2. ALGEBRA 2.1 Astmed Astmeks a n nimetatakse korrutist, mille kõik tegurid on võrdsed arvuga a (astme alus) ja tegurite arv on n (astendaja): a n = a14 a2K43 a n , 1, n tegurit kus 1 on naturaalarvude hulk alates arvust 1: 1 = { 1; 2; 3; 4; ...} . Astendaja 0 defineeritakse võrdusega a 0 = 1 , milles a 0 . Negatiivse astendaja korral sisaldab astendamine ka jagamise: 1 a - n = n , kui a 0 ja n või kui a > 0 ja n , a kus on täisarvude hulk ja on ratsionaalarvude hulk: a = { ±1; ± 2; ± 3; ...} , = , kus a , b ja b 0 .
...........102 kas matemaatika on raske? .............. 30 Ilusaim valem matemaatikas .......................108 Pähe õppida ei õnnestu .................................30 arvu aste ............................................ 110 Matemaatikal on oma keel ............................31 Juurimine kui astendamise vastandtehe ...... 111 Matemaatikat on keeruline õpetada ..............32 Ratsionaalarvuline astendaja ....................... 113 Matemaatika vajab aega ...............................32 Negatiivne astendaja ................................... 114 innustuseks . ................................. 34 Astendaja null .............................................. 114 Irratsionaalarvuline aste .............................. 115
YMM3731 Matemaatiline analu¨u¨s I 2007/08 ~o.-a. su¨gissemestril 3,5 AP 4 2-0-2 E S Dots. Lembit Pallas TTU¨ Matemaatikainstituut V-404, tel. 6203056 e-post: [email protected] K¨asitletavad teemad on toodud punktide kaupa. Neid punkte tuleb vaadelda ka kui kollokviumide ja eksami teooriak¨ usimusi. 1. Funktsiooni m~oiste ja esitusviisid 2. Funktsioonide liigitamine (paaris- ja paaritud funktsioonid, perioodilised funktsioo- nid, kasvavad ja kahanevad funktsioonid) 3. P¨o¨ordfunktsioon 4. Liitfunktsioon 5. Jada piirv¨aa¨rtus 6. Funktsiooni piirv¨aa¨rtus ¨ 7. Uhepoolsed piirv¨aa¨rtused 8. L~opmatult kasvavad ja l~opmatult kahanevad suurused 9. Piirv¨a¨artusteoreemid 10. L~opmatult kahanevate suuruste v~ordlemine 11. Funktsiooni pidevuse m~oiste. Tarvilik ja piisav tingimus funktsiooni pidevuseks 12. Elementaarfunktsioonide pidevus 13. L~oigul
· (A · B) = (A) · B = A · (B), iga R korral T T T (A · B) = B ·A . 10 1.5. Kõrgemat järku determinant 1.4 Teist ja kolmandat järku determinant Definitsioon 1.10 Teist järku determinandiks nimetatakse avaldist a c = a · d - c · b. b d Toodud tabelit tuleb mõista avaldisena, mis saadakse, korrutades tabe- li peadiagonaalil seisvad arvud a ja d ning lahutades tulemusest kõrval- diagonaalil seisvate arvude b ja c korrutise. Definitsioon 1.11 Kolmandat järku determinandiks nimetatakse avaldist a1 b1 c1
1 4 Sama süntaksi abil saame lisada veel tingimusi, kuid siis on soovitav kasutada sulgusid. Lisame näiteks moderaatori kontrolli. ? 1 4 SWITCH Juhul kui if lauseid hakkab tekkima rohkem, tasuks mõelda switch tingimuslausele. See kontrollib etteantud avaldist ja väljastab lause kui leiab vaste. Kui vastet ei leita antakse vaikimisi lause. Näiteks kontrollime samamoodi kasutajaid nagu enne - kas on tegemist adminiga, modega või külalisega. ? 1 2 10 Sama asja peaks saama ka võrdlus- ja loogikaoperaatoritega ? 1 <
Brooksi teoreem (tõestuseta). [43]. Tasandilise lihtgraafi värvimine 6 ja 5 värviga. Neljavärviprobleem ja kaartide värvimine. I. OSA [1]. Hulgad. Alam- ja ülemhulgad. Tehted hulkadega. Hulk on koosvaadeldavate objektide kogum. *Eristatakse kaht erinvat hulgateooriat: Naiivne hulgateooria- Naiivses hulgateoorias puudub kindel tugev aksiomaatika, ent ta on piisavalt efektiivne väga paljude lihtsamate vajaduste rahuldamiseks. Sageli õpetatakse matemaatikas esmalt naiivset hulgateooriat, kuna ta võimaldab inimesel paremini mõista hulga kontseptsiooni ning seda, miks aksioomid vajalikud on. Ka meie kasutasime kursuse raames naiivset hulgateooriat. Loojaks loetakse George Cantorit(19.saj.) Aksiomaatiline hulgateooria- Kuna on teada, et naiivne hulgateooria jookseb väga paljudel juhtudel ummikusse (nt. Russeli ,,habemeajaja" paradoks), hakati alates 1908. hulgateooriat palju normeerima, mille tulemusel tekkiski aksiomaatiline hulgateooria.
x; kordajad a,b,c; ruutliige ax ; lineaarliige kordajad a=2 b=5 c=7 bx; vabaliige c 2 liikmed: ruutliige 2x ; lineaarliige 5x; vabaliige 7 Leida antud arvuhulgast NB ruutvõrrand võib olla normaalkujuline, täielik, mittetäielik, taandamata, taandatud lahendeid.2 võrrand x -x-12=0 asendada antud arv võrrandi vasakusse poolde ja kontrollida, kas V=0, sest P=0 2 V=0 -0-12=-12 arv 0 ei ole lahend 2 V=0,2 -0,2-12=-12,16 arv 0,2 ei ole
X=R ja Y = {C}. Graafik on selline: 6 y C x Joonis 1.2: konstantne funktsioon y = C Astmefunktsioon on funktsioon j¨argmisel kujul y = xa , kus a on nullist erinev konstantne astendaja. Selle funktsiooni m¨a¨aramispiirkond, v¨a¨artuste hulk ja graafik s~oltuvad oluliselt astmest a. M¨ a¨aramispiirkond on j¨ argmine. a) a = p/q, kus p, q Z ja q on paaritu. Selle juhu alla kuuluvad n¨ aiteks k~ oik t¨ aisarvuliste
( ) = Avaldises 5x2 on x muutuja ning 5 kordaja ehk koefitsient. Avaldist 5x2 nimetatakse üksliikmeks. Üksliige sisaldab kordajat ja üht või mitut muutujat (näiteks 23x; 105x2y5; 25 3 ). Üksliikmete liitmisel ja lahutamisel saame hulkliikme ehk polünoomi (näiteks 4x3+5x2-2x+10; 15x4-3x2+2x-3; x4+1). Polünoomiks ehk hulkliikmeks nimetatakse järgmist avaldist: + - - + + + Hulkiikme ühesuguseid liikmeid võib liita ja lahutada, liites või lahutades nende liikmete ees olevaid kordajaid. 4 5 + 9 5 = 13 5 12 - 3 = 9 3 3 + 5 2 + 2 + 4 3 + 7 = 7 3 + 5 2 + 9 Korrutamisel ja jagamisel vastavalt korrutatakse või jagatakse nii kordajaid kui muutujaid. 15 4 3 6 4 2 5 3 2
X=R ja Y = {C}. Graafik on selline: 6 y C x Joonis 1.2: konstantne funktsioon y = C Astmefunktsioon on funktsioon j¨argmisel kujul y = xa , kus a on nullist erinev konstantne astendaja. Selle funktsiooni m¨a¨aramispiirkond, v¨a¨artuste hulk ja graafik s~oltuvad oluliselt astmest a. M¨ a¨aramispiirkond on j¨ argmine. a) a = p/q, kus p, q Z ja q on paaritu. Selle juhu alla kuuluvad n¨ aiteks k~ oik t¨ aisarvuliste
Sisukord Eessõna Hea õpilane! Microsofti arenduspartnerid ja kliendid otsivad pidevalt noori ja andekaid koodimeistreid, kes oskavad arendada tarkvara laialt levinud .NET platvormil. Kui Sulle meeldib programmeerida, siis usun, et saame Sulle pakkuda vajalikku ja huvitavat õppematerjali. Järgneva praktilise ja kasuliku õppematerjali on loonud tunnustatud professionaalid. Siit leid uusimat infot nii .NET aluste kohta kui ka juhiseid veebirakenduste loomiseks. Teadmiste paremaks omandamiseks on allpool palju praktilisi näiteid ja ülesandeid. Ühtlasi on sellest aastast kõigile kättesaadavad ka videojuhendid, mis teevad õppetöö palju põnevamaks. Oleme kogu õppe välja töötanud vabavaraliste Microsoft Visual Studio ja SQL Server Express versioonide baasil. Need tööriistad on mõeldud spetsiaalselt õpilastele ja asjaarmastajatele Microsofti platvormiga tutvumiseks. Kellel on huvi professionaalsete tööriistade proovimiseks, siis tasub lähemalt tutvuda õppuritele
KORDAMISKÜSIMUSED 2015/2016 Kõrgem matemaatika MTMM. 00.145 (6EAP) 1. Maatriksi mõiste, järk, tähistused, liigid. Maatriks on ristkülikukujuline arvude tabel, milles on m-rida ja n-veergu ja mis on ümbritsetud ümarsulgudega. Maatriksit tähistatakse suure tähega. Kui aij on reaalarvud ning i = 1; 2;...;m ja j = 1; 2;...; n, siis tabelit: nimetatakse täpsemalt (m x n)-maatriksiks ja kasutatakse tähistusi Am x n või Amn. Arvupaari (m; n) nimetatakse maatriksi A mõõtmeteks. Tabelis paiknevaid arve aij nimetatakse maatriksi elementideks. i reaindeks; j veeruindeks. reamaatriks (1 x n); veerumaatriks (m x 1); ruutmaatriks m = n Tähistused:
Astmeks a n nimetatakse korrutist, mille kõik tegurid on võrdsed arvuga a (astme alus) ja tegurite arv on n (astendaja): a n a14 a2K43 a n ¥ , 1, n tegurit kus ¥ 1 on naturaalarvude hulk alates arvust 1: ¥ 1 1; 2; 3; 4; ... . Astendaja 0 defineeritakse võrdusega a 0 1 , milles a 0 . Negatiivse astendaja korral sisaldab astendamine ka jagamise: 1 a n n , kui a 0 ja n ¢ või kui a 0 ja n ¤ , a kus ¢ on täisarvude hulk ja ¤ on ratsionaalarvude hulk: a ¢ 1; 2; 3; ..
59. LVS-i maatriks - maatriks A a11 a 12 … a1 n A= a21 a 22 … a2 n am 1 am 2 … amn ' 60.laiendatud maatriks- maatriks A a11 a12 … a1 n a1 A= a21 a22 … . a2 n a2 am 1 am 2 … amn an 61.LVS-i üldlahend – Kõigi lahendite komplekt x 1=α 1 ; x 1=α 1 Kus α1 sisaldab kõiki x 1 lahendeid 62.LVS- erilahend – ühe konkreetse lahendi komplekti x 1=γ 1 ; x i=γ i kus γ i ∈ R 63.Elementaarteisendused – Ühe võrrandi läbi korrutamine mistahes nullist erineva reaalarvuga Ühele võrrandile mistahes reaalarvuga läbikorrutatud teise võrrandi liitmine 64.Lahenduv LVS- LVS-il leidub vähemalt üks lahend 65.vastuoluline LVS – LVS-il puuduvad lahendid 66.Gaussi meetod – LVS-i üldlahendi leidmine
on nullid Võrrandisüsteem on mittehomogeenne, kui vähemalt üks vabaliige erineb nullist Vastuoluliseks nim süsteemi, millel lahend puudub Võrrandisüsteemi lahend on tundmatute väärtuste kogum , mis süsteemi asetatuna muudab kõik võrrandid samasusteks Olenevalt võrrandite ja tundmatute arvust ning kordajatest võib lineaarvõrrandisüsteem omada üheainsa lahendi, rohkem lahendeid või mitte ühtki lahendit. 10. lvs lahendamine crameri peajuhul Vaatleme lineaarvõrrandisüsteemi, milles võrrandeid ja tundmatuid ühepalju m = n Moodustame võrrandisüsteemi kordajatest n-järku determinandi Determinanti D nim võrrandisüsteemi determinandiks Eeldame, et . Def Crameri peajuhu määravad tingimused ja m = n (2) Crameri valemid võrrandisüsteemi (1) lahendamiseks 2
Olgu y = arcsin x , pöördfunktsioon on x = sin y ( arcsin x ) = 1 = 1 ( sin y ) y cos y cos y = 1 - sin 2 y = 1 - x 2 ( arcsin x ) = 1 2 1- x Diferentsiaal ja muut, erinevus, sarnasus Kui funktsioonil y=f(x) on punktis x lõplik tuletis y'=f'(x), siis on funktsiooni muut f, mis vastab argumendi muudule x, esitatav kujul y=f'(x)x+(x), ja vastupidi. Avaldist f'(x)x nim funktsiooni y=f(x) diferentsiaaliks ja tähistatakse sümboliga df=f'(x)x. on lõpmata väike arv. Seega on funktsiooni diferentsiaal funktsiooni muudu osa, mis on lineaarne argumendi muudu suhtes ja erineb funktsiooni muudust suuruse võrra, mis on kõrgemat järku lõpmatult kahanev suurus muudu suhtes. Geomeetriliselt kujutab diferentsiaal funktsiooni graafiku puutuja ordinaadi muutu. Et argumendi diferentsiaal võrdub argumendi muuduga s.o dx=x, ja funktsiooni diferentsiaal
statsionaarne punkt või punkte, mis rahuldavad lisatingimust ja kus funktsioonide f ja J osatuletised ei ole pidevad Tingliku kriitilise Funktsiooni f(x,y,...) tingliku ekstreemumi leidmiseks lisatingimusel g(x,y, punkti leidmine ...)=0 Lagrange'i kordajate meetodil moodustame Lagrange'i funktsiooni (x,y,...,)=f(x,y,...)+g(x,y,...), kus on mingi kordaja, ja lahendame süsteemi x=0, y=0, ..., =g(x,y,...)=0 Funktsiooni tuletis Olgu u=(,) ühikvektor. Funktsiooni f(x,y) tuletiseks punktis (a,b) suunas u antud suunas nimetatakse suurust Duf(a,b) ¿ fx ( a , b )+ fy ( a , b ) Gradient du du du Gradiendiks nimetatakse vektorit u= i+ j+ k
x +3 3x - 3 x+2 FUNKTSIOONI PIIRVÄÄRTUSE ARVUTAMINE Tülikas ja aeganõudev on funktsiooni piirväärtust leida, arvutades funktsiooni väärtusi selle koha ümbruses. Piirväärtuse arvutamiseks kasutatakse tavaliselt funktsiooni piirväärtuse omadusi ning mitmesuguseid avaldiste lihtsustamise võtteid. Need on ühise teguri sulgude ette toomine, summa ja vahe ruutude ning kuupide abivalemeid, ruutkolmliikme teisendamine korrutiseks, taandamine jne. Funktsiooni piirväärtuse arvutamisel on kasulik tunda piirväärtuse omadusi. Olgu f(x) ja g(x) pidevad funktsioonid ning c konstant. Kehtivad järgmised omadused: · lim[ f ( x) ± g ( x)] = lim f ( x) ± lim g ( x) xa xa xa · lim[ f ( x) g ( x)] = lim f ( x) lim g ( x) xa x a xa f ( x ) lim f ( x) · lim = x a , kui lim g ( x) 0
10.klass a1 b1 c1 1. Reaalarvude piirkonnad kui D = 0; D x = 0; D y = 0, siis = = a 2 b2 c 2 2. Astme mõiste üldistamine a m a n = a m +n c)pole lahendeid a1 b1 c a m : a n = a m -n , kui m > n kui D = 0; D x 0; D y 0, siis = 1 a 2 b2 c 2 ( a b) n = a n b n n 12. Ruutvõrrandi süsteemid a an 13
….. 11 3. ALGEBRA …………………………………………………….……. 12 3.1 Astmed ……………………………………………………………… 12 3.2 Juured ………………………………………………………………. 14 3.3 Näited astendamisest ja juurimisest ………………………………… 15 3.4 Korrutamise abivalemid …………………………………………….. 17 3.5 Hulkliikme lahutamine teguriteks …………………………………... 17 3.6 Näited algebraliste avaldiste teisendamisest ………………………… 18 3.7 Lineaarvõrrand ……………………………………………………… 22 3.8 Ruutvõrrand ……………………………………………………...… 23 3.9 Ruutkolmliikme teguriteks lahutamine …………………………….. 23 3.10 Näiteid lineaarvõrrandite ja ruutvõrrandite lahendamisest ning
1.Sidemereaktsiooniks (toereaktsiooniks) nimetatakse jõudu, millega side takistab keha liikumist. Üldjuhul toereaktsiooni suurus ja suund on tundmatu enne ülesanne lahendamist ning neid avastatakse lahendusega. 2.Milliste parameetritega iseloomustatakse jõudu? Jõud on vektoriaalne suurus, teda iseloomustatakse arvväärtuse, rakenduspunkti ja suunaga. 3. Tasapinnaline jõusüsteem ja selle tasakaaluks vajalikud tingimused.Tasapinnaliseks jõusüsteemiks nimetatakse jõusüsteemi, mille jõud asetsevad ühes tasapinnas. Ühes punktis lõikuvate mõjusirgetega jõudude süsteemi nimetatakse koonduvaks jõusüsteemiks. Kui kehale mõjub mitu jõudu siis võib alati leida nende jõudude resultandi. 1.Tasapinnalise jõusüsteemi tasakaaluks on vajalik ja piisav, et kõikide jõudude projektsioonide algebralised summad kahel koordinaatteljel ja kõikide jõudude momentide algebraline summa suvalise punkti suhtes võrduksid nulliga. 2. Tasapi
Ülesanne 3 Tabelid Sisukord Rakendus "Puidu müük". Ülesande püstitus Puidu müük. Variandid Töötajad. Uldine nimekiri Rakendus "Puidu müük". Puidu hinnad Rakendus "Funktsiooni uurimine".Ülesande püstitus Funktsioonide variandid Karakteristikute variandid Rakendus "Detail III". Ülesande püstitus Variandid Hinnad Tööötajad Rakendus "Puidu müük". Ülesande püstitus Koostada rakendus, mis võimaldab teha puidu müümise arvestust. Rakenduse andmemudel on toodud skeemil. Rakenduses kasutada nimesid!!! Müüjate andmed eraldada eraldi töölehele tabelisse M_töötajad vastavalt variandile (kolm valda) tabelist Töötajad, kasutades arendatud filtrit. Eraldada skeemil näidatud väljad toodud järjekorras. Sorteerida tabel kahe tunnuse: vald ja nimi, järgi . Tabel P_müügid luua List-objektina (Table-objekt 2007-s) Müüjate nimede ning puidu liikide ja sortide valimiseks kasutada valideerimist. Vald leida müüja nime
Ülesanne 3 Tabelid Tallinna Tehnikaülikool Informaatikainstituut Töö Üliõpilane Õppemärkmik Õppejõud Õpperühm kaülikool instituut Õppemärkmik xxxx92 Õpperühm Sisukord Rakendus "Puidu müük". Ülesande püstitus Puidu müük. Variandid Töötajad. Uldine nimekiri Rakendus "Puidu müük". Puidu hinnad Rakendus "Funktsiooni uurimine".Ülesande püstitus Funktsioonide variandid Karakteristikute variandid Rakendus "Detail III". Ülesande püstitus Variandid Hinnad Tööötajad Rakendus "Puidu müük". Ülesande püstitus Koostada rakendus, mis võimaldab teha puidu müümise arvestust. Rakenduse andmemudel on toodud skeemil. Rakenduses kasutada nimesid!!! Müüjate andmed eraldada eraldi töölehele tabelisse M_töötajad vastavalt variandile (kolm valda) tabelist Töötajad, kasutades arendatud filtrit. Era
Ülesanne 3 Tallinna Tehnikaülikool Informaatikainstituut Töö Tabelid Üliõpilane õppemärkmik Õppejõud Ahti Lohk õpperühm aülikool stituut Tabelid õppemärkmik õpperühm Sisukord Rakendus "Puidu müük". Ülesande püstitus Puidu müük. Variandid Töötajad. Uldine nimekiri Rakendus "Puidu müük". Puidu hinnad Rakendus "Funktsiooni uurimine".Ülesande püstitus Funktsioonide variandid Karakteristikute variandid Rakendus "Detail III". Ülesande püstitus Variandid Hinnad Tööötajad Rakendus "Puidu müük". Ülesande püstitus Koostada rakendus, mis võimaldab teha puidu müümise arvestust. Rakenduse andmemudel on toodud skeemil. Rakenduses kasutada nimesid!!! Müüjate andmed eraldada eraldi töölehele tabelisse M_töötajad vastavalt variandile (kolm valda) tabelist Töötajad, kasutades arendatud filtrit. Eral
Ülesanne 3 Tabelid Tallinna Tehnikaülikool Informaatikainstituut Töö: Tabelid Üliõpilane: Õppemärkmik: Õppejõud:Jüri Vilipõld Õpperühm: 82800 Sisukord Rakendus "Puidu müük". Ülesande püstitus Puidu müük. Variandid Töötajad. Uldine nimekiri Rakendus "Puidu müük". Puidu hinnad Rakendus "Funktsiooni uurimine".Ülesande püstitus Funktsioonide variandid Karakteristikute variandid Rakendus "Detail III". Ülesande püstitus Variandid Hinnad Tööötajad Rakendus "Puidu müük". Ülesande püstitus Koostada rakendus, mis võimaldab teha puidu müümise arvestust. Rakenduse andmemudel on toodud skeemil. Rakenduses kasutada nimesid!!! Müüjate andmed eraldada eraldi töölehele tabelisse M_töötajad vastavalt variandile (kolm valda) tabelist Töötajad, kasutades arendatud filtrit. Eraldada skeemil näidatud
Sisukord Rakendus "Puidu müük". Ülesande püstitus Puidu müük. Variandid Töötajad. Uldine nimekiri Rakendus "Puidu müük". Puidu hinnad Rakendus "Funktsiooni uurimine".Ülesande püstitus Funktsioonide variandid Karakteristikute variandid Rakendus "Detail III". Ülesande püstitus Vajalikud risttabelid puuduvad Üle 1000 Üle 1000 krooni krooni maksva maksva puidu oste puidu ostude koguväärtus 0 0 K_Kuupäev K_Kogus K_Maksumus 12.10.2008 13 Err:509 13.10.2008 7 Err:509 14.10.2008 6 Err:509 15.10.2008 12 Err:509 16.10.2008 5 Err:509 17.10.2008 8 Err:509 18.10.2008 14 E
o Teoreem 2: Valem F on kehtestatav parajasti siis, kui tema eitus ¬F ei ole samaselt tõene. Tõestus. Kui F on kehtestatav, siis väärtustusel, kus F on tõene, on valem ¬F väär ja ei saa seetõttu olla samaselt tõene. Ümberpöördult, 4 kui ¬F ei ole samaselt tõene, siis leidub väärtustus, kus ¬F on väär ja F on järelikult tõene. 4. Samaväärsed valemid. Lausearvutuse põhisamaväärsused. Valemite teisendamine samaväärsuste abil. Teoreem piisavatest tehete komplektidest. [1, L2 slaidid] Samaväärsed valemid o DEF: Valemeid F ja G nimetatakse samaväärseteks, kui nende tõeväärtused on võrdsed igal neis valemeis esinevate muutujate väärtustel. o Teoreem: Valemid F ja G on samaväärsed parajasti siis, kui valemist F järeldub valem G ja valemist G järeldub valem F. o Teoreem : Valemid F ja G on samaväärsed parajasti siis, kui valem F ↔ G on samaselt tõene. Tõestus
ja arvudest ei ole normaalkujulised 2.Üksliikme kordaja - esimesel kohal olev kordaja on 10 arvuline tegur normaalkujulises üksliikmes 3.Sarnased üksliikmed - üksliikmed, mis ja on sarnased, sest täheline osa on erinevad ainult kordaja poolest või ei erine üldse samasugune 4.Üksliikme teisendamine normaalkujule - kirjutame arvuliste tegurite korrutise esimesele kohale ning asendame samade muutujate korrutised astmetega astmealuste tähestikulises järjekorras 5.Üksliikmete koondamine - tuleb teha vastav Õ ül.161 tehe vaid üksliikmete kordajatega, täheline osa jääb muutmata NB koondada saab sarnaseid üksliikmeid selgitus: sarnased on esimene ja teine liidetav,
6) Keskväärtusteoreem. Leidub punkt A hulgas B nii, et kehtib võrdus f ( x, y )dxdy = f ( x(u, v), y(u, v)) J (u, v) dudv D D' xu xv , kus J (u , v ) = on funktsionaaldeterminant yu yv ehk jakobiaan 9. Polaarkoordinaadid ja nende seos ristkoordinaatidega. Kahekordse integraali teisendamine polaarkoordinaatidesse Olgu punkt A(a,b) fikseeritud punkt tasandil. Punkti P(x,y) polaarkoordinaatideks punkti A suhtes nimetatakse arvupaari ja , kus =|PA|=(x-a)2+(y-b)2 ja on nurk, mis tekib liikumisel x-telje suunaliselt vektorilt vektorile AP vastupäeva. Kokkuleppeliselt ]-,] x=cos+a x'=cos x'=-sin y=sin+b y'=sin y'=cos cos - sin J ( ,) = = cos 2 + sin 2 =
· Taanda murrud: 1) 2) 3) 24 15 506 · Missuguse osa kilomeetrist moodustab 400 m? 14 6 9 14 · Taanda ja seejärel arvuta: 1) 2) 120 26 54 2 4. Murdude teisendamine ühenimelisteks Murru lugeja ja nimetaja korrutamist ühe ja sama nullist erineva arvuga nimetatakse murru laiendamiseks. Seda arvu, millega murru lugejat ja nimetajat korrutatakse, nimetatakse murru laiendajaks. Laiendaja kirjutatakse laiendatava murru kohale väiksese kaarekese sisse. Näide: Kui laiendaja on 5, siis same, et Kui murdu on vaja laiendada nii, et uue murru nimetaja oleks võrdne mingi etteantud arvuga, siis öeldakse, et murdu tuleb laiendada antud nimetajani.
Siis kehtib võrdlus dS = S D 5) Olgu m ja M vastavalt (x,y), vähim ja suurim väärtus piirkonnas D.Siis kehtivad seosed mS = m dS (P)dS M dS = MS D D D 6) Keskväärtusteoreem: Piirkonnas D leidub vähemalt üks punkt A nii, ett kehtib võrdlus (P)dS= (A) dS = (A)S D D 4. Kahekordse integraali teisendamine kaksikintegraaliks ristkülikukujulise piirkonna korral. Tuletada vastav valem. (lk 4-7) 5. Telgede suhtes regulaarsed piirkonnad. Piirkond D on koordinaattelje suhtes regulaarne kui ta on regulaarne nii x-telje kui ka y-telje suhtes. (NB! kirjutan ainult y- telje suhtes sest, x-telje suhtes on regulaarsus analoogne) Piirkonda D nim. regulaarseks y-telje suhtes, kui iga sirge, mis on paraleelne y-teljega, lõikab piirkonna D rajajoont maksimaalselt kahes punktis
Mis on sideme- e. toereaktsioon? Sx=yC*A, kus yC on C y-koordinaat Mehhanismide teooria liigitab kehale mõjuvad jõud kaheks: välisjõud ja Sy=xC*A, kus xC on C x-koordinaat sidemereaktsioonid. Sidemereaktsioon on jõud, millega side mõjub antud kehale. Side takistab detaili liikumist. Sidereaktsioon on jõud, millega see takistus tekib Liitkujundi staatiline moment saadakse osakujundiste staatiliste momentide summana. Staatiline moment kesktelje suhtes võrdub nulliga Milliste parameetritega iseloomustatakse jõudu? Jõud on detailide omavahelise mõju tulemus. Jõud F [N]. Jõu tüübid: aktiivne jõud (jõud, Pinna inertsimomendid. mis mõjub detailile väljastpoolt) ja sideme reaktsioon; punktjõud F [N] (koormus, mis on Kujundi inertsimomendiks x-telje (y-telje) suht
Sisukord Rakendus "Puidu müük". Ülesande püstitus Puidu müük. Variandid Töötajad. Üldine nimekiri Rakendus "Puidu müük". Puidu hinnad Rakendus "Funktsiooni uurimine".Ülesande püstitus Funktsioonide variandid Karakteristikute variandid Variandid Hinnad Tööötajad Rakendus "Puidu müük". Ülesande püstitus Koostada rakendus, mis võimaldab teha puidu müümise arvestust. Rakenduse andmemudel on toodud skeemil. Rakenduses kasutada nimesid!!! Müüjate andmed eraldada eraldi töölehele tabelisse M_töötajad vastavalt variandile (kolm valda) tabelist Töötajad, kasutades arendatud filtrit. Eraldada skeemil näidatud väljad toodud järjekorras. Sorteerida tabel kahe tunnuse: vald ja nimi, järgi. Tabel P_müügid luua Table-objektina (List-objekt 2003-s) Müüjate nimede ning puidu liikide ja sortide valimiseks kasutada valideerimist. Vald leida müüja nime järgi tabelist M_töötajad, kasutades funktsioone INDEX ja MAT