Leidsid 33 sarnast õppematerjali, mis on seotud failiga "Funktsiooni piirväärtus. Kontrolltöö A ja B RÜHM". Need materjalid aitavad sul teemat sügavamalt mõista.
piirväärtuspoole jäävatel kohtadel, näeme, et mida lähemal on x väärtus arvule 1, seda vähem erineb funktsiooni väärtus arvust 2: x 1,00001 1,0001 1,001 1,01 1,1 1,5 y 2,00001 2,0001 2,001 2,01 2,1 2,5 Seega kui x 1, siis y 2. Kuigi funktsioonil puudub väärtus kohal x = 1, öeldakse, et tal on sellel kohal olemas piirväärtus. x 2 -1 Arvu 2 nimetatakse funktsiooni y = piirväärtuseks argumendi lähenemisel x -1 x 2 -1 arvule 1 ja kirjutatakse lim = 2. x 1 x -1 10 Leiame veel mõningad selle funktsiooni piirväärtused. Ülaltooduga analoogilisi tabeleid koostades veendume, et:
a- a a+
x
Ehk arv x kuulub arvu a ümbrusesse raadiusega , kui
a-
elemendile xi. Muutuva suuruse piirväärtuse definitsioon. Muutuva suuruse piirväärtuse üldine definitsioon on järgmine: Olgu x järjestatud muutuv suurus. Arvu a nimetatakse muutuva suuruse x piirväärtuseks, kui iga kuitahes väikese positiivse arvu korral saab näidata sellist suuruse x väärtust, millest alates kõik järgnevad muutuva suuruse väärtused kuuluvad arvu a ümbrusesse (a - , a + ), st rahuldavad võrratust |x - a| < . Kui arv a on suuruse x piirväärtus, siis öeldakse, et suurus x läheneb arvule a ehk koondub arvuks a ja kirjutatakse x a või lim x = a . Piirväärtuse üldises definitsioonis ei ole fikseeritud kuidas (vasakult, paremalt või mõlemalt poolt) muutuja x lähenemine arvule a toimub. Seega on piirprotsessi x a erijuhtudeks sellised piirprotsessid, kus x läheneb arvule a ainult vasakult või paremalt. Muutuva suuruse ühepoolsete piirprotsesside definitsioonid.
järgneb elemendile xi. Muutuva suuruse piirväärtuse definitsioon. Muutuva suuruse piirväärtuse üldine definitsioon on järgmine: Olgu x järjestatud muutuv suurus. Arvu a nimetatakse muutuva suuruse x piirväärtuseks, kui iga kuitahes väikese positiivse arvu ε korral saab näidata sellist suuruse x väärtust, millest alates kõik järgnevad muutuva suuruse väärtused kuuluvad arvu a ümbrusesse (a − ε, a + ε), st rahuldavad võrratust |x − a| < ε. Kui arv a on suuruse x piirväärtus, siis öeldakse, et suurus x läheneb arvule a ehk koondub arvuks a ja kirjutatakse x → a või lim x = a . Piirväärtuse üldises definitsioonis ei ole fikseeritud kuidas (vasakult, paremalt või mõlemalt poolt) muutuja x lähenemine arvule a toimub. Seega on piirprotsessi x → a erijuhtudeks sellised piirprotsessid, kus x läheneb arvule a ainult vasakult või paremalt. Muutuva suuruse ühepoolsete piirprotsesside definitsioonid.
Perioodiline funktsioon Niisugust funktsiooni f(x), mis rahuldab tingimust f(x+t)=f (x), t≠0, iga x ja x+t korral määramispiirkonnast, nim. perioodiliseks funktsiooniks vähimat arvu t aga selle funktsiooni perioodiks. Kui on teada perioodilise funktsiooni ajagraafiku osa perioodi pikas poollõigus, siis on teada ka kogu graafik. Tuntud perioodilised funktsioonid on sinx (periood 2π, sest et sin(x+2π), cosx, (periood 2π, sest et cos(x+2π), tanx (periood π tan(x+π)=tanx ). Funktsiooni piirväärtus Vaatleme funktsiooni f (x). Kui argumendi x väärtuste jada xn lähenemisel arvule a, ükskõik kummalt poolt, kas vasakult või paremalt, vastava funktsiooniväärtuste jada f(x n) läheneb ühele kindlale arvule A, siis öeldakse, et arv A on funktsiooni f(x) piirväärtus argumendi x lähenemiseel arvule a ja kirjutatakse või lühemalt Võib olla ka, et x -> +∞ x -> - ∞ Argumendi väärtus a ei pea olema määrmaispiirkonnas. Funktsiooni piirväärtusi
y= x; x 0 y =3 x Eksponentfunktsioon y = ax, a > 0 ja a 0 Logaritmfunktsioon y = log a x , a > 0, ja a 1, x > 0 -1 Kui f ( x ) = a x , siis f ( x ) = log a x -1 Kui f ( x ) = log a x , siis f (x) = a x Trigonomeetrilised funktsioonid y = sin x; y = cos x ; y = tan x 5. Arvjada ja selle piirväärtus. Aritmeetiline ja geomeetriline jada · Aritmeetiline jada an = an 1 + d an = a1 + (n 1)d a + a k +1 a k = k -1 2 a + an 2a + ( n - 1) d Sn = 1 n = 1 n n 2 · Geomeetriline jada an = q . an 1
3) logaA(x) A(x) >0 arcsin A( x) 4) -1 A( x) 1 arccos A( x) Funktsiooni y=f(x) pöördfunktsiooniks nim. f-ni y=g(x), mis igale funktsiooni f väärtusele y seab vastavusse need argumendi x väärtused, mille korral y=f(x) Olgu funktsioonid y=f(x) ja y=g(x), siis väärtus y on teisendatud argumendi x liitfunktsiooniks ehk kompositsiooniks y=f[g(x)]=f*g(x) © 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 1 Funktsiooni piirväärtus. Teoreemid piirväärtuste kohta (tõestusega). Arv a on funktsiooni y=f(x) piirväärtuseks tingimusel, et xx0, kui >0, () >0, et 0< x-x0< f(x)-a< Selleks, et funktsioonil y = f (x) oleks piirväärtus, kui xx0 on piisav ja tarvilik, et eksisteeriksid ühepoolsed piirväärtused ja et nad oleks võrdsed. lim f ( x) = lim f ( x) = a x x0 - 0 x x0 + 0 Teoreemid piirväärtuste kohta. Teoreem 1 Selleks, et funktsioonil oleks piirväärtus on piisav ja tarvilik, et
3) logaA(x) A(x) >0 arcsin A( x) 4) -1 A( x) 1 arccos A( x) Funktsiooni y=f(x) pöördfunktsiooniks nim. f-ni y=g(x), mis igale funktsiooni f väärtusele y seab vastavusse need argumendi x väärtused, mille korral y=f(x) Olgu funktsioonid y=f(x) ja y=g(x), siis väärtus y on teisendatud argumendi x liitfunktsiooniks ehk kompositsiooniks y=f[g(x)]=f*g(x) © 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 1 Funktsiooni piirväärtus. Teoreemid piirväärtuste kohta (tõestusega). Arv a on funktsiooni y=f(x) piirväärtuseks tingimusel, et xx0, kui >0, () >0, et 0< x-x0< f(x)-a< Selleks, et funktsioonil y = f (x) oleks piirväärtus, kui xx0 on piisav ja tarvilik, et eksisteeriksid ühepoolsed piirväärtused ja et nad oleks võrdsed. lim f ( x) = lim f ( x) = a x x0 - 0 x x0 + 0 Teoreemid piirväärtuste kohta. Teoreem 1 Selleks, et funktsioonil oleks piirväärtus on piisav ja tarvilik, et
monotoonsed funktsioonid, tõkestatud funktsioonid). Tuua näiteid. .............................................. 7 6. Elementaarsed põhifunktsioonid, nende määramispiirkonnad, põhiomadused ja graafikud. .....7 7. Liitfunktsiooni mõiste, liitfunktsiooni määramispiirkond. Tuua näiteid. ....................................7 8. Pöördfunktsiooni mõiste; pöördfunktsiooni määramis- ja muutumispiirkond. Tuua näiteid. .....7 9. Muutuva suuruse piirväärtus, tõkestamatult kasvav ja tõkestamatult kahanev suurus. ...............8 10. Funktsiooni piirväärtus. Funktsiooni vasak- ja parempoolne piirväärtus. .................................9 11. Tõkestamatult kasvav funktsioon, tõkestamatult vähenev funktsioon. ................................... 10 12. Funktsiooni piirväärtuse aritmeetiliste tehetega seotud omadused. ........................................ 10 13
Y = - ; . 2 2 Joon. 19 29 x , kui x 0 18. Funktsioon y = x ehk y = (joon. 20), paarisfunktsioon. - x , kui x < 0 Joon. 20 30 4.3 Arvjada piirväärtus Olgu arvjada üldliige an . Arvu a nimetatakse arvjada piirväärtuseks, kui iga selle arvu ümbruse jaoks leidub niisugune järjekorranumber N, millest alates jada kõik liikmed kuuluvad sellesse ümbrusesse. Arvjada piirväärtust tähistatakse an a või lim an = a . n Jadade, üldliikmega an ja bn , korral: 1) lim n ( an ± bn ) = nlim
Funktsioonide sinh x, cosh x, tanh x ja coth x pöördfunktsioonid on nn areafunktsioonid: 7. Järjestatud muutuva suuruse mõiste: Muutuva suuruse x kohta öeldakse, et ta on järjestatud, kui tema väärtustest on moodustatud järjestatud hulk, st hulk mille iga kahe elemendi kohta on võimalik öelda, kumb neist on eelnev ja kumb järgnev. Muutuva suuruse piirväärtuse definitsioon: Üldine definitsioon on järgmine: Muutuva suuruse x piirväärtus on lõpmatus ehk muutuv suurus x läheneb lõpmatusele, kui iga kuitahes suure positiivse arvu M korral saab näidata sellist suuruse x väärtust, millest alates kõik järgnevad muutuva suuruse väärtused kuluvad lõpmatuse ümbrusesse (M,), st rahuldavad võrratust x > M. Taolist piirprotsessi tähistatakse järgmiselt: x või lim x = . Analoogiliselt saab defineerida ja selgitada ka piirprotsessi x -. Definitsioon on järgmine: Muutuva suuruse x piirväärtus on miinus lõpmatus ehk
. . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.5 Põhilised elementaarfunktsioonid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 SISUKORD 3.6 Elementaarfunktsioonid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.7 Jadad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 4 Funktsiooni piirväärtus ja pidevus 37 4.1 Jada piirväärtus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 4.2 Funktsiooni piirväärtuse mõiste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 4.3 Ühepoolsed piirväärtused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 4.4 Funktsiooni piirväärtuse omadused . . . . . . . . .
TULETIS · Tuletise moodustamine: On antud funktsioon y = f ( x) . Järgnevalt on vaja leida funktsiooni muut: y = f ( x + x) - f ( x ) Seejärel lihtsustada muudu valemit. Lõpuks on vaja leida funktsiooni piirväärtus, mis ühtlasi on ka tuletis. Tuletist märgitakse [y']-ga. y f ( x + x ) - f ( x ) y ' = lim = lim x x x x Pärast koondamist ja taandamist lähendada või panna x võrduma nulliga. Nii kaob funktsioonist x ära. Järelejäänud avaldis ongi tuletis. NÄIDE: 1 Funktsioon: y = x 1 1 Muut: y = - ( x + x ) x
Y ; . 2 2 Joon. 19 29 x , kui x 0 18. Funktsioon y x ehk y (joon. 20), paarisfunktsioon. x , kui x 0 Joon. 20 30 4.3 Arvjada piirväärtus Olgu arvjada üldliige an . Arvu a nimetatakse arvjada piirväärtuseks, kui iga selle arvu
1) kas arvud -22 ja 0 on antud jada liikmeteks? 2) Mitmes liige selles jadas on arv 50? Vastus: 1) arv -22 on, 0 ei ole 2) 12 2n 1 n2 n b) On antud jada an, mille üldliige an = 1) Kirjutage välja jada esimesed 5 liiget, an-1 ,an+1. 2) Mitmendast liikmest alates on jada an liikmed väiksemad kui 0,01? 3) Leidke jada piirväärtus. 5 7 9 11 2n 1 2n 3 ; ; ; ; an1 2 ; a n1 2 6 12 20 30 n n n 3n 2 Vastus: 1) 1,5 ; 2) n 200 3) 0 a15 a32
Ruutvõrrandiks taandamine 75. Logartimvõrrandid Sn = ( a1 q n - 1 ) ; kus q 1 I. Logaritmi definitsiooni järgi lahenduv q -1 võrrand 90. Funktsiooni piirväärtus II. Logaritmi omaduste põhjal lahenduv võrrand lim k = k x a III. Ruutvõrrandiks teisendamine IV. Üleminek ühel aluselt teisele 76. Trigonomeetria lim x = a x a sin 2 x + cos 2 x = 1 sin( -x ) = -sin x
a. Arvu L2 nimetatakse funktsiooni f(x) vasakpoolseks piirväärtuseks punktis a, kui iga ε>0 korral leidub niisugune arv δ> 0 , et kui a−δ < x Piirväärtus f ¿ on olemas parajasti siis, kui lim ¿ lim ¿ x→a x→ a 8. Piirväärtuste tehetega seotus omadused: a. Eeldame, et kõik paremal pool olevad piirväärtused eksisteerivad. i. Kui c on konstant, siis lim[cf(x)] = c[lim f(x)] s. t ii
a) On antud jada üldliige an = n2 -7n -10. 1) kas arvud -22 ja 0 on antud jada liikmeteks? 2) Mitmes liige selles jadas on arv 50? Vastus: 1) arv -22 on, 0 ei ole 2) 12 2n 1 b) On antud jada an, mille üldliige an = n n 2 1) Kirjutage välja jada esimesed 5 liiget, an-1 ,an+1. 2) Mitmendast liikmest alates on jada an liikmed väiksemad kui 0,01? 3) Leidke jada piirväärtus. -7- - 5 7 9 11 2n 1 2n 3 ; ; ; ; a n1 2 ; a n1 2 Vastus: 1) 1,5 ; 6 12 20 30 n n n 3n 2 2) n 200 3) 0 a15 a32 4 c) Aritmeetilises jadas on a4 . Leidke a13 väärtus. Vastus : 2,5
selline f korraldab üksühese vastavuse oma määramispiirkonna ja muutumispiirkonna vahel. Kui funktsioon f rahuldab nimetatud tingimust vaid oma määramispiirkonna mingil osahulgal, siis saab rääkida üksnes selle funktsiooni vastava lahendi pöördfunktsioonist. Kui funktsiooni f tuletis f' on kohal x nullist erinev, siis pöördfunktsiooni f-1 tuletis kohal y=f(x) saab avaldada kujul ( f -1 )' ( y ) = f '1( x ) = f ' ( f 1-1 ( y ) ) 4. Funkts. Piirväärtus. Ühepoolsed piirväärtused. Funktsiooni piirv. Def: Funktsioonil f on piirväärtus b kohal a kui suvalises piirprotsessis xa, mis rahuldab tingimust x a, funktsiooni väärtus f(x) läheneb arvule b. Funktsiooni piirväärtuse kirjutusviis on: lim(xa) f(x) = b või f(x) b kui xa. Mõiste "piirväärtus kohal a asemel võib kasutada ka samaväärseid väljendeid "piirväartus punktis a"või "piirvärtus argumendi lähenemisel värtusele a"
YMM3731 Matemaatiline analu¨u¨s I 2007/08 ~o.-a. su¨gissemestril 3,5 AP 4 2-0-2 E S Dots. Lembit Pallas TTU¨ Matemaatikainstituut V-404, tel. 6203056 e-post: [email protected] K¨asitletavad teemad on toodud punktide kaupa. Neid punkte tuleb vaadelda ka kui kollokviumide ja eksami teooriak¨ usimusi. 1. Funktsiooni m~oiste ja esitusviisid 2. Funktsioonide liigitamine (paaris- ja paaritud funktsioonid, perioodilised funktsioo- nid, kasvavad ja kahanevad funktsioonid) 3. P¨o¨ordfunktsioon 4. Liitfunktsioon 5. Jada piirv¨aa¨rtus 6. Funktsiooni piirv¨aa¨rtus ¨ 7. Uhepoolsed piirv¨aa¨rtused 8. L~opmatult kasvavad ja l~opmatult kahanevad suurused 9. Piirv¨a¨artusteoreemid 10. L~opmatult kahanevate suuruste v~ordlemine 11. Funktsiooni pidevuse m~oiste. Tarvilik ja piisav tingimus funktsiooni pidevuseks 12. Elementaarfunktsioonide pidevus 13. L~oigul
järgnev. Muutuva suuruse piirväärtuse üldine definitsioon on järgmine: Olgu x järjestatud muutuv suurus. Arvu a nimetatakse muutuva suuruse x piirväärtuseks, kui iga kuitahes väikese positiivse arvu korral saab näidata sellist suuruse x väärtust, millest alates kõik järgnevad muutuva suuruse väärtused kuuluvad arvu a ümbrusesse (a - , a + ), st rahuldavad võrratust |x - a| < . Kui arv a on suuruse x piirväärtus, siis öeldakse, et suurus x läheneb arvule a ehk koondub arvuks a ja kirjutatakse x a või lim x = a . Muutuv suurus x läheneb vasakult arvule a, kui iga kuitahes väikese positiivse arvu korral saab näidata sellist suuruse x väärtust, millest alates kõik järgnevad muutuva suuruse väärtused kuuluvad poollõiku (a - , a]. Sellisel juhul kirjutatakse x a- Muutuv suurus x läheneb paremalt arvule a, kui iga kuitahes väikese positiivse arvu korral saab
0 x x0 + 0 y Kaldasümptoot y = kx + b , kus k = lim ja b = xlim ± ( y kx) x ± x Vertikaalasümptoot asub selles punktis, kus esineb teist liiki katkevus. Võrrand x = a Kahe muutuja funktsiooni piirväärtus: on , kui lim lim f ( x, y ) = lim lim f ( x, y ) = lim f ( x, y ) x x0 y y 0 y y 0 x x0 x x0 : y y 0 puudub, kui lim lim f ( x, y ) lim lim f ( x, y ) x x0 y y 0 y y 0 x x0 võib olla ja võib ka mitte olla, kui lim lim f ( x, y ) = lim lim f ( x, y )
0 x x0 + 0 y Kaldasümptoot y = kx + b , kus k = lim ja b = xlim ± ( y kx) x ± x Vertikaalasümptoot asub selles punktis, kus esineb teist liiki katkevus. Võrrand x = a Kahe muutuja funktsiooni piirväärtus: on , kui lim lim f ( x, y ) = lim lim f ( x, y ) = lim f ( x, y ) x x0 y y 0 y y 0 x x0 x x0 : y y 0 puudub, kui lim lim f ( x, y ) lim lim f ( x, y ) x x0 y y 0 y y 0 x x0 võib olla ja võib ka mitte olla, kui lim lim f ( x, y ) = lim lim f ( x, y )
(t)'(t)dt. 50. Keha ruumala arvutamine määratud integraali abil: Kui f-n f(x) on lõigul [a,b] pidev ja mittenegatiivne, siis joontega y=f(x), y=0, x=a ja x=b määratud kõverjoonelise trapetsi D pöörlemisel ümber x-telje tekkiva pöördkeha ruumalaks V nim piirväärtust lim(n, maxxi0) (n,i=1) f2(i)xi, kui see ei sõltu lõigu [a,b] tükeldamise viisist ja valikust i [xi-1,xi] (i = 1;2;...n). Et f(x) C[a,b] f2(x) [a,b] f2(x) I [a,b], siis eelnimetatud piirväärtus eksisteerib. Vormistame saadud tulemuse. Kui f(x) >=0 ja f(x) C[a,b], siis joontega y=f(x) (a<=x<=b), x=a (0<=y<=f(a)), x=b (0<=y<=f(b)) ja y=0 (a<=x<=b) piiratud kõverjoonelise trapetsi pöörlemisel ümber x-telje tekkiva pöördkeha ruumala V avaldub kujul V=abf2(x)dx. 10 51. Pöördkeha ruumala ja pindala arvutamine: Parameetriliste võrranditega antud
osalõigud xi , seda lähedasem on ligikaudne väärtus tegelikule pindalale. Pindala täpse väärtuse saame piirväärtusena n kõigist osalõikude pikkuste lähenemisel nullile: xi 0 2 n SabBA = lim f ( i ) xi (4) n xi 0 i = 1 Kui valemi (4) paremal pool olev piirväärtus eksisteerib ning ei sõltu osalõikudeks jaotamise viisist ja punktide i valikust, siis nimetatakse teda määratud integraaliks funktsioonist f(x) rajades a-st b-ni ning b n tähistatakse f ( x) dx = lim f ( ) x n i i a xi 0 i = 1 Arvu a nimetatakse integraali alumiseks rajaks
osalõigud xi , seda lähedasem on ligikaudne väärtus tegelikule pindalale. Pindala täpse väärtuse saame piirväärtusena n kõigi osalõikude pikkuste lähenemisel nullile: xi 0 2 n SabBA = lim f ( i ) xi (4) n xi 0 i = 1 Kui valemi (4) paremal pool olev piirväärtus eksisteerib ning ei sõltu osalõikudeks jaotamise viisist ja punktide i valikust, siis nimetatakse teda määratud integraaliks funktsioonist f(x) rajades a-st b-ni ning b n tähistatakse f ( x) dx = lim f ( ) x n i i a xi 0 i = 1 Arvu a nimetatakse integraali alumiseks rajaks
jaoks mingi kindla arvu korrutisega nimetatakse geomeetriliseks jadaks. Seda kindlat arvu nimetatakse teguriks ja tähistatakse tähega q n-1 n an=a1 x q q=an+1/n sn=a1(q -1)/q-1 Lõpmatult kahaneva geomeetrilise jada summa- S=a1/1-q Arvu ,,A" nimetatakse jada ,,an" tõkestamatul kasvamisel ja tähistatakse sümboliga liman=A n lim1/n=0 Piirväärtus n (tõkestamatul kasvamisel) läheneb nullile. n Piirväärtuste arvutamine 1) lim 1/n=0 n 2) lim ±n=± n 3) lim c=c n 4) lim(an±bn)=liman±limbn n n n 5) lim(an x bn)=liman x limbn n n n 6) lim(an÷bn)=liman÷limbn , kui limbn =/ 0 n n n n Murdude piirväärtuste arvutamisel võib esineda kolm juhtumit: A) murru lugeja ja nimetaja on ühe ja sama astme avaldised
1.Arvtelje mõiste. Reaalarvu absoluutväärtus. Loetleda 4.Üksühese funktsiooni ja pöördfunktsiooni definitsioonid. Vaatleme funktsiooni y=f(x). Toome lisaks muutujale x ± absoluutväärtuse Seosed funktsiooni ja tema pöördfunktsiooni ja y sisse ka kolmanda muutuja t. x= (t). Siis saab ka Funktsioonil f on piirväärtus kohal a, kui suvalises piirprotsessis xa, mis omadused. Reaalarvude ja lõpmatuste ümbrused. määramispiirkondade ja väärtuste hulkade vahel, vastastikune muutuja y avaldada parameetri t kaudu. y = (t). rahuldab tingimust xa, funktsiooni väärtus f(x) läheneb lõpmatusele
Kui muutuja t jookseb läbi kogu lõigu [T1, T2], siis t-le vastav punkt kujundab tasandil teatud joone. Võrrandeid nimetatakse selle joone parameetrilisteks võrranditeks ja muutujat t selle joone parameetriks. Järjestatud muutuva suuruse mõiste - Muutuva suuruse x kohta öeldakse, et ta on järjestatud, kui tema väärtustest on moodustatud järjestatud hulk, st hulk mille iga kahe elemendi kohta on võimalik öelda, kumb neist on eelnev ja kumb järgnev. Muutuva suuruse piirväärtus - Olgu x järjestatud muutuv suurus. Arvu a nimetatakse muutuva suuruse x piirväärtuseks, kui iga kuitahes väikese positiivse arvu korral saab näidata sellist suuruse x väärtust, millest alates kõik järgnevad muutuva suuruse väärtused kuuluvad arvu a ümbrusesse (a - , a + ), st rahuldavad võrratust |x - a| < . Kui arv a on suuruse x piirväärtus, siis öeldakse, et suurus x läheneb arvule a ehk koondub arvuks a ja kirjutatakse x a või lim x = a .
x a või f(x) A, kui x a. Näide . Tõestame,et lim x1 (2x + 1) = 3. Olgu > 0 suvaline.Siis f(x) - A=(2x+1)-3 = 2x-1< , kui x-1< . Seega võttes = , näeme, et definitsiooni 1nõuded on täidetud. 2 2 Definitsioon 2. Öeldakse, et funktsioonil f on lõpmatu piirväärtus piirprotsessis . x a, kui iga arvu N > 0 korral leidub arv > 0, nii et f(x) > N ( f(x) < -N ), alati kui 0 < | x - a | < . Kirjutame lim xa f(x) = ( vastavalt lim xa f(x) = - ). 2. Funktsiooni piirväärtuse omadused Teoreem 2. Kui eksisteerivad lõplikud piirväärtused lim xa f(x) = A ja lim xa g(x) = B, siis 1) lim xa [ f(x) ± g(x)] = A ± B, 2) lim xa [ c f(x)] = c A, 3) lim xa [ f(x) g(x)] = A B,
Pindala täpse väärtuse saame piirväärtusena kõigi osalõikude pikkuste lähenemisel xi 0 nullile: : n SabBA lim n f x i i xi 0 i 1 . (4) Kui valemi (4) paremal pool olev piirväärtus eksisteerib ning ei sõltu osalõikudeks jaotamise n viisist ja punktide valikust, siis nimetatakse teda määratud integraaliks funktsioonist f(x) b n f x dx lim n
eelnev ja kumb järgnev. Muutuva suuruse piirväärtuse definitsioon. Olgu x järjestatud muutuv suurus. Arvu a nimetatakse muutuva suuruse x piirväärtuseks, kui iga kuitahes väikese positiivse arvu korral saab näidata sellist suuruse x väärtust, millest alates kõik järgnevad muutuva suuruse väärtused kuuluvad arvu a ümbrusesse (a-,a+ ), st rahuldavad võrratust |x- a| < . Kui arv a on suuruse x piirväärtus, siis öeldakse, et suurus x läheneb arvule a ehk koondub arvuks a ja kirjutatakse x a või limx = a. Muutuva suuruse ühepoolsete piirprotsesside definitsioonid. Ühepoolsete piirprotsesside definitsioonid saame üldisest piirväärtuse definitsioonist, kui me seal esineva ümbruse (a-,a+) kitsendame kas vasakpoolseks või parempoolseks ümbruseks (a-,a] või [a,a+). Piirprotsesside x ja x - definitsioonid.
Areakootangens y = arcth x X = (- ,1) (1, ) Y = (- ,0 ) (0, ) y = arsh x y = arch x y = arth x y = arcth x 6 Kordamine matemaatilise analüüsi I eksamiks matemaatika-informaatika teaduskonnas 04/05 õ.a II PIIRVÄÄRTUS Piirväärtuse mõiste Jada piirväärtus Jada ( x n ) võib vaadelda kui funktsioni f , mis on antud valemiga f (n ) = x n , kus n N , s.o. kui funktsiooni f , mille määramispiirkond X = N. 1. Jada (lõplik) piirväärtus Definitsioon: Arvu a nimetatakse jada ( x n ) piirväärtuseks, kui iga arvu > 0 korral leidub selline arv N = N ( ) , et kehtib võrratus x n - a < , alati kui n > N , ja kirjutatakse lim x n = a
annaabi.ee 
