* 2) c) Trimeetrilised ehk kolmemõõdulised (mx my mz). 89. Nimetage tehnikas kasutatavad aksonomeetria liigid. 1) Ristisomeetria 2) Ristdimeetria 3) Kaldisomeetria 4) Kalddimeetria 90. Mis kujundiks projekteerub kera ristaksonomeetrias (kaldaksonomeetrias)? Ring 91. Kui suur on kera kujutise raadius taandatud moondeteguritega ristiaomeetrias (ristdimeetrias), kui kera raadius on R? 1,22 R ristisomeetrias /ristdimeetria 1,06 R 92. Kuidas asetseb ristaksonomeetrias xy (xz; yz)-pinnaga paralleelse ringjoone kujutisellipsi pikem telg? Koordinaatpindade paralleeltasanditel asetsevate ringjoonte kujutiseks ristaksonomeetrias on ellips, mille lühem telg on ringi tasandiga risti oleva koordinaattelje kujutise sihiline, pikem telg aga sellega risti.(Pikem telg on risti Z-teljega). 93. Mis kujund on ringjoone kabinetprojektsioon, kui ringjoon on paralleelne xy (xz) pinnaga? Ellips/ring 94
eksisteerib e1, e2, e3, mistahes x korral Def: 1'-4', 1*-4*, sel korral punktide, vektorite, reaalarvude hulga ühendit, mille korral on rahuldatud eelmainitud aktsioomid nim kolmemõõtmeliseks afiinseks ruumiks A3. Afiinse ruumi lineaarselt sõlutmatute vektorite maksimaalset arvu nim selle ruumi mõõtmeks ehk dimensiooniks. Kolmemõõtmelises afiinses ruumis loeme täiendavalt kehtivaks järgnevad aktsioomid: 1'') mistahes (x,y) -> (x*y); 2'') y*x=x*y; 3'') x(y+z)=xy+xz; 4'') (x)y=(xy); 5'') x*x0 Def: 1'-4', 1*-4*, , 1''-4'' nim kolmemõõtmeliseks eukleidilieks ruumiks E3 Om1: b ba=-ab antikommutatiivsus; Om2: Kui b=a siis aa=0 areaalruut; Om3: Kui b=a, siis tekib a(a)=0; Om4: a(b)=(a)b=(ab); Om5: (x+y)z=xx+yz areaalkorrutise distributiivsus liitmise suhtes; Om6: (ab)2 =a2b2 (ab)2 Lagrange'i samasus. Vektorkorrutise omadused: 1. Y x x=-x x y; 2. Kui y=x, siis x x x=0; 3. (x+y)x z= x x z + y x z; 4. (*a)x b = a x(*b)= (a*b) 5
kohaselt konjunktsioon on distributiivne disjunktsiooni suhtes: 1 1 1 1 = 0 1 1 1 1 1 = 1 x(y z) = xy xz 1 1 1 1 1 1 = 0 Konjunktsioon on ka tehte suhtes distributiivne : x(y z) = xy xz
Def: Kui igale väärtuste kolmikule x, y, z piirk V on seatud vastavusse kindel väärtus , siis öeldakse et on kolme muutuja f-n. Def: (x1, x2, ..., xn)E muutuja y siis y=(x1, x2, ..., xn). Def: Kahe muutuja f-ni määramispiirk nim niisugust x, y väärtuste paaride hulka millele eeskirjade kohaselt on võimalik vastavusse seada muutuja z väärtust. Kahe muutuja f-ni tasandilõiked ja nivoojooned Olgu kahe muutuja f-n z=(x; y) (joon) yz-tasand x=0; xz-tasand y=0; xy-tasand z=0 graafik on pind ruumis: (1) x=a {z=(x; y); x=a (2) y=b {z=(x; y); y=b (3) z=c {z=(x; y); z=c Need kolm on pinna z=(x; y) nivoojooned F-ni osamuut ja täismuut z=(x; y) fikseeritud punktis P(x; y) (joon) (x; y)(x+x; y) Def: Vahet (x+x; y)- (x; y) nim 2 muutuja f-ni osamuuduks x-i järgi ja tähistatakse xz (joonisel QQ). Kui on antud (x; y)(x; y+y) Def: f-ni osamuut y-i järgi on def punktis yz=(x; y+y)-(x; y) (joon. RR)
Ühtlasel ringliikumisel trajektoor on ringjoon ja kiirusvektori pikkus ei muutu. Samuti on konstantne nurkkiirus. Nurkkiirus on suurus, mida mõõdetakse pöörlemisnurga ja selle tekitamiseks kulunud aja suhtega. Z P z r P0 X x O 0 xz-tasandil on ringjoon raadiusega r. Mööda seda ringjoont toimub liikumine vastupäeva. Liikumine algab punktist P0, millele vastab nurk 0. Seda nurka nimetatakse algfaasiks. Teatud aja t pärast on punkti asukoht P ja sellele vastav pöörlemisnurk . - 0 Nurkkiirus = t Nurka mõõdetakse radiaanides. Radiaan on kesknurk, millele vastava kaare pikkus on võrdne raadiusega. 1 rad = 180/ kraadi. Geomeetriast on teada, et s
f x, y c Näide 3. Tüüpiline näide nivoojoontest on kaardi tasakõrgusjooned: need on punktid kaardil, millel on sama kõrgus. Funktsiooni z f x, y osamuuduks x järgi nimetatakse vahet x z fx x, y f x, y ja osamuuduks y järgi vahet yz f x, y y f x, y . Funktsiooni z f x, y täismuuduks nimetatakse vahet z fx x, y y f x, y . oluline on teada, et üldiselt z xz y z. z f Funktsiooni z f x, y osatletiseks x järgi, tähistame z x , f x x, y , x , x , nimetatakse piirväärtust z xz fx x,y f x,y x
osamuudu ja täismuudu mõisted nimetatakse funktsiooni z (kujutada ka joonisel). täismuuduks ja mis on määratud Et y väärtus sellel tasandil on valemiga: z = f(x+x,y+y) f(x,y). konstantne, siis muutub z joonel PS ainult sõltuvalt argumendi x muutumisest. Andes sõltumatule muutujale x muudu x , saab z muudu, mida nimetatakse z osamuuduks x järgi ja tähistatakse sümboliga x z (joonisel lõik SS): xz = f(x+x,y) f(x,y). Andes nüüd argumendile x muudu x ja argumendile y muudu y 3. Kahe muutuja funktsiooni osatuletiste mõiste ja geomeetriline interpretatsioon (joonis). Funktsiooni z = f(x,y) osatuletiseks x järgi nimetatakse vastava osamuudu xz ja muudu x suhte piirväärtust x lähenemisel nullile. 4. Kahe muutuja funktsiooni sümboliga dz või df . täisdiferentsiaali avaldis f f
MAGNETOSTAATIKA 78. Prootonite kimp liigub kiirusega 3.0105 m/s läbi homogeense magnetvälja,mille magnetiline induktsioon on 2.0 T ja mis on suunatud z-telje positiivsessuunas. Prootonid liiguvad xz-tasandil suunas, mis moodustab 30 z-telje positiivsesuunaga. Leida prootonile mõjuv jõud. Prootoni laeng on +1.6·10-19 C. 79. Tasapinna tükki, mille pindala on 3.0 cm2, läbib homogeenne magnetväli,mille jõujooned moodustavad pinnatükiga 30-kraadise nurga. Leida magnetilise induktsiooni suurus, kui pinnatükki läbiv magnetvoog on 0.90 mWb. 80. Sirges horisontaalses vaskvardas on vool 50.0 A läänest itta. Varras on
5. Võrrand y=ax2+bx+c esitab parabooli, mille haripunkt asub punktis (-b/2a, c-b2/4a) ja mis avaneb üles, kuis a>0 ja alla, kui a<0. II järku pinna üldvõrrand Ax2+By2+Cz2+Dxy+Exz+Fyz+Gx+Hy+Iz+J=0 II järku pinnad. Ellipsoid, sfäär Def. Sfäär on ruumi R3 selliste punktide geomeetriline koht, mis on samal kaugusel fikseeritud punktist. Sfääri üldvõrrand x2+y2+z2+Ax+By+Cz+d=0. Ellipsoidi kanooniline võrrand on x2/a2+y2/b2+z2/c2=1. Selle lõiked vastavalt xy- tasandiga, xz-tasandiga ja yz-tasandiga(z=0, y=0 ja x=0) on ellipsid x2/a2+y2/b2=1 x2/a2+z2/c2=1 y2/b2+z2/c2=1. Juhul kui a=b, või b=c, on tegu pöördellipsoidiga. Ka sfäär on erijuht pöördellipsoidist kui a=b=c. II järku pinnad, hüperboloidid Ühekatteline hüperboloid:Selle kanooniline võrrand on x2/a2+y2/b2-z2/c2=1. Lõige xy- tasandiga on ellips. Lõiked xz- ja yz tasandiga aga hüperboolid. Juhul kui a=b on tegu ühekattelise pöördhüperboloidiga
xy (-) xy Sisepind z Sisepind x z xy xz Normaal xz (-) x y y xy indeksid: esimene näitab pinna normaali (x), nihkepinge, [Pa]:
(Definitsioonid + korralik selgitus joonise 1 põhjal). Vaatleme pinna z=f(x,y) ja xy-tasapinnaga paralleelse tasapinna y=const lõikejoont PS. Et y väärtus sellel tasapinnal on konstantne, siis muutub z joonel PS ainult sõltuvalt x muutumisest. Andes sõltumatule muutujale x muudu x, saab z muudu, mida nim. z osamuuduks x järgi ja tähistatakse sümboliga xz (joonisel lõik SS'). xz=f(x+ x,y)-f(x,y) Analoogiliselt, kui x väärtus on konstantne ja y saab muudu y, siis saab z muudu, mida nim. z osamuuduks y järgi. Seda muutu tähistatakse sümboliga yz (joonisel lõik TT'). yz=f(x,y+y)-f(x,y)
# Teravnurga ristporjektsioon võib nurga asendist tingitult olla piires 0 kuni 180 kraadi Projektsioonidele esitatavad nõuded: lihtsus, mõõdetavus, piltlikkus, objekti üheselt määratavus Kujutava geomeetria põhilised meetodid: # Monge'i meetod ehk mituvaade # aksonomeetria # kvooditud ristprojektsiooni meetod kvoot punkti kaugus ekraanist Monge'i meetod Gaspard Monge (1746- 1818) - Objektist tuletatakse mitu ristprojektsiooniga risti - Põhiekraan (xy-tasand) - Esiekraan (xz-tasand) - Kaksvaate telg (x-tasand) - I,II,III,IV ruumiveerandid A' punkti A pealtvaade A'' punkti A eestvaade Joon A' A'' on sidejoon. Sidejoon on alati risti kaksvaate teljega. Punkti kaksvaade- määrab punkti asukoha ristuvate ekraanide suhtes üheselt, joonise pinna suhtes kaheselt Kolmvaate peaomadus Az A'''=Ax A'=A''A= Ya Sirge on määratud oma kahe punkti kaksvaatega 04:57 04:57
Tuntumad isotoobid: (esimene number on ülaindeks, teine alaindeks) H1 2 - deuteerium. (Tema ühend hapnikuga on raske vesi) H1 3 - triitium. (Beetaaktiivne aine, mille poolestusaeg on 12 aastat) U92 235 - rikastatud uraan (aatompommi põhikomponent) 12. Nihkereegel: Alfalagunemine - tuuma laeng väheneb kahe võrra, mass 4amü värra, ning element liigub tabelis kaks kohta ettepoole (valemites on esikohal ülaindeks, teisel alaindeks): Xz m > Yz-2 + He2 4 Beetalagunemine - Tuuma laeng suureneb kahe võrra, mass 4amü võrra ning element liigub ühe võrra tahapoole: Xz m > Yz+1 m + e-1 0 Gammalagunemine - sellist asja ei ole olemas, aga energia siiski eraldub teatud määral tuuma massi arvelt
[joonis 4-9;a] Seda saab soovi korral teha ka hiljem kui hakata PathFinder -i aknas sidet täpsustama. Positiivne väärtus liigutab detaili ühes suunas, negatiivne teises suunas. a b joonis 4-8 o Valida kasutatava sideme tüübiks Connect ja ühendada ,,Esitiiva" esimese serva keskpunkt plaani XZ külge. [joonis 4-9;c] Hetkel on seda lihtne määrata, kuna ,,Kere" loomisel sai ta modelleeritud nii, et plaan XZ jookseks mudeli keskelt läbi. 32 3d modelleerimine a b c
A C B D Paindemomendi Mz epüür 2,976 2,922 MZ A C B D Vaadeldava rakendatud koormuse korral saame vastavalt III tugevusteooriale eq = x2 + 4 xy 2 + xz 2 ( ) Kuna võlli ringikujulise ristlõike korral on põikjõududest Qy ja Qz tekkivate nihkepingete osatähtsus tugevuse seisukohalt ebaoluline, siis arvestame ainult nihkepingeid, mis tekivad väändemomendist T max = ( ) + ( ) max 2 xy max 2
Et rahva poolehoidu võita kinkis ta neile soolavee kaevu, kust sai kuulata kas meri on tormine või vaikne. Aga Poseidon polnud ainuke kandidaat. Ka Athena oli tulnud ennast pakkuma linna kaitsejumalaks. Ta kinkis rahvale oliivipuu ja rääkis, et kui rahvas võtaks tema enda linna kaitsejumalaks ,siis oleksid kõik selle linna elanikud targad ja andekad. Kuna selle linna kuningas ei teadnud kumba võtta, tehti hääletus. Athena võitis hääletuse ja selle linna kaitsejumalaks,xz mille nimi on nüüd Ateena. Poseidon oli sellepeale nii vihane, et pani tormid möllama ja ujutas maa üle. Siis otsustasid ateenlased, et ehitavad Sunioni neemele Poseidonile templi ja kummardavad mõlemat jumalat samapalju. Siis Poseidoni viha rauges ja oli Ateena meremeestele alati toeks. Ja nõnda saigi Ateenast võimas merelinn ja kaev, mille Poseidon Ateena rahvale kinkis on tänapäevanigi seal akropolises.
1)Keha ruumala: Kui f(x,y,z)=1, siis kolmekordne integraal üle piirkonna V väljendab keha ruumala: VALEM 2)Keha mass: Kui keha jaotustihedus piirkonnas V on antud funktsiooniga f(x,y,z) ≥ 0, siis VALEM 3)Keha masskese: Kui keha jaotustihedus piirkonnas V on antud funktsiooniga f(x,y,z) ≥ 0, siis masskeskme koord. saab: VALEM 4)Keha inertsmomendid: Kui keha jaotustihedus piirkonnas V on antud funktsiooniga f(x,y,z) suuremvõrdne 0, siis saab leida xy-, yz- ja xz- tasandi suhtes inertsmomendid järgnevalt: VALEM Keha V inertsmomendid x-, y- või z-telje suhtes leitakse vastavalt Ix=Ixy+Ixz Iy=Ixy+Iyz Iz=Ixz+Iyz Keha inertsmoment mingi telje suhtes leitakse integraalist: VALEM, kus r on punkti kaugus teljest l. Keha inertsmoment koordinaatide alguse 0 suhtes määratakse valemiga: Io=Ixz+Iyz+Ixy 11. I liiki joonintegraal, selle omadused ja arvutamine, näide Olgu xyz-ruumis R3 antud joon AB parameetriliste võrranditega
120) Nimetage tehnikas kasutatavad aksonomeetria liigid. Ristisomeetria ja horisontaalne kaldisomeetria. 121) Mis kujundiks projekteerub kera ristaksonomeetrias ja kaldaksonomeetrias? Ringiks. 122) Kui suur on kera kujutise raadius taandatud moondeteguritega ristisomeetrias ja ristdimeetrias, kui kera raadius on R? a) ristisomeetrias b) ristdimeetrias 123) Kuidas asetseb ristaksonomeetrias xy(xz;yz)-pinnaga paralleelse ringjoone kujutisellipsi pikem telg? Ellipsi lühem telg on ringi tasandiga risti oleva koordinaattelje kujutise sihiline, pikem on sellega risti. 124) Mis kujund on ringjoone kabinetprojektsioon, kui ringjoon on paralleelne xy/xz/yz- pinnaga? Ellips/ring/ellips.
8 12 1 4. 2-x 10. + 1+ x 1+ 1- x2 6 18 x 21-x 1- x xy 2 - xz 2 xy 2 + 2 xyz + xz 2 x -1 x 0,5 + x 0, 25 0, 25 5. : 11. x +1 y - 2 yz + z 2 2 y+z x 0,75 + x 0,5 x 0,5 + x 0
L lLow'{o O{-it;.tlo^. tg.l-- tv.rq"p,-r* 1G-^-\&XZ LPjf l ^ ) r ..Iit F 0,nl .t| )' t-Dv^r1^ou^'.L - tsJ". fvyar-^,r1 t-i,J.r tuof
Q y (b - s )h ; Sein xy,max = xz , max 4I z C z xz ,max << xy ,max h Qy s Sz,0.5 poolristlõike staatiline moment (antud tabelites või tuleb t
Q y (b - s )h ; Sein xy,max = xz , max 4I z C z xz ,max << xy ,max h Qy s Sz,0.5 poolristlõike staatiline moment (antud tabelites või tuleb t
121. Mis kujundiks projekteerub kera ristaksonomeetrias (kaldaksonomeetrias)? Ristaksonomeetrias ring, mille raadiusteks on 1,22r (isomeetria) ja 1,06r (dimeetria). Kaldaksonomeetrias on raadius võrdne raadiusega kera kaksvaatel. 122. Kui suur on kera kujutise raadius taandatud moondeteguritega ristiaomeetrias (ristdimeetrias), kui kera raadius on R? Vt eelmist. 123. Kuidas asetseb ristaksonomeetrias xy(xz;yz)pinnaga paralleelse ringjoone kujutisellipsi pikem telg? 124. Mis kujund on ringjoone kabinetprojektsioon, kui ringjoon on paralleelne xy(xz) pinnaga? 125. Mis kujund on ringjoone ristisomeetriline kujutis, kui ringjoon on paralleelne xy(xz, yz)pinnaga? 126. Skitseerige ristisomeetrilise teljestiku konstruktsioon (märkida juurde telgede moondetegurid). 127
Lähtudes lainepikkuse definitsioonist saab öelda, et ühe perioodi jooksul läbib häiritus vahemaa, mis võrdub lainepikkusega. Tõepoolest, kui aeg, mille jooksul punkt teeb täisvõnke, on T, siis ruumis liigub uuritav faas edasi vahemaa võrra. Olgu u häirituse liikumise (laine levimise) kiirus. Siis = uT ja u = f . Kirjeldame lainet matemaatiliselt, st tuletame võrrandi, mille alusel saab arvutada punkti asukoha suvalisel ajahetkel. Konkreetsuse mõttes vaatleme ristlainet xz-tasandil. Võnkumine toimub z-telje sihis, laine liigub x-telje sihis. Otsime lainefunktsiooni z = z(x,t) ehk küsime, kuidas saame arvutada punkti kauguse tasakaaluasendist kaugusel x ajahetkel t. Ruumipunktis x = 0 toimub harmooniline võnkumine. Siin ruumipunktis saame punkti hälbe (z-koordinaadi) arvutada võnkumise valemist z (0, t ) = r sin t Oletame, et laine levib x-telje positiivses suunas. Siis toimub igas ruumipunktis x samasugune võnkumine, ainult teatud hilinemisega
abc 2 3x 3 2,5ac 2b (5 x)3 xy 122x 3 1,5abc 2 xy 125x 3 Üksliikmete korrutamisel kordajad korrutatakse ja ühesuguste täheliste tegurite astendajad liidetakse. Näide (5 x 2 y 3 z ) (2 xy 2 z 2u ) 10 x 3 y 5 z 3 u Üksliikmete jagamisel kordajad jagatakse ja ühesuguste täheliste tegurite astendajad lahutatakse. Näide (5 x 2 y 3 z 4v) : (2 xy3 z 2 ) 2,5 x 21 y 33 z 42 v 2,5 xz 2v algusesse eelmine slaid järgmine slaid esitluse lõpp Hulkliikmed ja nende liitmine-lahutamine Hulkliikmena mõistetakse üksliikmete algebralist summat. Selles summas esinevaid üksliikmeid nimetatakse hulkliikme liikmeteks. Hulkliikmete liitmisel tuleb liidetavate hulkliikmete kõik liikmed kirjutada üksteise järele koos nende märkidega ja sarnased liikmed koondada. Näide ( 4 x 2 3 x 2
Olgu ruumiline v V (kolmemõõtmeline) piirkond V piiratud kinnise pinnaga S, millel on järgmised omadused: 1) iga sirge, mis on paralleelne z-teljega ja läbib piirkinna V seesmist (mitte pinnal S asetsevat) punkti, lõikab pinda S kahes punktis; 2) piirkonna V projektsioon xy-tasandil on regulaarne (kahemõõtmeline) piirkond D; 3) piirkonna V iga osa, mis on sellest ära lõigatud ühe koordinaattasandiga (xy, xz või yz) paralleelse tasandiga. Selliste omadustega piirkona V nimetatakse regulaarseks kolmemõõtmeliseks piirkonnaks. Sellisteks piirkondadeks on näiteks ellipsoid, risttahukas, tetraeeder. Kolmikintegraalil on järgmised omadused. Omadus 1. Kui piirkond V jaotada kaheks piirkonnaks V 1 ja V 2 tasandiga, mis on paralleelne ühe koordinaattasandiga, siis kolmikintegraali saamiseks üle piirkonna V tuleb liita kolmikintegraalid üle piirkondade V 1 ja V 2
Staatilised seosed Q y = xy dA M y = zdA N = dA A ( T = xy z - xz y dA ) A A Qz = xz dA A M z = ydA
(1.11) 2 Reaalarvude liitmine ja korrutamine on assotsiatiivsed: (x + y) + z = x + (y + z), (xy)z = x(yz). (1.12) 3 Leiduvad sellised reaalarvud 0 ja 1, et iga reaalarvu x korral x + 0 = x, x1 = x. (1.13) 4 Iga reaalarvu x R jaoks leidub nn. vastandarv -x, et x + (-x) = 0. 5 Distributiivsused: x(y + z) = xy + xz, (1.14) x(y - z) = xy - xz, (1.15) kus lahutamine defineeritakse valemiga 9 x - y := x + (-y). P¨o¨ordume n¨ uu¨d tagasi maatriksite juurde. Seejuures ei vaatle me igasu- guseid maatrikseid, vaid selliseid, mis on u ¨hesuguste m~o~otmetega, n¨aiteks selliseid, millel on m rida ja n veergu
11) 2◦ Reaalarvude liitmine ja korrutamine on assotsiatiivsed: (x + y) + z = x + (y + z), (xy)z = x(yz). (1.12) 3◦ Leiduvad sellised reaalarvud 0 ja 1, et iga reaalarvu x korral x + 0 = x, x1 = x. (1.13) 4◦ Iga reaalarvu x ∈ R jaoks leidub nn. vastandarv −x, et x + (−x) = 0. 5◦ Distributiivsused: x(y + z) = xy + xz, (1.14) x(y − z) = xy − xz, (1.15) kus lahutamine defineeritakse valemiga 9 x − y := x + (−y). P¨o¨ordume n¨ uu¨d tagasi maatriksite juurde. Seejuures ei vaatle me igasu- guseid maatrikseid, vaid selliseid, mis on u ¨hesuguste m˜o˜otmetega, n¨aiteks selliseid, millel on m rida ja n veergu
-1 0 0 0 -1 0 0 0 -1 Järgnevalt koostame kovariatsioonimaatriksi E, mille peadiagonaal koosneb plokkidest. Ploki moodustavad tabelis 2 toodud elemendid δ 2x , δ 2y , δ 2z , δ xy , δ xz ja δ yz . Moodustatud 24x24 maatriks E ning selle pöördmaatriksiks olev kaalumaatriks W on toodud lisatud Excel’i failis. Moodustatud maatriksid viime programmi Matrix ning teeme läbi tasanduse kaalutud vähimruutude meetodil. Tulemusena saame X maatriksi (Tabel 5), mis sisaldab otsitava punkti E koordinaate. Lisaks saame kaaluühiku dispersiooni S 02, mille väärtuseks on
= f ( x(u , v, w), y (u , v, w), z (u , v, w)) J (u , v, w) dxdydz V' xu' xv' xw' J (u , v, w) = yu' yv' yw' on funktsionaaldeterminant ehk jakobiaan zu' zv' z w' Olgu antud punkt P(x,y,z)R3. Punkti P(x,y,z) silinderkoordinaatideks nimetatakse arvukolmikut , ja z, kus ja on punkti P projektsiooni polaarkoordinaadid xy- tasandil ja z on punkti P kaugus xy-tasandist. x=cos x'=cos x'=-sin xz'=0 y=sin y'=sin y'=cos yz'=0 z=z z'=0 z'=0 zz'=1 cos - sin 0 J ( , , z ) = sin cos 0 = Seega z 0 1 f ( x, y, z )dxdydz = f ( cos , sin , z ) dddz V V' Punkti P(x,y,z)R sfäärkoordinaadid ruumis alguspunktiga O on , ja , kus =| 3 OP|, - on punkti P projektsiooni polaarnurk xy-tasandil ja 0 on vektori
x, y - sõltumatud muutujad ehk argumendid z- sõltuv muutuja 6. Mis on kahe muutuja funktsiooni määramispiirkond, muutumispiirkond, graafik? D määramispiirkond Z = { z|z = f(x;y); (x;y) E D} - muutumispiirkond Funktsiooni graafik kolmedimentsiooniline. Teooriaküsimused nr. 8 1. Defineerida kahe muutuja funktsiooni osatuletised. Funktsiooni z=f(x;y;u,...) osatuletiseks x järgi nimetatakse vastava osamuudu xz ja argumendi x muudu x suhte piirväärtust x lähenemisel nullile Kahe muutuja funktsiooni z=f(x,y) osamuut x järgi: osamuut: xz = f(x + x, y) - f(x;y) Kahe muutuja funktsiooni x=f(x,y) osamuut y järgi: yz=f(x;y+y) - f(x,y) Kahe muutuja funktsiooni z=f(x,y) täismuut: z= f(x+x; y+y) - f(x;y) 2. Mis on mitme muutuja funktsiooni gradient? Gradientvektor on vektor funktsiooni määramispiirkonna mingis punktis, mille koordinaatideks on vastava osatuletise väärtused selles punktis.
49. Mis on tsentraalpeainertsteljed ja tsentraalpeainertsmomendid? 3. Keha masskeskmest lähtuvaid peainertstelgi nimetatakse tsentraalpeainerts-telgedeks. 4. Inertsmomente tsentraalpeainertstelgede suhtes nimetatakse tsentraalpeainertsmomentideks. 50. Mis on tsentrifugaalinertsmomendid? Ixy=sum(mixiyi) 51. Loetleda tsentrifugaalinertsmomentide 6 omadust (internetiõpiku põhjal). 1) Kuna korrutis ei olene tegurite järjekorrast, siis I xy = I yx ; I yz = I zy ; I zx = I xz 2) Tsentrifugaalinertsmomendid on muutuvad suurused. Tõepoolest, kui seade pöörleb näiteks ümber z- telje, siis tema punktide koordinaadid xi ja yi ju kogu aeg muutuvad ja seetõttu muutuvad ju ka Ixy , I yz ja I zx . 3) Tsentrifugaalinertsmomendid võivad olla nii positiivsed kui ka negatiivsed suurused ja erijuhtumil, telgede xyz sobival valikul, saada võrdseks nulliga. Selle poolest erinevad tsentrifugaalinertsmomendid
Kõverjoonelise liikumise näitena vaatame sellist vaba langemist, kui keha algkiirus v 0 pole enam z-telje sihiline. S.t. keha visatakse vertikaalsihi suhtes mingi nurga all. Siis valime koordinaatteljestiku selliselt, et z-telg on endiselt vertikaalsihiline ja keha algkiiruse vektor v 0 paikneks xz-tasandil. Liikumisvõrrandid komponentkujul (1.6) võtavad kuju (1.10) ja need tuleb kirjutada ainult x- ja z-telje sihis. xta 2 zta 2 (tx ) = x0 + 0xtv + z(t) = z0 + 0ztv + 2, 2. (1.17) (tv ) = v + ta (tv ) = v + ta x 0x x z 0z z Et vaba langemise korral kiirendusvektor avaldub
Põhiseoste kehtivus tuleneb elementaarsete loogikatehete definitsioonidest: konjunktsioon disjunktsioon distributiivsus : (sulgude nn. "lahtikorrutamine" ja "lahtiliitmine) x( y w z) = x y w xz x ( y z) = (x w y)(x w z) w ___________________________________________________________ 0 0 0 0 0 1 0 1
x, y - sõltumatud muutujad ehk argumendid z- sõltuv muutuja 6. Mis on kahe muutuja funktsiooni määramispiirkond, muutumispiirkond, graafik? D -määramispiirkond Z = { z|z = f(x;y); (x;y) e D} - muutumispiirkond Funktsiooni graafik kolmedimentsiooniline. TEOORIAKÜSIMUSED nr 8 1. Defineerida kahe muutuja funktsiooni osatuletised. Funktsiooni z=f(x;y;u,...) osatuletiseks x järgi nimetatakse vastava osamuudu xz ja argumendi x muudu x suhte piirväärtust x lähenemisel nullile: = = Kahe muutuja funktsiooni z=f(x,y) osamuut x järgi: osamuut: xz = f(x + x, y) - f(x;y) Kahe muutuja funktsiooni x=f(x,y) osamuut y järgi: yz=f(x;y+y) - f(x,y) Kahe muutuja funktsiooni z=f(x,y) täismuut: z= f(x+x; y+y) - f(x;y) 2. Mis on mitme muutuja funktsiooni gradient? Gradientvektor on vektor funktsiooni määramispiirkonna mingis punktis, mille koordinaatideks on vastava
#######_O #M#-?KE8 #[o/mE#|{!#" u# A#hQI7#z]-
[#9E!CGph__0QYx##(cdha#;$8t#
-#`####rKrq#MOD'#=l#P@ ;L##l *#gNql):w#u]'#S|
ziGnv%##LX #w;?y###2z@##ZcW;###k#2
aY7Yy#?#(##:,## uq #p!NWtx#m######PK##########!
#C###<######word/styles.xmlms8#}#ib4#!21#|
7}[n#v#I?>bLH%Sd#0J#_i"V/2?~Og~e
$;KRq#,JdoZ&n>#"
6+8 -u (
T#S#,#oW#Q#B#:3m?OJt=,;p##
'Y#)2}EuM OQ#FQ X%?M u#l-# öMsS_&G34#/ 1
3[Xz#.[### ###,L #?714V###Yx,##BrE#2ix1Q##? J#2&
4*P<5~2
?Kg2-#jhp<9ku`&#&
:&yc#JVr`zPe)Y#(t####'vYxiw#&&M#OFF!
+A*W W 5#*Y :4 #*9:##*#:##qD #,#j6]ci7#h#unE*#R^z-
#fi"N_#NU"C^z)#>rZ~q
Sõltumatud ehk argumendid x,y Sõltuv muutuja - z 26. Mis on kahe muutuja funktsiooni määramispiirkond, muutumispiirkond, graafik? Määramispiirkond x ja y ühisosa Muutumispiirkond - Z={z|z=f(x,y); (x;y)D} Graafik määramispiirkonnas olev pind ruumis 27. Defineerida kahe muutuja funktsiooni osatuletised. Funktsiooni z = f (x, y, u, ...) osatuletiseks x järgi nimetatakse vastava osamuudu xz ja argumendi x muudu x suhte piirväärtust x lähenemisel nullile 28. Mis on mitme muutuja funktsiooni gradient? Missuguses suunas kasvab mitme muutuja funktsioon kõige kiiremini? Gradient - vektor funktsiooni määramispiirkonna mingis punktis, mille koordinaatideks on vastava osatuletise väärtused selles punktis Mingis punktis leitud gradientvektori suund näitab funktsiooni kiireima muutumise suunda selles punktis. 29
veerge kui maatriksis B Maatrikskorrutamise omadused: Maatriksite korrutamine on assotiatiivne, st mistahes kolme ruutmaatriksi X,Y,Z korral (XY)Z=X(YZ) Mistahes ruutmaariksi X ning vastava ühikmaatriksi E korral XE=EX=X Mistahes kolme ruutmaatriksi X,Y,Z korral ( X ±Y ) Z=XZ ± YZ , X ( Y ± Z )= XY ± XZ Mistahes ruutmaatriksite X ja Y korral (XY) T=YTXT Maatriksite korrutamine on mittekommutatiivne, st AB ≠ BA 48.maatriksi transponeerimine-transponeeritud maatriksiks nimetatakse maatriksit, mis saadakse maatriksi A ridade ja veergude äravahetamisel tähis AT 49.Maatriksi elemendi täiendusmiinor- tähis Mij . Kui maatriksist ära jätta i-s rida ja j-s veerd, siis saadud (n-1)-järku ruutmaatriksi determinanti
Pinda, mida saab deformeerida tasapinnaks painutamise teel ilma pinna kvaliteeti muutmata, nimetatakse laotuvaks ehk tasanduvaks pinnaks. Pind ei veni ega tõmbu kokku, ei rebene ega lähe volti. Koonilised pinnad, silindrilised pinnad ja puutujapind. 57. Skitseerige konstruktsioon koordinaatpinnal asetseva ringjoone kujutisellipsi pooltelgede pikkuse määramiseks taandatud moondeteguritega ristisomeetria jaoks. Tõmbad joone punktidest, kus ringjoon lõikab xy või xz või zy telgede vahele, tõmbad sirge saadud sirgega risti nii, et see läbiks ringjoone keskpunkti, saadud sirgele kanda samast punktist koordinaat telgede vahelise sirge pikkus. a=1,22r ja b=0,71r 58. Mis sihilised on koordinaatpinnal asetseva ringjoone kujutisellipsi teljed ristaksonomeetrias? Ellipsi lühem telg on ringi tasandiga risti oleva koordinaattelje kujutise sihiline, pikem on sellega risti. 59
. . , qn }. Valime p = n. Siis sõne z = a1a2...an+1 aktsepteerimiseks peab automaat M tegema n+1 sammu. Järelikult vähemalt 1 olek peab korduma. Järelikult uw ∈ L(M), uvw ∈ L(M), uv2w ∈ L(M) jne. Keel L = {0n1n|n > 0} pole regulaarne. Sellise keele jaoks on vaja mälu. 6 Myhill-Nerode teoreem. DEF: Olgu keele L ⊆ Σ* (keel on kõigi sõnede hulga alamhulk) jaoks antud ekvivalentsiseos HL ⊆ Σ* × Σ* selline, et xHLy kehtib parajasti siis, kui iga z ∈ Σ* korral kehtib xz ∈ L yz ∈ L (iga suvalise z lisamisel x ja y sappa, kuuluvad saadud xz ja yz mõlemad keelde L või ei kuulu mõlemad). Teoreem: Keel L on regulaarne parajasti siis, kui seose HL ekvivalentsiklasside hulk on lõplik. T: (tarvilikkus) Kui keel L on regulaarne, leidub teda aktsepteeriv lõplik automaat M = (Q , Σ, δ, q0, F). Olgu R0i ⊆ Σ* sõnede hulk, mis viib automaadi M lähteolekust q0 olekusse qi. Seose HL ekvivalentsiklass on lõplik ühend Cl = R0i1 ∪ R0i2 ∪ . . . ∪ R0il.
ristdimeetria- m=0,94, m1=0,47 ja k=1,06; Kaldaksonomeetria: frontaalne kalddimeetria (kabinetprojektsioon) m=1, m1=0,5; horisontaalne kaldisomeetria- m=1 ja =30, 45 või 60 kraadi.(kasutatakse arhitektuuris). 66. Skitseerige konstruktsioon kordinaatpinnal asetseva ringjoone kujutisellipsi pooltelgede määramiseks taandatud moondeteguritega ristisomeetria jaoks. Tõmbad joone punktidest, kus ringjoon lõikab xy või xz või zy telgede vahele, tõmbad sirge saadud sirgega risti nii, et see läbiks ringjoone keskpunkti, saadud sirgele kanda samast punktist kordinaat telgede vahelise sirge pikkus. a=1,22r ja b=0,71r 67. Mis sihilised on koordinaatpinnal asetseva kujutisellipsi teljed ristaksonomeetrias? Ellipsi lühem telg on ringi tasandiga risti oleva kordinaatelje kujutise sihiline, pikem on sellega risti. 68. Nimetage tehnikas kasutatavad
Tuletise rakendusi funktsiooni käitumise uurimisel: 1) f'(x) > 0 positiivsuspiirkond; 2) f'(x) < 0 negatiivsuspiirkond; 3) f'(x) = 0 annab kriitilised kohad, mida saab teise tuletisega kontrollida; 4) f''(x) > 0 annab nôgususpiirkonna; 5) f''(x) < - annab kumeruspiirkonna; 6) f''(x) = 0 annab käänukohad. 33. Mitme muutuja funktsiooni osatuletiste ja täisdiferentsiaali mõiste. Mitme muutuja funktsiooni osatuletis kui leidub z=f(x;y) piirväärtus limx0(xZ / x) = Z'x st. osatuletis muutja x järgi; xZ = f(x0 + x; y) f(x;y). Kui leidub z=f(x;y) piirväärtus limy0(yZ / y) = Z'y st. osatuletis muutja y järgi; yZ = f(x; y0 + y) f(x;y). Mitme muutuja funktsiooni täisdiferentsiaal: w=f(x;y;z); dw = w'xdx + w'ydy + w'zdz. 34. Kahe muutuja funktsiooni ekstreemumite leidmine. Mitme muutuja funktsiooni ekstreemumite leidmine: z=f(x;y). Leiduvad osatuletised z'x , z'y , z''x2 , z''y2 , z''xy. Eeldame, et funkts
· Võimaldab liigutada vähemalt kahte tööpingi telge korraga. · Juhtsüsteemis olev interpolaator arvutab arvuti abiga teljed nii, et lõikeinstrument liigub programmi järgi määratud positsiooni ja määratud ettenihkekiirusega. · Suurendab täpsust. · Lihtsustab programmeerimist. Interpolaator Lineaar- interpolatsioonis liigu tööriist sirgjooneliselt algpunktist lõpppunktini. Lineaare- interpolatsiooni on võimalik kasutada kõikidel tasapindadel XY, XZ ja YZ ning mitmel juhul ka kolme teljega X,Y,Z üheaegselt. Interpolaator Ring-interpolatsiooniga liikumine toimub piki ringjoonekaart. Lähteandmetena edastatakse interpolaatorile (arvutile) algpunkti ja lõpppunkti positsioon ning raadius R (või nihe algpunktist kaare tsentrisse I ja J). Ringjoone liikumisel muudab interpolaator kogu aeg telgede liikumiskiirust. Arvuti arvutab teatud ajavahemikus (näit. 0,001 sekundit) tööriistale uue liikumissuuna või liikumiskiiruse.
Teoreem: Funktsioonil f võib lokaalne ekstreemum olla vaid tema kriitilises punktis. Üheski kriitilises punktis ei pruugi leiduda lokaalset ekstreemumit. Lokaalseid ekstreemume saab leida alati definitsiooni abil kriitilisi punkte kontrollides. Teoreem: Olgu antud funktsioon f ( x, y , z ,...) , mis on kaks korda diferentseeruv statsionaarses punktis P0. Leiame determinandid: A1 = f xx ( P0 ) f xx ( P0 ) f xy ( P0 ) f xz ( P0 ) f xx ( P0 ) f xy ( P0 ) A3 = f yx ( P0 ) f yy ( P0 ) f yz ( P0 ) ... A2 = f zx ( P0 ) f zy ( P0 ) f zz ( P0 ) f yx ( P0 ) f yy ( P0 ) 1) kui A1 < 0 , A2 > 0 , A3 < 0 , A4 > 0 , ... , siis on funktsioonil f punktis P0 range lokaalne maksimum; 2) kui A1 > 0 , A2 > 0 , A3 > 0 , A4 > 0 , ..
Kolmnurgad kooniline. 65. Kuidas liigitatakse aksonomeetrilisi kujutisi projektsiooni liigi (moondeteguri vahekorra) alusel? Isomeetrilised ehk võrdmõõdulised Dimeetrilised ehk kahemõõdulised Trimeetrilised ehk kolmemõõtmelised 66. Skitseerige konstruktsioon koordinaatpinnal asetseva ringjoone kujutisellipsi pooltelgede määramiseks taandatud moondeteguritega ristisomeetria jaoks. Tõmbad joone punktidest, kus ringjoon lõikab xy või xz või zy telgede vahele, tõmbad sirge saadud sirgega risti nii, et see läbiks ringjoone keskpunkti, saadud sirgele kanda samast punktist koordinaat telgede vahelise sirge pikkus. a=1,22r ja b=0,71r 67. Mis sihilised on koordinaatpinnal asetseva ringjoone kujutisellipsi teljed ristaksonomeetrias? Ellipsi lühem telg on ringi tasandiga risti oleva koordinaattelje kujutise sihiline, pikem on sellega risti. 68. Nimetage tehnikas kasutatavad aksonomeetria liigid
-> - c *o _rl t//Y f- l os, Ja-t . s fl I { * , ' . A = c= o 4/io rD"o tt / - ' - * LI B ra q 'J ll rff xz - tas ,t t l t , : b =C=o : l*r f DuJ o -, x = ^ D O - Al l !*- { as .1 x ' f . 8 l , D = e -> =4 => &>x-{ "' q B-D=o "{ - a.aa'0ee7i &'rdt I 1e , C - D= o . / 4
Joon. 5 1.3. Mongei meetod 4 Meetod kasutab kaht risti olevat ekraani, millele tehakse objektist ristprojektsioonid. Seejärel pööratakse ekraanid koos kujutisega ühele tasapinnale - joonise pinnale. 1.3.1. Punkti kaksvaade Vtame 1 = xy-tasapind - phiekraan; 2 = xz-tasapind - esiekraan; Pärast ekraanide lahtipööramist saame punkti A kaksvaate (joon. 6), kus x 1 × 2 - kaksvaate telg; AA x - sidejoon; A ( xA ; yA ) - punkti A pealtvaade; A ( xA ; zA ) - punkti A eestvaade. Punkti A kaksvaade AA määrab punkti asukoha ekraanide suhtes üheselt. Kui punkt on antud kaksvaatega, kirjutatakse A (A,A). z
k=1,06; 2. Kaldaksonomeetria: frontaalne kalddimeetria (kabinetprojektsioon) m=1, m1=0,5; horisontaalne kaldisomeetria- m=1 ja w=30, 45 või 60 kraadi.(kasutatakse arhitektuuris). 9. Skitseerige konstruktsioon kordinaatpinnal asetseva ringjoone kujutisellipsi pooltelgede määramiseks taandatud moondeteguritega ristisomeetria jaoks. Tõmbad joone punktidest, kus ringjoon lõikab xy või xz või zy telgede vahele, tõmbad sirge saadud sirgega risti nii, et see läbiks ringjoone keskpunkti, saadud sirgele kanda samast punktist kordinaat telgede vahelise sirge pikkus. a=1,22r ja b=0,71r 10. Mis sihilised on koordinaatpinnal asetseva kujutisellipsi teljed ristaksonomeetrias? Ellipsi lühem telg on ringi tasandiga risti oleva kordinaatelje kujutise sihiline, pikem on sellega risti. 11. Nimetage tehnikas kasutatavad aksonomeetria liigid
Nokkteral on selline paksend vaid tera ninaosas. Põskteral on nina külgserval tugiplaat (tugevdusplaat). Peiteltera on niisugune, mille ninaosa on kujundatud vahetatava plaadina (plaatpeitel) (joonis 1.9) või nihutatava varvana (varbpeitel, nihkpeitel). 3. Adra saha geomeetriline iseloomustus. Adra saha töö tehnoloogilist protsessi võib kujutada teostatuna kolme elementaarse kiilu poolt (joon. 3.3, a), mis liiguvad x-telje sihis. Esimene kiil töönurgaga (xz-tasapinnal) eraldab künniviilu vao põhjast (xy-tasapinnast) ja tõstab selle üles. Koos sellega viil deformeerub ja praguneb, st. kobestub. Teine kiil töönurgaga (xy-tasapinnal) eraldab künniviilu vao seinast (xz-tasapinnast) ja nihutab selle kõrvale. Seejuures viil samuti deformeerub ja praguneb, st. kobestub, kuid juba teises sihis. Kolmas kiil töönurgaga (yz-tasapinnal) kallutab künniviilu. Kui nurga muutumist
annaabi.ee 
