xmin = 0,2 xmax = 24 9) Variatsioonrea ulatuse määrab maksimaalse ja minimaalse elemendi väärtuse vahe R = x max - x min . R= xmax - xmin= 24- 0,2= 23,8 10) Standardhälve- ruutjuur dispersioonist ( x1 - x) 2 f 1 + ( x 2 - x) 2 f 2 + .. + ( x n - x) 2 f n = 2 = N =7 11) Väärtused lõigus Väärtused lõigus 6,6-7= -0,4 ja 6,6+7=13,6 [-0,4; 13,6] Neid väärtusi on 22 12) Variatsioonikordaja on standardhälbe ja keskväärtuse suhe (esitatakse tavaliselt protsendina) v= 100 x v= 7/6,6*100= 106,1 (%)
variatsioonireas 25%. Tähis Kv · Ülemine kvartiil tunnuse väärtus, millest suuremaid (või võrdseid) väärtusi on variatsioonireas 25%. Tähis Kv · Hälve variatsioonireas oleva tunnuse väärtuse ja keskväärtuse vahe. Kogu variatsioonirea hälvete summa on 0. · Dispersioon hälvete ruutude aritmeetiline keskmine. Tähis ² · Standardhälve ruutjuur dispersioonist. Tähis · Variatsioonikordaja standardhälbe ja keskväärtuse suhe. Esitatakse tavaliselt protsentides. Tähis V. 1. Hinnete tabel küsitluse põhjal Üldkogumiks on XII B klassi õpilased, samuti kuuluvad ka valimisse. Jrk Bioloogia Geograafia nr Nimi hinne hinne 1 Karin 3 4 2 Liis 4 4 3 Jaanika 4 4 4 Maria N 4 3 5 Ott 4 4
Sagedustabeli esimeses reas on tunnus x, teises sagedus f. Jaotustabeli esimeses reas on tunnus x, teises suhteline sagedus W. Jaotushulknurk e. jaotuspolügoon on jaotustabelile vastav sirglõikdiagramm. Statistilise vahemiku e. klassi optimaalse arvu määrab N . Jooniseks saadakse tulpidagramm e. histogramm. Karakteristikud jagunevad kohakarakteristikuteks (keskmine, mediaan, mood) ja hajuvuse karakteristikuteks (muutumispiirkond, kvartiilid, hälve, dispersioon, variatsioonikordaja). Aritmeetiline keskmine x on tunnuse kõigi väärtuste summa ja väärtuste (objektide) arvu jagatis. Mood Mo on tunnuse kõige sagedamini esinev väärtus. Moode võib olla ka rohkem kui üks. Kui kõik väärtused on võrdsed, siis mood puudub. Mediaan Me on tunnuse väärtus, millest variatsioonireas jääb vasakule ja paremale võrdne arv liikmeid. Tunnuse muutumispiirkond on piirkond minimaalsest väärtusest maksimaalse väärtuseni (xmax - xmin). Alumine kvartiil Q (Kv ) on
Alljärgnevalt on toodud Läänemaa põhikoolide mitmevõistlustel toimunud kõrgushüppe tulemused 2010 kui ka 2011 aastal. Võrdle poiste tulemusi mõlemal aastal. Korrasta andmed tabelisse. 1. Leia poiste keskmine tulemus mõlemal aastal (vastus ümarda sajandikeni). 2. Leia standardhälve (sajandikeni) ja variatsioonikordaja (vastus täisarvuna) 3. Leia mood. 4. Joonestage saadud tulemuste abil tulpdiagramm. 5. Leia variatsiooniulatus 2010 poisid Kõrgus (x) Sagedus (f) f*x Standardhälve ülemine osa 2010 1,00 1 1,00 0,13 1,05 1 1,05 0,10 1,15 1 1,15 0,04 1,25 1 1,25 0,01
..............................................................................6 1.3 Karakteristikud............................................................................................................. 7 1.3.1 Keskväärtus...........................................................................................................7 1.3.2 Standardhälve........................................................................................................ 7 1.3.3 Variatsioonikordaja...............................................................................................7 1.3.4 Mediaan ja mood...................................................................................................7 1.Kehakaal..............................................................................................................................8 2.1 Sagedustabel.................................................................................................................8
..............................................................................6 1.4 Karakteristikud............................................................................................................. 7 1.4.1 Keskväärtus...........................................................................................................7 1.4.2 Standardhälve........................................................................................................ 7 1.4.3 Variatsioonikordaja...............................................................................................7 1.4.4 Mediaan ja mood...................................................................................................7 1.Keskmine hinne...................................................................................................................8 2.1 Sagedustabel.................................................................................................................8
n Olgu x1 vaadeldava tunnuse väärtus esimese objekti korral, x2 teise objekti korral jne ning n olgu mõõdetud objektide arv. x=4,4 5.2. Leian standardhälve. Standardhälve iseloomustab tunnuse hajuvust. Mida suurem on standardhälve, seda suurem on tunnuse väärtuste hajuvus. Valem: n ( xi - x) 2 = i =l n *Väikese valimi korral(alla 100 objekti), kasutatakse valemis n-1. =0,723974 5.3. Leian variatsioonikordaja. Variatsioonikordaja on standardhälve ja keskväärtuse suhe. Valem: V = x V=0,164539 5.4. Leian mediaani. Mediaan on arv, millest suuremaid ja väiksemaid väärtusi on variatsioonireas ühepalju. Tähis: M e = M e =5 5.5. Leian moodi. Mood on tunnuse kõige sagedamini esinev väärtus. Tähis: M = o Mo = 5 4 6. Matemaatika 6.1.Leian keskväärtuse.
muutuja sagedusjaotuse. Korrelatsiooniväli - Koordinaattasandile kantud punktihulk, kus iga punkti x-koordinaadiks on objekti esimese tunnuse väärtus ja y-koordinaadiks sama objekti teise tunnuse väärtus. Variatsioonirida - kasvavalt või kahanevalt järjestatud tunnuse väärtuste rida. Variatsioonirea ulatus - minimaalse ja maksimaalse elemendi vahele jääv elementide rida. Sagedustabel - moodustatakse variatsioonirea põhjal. Näitab, mitmel korral antud tunnus saab antud väärtuse. Variatsioonikordaja - standardhälve ja keskväärtuse suhe (jagatis). Normaaljaotus kirjeldab tunnust, mille keskmise taseme lähedased väärtused esinevad tihti, aga suuri kõrvalekaldeid keskmisest väärtusest on harva, kusjuures kõrvalekaldeid võib olla mõlemasuunalisi. VALEMID x1 + x2 + ... + x n 1 n x= = xi
..................................................................................... 8 16. Kvartiilide vahe.............................................................................................................. 8 17. Dispersioon.................................................................................................................... 8 18. Standardhälve................................................................................................................ 8 19. Variatsioonikordaja........................................................................................................ 8 20. Kokkuvõttev tabel.......................................................................................................... 8 Järeldus............................................................................................................................ 10 2 Sissejuhatus
(4 punkti) Jnr 1 2 3 4 Kaardi kasutamistearv 8 2 6 1 a) Määrake tunnuse krediitkaardi kasutamise arv tüüp ning koostage jaotustab b) Moodustage tunnuse variatsioonirida, leidke keskväärtus, mediaan, mood, c) Andke hinnangut tunnuse hajuvusele karpdiagrammi ja variatsioonikordaja d) Arvutage esimene, viies ja üheksas detsiilid protsentiilide arvutamise meeto ning leidke mitu % väärtustest asub variatsioonirea 1) esimeses kümnendik e) Karakteristikute keskväärtus, mediaan ja mood omavahelise paiknevuse jär Tehtud hüpoteesi kontrollige variatsioonirea asümmeetriakordaja abil (arvut Ül. 2. On antud ühe ettevõtte töötajate jaotus töötasu (EUR-i nädalas) ning osakondade (6 punkti)
....................................................................................8 3.3 Võõrkeele tulemuste mood, mediaan ja keskväärtus................................................8 4. Kolmas punkt........................................................................................................................10 3.1 Korrelatiivsete seoste tabel......................................................................................10 3.2 Variatsioonikordaja.................................................................................................11 3.3. Korrelatsoonivälja graafik......................................................................................11 5. Neljas punkt..........................................................................................................................12 6.. Kasutatud kirjandus.........................................................................................................
rea keskmine väärtus on arve maksumuse puhul 43,55 eurot, kulul söögile 28,35 eurot ja kulul joogile 12 eurot. c. Variatsiooninäitajad Laud Arve maksumus, Kulu söögile, Kulu joogile, Rea ultaus 170,35 96,45 90,95 Dispersioon 1145,32 441,05 294,43 Standarthälve 33,84 21,00 17,16 Variatsioonikordaja 62,3% 59,3% 90,6% Rea ulatus on maksimaalse ja minimaalse näitaja vahe, kuna antud uurimustöös on suurim ja vähim näitaja väga erinevad on ka rea ulatus suhteliselt suur. Dispersioon näitab uuritava suuruse varieeruvust ning standarthälve on ruutjuur dispersioonist. Variatsioonikordaja alusel saab öelda, et kulu joogile varieerub kõige rohkem lausa 90,6%, arve maksumus varieerub 62,3% ning kulu söögile 59,3%.
Tabel 1 I rinde enamuspuuliigi diameetri suurused aritmeetiline keskmine, 12,15625 cm dispersioon, 12,54572 standardhälve, 3,541994 cm valimi maht, 168 standardviga, 0,273271 variatsioonikordaja, 29,13723 % katsetäpsus e suhteline standardviga. 2,247986 % variatsioonikordaja viga 1,589566 % 2. Diameetri usalduspiirid Tabel 2 Diameetri usalduspiirid üldkogumi keskväärtuse 95%lised usalduspiirid, 11,61674 12,69576 cm üldkogumi keskväärtuse 90%lised usalduspiirid, 11,70425 12,60825 cm
14. Standardhälve iseloomustab vastuste hajuvust keskmise ümber. Standardhälbe saab, kui leida kõigi vastajate vastuste erinevus üldisest keskmisest ning arvutada nende erinevuste keskmine. Seega näitab standardhälve tüüpilist erinevust üldisest keskmisest. Kui standardhälve on suur, siis võib arvata, et väärtused on enamasti üldisest keskmisest kaugel. Kui standardhälve on väike, siis on väärtused antud üldise keskmise lähedale. 15. Variatsioonikordaja on standardhälbe suhe aritmeetilisse keskmisesse protsentides. Mida väiksem on variatsioonikordaja, seda ühtlasem on kogum. Variatsioonikordaja näitab, kui suure osa moodustab standardhälve aritmeetilisest keskmisest ning esitatakse kas kümnendmurruna või protsendina. Kuna variatsioonikordaja on ühikuta suhtarv, sobib see erinevates ühikutes mõõdetud tunnuste hajumise võrdlemiseks 16. Mood on väärtuste seas kõige sagedamini esinev väärtus 17
variatsioonireas 25%. Tähis Kv · Ülemine kvartiil tunnuse väärtus, millest suuremaid (või võrdseid) väärtusi on variatsioonireas 25%. Tähis Kv · Hälve variatsioonireas oleva tunnuse väärtuse ja keskväärtuse vahe. Kogu variatsioonirea hälvete summa on 0. · Dispersioon hälvete ruutude aritmeetiline keskmine. Tähis ² · Standardhälve ruutjuur dispersioonist. Tähis · Variatsioonikordaja standardhälbe ja keskväärtuse suhe. Esitatakse tavaliselt protsentides. Tähis V. 1. Hinnete tabel küsitluse põhjal Üldkogumiks on XII B klassi õpilased, samuti kuuluvad ka valimisse. Jrk Bioloogia Geograafia nr Nimi hinne hinne 1 Karin 3 4 2 Liis 4 4 3 Jaanika 4 4 4 Maria N 4 3 5 Ott 4 4
383,454 6,400 1546,74 5376,76 18690,64 445,0 435,834 6,043 5829,80 37754,93 244508,1 900,2 1725,499 44,498 17551,14 -42844,9 1063633 2800,8 15,470 14,158 4,4 Dispersioon 27,903 Standardhälve 5,282 2. j. tsentraalmoment 27,859 Variatsioonikordaja 31,97 3. j. tsentraalmoment -68,0078 4. j. tsentraalmoment 1688,31 Asümeetriakordaja -0,4625 Ekstsess -0,825 6 6. Graafikud. Valmistasin proovitüki 819 diameetri jaotushistogrammi ja diameetri jaotusfunktsiooni. Joonis 1. Proovitüki 819 esimese rinde kuuse diameetri jaotushistogramm
diameetrit) iseloomustavad karakteristikud. a) Leidsin aritmeetiline keskmise rühmitamata andmete korral (=average(d)), rühmitatud andmete korral ((sum(ni*xi))/63), ruutkeskmise rühmitamata andmete korral (=sqrt(sumsq(d)/count(d))), rühmitamata andmete korral ((sum(ni*xi2))/63) b) Leidsin hajuvust iseloomustavad karakteristikud rühmitamata andmete korral: dispersioon (=var(d)), standardhälve (stdev(d)), variatsioonikordaja (=100*sx/ x ), kvartiilhälve (ülemine kvartiil-alumine kvartiil), haare (max-min). Hajuvust iseloomustavad karakteristikud rühmitatud andmete korral: dispersioon- 1 k sx = 2 N - 1 i =1 ni ( x i - x ) 2 standardhälve- 1 k
Leia aritmeetiline keskmine, mediaan ja mood. Võrdle neid ja mida järeldad saadud suurustest. Mida peaks veel kindlasti teadma 26 Numbe 40 41 42 43 44 45 46 r Saged 2 6 8 9 5 1 1 us Leia aritmeetiline keskmine, mediaan ja mood. 27 Hajuvusmõõdud: 1) minimaalne ja maksimaalne element 2) variatsioonirea ulatus 3) alumine kvartiil, ülemine kvartiil 4) dispersioon, standardhälve 5) variatsioonikordaja 28 Minimaalne element tähis Min Variatsioonirea kõige väiksem element. Maksimaalne element tähis Max Variatsioonirea kõige suurem element. 29 Variatsioonirea ulatus on maksimaalse ja minimaalse väärtuse vahe. d = Max - Min 30 Alumine kvartiil tähis Kv on tunnuse väärtus, millest väiksemaid liikmeid on variatsioonireas ehk 25% Ülemine kvartiil tähis Kv
Alumine kvartiil on tunnuse väärtus, millest väiksemaid (või võrdseid) liikmeid on variatsioonireas 25%. Kv= 52 Ülemine kvartiil on tunnuse väärtus, millest suuremaid (või võrdseid) liikmeid on variatsoonreas 25%. _ Kv= 62 Standarthälve Standardhälve on ruutjuur dispersioonist. Mõõdetava suuruse standardhälbe ühikuks on selle sama mõõdetava suuruse ühik. = 6,75 Max-Min= 80 42= 38 Variatsioonikordaja Variatsioonikordaja on standarthälbe ja keskväärtuse suhe. V= 0,119 Diagramm 10 9 8 7 6 5 Tüdrukute 4 kehakaal 3 2 1 0 42 48 50 51 52 54 55 56 57 58 59 60 62 63 65 73 80
12 2 37,8225 75,645 13 1 51,1225 51,1225 14 1 66,4225 66,4225 Kokku: 30 387,575 Leian dispersiooni: 2 = 12,919 Leian standardhälbe: Kuna hälve on ruutjuur dispersioonist, siis = 3,594 13) Leian variatsioonikordaja(standardhälbe ja keskväärtuse suhe): Seega V = 100 % 61,4 % 9 3. Internetis veedetav aeg 1) Kirjutan tunnuse statistilise rea 3; 12; 2; 2; 1; 3; 2; 2; 2; 3; 1,5; 10; 2; 3; 2; 3; 10; 2; 3; 2,5; 1; 8; 5; 0,5; 6; 4; 2; 2; 3; 2,5 2) Kirjutan variatsioonrea 0,5; 1; 1; 1,5; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2,5; 2,5; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 4; 5; 6; 8; 10; 10; 12 3) Leian Moe
Mediaani pole mõtet leida nominaaltunnuse korral. Keskväärtust kasutatakse sageli, sest ta on aluseks teiste statistiliste näitajate määramiseks. Puudus-Arvutamise tulemusena saadud väärtus ei pruugi ise olla üks tunnuse väärtustest. Hajuvusmõõdu vajalikkus- tunnuste iseloomustamiseks ainult keskimiste abil annab liiga vähe informatsiooni. Hajuvusmõõdud:* min/max element*variatsioonrea ulatus*alumine/ülemine kvartiil*disepersioon/standarhälve*variatsioonikordaja. Variatsioonirea ulatus=Xmax-Xmin. Alumine kvartiil - tunnuse väärtus, millest väiksemaid (või võrdseid) väärtusi on variatsioonreas 25% Kv . Ülemine kvartiil - tunnuse väärtus, millest suuremaid (või võrdseid) väärtusi on variatsoonnreas 25% Kv . Detsiilide abil jaotatakse variatsioonrida kümneks osaks. Dispersioon on juhusliku suuruse varieeruvuse mõõt, ta näitab, kui palju uuritav suurus ( ) . Standardhälve on ruutjuur dispersioonist
karakteristikud) 16. Paiknemise karateristikud – annavad informatsiooni tunnuse väärtuste paiknemise kohta arvteljel ja iseloomustavad tunnust keskmise väärtuse seisukohalt. (aritmeetiline keskmine, mediaan, mood) 17. Hajuvuse karakteristikud – näitavad, mil määral erinevad tunnuse väärtused üksteisest, hajuvad keskmise ümber. (kvartiilid, dispersioon, standardhälve, variatsioonikordaja) 18. Aritmeetiline (kaalutud) keskmine – keskväärtus – tunnuse kõigi väärtuste summa ja kogumi mahu (objektide arvu) jagatis. a1 a2 ... a N 1 N x N N a i 1 i (kui tunnuse väärtused on a1, a2, jne), x =
46 2 92 28,88 47 1 47 23,04 48 3 144 100,92 49 2 98 92,48 50 1 50 60,84 Kokku: 16 675 808,44 Kumb on stabiilsem õppija? Kumma keskmine tulemus on parem? Vastus: Stabiilsem õpilane on Mari, sest tema variatsioonikordaja on 11,21%, see on väiksem kui Jüril. Mari keskmine tulemus on parem (43,7 punkti). dhälve( kümnendikeni) ja variatsioonikordaja mõlema õpilase jaoks. Jüri Mari Aritmeetiline keskmine 42,2 43,7 Standardhälve 7,1 4,9 Variatsioonikoefitsient 16,82% 11,21% Ülesanne 2
leidmiseks kasutatakse vaid kaht valimi väärtust: Küsimus 10 Milline asendikarakteristik võib omada rohkem kui üks väärtus? Vastuse lahtrisse sisestage ainult üks sõna. Õige Hindepunkte Vastus: Mood 1.00/1.00 Küsimus 11 Lõpetage järgmiseid väiteid variatsioonikordaja kohta. Õige Hindepunkte variatsioonikordajat tavaliselt esitatakse protsentides 1.00/1.00 variatsioonikordaja on kasulik erinevates mõõtühikutes mõõdetud tunnuste hajuvuse võrdle
.. + x n2 x ruutk . = n Hajuvuse karakteristikud Hajuvusmõõdud on a) minimaalne element xmin ja maksimaalne element xmax; b) variatsioonrea ulatus xmax - xmin; c) alumine kvartiil ja ülemine kvartiil; d) dispersioon; e) standardhälve; f) variatsioonikordaja. Minimaalne element xmin - tunnuse väärtuste hulgast vähim väärtus. Maksimaalne element xmin - tunnuse väärtuste hulgast suurim väärtus. Variatsioonrea ulatus xmax xmin. Alumine kvartiil tunnuse väärtus, millest väiksemaid (või võrdseid) väärtusi on 1 variatsioonreas 25% ( ). Tähis Kv . 4
22,2 ruutkeskmine diameeter 16,38281 cm 20,65 mediaan 15,90 cm 18,15 0,25-kvantiil 13,10 cm 19,3 0,75-kvantiil 19,05 cm 7,6 kvartiilhälve 5,95 cm 15 haare 20,35 cm 4,85 dispersioon 19,21 17,9 standardhälve 4,38 cm 23,55 variatsioonikordaja 27,76 % 20,05 asümmeetriakordaja -0,258 iseloomustab tihedusfunktsiooni s 16,45 ekstsess -0,422 iseloomustab tihedusfunktsiooni t 14,8 7,35 18,95 9,75 juhusliku suuruse tsentrit iseloomustavad karakteristikud 21,15 juhusliku suuruse hajuvust iselommustavad karakteristikud
Kaalutud aritmeetiline keskmine: 2,7 Hajuvuse karakteristikud: a) minimaalne element: xmin= 1 maksimaalne element: xmax= 5 b)variatsioonrea ulatus: xmax xmin = 4 c) alumine kvartiil : : 1, 2, 2, 2, 2 ülemine kvartiil: 3, 3, 3, 4, 5 d) dispersioon: 2 = 1,344 e)standardhälve: == 1,159 f) variatsioonikordaja: V= = = =0,429 Viljandi Paalalinna Gümnaasium Laste arv peres Statistiline uuring Viljandi 2011
õpilaste seas, millele vastas kokku 19 õpilast. Statistiline tõenäosus 1) Kogumi maht:19 2) Statistiline rida: 4,3,2,2,1,5,5,4,5,2,4,6,3,3,5,4,1,4,5 3) Variatsioonirida:1,1,2,2,2,3,3,3,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,6 4) Mood Mo = 4 ja 5 5) Mediaan Me = 4 6) Aritmeetiline keskmine: = 3,7 7) Variatsiooni ulatus: 5 8) Keskmine hälve :=1,2 9) Standardhälve =0,328 10) Variatsioonikordaja: =0,09 Tabel: x f x*f d=|x | |x |*f 1 2 2 2,7 5,4 2 3 6 1,7 5,1 3 3 9 0,7 2,1 4 5 20 0,3 1,5 5 5 25 1,3 6,5 6 1 6 2,3 2,3
Küsimus 24 Millised järgmistest karakteristikutest on hajuvuse karakteristikud? Õige Hindepunkte Valige üks või mitu: 1.00/1.00 a. Mediaan b. Mood c. Dispersioon d. Keskväärtus e. Standardhälve Küsimus 25 Lõpetage järgmiseid väiteid variatsioonikordaja kohta. Õige Hindepunkte variatsioonikordajal on mõte vaid siis, kui tunnuse positiivsed 1.00/1.00 väärtused on variatsioonikordaja on kasulik erinevates mõõtühikutes mõõdetud tunnuste hajuvuse võrdlemisel
1.00/1.00 sagedusele kõigi eelnevate intervallide sagedused . Hindepunkte 1.00/1.00 Märgi Õige Õige küsimus lipuga Hindepunkte 1.00/1.00 Hindepunkte 1.00/1.00 Küsimus 10 Lõpetage järgmiseid väiteid variatsioonikordaja kohta. Õige Hindepunkte variatsioonikordaja on mõõtühikuta suurus 1.00/1.00 Märgi küsimus lipuga positiivsed variatsioonikordajal on mõte vaid siis, kui tunnuse väärtused on
4 variatsioonireas 25%. Tähis Kv · Ülemine kvartiil tunnuse väärtus, millest suuremaid (või võrdseid) väärtusi on variatsioonireas 25%. Tähis Kv · Hälve variatsioonireas oleva tunnuse väärtuse ja keskväärtuse vahe. Kogu variatsioonirea hälvete summa on 0. · Dispersioon hälvete ruutude aritmeetiline keskmine. Tähis ² · Standardhälve ruutjuur dispersioonist. Tähis · Variatsioonikordaja standardhälbe ja keskväärtuse suhe. Esitatakse tavaliselt protsentides. Tähis V. · Hajuvusvahemik selle abil saab teada keskväärtuse standardvea. 5 3. Koondtabel sõiduaegade kohta Üldkogumiks on bussi sõiduajad, samuti kuuluvad need valimisse. Kuupäev Sõiduks kulunud aeg (minutites) 12.09.2011 hommik 10 12.09.2011 õhtu 11 13.09.2011 hommik 10 13.09.2011 õhtu 12 14.09.2011 hommik 13 14.09
muutuja sagedusjaotuse. Korrelatsiooniväli - Koordinaattasandile kantud punktihulk, kus iga punkti x-koordinaadiks on objekti esimese tunnuse väärtus ja y-koordinaadiks sama objekti teise tunnuse väärtus. Variatsioonirida - kasvavalt või kahanevalt järjestatud tunnuse väärtuste rida. Variatsioonirea ulatus - minimaalse ja maksimaalse elemendi vahele jääv elementide rida. Sagedustabel - moodustatakse variatsioonirea põhjal. Näitab, mitmel korral antud tunnus saab antud väärtuse. Variatsioonikordaja - standardhälve ja keskväärtuse suhe (jagatis). Kodeerimine - Tunnuste väärtuste hulga teisendamine,milles igale tunnuse esialgsele väärtusele seatakse vastavusse uus väärtus-kood. Valemid x1 + x 2 + ... + x n 1 n x= = xi Aritmeetiline keskmine: n n i =1
4 2 0 3 4 5 6 7 8 T ä h te d e a r v Mediaan - variatsioonrea keskmine liige Me = 5 Mood - variatsioonrea kõige suurema esinemissagedusega liige Mo= 5 Aritmeetiline keskmine: 5,2 3+24+50+30+21+8= 5,2 2 xmin = 1 xmin = 10 xmax - xmin.= 3-8 = 2,4 = Väärtused lõigus 5,2-2,4= 2,8 5,2+2,4= 7,6 Väärtusi jääb vahemikku 2,6:7,6 25 tükki (3-7) Variatsioonikordaja - standardhälbe ja keskväärtuse suhe. Tähis V. V= V= 2,4= 0,46 5,2 Korrelatsooni tabel Inimene 1 2 3 4 5 6 X (hinded) 5 5 4 4 4 4 Y(nimetähtede 3 4 5 6 7 8 arv) x= 0,47 y = 2,96 R= 1*(-4,5) = -0,54 6*2,96*0,47 · Korrelatsiooni tugevuse kohta võib öelda, et
σ2 = 3,8 6.2 Leian poiste ja tüdrukute eesnimede tähtede standardhälve σ, lähtuvalt dispersioonist, sest standardhälve võrdub dispersiooni ruutjuurega (σ = √σ2 ): Poiste standardhälve (σ): σ= √ 2,39 ≈ 1,5 Tüdrukute standardhälve (σ): σ= √ 3,8 ≈ 1,9 6.3 Kasutades eelnevat informatsiooni leian poiste ja tüdrukute eesnimede tähtede variatsioonikordajad (v) ehk suhtelise hajuvuse. Kasutan järgmist valemit: σ v= xx Poiste variatsioonikordaja (v): 1,5 v= 5,7 ≈ 0,26 = 26% Tüdrukute variatsioonikordaja (v): 1,9 v= 7 ≈ 0,27 = 27% 7. Kokkuvõte Uurisin eesnime tähtede arvu Saue gümnaasiumi 11. klasside poistel ning tüdrukutel. Uurimistööst saab järeldada, et paika seatud hüpotees peab paika. Kõige paremini väljendab poiste ja tüdrukute eesnime tähtede arvu just keskmine väärtus. See oli poistel tunduvalt madalam kui tüdrukutel (poistel 5,7 ning tüdrukutel 7)
2 f 1 x 2 X f 2 .... x n X f n N 6. Standardhälve iseloomustab tunnuse hajuvust (δ). Mida suurem on standardhälve, seda suurem on hajuvus. 2 7. Variatsioonikordaja on standardhälbe ja aritmeetilise keskmise suhe (v). Esitatakse tavaliselt protsentides. v= X Näide 1 (lk.177, õpik)
Kõik Kv=0 5 1.6. Ülemine kvartiil Naised ülemine Kv=3,5 Mehed ülemine Kv=5 Kõik ülemine Kv=4,5 1.7. Aritmeetiline keskmine Naised:=(30+21+12+13+14+17):9=2 Mehed:=(30+31+22+13+25+17+111):13=2,9 Kõik =(60+51+32+23+14+25+27+111):22=2,5 1.8. Sagedusjaotustabel k- kõik m- mehed n- naised 1.9. Standardhälve Naised: = Mehed: = Kõik: = 6 1.10. Keskmine hälve Naised: d=16/9 Mehed: d=32,7/13 Kõik: d=49/22 1.11. Dispersioon Naised: Mehed: Kõik: 1.12. Variatsioonikordaja Naised: V=3,7/2=1,85 Mehed: V=2,8/2,9 Kõik: V=2,2/2,5=0,88 7 2. DIAGRAMMID 8
Enamik näitajate puhul oli maksimumi ja miinimumi vahe väga suur, 7. Asümmeetriakordaja iseloomustab tunnuse väärtuste esinemissageduse ebasümmeetrilisust. Mida rohkem erineb tunnuse väärtuste jaotumine normaaljaotusest, seda suurem on oma absoluutväärtuselt asümmeetriakordaja. 8. Teravatipulisuse kordaja annab hinnangu tunnuse väärtuste esinemissageduse kõvera tõusu ja langemise omapärale. 9. korrigeeritud variatsioonikordaja näitab kui normaalselt on antud andmed jaotatud. Korrigeeritud variatsioonikordaja näitab kui normaalselt on antud andmed jaotatud. Siinjuures on oluline lähtuda teadmisest, et: 1) näitajad, mille korrigeeritud variatsioonikordaja on 30- 40, on normaalselt jaotatud; 2) 40- 60, nende näitajate puhul esineb mõõdukas asümmeetria; 3) 60- 100, need näitajad on oluliselt asümmeetrilised; 4) kuni 30 ja üle 100 olevad näitajate kordajad vajavad korrigeerimist.
Näitab, kui palju uuritav suurus varieerub. Arvutuste lihtsustamiseks võib kasutada valemit: Standarthälve: STDEVP Standardhälve iseloomustab tunnuse hajuvust. Haare on arverea suurima ja vähima väärtuse vahe. Kovariatsioon: COVAR Olgu igal objektil on mõõdetud rohkem kui üks tunnus. Tunnuste x ja y vaheline kovariatsioon: Arvutamiseks lihtsam valem: Korrelatsioonikordaja: CORREL Variatsioonikordaja e suhteline viga: Valimidispersioon: VAR Valimstandardhälve: STDEV 2. Usaldusvahemike praktiline leidmine üldkogumi keskmisele kahel juhul: a) kui valim suur (n30, standardse Tõenäosusteooria Page 1 2. Usaldusvahemike praktiline leidmine üldkogumi keskmisele kahel juhul: a) kui valim suur (n30, standardse normaaljaotuse tabeli kasutamine), b) kui valim väike (n<30, t-jaotuse tabeli kasutamine). n30 n<30 3
15 1 2 8,9 1 1 9,13 16 1 2 9,9 1 1 10,13 n=50 n=50 n=100 (t) tüdrukud (p) poisid (k) - kõik 6.Aritmeetiline keskmine: Tüdrukud: = Poisid: = Kõik: = 7. Standardhälve: Tüdrukud: = = 4,55 Enamik tunnuseid kuulub vahemikku: |-| Poisid: = = 3,97 Enamik tunnuseid kuulub vahemikku: |-| Kõik: = = 4,27 Enamik tunnuseid kuulub vahemikku: |-| 8.Variatsioonikordaja Vt = = = 0,75 Vp = = = 0,69 Vk = = = 0,73 9. Sagedustabeli andmed graafiliselt esitatud tulpdiagrammidena:
3) normaaljaotuse asümmeetriakordaja ja ekstsess on nullid (A=0, E=0). 12. Missugused on juhusliku suuruse hajuvuse karakteristikud (nimeta vähemalt 4). Definitsioonid. Dispersioon on juhusliku suuruse varieeruvuse mõõt, ta näitab, kui palju uuritav suurus varieerub. Mida suurem aga dispersioon on, seda enam erinevad katsete tulemused üksteisest. Standardhälve on ruutjuur dispersioonist. Mõõdetava suuruse standardhälbe ühikuks on selle sama mõõdetava suuruse ühik. Variatsioonikordaja on hajuvusmõõt, mis seisneb kogumi standardhälbe ja keskväärtuse suhtes. Variatsioonikordaja on ühikuta suurus ja ta esitatakse tavaliselt protsentides. Kvartiilhälve iseloomustab lühimat võimaliku intervalli pikkust, kuhu satub pool kogu valimi mahust. Kvartiilide x0,75 ja x0,25 vahe. 13. Missugused karakteristikud iseloomustavad tihedusfunktsiooni kuju (nimeta 2). Definitsioonid. 14. Nimeta erinevad valimi keskmised. Aritmeetiline keskmine jne. Mis on neil erinevused?
f = 16 =1,169 Dispersioon Hälvete ruutude keskväärtus ( x - x) n 2 i fi 31,74 = 2 i =1 = 1,984 n = 16 Standardhälve Iseloomustab tunnuse hajuvust 1,984 = 1,4 = = 2 Variatsioonikordaja Standardhälbe ja keskväärtuse suhe 1,4 V= = 0,036 x = 38,375 [ Väärtused lõigul x - ; x + ] Väärtusi sellesse lõiku jääb 10, mis moodustab 62,5% kõigist väärtustest Järeldused Uurisin 16 tantsijat vanuses 14-18 aastat. Kõige väikseim jalanumber oli 36, mida esines kahel korral ja kõige suurim 41, mida esines ühel korral. Kõige rohkem esines jalanumbrit 38.
(ülesannete 5 kuni 8 algandmed) 5. Eeldades männi diameetri normaaljaotust, leida mitu protsenti diameetritest on jämedamad, kui 28 cm P(X>28)= 92,0990 6. Eeldades männi diameetrite korral normaaljaotust, x0,7= 37,9 leida jaotuse 0,7-kvantiil, leia 0,2-täiendkvantiil. x0,8= 39,5 Leia alumine kvartiil, mediaan, variatsioonikordaja 31,8 35,2 14,5 7. Eeldades männi diameetrite korral normaaljaotust, leida diameeter, millest 15% puudest on jämedamad, x0,85= 40,5 leida diameeter, millest neljandik puudest on peenemad. x0,25= 31,8 8. Eeldades männi diameetrite korral normaaljaotust, leida, kui suur osa diameetritest
Tähis MIN. 15. Tunnuse maksimaalne väärtus esineva tunnuse suurim väärtus. Tähis MAX. 16. Variatsioonirea ulatus tunnuse maksimaalse ja minimaalse väärtuse vahe. Tähis U. 17. Hälve variatsioonireas oleva tunnuse väärtuse ja keskväärtuse vahe. Kogu variatsioonirea hälvete summa on 0. 18. Dispersioon hälvete ruutude aritmeetiline keskmine. Tähis ². 19. Standardhälve on ruutjuur dispersioonist. Tähis . 20. Variatsioonikordaja standardhälve ja keskväärtuse suhe. Esitatakse tavaliselt protsentides. Tähis V. 21. Korrelatsioon - nähtuste vastastikune sõltuvus ehk suhe, mille tõttu muutused ühes nähtuses kutsuvad esile ka muutused teises nähtuses. 22. Korrelatsiooniväli on kordinaattasandile kantud punktihulk, kus iga punkti x- koordinaadiks on uuritava objekti esimese tunnuse väärtus ja y- kooridnaadiks sama objekti teise tunnuse väärtus. 2
küsimustele: • Kuidas maksta? kui palju maksta? kuna maksta? 28.Kui suur on töötajate arv väikeettevõtetes Eestis kasutusel oleva määratluse kohaselt? • >50 29.Milline nendest on dividendipoliitika kujundamisel vastust vajav küsimus ? • Kuidas maksta? 30.Järgnevas valikus ei kuulu riski mõõtmisel kasutatavate statistilisete võimaluste hulka: • jaotuse oodatava väärtuse leidmine • standardhälbe leidmine • maksevõimekordaja leidmine • variatsioonikordaja leidmine 31.Reaalinvesteeringute hulka ei kuulu: • Hoonete ja rajatiste ehitamine • Põhivara soetamine • Investeeringud koolitusse, patentidesse, tarkvarasse • Kapitaalremondi tegemine 32.Investeeringuprojekti staatilise hindamise meetodiks on: • Arvestuslikku rentaablust 33.Ex-dividend date lahtiseletatuna tähendab: • Päeva, milleni saab veel teha tehinguid börsil, saamaks dividendiõiguse. 34.Majandussubjekt, kes kogub vajalikku raha ehk kapitali ja paigutab selle
Kvartiilhälve 4,78 4,700 cm Haare 15,70 cm Absoluuthälve 2,69 cm Dispersioon 11,01 11,24 Standardhälve 3,32 3,35 cm Variatsioonikordaja 32,47 33,07 % Asümmeetriakordaja 0,48 % Ekstsess -0,17 cm 0.1 kvatniil 6,27 6,3 cm 0.75-kvantiil 12,40 12,5 cm 8. Lähendamine normaaljaotusega
ülemine kvartiil (0,75- kvantiil) 30,9 21,5 cm 0,3-täiendkvantiil 29,5 17,5 cm Kvartiilhälve 7,1 6,0 cm Haare 24,25 cm Absoluuthälve 4,325333333 cm Dispersioon 32,14390909 38,3 Standardhälve 5,669559867 6,18 cm Variatsioonikordaja 20,45568484 20,75 % Asümmeetriakordaja A 0,655397445 Ekstsess E 0,351342535 Kokkuvõte Käesolevas töös sai analüüsitud juhuslikult valitud suurust ruhmitatud ja rühmitamata andmete korral. Arvutuste tegemiseks õppisin MS Exceli funktsioonide kasutamist. Ning sain lisateadmisi statistilisest analüüsist. 7 Kasutatud kirjanduse loetelu · Kiviste, A. 2007
0,3-täiendkvantiil 13,465 18,300 cm Kvartiilhälve 1,436 1,383 cm Haare 15,550 cm Absoluuthälve 2,7365 3,1249 cm Dispersioon 12,2463 13,6272 Standardhälve 3,499475215 3,692 cm Variatsioonikordaja 28,51533726 23,423569 % Asümmeetriakordaja 0,431357722 -0,4457 - - Ekstsess 0,188097719 0,67528239 9. Jaotuse kuju 6 Kuna asümmeetria kordaja on rühmitatud andmetel positiivne, tähendab seda, et maksimum on sümmeetria teljest paremal pool.
4 Tabel 1. Keskmised Allikas: Lisa 1. Variatsiooninäitarvud Elussünnid Abielud 3078,05777 Keskmine lineaarhälve 4620,217778 8 10280215,1 Dispersioon 23645458,51 2 Variatsioonikordaja 26,70% 34,64% 3206,27745 Standardhälve 4862,659613 5 0,06763467 Assümeetriakoefitsient 0,13154141 5 -
Maximum 1336450000 579340021 0 Sum 5912821548 647340021 0 Count 50 715340021 0 783340021 0 851340021 0 Immigratsioon 919340021 0 Variatsioonikordaja 204,58% 987340021 0 Mean 2849760 1055340021 0 Standard Error 824507,070332675 1123340021 0 Median 895000 1191340021 1 Mode #N/A 1259340021 0 Standard Deviation 5830145,40568489 1336450021 1
41. Vabadusastmete arv vt reg.mudeli statistiline analüüs. 42. Vabaliige lülitatakse mudelisse selleks, et vealiikme tinglik keskväärtus oleks null. Kui mudelisse mittelülitatud sõltumatute muutujate keskmine mõju sõltuvale muutujale Y on 0, siis vabaliige on nihketa. 43. Valim andmete alusel hinnatud mudel on valimi põhine mudel, mille alusel testitakse hüpoteese üldkogumi e maj.protsessi kohta. 44. Variatsioonikordaja (V) leitakse standardhälbe ja keskväärtuse alusel. Näitab kui palju protsentuaalselt moodustab standardhälve keskväärtusest. Mida suurem on variatsioonikordaja (ehk hajuvuse kordaja), seda suurem on uuritava muutuja (tunnuse) hajuvus ümber keskväärtuse. 45. Vähimruutude meetod tingimused selle kasutamiseks. Reg.mudel on lineaarne. Valimi maht,
annaabi.ee 
