Täisarvude hulga omadused 1. Täisarvude hulk on järjestatud. 2. Täisarvude hulgas ei ole suurimat (arvu) ega vähimat elementi (arvu). 3. Täisarvude hulk on liitmise, lahutamise ja korrutamise suhtes kinnine arvuhulk (täisarvude summa, vahe ja korrutis on täisarv. 4. Kehtivad samasused: · (a) = a · (+a) = a · a+(a) = 0. Irratsionaalarvud Irratsionaalarvudeks nimetatakse mitteperioodilisi lõpmatuid kümnendmurde. Irratsionaalarvude hulk koos ratsionaalarvude hulgaga moodustavad reaalarvude hulga. Igal irratsionaalarvul on vastandarv. Teineteise vastandarvud paiknevad arvteljel nullpunkti suhtes sümmeetriliselt. Irratsionaalarvude hulka tähistatakse tähega I. Sinna kuuluvad näiteks arvud: ;; -; jt. Laiendades ratsionaalarvude hulka irratsionaalarvudega, saame reaalarvude hulga R. Reaalarvud Laiendades ratsionaalarvude hulka irratsionaalarvudega, saame reaalarvude hulga R. R= I Q ja Q R.
MÕISTED: Naturaalarv arve 0,1,2,.... nimetatakse naturaalarvudeks. Naturaalarvude hulga tähis on . Täisarv - arve ... -2; -1; 0; 1; 2... nimetatakse täisarvudeks. Täisarvude hulga tähis on Ratsionaalarv- on murdavaldis, mille lugeja ja nimetaja on täisarvud, kusjuures nimetaja ei ole 0. Ratsionaalarvude hulga tähis on . Irratsionaalarv on mitteperioodilised lõpmatud kümnendumurrud. Irratsionaalarvude hulga tähis on . Reaalarv lõpmatu kümnendmurd, mis ei lõpe 9-ga perioodis. Ratsionaalarvude hulga tähis on Ratsionaalarvude hulgas kehtivad järgmised tehete põhiomadused: Kommutatiivsus: a + b = b + a ab=ba Assotsiatiivsus: (a + b) + c = a + (b + c) a(bc)=(ab)c Korrutamise distributiivsus: a(b + c)= ab + ac Arvuhulka nimetatakse kinniseks mingi tehte suhtes, kui selle hulga iga kahe arvu korral kuulub samasse hulka ka vaadeldava tehte tulemus.
Iga ratsionaalarvu saab esitada kümnendmurruna, kui jagada lugeja nimetajaga. Siin esineb kaks erinevat olukorda. Ühel juhul tekib lõplik kümnendmurd, teisel juhul hakkab jagamisel mingi jääk korduma ja tekib lõpmatu perioodiline kümnendmurd. 2. Irratsionaal- ja reaalarvud Irratsionaalarv on arv, mis avaldub lõpmatu mitteperioodilise kümnendmurruna. Igal irratsionaalarvul on vastandarv. Teineteise vastandarvud paiknevad arvteljel nullpunkti suhtes sümmeetriliselt. Irratsionaalarvude hulka tähistatakse tähega I. Reaalarvude hulk R koosneb kõikidest irratsionaal- ja ratsionaalarvudest. Iga reaalarv avaldub lõpmatu kümnendmurruna. 3. Põhitehted reaalarvudega ja nende omadused Põhiteheteks naturaalarvude hulgas on liitmine, lahutaminr, korrutamine ja jagamine. Iga uus arvuhulga laiendamine eeldab laiendatavas hulgas kasutusel olnud tehete defineerimist uute lisatavate arvude puhul. Irratsionaalarvudega ja lõpmatute perioodiliste arvudega arvutamisel
tulemuseks positiivne täisarv, negatiivne täisarv, positiivne kümnendmurd või negatiivne kümnendmurd. 3. Ratsionaalarvudeks nimetatakse murde a/b kus a ja b on täisarvud ning b¹0. Ratsionaalarvude hulga tähiseks on Q. Ratsionaalarvud on näiteks (1/4=0,25 ehk lõplik kümnendmurd; 1/3=0,333... ehk lõpmatu perioodiline kümnendmurd). 4. Irratsionaalarvudeks nimetatakse arve, mis avalduvad lõpmatute mitteperiooodiliste kümnendmurdudena. Irratsionaalarvude hulga tähiseks on I. Irratsionaalarvudeks on näiteks (=3,14159265...; ; ). Arvuhulkade seotus: Kasutatud materjalid: 1.http://enos.itcollege.ee/~areinas/Matemaatiline%20anal%FC%FCs/Arvuhulgad %5B1%5D.ppt 2. http://et.wikipedia.org/wiki/Naturaalarv 3. http://www.kke.ee/index_bin.php?action=REF&fname=517_M_7_1-7.pdf 4. http://10klass.weebly.com/uploads/1/4/6/0/1460270/ratsionaalarvud.pdf 5. http://wapedia.mobi/et/Ratsionaalarvud 6. http://wapedia.mobi/et/Irratsionaalarvud 7
Lõpmatu poollõik xb x[b;[ või x [b;) Lõpmatu poollõik xa x ]-;a] või x(-;a ] Lõpmatu vahemik x>b x]b;[ või x(b;) Lõpmatu vahemik xirratsionaalarvude hulk (mitteperioodilised kümnendmurrud nt. 2; 3; ; e ) reaalarvude hulk = U Märgid "sisaldub" üks hulk sisaldub teises "kuulub" element kuulub hulka "või" "ja" "nii, et" nt. ={m/n m n } "ühisosa" ehk "ja" "ühend" ehk "või" "välja arvatud" Võrratuste lahendamine Lineaarvõrratus Näiteks: Graafiliselt: x+9>4x x+9-4x>0 x-4x>-9 -3x+9>0 -3x>-9 |:(-3) y= -3x+9 x<3 y>0 Vastus: x]-;3[
Näiteks ka noorte arvutajate ettevalmistusel on arvu leidmiseks koostatud programmid kasulikeks õppevahenditeks jne. Teatavasti tõestas saksa matemaatik J. H. Lambert 1767. aastal, et on irratsionaalarv, kuid tema tõestus ei olnud päris korrektne. Prantsuse matemaatik A. M. Legendre tõestas 1794. aastal lõplikult arvu irratsionaalsuse ja ühtlasi ka arvu ruudus irratsionaalsuse. Ent ikkagi jätkusid otsingud ringjoone sirgestumise probleemi lahendamiseks. Nimelt polnud teada, kas irratsionaalarvude hulk piirdub algebraliste arvudega, s.t. arvudega, mis on ratsionaalarvuliste kordajatega algebraliste võrrandite lahenditeks, või on olemas veel teisi, mittealgebralisi irratsionaalarve. Viimase puhul võiks oletada, et kui on irratsionaalne algebraline arv, siis võiksid esined algebralised võrrandid irratsionaalarvuliste kordajatega. See omakorda tähendaks, et sirkli ja joonlaua abil saab ringjoont sirgestada. Alles 1844. aastal näitas prantsuse matemaatik J
ARVUTAMINE JA ALGRBRALINE TEISENDAMINE Esmalt oleks vaja tuletada meelde järgmised valemid ja reeglid: Tähega N tähistatakse naturaalarvude hulka, st. arvud, mida saame loendamise teel (1, 2, 3, …..). Vahel arvatakse ka arv 0 naturaalarvude hulka. Tähega Z tähistatakse kõikide täisarvude hulka (… -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, …) Tähega Q tähistatakse kõikide ratsionaalarvude hulka. Tähega I tähistatakse kõikide irratsionaalarvude hulka (mitteperioodilised lõpmatud kümnendmurrud). Tähega R tähistatakse kõikide reaalarvude hulka. R Q I 1) Arvu aste. a) a n a a ......... a a, kui n N n tegurit b) a a a m n m n Näide: x 8 x 5 x13 c) a m : a n a m n Näide: y 9 : y 3 y 6 d) a n b n a b
Õpilane Arvu kümme Avaldised ja Naturaalarvude 1) selgitab naturaalarvude hulga astmed ja arvu arvuhulgad hulk N, täisarvude N, täisarvude hulga Z, standardkuju hulk Z, ratsionaalarvude hulga Q, kasutatakse ratsionaalarvude irratsionaalarvude hulga I ja keemia ja hulk Q, reaalarvude hulga R omadusi; füüsikas irratsionaalarvude 2) defineerib arvu hulk I ja absoluutväärtuse; reaalarvude hulk 3) märgib arvteljel reaalarvude R, nende piirkondi; omadused. 4) teisendab naturaalarve
Samas kehtib ka vastupidine : iga lõpmatu perioodiline kümnendmurd esitab ratsionaalarvu. Irratsionaalarvud Irratsionaalarv on arv, mis avaldub lõpmatu mitteperioodilise kümnendmurruna. 2 = 1,414213562... ; = 3,141592654... Teoreem. Ei leidu ratsionaalarvu, mille ruut on 2. Arvu, mis avaldub lõpmatu mitteperioodilise kümnendmurruna, nimetatakse irratsioonaalarvuks. Reaalarvud R Reaalarvude hulk on ratsionaalarvude hulga ja irratsionaalarvude hulga ühend. Reaalarvude hulk on lõpmatu hulk, milles pole vähimat ega suurimat arvu. Reaalarvude hulk on kinnine liitmise, lahutamise, korrutamise ja jagamise (v.a. 0) suhtes. Reaalarvude hulk on pidev (arvud katavad kogu arvtelje). Reaalarvude hulk ja arvtelje punktide hulk on üks-ühes vastavuses (igale arvule vastab üks punkt arvteljel ja igale punktile vastab üks arv). -9 ei lahendu reaalarvude hulgas (vastus on ,,-3i"). Tehetes reaalarvudega kehtivad omadused:
vahel. Seega loenduvad on parajasti need hulgad , mida saab esitada kujul ={1,2,3,...}. Näiteid 1. Täisarvude hulk ja paaris-naturaalarvude hulk on loenduvad hulgad. 2. Igasugune hulga lõpmatu osahulk on ise loenduv ning sama võimsusega kui naturaalarvude hulk . 3. Ratsionaalarvude hulk on loenduv ning sama võimsusega kui naturaalarvude hulk või täisarvude hulk . 4. Hulga kõikide osahulkade hulk () ei ole loenduv, täpselt samuti nagu ei ole loenduvad irratsionaalarvude hulk või reaalarvude hulk. Veelgi põnevam, ka vahemik (0,1) ei ole loenduv. Teoreem 2. Hulk on loenduv parajasti siis, kui hulga elemendid saab esitada paarikaupa erinevate elementidega lõpmatu jadana: ={1,2,3,...}. Tõestus. Kui hulk on loenduv, siis leidub paaride hulk {(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),... }, mis seab hulgad ja üksühesesse vastavusse. Selles paaride hulgas esineb iga naturaalarv täpselt
ARVUHULGAD 1. Naturaalarvude hulk N = {1;2;3; ...}. 2. Positiivsete täisarvude hulk Z + = N. 3. Negatiivsete täisarvude hulk Z - = { -1; -2; -3; . . . }. 4. Täisarvude hulk Z = Z Z { 0}. + - a 5. Ratsionaalarvude hulk Q = aZ bZ b 0 b 6. Irratsionaalarvude hulga I moodustavad lõpmatud mitteperioodilised kümnendmurrud. 7. Reaalarvude hulk R = Q I. KORRUTAMISE ABIVALEMID 8. (a + b)(a + b) = a 2 - b 2 . 9. ( a ± b) 2 = a 2 ± 2ab + b 2 . 10. ( a ± b) 3 = a 3 ± 3a 2 b + 3ab 2 ± b 3 . 11. a 3 ± b 3 = ( a ± b)(a 2 ab + b 2 ) . ASTMED JA JUURED 12. Korrutise aste ( a b) = a b . n n n n a an 13. Jagatise aste =
ARVUHULGAD 1. Naturaalarvude hulk N = {1;2;3; ...}. 2. Positiivsete täisarvude hulk Z + = N. 3. Negatiivsete täisarvude hulk Z - = { -1; -2; -3; . . . }. 4. Täisarvude hulk Z = Z Z { 0}. + - a 5. Ratsionaalarvude hulk Q = aZ bZ b 0 b 6. Irratsionaalarvude hulga I moodustavad lõpmatud mitteperioodilised kümnendmurrud. 7. Reaalarvude hulk R = Q I. KORRUTAMISE ABIVALEMID 8. (a + b)(a + b) = a 2 - b 2 . 9. ( a ± b) 2 = a 2 ± 2ab + b 2 . 10. ( a ± b) 3 = a 3 ± 3a 2 b + 3ab 2 ± b 3 . 11. a 3 ± b 3 = ( a ± b)(a 2 ab + b 2 ) . ASTMED JA JUURED 12. Korrutise aste ( a b) = a b . n n n n a an 13. Jagatise aste =
Väide : leidub ratsionaalarv b, a < b < c. Tõestus : Et a < c , siis ilmselt kehtib seos Valides , saame, et a < b < c. Kuna a ja c on suvaliselt valitud, siis tõesti iga kahe ratsionaalarvu vahel leidub ratsionaalarv. 13. Irratsionaalarvud. 1) Arvu, mis avaldub lõpmatu, mitteperioodilise kümnendmurruna, nimetatakse irratsionaalarvuks. 2) Irratsionaalarvude hulk on lõpmatu. 14. Irratsionaalarvud. 1) Teoreem : ühikruudu diagonaali pikkus ei esitu ratsionaalarvuna. Eeldus : olgu antud ruut küljepikkusega 1. Väide : ruudu diagonaali pikkus pole ratsionaalarv. Tõestus : d = 2 1 1 Oletame vastuväiteliselt, et 2 on ratsionaalarv
Reaalarvud Positiivsed ja negatiivsed täisarvud ning murdarvud koos arvuga 0 moodustavad ratsionaalarvude hulga. Ratsionaalarve saab väljendada kahe täisarvu suhtena ja lõpmatu perioodilise kümnendmurruna. 1 −5 1 1 Nt 4 ; 1 ; 3 =0,(3); 7 . Lõpmatud mitteperioodilised kümnendmurrud moodustavad irratsionaalarvude hulga. Nt. π; e; √2 ; √3 . Ratsionaalarvude ja irratsionaal arvude hulgad moodustavad kokku reaalarvude hulga. Arvtelg ___ lõpmatu sirge, millel on määratud suund, 0-punkt ja pikkusühik. Igale reaalarvule vastab arvteljel üks punkt ja vastupidi. Reaalarvude hulgal on selline omadus, et iga kahe reaalarvu vahel on veel ratsionaalarve ja irratsionaalarve. Reaalarvu absoluutväärtus. Olgu arv x. Selle arvu absoluutväärtus moodul I x I on defineeritud järgmiselt:
kinnine kõigi aritmeetiliste tehete suhtes (välja arvatud jagamine nulliga). Saab tõestada, et iga kahe erineva ratsionaalarvu vahel leidub ratsionaalarve. Kümnendmurde saame jagada lõplikeks ja lõpmatuteks. Viimaseid saab omakorda jagada mitteperioodilisteks (irratsionaalarvud) ja perioodilisteks (ratsionaalarvud). Perioodilised kümnendmurrud võivad olla puht- või segaperioodilised. Irratsionaalarvude hulks tähistatakse tähega I . Iga lõpmatut kümnendmurdu, mis ei lõpe numbriga 9 perioodis, nimetatakse reaalarvuks. R Q I . Reaalarvude hulk on järjestatud ja pidev. Lisaks eespool loetletud naturaalarvude omadustele (Iga a, b R korral…), mis kehtivad ka kõigile teistele, võime lisada: 6. Lahutamise seadus. Iga a, b R korral on võrrandil b x a olemas lahend x a b .
kinnine kõigi aritmeetiliste tehete suhtes (välja arvatud jagamine nulliga). Saab tõestada, et iga kahe erineva ratsionaalarvu vahel leidub ratsionaalarve. Kümnendmurde saame jagada lõplikeks ja lõpmatuteks. Viimaseid saab omakorda jagada mitteperioodilisteks (irratsionaalarvud) ja perioodilisteks (ratsionaalarvud). Perioodilised kümnendmurrud võivad olla puht- või segaperioodilised. Irratsionaalarvude hulks tähistatakse tähega I . Iga lõpmatut kümnendmurdu, mis ei lõpe numbriga 9 perioodis, nimetatakse reaalarvuks. R Q I . Reaalarvude hulk on järjestatud ja pidev. Lisaks eespool loetletud naturaalarvude omadustele (Iga a, b R korral…), mis kehtivad ka kõigile teistele, võime lisada: 6. Lahutamise seadus. Iga a, b R korral on võrrandil b x a olemas lahend x a b .
IRRATSIONAAL- JA REAALARVUD Arvu, mis avaldub lõpmatu mitteperioodilise kümnendmurruna, nimetatakse irratsionaalarvuks. näiteks 2=1,4142135623373... ei ole ratsionaalarv, sest ta pole lõpmatu perioodiline kümnendmurd. See arv on lõpmatu mitteperioodiline kümnendmurd. Järelikult on irratsionaalarv. Irratsionaalarvud on veel 32; 53; -7; jt. Igal irratsionaalarvul on vastandarv. Teineteise vastandarvud paiknevad arvteljel nullpunkti suhtes sümmeetriliselt. Irratsionaalarvude hulka tähistatakse tähega I. Laiendades ratsionaalarvude hulka irratsionaalarvudega saame reaalarvude hulga R: R = I U Q ja Q R I R Q N Z Et iga ratsionaalarv avaldub lõpmatu perioodilise ja irratsionaalarv lõpmatu mitteperioodilise kümnendmurruna, siis võime öelda, et iga reaalarv avaldub lõpmatu kümnendmurruna.
perioodiline kümnendmurd. Perioodilised kümnendmurrud Puhtperioodilisteks kümnendmurdudeks, kui periood järgneb vahetult komale; Segaperioodilisteks kümnendmurdudeks, kui periood ei järgne vahetult komale. Reaalarvude hulk Arvu, mis avaldub lõpmatu mitteperioodilise kümnendmurruna, nimetatakse irratsionaalarvuks. Irratsionaalarvud ei ole avaldatavad lõpmatu perioodilise kümnendmurruna. Ratsionaalarvude hulk Q ja irratsionaalarvude hulk I moodustavad kokku reaalarvude hulga R. Reaalarvude hulga omadused Reaalarvude hulk on järjestatud lõpmatu hulk Reaalarvude hulk on pidev nendele arvudele vastavad punktid katavad kogu arvtelje Reaalarvude hulk on kinnine liitmise, lahutamise, korrutamise ja nullist erineva arvuga jagamise suhtes. Ruutjuur mittenegatiivsest reaalarvust on reaalarv. Ülesannete lahendamisel on vaja teada tehetes osalevate liikmete nimetusi liidetav +liidetav = summa;
loodusteaduste e. füüsika haru (Aristoteles). 4. Nimetage ja iseloomustage Antiik-Kreeka teadlasi Pythagoras nägi arvudes võtit universumi mõistmiseks. Tema matemaatikas oli ka palju müstilist. Pythagoras algatas matemaatikas mõistete täpse defineerimise. Usk sellesse, et kõike peab saama arvudes väljendada, viis teda teaduses küllaltki kaugele. Peamiseks väljundiks sai geomeetria viimane aitas mh ka sellise tähtsa asja nagu kosmos, seletamisel. Irratsionaalarvude avastamine. Pütaagorlased rajasid füüsika ja matemaatika alused. Tänu pütaagorlaste geomeetriale hakati kosmost ja taevakehasid, nende liikumist jms, kujutama ringikujulisena nii pandi alus heliotsentrilise maailmapildi kujunemisele. Demokritos (atomistlik teooria) leidis, et on olemas muutumatud osakesed aatomid. Need on väga väikesed ning nende ühinemisel ja liikumisel leiavad aset kõik protsessid. Hippokrates ,,elu lühike, kunst pikk"
ümbermõõt= külgede Pindala= ristküliku Ristkülik summa kahekordse külgede korrutisega korrutisega St = 2(ab + bc + ac) V=a·b·c Risttahukas täispindala = 2 · ruumala = pikkus · laius (pikkus · laius + laius · kõrgus · kõrgus + pikkus · kõrgus) Irratsionaalarvuks nimetatakse lõpmatut mitteperioodilist kümnendmurdu. Irratsionaalarvude hulka tähistatakse tähega I. Ringjoont, mis läbib kolmnurga tippe, nimetatakse kolmnurga ümberringjooneks. Ringjoont, mis asub kolmnurga sees ja mis puutub kolmnurga kõiki külgi, nimetatakse kolmnurga siseringjooneks. Mittetäielik ruutvõrrand nimetatakse ruutvõrrandit, milles kas lineaarliikme kordaja või vabaliige on null. Kui korrutis on null, siis on vähemalt üks teguritest null. Alati 2 lahendit. Lineaarfunktsioon- y = ax + b, mlles ax= lineaarliige ja b= vabaliige
Sama põhimõtet (arkustangenseid) kasutatakse ka tänapäeval elektronarvutite abil arvu arvutamiseks. 1767. aastal tõestas saksa matemaatik J. H. Lambert, et on irratsionaalarv, kuid tema tõestus ei olnud päris korrektne. Arvu irratsionaalsuse tõestas 1794. aastal lõplikult prantsuse matemaatik A. M. Legendre, ühtlasi tõestas ta ka arvu 2 irratsionaalsuse. See ei lõpetanud aga sugugi otsinguid ringjoone sirgestamise probleemi lahendamiseks. Nimelt ei olnud teada, kas irratsionaalarvude hulk piirdub algebraliste arvudega, s.t. arvudega, mis on ratsionaalarvuliste kordajatega algebraliste võrrandite lahenditeks, või on olemas veel teisi, mittealgebralisi irratsionaalarve. Kui oletada, et on irratsionaalne algebraline arv, siis võiksid esineda algebralised võrrandid irratsionaalarvuliste kordajatega, mis aga tähendaks, et sirkli ja joonlaua abil saaks ringjoont sirgestada. Alles 1844. aastal näitas prantsuse matemaatik J.
tähistatakse * Hulkade A ja B vaheks nimetatakse kõigi selliste elementide hulka, mis kuuluvad hulka A, kuid ei kuulu hulka B. Hulkade A ja B vahet tähistatakse AB, * Hulkade A ja B sümmeetriliseks vaheks nimetatakse kõigi selliste elementide hulka, mis kuuluvad hulka A, kuid mitte hulka B, või kuuluvad hulka B, kuid mitte hulka A. Hulkade A ja B sümmeetrilist vahet tähistatakse Arvuhulgad: N = - naturaalarvude hulk). Z = täisarvude hulk. Q = ratsionaalarvude hulk. I = irratsionaalarvude hulk. R = reaalarvude hulk. C = kompleksarvude hulk. Teoreem. Ei leidu ratsionaalarvu, mille ruut on 2 tõestada. Oletame vastupidiselt, et sellinne arv on olemas ja tähistame sümboliga . Järelikult võib ta olla mingi taandumatu murd kujul , kus a ja b on ühistegurita. = ehk 2 = = . Et arvud a ja b on ühistegurita arvud (neil puuduvad ühised algtegurid ) ja arvu ruututõstmine ei lisa uusi algtegureid, siis on ka murd taandumatu ega saa võrduda arvuga 2. Tõkestatud hulgad
Seega Võrrandil x2 = 2 ei ole lahendeid ratsionaalarvude hulgas. Viimasel võrrandil on aga need arvud on omavahel võrdsed. Kas leiad veel võrdsete kompleksarvude paare ? olemas lahendid reaalarvude hulgas Ã. Reaalarvude hulga saame lisades ratsionaalarvude hulgale  irratsionaalarvude hulga Å: à = ½Å. Kompleksarve a + bi ja a - bi nimetatakse kaaskompleksarvudeks. Võrrandil x2 + 1 = 0 reaalarvude hulgas lahendeid ei ole, sest ei leidu sellist reaalarvu, mille ruut on võrdne (-1)-ga (võrrandist x2 + 1 = 0 järeldub, et x2 = -1). Näide 2. Leiame kompleksarvudele 4 - 5i, 3i - 5 ja 9i kaaskompleksarvud.
mittenegatiivse reaalarvu b ja iga naturaalarvu n korral leidub üheselt määratud mittenegatiivne reaalarv x omadusega xn=b 6) Alamhulk N ei ole ülalt tõkestatud (Archimedese printsiip) – Alamhulk N ⊂ R ei ole ülalt tõkestatud, s. t. iga reaalarvu a korral leidub temast suurem naturaalarv n. Teisisõnu, Iga a € R leidub n € N : n > a 7) Iga kahe reaalarvu vahel leidub nii ratsionaal-kui ka irratsionaalarve (ratsionaal- ja irratsionaalarvude hulga tihedus) – Kõigi ratsionaalarvude hulk Q on tihe hulgas R järgmises mõttes: kui a, b € R ja a < b, siis leidub selline ratsionaalarv r, et a < r < b. Irratsionaalarvude hulk RQ on tihe hulgas R: kui a,b € R ja a < b, siis leidub selline irratsionaalarv p, et a < p < b 2. Tõkestatud alamhulgad. Hulga ülemine ja alumina raja (*) Tõkestatud alamhulgad hulgas R. Öeldakse, et alamhulk X ⊂ R on ülalt tõkestatud, kui leidub selline M ∈ R, et
2 2 6, sest 6 =36, 7 =49, 40 on lähemal NB moodustavad reaalarvude hulga arvule 36 osahulga 5.Reaalarvud - ratsionaalarvud ja loe reaalarvude kohta irratsionaalarvud kokku; tähis R; Ül.1285 osahulgad: naturaalarvude hulk N, N R; tõene täisarvude hulk Z, ratsionaalarvude hulk Q, R; väär, sest on irratsionaalarv irratsionaalarvude hulk I; Q I=R Q R; tõene, sest kõik ratsionaalarvud kuuluvad ka reaalarvude hulka NB iga reaalarvu saab esitada lõpmatu kümnendmurruna 6.Ruutjuure leidmine taskuarvutil - Ül.1290 sisestada ruutjuure alune arv arvutisse, Leida arvutil ruutjuur, ümardada vajutada klahvile "ruutjuur"; vajadusel sajandikeni. ümardada; arv on väiksem kui 1: ruutjuur =9.542012366 9,54
· A={x (x-1)( x+2)(x +3)=0 } on kõigi selliste reaalarvude x hulk, mis rahuldavad võrrandit ( x-1)(x+2)(x +3)=0 ehk A on selle võrrandi reaalarvuliste lahendite hulk. Me oleks võinud ka kirjutada, et A = {1, -2, -3} Tähtsamad arvuhulgad · Naturaalarvude hulk = {1, 2, 3, . . . }; · Täisarvude hulk = {. . . , -2, -1, 0, 1, 2, . . . }; · Ratsionaalarvude hulk = {qq=m n , m Z , n N } ; · Reaalarvude hulk ; · Irratsionaalarvude hulk ; · Kompleksarvude hulk = {zz=x +iy , x , y R , i2=-1 } . Olgu a ja b reaalarvud, kus a b. · Lõik [a ,b ]={ x Ra x b } ; · Vahemik (a , b)={ x Ra< x
9 perioodis. Reaalarvude võrdlemine Reaalarve a = , 12 ...n ... ja b = , 1 2 ...n ... nimetame võrdseteks, kui a = b, i = i , i = 1,2, .... Ütleme, et reaalarv a on suurem kui reaalarv b (ehk b on väiksem kui a), kui a > b või leidub k 1, nii et a = b, 1 = 1, ..., k -1 = k -1 , k > k. Reaalarv a on määratud, kui on teada eeskiri tema täiskoha ja iga kümnendkoha leidmiseks. Praktikas kasutatakse irratsionaalarvude asemel nende ratsionaalarvulisi lähendeid. 2. Reaalarvude hulga ülemine ja alumine raja. Pidevuse aksioom Olgu X mingi reaalarvude hulk (X R). Hulka X nimetatakse ülalt tõkestatud hulgaks, kui leidub selline arv M, nii et x M iga x X korral. Seejuures arvu M nimetatakse hulga X ülemiseks tõkkeks. Hulka X nimetatakse alt tõkestatud hulgaks, kui leidub selline arv m, nii et x m iga x X korral . Seejuures arvu m nimetatakse hulga X alumiseks tõkkeks.
ja ka on irratsionaalarvud. Irratsionaalarvudeks on aga veel näiteks ja . Nende faktide tõestamine on aga päris keeruline ja senini on näiteks tead- mata, kas on ratsionaalarv või irratsionaalarv. Ka irratsionaalarvudel leidub kümnendsüsteemis esitus. Ainus mure on, et neid ei saa selles kujus kunagi täpselt esitada – irratsionaalarvude kümnendesitus on lõp- matult pikk. Näiteks arvu esimesed 20 kohta on , aga edasi tulevad jälle täiesti ennustamatud numbrid ning veelgi hullem – neid tuleb lõpmatult palju. Pannes arvteljele kirja kõik ratsionaalarvud ja irratsionaalarvud, saame lõpuks kokku terve arvtelje – ükski punkt ei jää puudu ega vahele. Kõik arvtelje arvud
1 * Arvu a vastandarv on a ja pöördarv . Arvul 0 ei ole pöördarvu. a Iga ratsionaalarvu saab avaldada lõpmatu perioodilise kümnendmurruna. Irratsionaalarvud Irratsionaalarv on arv, mis avaldub lõpmatu mitteperioodilise kümnendmurruna. 2 = 1,414213562... ; = 3,141592654... Reaalarvud R Reaalarvude hulk on ratsionaalarvude hulga ja irratsionaalarvude hulga ühend. Reaalarvude hulk on lõpmatu hulk, milles pole vähimat ega suurimat arvu. Reaalarvude hulk on kinnine liitmise, lahutamise, korrutamise ja jagamise (v.a. 0) suhtes. Reaalarvude hulk on pidev (arvud katavad kogu arvtelje). Reaalarvude hulk ja arvtelje punktide hulk on üks-ühes vastavuses (igale arvule vastab üks punkt arvteljel ja igale punktile vastab üks arv). -9 ei lahendu reaalarvude hulgas (vastus on ,,-3i"). Tehetes reaalarvudega kehtivad omadused:
Ratsionaalarve saab b esitada nii kahe täisarvu suhtena kui ka lõplike või lõpmatute perioodiliste 3 5 1 kümnendmurdudena. Näiteks , , . 4 1 6 Kokkuvõttes ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ. Arvu, mis avaldub lõpmatu mitteperioodilise kümnendmurruna, nimetatakse irratsionaalarvuks. Näiteks 3 , 4 + 2 . Kõigi irratsionaalarvude hulga tähis on I. Kõik ratsionaal- ja irratsionaalarvud koos moodustavad reaalarvude hulga ℝ . Seega ℚ ∪ I. = ℝ . Reaalarvude hulk on kinnine liitmise, lahutamise, korrutamise ja jagamise (v.a. jagamine nulliga) suhtes. Reaalarve saab kujutada arvtelje punktidena. Arvtelg on lõpmatu sirge, millel on valitud nullpunkt, positiivne suund ja pikkusühik. Kõigi reaalarvude ja arvtelje kõigi punktide vahel on üksühene vastavus.
(3; 4.5) . K¨ umnendmurrus kasutatakse eraldajana punkti. Kasutusel on j¨ argnevad arvuhulga t¨ahistused: N = {1; 2; 3; . . .} naturaalarvude hulk; k N = {n | n N m N n = k · m} = {k; 2k; 3k; . . .} naturaalarvuga k jaguvate naturaalarvude hulk; Z = {. . . ; -2; -1; 0; 1; 2; . . .} t¨ aisarvude hulk; Q = {x| x = m/n m Z n N } ratsionaalarvude hulk; I irratsionaalarvude hulk, s.o l~ opmatute mitteperioodiliste k¨umnendmurdude hulk; R = Q I reaalarvude hulk; R + positiivsete reaalarvude hulk; R- negatiivsete reaalarvude hulk; C = z | z = x + iy x R y R i2 = -1 kompleksarvude hulk; [a, b] = {x | a x b} l~ oik; (a, b) = {x | a < x < b} vahemik; (a, b] = {x | a < x b} pooll~ oik; [a, b) = {x | a x < b} pooll~ oik. 7 ¨ 1
N = {1, 2, 3, . . . } ja sümboliga Z kõigi täisarvude hulka Z = {. . . , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, . . . }. Definitsioon 0.2 Ratsionaalarvudeks nimetatakse arve kujul pq , kus p ja q on täisarvud ja q = 0. Kõigi ratsionaalarvude hulga tähistame sümboliga Q. Definitsioon 0.3 Arve, mis on esitatavad lõpmatute mitteperioodiliste kümnend- murdudena, nimetatakse irratsionaalarvudeks. Irratsionaalarvude hulga tähistame sümboliga I. Definitsioon 0.4 Kõik ratsionaal- ja irratsionaalarvud moodustavad reaalarvude hulga. Kõigi reaalarvude hulga tähistame sümboliga R. Reaalarvude hulga kirjapanekuks kasutatakse kirjutusviisi R = { x : - < x < } või R = (-, ). Iga lõplikku kümnendmurdu a = , 1 2 . . . n (näiteks 8.765210448) saab esitada lõpmatu kümnendmurruna kahel erineval viisil: a = , 1 2 . . . n 00 . .
. .} ja t¨aisarvude hulk on Z = {. . . , -2, -1, 0, 1, 2, 3, . . .}. T¨aisarvude baasil defineerime ratsionaalarvud. Ratsionaalarvuks nimetatakse kahe t¨aisarvu p ja q jagatist p/q, kusjuures q = 0. Ratsionaalarvude hulga t¨ahis on Q. Seega, l¨ uhidalt kirjutades Q = { pq p, q Z, q = 0}. Iga ratsionaalarvu saab esitada kas l~opliku v~oi l~opmatu perioodilise k¨umnendmurruna. L~opmatuid mitteperioodilisi k¨ umnendmurde nimetatakse irratsionaalarvudeks. Irratsionaalarvude hulga t¨ahis on I. Uks ¨ ja sama arv ei saa olla samaaegselt nii 1 ratsionaal- kui ka irratsionaalarav. Seet~ottu ei oma ratsionaalarvude ja irrat- sionaalaarvude hulgad u ¨hisosa, st Q I = . Ratsionaalarvud ja irratsionaalarvud kokku moodustavad reaalarvude hulga. Reaalarvude hulga t¨ahis on R. Seega R = Q I. Arvtelje m~ oiste. Arvteljeks nimetatakse sirget, millel on valitud nullpunkt,
Ratsionaalarvuks nimetatakse kahe t¨aisarvu p ja q jagatist p/q, kusjuures q = 0. Ratsionaalarvude hulga t¨ahis on Q. Seega, l¨ uhidalt kirjutades Q = { pq p, q Z, q = 0}. Iga ratsionaalarvu saab esitada kas l~opliku v~oi l~opmatu perioodilise k¨ umnendmurruna. L~opmatuid mitteperioodilisi k¨ umnendmurde nimetatakse irratsionaalarvudeks. ¨ ja sama arv ei saa olla samaaegselt nii Irratsionaalarvude hulga t¨ahis on I. Uks 1 ratsionaal- kui ka irratsionaalarav. Seet~ottu ei oma ratsionaalarvude ja irrat- sionaalaarvude hulgad u ¨hisosa, st Q I = . Ratsionaalarvud ja irratsionaalarvud kokku moodustavad reaalarvude hulga. Reaalarvude hulga t¨ahis on R. Seega R = Q I. Arvtelje m~ oiste. Arvteljeks nimetatakse sirget, millel on valitud nullpunkt, pikkus¨ uhik ja positiivne suund. Kasutades neid kolme parameetrit, saab arvtelje
annaabi.ee 
