 - 0,804 0,91 km võrra. Talust B: BD + DC - BC 0,93 + 0,782 - 1,519 0,19 km võrra. Kommentaarid. Ülesandega kontrolliti kolmnurga lahendamise oskust. Eksaminandilt oodati kolmnurga sisenurkade summa teadmist, siinus- ja koosinusteoreem rakendamise oskust. Väga üllatav oli see, et paljud eksaminandid arvasid, et antud kolmnurk on täisnurkne ja lahendasid ülesande Phytagorase teoreemi kasutades (ja seda isegi siis, kui 3. nurk oli õigesti leitud!). Ootamatult problemaatiliseks osutus mõõtkava tundmine ja ümardamine. Etteantud täpsusega tuli ümardada vaid lõppvastus, kuid paljud eksaminandid ümardasid kõiki vahetehteid ja said vastuse, mis oli väga ebatäpne. Jällegi oli tõsiseks probleemiks vastuste kriitiline hindamine näiteks osade eksaminandide arvates asusid postkontor (või raamatukogu) Kuul (s
21 22 III M N a b c P K L Antud: ML a , NK b, KL c. Leida: MK ja NP . 1) Kolmnurk MKL on täisnurkne ning Pythagorase teoreemi põhjal MK a2 c2 . Et NP 4 PL ja MK 4 PL , siis NP MK. Kuna kahe paralleelse sirge NP ja MK lõikamisel sirgega NK tekivad võrdsed põiknurgad siis 1PNK 1NKM . Kui ühe kolmnurga kaks nurka on vastavalt võrdsed teise kolmnurga kahe nurgaga, siis need kolmnurgad on sarnased, seega 2NPK 2MNK . Sarnaste kolmnurkade vastavad küljed on võrdelised, järelikult
a×b - likumine ( sirge a likub sirgega b); cd - ristseis (sirge c on risti sirgega d); Aa - kuuluvus (joon a läbib punkti A); a - - - ( joon a asub pinnal ); - identsus; ühtimine; - järeldus; - täisnurk. 1 PROJEKTEERIMINE Objekti kujutise saamiseks kasutatakse geomeetrilist toimingut, mida nimetatakse projekteerimiseks. 1.1. Tsentraalprojektsioon Tsentraalprojekteerimisel lähtuvad kik projekteerivad kiired ühest punktist e. kujutamistsentrist. Seega ekraani kaugenemisel suureneb objekti projektsioon. On antud tasand 0, mida nimetatakse projekteerimispinnaks e. ekraaniks, lplikul kaugusel ruumipunkt S (projekteerimistsenter e. kujutamistsenter) ja objekt ABC (joon. 1).
Järeldus: jõupaarid (F1,F1') , (F2, F2') , (F3,F3') taanduvad üheks jõupaariks (R,R'), mida nim resulteerivaks paariks. Resulteeriva paarimoment võrsub liidetavate paaride algebraliste summaga. Tähistatakse: m0 m0=m(R,R')=-Rd= -( P1+P2-P3)d= -P1d-P2d+P3d=m1+m2+m3=m(F1,F1')+m(F2, F2')+m(F3,F3'). Järelikult: tasapinnas mistahes viisil paigutatud jõupaare saab liita. Nende liitmisel saadakse üks resulteeriv jõupaar, mille moment võrdub liidetavate jõupaaride momentide algebraliste summaga. M(R,R')=(üleval n, all j=1)m(Fj, Fj') Et paaride süsteem oelks tasakaalus peab resulteeriva jõupaarimoment võrduma O. m(R,R')=0
KESKKOOLI MATEMAATIKA RAUDVARA 1. osa Andres Haavasalu dikteeritud konspekti järgi koostanud Viljar Veidenberg. 2003. aasta 1 Sisukord Sisukord........................................................................................................................................2 Arvuhulgad............................................................................................................................... 5 Naturaalarvude hulk N..........................................................................................................5 Negatiivsete täisarvude hulk z ...........................................................................................5 Täisarvude hulk Z.................................................................................................................5 Murdarvu
sektori kaare pikkus l x xr 2 xr 2 lr sektori pindala S 2 2 Kolmnurk P abc c ah ab sin b S h 2 2 abc Heroni valem S p p a p b p c , p
2. Võrdeline sõltuvus (joon. 1): y kx , k tan , 0 , paaritu funktsioon. Määramispiirkond X ¡ . 3. Lineaarfunktsioon (joon. 1): y kx b , k tan , 0 , ei paaris ega paaritu, kui b 0 . X ¡ . y Joon. 1 4. Pöördvõrdeline sõltuvus (joon. 2): a y , graafikuks on võrdhaarne hüperbool, asümptootideks on koordinaatteljed, x paaritu funktsioon. X ; 0 U 0 ; . Joon. 2 5. Ruutfunktsioon: y x 2 , graafikuks on põhiparabool (joon. 6), paarisfunktsioon. X ¡ . 24 y ax 2 bx c (ka ruutpolünoom), graafikuks on parabool (joon. 3). X ¡ . b
Sp r2 H Sk r m 1 1 V Sp H r2 H r 3 3 Kera S 4 R 2 4 V R3 R 3 NÄITEÜLESANDED. 1) Püramiidi põhjaks on võrdhaarne kolmnurk, mille alus on 4 cm ja haar 8 cm. Kõik külgtahud moodustavad püramiidi põhjaga kahetahulised nurgad 60o. Leidke püramiidi külgpindala. Lahendus. C Tähistame püramiidi kõrguse H = OC. Külgtahu, mille aluseks on 4 cm apoteem on BC ja külgtahu, mille aluseks on 8 cm apoteem on AC. Kolmnurgad AOC ja BOC on võrdsed KNK (külg- H
MTMM.00.340 Kõrgem matemaatika 1 2016 KÄRBITUD loengukonspekt Marek Kolk ii Sisukord 0 Tähistused. Reaalarvud 1 0.1 Tähistused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 0.2 Kreeka tähestik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 0.3 Reaalarvud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 0.4 Summa sümbol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1 Maatriksid ja determinandid 7 1.1 Maatriksi mõiste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2 Tehted maatriksitega . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tänapäeval aga elektrontahhümeetri kaugusmõõturiga (täpsus 1km ±1 cm). Kui kaldenurk on üle 2° tuleb arvutada ka kalde parandust (mitte automaattahhümeetril). Kui mõõtmisega jõutakse esimese pöördepunktini, siis loetakse lindilt kaugus selle pöördepunktini. Pöördenurga ja valitud kauguse kaudu määratakse ringi kõvera elemendid ja arvutatakse trassi pikkus kõverat pidi. Mõõtmisel linti kõverale panna ei saa (kõverat pole) ja mõõdetakse piki sirgeid kuid sealjuures tõstetakse linti pöördepunktis edasi nn. Mõõduliia võrra. Mõõduliig-on see suurus mis arvestab pikkuste vahet sirgjooni mööda mõõtes ja kõverat mööda mõõtes. Pikettide ja +punktide märkimisega üheaegselt tehakse ka tavaliselt situatsioonimõõdistamine trassi maa-alal 20-50 m ulatuses kummalegi poole. Situatsioni mõõdistatakse kas ristjoonte meetoodil või siis polaarmeetodil kui kasutatakse elektrontahhümeetrit.
1. Funktsioon: Funktsiooni mõiste. Olgu antud 2 muutuvat suurust x ja y. Funktsiooniks (ehk üheseks funktsiooniks) nimetatakse kujutist mis seab suuruse x igale väärtusele tema muutumispiirkonnast vastavusse suuruse y ühe kindla väärtuse. Muutujat x nimetatakse seejuures sõltumatuks muutujaks ehk argumendiks ja muutujat y sõltuvaks muutujaks. Funktsioone tähistatakse tavaliselt tähtedega f; g; u; v; ; jne. Olgu antud funktsioon f mille argumendiks on x ja s~oltuvaks muutujaks y. Muutuja y väärtust milleks funktsioon f kujutab argumendi x nimetatakse funktsiooni f väärtuseks kohal x ja tähistatakse sümboliga f(x). Seega, me võime kirjutada seose y = f(x) ; (1.1) mis väljendab muutuja y "seotust" argumendiga x funktsiooni f kaudu. Mõnikord kasutatakse funktsiooni ja sõltuva muutuja tähistamiseks ühte ja sama sümbolit. Sellisel juhul seos (1.1) omab kuju y = y(x). Argumendi x muutumispiir
üks külg ja kaks nurka või kaks külge ja ühe antud külje sin sin sin vastasnurk. Koosinusteoreem Teoreemi saab kasutada siis, kui on teada kolmnurga kolm külge või kaks külge ja nende- a2 b2 c 2 2bc cos vaheline nurk. b2 a2 c 2 2ac cos Kui külgede vaheline nurk on täisnurk, siis saame koosinusteoreemi erijuhuna Pythagorase c 2 a2 b2 2ab cos teoreemi. Märkus: kui kolmnurga lahendamisel tuleb leida kaks nurka, siis tuleb esmalt leida väiksem nurk (see asub lühema külje vastas) ja seejärel 180°-st lahutamise teel suurem nurk. © Allar Veelmaa 2014 20 10
Jõu moment telje suhtes on skalaarne suurus, mis on võrdne selle teljega ristuval tasapinnal võetud jõu projektsiooni momendi mooduliga tasapinna ja telje lõikepunkti suhtes võetava vastava märgiga. Jõu moment telje suhtes on võrdne nulliga, kui jõu mõjusirge on teljega paralleelne. 8. Varignoni teoreem resultandi momendi kohta telje suhtes Kui jõusüsteem taandub resultandiks, siis selle resultantne moment mingi telje suhtes on võrdne süsteemi kõikide jõudude momentide algebralise summaga sama telje suhtes. Mx(F)=sigma i=1...n Mxi jne 9. Veerehõõrdejõud ja veerehõõrdemoment Horisontaalsele pinnale asetatud silindri veeretamiseks peame rakendama rõhtsuunalist jõudu. Silindri poolt temale veeretamiseks avaldatud takistust nim veerehõõrdeks. Veerehõõrde põhjuseks on asjaolu, et aluspind veereva keha all mõnevõrra deformeerub. Eha alla tekib väike lohk, millest on vaja keha välja tõmmata. Selleks on vaja rakendada jõudu. Moment:
2 ruutvõrrandi x +px+q=0 lahendid. x1=3 x2=10 NB pöördteoreem võimaldab lihtsamaid x1 x2=30 seega vabaliige on 30 ruutvõrrandeid ka peast lahendada x1+x2=13 seega lineaarliikme kordaja on 2 -13 võrrand x -13x+30=0 5.ptk Ringjoon ja korrapärane kolmnurk TAGASI Õpitulemused Näited 1.Ringjoone kaar ja kõõl - kaar: ringjoone osa, Ül.1060 saadakse vähemalt kahe punkti märkimisel Ringjoone punktist on joonestatud kaks ringjoonele; tähistamine: kirjuatatakse raadiusega võrdset kõõlu. Leida kõõlude otspunktide tähised (vajadusel lisatakse veel vaheline nurk.
1 3 1 MÕNINGAID ANALÜÜTILISE GEOMEETRIA ÜLESANDEID Kahe punkti vaheline kaugus: A x1 , y1 , z1 B x 2 , y 2 , z 2 AB x 2 x1 , y 2 y1 , z 2 z1 AB x2 x1 2 y 2 y1 2 z 2 z1 2 Kolmnurga ABC pindala: A x1 , y1 , z1 B x 2 , y 2 , z 2 Vektorkorrutise pikkus annab rööpküliku pindala. Kolmnurk on pool rööpkülikust. C x3 , y 3 , z 3 1 D S ABC AB AC 2 C 6A B Tetraeedri ruumala: A x1 , y1 , z1 B x 2 , y 2 , z 2 C x3 , y 3 , z 3 D x 4 , y 4 , z 4
B-7 Leia võrrandi tan x -3 lahendite summa. ( ) B-8 Leia parameetri a väärtus mille korral funktsiooni y = cos 2 (a 2 + 2a - 28) x periood on . 20 B-9 Leia kahekohaline arv ( või nende arvude summa), mille korral numbrite vahetamisel väheneb arv 28,125 % võrra. B-10 Püramiidi ABCS põhitahuka on täisnurkne kolmnurk , kaatetitega AB = 3 ja BC = 4. Külgserva CS pikkus on 5 ja see külgserv on risti põhitahuga ABC. Servadel AC ja BC 2 Tiia Toobal 2008 II osa Pärnu Koidula Gümnaasium on valitud vastavalt punktid M ja N nii, et AM = NB = 3. Lõiketasand läheb läbi punktide M, N ja S. Leia põhitahu ja lõiketasndi vahelise nurga tangens.
NB kasutatakse teoreemi sõnastamisel ja Teoreem. Rööpküliku diagonaalid tõestamisel poolitavad teineteist. Väide: diagonaalid poolitavad teineteist 12.Teoreemi tõestamine - loogiline arutelu; Ül.616 teoreemi tõesuse põhjendamine; Antud AM=AN. Tõesta, et kasutatakse aksioome; lähtutakse TÕESTUS. teoreemi eeldusest ning varem teada 1.Joonisel on võrdhaarne kolmnurk, olevatest tõdedest; jõutakse otsusele, et haarad võrdsed. teoreemi väide on tõene 2.Võrdhaarse kolmnurga alusnurgad on võrdsed. 3.Nurgad 1 ja 2 on alusnurkade kõrvunurgad. 4.Kui nurgad on omavahel võrdsed, siis on
Riigieksami küsimused navigatsioonis 2005 1. Põhilised punktid ja jooned Maa pinnal. Maakera kujutab endast pooluste suunas veidi lapikut kera või pöördellipsoidi. Tegelikult on maakera korrapäratu geomeetriline keha, mida nimetatakse ka gedoid´iks. Suur pooltelg = 6 378,24 km Väike pooltelg = 6 356,86 km Maakera keskmine raadius on 6 371,1 km Maakera telg Maa keset läbiv mõtteline telg, mille ümber ta pöörleb. Maa geograafilised poolused punktid, kus Maakera telg lõikab Maa pinda. Meridiaanid pooluseid läbivad suurringi kaared. Ekvaator Maakera teljega ristuv ja maakera keskpunkti läbiva tasandi ning Maa pinna lõikejoon. Paralleel ekvaatori rööptasandi ja Maa pinna lõikejoon. Tõelise meridiaani tasand püsttasand, mis läbib vaatleja silma ja maakera telge. Vaatleja meridiaan tõelise meridiaani tasandi ja Maa pinna lõike jälg. Tõelise horisondi tasand Vaatleja silma läbiv rõhttas
Matemaatiline anal¨ uu¨s I Jaan Janno ii Sisukord 1 Funktsioonid ja nendega seotud m~ oisted 1 1.1 Reaalarvud ja Arvtelg. Absoluutv¨a¨artuse m~oiste. Reaalarvudest koosnevad hulgad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 J¨a¨avad ja muutuvad suurused. Funktsiooni m~oiste ja esitusviisid. 3 1.3 Funktsioonide liigid. Konstantne funktsioon. Astme-, eksponent- ja trigonomeetrilised funktsioonid. . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4 P¨o¨ordfunktsiooni m~oiste. Logaritmfunktsioon. Arkusfunktsioonid. 8 1.5 Tehted funktsioonidega. Elementaarfunktsioon. Pol¨ unoom ja ratsionaalfunktsioon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.6 Ilmutatud ja ilmutamata funktsioonid. Parameetrilisel kujul an- tud jooned ja funktsioonid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.7 H¨uperboolsed trigonomeetrilised funktsioonid. . . . . . . . .
Matemaatiline anal¨ uu¨s I Jaan Janno ii Sisukord 1 Funktsioonid ja nendega seotud m~ oisted 1 1.1 Reaalarvud ja Arvtelg. Absoluutv¨a¨artuse m~oiste. Reaalarvudest koosnevad hulgad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 J¨a¨ avad ja muutuvad suurused. Funktsiooni m~oiste ja esitusviisid. 3 1.3 Funktsioonide liigid. Konstantne funktsioon. Astme-, eksponent- ja trigonomeetrilised funktsioonid. . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4 P¨o¨ ordfunktsiooni m~oiste. Logaritmfunktsioon. Arkusfunktsioonid. 8 1.5 Tehted funktsioonidega. Elementaarfunktsioon. Pol¨ unoom ja ratsionaalfunktsioon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.6 Ilmutatud ja ilmutamata funktsioonid. Parameetrilisel kujul an- tud jooned ja funktsioonid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.7 H¨uperboolsed trigonomeetrilised funktsio
Arvu a nimetatakse kompleksarvu a + ib reaalosaks ja arvu bi selle imaginaarosaks. KOMPLEKSARVUD Kui a = 0, siis on tegemist imaginaararvuga bi, kui b = 0, siis saame arvu a + 0·i, mis on reaalarv a. Kui a = b = 0, siis siis saame tulemuseks arvu 0. KOMPLEKSARVU MÕISTE. TEHTED KOMPLEKSARVUDEGA Kaks kompleksarvu on omavahel võrdsed parajasti siis, kui nende reaalosad ja 1. Kompleksarvu mõiste imaginaarosad on vastavalt võrdsed: a + ib = c + id
YMM3731 Matemaatiline analu¨u¨s I 2007/08 ~o.-a. su¨gissemestril 3,5 AP 4 2-0-2 E S Dots. Lembit Pallas TTU¨ Matemaatikainstituut V-404, tel. 6203056 e-post: [email protected] K¨asitletavad teemad on toodud punktide kaupa. Neid punkte tuleb vaadelda ka kui kollokviumide ja eksami teooriak¨ usimusi. 1. Funktsiooni m~oiste ja esitusviisid 2. Funktsioonide liigitamine (paaris- ja paaritud funktsioonid, perioodilised funktsioo- nid, kasvavad ja kahanevad funktsioonid) 3. P¨o¨ordfunktsioon 4. Liitfunktsioon 5. Jada piirv¨aa¨rtus 6. Funktsiooni piirv¨aa¨rtus ¨ 7. Uhepoolsed piirv¨aa¨rtused 8. L~opmatult kasvavad ja l~opmatult kahanevad suurused 9. Piirv¨a¨artusteoreemid 10. L~opmatult kahanevate suuruste v~ordlemine 11. Funktsiooni pidevuse m~oiste. Tarvilik ja piisav tingimus funktsiooni pidevuseks 12. Elementaarfunktsioonide pidevus 13. L~oigul
Sisujuht 16. Esimest liiki katkevuspunkt - niisugust katkevuspunkti, kus funktsioonil f on olemas ühepoolsed piirväärtused f ( a+) = lim f(x); x a+ ja f( a- ) = lim f(x); x a - nimetatakse 1. liiki katkevuspunktiks. ( hüppekoht, kõrvaldatav katkevuskoht, ................................................... 3 17. Teist liiki katkevuspunkt - arvu a nimetatakse funktsiooni y = f(x) teist liiki katkevuspunktiks, kui lim f(x); x a - on lõpmatu või ei eksisteeri ............................................ 4 20. Diferentseeruv funktsioon - kui funktsioonil y = f(x) on tuletis punktis x = x0, siis ütleme, et funktsioon on diferentseeruv punktis x0. Kui funktsioon on aga diferentseeruv mingi piirkonna igas punktis, öeldakse, et funktsioon on diferentseeruv selles piirkonnas. ..................................... 4 1. Arvuhulgad: naturaal-, täis-, ratsionaal-, reaal- ja kompleksarvud. Nende omadused. ...............6 2. Reaalarvu absoluutväärtus, absoluutväärtuse omadused. .....
Nt S t =¿ S t =20 [ S ] =6 Tingimus kehtib, seega on terastrossi tugevus tagatud. Tarindi tugevus on tagatud. 6. Trossi ristlõike nimipindala ja trossi pikkuse muutus 6.1 Trossi pikkus Teen abijoonise trossi pikkuse leidmiseks. 9 Joonis 4. Abijoonis trossi pikkuse leidmiseks. a ja b joonisel tekkinud täisnurkse kolmnurga kaatetid, mm T trossi pikkus, mm Kuna tekib täisnurkne kolmnurk, mille 2 nurka on võrdsed (45 ), siis on tegemist võrdhaarse kolmnurgaga ning kolmnurga kaatetid a ja b on võrdsed. Kolmnurga hüpotenuusiks on puitvarda pikkus 1000 mm. Leian lõiude a ja b väärtused: a=b= 1000sin 45 °=707,106 mm 707 mm 10 Leian trossi pikkuse, kasutades Pythagorase teoreemi: T= (4800+ 707)2+(1800+707)2 = 6050,79 mm 6m 6.2 Trossi nimipindala d t2
Vektorvõrrandit 2.9 rahuldab suhteliste kiiruste v ja v KN sihtide lõikepunkt k. Lüli punkti K absoluutse kiiruse v K suuna ja KM suuruse saamiseks ühendame kiirusplaani punkti k poolusega. Varustame kiirusplaanil olevad vektorid nooltega vastavalt võrrandile 2.9. Punkti K kiiruse suurus (moodul) v K = pk µ v . Lüli kolmnurk MNK ja kiirusplaani kolmnurk mnk on geomeetriliselt sarnased ja tipud sama järjestusega - järelikult homoteetsed. Siit tuleneb homoteetse kolmnurga reegel, mis kehtib nii kiirus- kui kiirendusplaanide korral: kui on teada ühe lüli kahe punkti M ja N kiirused või kiirendused, siis selle lüli kolmanda punkti K kiiruse või kiirenduse leidmiseks joonestatakse kiirus- või kiirendusplaani küljele mn kolmnurk mnk, mis on homoteetne kinemaatilisel skeemil esineva kolmnurgaga MNK
ehk teisiti kirjutatult S . 2 x2 y2 Kolmandas näites leitud võrrandisüsteemide lahendid esituvad determinantide abil järgmiselt: Märkus: Saadud valem kolmnurga pindala arvutamiseks kehtib ka siis, kui kolmnurga tipu A juures oleks nürinurk või täisnurk. Sel juhul valemi tuletus- c1 b1 a1 c1 käik erineks mõnevõrra eelnevast, kuid lõpptulemus on sama. c2 b2 a2 c2 x ja y .
antud jõusüsteemi resultandiks. Nt. ( F 1, F 2, ... , F n) F* 7. Mis vahe on üksikjõul ja jaotatud jõul? Mida tuleb teha jaotatud jõuga jäiga keha tasakaaluvõrrandite koostamisel? üksikjõud - rakendatud kindlasse punkti jaotatud jõud - mõjub mingi piirkonna igale punktile 8. Mis on süsteemi sisejõud ja välisjõud? Miks pole vaja arvestada sisejõudusid jäiga keha toereaktsioonide leidmisel? sisejõud on jõud , millega antud keha osad mõjuvad üksteisele välisjõud on jõud , millega antud keha osadele mõjuvad teised jõud * sisejõud on siis võrdsed nulliga ehk puuduvad 9. Kirjutada jäiga keha sisejõudude omadused. 10.Mida tuleb teha jaotatud jõuga kui koostatakse tasakaaluvõrrandeid absoluutselt jäiga keha korral? 11.Mida nimetatakse sidemeks? sidemeks nim. tingimusi, mis kitsendavad keha liikumist 12.Mis on sideme reaktsioon?
saadud ühe tundmatuga võrrand ühe teisendan II võrrandi normaalkujule tundmatu väärtuse leidmiseks; nn. 2y-2x=132-4x+4y avaldamise reast arvutada teise tundmatu 2x-2y=132 |:2 väärtus x-y=66 võrrandisüsteem normaalkujul x+5y=48 x-y=66 avaldan II võrrandist tundmatu x NB kasutada juhul, kui süsteemi pole x=y+66 võimalik lahendada liitmisvõttega asendan selle I võrrandisse, nii saan y (võrrandites esinevad tundmatute ruudud väärtuse või korrutised) y+66+5y=48 6y=-18 |:6 y=-3 x=-3+66 x=63
Tõusu tähistatakse tavaliselt tähega k (k=tan a). Kolmnurga lahendamine tähendab kolmnurga puuduvate nurkade ja külgede leidmist. 4.14 Teravnurga siinuse, koosinuse ja tangensi vahelised seosed Trigonomeetria põhivalemid on: Trigonomeetria II 5.1 Positiivsed ja negatiivsed nurgad Vastupäeva pöörlemine on positiivne, päripäeva negatiine. Kiire asend, millest pöörlemine algab, on alghaar e liikumatu haar, kiire lõppasend on lõpphaar e liikuv haar. Iga nurk on esitatav kujul 5.2 Nurkade liigitamine · Võtteks aluseks pöörlemise suuna positiivsed (a>0), negatiivsed (a<0) ja nullkraadised (a=0) · Nurga suurus 360-st väiksemad nurgad, ülinürinurgad, nürinurgad, teravnurgad, 360-st suuremad nurgad · I veerandi nurgad, II veer, III veer, IV veer 5.3 Mis tahes nurga sin, cos, tan Nurga a sin nimetatakse nurga lõpphaara mis tahes punkti ordinaadi suhet selle punkti kaugusesse koordinaatide alguspunktis
Kõrgem matemaatika 1. Maatriksi mõiste, järk, tähistused, liigid. Maatriks ristkülikukujuline arvudega tabel, milles on m-rida ja n-veergu. Tähistused: (maatriksit tähistatakse suure tähega) a11 a12 ... a1n a 21 a 22 ... a2n i =1,2,..., m = A( aij ), ... ... ... ... j =1,2,..., n a m1 am2 ... a mn Maatriksi järk tähistab maatriksi môôtmeid; A on m*n järku maatriks. Maatriksi liigid: 1) Ruutmaatriks: m=n; 2) Diagonaalmaatriks: a11, a22, amm - peadiagonaal (diagonaalil ei ole 0; muud elemendid 0-d); 3) Ühikmaatriks (diagonaalmaatriksi erijuht): a11 = a22 ... = amm = 1; (Täh. E); 4) Nullmaatriks: aij = 0, iga i ja j korral; (Täh ). 2. Tehted maatriksitega (korrutamine arvuga, liitmine, lahutamine, korrutamine). 1) Korrutamine arvuga: A=(aij), kR; kA=C; C=(cij), kus cij = kaij. 2) Maatriksite liitmine: (m*n) ma. A, (p*q) m
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
