ehk sümbolites: Kui A, siis B Kui ¬B, siis ¬A. Öeldakse ka, et need laused on loogiliselt samaväärsed. Näide1: Lause: ,,Kui nelinurk on rööpkülik, siis tema diagonaalid poolitavad teineteist." Pöördvastandlause: ,,Kui nelinurga diagonaalid ei poolita teineteist, siis nelinurk ei ole rööpkülik." Kehtigu teoreem: Kui A, siis B. Sel juhul öeldakse, et A on piisav tingimus selleks, et kehtiks B. Samuti öeldakse, et B on tarvilik tingimus selleks, et kehtiks A. Näide: Lause: Kui tuleb riiklik toetus, siis saame ürituse läbi viia. Riiklik toetus on piisav selleks, et üritust läbi viia. Ürituse läbiviimiseks on tarvilik, et oleks riiklik toetus. Kui koos teoreemiga (Kui A, siis B) kehtib ka pöördteoreem (Kui B, siis A), siis võetakse
Diskreetse matemaatika elemendid 2013/2014 LAUSEARVUTUS. TÕESTUSED. 1. Lausearvutuse lausetele esitatavad tingimused. [1] o Välistatud kolmanda seadus. Iga lause on kas tõene või väär. o Mittevasturääkivuse seadus. Ükski lause ei saa olla nii tõene kui ka väär. o Nende nõuete põhjal kuuluvad vaadeldavate hulka ainult nii sugused laused, mis midagi väidavad, kusjuures sellel väitel on olemas ühene tõeväärtus. o . Välistatud kolmanda seaduse nõudel jäävad kõrvale kõik küsilaused ja paljud hüüdlaused, samuti kõik käsud ning mõttetud sõnaühendid. Mitte-vasturääkivuse seadus välistab mitmesugused paradoksid, näiteks „See lause siin on väär“, ja muud taolised väited, mille tõeväärtust pole võimalik üheselt määrata. o Tehte tulemuseks saadud lause tõeväärtus sõltub ainult komponentlausete tõeväärtustest. 2. Lausearvutuse tehted. Tehete järjekord
Lausearvutus 1) a. Lausearvutuse lausetele esitatavad tingimused: a.i. Välistatud kolmanda seadus. Iga lause on kas tõene või väär. a.ii. Mittevasturääkivuse seadus. Ükski lause ei saa olla nii tõene kui ka väär. a.iii. Tehteid võib teostada ükskõik milliste lausetega. a.iv. Tehte tulemuseks saadud lause tõeväärtus sõltub ainult komponentlausete tõeväärtustest. 2) a. Eitus (märk ¬). Lause mittekehtimine. b. Konjunktsioon (märk &) tähendab seost ,,ja". c. Disjunktsioon (märk ) väljendab seost ,,või". Siin on kasutusel mittevälistav ,,või". d. Implikatsioon (märk ) väljendab tingimuslikku konstruktsiooni ,,kui ..., siis ...". e. Ekvivalents (märk ) tähendab matemaatikas sagedasti kasutatavat seost
SISSEJUHATUS MATEMAATILISSE LOOGIKASSE Kordamisküsimused (orienteeruv) Mõnede sümbolite tähendused sõna Materjal puudub & Konjuktsioon Ekvivalents üldisuskvantor Järeldumine Disjunktisoon ¬ Eitus olemasolukvantor Signatuur Implikatsioon Samaväärsus Loogiline järeldumine I. Lausearvutus Laused. Lausearvutuse tehted. Valem. Valemi tõeväärtus. Tõeväärtustabel. Laused Põhilised uuritavad objektid lausearvutuses on laused, mis võimaldavad pärineda ükskõik millisest valdkonnast. Oluline on, et igale lausearvutusele saaks vastavusse seada tõeväärtuse, mis kirjeldab lause tegelikkusele vastava määra. Eeldame, et käsitlevad laused rahuldavad järgmisi tingimusi: · Välistatud kolmanda seadus. Iga lause on kas tõene või väär
MATEMAATILINE LOOGIKA 1. LAUSEARVUTUS Lausearvutuse tehted: Eitus (¬) Konjuktsioon (&) Disjunktsioon (V) Implikatsioon (->) Ekvivalents (<->) Lausearvutuse valemid on parajasti need, mida saab koostada alltoodud reeglite abil: o iga lausemuutuja on lausearvutuse valem o kui F on lausearvutuse valem, siis ka ¬F on lausearvutuse valem o kui F ja G on lausearvutuse valemid, siis ka (F&G), (FVG), (F->G) ja (F<->G) on lausearvutuse valemid Lausearvutuse valemi F tõeväärtus etteantud väärtustusel leitakse järgmiste reeglite abil: o 1) Kui F = ¬G, siis F = 1 parajasti siis, kui G = 0
Matemaatiline analüüs I kontrolltöö Punktid 1-22 1. Arvtelje mõiste. Reaalarvu absoluutväärtus. Loetleda absoluutväärtuse omadused. Reaalarvude ja lõpmatuste ümbrused. Tõkestatud hulga definitsioon. a. Arvtelje mõiste Arvteljeks nim sirget, millel on valitud nullpunkt, pikkusühik ja positiivne suund. Kasutades neid kolme parameetrit, saab arvtelje punktidele seada vastavusse reaalarvud. Igale arvtelje punktile vastab ainult üks reaalarv ja vastupidi. b. Reaalarvu absoluutväärtus
1. · Arvtelje mõiste Arvteljeks nimetatakse sirget, millel on valitud nullpunkt, pikkusühik ja positiivne suund. Võib väita, et igale arvtelje punktile vastab üks ja ainult üks reaalarv ja vastupidi: igale reaalarvule vastab üks ja ainult üks arvtelje punkt. · Absoluutväärtuse mõiste. Reaalarvu a absoluutväärtuseks nimetatakse järgmist mittenegatiivset reaalarvu: |a| = a kui a 0 -a kui a < 0 . Reaalarvu a absoluutväärtus |a| on punkti a ja nullpunkti vaheline kaugus arvteljel. · Absoluutväärtuse omadused: 1. | - a| = |a| 2. |ab| = |a| |b| 3. |a + b| |a| + |b| 4. |a - b| | |a| - |b| | · Reaalarvude ja lõpmatuste ümbrused. Reaalarvu a ümbruseks nimetatakse suvalist vahemikku (a - , a + ), kus > 0 on ümbruse raadius.
1. · Arvtelje mõiste Arvteljeks nimetatakse sirget, millel on valitud nullpunkt, pikkusühik ja positiivne suund. Võib väita, et igale arvtelje punktile vastab üks ja ainult üks reaalarv ja vastupidi: igale reaalarvule vastab üks ja ainult üks arvtelje punkt. · Absoluutväärtuse mõiste. Reaalarvu a absoluutväärtuseks nimetatakse järgmist mittenegatiivset reaalarvu: |a| = a kui a 0 -a kui a < 0 . Reaalarvu a absoluutväärtus |a| on punkti a ja nullpunkti vaheline kaugus arvteljel. · Absoluutväärtuse omadused: 1. | - a| = |a| 2. |ab| = |a| |b| 3. |a + b| |a| + |b| 4. |a - b| | |a| - |b| | · Reaalarvude ja lõpmatuste ümbrused. Reaalarvu a ümbruseks nimetatakse suvalist vahemikku (a - , a + ), kus > 0 on ümbruse raadius.
(M2) (ab) c = a (bc) kõikide a,b,c € R korral (korrutamise assotsiatiivsus) (M3) 1b = b iga b € R puhul (ühikelemendi olemasolu) (M4) iga b € R {0} puhul leidub b-1 € R omadusega bb-1=1 (pöördelemendi olemasolu) (D) (a + b) c= ac +ab kõikide a,b,c € R korral (distributiivsus) Järjestatus. Nõuame, et hulk R oleks järjestatud seosega <, mis rahuldab järgmisi tingimusi: (Q1) suvaliste a,b,c € R puhul kehtib parajasti üks tingimustest a = b, a < b, b < a (trihhotoomia reegel) (Q2) kui a < b ja b < c, siis a < c (transitiivsus) (Q3) kui a < b, siis a + c < b + c (liitmise monotoonsus) (Q4) kui a < b ja c > 0, siis ac < bc (korrutamise monotoonsus) 3) Kehtib pidevuse aksioom - Igal ülalt tõkestatud reaalarvude hulgal on olemas ülemine raja ja igal alt tõkestatud reaalarvude hulgal on olemas alumine raja.
Matematiline analüüs l. Jaan Jaano 1. Arvtelje mõiste. Reaalarvu absoluutväärtus. Loetleda absoluutväärtuse omadused. Reaalarvude ja lõpmatuste ümbrused. Tõkestatud hulga definitsioon. Arvtelje mõiste. Arvteljeks nimetatakse sirget, millel on valitud nullpunkt, pikkusühik ja positiivne suund. Võib väita, et igale arvtelje punktile vastab üks ja ainult üks reaalarv ja vastupidi: igale reaalarvule vastab üks ja ainult üks arvtelje punkt. Absoluutväärtuse mõiste. Reaalarvu a absoluutväärtuseks nimetatakse järgmist mittenegatiivset reaalarvu: |a| = a kui a 0 -a kui a < 0 . Reaalarvu a absoluutväärtus |a| on punkti a ja nullpunkti vahelist kaugust arvteljel. Absoluutväärtuse omadused: 1. | - a| = |a| 2. |ab| = |a| |b| 3. |a + b| |a| + |b| 4. |a - b| | |a| - |b| | Reaalarvude ja lõpmatuste ümbrused. Reaalarvu a ümbruseks nimetatakse suvalist vahemikku (a - , a + ), kus > 0 on ümbruse raadius.
Parameetrilisel kujul antud funktsioon Funktsiooni piirväärtuse definitsiooni laienemine juhtudele a = ± ja b = 1.Arvtelje mõiste. Reaalarvu absoluutväärtus. Loetleda 4.Üksühese funktsiooni ja pöördfunktsiooni definitsioonid. Vaatleme funktsiooni y=f(x). Toome lisaks muutujale x ± absoluutväärtuse Seosed funktsiooni ja tema pöördfunktsiooni ja y sisse ka kolmanda muutuja t. x= (t). Siis saab ka Funktsioonil f on piirväärtus kohal a, kui suvalises piirprotsessis xa, mis omadused
y=a , rahuldavad ka nende jadade piirväärtused. alus a on konstantne ja rahuldab v orratust a > 0. *Trigonomeetrilised 22. Sõnastada tõkestatud funktsioon. Tõestada, kui funktsioonil f on antud funktsioonid y=sinx,y=cosx,y=tanx ja y=cotx protsessis lõplik piirväärtus, siis on ta selles protsessis tõkestatud 7. Liitfunktsioon ja pöördfunktsioon. V:Funktsiooni f nim ülalt tõkeskatud(alt tõkestatud) funktsiooniks hulgal X1 U X1 Liitfunktsioon ja selle komponendid (näide). Funktsioonide y = f(u) ja u = kui leidub selline reaalarv M(m), et iga x e X1 korral kehtib võrratus f(x) M g(x) liitfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni y=f(g(x)). Funktsioone f ja g Tõkestatud fun-fun f mis on nii alt kui ülalt tõkestatud
1. Arvtelje mõiste. Arvteljeks nimetatakse sirget, millel on valitud nullpunkt, pikkusühik ja positiivne suund. Absoluutväärtuse mõiste. Reaalarvu a absoluutväärtuseks nimetatakse järgmist mittenegatiivset reaalarvu: |a| =a kui a 0; -a kui a < 0. Reaalarvu a absoluutväärtust |a| võib tõlgendada kui punkti a ja nullpunkti vahelist kaugust arvteljel. Absoluutväärtuse omadused: 1. | - a| = |a| 2. |ab| = |a||b| 3. |a + b| |a| + |b| 4. |a - b| ||a| - |b|| Reaalarvude ja lõpmatuste ümbrused. Reaalarvu a ümbruseks nimetatakse suvalist vahemikku (a - ,a + ), kus > 0 on ümbruse raadius. Arv x kuulub arvu a ümbrusesse (a-,a+) siis ja ainult siis, kui selle arvu kaugus
1 1 0 1 1 1 1 ———————————————————————————————————————————— __ __ Seega oleneb iga liitlause tõeväärtus teda moodustavate lihtlausete tõeväärtustest ja nende sidumiseks kasutatud loogikatehetest. (M ∧ H ) ∨ (V ∧ H ) __ __ __ __
variantideks. Esimese kontrolltöö materjal hõlmab lõike 1 22 ja teise kontrolltöö materjal hõlmab lõike 23 - 45. Igas kontrolltöös on 5 küsimust. Üks küsimus viiest on valitud jämedas kirjas (bold face) olevate teemade hulgast. Vähemalt kaks küsimust viiest sisaldavad tõestusi, tuletuskäike või põhjendusi. Programm järgib otseselt õppejõu konspekti. Kontrolltöödes ei küsita konspektis esitatud näiteid ja väikeses kirjas olevaid osi. 1. Arvtelje mõiste. Reaalarvu absoluutväärtus. Loetleda absoluutväärtuse omadused. Reaalarvude ja lõpmatuste ümbrused. Tõkestatud hulga definitsioon. V: Arvtelje mõiste: arvteljeks nim. sirget, millel on valitud nullpunkt, pikkusühik ja positiivne suund. Reaalarvu absoluutväärtus: reaalarvu a absoluutväärtuseks nim. järgmist mittenegatiivset reaalarvu. Reaalarvu a absoluutväärtust a võib tõlgendada kui punkti a ja nullpunkti vahelist kaugust arvteljel. Absoluutväärtuse omadused: | - a| = |a| 2
MATEMAATILINE ANALÜÜS I § 1 REAALARVUD JA FUNKTSIOONID 1. Reaalarvu mõiste Tähistame sümboliga N kõigi naturaalarvude hulga, st N = {1, 2, 3,...} ja sümboliga Z kõigi täisarvude hulga, st Z = {...,3,2,1, 0, 1, 2, 3,...}. p Ratsionaalarvudeks nimetatakse arve kujul q , kus p ja q on täisarvud, q 0. Kõigi ratsionaalarvude hulga tähistame sümboliga Q. Ratsionaalarvudeks on parajasti need
pikkusühik ja positiivne suund. Kasutades neid kolme parameetrit, saab arvtelje punktidele seada vastavusse reaalarvud. Reaalarvu absoluutväärtus- |a| = a kui a 0 -a kui a < 0 Reaalarvu a absoluutväärtust |a| võib tõlgendada kui punkti a ja nullpunkti vahelist kaugust arvteljel. Loetleda absoluutväärtuse omadused- 1. | - a| = |a| 2. |ab| = |a| |b| 3. |a + b| |a| + |b| 4. |a - b| | |a| - |b|/ Reaalarvude ja lõpmatuste ümbrused- Reaalarvu a ümbruseks nimetatakse suvalist vahemikku (a - , a + ), kus > 0 on ümbruse raadius. Arv x kuulub arvu a ümbrusesse (a-, a+) siis ja ainult siis, kui selle arvu kaugus arvteljel on arvust a väiksem kui , st |x - a| < . Reaalarvu a vasakpoolseks ümbruseks nimetatakse suvalist poollõiku (a - , a], kus > 0. Arv x kuulub arvu a vasakpoolsesse ümbrusesse (a - , a] siis ja ainult siis, kui selle arvu kaugus arveljel on arvust a väiksem kui , st |x - a| < , ja x ei asetse a-
i , kus ( xi) = x ,kui_ = 0 i i Iga loogikafunktsioon on esitatav oma konstituentide disjunktsioonina. Loogikafunktsiooni esitamiseks kasutame loogikavalemeid. · Loogikavalem on samaselt tõene, kui iga argumentide vektori ( x1 , x2 ,..., xn ) puhul f(x1 , x2 ,..., xn )=1. Samaselt tõene valem - tautoloogia. · Loogikavalem on samaselt väär, kui iga argumentide vektori ( x1 , x2 ,..., xn ) puhul f(x1 , x2 ,..., xn )=0. · Loogikavalemid f1 ja f2 samaväärsed, kui iga argumentide vektori ( x1 , x2 ,..., xn ) puhul f1(x1 , x2 ,..., xn )= f2(x1 , x2 ,..., xn )=. · Algtermiks nimetame argumenti xi või tema inversiooni xi .
Lucas` arvud. [18]. Catalani arvud. [19]. Sündmused ja tõenäosus. Statistiline tõenäosus. Bernoulli suurte arvude seadus. [20]. Sõltuvad ja sõltumatud sündmused. Sündmuste summa ja korrutis. [21]. Täistõenäosuse valem. Bayesi reegel. [22]. Bernoulli valem (k katse õnnestumine katsete üldarvu n korral). [23]. Kord- ja algarvud. Algarvude jaotus, algarvulisuse kontroll, Eratosthenese sõel. [24]. Naturaalarvude kanooniline kuju. Suurim ühistegur ja vähim ühiskordne. [25]. Fermat teoreem. Pseudoalgarvud ja Carmichaeli arvud. [26]. Eukleidese algoritm. [27]. Lineaarsed diofantilised võrrandid. [28]. Täisarvude kongruentsid. Kongruentsi omadusi. [29]. Moodularitmeetika. [30]. Algarvulisuse Fermat` test. Miller-Rabini test. [31]. Graafid ja graafide omadused. Ahelad ja tsüklid graafis. [32]. Euleri graafid. Hamiltoni tsüklid. [33]. Puud. Puude omadused. [34]. Graafi vähima kaaluga aluspuud. [35]. Märgendatud puud. Puude esitamine arvuti mälus. [36]. Prüferi kood
1*(Normi ja kauguse def. Näidata, et reaalarvu abs.väärtus rahuldab normi ja aksioome)Normiks vektorruumis V nimetatakse reeglit, mis igale vektorile seab vastavusse skalaari , kusjuures on täidetud järgnevad tingimused: 1). 2). 1). *Kauguseks ruumis V nimetatakse reeglit, mis igale kahele selle ruumi elemendile seab vastavusse skalaari d(u,v), kusjuures on täidetud järgnevad tingimused: 1). 2). 3). *Lause: Reaalarvu absoluutväärtus rahuldab normi aksioome. Tõestus: 2*( -ümbruse definitsioon. Reaalarvu ühepoolsed ümbrused. Lõpmatuse ümbrused)Punkti - ümbrukseks nim. hulka *Reaalarvu a R korral saame U(a) = {x R|a - < x < a + }. *Reaalarvu a vasakpoolseks ümbruseks nimetatakse suvalist poollõiku (a - , a], kus > 0. *Reaalarvu a parempoolseks ümbruseks nimetatakse suvalist poollõiku [a, a + ), kus > 0. *Suuruse lõpmatus ümbruseks nimetatakse suvalist vahemikku (M , ), kus M > 0.
Tehted: Hulkade võrdsus = A on B osahulk AND B on A osahulk. Ekvivalentsiseose definitsioon ((A => B) && (B => A)) hulgas sisaldavad samu elemente. Hulga osahulk võib võrduda hulgaga. Hulga pärisosahulk ei või võrduda. Hulkade ühend C = {x | x kuulub A && x kuulub B} Hulkade lõige e ühisosa C = {x | x kuulub A OR x kuulub B} Hulkade vahe C = {x | x kuuulub A XOR x kuulub B} Hulga A täiend A* = {x | x kuulub universaalhulka AND x ei kuulu A} A x B hulkade ristkorrutis e otsekorrutis e Descartes' korrutis A x B = {(a,b) | a kuulub A, b kuulub B} Paradoksid: Russelli ehk habemeajaja paradoks (hulga esitamine predikaadi abil): P(X) = true, kui argumendina esitatud hulk pole iseenda elemendiks. P(X) = false, kui argumendina esitet hulk on iseenda elemendiks. Kontrollime hulka Y = {X | P(X)} Eeldades, et Y kuuluks hulka Y, saame P(Y) = false => Y ei kuulu hulka Y Eeldades, et Y ei kuulu hulka Y, saame P(Y) = true => Y kuulub Y
1. Kollokvium 1. Hulga mõiste. Järjestatud hulk. Tehted hulkadega. Arvuhulgad. Teoreem. Ei leidu ratsionaalarvu, mille ruut on 2 (tõestada). Tõkestatud hulgad (näide). Tõkestamata hulgad (näide). Hulk koosneb elementidest, kusjuures elemendid ei kordu ja nende järjestus ei ole kindlaks määratud. Järjestatud hulk koosneb samuti elementidest, kuid selles hulgas on iga kahe elemendi kohta võimalik öelda, kumb neist on eelnev, kumb järgnev. Tehted hulkadega: * Hulkade A ja B ühendiks ehk summaks nimetatakse hulka, mille moodustavad kõik kas
Teemad: 5. Öeldakse, et { xn} on Cauchy jada ehk fundamentaaljada, kui iga > 0 korral leidub C N, 1. Norm ja kaugus (meetrika). Ümbrused. -ümbruse definitsioon. Reaalarvu ühepoolsed et iga naturaalarvu n > C ja naturaalarvu p korral kehtib võrratus |xn+p - xn| < . ümbrused. Lõpmatuse ümbrused. Lause. Jada { xn} koondub parajasti siis, kui ta on Cauchy jada. 2. Funktsiooni mõiste. Reaalmuutuja ühene funktsioon. Määramispiirkond, muutumispiirkond. Jada kuhjumispunktiks nim. arvu, mille igas ümbruseson lõpmata palju vaadeldava jada
Leibnitz (1646-1716). Idee luua universaalne sümbolkeel, mida võib kontrolloda ka masinaga. Tegi palju matematilise loogika jaoks, kuid ei avaldanud. G. Boole (1815-64) Lausearvutus. Seda arendas A. de Morgan. (1806-1871). Gottlob Frege (1848-1925) Esimest järku predikaatarvutus. Georg Cantor (1845-1918). Hulgateooria ja paradoksid. Bertrand Russell (1872-1970). Paradoksid, tüüpide teooria Alfred Tarski (1902-1983). Objektkeel ja metakeel. Kurt Gödel (1906-1978). Mittetäielikkuse teoreem. Alan Turing (1912-1954). Universaalne programmeeritav arvuti. 4_fl_i-v L2. MÕISTEÕPETUSEST KONTEKST ja TEKST Lingvistiliselt nimetatakse kontekstiks seda lausungi osa, mis ümbritseb teatud üksust ja võib mõjutada nii selle tähendust kui grammatilist rolli. Kontekst (ik context) on kõnekeskkond, millel võib olla oma roll ütluse tähenduslikkuse määramisel.
. . . . . . . . . . . . . . . . 22 3 Funktsioonid ja jadad 25 3.1 Funktsiooni mõiste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.2 Üksühesus ja pealekujutus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.3 Liitfunktsioon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.4 Pöördfunktsioon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.5 Põhilised elementaarfunktsioonid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 SISUKORD 3.6 Elementaarfunktsioonid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.7 Jadad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Alt tõkestatud hulga suurimat alumist tõket nimetatakse selle hulga alumiseks rajaks ning tähistatakse inf X. Teoreem (pidevuse aksioom) Igal ülalt tõkestatud reaalarvude hulgal on olemas ülemine raja; igal alt tõkestatud reaalarvude hulgal on olemas alumine raja. 3. Funktsiooni mõiste. Funktsiooni määramispiirkond, muutumispiirkond, graafik. Funktsiooni põhilised esitusviisid. Liitfunktsioon, pöördfunktsioon. Paaris- ja paaritud funktsioonid. Perioodilised funktsioonid. Põhilised elementaarfunktsioonid. Elementaarfunktsioonid. Funktsioon - Kui igale arvule x X on mingi eeskirja f abil seatud vastavusse üks reaalarv y , siis öeldakse, et hulgas X on määratud funktsioon y=f(x) ja kirjutatakse y=f(x), x X Määramis ja muutumispiirkond - Hulka X nimetatakse funktsiooni määramispiirkonnaks ja hulka Y = { y | y = f ( x ) , x X } tema väärtuste hulgaks ehk muutumispiirkonnaks
19 1.4 Täieliku järjestatud korpuse ühesus. Reaalarvude definitsioon . . . . . . . . 20 1.5 Reaalarvude korpuse omadused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.5.1 n-astme juur positiivsest reaalarvust. Irratsionaalarvud . . . . . . . . 21 1.5.2 Archimedese printsiip. Ratsionaalarvude hulga tihedus . . . . . . . . 22 1.5.3 Reaalarvu absoluutväärtus. Intervallid . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.5.4 Hulga R mitteloenduvus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.5.5 Dedekindi lõiked . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.6 Võrratused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.6
Igas kontrolltöös on 5 küsimust. Üks küsimus viiest on valitud jämedas kirjas (bold face) olevate teemade hulgast. Vähemalt kaks küsimust viiest sisaldavad tõestusi, tuletuskäike või põhjendusi. Programm järgib otseselt õppejõu konspekti. Kontrolltöödes ei küsita konspektis esitatud näiteid ja väikeses kirjas olevaid osi. 1. Def. Arvteljeks nimetatakse sirget, millel on valitud nullpunkt, pikkusühik ja positiivne suund. Def. Reaalarvu a absoluutväärtuseks nimetatakse järgmist mittenegatiivset reaalarvu: Absoluutväärtuste omadused: · |-a|=|a| · |ab|=|a||b| · |a+b||a|+|b| · |a-b|| |a|-|b| | Reaalarvude ja lõpmatuste ümbrused: Def. Reaalarvu a ümbruseks nimetatakse suvalist vahemikku (a- ,a+), kus >0 on ümbruse radius. Arv x kuulub arvu a ümbrusesse (a-,a+) siis ja ainult siis, kui selle arvu kaugus arvteljel on arvust a
Igas kontrolltöös on 5 küsimust. Üks küsimus viiest on valitud jämedas kirjas (bold face) olevate teemade hulgast. Vähemalt kaks küsimust viiest sisaldavad tõestusi, tuletuskäike või põhjendusi. Programm järgib otseselt õppejõu konspekti. Kontrolltöödes ei küsita konspektis esitatud näiteid ja väikeses kirjas olevaid osi. 1. Def. Arvteljeks nimetatakse sirget, millel on valitud nullpunkt, pikkusühik ja positiivne suund. Def. Reaalarvu a absoluutväärtuseks nimetatakse järgmist mittenegatiivset reaalarvu: Absoluutväärtuste omadused: · |-a|=|a| · |ab|=|a||b| · |a+b||a|+|b| · |a-b|| |a|-|b| | Reaalarvude ja lõpmatuste ümbrused: Def. Reaalarvu a ümbruseks nimetatakse suvalist vahemikku (a- ,a+), kus >0 on ümbruse radius. Arv x kuulub arvu a ümbrusesse (a-,a+) siis ja ainult siis, kui selle arvu kaugus arvteljel on arvust a
kus on ühikmaatriks 6. Lihtsamad maatriksvõrrandid. A*X=B lahendus: X = A-1*B või X*A=B lahendus: : X = B*A-1 7. Võrrandisüsteemi kordajad, vabaliikmed, lahend. Süsteemi maatriks ja laiendatud maatriks. Lahend teostab Gaussi või Crameri meetodi abil, näiteks: 8. Süsteemi lahendamine Crameri valemitega. 9. Maatriksi miinor. Maatriksi astak. Maatriksi ridade ja veergude elementaarteisendused. Maatriksi rea juhtelement. Kronecker-Capelli teoreem Miinor - Mij nimetatakse determinandi , mille saame maatriksi A determinandist i-nda rea ja j-inda veeru eemaldamisel Igale nullmaatriksist erinevale maatriksile pannakse vastavusse sellega üheselt määratud naturaalarv maatriksi astak. Leiame maatriksi astakut maatriksi elementaarteisenduste abil. Maatriksi astak ei muutu, kui maatriksile rakendada järgmisi teisendusi (maatrikselementaarteisendused): 1. maatriksi kahe rea ( või veeru )
nullpunkt, pikkusühik ja positiivne suund. Kasutades neid kolme parameetrit, saab arvtelje punktidele seada vastavusse reaalarvud. Reaalarvu absoluutväärtus- |a| = a kui a ≥ 0 −a kui a < 0 Reaalarvu a absoluutväärtust |a| võib tõlgendada kui punkti a ja nullpunkti vahelist kaugust arvteljel. Loetleda absoluutväärtuse omadused- 1. | − a| = |a| 2. |ab| = |a| |b| 3. |a + b| ≤ |a| + |b| 4. |a − b| ≥ | |a| − |b|/ Reaalarvude ja lõpmatuste ümbrused- Reaalarvu a ümbruseks nimetatakse suvalist vahemikku (a − ε, a + ε), kus ε > 0 on ümbruse raadius. Arv x kuulub arvu a ümbrusesse (a−ε, a+ε) siis ja ainult siis, kui selle arvu kaugus arvteljel on arvust a väiksem kui ε, st |x − a| < ε. Reaalarvu a vasakpoolseks ümbruseks nimetatakse suvalist poollõiku (a − ε, a], kus ε > 0. Arv x kuulub arvu a vasakpoolsesse ümbrusesse (a − ε, a] siis ja ainult siis, kui selle arvu kaugus arveljel on arvust a väiksem
vastupidi: igale arvupaarile vastab u ¨ks ja ainult u ¨ks tasandi punkt. Matemaatikas t¨ ahistatakse tavaliselt u ¨hel ristuvatest koordinaattelgedest olevat olevat arvu x-ga ja teisel koordinaatteljel oleval arvu y-ga. Sel juhul on tegemist xy- teljestikuga ja me saame r¨a¨akiga tasandil asuva punkti x- ja y-koordinaatidest. Absoluutv¨ a¨ artuse m~ oiste. Reaalarvu a absoluutv¨a¨artuseks nimetatakse j¨arg- mist mittenegatiivset reaalarvu: { a kui a 0 |a| = -a kui a < 0 . Reaalarvu a absoluutv¨a¨artust |a| v~oib t~olgendada kui punkti a ja nullpunkti vahelist kaugust arvteljel. ¨ Uldisemalt: punktide a ja b vaheline kaugus arvteljel v~ordub arvuga |a - b|. Absoluutv¨ a¨ artuse omadused: 1
vastupidi: igale arvupaarile vastab u ¨ks ja ainult u ¨ks tasandi punkt. Matemaatikas t¨ahistatakse tavaliselt u¨hel ristuvatest koordinaattelgedest olevat olevat arvu x-ga ja teisel koordinaatteljel oleval arvu y-ga. Sel juhul on tegemist xy- teljestikuga ja me saame r¨a¨akiga tasandil asuva punkti x- ja y-koordinaatidest. Absoluutv¨ a¨ artuse m~ oiste. Reaalarvu a absoluutv¨a¨artuseks nimetatakse j¨arg- mist mittenegatiivset reaalarvu: a kui a0 |a| = -a kui a < 0. Reaalarvu a absoluutv¨a¨artust |a| v~oib t~olgendada kui punkti a ja nullpunkti vahelist kaugust arvteljel. ¨ Uldisemalt: punktide a ja b vaheline kaugus arvteljel v~ordub arvuga |a - b|. Absoluutv¨ a¨ artuse omadused: 1. | - a| = |a|
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
