Vektorite komplanaarsus Punkte, mis asuvad ühel tasandil, nimetatakse komplanaarseteks. Vektoreid nimetatakse komplanaarseteks siis, kui nad pärast ühisesse alguspunkti viimist asuvad samal tasandil. Kaks vektorit on alati komplanaarsed. See tähendab, kui kaks vektorit rakendada ühisesse alguspunkti, siis saab neist alati läbi panna tasandi. Kui need vektorid on kollineaarsed, siis nad tasandit ei määra. Kui need kaks vektorit on mittekollineaarsed, siis nad määravad tasandi. Neid kahte mittekollineaarset vektorit nimetatakse sel juhul tasandi rihivektoriteks.
Tee, mida mööda keha liigub, nimetatakse trajektooriks, mis võib olla nii nähtav kui ka nähtamatu. Liikumise liigitamine: · Sirgjooneline · Kõverjooneline · Ühtlane · Mitteühtlane · Kulgev · Pöörlev · Võnkuv Liikumine on suhteline ja sõltub täiesti taustkeha valikust. Nt. sõites autoga, auto sinu jaoks ei liigu aga puud küll. LIIKUMIST ISELOOMUSTAVAD SUURUSED 1)aeg- t (s) 2)teepikkus- s (m) 3)nihe- s-> 4)kiirus- v (m/s) VEKTORID Vektor on suunaga suurus. Vektoreid kujutatakse joonistel nooltena. Vektori pikkus on moodul (absoluutväärtus) 1) Vektorite liitmine Vektoreid liidetakse kas kolmnurga või rööpküliku reegli järgi ja ainult graafiliselt. 2) Vektorite lahutamine Vektorite lahutamiseks võib vektorile liita teise vektori vastandvektori. Lahutamiseks võib nad kanda ka ühisesse alguspunkti. Vektorite vahe viib teise lõpust esimese algusesse. Nihe on vektor, mis viib keha algasukohast lõppasukohta.
ja magnetväli on suunatud peopessa, siis välja sirutatud pöial näitab juhtmelõigule mõjuva jõu suunda. 10. Kui juhtmele, mille pikkus on üks meeter ja milles kulgeb vool tugevusega üks amper, mõjub selle juhtmega ristuva magnetvälja poolt jõud üks njuuton, siis on välja magnetiduktsioon üks tesla. 11. Nii elektri – kui magnetväljas kehtib superpositsiooniprintsiip ehk liitumise põhimõte. E-vektoreid ja B-vektoreid tuleb vektoriaalselt liita.(kui on vaja leida E-või B-vektori pikkused) 12. Elektromagneetiline väli - seisvaid laenguid ümbritseb elektriväli. Liikuvatele laengutele lisandub magnetväli. Sellist laengut ümbritsevat elektrivälja ja magnetvälja liitvälja nim. elektromagneetiliseks väljaks.
Vektori pikkuseks ehk moodduliks nim vektori kui lõigu pikkust. *Vektorit, mille moodul võrdub ühega nim ühikvektoriks. Nullvektoriks nim vektorit mille alguspunkt ja lõpp-punkt ühtivad. Vektorite võrdsus Kaht vektorit nim võrdseteks kui nad on võrdse pikkusega ja samasuunalised ja vektorite võrdsus erineb lõikude võrdsusest. Vabavektor- see on veektorid mille alguspunkti valik ei ole millegagi kitsendatud. Vektorite kollineaarsus ja komplanaarsus Vektoreid nim kollineaarseteks, kui peale ühisesse alguspunkti viimist nad asuvad ühel ja samal sirgel. Kollineaarsete vektorite definitsioonist järeldub et nad on kas sama- või vastassuunalised. Vektoreid nim komplanaarseteks kui pärast ühisesse alguspunkti viimist nad asuvad ühel ja samal tasandil. Vektorite summa ja vahe Vektorite summaks nim niisugust vektorit, mis väljub nende ühisest alguspunktist ja on niisuguse rööpküliku diagonaal, mille külgedeks on liidetavad vektorid
omadust. 1. Olgu V kõigi geomeetriliste vektorite hulk tasandil ning ja suvalised mittekollineaarsed vektorid ruumist V. Siis iga vektor V avaldub lineaarse kombinatsioonina vektoritest ja . Öeldakse, et vektorid a1 , a2 ,..., a m V (m > 1) on lineaarselt sõltumatud, kui ükski nendest ei avaldu lineaarse kombinatsioonina ülejäänud m -1 vektorist. Nullist erinevat vektorit (s.t. juht m =1 ülalt) nimetatakse samuti lineaarselt sõltumatuks. Vastandjuhul nimetatakse vektoreid a1 , a2 ,..., am lineaarselt sõltuvateks. Vektorruumi V vektorid ja on paralleelsed ehk kollineaarsed, kui üks nendest kahest vektorist on teise vektori kordne. 6. Vektorruumi baasi definitsioon. Loomulik ehk kanooniline baas. Vektorruumi mõõde ehk dimensioon. Baasivektorid. Vektori koordinaadid. Mittetühja hulka B, kus B V, nimetatakse vektorruumi V baasiks, kui 1. vektorite hulk B on lineaarselt sõltumatute vektorite hulk ja 2. iga vektor vektorruumist V avaldub lineaarse
Skalaarne suurus on selline suurus, mida saab avaldada ühe arvuga (pikkus, laius). Vektoriaalseks suuruseks nimetatakse sellist suurust, mille täielikuks määramiseks on peale arvväärtuse vaja ka sihti ja suunda (kiirus, jõud). Vektoriks nimetatakse suunatud sirglõiku. Vektorit iseloomustavad siht (kuidas vektor asetseb), suund (kummale poole vektor on suunatud) ja vektori arvväärtus. Vektoreid tähistatakse kas AB (nool peal) või a (nool peal). Kollinaarsed vektorid on samasihilised ehk paralleelsed, nende vastavad koordinaadid on võrdelised. Kollineaarseteks nimetatakse kaht vektorit u ja v, mille vahel kehtib seos u = kv, kus k on konstant. Jagunevad sama- ning vastassuunalisteks. Kahte vektorit nimetatakse võrdseteks, kui nad on samasihilised, samasuunalised ja ühepikkused. Nullvektor on vektor, mille algus- ja lõpp-punkt ühtivad
2. suund 3. pikkus a Siht näitab vektori asendit ruumis või tasandil. Kaks vektorit b võivad olla samasihilised või erisihilised. Joonisel on vektorid a ja b samasihilised ( tähis a|| b ), vektor c siht on aga c nendest erinev. Samasihilisi vektoreid kujutatakse joonisel paralleelsetena. Vektori suund näitab kuhu poole on vektor suunatud. Samasihilised vektorid võivad olla kas samasuunalised ( a b ) või vastassuunalised ( a d ). Vektori pikkus näitab tema alguspunkti ja lõpp-punkti vahelist kaugust. B Vektoreid võidaks tähistada ühe väiketähega nii nagu ülal joonisel on tehtud
Definitsioon. Vektori mooduliks nimetatakse tema pikkust, see on lõigu AB pikkust ja tähistatakse AB AB , a a . Vektori moodul on skalaarne mittenegatiivne suurus. Definitsioon. Nullvektoriks nimetatakse vektorit, mille algus- ja lõpp-punkt langevad kokku. Nullvektori moodul on alati võrdne nulliga, tema suund ei ole määratud. Definitsioon. Ühikvektoriks nimetatakse vektorit, mille moodul (pikkus) on 1. Definitsioon. Kollineaarseteks vektoriteks nimetatakse vektoreid, mis asuvad ühel sirgel või paralleelsetel sirgetel. Kollineaarseid vektoreid tähistatakse a b . Kollineaarsed vektorid võivad olla suunatud samapidi a b või vastupidi a b . Definitsioon. Vastandvektoriteks nimetatakse kahte vastassuunalist ühepikkust vektorit: a , a . Definitsioon
Sellist sirglõiku iseloomustavad siht, suund ja pikkus. Siht näitab, kuidas vektor asetseb. Suund näitab, kummale poole on vektor suunatud. Pikkus näitab vektori arvväärtust. Kui vektori alguspunkt on A ja lõpppunkt on B, siis vektorit tähistatakse . Vektorit tohib tähistada ka väiketähega, näiteks Üldiselt mõistetakse matemaatikas vektori all vabavektoreid kui pole öeldud teisiti. Samasihilisteks ehk kollineaarseteks ehk paralleelseteks nimetatakse vektoreid, mis asetsevad ühel ja samal sirgel või paralleelsetel sirgetel. Vektorid on võrdsed, siis kui nad on võrdsete pikkustega, kollineaarsed ja samasuunalised. Vastandvektorid on vektorid, mis on võrdse pikkusega, samasihilised kuid vastassuunalised. Vektorit tasandil saab esitada arvupaari abil, milles olevaid arve nimetatakse koordinaatideks. Esimene koordinaat näitab, kuidas tuleb liikuda x-telje sihis, et jõuda vektori alguspunktist lõpp-punkti
homegeenseks elektriväljaks. Elektrivälja jõujoonte omadused: nad ei lõiku, mida tihedamalt paiknevad jõujooned seda tugevamad on elektriväli, ajas muutumatu elektrivälja korral saavad jõu jooned alguse kas pluss laengult või lõpmatustest ja lõpevad kas miinus laengult või lõpmatustest. Kehtib elektrivälja super positsiooni prindsiip. Sumaarne elektrivälja tugevus võrdub liituvate elektriväljade tugevuste summaga. Liita tuleb vektoreid. Potentsiaal sellised jõu väljad, mille poolt tehtud töö sõltub ainult keha alguse ja lõppunkti asukohast on potentsiaalsed väljad. Potentsiaalsete väljades saab kasutada potentsiaalse energia mõistet. Nt: Elektrivälja gravitatsiooni väli, magneti väli ei ole potentsiaalne väli. Elektrivälja mingi punkti potentsiaal näitab sellesse punkti asetatavat proovilaengu potentsiaalse energia ja suuruse suhet. Ekvipotentsiaalpind on selline pind mille iga punkti potentsiaal on sama
Näide 1. Olgu V kõigi geomeetriliste vektorite hulk tasandil ning ja suvalised mittekollineaarsed vektorid ruumist V. Siis iga vektor V avaldub lineaarse kombinatsioonina vektoritest ja . Def. 2. Öeldakse, et vektorid1 , 2 , ... , m V ( m > 1) on lineaarselt sõltumatud, kui ükski nendest ei avaldu lineaarse kombinatsioonina ülejäänud m - 1 vektorist. Nullist erinevat vektorit (s.t. juht m = 1 ülalt) nimetatakse samuti lineaarselt sõltumatuks. Vastandjuhul nimetatakse vektoreid 1 , 2 , ... , m lineaarselt sõltuvateks. Def. 4. Öeldakse, et vektorruumi V vektorid ja on paralleelsed ehk kollineaarsed, kui üks nendest kahest vektorist on teise vektori kordne. 6. Vektorruumi baasi definitsioon. Loomulik ehk kanooniline baas. Vektorruumi mõõde ehk dimensioon. Baasivektorid. Vektori koordinaadid. Def. Mittetühja hulka B, kus B V , nimetatakse vektorruumi V baasiks, kui 1° vektorite hulk B on lineaarselt sõltumatute vektorite hulk,
10. Kuidas lahutatakse vektoreid komponentideks ja miks see on vajalik? Iga vektori võib asendada vähemalt kahe vektoriga, millede summa annab esialgse vektori. On vajalik, et lihtsustada ülessande lahendamist. Tavaliselt lahutatakse vektorid teljesuunalisteks komponentideks. 23. Lähtudes seosest pöördliikumist iseloomustavate suuruste vahel, tuletage seos kiiruste vahel. 35. Lähtudes raskusjõu väljast, tuletage potentsiaalse energia valem. A12=m*g*(y1-y2)=-(m*g*y2- m*g*y1) Tehtud töö võrdub kahe tööga samadimensionaalse suuruse muuduga võetuna v...
Märkus. Sümbol arccos a tähendab seda, et leiame vähima mittenegatiivse nurga x, mille koosinus on a. Ülesannete lahendamisel leiame nurga tavaliselt arvuti abil, 1 kasutades selleks klahvi cos . Siin tuleb olla väga tähelepanelik, et arvuti oleks reguleeritud kraadi- või radiaansüsteenile (sõltuvalt sellest, missugust tulemust ne saada tahame). Samad arvutusreeglid kehtivad liitmisel, lahutamisel ja arvuga korrutamisel ka siis, kui vektoreid on üle kahe. Kolme vektori skalaarkorrutist leida ei saa. Miks?
Kui obiekt pole vastastikmõjus ümbritsevate obiektidega, siis iga ajahetke võib valida alghetkeks. 7. Loetlege vastastikmõjud tugevuse kahanemise järjekorras ja nimetage mõju kandja Tugev, Elektromagnetiline, Nõrk, Gravitatsiooniline. 8. Mis on vektor ja mis on skalaar? Vektor- Füüsikaline suurus, mille määrab suund, suurus ja rakenduspunkt. Skalaar- Füüsikaline suurus, mille määrab arvväärtus. 9. Andke vektorite liitmise kaks moodust graafiliselt. 10. Kuidas lahutatakse vektoreid komponentideks ja miks see on vajalik? Iga vektori võib asendada vähemalt kahe vektoriga, millede summa annab esialgse vektori. On vajalik, et lihtsustada ülessande lahendamist. Tavaliselt lahutatakse vektorid teljesuunalisteks komponentideks. 11. Mis on vektori projektsioon teljel ja miks seda on vaja? Vektor projektsioon teljel on skalaar. On vaja, et näha vektori teljesuunalist komponenti. 12. Kuidas konstrueeritakse ühikvektor ja miks see on vajalik?
2 1 2 1 2 1 Näide Leida vektori AB koordinaadid, kui A (-1; -2;1) ja B(4; -6; 2). Lahendus AB = ( 4 - ( -1);-6 - ( -2);2 -1) = (5;-4;1) Vektori pikkus Teades vektori koordinaate, saame leida selle pikkuse valemist AB = X 2 +Y 2 + Z2 kus X ,Y ja Z on vektori AB koordinaadid. Näide Leiame eelmises näites antud vektori AB = (5;-4;1) pikkuse. Lahendus AB = 5 2 + (-4) 2 + 11 = 42 6,5 Tehted vektoritega, vektorite liitmine Vektoreid saab liita, lahutada ja arvuga korrutada. Neid tehteid on võimalik teha, kui on teada vektori koordinaadid või vektor on esitatud geomeetrilisel kujul. Geomeetrilisel kujul esitatud vektorite liitmiseks kasutatakse kolmnurgareeglit rööpkülikureeglit hulknurgareeglit Kolmnurgareegel Kahe vektori a ja b summa leidmiseks joonestame mingist punktist A esmalt vektori AB = a ning siis selle lõpp-punktist
s.t. AB ( x 2 x1 ; y 2 y1 ; z 2 z1 ) Näide Leida vektori AB koordinaadid, kui A (-1; -2;1) ja B(4; -6; 2). Lahendus AB ( 4 ( 1);6 ( 2);2 1) (5;4;1) Vektori pikkus Teades vektori koordinaate, saame leida selle pikkuse valemist AB X 2 Y2 Z2 kus X ,Y ja Z on vektori AB koordinaadid. Näide Leiame eelmises näites antud vektori AB (5;4;1) pikkuse. Lahendus AB 5 2 (4) 2 11 42 6,5 Tehted vektoritega, vektorite liitmine Vektoreid saab liita, lahutada ja arvuga korrutada. Neid tehteid on võimalik teha, kui on teada vektori koordinaadid või vektor on esitatud geomeetrilisel kujul. Geomeetrilisel kujul esitatud vektorite liitmiseks kasutatakse kolmnurgareeglit rööpkülikureeglit hulknurgareeglit Kolmnurgareegel Kahe vektori a ja b summa leidmiseks joonestame mingist punktist A esmalt vektori AB a ning siis selle lõpp-punktist
s.t. AB ( x 2 x1 ; y 2 y1 ; z 2 z1 ) Näide Leida vektori AB koordinaadid, kui A (-1; -2;1) ja B(4; -6; 2). Lahendus AB ( 4 ( 1);6 ( 2);2 1) (5;4;1) Vektori pikkus Teades vektori koordinaate, saame leida selle pikkuse valemist AB X 2 Y2 Z2 kus X ,Y ja Z on vektori AB koordinaadid. Näide Leiame eelmises näites antud vektori AB (5;4;1) pikkuse. Lahendus AB 5 2 (4) 2 11 42 6,5 Tehted vektoritega, vektorite liitmine Vektoreid saab liita, lahutada ja arvuga korrutada. Neid tehteid on võimalik teha, kui on teada vektori koordinaadid või vektor on esitatud geomeetrilisel kujul. Geomeetrilisel kujul esitatud vektorite liitmiseks kasutatakse kolmnurgareeglit rööpkülikureeglit hulknurgareeglit Kolmnurgareegel Kahe vektori a ja b summa leidmiseks joonestame mingist punktist A esmalt vektori AB a ning siis selle lõpp-punktist
1. Ühe kehaga juhtub midagi teise keha mõjul. Vastastikmõju tagajärjel muutub keha kuju. Vastastikmõju tagajärjel muutub kehade liikumise kiirus ja suund. 2. Samale kehale mõjuvate jõudude summat nimetatakse resultantjõuks. Jõudusid liidetakse kui vektoreid. Näiteks: Kui vees ujuvale õngekorgile mõjuv raskusjõud on suunatud alla ja samal ajal vee üleslükkejõud üles, ei hakka see kork korraga mõlemas suunas ju liikuma. 3. Newtoni III seadus: kaks keha mõjutavad teineteist suuruselt võrdsete vastassuunaliste jõududega. 4. Rõhuks nimetatakse füüsikalist suurust, mis on võrdne rõhumisjõu F ja pindala S jagatisega. Rõhu tähiseks on p. 5. Raskusjõuks nimetatakse gravitatsioonijõudu, millega Maa või mis tahes muu
2.aine- osakestel on olemas kindlad mõõtmed,väljadel pole, nt elektriväli väheneb minnes laetud kehast kaugemale. Elektrostaatiline elektriväli-väli, mis tekib paigalseisvate laetud kehade ümber. Elektriväljatugevus (E) näitab, kui suur jõud mõjub selles väljas ühikuliselt positiivse laenguga kehale.(vektoriaalne suurus) Superpositsiooniprintsiip- laetud kehade süsteemivälja tugevuse leidmiseks tuleb üksikute kehade E-vektoreid liita. Elektrivälja jõujoon- mõtteline joon, mille igas punktis on E-vektor suunatud piki selle joone puutujat. Homogeennseks nim elektrivälja, kus e-vektor on kõigis ruumipunktides ühesugune, suuruselt ja suunalt. Homogeennse elektrivälja jõujooned on paralleelsed sirged, mille vahekaugus ei muutu. Elektriväljas tehtud töö ei sõltu töö liikumistee ehk trajektoori kujust. Välja, milles töö ei sõltu liikumistee kujust nim potensiaalseks väljaks.
Läbitud trajektoorilõigu pikkust nim teepikkuseks e läbitud teeks. Liikumist, mille korral keha kõik ounktid liiguvad ühesuguselt, nim kulgliikumiseks. Keha nihkeks nim suunatud sirglõiku, mis ühendab keha algusasukohta lõppasukohaga. Nihe on vektoriaalne suurus s.t suurus millel on arvväärtus ja suund. Vektor on suunatud suurus. Vektori arvväärtuseks nim vektori mooduliks. Seda diagonaali kujutav vektor c ongi vektorite a ja b summa ja teda nim resultandiks. Kollineaarseteks nim vektoreid, mis on suunatud mööda ühte sirget või teineteisega paralleelsed. Keha või punkti asukoha võib anda ainult mingi teise , nn taustkeha suhtes. Taustkeha, sellega seotud koordinaadistik ja aja mõõteriist moodustavad taustsüsteemi. Ühtlaseks sirgjooneliseks liikumiseks nim sellist liikumist, mille korral keha sooritab mis tahes võrdsetes ajavahemikes võrdsed nihked. Ühtlase sirgjoonelise liikumise kiiruseks nim suurust mida mõõdetakse teepikkuse ja selle
positiivse laenguga keha korral e-vektor suunatud sellest kehast eemale. negatiivselt laetud keha elektrivlja e-vektor on suunatud keha poole. Vljatugevuse hikuks on 1 njuuton kuloni kohta ( 1 N/C) Raskusvlja tugevuseks on vaba lagnemise kiirendus. Elektrivljas kehtib SUPERPOSITSIOONPRINTSIIP e. liitumise phimte. (e. vrdub laengute ssteemi vljatugevus ksikutest laengutest phjustatud vljatugevuse vektoriaalse summaga) Lihtsalt e-vektoreid tuleb liita. ELEKTRIVLJA JUJOONED. Elektrivlja jujoon on mtteline joon, mille igas punktis on e-vekto suunatud piki selle joone puutujat. Raskusju vlja nim. HOMOGEENSEKS.-selle vlja jujooned on omavahel paralleelsed sirged, mille vahekaugus ei muutu. T ELEKTRIVLJAS, POTENSIAALNE ENERGIA. T=ju ja nihke korrutis. Potensiaalne energia- vli, milles t ei sltu liikumistee kujust.On tingitud keha vastastikmjust teiste kehadega vlja vahendusel. Potensiaalse energia loomulikuks nulltasemeks on maapind.
FÜÜSIKA KT 1) Dünaamika- Mehaanika osa, mis uurib 3 vastastikmõju. /uurib jõude. 2) Kinemaatika- uurib liikumisi 3) Vastastikmõju- üks keha mõjutab teist. Vastastikmõju tagajärjel muutub keha kuju ning muutub keha liikumise kiirus ja suund. 4) Jõud- Füüsikaline suurus, vastastik mõjumõõt Jõudu mõõdetakse dünamomeetriga (N-njuuton) 5) Jõudude liitmine- Jõudusid liidetakse kui vektoreid (nt. Vees ujuv õngekork) F= Fr-Fü 6) Samale kehale mõjuvate jõudude summat nim. resultantjõuks 7) Inerts- Füüsikaline nähtus, mis isel. Keha võimet säilitada oma kiirust ja liikumissuunda. - Inertsus- On keha omadus, mis iseloomustab võimet liikumisolekut säilitada a= F:m (siin on a'l ja f'l nooled peal) 8) Kiirendus sõltub keha inertsusest - Inertsuse mõõt on mass 9) ülesannete kogust 4.51 (joonis), 3.15, 3.16, 3.17, 3.19, 4.1, 4.02, 4.05, 4.06, 4.08, 4.09, 4.10, 4
1 2 11.Teineteise suhtes paigal seisvate laetud kehade vastastikmõju nim elektrostaatiliseks väljaks, seda võib kirjeldada ka elektriväljana . 12.E- vektoriks nim vektoriaalset suunda omavat suurust. 13.Superpositsiooniprintsiip e liitumise põhimõte. Selle kohaselt võrdub laengute süsteemi väljatugevus üksikutest laengutest põhjustatud väljatugevuste vektoriaalse summaga( E- vektoreid tuleb liita ). Spp järeldub otseselt välja omadusest mitte segada teist välja. 14.Elektrivälja tugevus näitab , kui suur jõud mõjub selles väljas ühikulisele positiivse laenguga kehale. E = F/q 15.Elektrivälja jõujoon on mõtteline joon mille igas punktis on E-vektor suunatud piki selle joone puutujat. 16.Homogeenseks elektriväljaks nim niisugust elektrivälja ,mille jõujooned on omavahel paralleelsed. Homogeenses elektriväljas on elektrivälja tugevus ja suund kõigis tema
F=k*q1*q2/r2 El.konstant- Dielektriline läbitavus-näitab, kui mitu korda on elektrijõud vaakumis suurem kui aines. __=Fo/F Vaakumis __=1 __>1 El.väli- elektriliselt laetud kehade poolt tekitatav jõuväli. El.välja tugevus-näitab, kui suur jõud mõjub selles väljas ühikulise positiivse laenguga kehadele. q=+1C E=F/g Superpositsiooni printsiip ehk liitumispõhimõte- võrdub laengute süsteemi väljatugevus üksikutest laengutest põhjustatud väljatugevuste vektorite summa ehk E- vektoreid tuleb liita. El.välja jõujooned- mõtteline joon, mille igas punktis on el.välja tegevuse vektor (E) suunatud pikki selle joone puutujaga. El.välja graaf.kujutamine- Homogeene el.väli- On ühesugune raskusjõu väli. Tema välja jõujooned on omavahel paralleelsed sirged, mille vahekaugus ei muutu. Töö el.väljas- A=F*s*cos_ Ep=mgh Ep=qEd El.välja potentsiaal- näitab, kui suur on vaadeldavas el.välja punktis ühikulise positiivsuse laenguga keha potentsiaalne energia
tundmatute suurustena. 8. Determinant on lineaaralgebras funktsioon, mis seab igale ruutmaatriksile vastavusse skalaari, ning on üks olulisemaid matemaatilisi konstruktsioone lineaarvõrrandsüsteemi uurimisel. 9. Juurvõrrand on võrrand, milles muutuja esineb juuritavas. 10. Kui punktid A(x1; y1) ja B(x2;y2) on lõigu otspunktid, siis selle lõigu keskpunkti C(xc;yc) koordinaadid on 11. Vektor on lõik, millel on suund, siht ja pikkus. 12. Vektoreid saab liita, kui liita vektorite vastavad koordinaadid. 13. Vektori vastandvektoriks nim. vektorit, millel on antud vektoriga sama siht ja pikkus, kuid vastupidine suund. 14. Vektorid on kollineaarsed ehk samasihilised, kui nad asuvad ühel ja samal sirgel või paralleelsetel sirgetel. 15. v= lp - ap 16. Vektori pikkus võrdub koordinaatide ruutjuure summast. 17. sin= vastask./hüp. cos= lähisk./ hüp. tan= vastask./ lähisk. 18
Trapetsi pindala: Rombi pindala: TULETIS [f(x) · g(x)]´ = [f(x) / g(x)]´ = y = f[g(x)]; y´ = (ln x)´ = (ex)` = (ax)` = (logax)´= (sin x)´ = (cos x)´ = (tan x)´ = LÕIK, SIRGE, VEKTOR, TASAND Lõigu pikkus ruumis: d = Tasandi projektsiooni pindala: Sp = Vektorite paralleelsuse tingimus: Vektorite ristseisu tingimus: Skalaarkorrutis: Nurk vektorite vahel: Vektorite liitmine ja lahutamine: Vektori pikkus: Ühel tasandil olevaid vektoreid nimetatakse komplanaarseteks. Komplanaarsuse tingimus: Sirge võrrand tasandil Kahe punktiga: Punkti ja sihivektoriga: Punkti ja tõusuga: Tõusu ja algordinaadiga: NB! Ruumis saab leida ainult kahe punktiga. Sirgete asend ruumis Paralleelsuse tingimus: Millal lõikub, millal kiivne: Tasandi võrrandi üldkuju: Asendid Sirge on paralleelne tasandiga, kui: Lõikab, kui: On tasandil, kui : Nurga leidmine sirge ja tasandi vahel:
Mida väidab Ampère'i seadus? - magnetväljas asuvale vooluga juhtmelõigule mõjuv jõud F on võrdeline juhet läbiva voolu tugevusega I, juhtmelõigu pikkusega l ning siinusega nurgast voolu suuna ja magnetvälja suuna vahel. Valem: F=B*i*l*sin a 15.Mida tähendab superpositsiooniprintsiip ja milliste väljade korral see esineb? - Elektriliselt või magnetiliselt aktiivsete kehade süsteemi korral tuleb vastavalt E- või B- vektori pikkuse leidmiseks üksikute väljatekitajate E- või B-vektoreid liita. Superpositsiooniprintsiip kehtib kõikide väljade korral. 16.Mida nimetatakse potentsiaalide vaheks ehk pingeks? - Pinge iseloomustab kahe punkti vahelist elektrivälja potentsiaalide erinevust ning näitab, kui palju tööd tuleb teha ühiklaengu ümberpaigutamiseks ühest punktist teise. 17.Joonistad elektrivälja jõujooned. 18.Määrad Ampere'i jõu suuna rakendades vasaku käe reeglit. - Vasaku käe
Veergusid on vaid lubatud vahetada, mis vastab ju tundmatute ümbernummerdamisele. Gauss-Jordan. Selle järgi teisendatakse laiendatud maatriksi elemendid peadiagonaalil ühtedeks ja sellesta alla- ja ülalpool nullideks. Siis saab kohe välja kirjutada vastuse Vektorid, tehted vektoritega Vektori pikkuseks (ehk normiks ehk mooduliks) nimetatakse vektori kui lõigu pikkus. Vektori a pikkus on a ja tähistatakse |a| = a. Vektoreid a ja b nimetakse kollineaarseteks (a ||b), kui nad on paralleelsed sama sirgega. Kollineaarsed vektorid on kas samasuunalised a b või vastassuunalised a b. Vektoreid a ja b nimetatakse komplanaarseteks, kui nad on paralleelsed ühe ja sama tasandiga. Vektorid a ja b on võrdsed (on sama suured), a=b, kui nende pikkus on sama ja nad on samasuunalised Vektorite a ja b summa a+b on vektor, mille alguspunkt on a alguspunkt ja lõpp-punkt
suunatud pikkus on vektori arvväärtuseks Vektorite tähistamisest B a AB b a A L B LK A BA K Vektorite võrdsus Vektorid on samasihilised, kui nad on paralleelsed samasihilisi vektoreid nimetatakse kollineaarseteks Samasihilised vektorid on kas samasuunalised või vastassuunalised Vektorid on võrdsed, kui nad on samasihilised, samasuunalised ja ühepikkused a a b b c b a b B c AA a AB a
suunatud pikkus on vektori arvväärtuseks Vektorite tähistamisest B a AB b a A L B LK A BA K Vektorite võrdsus Vektorid on samasihilised, kui nad on paralleelsed samasihilisi vektoreid nimetatakse kollineaarseteks Samasihilised vektorid on kas samasuunalised või vastassuunalised Vektorid on võrdsed, kui nad on samasihilised, samasuunalised ja ühepikkused a a b b c b a b B c AA a AB a
Milliseid ruume tead? too näiteid erineva mõõtmetega ruumide kohta! Mida kirjeldab ajavahemik? Ajavahemiku abil saame kirjeldada 2 sündmuse vahele jäävat aega, või kestvust. Nimeta aja omadusi ja selgita neid! Nimeta aja mõõtmise alused ja too selle kohta näiteid! Mida tähendab, et liikumine on suhteline? too näiteid! Selgiita liikumise erinevaid mudeleid ja too iga mudeli kohta 2 näidet! Mis on aine? Nimeta selle tunnused! Mis on väli? nimeta selle tunnuseid! Oska liita vektoreid ja selgita kuidas toimisid! Oska leida resultantvektori moodulit ja suunda! Oska teisendada ühikuid!
koordinaatide alguspunktist antud punkti tõmmatud vektorit . Raadiusvektor r määrab üheselt punkti asukoha ruumis. Vektoriks nim. sellest liiki suurust nagu nihe, s. o. suurus, mida iseloomustab arvväärtus ja suund ning mille liitmist teostatakse näidatud reegli järgi. Vektorite hulka kuuluvad kiirus, jõud ning mitmed teised suurused. Vektori määrab ära suurus a®, suund a® ja rakenduspunkt a®. Vektori moodul on alati positiivne skalaar. Vektori kirjeldamine: vektoreid , mis on suunatud mööda paralleelseid sirgeid (samas või vastupidises ), nim. kollineaarseteks. Vektoreid, mis on paralleelsed ühe ja sama tasapinnaga, nim. komplanaarseteks. Samasuunalisi võrdsete moodulitega kollineaarseid vektoreid nim. võrdseteks. Vektorite liitmine. Olgu antud kaks vektorit A ja B(joon.2). Resul-tantvektori C saamiseks viime vektori B paralleelselt iseenesega edasi nii, et tema alguspunkt ühtiks vektori A lõpuga (joon.3.). Sum-mat võib esitada kujul C = A + B
Vektorid on esitatavad kolme reaalarvulise koordinaadi abil. Elementaarmatemaatikas määratletakse kolmemõõtmelise eukleidiline ruum vektori mõisteta. See ruum "koosneb" punktidest, sirgetest ja tasanditest. Samuti eeldatakse Eukleidese aksioomide kehtivust. Viimasesse käsitlusse saab vektori mõiste sisse tuua loomulikul teel fikseerides ruumis ühe punkti, mida nimetatakse nullpunktiks, ja vaadeldes kõiki teisi punkte kui vektoreid, mis on suunatud nullpunktist vaadeldavasse ruumi punkti. Nullpunkti ennast samastatakse nullvektoriga.
b a b a sin = cos = tan = a2 + b2 = c2 c c b VEKTORID Vektor on matemaatiline suurus, mida iseloomustavad 1) arvväärtus ja 2) suund mingil sihil. Vektorit esitatakse suunaga sirglõiguna. Kahe vektori liitmiseks nihutatakse vektoreid iseendaga paralleelselt nii, et 1) teise vektori algus oleks esimese vektori lõpus. Nende summa vektor algab esimese algusest ja lõpeb teise lõpus. 2) Liidetavate vektorite algused on ühes punktis. Nende alusel moodustatakse rööpkülik, nende summa vektor algab ühisest algusest ja on mööda rööpküliku diagonaali viimase pikkuseline.
punktis B. Nullvektor Eukleidilises ruumis (näiteks tasandil) on nullvektoriks määramata suunaga vektor, mille pikkus on null. Ühikvektor Kui vektori pikkus on 1, siis teda nimetatakse ühikvektoriks. Vektorite liitmine ja lahutamine Lahutamine toimub sama põhimõtte järgi. Reaalarvu ja vektori korrutis. Vektori pikkus Vektori pikkuseks loetakse sellele vektorile vastava sirglõigu AB pikkust. See on mittenegatiivne reaalarv.Tähistus Kollineaarsed vektorid Vektoreid AB ja CD nimetatakse kollineaarseteks ehk samasihilisteks, kui lõigud AB ja CD asuvad kas ühel sirgel või paralleelsetel sirgetel. Komplanaarsed vektorid Vektoreid nimetatakse komplanaarseteks, kui nad asetsevad kas ühel tasandil või paralleelsetel tasanditel. Samasuunalised vektorid Kui vektorid on samasihilised ning on samas suunas. Vastassuunalised vektorid Kui vektorid on samasihilised ning vastupidises suunas üksteise suhtes. Vektorite vaheline nurk
Skalaarideks nim. suurusi, mille määramiseks piisab ainult arvväär-tusest (temp., mass, kehas. m0-seisumass, c-valguskiirus, v-kiirus m=m 0/√(1-v/c) N1. Seadus-iga keha seisab paigal v liigub tihedus). Siia hulka kuuluvad tee, aeg ja mass jne. Vektori moodul on alati positiivne skalaar. Vektori ühtlaselt ja sirgjooneliselt seni, kuni välisjõud seda olekut ei muuda. kirjeldamine: vektoreid , mis on suunatud mööda paralleelseid sirgeid (samas või vastupidises ), nim. N2.seadus-keha kiirendus on võrdelises seoses sellele kehale mõjuva jõuga ja pöördvõrdeline selle keha massiga kollineaarseteks. Vektoreid, mis on paralleelsed ühe ja sama tasapinnaga, nim. komplanaarseteks. a=F/m Samasuunalisi võrdsete moodulitega kollineaarseid vektoreid nim. võrdseteks. Vektorite liitmine
DÜNAAMIKA VASTASTIKMÕJU · ühe kehaga juhtub midagi teise keha mõjul · vastastikmõjus osaleb vähemalt kaks keha · tagajärjel muutub keha kuju · muutub keha liikumise kiirus ja suund JÕUD ON VEKTOR kõiki jõude tähistatakse F tähega 1N. · jõudu mõõdetakse dünamomeetriga näitab jõu suurust vedru pikenemise kaudu · jõudude liitmine, samamoodi kui vektoreid RESULTANTJÕUD samale kehale mõjuvate jõudude summa (nt vees ujub õngekork) NEWTONI I SEADUS: Vastastikmõju puudumisel liigub keha ühtlaselt ja sirgjooneliselt või on paigal. INERTS nähtus, kus kehad üritavad oma liikumisseisundit säilitada. NEWTONI II SEADUS e DÜNAAMIKA PÕHISEADUS: Kehale antav kiirendus on võrdeline kehale mõjuva jõuga ja pöördvõrdeline keha massiga. INERTSUS keha omadus/võime liikumisvõimet säiltada. KIIRENDUS SÕLTUB KEHA INERTSUSEST.
neliklemmiks. Neliklemmi konstandid on A, B, C, D Põhivalem: Passiivse neliklemmi konstantide vaheline seos: Sümmeetriline neliklemm: 2) Konstantide ühikud A, D – ühikuta suurused B - Ω (oom) C – S (siimens) 3) Neliklemmi ringdiagrammi valem Esimesed kaks vektorit kujutavad endast voole lühisel ja tühijooksul, kolmas vektor aga voolu ühes koormusolukorras (joon.9.16). Ringjoone keskpunkt c asub neid vektoreid ühendavate sirgjoonte (ringi kõõlude) keskristsirgete lõikepunktis. Kolmefaasilised voolud 1) Mitmefaasiliste süsteemide sümmeetria tingimused 2) Sümmeetriliste süsteemide põhiomadus 3) Tähtühendus – liini ja faasi suurustevahelised seosed sümmeetrilistel koormustel L1, L2 ja L3 - kolme juhet, millega koormus e. tarbija on ühendatud generaatori faasimähistega (antud juhul algustega A, B ja C) nimetatakse liinijuhtmeteks.
Vektori pikkuseks ehk moodduliks nim vektori kui lõigu pikkust. *Vektorit, mille moodul võrdub ühega nim ühikvektoriks. Nullvektoriks nim vektorit mille alguspunkt ja lõpp-punkt ühtivad. Vektorite võrdsus Kaht vektorit nim võrdseteks kui nad on võrdse pikkusega ja samasuunalised ja vektorite võrdsus erineb lõikude võrdsusest. Vabavektor- see on veektorid mille alguspunkti valik ei ole millegagi kitsendatud. Vektorite kollineaarsus ja komplanaarsus Vektoreid nim kollineaarseteks, kui peale ühisesse alguspunkti viimist nad asuvad ühel ja samal sirgel. Kollineaarsete vektorite definitsioonist järeldub et nad on kas sama- või vastassuunalised. Vektoreid nim komplanaarseteks kui pärast ühisesse alguspunkti viimist nad asuvad ühel ja samal tasandil. Vektorite summa ja vahe Vektorite summaks nim niisugust vektorit, mis väljub nende ühisest alguspunktist ja on niisuguse rööpküliku diagonaal, mille külgedeks on liidetavad vektorid
2 d w= w 2 2 n+w = + R dt Pöörlemise kinemaatika Iga punkti raadiusvektor pöördub ajavahemiku t kestel võrra, mis on kogu jäiga keha pöördenurgaks. Väga väikesi pöördeid saab vaadelda kui vektoreid! Nurkkiirus on vector d = = lim t 0 t =
Ruumilist suunda omavaid füüsikalisi suurusi nimetatakse vektoriaalseteks suurusteks. Vektoriaalseteks suurusteks on näiteks kiirus ja jõud. Joonistel ja valemites tähistatakse vektoriaalseid suurusi nii, et suuruse tähise kohale märgitakse väike nooleke. Näiteks kiirusvektori tähis on ja jõuvektori tähis Vektori pikkust nimetatakse vektori mooduliks. Kiirusvektori pikkus on võrdne kiiruse arvväärtusega ja jõuvektori pikkus on võrdne jõu arvväärtusega. Vektoreid ehk suunaga lõike iseloomustab korraga nii lõigu pikkus kui suund. Kaks vektorit on võrdsed, kui nende pikkused on võrdsed ja nad on samal ajal ka ühesuguse suunaga. Pikkuste või suundade võrdsusest vektorite võrdsuseks üksi ei piisa. Pikkused ja suunad peavad korraga ühesugused olema: Tehted vektoritega Vektori korrutamisel või jagamisel arvuga jääb suund samaks tehe mõjutab vektori pikkust.
x-x1/x2-x1=y-y1/y2-y1 x-x1/v1=y-y1/y2 y=ax+b (a sirge tõus; b algordinaat) y-y1=a(x-x1) Ax+By+C=0 üldvõrrand Sirged kattuvad s=t (võrrandid on samad) A1/A2=B1/B=C1/C2 Sirged on paralleelsed s||t (tõusud on võrdsed) A1/A2=B1/BC1/C2 Sirged lõikuvad (tõusud erinevad, risti on kui tõusude korrutis on 1) a1a2 Vektor on suunaga lõik, millel on alguspunkt (rakenduspunkt) ja lõpppunkt. Igal sihil on kaks suunda. Paralleelsetel sirgetel on sama siht. Vektoreid tähistatakse kas 2 suure tähega või 1 väikse tähega. AB vastandvektor on BA; v vastandvektor on v Vektorid on võrdsed kui nendel on sama pikkus ja suund. Sama sihiga ehk samasihilisi vektoreid nimetatakse kollineaarseteks. Vektorid on kollineaarsed siis, kui nende koordinaadid on võrdelised (s.t. vastavate koordinaatide jagatised on võrdsed). Vektori lahutamisel asendame lahutamise vastandvektori liitmisega. Vektori liitmisel liidame vastavad koordinaadid, lahutamisel lahutame.
Vektori mooduliks nim vektori pikkust. Tähistatakse . Ühikvektoriks nim vektorit, mille pikkus võrdub ühega. . Nullvektoriks nim vektorit, mille alguspunkt ja lõpppunkt ühtivad. . Vabavektoriks nim vektorit, mille alguspunkt ei ole fikseeritud, st vektori asendit võib paralleellükke abil muuta. Kahte vektorit nim võrdseks, kui nad on võrdsete moodulitega ning samasuunalised. Vektorite võrdsus erineb lõikude võrdsusest. Vektoreid nim kollineaarseteks, kui nad pärast ühisesse alguspunkti viimist asuvad ühel ja samal sirgel. Võivad olla sama või vastassuunalised. . Vektoreid nim komplanaarseteks, kui nad pärast ühisesse alguspunkti viimist asuvad ühel ja samal tasandil. Kahe vektori skalaarkorrutiseks nim vektorite moodulite ja nende vahelise nurga cos korrutist. . Omadused: · Vektorite skalaarkorrutis võrdub 0-ga, kui üks teguritest võrdub nulliga või vektorid on
vrdub antud vljapunkti asetatud punktlaengule mjuva ju ja selle laengu suhtega. Kui me thistame elektrivlja tugevuse thega E! ja mthikuks SI- ssteemis on volti meetri kohta (V/m), vime kirjutada E=F/q Vljade superpositsiooni printsiip-elektrivljas kehtib superpositsiooniprintsiip e. liitumsie phimte.Selle kohaselt vrdub laengute ssteemi vljatugevus ksikutest laengutest phjustatud vljatugevuste vektoriaalse summaga.Lihtsamalt eldes E vektoreid tuleb liita. Elektrivlja jujooned - Elektrivlja graafiliseks kirj. kasut.jujooni.Elektrivlja jujoon on mtteline joon, mille igas punktis on E vektor suunatud piki selle joone puutujat.Jujooned on inimese poolt vlja meldud abivahendiks elektrivlja kirjeldamisel. Homogeenne elektrivli - on elektrivli, mille tugevus on igas ruumipunktis nii suuruselt kui suunalt hesugune. Ligikaudu vib homogeenseks nimetada kahe erinimeliselt laetud metallplaadi vahelist elektrivlja. Homogeense
liidetavatega. Liitmise omadused: kommutatiivsus: järjekorda võib muuta; assotsatiivsus: sulge võib vabalt ümber paigutada; nullvektori omadus a+0=a. Vektorite korrutamine arvuga vektori korrutamisel saadakse esialgsega kollineaarne vektor, muutuda võivad pikkus ja suund. Korrutamise omadused: assotsiatiivsus arvuga korrutamise suhtes; distributiivsus arvude liitmise suhtes; distributiivsus vektorite liitmise suhtes; arvu üks omadus 1*a=a. 3)Vektorite lineaarne sõltuvus ja sõltumatus. Vektoreid 1; 2;...n nimetatakse lineaarselt sõltuvaiks, kui leiduvad arvud a1; a2;...an, mis ei ole korraga nullid ning mille puhul kehtib seos (lineaarne kombinatsioon) 1a1 + 2a2+...+nan=0 . Kui kõik kordajad on nullid on süsteem lineaarselt sõltumatu. 4)Vektorruum ja tema baas. Vektori koordinaadid antud baasi suhtes. Vektorruumi baas on tema max lineaarselt sõltumatute vektorite hulk/süsteem. Mistahes vektori lisamisel muutub süsteem lineaarselt sõltuvaks. Me võime
1) arvväärtuse (pikkuse), 2) sihi ja 3) suunaga, nimetatakse vektoriteks. Tähistame neid a, b,... . MÄRKUS. Geomeetriliselt on vektor a määratud kahe punktiga oma alguspunktiga A ja lõpp-punktiga B. Tähistame a = AB, kusjuures: 1) arvväärtuse määrab punktide vaheline kaugus, 2) sihi määrab punktidega antud sirge s(A,B), 3) suund on määratud punktide järjestusega. OLULISED VEKTORID: Vektoreid, mille arvväärtus (pikkus) on üks, nimetatakse ühikvektori- = 1. teks. Kasutatakse tähistust e, st e Vektoreid, mille arvväärtus (pikkus) on null, nimetatakse nullvektoriteks. Kasutatakse tähistust 0. Nullvektori siht ja suund on määramata. VEKTORITE VASTASTIKUSED SEOSED: Vektorid a ja b on võrdsed (a = b), kui neil on samad arvväärtused, sihid ja suunad. Vektorid a ja b on teineteise vastandvektorid (a = b), kui neil on
1) arvväärtuse (pikkuse), 2) sihi ja 3) suunaga, nimetatakse vektoriteks. Tähistame neid a, b,... . MÄRKUS. Geomeetriliselt on vektor a määratud kahe punktiga oma alguspunktiga A ja lõpp-punktiga B. Tähistame a = AB, kusjuures: 1) arvväärtuse määrab punktide vaheline kaugus, 2) sihi määrab punktidega antud sirge s(A,B), 3) suund on määratud punktide järjestusega. OLULISED VEKTORID: Vektoreid, mille arvväärtus (pikkus) on üks, nimetatakse ühikvektori- = 1. teks. Kasutatakse tähistust e, st e Vektoreid, mille arvväärtus (pikkus) on null, nimetatakse nullvektoriteks. Kasutatakse tähistust 0. Nullvektori siht ja suund on määramata. VEKTORITE VASTASTIKUSED SEOSED: Vektorid a ja b on võrdsed (a = b), kui neil on samad arvväärtused, sihid ja suunad. Vektorid a ja b on teineteise vastandvektorid (a = b), kui neil on
Paigutust hea näha rauapuruga, näitab ka orienteerunud magnetnõela põhjapoolus. Kruvireegel- magnetvälja suund ühtib parempoolse kruvi pöörlemise suunaga, kui voolu suunaks on kruvi kulgeva liikumise suund. (selleks, et pöörata parempoolset kruvi sisse voolu suunas, tuleb tema pead pöörata selle voolu magnetvälja suunas) Superpositsiooniprintsiip ehk liitumise põhimõte- kehade süsteemi poolt tekitatud magnetvälja B-vektor võrdne üksikute B-vektorite summaga ehk B-vektoreid tuleb liita. 1. Sirgvoolu magnetvälja jõujooned: Suunda saab kindlaks teha: a) kruvireegel -kui kruvi teravik liigub voolu suunas, siis kruviga pöördumise suund näitab jõujoone suunda. b) parema käe kuldreegel - kui parema käe välja sirutatud pöial näitab voolusuunda, siis korraldatud sõrmed näitavad jõujoone suunda. 2. Ringvoolu magnetvälja jõujooned. a) Kruvireege l- kui kruvipea pöördumise suund näitab voolusuunda, siis kruvi teraviku
Selleks vajatakse järgmisi järgi. Tehted: Kahemõõtmelises mis kehtivad determinantide ridade nn elementaar-teisendusi Need on: ruumi Cartesiuse kohta kehtivad ka tema veergude kohta. l"maatriksi rea (veeru) korrtumine ristkoordinaadistikus kasuatasime 2.omadus. nullist erineva teguriga a x- ja y-telje Kuid determinandis kaks rida omavahel 2'ühele reale (veerule) k –kordse suunalisi vektoreid i =1, 0_ ja j =0, ümber paigutad, siis muutub teise rea (veeru) liitmine; determinandi märk 1_. vasatupidiseks. 3' maatriksi kahe rea (veeru) Skalaarkorrutis Kahe vektori 3. omadus. ümberpaigutamine. skalaarkorrutiseks nimetatake
Vektor tasandil. Joone vaheline kaugus. 1) selgitab mõisteid vektor, ühik-, füüsikaga. võrrand. Vektori mõiste ja null- ja vastandvektor, vektori Vektori tähistamine. koordinaadid, kahe vektori käsitlemine. Nullvektor, vaheline nurk; ühikvektor, 2) liidab, lahutab ja korrutab vastandvektor, vektoreid arvuga nii seotud vektor, geomeetriliselt kui ka vabavektor. koordinaatkujul; Vektorite võrdsus. 3) arvutab kahe vektori Vektori skalaarkorrutise ning rakendab koordinaadid. vektoreid füüsikalise sisuga Vektori pikkus. ülesannetes;
annaabi.ee 
