Praktikum nr 4. Mõõtmistulemuste võrrandite lahendamine vähimruutude meetodil. Ülesanne 1. Antud on kolm lineaarset mõõtmistulemuste parameetrilist võrrandit: 1) Kõigepealt tuleb meil ülesande lahendamiseks leida tundmatute parameetrite x ja y kõige tõenäolisemad väärtused vähimruutude meetodil. Arvestada tuleb ka, et mõõtmistulemused on vastavalt kaaludega 6, 4 ja 3. Ülesande lahendamiseks peame parameetriliste võrrandite abil koostama maatriksid A (Tabel 1) ja L (Tabel 2), mis vastavalt koosnevad tundmatute ees asetsevatest kordajatest ja paremal pool võrdusmärki asetsevatest väärtustest. Lisaks veel mõõtmistulemuste kaaludest moodustatud kaalumaatriks W (Tabel 3). Tabel 1. Maatriks A 3 2 2 -3 6 -7 Tabel 2. Maatriks L 7.8 5.55 8.5 Tabel 3. Kaalumaatriks W 6 0 0 0 4 0 0 0 3 Lähtudes nendest andmetest ja ka...
INDX(# #B############(##################### ############# ######h#X##### #######"v##"v#U2##U2### ######,####### #########O#U#T#P#U#T#~#1#.#P#Y## ######p###### #######"v##"v#X3##X3### ############# ####### #P#a#r#e#n#M#a#t#c#h#.#p#y###### ######h#X##### #######"v##"v#X3##X3### ############# #########P#A#R#E#N#M#~#1#.#P#Y## ######p#^##### #######"v##"v#3##3##########9 ###### #########P#a#t#h#B#r#o#w#s#e#r#.#p#y#### ######h#X##### #######"v##"v#3##3##########9 ###### #########P#A#T#H#B#R#~#1#.#P#Y## #####p###### #######"v##"v#B4##B4##########( ###### ########P#e#r#c#o#l#a#t#o#r#.#p#y###### #####h#X##### #######"v##"v#B4##B4##########( ###### #########P#E#R#C#O#L#~#1#.#P#Y# #### #h#V##### #######"v##"v##4###4###P######6L###### ####### #P#y#P#a#r#s#e#.#p#y### #####h#V##### #######"v##"v#^T5##^T5############### ####### #P#y#S#h#e#l#l#.#p#y### ######h#V##### #######"v##"v#5##5##########? ###### ####### #...
Muutuja vahetus kahekordses integraalis x = x(u; v) f ( x, y )dxdy 1)need on ühesed; 2)võrrandisüst. On üheselt avaldatav u ja v suhtes; 3)f-nid y = y(u; v) D peavad olema pidevad; 4)peavad olema pidevad osatuletised mõlema muutuja järgi. (joon) f ( x; y ) = f [ x (u; v ); y (u; v )] = F (u; v ) * f ( x; y ) dxdy = F (u; v) J dudv D xu xv J = Jacobi determinant e jakobiaan. yu yv Kahekordne integraal polaarkoordinaatides x = cos f ( x; y )dxdy = f ( cos; sin ) dd ...
Home assignment 3 : Margus Martsepp 121843IAPM Experimenting with predicate provers. Advanced Course of Applied Logics ( ITV0081 ) Part A : Warmers Task 1 What is the most general unifier of the following atoms: p(X,f(Y),Z) p(T,T,g(cat)) p(f(dog),S,g(W)) solution: = { X/T, S/T, T/f[Y], Z/g(cat), W/cat, dog/Y } Task 2 List all the binary resolvants of the following two clauses: p(X,f(Y),Z) | p(T,T,g(cat)) | r(X,T) | ~s(Z,T) ~p(f(dog),S,g(W)) | s(big,rat) | ~s(small,hamster) solution sourse: 1st option (1.4-2.2) = { Z/big, T/rat } p(X,f(Y),big) | p(rat,rat,g(cat)) | r(X,rat) ~p(f(dog),S,g(W)) | ~s(small,hamster) 2nd option (1.1-2.1) = { X/f(dog), S/f(Y), Z/g(W) } p(T,T,g(cat)) | r(f(dog),T) | ~s(g(W),T) s(big,rat) | ~s(small,hamster) 3rd option (1.2-2.1) = { T/f(dog), S/f(dog), W/cat } p(X,f(Y),Z) | r(X,f(dog)) | ~s(Z,f(dog)) s(big,rat) | ~s(small,hamster) Task 3 List all the resolvants of the following two clauses: p...
TALLINNA TEHNIKAÜLIKOOL Automaatikainstituut BORIS GORDON, EDUARD PETLENKOV ISS0010 SÜSTEEMITEOORIA ÜLESANNETE KOGU 2007 Parandatud 2009 Kaane kujundanud Ann Gornischeff Autoriõigus: B. Gordon, E. Petlenkov, 2007 ISBN 978-9985-59-688-3 2 EESSÕNA Käesolev ülesannete kogu on mõeldud kasutamiseks abimaterjalina õppeaines ISS0010 Süsteemiteooria. Kogu täiendab Hanno Sillamaa õpikut "Süsteemiteooria", millel on olnud juba neli trükki. Iga peatüki alguses on toodud viide selle õpiku (Hanno Sillamaa. Süsteemiteooria, TTÜ kirjastus) vastavatele teoreetilistele peatükkidele. Kui selles õpikus vastavat materjali ei ole, siis on antud viide teisele raamatule (K. Ogata. Modern control engineering, 2002). Ülesannete kogu on kasutamiseks nii harjutustundides, kontrolltöödeks ja eksamiteks etteval- mistamisel kui ka kursuse iseseisval läbimisel. See sisaldab ülesandeid põhiliste teor...
MITME MUUTUJA FUNKTSIOON 1. Punkti ümbrus. Kinnine ja lahtine piirkond. Mitme muutuja funktsioon ja selle määramispiirkond. Def. 1.1. ( 0 0 )0 Punkti P x1 , x 2 ,..., x n ümbruseks n-mõõtmelises ruumis R n nimetatakse punktide hulka { U ( P ) , mis rahuldavad tingimust U ( P ) = Q( x1 , x 2 ,..., x3 ) R n ( P, Q ) < , kus } ( P, Q ) = PQ = (x1 - x10 ) + (x 2 2 - x 20 ) 2 ( + ... + x n - x n0 ) 2 Def. 1.2. Piirkonnaks D kahemõõtmelises ruumis nimetatakse selle ruumi osa, mis on piiratud mingi joonega L, mida nimetatakse rajajooneks. Kolme- või enamamõõtmelise ruumi piirkonnaks D ...
4) - . . . . -.: 2, N . 4) . (x,y)S - .1: D . . - Rn . . . - . . . r ×r f(x,y)g(x,y), - . . . . . . . - yR 1)D - N= 1 2 . f ( x, y )dxdy g ( x, y ...
Esimest liiki joonintegraal 1) AB f ( x; y ) ds f (t ), (t ) ( ' (t )) 2 ( ' (t )) 2 dt b 2) f ( x; y ) ds f x ( y ), y 1 ( x ' ( y ))2 dy AB a b 3) AB f ( x; y )ds f x, y ( x ) a 1 ( y ' ( x )) 2 dx Näidis. Leida x 2 AB ds , kus AB on funktsiooni y=ln x graafiku osa, A(1;0) ja B(e;1). 2...
Maakonnad Leia sõnasalatist 15 Eesti maakonda. D H S I Q H F Q L T E V H Y L C Y R H B C U V D W C F N F I N B C Q O J O O B X D E O T I Q R R B K W N T N B C G H I Q P Q V X C A B A M K E W T K Q N C H P B M B Z Y J H A A M A V E G Õ J H O Y G T F T T E Q D J E L K N K K M I O Q J L M U C T P Ä R N U M A A J R F R V N A Y Y P Y E W A E A L B J D I B Y T T J R Y B E G W F G V I N G Q R T I O L T T T U U V T W A N L B Z V M R B T S T K X A C E P ...
Matemaatilises anal¨ uu¨sis t¨ahistatakse tuletist parameetri j¨argi dx = x, dt mida loetakse "x-t¨app"ja dy = y, dt mida loetakse "y-t¨app". Kokkuv~ottes saame parameetrilisel kujul esitatud funktsiooni tuletise leidmise reegli dy y = (2.6) dx x 14 N¨ aide 1. Eelmises alampunktis vaadeldud ilmutamata funktsiooni x2 + y 2 = 2 r esitus parameetrilisel kujul on x = r cos t
Funktsiooni tuletis Rühmatöö Sirgjoonelise liikumise teepikkus s (meetites) sõltub liikumise ajast t (sekundites) järgmiselt: s = 0,3t 2 + t Leida funktsiooni muut. Mida võimaldab see valem arvutada? Leitud valemi abil arvutada ajavahemikul 3 t 5 läbitud teepikkus. Leida funktsiooni muudu ja argumendi muudu suhe. Mida võimaldab see valem arvutada? Leitud valemi abil arvutada keskmine kiirus lõigus 3 t 5 s Leida piirväärtus lim Mida võimaldab see valem arvutada? t 0 t Leitud valemi abil arvutada hetkeline kiirus momendil t = 5 2 Diferentsiaalarvutuse rajajad Isaac Newton Gottfried Wilhelm Leibniz 1643-1727 1646-1716 3 Liikumise kiirus Punkti liikumise seadus: s = f (t) 0 (t = 0) Ajamo...
Loogikaalgebra ( Boole'i algebra ) Kasutusel on ka alternatiivseid tehtemärke: & ~ + Ü George Boole (1815 — 1864) Inversiooni esitatakse mõnes allikas ka ülakomaga: ¯ x' x T T Sündinud Inglismaal Lincolnis. 16-aastasena tegutses kooliõpetaja assistendina. Õppis 5 aastat iseseisvalt omal käel matemaatikat, Loogikaavaldiste võrdsus keskendudes hi...
WORD SEARCH P S U N N Y I F X F F T T P E W O B T Y E D U Y T S J N O G W C S S O U E E H V O N E P A Q X F S Z B N N Z Y A W G U M H I L R I Y Y H G A X U I L A H Q O L U B U O E S U W L A D G V T F O Y L Q E B S Q L R G T V M G X O L E F W G H E B D F N P E H C C R E L F K T Y Y Y W E C H O N E S T L Y N L L E O Y I N Y F I R R E T I E D T S U T T Q N U A N W T C I H P R R T H A F J K M T N P K X M O M U H S P L X W A P ...
1. - : . - , - . . : . ( 1. - . ) . , - 2. , . ( 7. 3. . . ), ( . .. . => , ) : : . . · . , · . . . · 4. . ( . ) · . . / . .. · , : . . . -, , : 1. E : p q -. 1. - . ...
TTU¨ Matemaatikainstituut http://www.staff.ttu.ee/math/ Ivar Tammeraid http://www.staff.ttu.ee/itammeraid/ ¨ US MATEMAATILINE ANALU ¨ I Elektrooniline ~oppevahend Tallinn, 2001 Tr¨ ukitud versioon: Ivar Tammeraid, Matemaatiline anal¨ uu ¨ Kirjastus, ¨s I, TTU Tallinn 2001, 227 lk, ISBN 9985-59-289-1 ¨ Raamatukogu Viitenumber http://www.lib.ttu.ee TTU ~opikute osakonnas 517/T-15 c Ivar Tammeraid, 2001 Sisukord 0.1. Eess~ ona K¨aesoleva ~ oppevahendi aluseks on autori poolt viimastel aastatel Tallinna Tehnika¨ ulikoo- lis bakalaureuse~ oppe u ¨li~ opilastele peetud u ¨he muutuja funktsiooni diferentsiaal- ja inte- graalarvutuse loengud nimetuse "Matemaatiline anal¨ uu¨s I" all. Siiski ei ole tegu pelgalt u ¨hel semestri...
Teooriatöö põhiküsimused 1. Sõnastada ja tõestada piirvväärtusteoreem kahe funktsiooni summa piirväärtuse arvutamiseks piirprotsessis x + . lim f ( x ) = A lim g ( x) = B Kui x + ja x + , siis lim f ( x) + g ( x) = lim f ( x) + lim g ( x) x + x + x + Üritan eelpool mainitut tõestada. lim f ( x) = A, lim g ( x) = B f ( x ) = A + ( x ), g ( x ) = B + ( x) Eeldus: x + x + lim ( f ( x) + g ( x) ) = A + B f ( x ) + g ( x) = A + B + ( x) + ( x) Väide: x + 2. Esitada funktsiooni y = f (x) punktis x 0 pidevuse definitsioon. Tuletada funktsiooni pidevuse tunnus. f ( x) C ( x0 ) ,kui 1) f ( x0 ) lim f ( x) x x0 2) lim f ( x ) = f ( x0 ) 3) x x0 Tuletada funktsiooni pidevuse tunnus: y = f ( x + x) - f ( x) lim f ( x +...
Funktsiooni tuletis (jätk) - + sin - sin = 2 sin cos 2 2 Funktsiooni y = sin x tuletis Teoreem: Funktsiooni y = sin x tuletis on cos x. x + x - x x + x + x Tõestus: y = sin( x + x) - sin x = 2 sin cos 2 2 x x = 2 sin cos x + 2 2 x x x 2 sin cos x + sin y 2 2 2 cos x + x = = x x x 2 2 1 ...
1) : x + 2 y - 3 z -1, (6) 10 = = ;1, (6) = 3 0 -1 6 10 z- x + 2 y -3 6 = = 3 0 -1 10 n1 (3;0;-1). M 1 (-2;3; ) 6 : x -1 t = x = t + 1 1 t = x - 1 1 t = x - 1 1 y +1 y = 2t - 1; 2t = y + 1 ; 2t = y + 1 ; t = z = 4 z = 4 + 0 t 0 t = z - 4 2 t = z-4 0 ...
2. Angelika 8.b PÜP F E M K B B O J U N B I O L O G I A H O M H Y N H R L L E I T F A B Q T T R V S N M X S C N O U I R Y D M U Z Z Q I B Y T N T M Z T R M K V D K D Z V N Y X Y L C O D Y K J L A L U T G K S Z I Z V M H A T M U S I I K K I J J L B N F R X A K F E E Q G M G K L G C Ä T L E Y C O A O W I T A X V T I P J E T R A J S A S N E F T J M C S I I A Z Q Z O J B A B L T N E S M W O V Q T I O H D D S E C F V I G F Y S I I K K A R J Q V Z G U S H I E L P E B I J U A M O T S J S F X O T T T A E V J...
___.___ .. Mathcad 6.0 Plus 2001 2 621.391.2(07) .. : - Mathcad 6.0 Plus. , - , 2001. 189. : , , - - . Mathcad 6.0 Plus. . " - " , . . 2. . 155. .: 14 . .. , . . , . 3 1. 1.1. 1.1.1. -- x(t) = x(t+mT), T -- , m - - , m= 1, 2, .... x(t) - x(t ) = a 0 + (a k cos k1 t + b k sin k1 t ) =a 0 + A k cos(k1t + k ) (1.1) k =1 k =1 1 = 2 -- 1- ; a 0 , a k b k -- T , : t +T t +T t +T 1 ...
http://www.eaei-ttu.extra.hu/ - . , , . . 0 1 , Ep q 1. , : (, ) 1 : D1 . - . 2 2 p . , - . . -, q2 - . ( - ( , ) : , 3 E1 - ). p1 q1 ( : . ...
''{ . ,t, 'i,, '.' ei'o1i" + "i/'(;t'i : { -'niL^l t '/t J W '' tt tt '/ trf, a !Yl s oOJ'h'/ UU 6 ba , b88C-'y 9Y J-' co sh'y ./ L ( (^v L D c aqL'y )t I ...
Roosad inglid T U J Y D H X D J O X B S Y C S S K V W B X U Z M J P V W O T A N N A B E L L E J C H E N R I L O F A D P N P K F U L Q N X N X L Y Q F X L M L O U B K T X F S C S P O R T I M I N E W P Z T S A Q J P W A H S S H P Q H I R M Y T C F L F M O C M A Q U G U D I D R A D N A T S G Y V S I X K U A N I I L O R A K R T D R Y K J R I A S N Q N T Z I P J G L U L M P Q S E Q Q I K Y F U M O N F Q F J Z G S T Z E Y Z U V A S U G N A L E G N I P Z Y Z S M N ...
PÜP 8B kappale 1 N Y Z X G F F B M G J A R S X D Q I M D Y O X U T M G C T A T I R A N L T H E E K H F O L I K T U V O C Z V H O O B S T P X D F K S O F R W O Z S H N K I P P H K M C Y H O E F K T S U M G J F E M A A I E O E S W T M K K I B C D L E V V N I I K Y N D V S X I Z J Y S E R B I A J M N S R G F A A F Q K F I L L J A O Y A A A I H L X C R L S U O M I D P I Q L G A L K O A B Q T R L R R N V N E L M Q H P A O B N U S A T C A S O M A L I A H V Y I L O T H E C E E A T M C ...
Liina Savtsik
x
Pidev juh. f-n F(x)=P(X
Matemaatilised meetodid loodusteadustes. II kontrollt¨ o¨o, I variant 1. Leida j¨argmised piirv¨a¨artused (3p): 9 + x2 -2x4 - 3x3 + 1 2x lim , lim , lim x-3 (x + 3)2 x- x3 - 3x4 x x - ex Lahendus. 9 + x2 limx-3 (9 + x2 ) 18 1) lim = = = +, x-3 (x + 3)2 limx-3 (x + 3)2 +0 -2x4 - 3x3 + 1 x4 -2 - x3 + x14 -2 + 0 + 0 2 2) lim 3 4 = lim 4 2 = = x- x - 3x x- x x -3 0-3 3 ...
Kahendfunktsioon Loogikaskeem x3 x3 1 1 x2 + x3 x2 y = x1 (x2 + x3) + x1 x2 x3 & x1(x2 + x3) 1 y x1 x1 1 x1x2x3 & x2 1 17.3.14 T. Evartson 1 Koostada loogikaskeem 17.3.14 T. Evartson 2 Koostada loogikaskeem x1 x3 & x4 1 & 1 1 y 1 & 1 & x2 1 1 ...
Funktsioon Funktsiooni definitsioon Olgu X mingi reaalarvude hulk. Kui muutuja x igale väärtusele hulgas X vastab muutuja y üks kindel väärtus, siis öeldakse, et y on muutuja x funktsioon. Asjaolu, et üks muutuja on teise funktsioon, tähistatakse y = f (x), y = y (x), y = (x) jne. Muutujat x nimetatakse seejuures sõltumatuks muutujaks e. argumendiks. Muutujat y, mille väärtused leitakse vastavalt sõltumatu muutuja väärtustele, nimetatakse sõltuvaks muutujaks. Argumendi x väärtuste hulka, mille puhul saab määrata funktsiooni y väärtusi vastavalt eeskirjale f (x), nimetatakse funktsiooni määramispiirkonnaks. Määramispiirkonnale vastavat funktsiooni väärtuste hulka nim. funktsiooni muutumispiirkonnaks. 2 Funktsiooni esitusviise Funktsiooni esitus tabelina x x1 x2 ....... xn y y1 y2 ...... yn Funktsiooni graafiline esitusviis ...
Määratud integraali ligikaudne arvutamine. Trapetsvalem. n sn = f (k ) xn [a; b] (joon) b-a jagame n osalõiguks h=b-a/n. Siis xo=a; x1=a+h; x2=a+kh;...; xn=b (=a+nh) juhul k =1 kui h0n (joon) k-nda trapetsi pindala: [(xk-1)+(xk)]/2h jne. Pindala saab kui kõikidest väikestest pindaladest võtta b b -a integraal rajades a-b ja valem on siis: f ( x)dx a 2n ( y0 + 2 y1 + 2 y2 + ... + 2 yn -1 + yn ) Pindala arvutamine ristkoordinaatides b [a;b] (joon) y=(x); y=g(x) ja (x)g(x) ning S = [ f ( x) - g ( x) ]dx Kui aga joon on antud parameetrilisel kuju...
Untitled F N Y G Z T P L X N P H H V A S E N D I Z L Z K Q Y W U A V Y N U H I O X R S A B T U F V R H K N N E R B L I A L H Z H E V Y F U N U F I N E X O P C T Y P O T O S O I T E O Q Ä R Q T G G Z F S I R M J X U T F E L D P T J U E M I X O U N H Q F Z S G T E O E D E A H E C B S W A U U N R G F B L I S U W K S M N U S E V O R E Z O B C L T K A I N A T O P C F T L K U A E N S I A A A U G G P O N Ä Q K I ...
MPK-δ=n+g kapitali puhaspiirprodukt Y=AK endogeense kasvuteooria Firmade tootmisfunktsioon Y=F(K,1-u)EL) Ülikoolide tootmisfunktsioon ∆E=g(u)E Kapitali akumulatsioon ∆K=sY-δK Tööjõus osalemise määr LFRP=(LF/(tööealine rahvastik)100; LE-tööjõud Tööjõu kapitalivarustatus k=K/L Tööviljakus= Y/L(toodangu hulk Y töötaja kohta 9.Majandustsükli teooria(d):Majandus lühiperioodil Plaanitud kogukulutused PE=C+I+G C=C(Y-T) Y −T =Y d=C +S Tarbimise piirkalduvus MPC=∆C/∆Y Säästmise piirkalduvus MPS=∆S/∆Y MPS+MPC=1 Tasakaalu tingimused Y=PE ∆Y 1 = kulutuste multiplikaator ∆ G 1−MPC ∆ Y −MPC = maksumultiplikaator ∆ T 1−MPC Rahvamajanduse sääst S= Sk + Sg Kodumajapidamiste sääst S k =Y d−C Avaliku sektori sääst
#;h_èMZ-C}#v#R^#&#*;Y9`0#?
#SVrM6+#1nM#Z3j1##Kv?
#P^###ocQEz0#qq#z4?Um?
#a#z##[#[##J%#J@
##GI_- k#G Z t%d #S##jRc#mg#
3#m#|s<|#ATW#:6c *[` # [X
#<#Q##> 4mT~*i6#- -
,u#U#Ayrmb#44lq#x#ZQml#d##{
:uZG3r?S#T0l-c#n U%y#%]90#
zw[*wV1Q####n##c4$r##Xy.APio*E##
#s I#wN#x>j=5Yr5O#^4 ;#}#Mahi%[8,GR-
_6mx-
1. Arvtelje mõiste. Arvteljeks nimetatakse sirget, millel on valitud nullpunkt, pikkusühik ja positiivne suund. Absoluutväärtuse mõiste. Reaalarvu a absoluutväärtuseks nimetatakse järgmist mittenegatiivset reaalarvu: |a| =a kui a 0; -a kui a < 0. Reaalarvu a absoluutväärtust |a| võib tõlgendada kui punkti a ja nullpunkti vahelist kaugust arvteljel. Absoluutväärtuse omadused: 1. | - a| = |a| 2. |ab| = |a||b| 3. |a + b| |a| + |b| 4. |a - b| ||a| - |b|| Reaalarvude ja lõpmatuste ümbrused. Reaalarvu a ümbruseks nimetatakse suvalist vahemikku (a - ,a + ), kus > 0 on ümbruse raadius. Arv x kuulub arvu a ümbrusesse (a-,a+) siis ja ainult siis, kui selle arvu kaugus arvteljel on arvust a väiksem kui , st |x - a| < . Tõkestatud hulgad. Reaalarvudest koosnevat hulka A nimetatakse tõkestatuks, kui leidub lõplik vahemik (a,b) nii, et A (a,b). 2. Jäävad ja muutuvad suurused. Suurust, mis võib omandada erinevaid arvulisi väärtusi, nim...
Professions and Jobs 1)Find the words and give translations. A D R E T S A M D A E H N U R A X Y M R T R R E E M R Y C Q B R A S E P N G G E S M T Y I E B C P Z U E N Y N D T X H G A H Q I G H O A B P S P N L A E Z U G N N V O A S U S A R Q I E Y R E M R A F I S O N P N T F A T K N E C T L E D O M S W A S T A T T E C P E K R R C Y H U V I M P A R O S V S H R S P K T E A C H E R Q N N R A X S N I C S O O L I T B E M K T J R Y I P V I R L M H O U M C A S Q A Y Q L W R B Q E S G A S C E X J D R ...
Funktsioon. Määramispiirkond, väärtuste hulk. Pöördfunktsioon. Seaduspärasust või teisendust, mis igale X elemendile x seab vastavuse ühe hulga Y elemendi y nim. argumendi x funktsiooniks ja kirjutatakse y=f(x) Funktsiooni y=f(x) määramispiirkonnaks on kõigi nende argumendi x väärtuste hulk, mille korral funktsioon omab mõtet ja on lõpliku väärtusega. Funktsiooni väärtuste hulgaks nim. nende väärtuste hulka, mida funktsioon omandab, kui läbib kogu määramispiirkonna. Tingimused, mis peavad olema täidetud elementaarfunktsioonide kaudu esitatud reaalmuutuja funktsioonil: B ( x) 1) A( x) 0 A( x) 2) 2 x A( x) A( x) 0 3) logaA(x) A(x) >0 arcsin A( x) 4) -1 A( x) 1 arccos A( x) Funktsiooni y=f(x) pöördfunktsiooniks nim. f-ni y=g(x), mis igale funktsiooni f väärtusele y seab vastavusse need argumendi x väärtused, mille korral y=f(x) Olgu funktsioonid y=f(x) ja y=g(x), siis väärtus y on teisendat...
Funktsioon. Määramispiirkond, väärtuste hulk. Pöördfunktsioon. Seaduspärasust või teisendust, mis igale X elemendile x seab vastavuse ühe hulga Y elemendi y nim. argumendi x funktsiooniks ja kirjutatakse y=f(x) Funktsiooni y=f(x) määramispiirkonnaks on kõigi nende argumendi x väärtuste hulk, mille korral funktsioon omab mõtet ja on lõpliku väärtusega. Funktsiooni väärtuste hulgaks nim. nende väärtuste hulka, mida funktsioon omandab, kui läbib kogu määramispiirkonna. Tingimused, mis peavad olema täidetud elementaarfunktsioonide kaudu esitatud reaalmuutuja funktsioonil: B ( x) 1) A( x) 0 A( x) 2) 2 x A( x) A( x) 0 3) logaA(x) A(x) >0 arcsin A( x) 4) -1 A( x) 1 arccos A( x) Funktsiooni y=f(x) pöördfunktsiooniks nim. f-ni y=g(x), mis igale funktsiooni f väärtusele y seab vastavusse need argumendi x väärtused, mille korral y=f(x) Olgu funktsioonid y=f(x) ja y=g(x), siis väärtus y on teisendat...
¨ TALLINNA TEHNIKAULIKOOL MATEMAATIKAINSTITUUT Peeter Puusemp TOPOLOOGILISED RUUMID Loengukonspekt Tallinn 2003 SISUKORD Eess˜ona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1 TOPOLOOGILINE RUUM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1 Topoloogilise ruumi definitsioon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 Topoloogilise ruumi baas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3 Kinnised hulgad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 ¨ 1.4 Ulesandeid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11 ¨ 2 UMBRUSED . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.1 Punkti u ¨mbruste s¨ usteem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.2 Topoloogia m¨a¨a...
Mitmemuutuja funktsiooni mõiste. Mitmemuutuja funktsiooni piirväärtuse definitsioon. Pideva mitmemuutuja Kui funktsiooni z=f(x,y) on diferentseeruv kohal (x,y), siis funktsioon f on pidev sellel kohal. funktsiooni definitsioon. Kahemuutuja funktsiooni pidevuse geomeetriline sisu. Funktsioon z=f(x,y) on diferentseeruv kohal (x,y) siis, kui funktsioonil z=f(x,y) on pidevad osatuletised fx ja fy kohal (x,y). Kui hulga Rn igale punktile P(x1, . . . , xn) on vastavusse seatud muutuja u R kindel väärtus, siis öeldakse, et hulgal on Kui funktsiooni f(x,y) osatuletised fx(x,y) ja fy(x,y) on diferentseeruvad kohal (x,y), siis fxy = fyx kohal (x,y). defineeritud n-muutuja (skalaarväärtusega) funktsioon. Suurust df:=fx(x,y)dx + fy(x,y)dy, kus dx:= x...
Contents Contents...................................................................................................................... 1 4.Mitme muutuja funktsiooni piirväärtus. Pidevus........................................................ 5 7) Liitfunktsiooni tuletise ja osatuletise valemid. Uks neist tuletada.............................. 6 8) Defineerida funktsiooni tuletis etteantud suunas. Tuletada suunatuletise valem funktsiooni osatuletiste kaudu. Gradient. Telgedesuunalised tuletised. Suunatuletise tõlgendus..................................................................................................................... 9 10. Olgu mitmemuutuja funktsioon u = f (x) antud ilmutamata kujul võrrandiga F(x,u)= 0. Tuletada valem funktsiooni f osatuletiste jaoks funktsiooni F osatuletiste kaudu. Valem tuletada kas kahe muutuja juhul (x = (x, y) R2) või üldjuhul (x Rn)...........11 12.Tuletada Taylori valem kahe- või mitmem...
��# #/#*#*#*#*#*#*#*#*#*#*#*#*#*#*#*#*#*#*#*#*#*#*#*#*#*#*#*#*#*#*#*#*#*#*#*#*#*#*#*#*# *#*#*#*#*#*#*#*#*#*#*#*## #*# #I#A#G#0#5#8#1# #-# #P#r#o#g#r#a#m#m#e#e#r#i#m#i#n#e# #I# # # # # #*## #*#*#*#*#*#*#*#*#*#*#*#*#*#*#*#*#*#*#*#*#*#*#*#*#*#*#*#*#*#*#*#*#*#*#*#*#*#*#*#*#*# *#*#*#*#*#*#*#*#*#*#*#*## #*# #1#)# # #K#o#d#u#t#�#�# #n#r#.# #1# # # # # # # # #*## #*# #2#)# #�#p#i#l#a#n#e#:# # # # # # #*## #*# #3#)# #M#a#t#r#i#k#l#i#n#u#m#b#e#r#:# # # # # #*## #*# #4#)# #F#u#n#k#t#s#i#o#o#n#i# #a#r#g#u#m#e#n#d#i# #l#e#i#d#m#i#s#e# #m#e#e#t#o#d#:# #6# #*## #*# #5#)# #F#u#n#k#t#s#i#o#o#n#:# #2#6# # # # # # # # #*## #*#*#*#*#*#*#*#*#*#*#*#*#*#*#*#*#*#*#*#*#*#*#*#*#*#*#*#*#*#*#*#*#*#*#*#*#*#*#*#*#*# *#*#*#*#*#*#*#*#*#*#*#*#/## ## ###i#n#c#l#u#d#e# #<#s#t#d#i#o#.#h#>## ###i#n#c#l#u#d#e# #<#m#a#t#h#.#h#>## ## #d#o#u...
Ande Andekas-Lammutaja Matemaatika Sirge võrrand ruumis Kahe punkti A ja B kaudu: A( x1 ; y1 ;z1 ) B ( x 2 ; y 2 ;z 2 ) x - x1 y - y1 z - z1 = = x 2 - x1 y 2 - y1 z 2 - z1 Punkti A ja sihivektori s kaudu: A( x1 ; y1 ;z1 ) s ( s1 ; s 2 ; s 3 ) x - x1 y - y1 z - z1 = = = t kanooniline s1 s2 s3 x = x1 + s1t y = y1 + s 2 t parameetriline z = z +s t 1 3 Tõusu k ja algordinaadi b (y väärtus, kui x=0) kaudu: k; b y = kx +b k = tan Kahe sirge s ja t vahelise nurga arvutamine: s = ( s1 ; s 2 ; s 3 ) t = (t1 ; t 2 ; t 3 ) s t = s t cos s t s1 t1 + s 2 t 2 + s 3 t 3 cos = = s t s12 + s 22 + s 32 t12 + t 22 + t 32 Kui vektorit...
Konspekt aines "Elektrotehnika alused" Loeng: Hans Korge Konspekteeris: Siim Hödemann , utrt)lr=r u^x,,q,.,$frryi . I*"tt(I"-{^l-"{" ^'t Wfl 1=ot (=o l"$aq1 ,{.nt,t4 M attY * ,, - i tl"d'& **p,ry q L: tq **; ry' [q t Fi httbq{ frqM rl { *1 $4,q c-f'..;{"{4t*- i*- {ry tir1 *, 11 { / d-1 r '[ F t,) dt,,4 ,t*r'! a,^ n ...
1. Olgu meil kasutada predikaadid ISA(x,y), EMA(x,y) ja MEES(x) mis tähendavad vastavalt, et x on y isa, x on y ema ja x on meessoost. Predikaatmuutujate määramispiirkonnaks on kõigi inimeste hulk. Väljendada predikaatarvutuse abil sugulussidemed: a) õed - x ja y on õed kui xy (ÕDE(x,y) z (ISA(z,x) & ISA(z,y)) & u (EMA(u,x) & EMA(u,y)) & ¬(MEES(x) MEES(y))). või x on y-i õde kui xy (ÕDE(x,y) z (ISA(z,x) & ISA(z,y)) & u (EMA(u,x) & EMA(u,y)) & ¬MEES(x)) lugesin õigeks ka nö. kasuõdede variandi. (25% õigeid vastuseid) b) vanatädi - x on y-i vanatädi kui xy (VANATÄDI(x,y) zuvw((EMA(z,y) ISA(z,y)) & (EMA(u,z) ISA(u,z)) & EMA(v,u) & EMA(v,x) & ISA(w,u) & ISA(w,x) & ¬mees(x)) siin seega z on y-i ema või isa, u on vanaema või vanaisa ja x on viimase õde. (7% õigeid vastuseid) 2. Kui mu abikaasa mind petab, siis jätan ta maha või hakkan ka ise teda petma. Kui ma oma abik...
Loogikatehe "SUMMA MOODULIGA 2" ("välistav VÕI") ? Millest tuleb nimetus "VÄLISTAV VÕI" ? Ü x1 x2 Võrreldes tehteid VÕI ja "välistav VÕI" ( OR ja XOR ) ilmneb T nende sarnasus. Erinevus on ainult argumendiväärtuste kombinatsiooni T Loogikatehe (ehk 2-he muutuja funktsioon) "summa mooduliga 2" on x1 x2 : 1 1 korral. ekvivalentsi inversioon: Tehe XOR väärtustub 1-ks siis, kui kas esimene või teine operand ________ _______ (kuid mitte mõlemad korraga) on 1...
Matemaatiline anal¨ uu¨ s II 1. osa 1) Mitmemõõtmelise ruumi ja selle punkti mõisted. Kaugus mitmemõõtmelises ruumis. Kauguse omadused. Parameetrilised jooned. Mitmem~ o~ otmelise ruumi definitsioon. Hulka, mille elementideks on k~oik m reaalarvust koosnevad j¨arjestatud s¨ usteemid (a1 , a2 , . . . , am ), nimetatakse m- m~o~ otmeliseks ruumiks, s¨ usteemi A = (a1 , a2 , . . . , am ) selle ruumi punktiks ja arve a1 , a2 , . . . , am punkti A koordinaatideks. m-m~ o~ otmelist ruumi t¨ahistame umboliga Rm . s¨ Ruumi Rm punkte A = (a1 , a2 , . . . , am ) ja B = (b1 , b2 , . . . , bm ) nimetatakse v~ ordseteks ja kirjutatakse A = B, kui nende koordinaadid on v~ordsed, st a1 = b1 , a2 = b2 , . . . , am = bm . Nullpunktiks ehk koordinaatide alguspunktiks ruumis Rm nimetatakse punkti O = (0, 0, . . . , 0). Kaugus ruumis Rm . Olgu ruum...
LINEAARSETE ELEKTRIAHELATE ARVUTUSMEETODID S I I N U S E L I S TP E I N G E -J A V O O L U A L L I K A T E PUHUL 3 . 1 .P 6 h i m 6 i s t e d Perioodilisedvahelduvsuurused: F(t) = F(t+kT): Siinuselinevahelduvvoolv6i -pinge muutub siinuseliseseaduspdrasusejdrgi i : r ^ s i n ( a+tvt D : r , , r ^ ( + , . r ) : r , , s i n ( 2 d+ . rv ) . Siinuselinevahelduvvoolv6i -pinge on iseloomustatud 3 suurusega: '1 ,u,,'u',; amPlituudiga, r.J - nurksagedusega, Y - algfaasiga. Voolu amplituudvdirtus l- - sellefunktsioonimaksimaalvddrtus. Periood f - ajavahemik, ja j6uab millevdltelfunktsioonldbibtdisv...
LINEAARSETE ELEKTRIAHELATE ARVUTUSMEETODID S I I N U S E L I S TP E I N G E -J A V O O L U A L L I K A T E PUHUL 3 . 1 .P 6 h i m 6 i s t e d Perioodilisedvahelduvsuurused: F(t) = F(t+kT): Siinuselinevahelduvvoolv6i -pinge muutub siinuseliseseaduspdrasusejdrgi i : r ^ s i n ( a+tvt D : r , , r ^ ( + , . r ) : r , , s i n ( 2 d+ . rv ) . Siinuselinevahelduvvoolv6i -pinge on iseloomustatud 3 suurusega: '1 ,u,,'u',; amPlituudiga, r.J - nurksagedusega, Y - algfaasiga. Voolu amplituudvdirtus l- - sellefunktsioonimaksimaalvddrtus. Periood f - ajavahemik, ja j6uab millevdltelfunktsioonldbibtdisv...
MATEMAATLINE ANALÜÜS II 1. KORDSED INTEGRAALID Kordame kõigepealt mõningaid teemasid Matemaatlise analüüsi I osast. 1.1 Kahe muutuja funktsioonid Kui Tasndi R 2 mingi piirkonna D igale punktile x, y D seatakse ühesel viisil vastavusse arv z, siis öeldakse, et piirkonnas D on määratud kahe muutuja funktsioon z f x, y . Piirkoda D nimetataksefunktsiooni f määramispiirkonnaks. See on mingi piirkond xy-tasandil. Näide 1. Poolsfääri z 1 x2 y 2 määramispiirkonnaks on ring x 2 y2 1. Funktsiooni z ln x y määramispiirkonnaks on pooltasand y x (sirgest y x ülespoole jääv tasandi osa: vaata joonist). Kahe muutja funktsioon ise esitab pinda xyz-ruumis (ruumis R 3 ). Näide 2. Funktsiooni z x2 y 2 graafikuks on pöördparaboloid (vaata allpool olevat joonist) Kahe muutuja funktsiooni f nivoojoonteks nimetatakse jooni f x, y c Näide 3. Tüü...
Kordamine eksamiks aines matemaatiline analüüs II (2004/2005 õa kevad) §1. MITME MUUTUJA FUNKTSIOONID 1. Ruum R m , hulgad selles ruumis Def. Kõigi m reaalarvust koosnevate järjestatud süsteemide P = ( x1 ,..., x m ) hulka nimetatakse m-mõõtmeliseks ruumiks. Def. Kui m-mõõtmelises ruumis defineeritakse süsteemide P = ( x1 ,..., x m ) ja Q = ( y1 ,..., y m ) m vaheline kaugus d (P, Q ) valemiga d (P, Q ) = (x - y i ) , siis nimetatakse seda ruumi 2 i i =1 m-mõõtmeliseks eukleidiliseks ruumiks ja tähistatakse R m . Süsteemi P = ( x1 ,..., x m ) nimetatakse ruumi R m punktiks ning reaalarve xi (1...
DIFERENTSEERIMISE ja INTEGREERIMISE VALEMID y dy Tuletis y = lim = = f ( x) x 0 x dx Integraal f ( x)dx = F ( x) +c , kus d [ F ( x) + c ] = f ( x)dx Diferentseerimise reeglid Diferentseerimise reeglid Integreerimise reeglid Lihtfunktsioon y=(x) Liitfunktsioon y=(u), u=(x) (u +v)'=u'+v', kus u,v=(x) (ux +vx)'=ux'+ vx' (u + v)dx = u dx + v dx (u v)'=u' v' (ux vx)'=ux' vx' (u v)dx = u dx v dx ( u·v ) ' = u'v + v'u (ux·vx)'=ux'v+ vx'u u dv = uv v du ( C·u ) ' = C u' ( C·ux ) ' = C ux' Cu dx= C u dx (u·v·w)' = u'vw + v'uw + w'uv ...
annaabi.ee 
