Igale ruutmaatriksile saab vastavusse seada selle maatriksi determinandi. Maatriksit Kui maatriksi determinant võrdub nulliga, siis maatriks on singulaarne esitatakse tihti lühidalt niinimetatud üldelemendi aij abil: Determinant võrdub nulliga, kui A = (aij). · Kui determinandis üks rida koosneb nullidest Sellise esituse puhul eeldatakse, et maatriksi ridade ja veergude arv (ehk · Kui determinandis on kaks võrdset rida maatriksi mõõtmed) on eelnevast teada (fikseeritud). · Kui determinandis on kaks proportsionaalset rida, siis determinant võrdub nulliga.
kõik teoreemid ja omadused, kehtivad, nurka. Selleks vajatakse järgmisi järgi. Tehted: Kahemõõtmelises mis kehtivad determinantide ridade nn elementaar-teisendusi Need on: ruumi Cartesiuse kohta kehtivad ka tema veergude kohta. l"maatriksi rea (veeru) korrtumine ristkoordinaadistikus kasuatasime 2.omadus. nullist erineva teguriga a x- ja y-telje Kuid determinandis kaks rida omavahel 2'ühele reale (veerule) k –kordse suunalisi vektoreid i =1, 0_ ja j =0, ümber paigutad, siis muutub teise rea (veeru) liitmine; determinandi märk 1_. vasatupidiseks. 3' maatriksi kahe rea (veeru) Skalaarkorrutis Kahe vektori 3. omadus. ümberpaigutamine
Def3 Kujundust f, mis seob igale ruutmaatriksile A vastavusse ühe kindla reaalarvu d nimetatakse determinant kujutuseks ja mainitud arvu nimetatakse antud ruutmaatriksi determinandiks. Determinandi omadused Omadused, mis kehtivad determinandi ridade korral, kehtivad ka veergude korral. Om1 Determinandi väärtus ei muutu, kui tema read ja veerud vastavalt ümber paigutada. |A T| = |A| Om2 Kui determinandis 2 rida/veergu omavahel ümber paigutada, ülejäänud read/veerud jäävad endistele kohtadele, siis muutub determinandi väärtus vastupidiseks. Om3 Determinandi mingi rea/veeru kõigi elementide korrutist ühe ja sama arvuga, kurrutub kogu determinant selle arvuga. Om4 Kui determinandis on mingid 2 rida/veergu omavahel võrdsed/võrdelised, siis on determinandi väärtus võrdne nulliga.
4)Liitfunktsioon. Ivar Porni materjalist ,,Loeng nr 2".. 1.6 Raske on lihtsalt seletada, sealsete näidetega ehk saate aru. 5)Determinandid nende omadused Crameri valemid. Determinandi omadused. 1. Determinandi ei muutu kui tema read ja veerud vahetada. Märkus! Seega saame järeldada, et kõik omadused, mis kehtivad ridade kohta, kehtivad samuti veergude kohta. 2. Kui determinandi üks rida koosneb nullidest, siis determinant võrdub nulliga. 3. Kui determinandis on kaks võrdset (võrdelist) rida, siis determinant võrdub nulliga. 4. Kui determinandis vahetada omavahel kaks rida, siis determinandi märk muutub vastupidiseks. 5. Kui determinandi ühe rea elemente korrutada nullist erineva arvuga, siis determinant suureneb see arv korda. 6. Determinant ei muutu, kui mingile reale liita mingi arv kordne teine rida. Determinantide arvutamisel saab ka kasutada determinandi arendamist rea või veeru järgi
Lineaarkujutuse f ja g summa ja korrutamine arvuga *f. (f+g)()=f()+g(); (*f) ()=f(*) Kõik kujutused, mis rahuldavad eelpool mainitud 2. Kui determinandis 2 rida/veergu 3. Trigonomeetriline: =r*(+i*) ; Euleri valem: tingimusi nim. lineaarkujutuste vektorruumiks ja märgime L.
peajuhtumiga. Seega Crameri peajuhtumil 1) m=n, 2) |A| 0. Tähendab, Crameri peajuhul on lineaarsel võrrandisüsteemil üksainus lahend, mis avaldub valemitega x1=|A1|/|A| x2=|A2|/|A| .. xn=|An|/|A| Determinantide omadused, determinandi arendus rea (veeru) järgi Omadus 1. Transponeerimisel (ridade ja veergude ringivahetamisel) detrminant ei muutu. See omadus lubab kõiki ridadele saadud omadusi kanda üle ka veergudele. Omadus 2. Kui determinandis kaks rida (või veergu) ümber paigutada, siis muutub determinandi märk vastupidiseks. Omadus 3. Determinandi rea (või veeru) korrutamisel (jagamisel) mingi arvuga korrutub (jagub) kogu determinant selle arvuga. Selle võib sõnastada ka teisel kujul Omadus 3'. Determinandi rea (või veeru) elementide ühise teguri saab tuua determinandi märgi ette. Omadus 4. Kui determinandis on kaks rida (või veergu) omavahel võrdsed, siis determinant võrdub nulliga. Omadus 5
- 4 5 -1 2 1 2 Näide 2. . Arvutada determinant: D = = -19. Determinandi põhiomadused. 1. Determinandi väärtus ei muutu tema transponeerimisel. Märkus: kõik omadused, mis kehtivad ridade kohta, kehtivad ka veergude kohta. 2. Kui determinandi üks rida koosneb nullidest, siis determinant võrdub nulliga. 3. Kui determinandis on kaks võrdset rida, siis determinant võrdub nulliga. 4. Kui determinandis on kaks proportsionaalset rida, siis determinant võrdub nulliga. 5. Kui determinandi üks rida on esitatav teiste ridade lineaarse kombinatsioonina, siis determinant võrdub nulliga. 6. Kui determinandis vahetada omavahel kaks rida, siis determinandi märk muutub vastupidiseks. 7. Kui determinandi ühe rea elemente korrutada nullist erineva arvuga k, siis determinandi väärtus suureneb k korda.
Näide 2. . Arvutada determinant: D = -4 5 -1 = -19. 2 1 2 Determinandi põhiomadused. 1. Determinandi väärtus ei muutu tema transponeerimisel. Märkus: kõik omadused, mis kehtivad ridade kohta, kehtivad ka veergude kohta. 2. Kui determinandi üks rida koosneb nullidest, siis determinant võrdub nulliga. 3. Kui determinandis on kaks võrdset rida, siis determinant võrdub nulliga. 4. Kui determinandis on kaks proportsionaalset rida, siis determinant võrdub nulliga. 5. Kui determinandi üks rida on esitatav teiste ridade lineaarse kombinatsioonina, siis determinant võrdub nulliga. 6. Kui determinandis vahetada omavahel kaks rida, siis determinandi märk muutub vastupidiseks. 7. Kui determinandi ühe rea elemente korrutada nullist erineva arvuga k, siis determinandi väärtus suureneb k korda. 8
det(A) = det(AT). 2. Determinant on null, kui determinandi 1 rida või veerg : 1. koosneb nullidest 2. on võrdne mõne teise vastava rea või veeruga 3. on proportsionaalne mõne teise vastava rea või veeruga 4. on esitatav ülejäänud ridade/veergude lineaarkombinatsioonina (avaldub teiste skalaari kordsete väärtuste täpse summana) 3. Kui determinandis vahetada omavahel kaks rida, siis muutub determinandi märk vastupidiseks. 4. Determinanti skalaariga korrutades, korrutatakse vaid ühte rida või veergu. Samalaadselt kehtib vastupidine, kui mõni determinandi rida või veerg avaldub teatud skalaari kordsena, saab selle skalaari determinandi ette tuua. 5. Kui determinandi mingi rida või veerg avaldub elementide summana saab determinandi kirjutada 2'e determinandina. 6
(CA)T =CA T , ¿ 9) Determinandi definitsioon ja omadused. Determinant-on lin.algebra fuktsioon,mis seab igale ruutmaatriksile skalaari.2 ja 3 järgu ruutmatritsatele seatakse nende vastava elementide abil arv mis on arvutatud reegli abil- diagonaali reegel,sarruse reegel. Kõrgemate determinantide väärtused arvutatakse üldiste reeglite järgi. Determinant ei muutu, kui tema read ja veerud vastavalt ümber vahetada, Kui determinandis on kaks rida (veergu)omavahel ümber paigutada, siis muutub determinandi märk vastupidiseks, Determinandi mingi rea (veeru) kõigi elementide korrutamisel ühe ja sama teguriga kurrutub kogu determinant selle teguriga. Kui determinandis on kahe rea (veeru) elemendid omavahel võrdelised, siis võrdub determinant nulliga. Determinant, milles ühel pool peadiagonaali asuvad ainult nullid, on võrdne peadiagonaali elementide korrutisega 10) Determinantide arendusvalem (arendusteoreem).
Nt: Kolmandat järku ruutmaatriksi det arvutatakse sedasi: Nt: Kolmanda järgu puhul saab kasutada ka Sarrusi reeglit: 5. Kõrgemat järku determinantide arvutuseeskiri. · Determinandi minig rea (veeru) elementide ühise teguri võib tuua determinandi ette. St determinandi korrutamisel arvuga, korrutatakse vaid ühe rea (veeru) elemendid selle arvuga. · Kui determinandis on nullide rida (veerg), siis determinandi väärtus on null. · Kui determinandis on kaks ühesugust rida (veergu), siis on determinandi väärtus null. · Antud determinandi ja tema kahe rea (veeru) asukohtade vahetamise tulemusena saadud determinandi väärtused erinevad märgi poolest. · Kui determinandis peadiagonaalist allpool (ülalpool) asetsevad elemendid on kõik nullid, siis determinandi väärtus võrdub peadiagonaali elementide korrutisega.
2 ja 3 järgu ruutmatritsatele seatakse nende vastava elementide abil arv mis on arvutatud reegli abil- diagonaali reegel,sarruse reegel. Kõrgemate determinantide väärtused arvutatakse üldiste reeglite järgi. 12. 2 ja 3 järku determinantide kasutamine vastavate lin.võrrandite süsteemi lahendamiseks. 13. Determinantide omadused (2 järku determinantide põhjal) Determinant ei muutu, kui tema read ja veerud vastavalt ümber vahetada, Kui determinandis on kaks rida (veergu)omavahel ümber paigutada, siis muutub determinandi märk vastupidiseks, Determinandi mingi rea (veeru) kõigi elementide korrutamisel ühe ja sama teguriga kurrutub kogu determinant selle teguriga. Kui determinandis on kahe rea (veeru) elemendid omavahel võrdelised, siis võrdub determinant nulliga. Determinant, milles ühel pool peadiagonaali asuvad ainult nullid, on võrdne peadiagonaali elementide korrutisega 14
Mata eksami kordamisküsimused 1. Determenandi põhiomadused. Alam D ja minoor. Crameri meetodil võrrandsüsteemi lahendamine · Determinant ei muutu, kui tema read ja veerud ümber paigutada. See omadus väljendab determinantideridade ja veergude samaväärsust. · Kui determinandis kaks rida omavahel ümber paigutada, siis muutub determinandi märk vastupidiseks. · Determinandi mingi rea kõigi elementide korrutamisel ühe ja sama teguriga korrutub kogu determinant selle teguriga. See omadus võimaldab D-i rea või veeru elementide ühist tegurit D-i märgi ette tuua, mis harilikult lihtsab tunduvalt arvutusi. · Kui D-s on kaks rida omavahel võrdsad, siis D võrdub nulliga. Seega on eelmise omaduse tõttu
Summat tähistatkse veel ja seda nimetatakse ka n-ndat järku determinandiks. 3. Determinantide 10 omadust. Omadus 1. Maatriksite A ja AT determinantide väärtused langevad kokku, s.t. determinandi D väärtus ei muutu, kui tema read paigutada vastavateks veergudeks ja vastupidi. Omadus 2.Kui determinandil D = det A vahetada omavahel kaks rida (või veergu), siis saadud determinandi väärtus on D (determinant muudab märki). Omadus 3. Kui determinandis kaks rida (või veergu) langevad omavahel kokku, siis selle determinandi väärtus võrdub nulliga. Omadus 4. Determinandi mis tahes rea (või veeru) arvudest võib ühise teguri tuua tegurina determinandi märgi ette. Omadus 5. Kui determinandi D mingi rea, näiteks k-nda rea arvud avalduvad kahe liidetava summana siis determinant D avaldub kahe determinandi summana. Omadus 6. Determinandi väärtus ei muutu, kui tema mingi rea arvudele liita mingi arvu kordsed teise rea arvud. Omadus 7
an1 an 2 K ann a1n a2 n K ann See omadus ütleb, et determinandi iga ridade puhul kehtiva omaduse jaoks saab sõnastada analoogse omaduse veergude jaoks. Omadus 2. Kui determinandil D = det A vahetada omavahel kaks rida (või veergu), siis saadud determinandi väärtus on D (determinant muudab märki). Selle omaduse tõestuses kasutatakse lemmat 3 (§ 1). Omadus 3. Kui determinandis kaks rida (või veergu) langevad omavahel kokku, siis selle determinandi väärtus võrdub nulliga. Tõestus. Langegu determinandis D kaks rida omavahel kokku. Nende ridade vahetamisel ühelt poolt determinandi D väärtus ei muutu, teiselt poolt aga omaduse 2 põhjal muutub tema märk vastupidiseks. Seega D = - D , 2 D = 0 ja D = 0 . Omadused 4 ja 5 järelduvad summa märgi omadustest. Omadus 4
a13 a22 a31 a11 a23 a32 a12 a21 a33 . MÄRKUS. Determinandi mõiste võimaldab lahendada küsimust maatriksi A rea-(veeru)vektorite lineaarsest sõltuvusest (|A| = 0 ) või sõltumatusest (|A | 0). 11 DETERMINANTIDE OMADUSI LAUSE 1. Maatriksi transponeerimisel determinant ei muutu. JÄRELDUS 1. Determinandi read ja veerud on samaväärsed. LAUSE 2. Kui paigutada determinandis ümber kaks rida (veergu), siis muutub determinandi märk vastupidiseks. LAUSE 3. Determinandi mingi rea (veeru) korrutamisel mingi arvuga, korrutub kogu determinant selle arvuga. JÄRELDUS 2. Kui determinant sisaldab nullidest koosnevat rida (veergu), siis võrdub see determinant nulliga. LAUSE 4. Kui determinandi kaks rida (veergu) on omavahel võrdsed, siis võrdub determinant nulliga. LAUSE 5. Kui determinandi mingi rea (veeru) iga element kujutab endast
a13 a22 a31 a11 a23 a32 a12 a21 a33 . MÄRKUS. Determinandi mõiste võimaldab lahendada küsimust maatriksi A rea-(veeru)vektorite lineaarsest sõltuvusest (|A| = 0 ) või sõltumatusest (|A | 0). 11 DETERMINANTIDE OMADUSI LAUSE 1. Maatriksi transponeerimisel determinant ei muutu. JÄRELDUS 1. Determinandi read ja veerud on samaväärsed. LAUSE 2. Kui paigutada determinandis ümber kaks rida (veergu), siis muutub determinandi märk vastupidiseks. LAUSE 3. Determinandi mingi rea (veeru) korrutamisel mingi arvuga, korrutub kogu determinant selle arvuga. JÄRELDUS 2. Kui determinant sisaldab nullidest koosnevat rida (veergu), siis võrdub see determinant nulliga. LAUSE 4. Kui determinandi kaks rida (veergu) on omavahel võrdsed, siis võrdub determinant nulliga. LAUSE 5. Kui determinandi mingi rea (veeru) iga element kujutab endast
3. determinandi ühele reale (veerule) võib liita nullist erineva arvuga korrutatud teine rida (veerg). st, determinandi väärtus ei muutu, kui ühele reale (veerule) liita nullist erineva arvuga korrutatud mingi rida (veerg). 4. determinandi rea elemendid ja veeru elemendid võib ära vahetada. st, ruutmaatriksi ja tema transponeeritud maatriksi determinantide väärtused on võrdsed. 5. kui determinandis on nullide rida (veerg), siis determinandi väärtus on null. 6. Kui determinandis on kaks ühesugust rida (veergu), siis on determinandi väärtus null. 7. kui determinandis peadiagonaalist allpool (ülalpool) asetsevad elemendid on kõik nullid, siis determinandi väärtus võrdub peadiagonaali elementide korrutisega. põhimõte sama: mistahes determinandi D väärtus on võrdne tema ridade elementide ja nende alamdeterminantide korrutiste summaga. 6
Omadus 1. Maatriksi transponeerimisel determinant ei muutu, s.t. det AT = det A . See omadus võimaldab sõnastada ja tõestada järgmised omadused ainult ridade jaoks (veergude jaoks need teoreemid kehtivad samuti). Omadus 2. Determinandi mistahes rea (veeru) elementidest võib ühise teguri tuua tegurina determinandi märgi ette. Tõestus. Järeldus. Kui determinandi mingi reas (veerus) on ainult nullid, siis on determinant null. Tõestus: võtame omaduses 2 0. Omadus 3. Kui determinandis kaks rida (veergu) omavahel ümberpaigutada, siis determinandi märk muutub vastupidiseks. 1 2 3 4 3 4 1 2 Näide: 2 3 4 1 2 3 4 1 3 4 1 2 1 2 3 4 4 1 2 3 4 1 2 3 Omadus 4
Determinant võrdub nulliga, kui determinandi kahe rea (veeru) vastavad elemendid on võrdelised. a b a b k 0 ka kb a b Kui determinandi ühe rea (veeru) kõik elemendid on nullid, siis on determinant võrdne nulliga. a b a 0 0b 0 0 0 Kui determinandis asuvad ühel pool peadiagonaali vaid nullid, siis on determinant võrdne peadiagonaali elementide korrutisega. Kui ühel pool kõrvaldiagonaali on vaid nullid, siis on determinandi väärtus võrdne kõrvaldiagonaali elementide korrutise vastandarvuga. 5
Determinant võrdub nulliga, kui determinandi kahe rea (veeru) vastavad elemendid on võrdelised. a b a b k 0 ka kb a b Kui determinandi ühe rea (veeru) kõik elemendid on nullid, siis on determinant võrdne nulliga. a b a 0 0b 0 0 0 Kui determinandis asuvad ühel pool peadiagonaali vaid nullid, siis on determinant võrdne peadiagonaali elementide korrutisega. Kui ühel pool kõrvaldiagonaali on vaid nullid, siis on determinandi väärtus võrdne kõrvaldiagonaali elementide korrutise vastandarvuga. 5
t. |A| = |AT|. 2. Maatriksi kahe rea (veeru) äravahetamisel muudab maatriksi determinant märgi. 3. Kui maatriksis mingit rida (veergu) korrutada mistahes arvuga, siis maatriksi determinant korrutub sama arvuga. 4. Kui maatriksi mingile reale (veerule) liita mistahes arvuga korrutatud mistahes teine rida (veerg), siis uue maatriksi determinant on võrdne esialgse maatriksi determinandiga. 5. Kui determinandis on kaks ¨uhesugust rida (veergu), siis on determinant null. 6 Pöördmaatriks Olgu A n-järku maatriks. Maatriksi A pöördmaatriksiks nimetatakse sellist n-järku maatriksit B, mis rahuldab tingimust AB = E = BA, kus E on n-järku ühikmaatriks. Kui maatriksi A pöördmaatriks eksisteerib, siis pöördmaatriksit tähistame A-1. Regulaarne maatriks Me nimetame n-järku maatriksit A regulaarseks (singulaarseks), kui |A| 6= 0 (|A| = 0)
determinantide kohta. 1. omadus : determinant ei muutu, kui read ja veerud omavahel ümber paigutada. (determinandi väärtus ei muutu transponeerimisel det A = det AT). Näide 1: 2 5 2 -3 Antud : = 8 + 15 = 23; Transponeerime : = 8 + 15 = 23 . -3 4 5 4 2. omadus: kui determinandis vahetada oma vahel kaks rida (veergu), siis determinandi märk muutub vastupidiseks. Näide 2 : 2 5 Antud : = 8 + 15 = 23; -3 4 5 2 Vahetame veerud : = -15 - 8 = -23; 4 -3 -3 4 Vahetame read = -15 - 8 = -23 . 2 5 3.omadus: determinant, millel kaks rida (veergu) on võrdsed oma vahel, võrdub nulliga. Näide 3 : 2 2
1. omadus : determinant ei muutu, kui read ja veerud omavahel ümber paigutada. (determinandi väärtus ei muutu transponeerimisel det A = det AT). Näide 1: 2 5 2 -3 Antud : = 8 +15 = 23; Transponeerime : = 8 +15 = 23 . -3 4 5 4 2. omadus: kui determinandis vahetada oma vahel kaks rida (veergu), siis determinandi märk muutub vastupidiseks. Näide 2 : 2 5 Antud : = 8 +15 = 23; -3 4 5 2 Vahetame veerud : = -15 -8 = -23; 4 -3 -3 4 Vahetame read = -15 -8 = -23 . 2 5 3
Maatriksi kahe rea(veeru) äravahetamisel muudab maatriksi determinant märgi Kui maatriksis mingit rida või veergu korrutada mitahes arvuga, siis maatriksi determinant korrutub sama arvuga Kui maatriksi mingile reale või veerule liita mitahes arvuga korrutatatud mistahes teine rida või veerg, siis uue maatriksi determinant on võrdne esialgse maatriksi determinandiga Kui determinandis on kaks ühesugust rida või veerdu, siis on determinant null 53.Pöördmaatriks-Olgu A n-järku maatriks. Maatriksi A pöördmaatriksiks nimetatakse sellist n-järku maatriksit B, mis rahuldab tingimuse AB=E=BA, kus E on n-järku ühikmaatriks. Pöördmaatriks leidub parajasti siis, kui ta on regulaarne. Tähitatakse A−1 . Arvutamine T 1 A 11 A 12 A−1= (
(0not known, 1male, 2female, 9not applicable) Teema 9 • Mis on kasutusjuhtude mudelis uldise kokkuvotva kasutusjuhu tapsemate teemadega kasutusjuhtudega asendamise analoog andmebaaside maailmas? (taiendav normaliseerimine) • Normaliseerimine. Atribuutide hulkade vaheliste soltuvuste tuubid Funktsionaalne soltuvus ̃ A=>B kus A on determinant. Funktsionaalne sõltuvus on triviaalne, kui üks determinandis sisaldub juba B. nt {B, A}=>B. Multivaartuslik soltuvus ̈ A=>=>B, kus on kolm atribuutide gruppi A, B ja C ning igale AC väärtusele vastab B, mis sõltub Ast, aga mitte Cst. Ühendamissoltuvus kui relvari atribuutide hulkade R1…Rn projektsioonid saab ̃ taasühendada ja saada esialgse relvari. Ühendamissõltuvus on triviaalne, kui üks atribuutide hulkadest ongi terve relvar.
Kontrolli, kas selliselt arvutades saad eelmises näites antud determinantide determinant võrdne nulliga. korral samad tulemused kui Sarruse reegli järgi arvutades. a b = a·0 0·b = 0. 0 0 1 Sarrus, Pierre Frédéric (1798 -- 1861) -- prantsuse matemaatik. 7. Kui determinandis asuvad ühel pool peadiagonaali vaid nullid, siis on b) kolmerealiste determinantide korral; determinant võrdne peadiagonaali elementide korrutisega. Kui ühel 8. Kui determinandi mõne rea (veeru) elemendid esinevad kahe liidetava pool kõrvaldiagonaali on vaid nullid, siis on determinandi väärtus summana, siis ka determinant avaldub kahe determinandi summana, võrdne kõrvaldiagonaali elementide korrutise vastandarvuga
duste abil. Enne aga defineerime kolmnurkse determinandi. 3.1 Kolmnurkne determinant ¨ Utleme, et determinant on kolmnurksel kujul ehk kolmnurkne, kui tema peadiagonaalist allpool (¨ ulalpool) asetsevad elemendid on nullid. 3.2 Determinantide omadusi Teoreem 2. Determinantidel on j¨ argmised omadused. 1) Kolmnurkne determinant v~ ordub peadiagonaali elementide korrutisega. 2) Kui determinandis on kaks u ¨hesugust rida (veergu), siis on determinant null. 3) Determinant ei muutu, kui tema read kirjutada u ¨mber veer- gudena (loomulikus j¨ arjestuses). 4) Vahetame determinandis kaks rida (veergu). Tulemus v~ ordub esialgse determinandi vastandarvuga. 6 I. Determinandid 5) Korrutame determinandi mingit rida (veergu) arvuga. Tule-
t. X Mat(n, n) => | X |=| XT | 2) maatriksi kahe rea (veeru) äravahetamisel muudab maatriksi determinant märki. 3) Kui maatriksi kaks rida (veergu) on võrdsed, siis maatriksi determinant on 0 4) Kui maatriksi mingit rida (veergu) korrutada mistahes arvuga, siis maatriksi determinant korrutub sama arvuga 5) Kui maatriksi mingile reale (veerule) liita mistahes arvuga korrutatud mistahes teine rida (veerg), siis uue maatriksi determinant on võrdne esialgse maatriksi determinandiga. 6)Kui determinandis on kaks proportsionaalset rida, siis determinant võrdub nulliga. 7) Kolmnurksete maatriksite X1 ,X2 ,X3 ja X4 korral |X1|=|X2| = x11x22...xnn |X3|=|X4|= x1nx2,n-1...xn1 MIINOR: *Determinanti xi1 j1 x i1 j 2 ... xi1 jn x 2 j1 xi 2 j 2 ... xi 2 jn Mm := nimetame maatriksi m-järku miinoriks ... ... ... ...
annaabi.ee 
